Dimensional Analysis, Uses and Limitations Questions in Gujarati

(D) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
અહીં $S$ મીટરમાં $(m)$ માપવામાં આવે છે,તેથી પદ $ct^2$ ના પરિમાણો પણ લંબાઈ $(L)$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોવા જોઈએ.
તેથી,$c$ ના પરિમાણો $[c] = [S] / [t^2] = L / T^2 = L T^{-2}$ દ્વારા મળે છે.
જેમ કે $S$ મીટરમાં $(m)$ છે અને $t$ સેકન્ડમાં $(s)$ છે,તેથી $c$ નો એકમ $m/s^2$ અથવા $m s^{-2}$ થાય છે.

(C) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ભૌતિક સમીકરણમાં દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ $x = at + bt^2$ છે,જ્યાં $x$ એ અંતર છે અને $t$ એ સમય છે.
તેથી,$bt^2$ ના પરિમાણો $x$ ના પરિમાણો જેટલા હોવા જોઈએ.
$[bt^2] = [x]$
$[b] = [x] / [t^2]$
અહીં $x$ કિલોમીટરમાં $(km)$ છે અને $t$ સેકન્ડમાં $(s)$ છે,તેથી $b$ નો એકમ $km/s^2$ થશે.

(B) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણો ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે.
$\left( P + \frac{a}{V^2} \right)$ પદમાં,$P$ (દબાણ) ને $\frac{a}{V^2}$ સાથે ઉમેરવામાં આવે છે.
તેથી,$P$ ના પરિમાણો $\frac{a}{V^2}$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોવા જોઈએ.
$[P] = \left[ \frac{a}{V^2} \right]$
$[a] = [P] \times [V^2]$
દબાણ $P$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ હોવાથી,તેનો એકમ $Dyne/cm^2$ ($CGS$ પદ્ધતિમાં) છે.
કદ $V$ નો એકમ $cm^3$ છે,તેથી $V^2$ નો એકમ $cm^6$ થાય.
$a$ નો એકમ $= (Dyne/cm^2) \times (cm^6) = Dyne \times cm^4$.

(B) દબાણનું પરિમાણીય સૂત્ર $P = \frac{F}{A} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
એકમ કદ દીઠ ઉર્જા $\frac{E}{V} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
દબાણ અને એકમ કદ દીઠ ઉર્જાના પરિમાણો સમાન હોવાથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(A) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણો ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી કરી શકાય છે.
આપેલ સમીકરણ $\left( {P + \frac{a}{{{V^2}}}} \right)\,(V - b) = RT$ માં,પદ $\frac{a}{{{V^2}}}$ ને દબાણ $P$ માં ઉમેરવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{a}{{{V^2}}}$ ના પરિમાણો દબાણ $P$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોવા જોઈએ.
$[\frac{a}{{{V^2}}}] = [P]$
$[a] = [P] \times [V^2]$
આપણે જાણીએ છીએ કે દબાણ $P$ ના પરિમાણો $[M{L^{ - 1}}{T^{ - 2}}]$ છે અને કદ $V$ ના પરિમાણો $[L^3]$ છે.
તેથી,$[a] = [M{L^{ - 1}}{T^{ - 2}}] \times [L^3]^2$
$[a] = [M{L^{ - 1}}{T^{ - 2}}] \times [L^6]$
$[a] = [M{L^5}{T^{ - 2}}]$

(D) આવૃત્તિ $f$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^0 T^{-1}]$ છે.
દળ $m$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^0 T^0]$ છે.
સ્પ્રિંગ અચળાંક $K$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^0 T^{-2}]$ છે.
આપેલ સંબંધ $f = C m^x K^y$ માં બંને બાજુ પારિમાણિક સૂત્રો મૂકતા:
$[M^0 L^0 T^{-1}] = [M^1]^x [M^1 T^{-2}]^y$
$[M^0 L^0 T^{-1}] = [M^{x+y} T^{-2y}]$
બંને બાજુ $M$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $x + y = 0$
$T$ માટે: $-2y = -1 \implies y = \frac{1}{2}$
$y = \frac{1}{2}$ ને $x + y = 0$ માં મૂકતા,આપણને $x + \frac{1}{2} = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$x = -\frac{1}{2}$ અને $y = \frac{1}{2}$ છે.

(C) વેગ $v$ નું પરિમાણ $[M^0 L^1 T^{-1}]$ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું પરિમાણ $[M^0 L^1 T^0]$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું પરિમાણ $[M^0 L^1 T^{-2}]$ છે.
ઘનતા $\rho$ નું પરિમાણ $[M^1 L^{-3} T^0]$ છે.
ધારો કે સંબંધ $v = k \lambda^a g^b \rho^c$ છે,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
બંને બાજુના પરિમાણોને સરખાવતા:
$[L T^{-1}] = [L]^a [L T^{-2}]^b [M L^{-3}]^c$
$[M^0 L^1 T^{-1}] = [M^c L^{a+b-3c} T^{-2b}]$
$M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$M$ માટે: $c = 0$
$T$ માટે: $-2b = -1 \implies b = 0.5$
$L$ માટે: $a + b - 3c = 1 \implies a + 0.5 - 0 = 1 \implies a = 0.5$
કિંમતો મૂકતા,$v \propto \lambda^{0.5} g^{0.5} \rho^0$ મળે.
તેથી,$v \propto \sqrt{g \lambda}$,જેનો અર્થ છે કે $v^2 \propto g \lambda$.

