SHM of Spring Mass System Questions in Gujarati

(C) $1$. દોલનના સૌથી ઉચ્ચ બિંદુ પર,સ્પ્રિંગ મહત્તમ ખેંચાયેલી હોય છે. જેમ દળ સંતુલન સ્થિતિ તરફ નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,પુનઃસ્થાપક બળ (સ્પ્રિંગ બળ) ઉપરની દિશામાં લાગે છે,પરંતુ ચોખ્ખું બળ (ગુરુત્વાકર્ષણ માઈનસ સ્પ્રિંગ બળ) નીચેની તરફ હોય છે.
$2$. કારણ કે ચોખ્ખું બળ સ્થાનાંતરની દિશામાં (નીચેની તરફ) છે,તેથી ચોખ્ખા બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ધન છે $(W = F \cdot d > 0)$.
$3$. કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થતું ધન કાર્ય તેની ગતિ ઊર્જામાં વધારો કરે છે,જેનો અર્થ છે કે જેમ દળ સંતુલન સ્થિતિની નજીક આવે છે તેમ તેની ઝડપ વધે છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મહત્તમ વેગ $V_{\max} = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે દળ $M$ સમાન છે,તેથી કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1 = \sqrt{k_1/M}$ અને $\omega_2 = \sqrt{k_2/M}$ થશે.
મહત્તમ વેગ સમાન હોવાથી,$V_{\max, 1} = V_{\max, 2}$,જેનો અર્થ છે કે $\omega_1 A_1 = \omega_2 A_2$.
તેથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\omega_2}{\omega_1}$ થાય.
$\omega_1$ અને $\omega_2$ ના સૂત્રો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\sqrt{k_2/M}}{\sqrt{k_1/M}} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(E)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ:
$E = \frac{F L}{A \Delta L}$
જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો વધારો છે.
બળ $(F)$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા:
$F = \left( \frac{EA}{L} \right) \Delta L$ --- $(1)$
હૂકના નિયમ મુજબ,પુનઃસ્થાપક બળ:
$F = k \Delta L$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને બળ અચળાંક $(k)$ મળે છે:
$k = \frac{EA}{L}$
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $(T)$:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$
$k$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{EA/L}} = 2\pi \sqrt{\frac{ML}{EA}}$
આમ,આવર્તકાળ $2\pi \sqrt{\frac{ML}{EA}}$ અને બળ અચળાંક $\frac{EA}{L}$ છે.

(D) ધારો કે ડિસ્કના પરિભ્રમણને કારણે સ્પ્રિંગમાં થતો વધારો $\Delta \ell$ છે.
સ્પ્રિંગની કુલ લંબાઈ $r = \ell_{0} + \Delta \ell$ થાય છે.
દળ $m$ ની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
તેથી,$k \Delta \ell = m \omega^{2} r = m \omega^{2} (\ell_{0} + \Delta \ell)$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $k \Delta \ell - m \omega^{2} \Delta \ell = m \omega^{2} \ell_{0}$.
$\Delta \ell (k - m \omega^{2}) = m \omega^{2} \ell_{0}$.
$\Delta \ell = \frac{m \omega^{2} \ell_{0}}{k - m \omega^{2}}$.
આપેલ છે કે $k >> m \omega^{2}$,તેથી આપણે $k - m \omega^{2} \approx k$ તરીકે લઈ શકીએ.
તેથી,$\Delta \ell \approx \frac{m \omega^{2} \ell_{0}}{k}$.
લંબાઈમાં થતો સાપેક્ષ ફેરફાર $\frac{\Delta \ell}{\ell_{0}} = \frac{m \omega^{2}}{k}$ છે.

(N/A) ધારો કે દળને સંતુલન સ્થિતિની જમણી બાજુએ $x$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. આ સ્થિતિમાં,ડાબી બાજુની સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી લંબાય છે અને જમણી બાજુની સ્પ્રિંગ તેટલી જ લંબાઈથી દબાય છે.
દળ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$F_{1} = -k x$ (ડાબી બાજુની સ્પ્રિંગ દ્વારા લાગતું બળ,જે દળને મધ્યમાન સ્થિતિ તરફ ખેંચવાનો પ્રયાસ કરે છે)
$F_{2} = -k x$ (જમણી બાજુની સ્પ્રિંગ દ્વારા લાગતું બળ,જે દળને મધ્યમાન સ્થિતિ તરફ ધકેલવાનો પ્રયાસ કરે છે)
દળ પર લાગતું પરિણામી બળ,$F$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F = F_{1} + F_{2} = -k x - k x = -2 k x$
અહીં પરિણામી બળ $F$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં છે અને તે મધ્યમાન સ્થિતિ તરફ નિર્દેશિત છે $(F \propto -x)$,તેથી દળ દ્વારા કરવામાં આવતી ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ છે.
સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $F = -K_{eff} x$ સાથે સરખાવતા,આપણને અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eff} = 2 k$ મળે છે.
દોલનોનો આવર્તકાળ નીચે મુજબ છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K_{eff}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{2 k}}$

