નીચેનામાંથી કયા સંબંધને પરિમાણિક પૃથ્થકરણ (Dimensional Analysis) નો ઉપયોગ કરીને તારવી શકાય છે?

સમાન સંખ્યામાં ઇલેક્ટ્રોન અને ધન આયનોના ગીચ સમૂહને તટસ્થ પ્લાઝ્મા કહેવામાં આવે છે. મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનથી ઘેરાયેલા નિશ્ચિત ધન આયનો ધરાવતા અમુક ઘન પદાર્થોને તટસ્થ પ્લાઝ્મા તરીકે ગણી શકાય. ધારો કે $N$ એ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે, દરેકનું દળ $m$ છે. જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર લગાડવામાં આવે છે, ત્યારે તેઓ ભારે ધન આયનોથી સાપેક્ષ રીતે દૂર સ્થાનાંતરિત થાય છે. જો વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થઈ જાય, તો ઇલેક્ટ્રોન ધન આયનોની આસપાસ કુદરતી કોણીય આવૃત્તિ $\omega_p$ સાથે દોલન કરવાનું શરૂ કરે છે, જેને પ્લાઝ્મા આવૃત્તિ કહેવામાં આવે છે. આ દોલનોને જાળવી રાખવા માટે, સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુતક્ષેત્રને લાગુ કરવાની જરૂર છે જેની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ હોય, જ્યાં ઉર્જાનો એક ભાગ શોષાય છે અને એક ભાગ પરાવર્તિત થાય છે. જેમ જેમ $\omega$ એ $\omega_p$ ની નજીક પહોંચે છે, ત્યારે બધા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન એકસાથે અનુનાદમાં આવે છે અને બધી ઉર્જા પરાવર્તિત થાય છે. આ ધાતુઓની ઉચ્ચ પરાવર્તકતાનું કારણ છે.
$1.$ ઇલેક્ટ્રોનિક ચાર્જને $e$ અને પરમિટિવિટીને $\varepsilon_0$ તરીકે લઈને, $\omega_p$ માટે સાચું સૂત્ર નક્કી કરવા માટે પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરો.
$(A) \sqrt{\frac{N e}{m \varepsilon_0}}$ $(B) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e}}$ $(C) \sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$ $(D) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e^2}}$
$2.$ $N \approx 4 \times 10^{27} \ m^{-3}$ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા ધરાવતી ધાતુ માટે પ્લાઝ્મા પરાવર્તન કઈ તરંગલંબાઇ પર થશે તેનો અંદાજ લગાવો. $\varepsilon_0 \approx 10^{-11}$ અને $m \approx 10^{-30}$ લો, જ્યાં આ જથ્થાઓ યોગ્ય $SI$ એકમોમાં છે.
$(A) 800 \ nm$ $(B) 600 \ nm$ $(C) 300 \ nm$ $(D) 200 \ nm$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.

દોરીના કંપનની આવૃત્તિ $\nu = \frac{p}{2l} \left[ \frac{F}{m} \right]^{1/2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $p$ એ દોરીમાં રહેલા વિભાગોની સંખ્યા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $F$ એ તણાવ છે. $m$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર શું હશે?

જો વેગ $[V]$,સમય $[T]$ અને બળ $[F]$ ને મૂળભૂત રાશિઓ તરીકે પસંદ કરવામાં આવે,તો દળનું પરિમાણ શું થશે?

બળ $(F)$ અને ઘનતા $(d)$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = \frac{\alpha}{\beta + \sqrt{d}}$ છે,તો $\alpha$ નું પારિમાણિક સૂત્ર શું થાય?

ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં એક પ્રખ્યાત સંબંધ કણના 'ગતિશીલ દળ' $m$ ને તેના 'સ્થિર દળ' $m_{0}$ સાથે તેની ઝડપ $v$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c$ ના સંદર્ભમાં જોડે છે. (આ સંબંધ સૌપ્રથમ આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈનના વિશિષ્ટ સાપેક્ષતાવાદના પરિણામ સ્વરૂપે ઉદ્ભવ્યો હતો). એક છોકરો આ સંબંધને લગભગ સાચી રીતે યાદ કરે છે પરંતુ અચળાંક $c$ ક્યાં મૂકવો તે ભૂલી જાય છે. તે લખે છે:
$m = \frac{m_{0}}{(1 - v^{2})^{1/2}}$
અનુમાન લગાવો કે ખૂટતો $c$ ક્યાં મૂકવો જોઈએ.