(B) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણમાં ઉમેરવામાં આવતા અથવા બાદ કરવામાં આવતા તમામ પદોના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ $Y = A \sin \omega \left( \frac{x}{v} - k \right)$ માં,પદ $k$ ને $\frac{x}{v}$ માંથી બાદ કરવામાં આવે છે.
તેથી,$k$ નું પરિમાણ $\frac{x}{v}$ ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
$x$ (અંતર) નું પરિમાણ $[L]$ છે.
$v$ (વેગ) નું પરિમાણ $[LT^{-1}]$ છે.
આમ,$\frac{x}{v}$ નું પરિમાણ $= \frac{[L]}{[LT^{-1}]} = [T]$ થાય.
તેથી,$k$ નું પરિમાણ $[T]$ છે.

(A) આપેલ ભૌતિક રાશિઓ માટેના પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$T = [T^1]$
$P = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$
$D = [M^1 L^{-3} T^0]$
$S = [M^1 L^0 T^{-2}]$
સમીકરણ $T = P^a D^b S^c$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$[M^0 L^0 T^1] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]^a [M^1 L^{-3}]^b [M^1 T^{-2}]^c$
$[M^0 L^0 T^1] = M^{a+b+c} L^{-a-3b} T^{-2a-2c}$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$a + b + c = 0$ $(1)$
$-a - 3b = 0 \implies a = -3b$ $(2)$
$-2a - 2c = 1 \implies a + c = -1/2$ $(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $a = -3b$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$-3b + b + c = 0 \implies c = 2b$
હવે $a = -3b$ અને $c = 2b$ ની કિંમત $(3)$ માં મૂકતા:
$-3b + 2b = -1/2 \implies -b = -1/2 \implies b = 1/2$
તેથી $a = -3(1/2) = -3/2$ અને $c = 2(1/2) = 1$.
આમ,$a = -3/2, b = 1/2, c = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ સંબંધ: $v \propto g^p h^q$.
દરેક ભૌતિક રાશિના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
વેગ $(v)$: $[L T^{-1}]$
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$: $[L T^{-2}]$
ઊંચાઈ $(h)$: $[L]$
આ પરિમાણોને સંબંધમાં મૂકતા:
$[L T^{-1}] = [L T^{-2}]^p [L]^q$
$[L T^{-1}] = L^p T^{-2p} L^q$
$[L T^{-1}] = L^{p+q} T^{-2p}$
બંને બાજુ $L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$T$ માટે: $-2p = -1 \Rightarrow p = \frac{1}{2}$
$L$ માટે: $p + q = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + q = 1 \Rightarrow q = \frac{1}{2}$
આમ,$p = \frac{1}{2}$ અને $q = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે ટર્મિનલ વેગ $v_T$ ને $v_T = k \cdot m^a \eta^b r^c g^d$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
પરિમાણીય સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$[v_T] = [L T^{-1}]$
$[m] = [M]$
$[\eta] = [M L^{-1} T^{-1}]$
$[r] = [L]$
$[g] = [L T^{-2}]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[L T^{-1}] = [M]^a [M L^{-1} T^{-1}]^b [L]^c [L T^{-2}]^d$
$[M^0 L^1 T^{-1}] = [M^{a+b} L^{-b+c+d} T^{-b-2d}]$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a + b = 0 \Rightarrow a = -b$
$T$ માટે: $-b - 2d = -1 \Rightarrow b + 2d = 1$
$L$ માટે: $-b + c + d = 1$
સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,ટર્મિનલ વેગ $v_T = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ છે. દડાનું દળ $m$ એ $r^3$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(m \propto r^3)$,આપણે $r \propto m^{1/3}$ ને સંબંધમાં મૂકીએ છીએ. પરિમાણીય વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે $v_T \propto \frac{mg}{\eta r}$ એ વેગના પરિમાણો સાથે સુસંગત એકમાત્ર સંબંધ છે.

(B) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $c = \frac{1}{\sqrt{{\mu _0}{\varepsilon _0}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $c^2 = \frac{1}{{\mu _0}{\varepsilon _0}}$.
તેથી,ગુણાકાર માટેનું પદ: ${\mu _0}{\varepsilon _0} = \frac{1}{c^2}$.
વેગ $c$ નું પરિમાણ $[L{T^{ - 1}}]$ હોવાથી,${\mu _0}{\varepsilon _0}$ ના પરિમાણો નીચે મુજબ થશે:
$[{\mu _0}{\varepsilon _0}] = \frac{1}{[L{T^{ - 1}}]^2} = \frac{1}{L^2 T^{-2}} = {L^{ - 2}}{T^2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\text{Force} = \frac{X}{\text{Density}}$
$X$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $X = \text{Force} \times \text{Density}$
બળ (Force) નું પારિમાણિક સૂત્ર $[F] = [M^1 L^1 T^{-2}]$ છે.
ઘનતા (Density) નું પારિમાણિક સૂત્ર $[\rho] = [M^1 L^{-3}]$ છે.
તેથી,$X$ ના પરિમાણો: $[X] = [M^1 L^1 T^{-2}] \times [M^1 L^{-3}]$
$[X] = [M^{1+1} L^{1-3} T^{-2}]$
$[X] = [M^2 L^{-2} T^{-2}]$

