$M$ દળ,$l$ લંબાઈ અને $b$ પહોળાઈ ધરાવતી લંબચોરસ પ્લેટની તેના સમતલને લંબ અને તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થાય?

$l$ બાજુ અને $M$ દળ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટની એક ખૂણામાંથી પસાર થતી અને ચોરસ પ્લેટના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થાય?

$(a)$ લંબ અક્ષોના પ્રમેયને સાબિત કરો. (સૂચના: $x-y$ સમતલમાં આવેલા બિંદુ $(x, y)$ નું ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષથી અંતરનો વર્ગ $x^{2}+y^{2}$ છે)
$(b)$ સમાંતર અક્ષોના પ્રમેયને સાબિત કરો. (સૂચના: જો $n$ કણોની સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ તરીકે પસંદ કરવામાં આવે,તો $\sum m_{i} r_{i}=0$)

$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સાત સમાન તકતીઓને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ષટ્કોણીય સમતલ ભાતમાં ગોઠવવામાં આવી છે,જેથી દરેક તકતી તેની પાડોશી તકતીને સ્પર્શે. મધ્યસ્થ તકતીના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તમામ તકતીઓના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને સાત તકતીઓની સિસ્ટમની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થશે?

$40 \text{ kg}$ દળ અને $3 \text{ m}$ લંબાઈ ધરાવતા સળિયાની તેના છેડામાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ એવી $AB$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા,$10 \text{ kg}$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની $AB$ અક્ષને સમાંતર અને $3 \text{ m}$ અંતરે આવેલી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા જેટલી છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. $R$ નું મૂલ્ય $\sqrt{\frac{\alpha}{2}}$ તરીકે આપેલ છે. $\alpha$ નું મૂલ્ય . . . . . . છે.

એક સમાન વર્તુળાકાર તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા,તકતીને લંબ અને નીચેનામાંથી કયા બિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને મહત્તમ હશે?