(D) પ્રવેગ $(A)$ ની વ્યાખ્યા લંબાઈ $(L)$ અને સમય $(T)$ ના સંદર્ભમાં નીચે મુજબ છે: $A = L T^{-2}$.
મંગળ ગ્રહની પદ્ધતિમાં આપેલી મૂળભૂત રાશિઓના સંદર્ભમાં લંબાઈ $(L)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર મેળવવા માટે,આપણે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ:
$L = A T^2$.
અહીં $A$ અને $T$ ને મંગળ ગ્રહની પદ્ધતિમાં મૂળભૂત રાશિઓ તરીકે પસંદ કરવામાં આવી હોવાથી,લંબાઈનું પરિમાણ $A T^2$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) પરિમાણીય વિશ્લેષણનો પાયો ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી જોસેફ ફુરિયર દ્વારા તેમના $1822$ માં પ્રકાશિત થયેલા પુસ્તક 'Théorie analytique de la chaleur' (ઉષ્માનો વિશ્લેષણાત્મક સિદ્ધાંત) માં નાખવામાં આવ્યો હતો. તેમણે ભૌતિક રાશિઓના ભૌતિક સ્વરૂપને દર્શાવવા માટે પરિમાણનો ખ્યાલ રજૂ કર્યો હતો,જે આજે પણ ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં એક પાયાનું સાધન છે.

(B) ધારો કે કોણીય વેગમાન $L$ ને $L = k v^x A^y F^z$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
દરેક રાશિના પરિમાણો મૂકતા:
$[M L^2 T^{-1}] = [L T^{-1}]^x [L T^{-2}]^y [M L T^{-2}]^z$
$[M L^2 T^{-1}] = M^z L^{x+y+z} T^{-x-2y-2z}$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $z = 1$
$L$ માટે: $x + y + z = 2$
$T$ માટે: $-x - 2y - 2z = -1$
$z = 1$ ને અન્ય સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x + y = 1$ (સમીકરણ $i$)
$-x - 2y = 1$ (સમીકરણ $ii$)
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા: $-y = 2 \Rightarrow y = -2$
$y = -2$ ને $x + y = 1$ માં મૂકતા: $x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3$
આમ,પારિમાણિક સૂત્ર $[L] = [F v^3 A^{-2}]$ થશે.

(A) સ્નિગ્ધતા બળ (સ્ટોક્સનો નિયમ) માટેનું સૂત્ર: $F = 6\pi \eta av$.
$\eta$ ના પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને આ રીતે લખી શકીએ: $\eta = \frac{F}{6\pi av}$.
અહીં $6\pi$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે,તેથી પારિમાણિક સૂત્ર: $[\eta] = \frac{[F]}{[a][v]}$.
બળ $[F] = M L T^{-2}$,ત્રિજ્યા $[a] = L$,અને વેગ $[v] = L T^{-1}$ ના પરિમાણો મૂકતા:
$[\eta] = \frac{M L T^{-2}}{L \cdot L T^{-1}} = \frac{M L T^{-2}}{L^2 T^{-1}}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $[\eta] = M L^{1-2} T^{-2-(-1)} = M L^{-1} T^{-1}$.

(A) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ભૌતિક રાશિઓનો સરવાળો કે બાદબાકી ત્યારે જ શક્ય છે જો તેમના પરિમાણો સમાન હોય.
જો કે,અલગ-અલગ પરિમાણો ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરીને નવી ભૌતિક રાશિઓ મેળવી શકાય છે.
તેથી,પ્રક્રિયા $A/B$ ભૌતિક રીતે અર્થપૂર્ણ છે,જ્યારે $A + B$ અને $A - B$ અર્થપૂર્ણ નથી.

(A) આપેલ ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$v = [LT^{-1}]$
$r = [L]$
$g = [LT^{-2}]$
હવે,$\frac{v^2}{rg}$ પદના પરિમાણો તપાસીએ:
$v^2$ નું પરિમાણ $= [LT^{-1}]^2 = [L^2 T^{-2}]$
$rg$ નું પરિમાણ $= [L] \cdot [LT^{-2}] = [L^2 T^{-2}]$
તેથી,$\frac{v^2}{rg}$ નું પરિમાણ $= \frac{[L^2 T^{-2}]}{[L^2 T^{-2}]} = [M^0 L^0 T^0]$.
આ પદ પરિમાણરહિત છે. આ રાશિ વળાંકવાળા રસ્તા પર વાહન માટે બેન્કિંગના ખૂણાના સંદર્ભમાં $\tan \theta$ દર્શાવે છે.

(B) ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M{L^2}{T^{ - 2}}]$ છે.
સૌર અચળાંક એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ મળતી ઉર્જા.
સૌર અચળાંકનું પારિમાણિક સૂત્ર = $\frac{[M{L^2}{T^{ - 2}}]}{[L^2][T]} = [M^1 T^{-3}]$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
$F = at + bt^2$ હોવાથી,$F$ ના પરિમાણો $at$ અને $bt^2$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોવા જોઈએ.
બળ $F$ નું પરિમાણ $[MLT^{-2}]$ છે.
$at$ પદ માટે: $[a][t] = [MLT^{-2}] \implies [a] = [MLT^{-2}] / [T] = [MLT^{-3}]$.
$bt^2$ પદ માટે: $[b][t^2] = [MLT^{-2}] \implies [b] = [MLT^{-2}] / [T^2] = [MLT^{-4}]$.
આમ,$a$ અને $b$ ના પરિમાણો અનુક્રમે $[MLT^{-3}]$ અને $[MLT^{-4}]$ છે.

(B) ધારો કે ગુરુત્વાકર્ષણના અચળાંકનું પરિમાણ $[G] = [c^x g^y p^z]$ છે.
આપેલ રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[G] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
$[c] = [L T^{-1}]$
$[g] = [L T^{-2}]$
$[p] = [M L^{-1} T^{-2}]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^{-1} L^3 T^{-2}] = [L T^{-1}]^x [L T^{-2}]^y [M L^{-1} T^{-2}]^z$
$[M^{-1} L^3 T^{-2}] = [M^z L^{x+y-z} T^{-x-2y-2z}]$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $z = -1$
$L$ માટે: $x + y - z = 3 \implies x + y - (-1) = 3 \implies x + y = 2$
$T$ માટે: $-x - 2y - 2z = -2 \implies -x - 2y - 2(-1) = -2 \implies -x - 2y = -4 \implies x + 2y = 4$
સમીકરણો ઉકેલતા:
$(x + 2y) - (x + y) = 4 - 2 \implies y = 2$
$x + 2 = 2 \implies x = 0$
આમ,$[G] = [c^0 g^2 p^{-1}]$.

(A) ધારો કે આવર્તકાળ $T$ એ $S^x r^y \rho^z$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $T = k S^x r^y \rho^z$.
પરિમાણો મૂકતા:
$[T] = [M^0 L^0 T^1]$
$[S] = [M L^0 T^{-2}]$
$[r] = [L]$
$[\rho] = [M L^{-3} T^0]$
બંને બાજુના પરિમાણોને સરખાવતા:
$[M^0 L^0 T^1] = [M L^0 T^{-2}]^x [L]^y [M L^{-3} T^0]^z$
$[M^0 L^0 T^1] = [M^{x+z} L^{y-3z} T^{-2x}]$
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $x + z = 0 \Rightarrow z = -x$
$T$ માટે: $-2x = 1 \Rightarrow x = -1/2$
તેથી,$z = 1/2$
$L$ માટે: $y - 3z = 0 \Rightarrow y = 3z = 3(1/2) = 3/2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = k S^{-1/2} r^{3/2} \rho^{1/2} = k \sqrt{\frac{\rho r^3}{S}}$

(A) ધારો કે બળ $F$ ને $F = P^{\alpha} V^{\beta} T^{\gamma}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-2}]$ છે.
દબાણ $P$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ છે.
વેગ $V$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^1 T^{-1}]$ છે.
સમય $T$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[T^1]$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^1 L^1 T^{-2}] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]^{\alpha} [L^1 T^{-1}]^{\beta} [T^1]^{\gamma}$
$[M^1 L^1 T^{-2}] = [M^{\alpha} L^{-\alpha + \beta} T^{-2\alpha - \beta + \gamma}]$
બંને બાજુ $M$,$L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $\alpha = 1$
$L$ માટે: $-\alpha + \beta = 1 \Rightarrow -1 + \beta = 1 \Rightarrow \beta = 2$
$T$ માટે: $-2\alpha - \beta + \gamma = -2 \Rightarrow -2(1) - 2 + \gamma = -2 \Rightarrow -4 + \gamma = -2 \Rightarrow \gamma = 2$
આમ,બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $P^1 V^2 T^2$ એટલે કે $P V^2 T^2$ થાય છે.

(B) ધારો કે દળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M] = [E]^x [v]^y [F]^z$ છે.
દરેક રાશિના પરિમાણો મૂકતા:
$[M] = [M L^2 T^{-2}]^x [L T^{-1}]^y [M L T^{-2}]^z$
$[M] = M^{x+z} L^{2x+y+z} T^{-2x-y-2z}$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $x + z = 1$
$L$ માટે: $2x + y + z = 0$
$T$ માટે: $-2x - y - 2z = 0$
ત્રીજા સમીકરણ પરથી: $y = -2x - 2z = -2(x + z)$.
કારણ કે $x + z = 1$,તેથી $y = -2(1) = -2$.
હવે,$y = -2$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $2x - 2 + z = 0 \implies 2x + z = 2$.
આપણને સમીકરણો મળે છે:
$x + z = 1$
$2x + z = 2$
બીજામાંથી પહેલું સમીકરણ બાદ કરતા: $x = 1$.
તેથી $z = 1 - x = 1 - 1 = 0$.
આમ,$[M] = [E]^1 [v]^{-2} [F]^0 = [E v^{-2}]$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x = Ay + B \tan(Cz)$.
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણ સમાન હોવા જોઈએ.
$1$. $B \tan(Cz)$ પદ માટે,ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો ખૂણો $(Cz)$ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ. તેથી,$[Cz] = [M^0 L^0 T^0]$,જેનો અર્થ છે કે $[C] = [z^{-1}]$. આમ,$C$ અને $z^{-1}$ ના પરિમાણ સમાન છે.
$2$. $x$ ના પરિમાણ એ $Ay$ અને $B$ ના પરિમાણ જેટલા હોવા જોઈએ. તેથી,$[x] = [Ay] = [B]$. આનો અર્થ એ છે કે $x$ અને $B$ ના પરિમાણ સમાન છે.
$3$. $[x] = [Ay]$ પરથી,આપણને $[y] = [x/A]$ મળે છે. વળી,$[x] = [B]$ પરથી,$[A] = [B/x]$ મળે છે. આ બંનેને જોડતા,$[y] = [x/A] = [B/A]$. આમ,$y$ અને $B/A$ ના પરિમાણ સમાન છે.
$4$. $x$ અને $A$ ની સરખામણી કરતા: $[x] = [Ay]$ હોવાથી,$A$ નું પરિમાણ $[x/y]$ થાય છે. તેથી,$x$ અને $A$ ના પરિમાણ સમાન નથી.
આથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) ધારો કે દળ $M$ ને $M \propto c^x G^y h^z$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
પરિમાણો મૂકતા:
$[M] = M^1 L^0 T^0$
$[c] = L T^{-1}$
$[G] = M^{-1} L^3 T^{-2}$
$[h] = M L^2 T^{-1}$
આમ,$M^1 L^0 T^0 = (L T^{-1})^x (M^{-1} L^3 T^{-2})^y (M L^2 T^{-1})^z$
$M^1 L^0 T^0 = M^{-y+z} L^{x+3y+2z} T^{-x-2y-z}$
બંને બાજુ $M, L, T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $-y + z = 1$
$2$) $x + 3y + 2z = 0$
$3$) $-x - 2y - z = 0$
$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા: $y + z = 0 \implies y = -z$.
$(1)$ માં $y = -z$ મૂકતા: $-(-z) + z = 1 \implies 2z = 1 \implies z = 1/2$.
તેથી $y = -1/2$.
$(3)$ માં $y$ અને $z$ ની કિંમત મૂકતા: $-x - 2(-1/2) - (1/2) = 0 \implies -x + 1 - 1/2 = 0 \implies x = 1/2$.
તેથી,દળનું પરિમાણ $c^{1/2} G^{-1/2} h^{1/2}$ થાય છે.

(A) ધારો કે આવૃત્તિ $n = k{\rho ^x}{a^y}{T^z}$ છે.
પરિમાણીય સૂત્રો: $[n] = [T^{-1}]$,$[\rho] = [ML^{-3}]$,$[a] = [L]$,અને $[T] = [MT^{-2}]$.
સમીકરણમાં મૂકતા: $[M^0L^0T^{-1}] = [ML^{-3}]^x [L]^y [MT^{-2}]^z$.
$[M^0L^0T^{-1}] = [M^{x+z} L^{-3x+y} T^{-2z}]$.
બંને બાજુ ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $x + z = 0 \implies x = -z$.
$T$ માટે: $-2z = -1 \implies z = 1/2$. તેથી,$x = -1/2$.
$L$ માટે: $-3x + y = 0 \implies y = 3x = 3(-1/2) = -3/2$.
આમ,$n = k \rho^{-1/2} a^{-3/2} T^{1/2} = k \frac{\sqrt{T}}{\sqrt{\rho} a^{3/2}}$.

(A) ધારો કે દળ $M$ ને $M = k F^a L^b T^c$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એક પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
દરેક ભૌતિક રાશિના પરિમાણો મૂકતા:
$[M] = [M^1 L^0 T^0]$
$[F] = [M^1 L^1 T^{-2}]$
$[L] = [L]$
$[T] = [T]$
તેથી,$[M^1 L^0 T^0] = [M^1 L^1 T^{-2}]^a [L]^b [T]^c$
$[M^1 L^0 T^0] = [M^a L^{a+b} T^{-2a+c}]$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a = 1$
$L$ માટે: $a + b = 0 \implies 1 + b = 0 \implies b = -1$
$T$ માટે: $-2a + c = 0 \implies -2(1) + c = 0 \implies c = 2$
આ કિંમતો પાછી મૂકતા,આપણને દળનું પારિમાણિક સૂત્ર $M = F^1 L^{-1} T^2$ અથવા $F L^{-1} T^2$ મળે છે.

(C) આપેલ તરંગ સમીકરણ $y = a \cos (\omega t - kx)$ માં,ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો ખૂણો પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
તેથી,$kx$ ના પરિમાણ એ પરિમાણરહિત રાશિ (એટલે કે $[M^0 L^0 T^0]$) ના પરિમાણ જેટલા હોવા જોઈએ.
$[kx] = [M^0 L^0 T^0]$
$[k] [x] = [M^0 L^0 T^0]$
અહીં $[x]$ એ લંબાઈ દર્શાવે છે,તેથી તેનું પરિમાણ $[L]$ છે.
$[k] [L] = [M^0 L^0 T^0]$
$[k] = \frac{[M^0 L^0 T^0]}{[L]} = [M^0 L^{-1} T^0]$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x = K{a^m}{t^n}$ છે.
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણની બંને બાજુના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
સ્થાન $x$ નું પરિમાણ $[L]$ છે.
પ્રવેગ $a$ નું પરિમાણ $[LT^{-2}]$ છે.
સમય $t$ નું પરિમાણ $[T]$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $[L] = [LT^{-2}]^m [T]^n$.
$[L^1 T^0] = [L^m T^{-2m+n}]$.
બંને બાજુ $L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$L$ માટે: $m = 1$.
$T$ માટે: $-2m + n = 0$.
બીજા સમીકરણમાં $m = 1$ મૂકતા: $-2(1) + n = 0$,જેથી $n = 2$ મળે છે.
આમ,$m = 1$ અને $n = 2$ છે.

(B) ધારો કે ઉર્જા $(E)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $E = k F^a A^b T^c$ છે,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[E] = [M L^2 T^{-2}]$
$[F] = [M L T^{-2}]$
$[A] = [L T^{-2}]$
$[T] = [T]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M L^2 T^{-2}] = [M L T^{-2}]^a [L T^{-2}]^b [T]^c$
$[M L^2 T^{-2}] = [M^a L^{a+b} T^{-2a-2b+c}]$
બંને બાજુ $M$,$L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a = 1$
$L$ માટે: $a + b = 2 \implies 1 + b = 2 \implies b = 1$
$T$ માટે: $-2a - 2b + c = -2 \implies -2(1) - 2(1) + c = -2 \implies -4 + c = -2 \implies c = 2$
આમ,ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $F^1 A^1 T^2$ એટલે કે $F A T^2$ થાય છે.

(D) બે એકમ પદ્ધતિઓ વચ્ચે રૂપાંતરનું સૂત્ર $N_1 U_1 = N_2 U_2$ છે,જ્યાં $N$ એ સંખ્યાત્મક મૂલ્ય છે અને $U$ એ એકમ છે.
ઘનતા માટે,પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-3}]$ છે.
આપેલ છે: $N_1 = 0.625$,$M_1 = 1 \ g$,$L_1 = 1 \ cm$.
$SI$ પદ્ધતિમાં: $M_2 = 1 \ kg = 10^3 \ g$,$L_2 = 1 \ m = 10^2 \ cm$.
સંબંધ $N_2 = N_1 \left[ \frac{M_1}{M_2} \right] \left[ \frac{L_1}{L_2} \right]^{-3}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$N_2 = 0.625 \times \left[ \frac{1 \ g}{10^3 \ g} \right] \times \left[ \frac{1 \ cm}{10^2 \ cm} \right]^{-3}$
$N_2 = 0.625 \times 10^{-3} \times (10^{-2})^{-3}$
$N_2 = 0.625 \times 10^{-3} \times 10^6$
$N_2 = 0.625 \times 10^3 = 625 \ kg/m^3$.
આમ,$SI$ પદ્ધતિમાં તેનું મૂલ્ય $625$ છે.

(D) પ્રવેગનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^1 T^{-2}]$ છે.
રૂપાંતરણ સૂત્ર $n_2 = n_1 [L_1/L_2]^1 [T_1/T_2]^{-2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $n_1 = 10$,$L_1 = 1\,m$,$T_1 = 1\,s$,$L_2 = 1\,km = 10^3\,m$,અને $T_2 = 1\,hr = 3600\,s$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$n_2 = 10 \times [1\,m / 10^3\,m]^1 \times [1\,s / 3600\,s]^{-2}$
$n_2 = 10 \times [10^{-3}] \times [1/3600]^{-2}$
$n_2 = 10 \times 10^{-3} \times (3600)^2$
$n_2 = 10^{-2} \times 12960000$
$n_2 = 129600$.

(D) આપેલ સૂત્ર $n = -D \frac{n_2 - n_1}{x_2 - x_1}$ છે.
અહીં,$n$ એ એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતા કણોની સંખ્યા દર્શાવે છે,તેથી તેના પરિમાણો $[n] = [L^{-2} T^{-1}]$ છે.
$n_1$ અને $n_2$ એ એકમ કદ દીઠ કણોની સંખ્યા છે,તેથી તેના પરિમાણો $[n_1] = [n_2] = [L^{-3}]$ છે.
$x_1$ અને $x_2$ એ સ્થાનો છે,તેથી $[x_2 - x_1] = [L]$ છે.
$D$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $D = n \frac{x_2 - x_1}{n_2 - n_1}$ મળે છે.
પરિમાણો મૂકતા: $[D] = \frac{[L^{-2} T^{-1}] \times [L]}{[L^{-3}]}$.
$[D] = \frac{[L^{-1} T^{-1}]}{[L^{-3}]} = [L^{-1+3} T^{-1}] = [L^2 T^{-1}]$.
આમ,$D$ ના પરિમાણો $[M^0 L^2 T^{-1}]$ છે.

(C) સમીકરણ $S_t = u + \frac{1}{2}a(2t - 1)$ એ $t^{th}$ સેકન્ડમાં પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર દર્શાવે છે.
$1$. આંકડાકીય રીતે: આ સમીકરણ ગતિના સમીકરણો $(S_t = S_t - S_{t-1})$ પરથી મેળવેલ પ્રમાણિત ગતિશાસ્ત્રનું સૂત્ર છે,જ્યાં $S_t = ut + \frac{1}{2}at^2$ છે. તેથી,તે આંકડાકીય રીતે સાચું છે.
$2$. પરિમાણીય રીતે:
- $S_t$ ($t^{th}$ સેકન્ડમાં અંતર) નું પરિમાણ $[L T^{-1}]$ છે.
- $u$ (પ્રારંભિક વેગ) નું પરિમાણ $[L T^{-1}]$ છે.
- $\frac{1}{2}a(2t - 1)$ નું પરિમાણ $[L T^{-2}] \times [T] = [L T^{-1}]$ છે.
જેহেতু આપેલ સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણ સમાન $([L T^{-1}])$ છે,તેથી આ સમીકરણ પરિમાણીય રીતે પણ સાચું છે.
તેથી,આ સમીકરણ આંકડાકીય અને પરિમાણીય બંને રીતે સાચું છે.

(D) ધારો કે લંબાઈનું પરિમાણ $L = G^x c^y h^z$ છે.
પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
$c = [L T^{-1}]$
$h = [M L^2 T^{-1}]$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^0 L^1 T^0] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]^x [L T^{-1}]^y [M L^2 T^{-1}]^z$
$[M^0 L^1 T^0] = M^{-x+z} L^{3x+y+2z} T^{-2x-y-z}$
બંને બાજુના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $-x + z = 0 \implies x = z$
$2$) $3x + y + 2z = 1$
$3$) $-2x - y - z = 0 \implies y = -2x - z$
$x=z$ ને $(3)$ માં મૂકતા: $y = -2x - x = -3x$.
$x=z$ અને $y=-3x$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$3x + (-3x) + 2x = 1$
$2x = 1 \implies x = 1/2$.
$x=z$ હોવાથી,$z = 1/2$.
$y = -3x$ હોવાથી,$y = -3/2$.
આમ,$x = 1/2, y = -3/2, z = 1/2$. તેથી વિકલ્પ $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(A) ધારો કે ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $[k] = [L]$ ને $[k] = {h^x}{c^y}{G^z}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
અચળાંકોના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[h] = [M{L^2}{T^{ - 1}}]$
$[c] = [L{T^{ - 1}}]$
$[G] = [{M^{ - 1}}{L^3}{T^{ - 2}}]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[L] = {[M{L^2}{T^{ - 1}}]^x} {[L{T^{ - 1}}]^y} [{M^{ - 1}}{L^3}{T^{ - 2}}]^z$
$[L] = {M^{x - z}} {L^{2x + y + 3z}} {T^{ - x - y - 2z}}$
બંને બાજુના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $x - z = 0 \implies x = z$
$T$ માટે: $-x - y - 2z = 0 \implies -x - y - 2x = 0 \implies y = -3x$
$L$ માટે: $2x + y + 3z = 1$
$y = -3x$ અને $z = x$ ને $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2x - 3x + 3x = 1$
$2x = 1 \implies x = 1/2$
આમ,$x = 1/2$,$z = 1/2$,અને $y = -3(1/2) = -3/2$.
તેથી,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાનું પરિમાણ ${h^{1/2}}{c^{ - 3/2}}{G^{1/2}}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણમાં,ઘાતાંક $-\frac{\alpha Z}{k\theta}$ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{\alpha Z}{k\theta}$ ના પરિમાણો $[M^0 L^0 T^0]$ છે.
કારણ કે $[k\theta]$ એ ઉર્જા દર્શાવે છે,તેનું પરિમાણ $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
આમ,$[\alpha] = \frac{[k\theta]}{[Z]} = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L]} = [M L T^{-2}]$.
આપેલ છે કે $P = \frac{\alpha}{\beta}$,તેથી $[\beta] = \frac{[\alpha]}{[P]}$.
દબાણ $P$ નું પરિમાણ $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
તેથી,$[\beta] = \frac{[M L T^{-2}]}{[M L^{-1} T^{-2}]} = [M^0 L^2 T^0]$.

(C) આપેલ સૂત્ર $\nu = \frac{p}{2l} \left[ \frac{F}{m} \right]^{1/2}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $\nu^2 = \frac{p^2}{4l^2} \left[ \frac{F}{m} \right]$.
$m$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$m = \frac{p^2 F}{4l^2 \nu^2}$.
$p$ એ પરિમાણરહિત સંખ્યા હોવાથી,$m$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[m] = \frac{[F]}{[l^2][\nu^2]}$ થશે.
પરિમાણો મૂકતા: $[F] = [M L T^{-2}]$,$[l] = [L]$,અને $[\nu] = [T^{-1}]$.
$[m] = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2][T^{-1}]^2} = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2][T^{-2}]} = [M L^{1-2} T^{-2+2}] = [M L^{-1} T^0]$.

(B) ગ્રહના કક્ષીય વેગનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ છે.
આને $v = (GM/R)^{1/2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $v = G^{1/2} M^{1/2} R^{-1/2}$ મળે છે.
આપેલ સમીકરણ $v = G^a M^b R^c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1/2$,$b = 1/2$,અને $c = -1/2$ મળે છે.

(A) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે.
પદ $\left( P + \frac{a}{V^2} \right)$ માં,$P$ ના પરિમાણો $\frac{a}{V^2}$ ના પરિમાણો જેટલા હોવા જોઈએ.
તેથી,$[P] = \left[ \frac{a}{V^2} \right]$.
આનો અર્થ એ છે કે $[a] = [P] \times [V^2]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે દબાણ $P$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ છે,તેથી $[P] = [MLT^{-2}] / [L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$.
કદ $V$ ના પરિમાણો $[L^3]$ છે,તેથી $[V^2] = [L^3]^2 = [L^6]$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $[a] = [ML^{-1}T^{-2}] \times [L^6] = [ML^5T^{-2}]$ મળે છે.
આમ,$a$ ના પરિમાણો $[M^1 L^5 T^{-2}]$ છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\vec{E} = \frac{K}{x^3}$ પરથી,$K$ ને કર્તા બનાવતા:
$K = E \cdot x^3$
અહીં,$x$ એ સ્થાન દર્શાવે છે,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
સમીકરણમાં પરિમાણો મૂકતા:
$[K] = [M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}] \cdot [L]^3$
$[K] = [M^1 L^1 \cdot L^3 T^{-3} A^{-1}]$
$[K] = [M^1 L^4 T^{-3} A^{-1}]$

(D) આપેલ છે કે $x$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $x = M^{-1} L^{3} T^{-2}$ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમ મુજબ $x$ માં મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = |(-1)| \frac{\Delta M}{M} \times 100 + |3| \frac{\Delta L}{L} \times 100 + |(-2)| \frac{\Delta T}{T} \times 100$.
$M, L$ અને $T$ માટે આપેલી પ્રતિશત ત્રુટિઓ મૂકતા:
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 1(2\%) + 3(3\%) + 2(4\%)$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$= 2\% + 9\% + 8\% = 19\%$.
તેથી,$x$ માં મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ $19\%$ છે.

(A) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ભૌતિક રાશિઓનો સરવાળો કે બાદબાકી ત્યારે જ શક્ય છે જો તેમના પરિમાણો સમાન હોય.
જો કે,ભૌતિક રાશિઓનો ગુણાકાર કે ભાગાકાર ગમે તે પરિમાણો માટે કરી શકાય છે,ભલે તે સમાન હોય કે અલગ.
અહીં $A$ અને $B$ ના પરિમાણો અલગ હોવાથી,$A+B$ અને $A-B$ પ્રક્રિયાઓ ભૌતિક રીતે અર્થપૂર્ણ નથી.
જ્યારે $A/B$ પ્રક્રિયા ભૌતિક રીતે અર્થપૂર્ણ છે,કારણ કે તે $[A]/[B]$ પરિમાણ ધરાવતી નવી ભૌતિક રાશિ આપે છે.

(D) પરિમાણિક પૃથ્થકરણ એ ભૌતિક સમીકરણોની સુસંગતતા તપાસવા અથવા તેમના પરિમાણોના આધારે ભૌતિક રાશિઓ વચ્ચેના સંબંધો તારવવા માટે વપરાતી પદ્ધતિ છે.
જો કે,તેની કેટલીક મહત્વપૂર્ણ મર્યાદાઓ છે:
$1$. તે પરિમાણરહિત અચળાંકો (જેમ કે $1/2$,$\pi$,અથવા સંખ્યાત્મક સહગુણકો) નક્કી કરી શકતું નથી.
$2$. તે ઘાતાંકીય (exponential),ત્રિકોણમિતીય (trigonometric) અથવા લઘુગણકીય (logarithmic) વિધેયો ધરાવતા સૂત્રો તારવી શકતું નથી,કારણ કે આ વિધેયોના આર્ગ્યુમેન્ટ્સ પરિમાણરહિત હોવા જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાં:
- $A$ માં ઘાતાંકીય વિધેય છે.
- $B$ માં ત્રિકોણમિતીય વિધેય છે.
- $C$ માં પરિમાણરહિત અચળાંકો $(1/2)$ છે.
તેથી,આમાંથી કોઈ પણ સંબંધ પરિમાણિક પૃથ્થકરણનો ઉપયોગ કરીને તારવી શકાતો નથી.

(A) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણની બંને બાજુના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
$at$ પદ માટે:
$[at] = [F] = [MLT^{-2}]$
$[a] = [MLT^{-2}] / [T] = [MLT^{-3}]$
$bt^2$ પદ માટે:
$[bt^2] = [F] = [MLT^{-2}]$
$[b] = [MLT^{-2}] / [T^2] = [MLT^{-4}]$
તેથી,$a$ અને $b$ ના પરિમાણો અનુક્રમે $[MLT^{-3}]$ અને $[MLT^{-4}]$ છે.

(B) આપેલ સૂત્ર $x = M^a L^b T^c$ છે.
પરિમાણીય વિશ્લેષણ મુજબ,જો કોઈ રાશિ $M, L$ અને $T$ પર આધાર રાખતી હોય,તો તેને $M$ અને $L$ ના પદમાં ત્યારે જ દર્શાવી શકાય જો $T$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોય (એટલે કે $c = 0$).
જો $c \neq 0$ હોય,તો રાશિ $x$ મુખ્યત્વે સમય $T$ ના પરિમાણ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,જો $c \neq 0$ હોય,તો $x$ ના પરિમાણને માત્ર $M$ અને $L$ ના પદમાં દર્શાવી શકાય નહીં,કારણ કે $T$ ના યોગદાનને અવગણી શકાય નહીં અથવા $M$ અને $L$ દ્વારા બદલી શકાય નહીં,સિવાય કે તેમની વચ્ચે કોઈ ચોક્કસ ભૌતિક સંબંધ હોય.

(A) બળ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $F = [M L T^{-2}]$ છે.
ધારો કે નવા એકમો $M' = 10 \; g = 10^{-2} \; kg$,$L' = 10 \; cm = 0.1 \; m$,અને $T' = 0.1 \; s$ છે.
બળનો નવો એકમ $F'$ નીચે મુજબ મળે: $F' = M' L' (T')^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા: $F' = (10^{-2} \; kg) \times (0.1 \; m) \times (0.1 \; s)^{-2}$.
$F' = 10^{-2} \times 10^{-1} \times (10^{-1})^{-2} \; kg \cdot m/s^2$.
$F' = 10^{-3} \times 10^2 \; N$.
$F' = 10^{-1} \; N = 0.1 \; N$.

(A) $y = a \sin(bt - cx)$ સમીકરણમાં,સાઈન વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ $(bt - cx)$ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
તેથી,$bt$ ના પરિમાણ એ $cx$ ના પરિમાણ જેટલા હોવા જોઈએ.
$[bt] = [cx]$
$[b][T] = [c][L]$
આને ગોઠવતા,આપણને ગુણોત્તર $b/c = [L]/[T]$ મળે છે.
કારણ કે $[L]/[T]$ એ વેગના પરિમાણ દર્શાવે છે,તેથી $b/c$ ના પરિમાણ એ તરંગ વેગના પરિમાણ સમાન છે.