(N/A) બ્લોક $SHM$ કરે છે. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{1}} = 7.07 \; rad \; s^{-1}$ છે.
કંપનવિસ્તાર $A = 0.1 \; m$ અને સ્થાનાંતર $x = 0.05 \; m$ આપેલ છે.
$x = 0.05 \; m$ પર સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$:
$P.E. = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times (0.05)^2 = 25 \times 0.0025 = 0.0625 \; J$.
તંત્રની કુલ ઊર્જા $(E)$ અચળ છે અને તે મહત્તમ સ્થાનાંતર $(x = A)$ પરની સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે:
$E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times (0.1)^2 = 25 \times 0.01 = 0.25 \; J$.
$x = 0.05 \; m$ પર ગતિઊર્જા $(K.E.)$:
$K.E. = E - P.E. = 0.25 - 0.0625 = 0.1875 \; J \approx 0.19 \; J$.

(N/A) દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{5.0\; kg}{500\; N m^{-1}}} = 2 \pi \sqrt{0.01} = 2 \pi \times 0.1 = 0.2 \pi \; s \approx 0.63\; s$.
$(b)$ મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = A \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$.
$v_{max} = 0.1\; m \times \sqrt{\frac{500\; N m^{-1}}{5\; kg}} = 0.1 \times \sqrt{100} = 0.1 \times 10 = 1.0\; m s^{-1}$.
$(c)$ મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a_{max} = \left(\frac{k}{m}\right) A = \left(\frac{500\; N m^{-1}}{5\; kg}\right) \times 0.1\; m = 100 \times 0.1 = 10\; m s^{-2}$.

(B) સ્કેલ દ્વારા વાંચી શકાતું મહત્તમ દળ $M = 50\; kg$ છે.
સ્પ્રિંગનું મહત્તમ સ્થાનાંતર સ્કેલની લંબાઈ જેટલું છે,$l = 20\; cm = 0.2\; m$.
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ એ $k = \frac{F}{l} = \frac{Mg}{l}$ દ્વારા મળે છે.
$g = 9.8\; m/s^2$ લેતા,$k = \frac{50 \times 9.8}{0.2} = 2450\; N/m$ મળે છે.
$m$ દળ માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
$T = 0.6\; s$ આપેલ હોવાથી,$m$ માટે ઉકેલતા: $m = k \left( \frac{T}{2\pi} \right)^2 = 2450 \times \left( \frac{0.6}{2 \times 3.14} \right)^2 \approx 22.36\; kg$.
પદાર્થનું વજન $W = mg = 22.36 \times 9.8 \approx 219.1\; N$ છે.
આમ,પદાર્થનું વજન આશરે $219\; N$ છે.

(N/A) આપેલ છે:
સ્પ્રિંગ અચળાંક,$k = 1200 \; N m^{-1}$
દળ,$m = 3 \; kg$
કંપવિસ્તાર (સ્થાનાંતર),$A = 2.0 \; cm = 0.02 \; m$
$(i)$ દોલનોની આવૃત્તિ $(v)$:
આવૃત્તિનું સૂત્ર $v = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
$v = \frac{1}{2 \times 3.14} \sqrt{\frac{1200}{3}} = \frac{1}{6.28} \sqrt{400} = \frac{20}{6.28} \approx 3.18 \; Hz$
$(ii)$ મહત્તમ પ્રવેગ $(a_{max})$:
મહત્તમ પ્રવેગનું સૂત્ર $a_{max} = \omega^2 A$ છે,જ્યાં $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$
$a_{max} = \frac{k}{m} A = \frac{1200}{3} \times 0.02 = 400 \times 0.02 = 8.0 \; m s^{-2}$
$(iii)$ મહત્તમ ઝડપ $(v_{max})$:
મહત્તમ ઝડપનું સૂત્ર $v_{max} = A \omega$ છે.
$v_{max} = A \sqrt{\frac{k}{m}} = 0.02 \times \sqrt{\frac{1200}{3}} = 0.02 \times 20 = 0.4 \; m s^{-1}$

(N/A) આ વિધેયો સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવે છે,પરંતુ તેમની પ્રારંભિક કળા અલગ છે.
દોલનનો કંપવિસ્તાર,$A = 2.0 \; cm = 0.02 \; m$.
સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક,$k = 1200 \; N m^{-1}$.
દળ,$m = 3 \; kg$.
દોલનની કોણીય આવૃત્તિ,$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{1200}{3}} = \sqrt{400} = 20 \; rad s^{-1}$.
$(a)$ જ્યારે $t = 0$ સમયે દળ મધ્યમાન સ્થાન પર હોય,ત્યારે પ્રારંભિક કળા $0$ છે. સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t) = 0.02 \sin(20t)$ છે.
$(b)$ મહત્તમ ખેંચાયેલી સ્થિતિમાં (અત્યંત જમણી બાજુ),પ્રારંભિક કળા $\frac{\pi}{2}$ છે. સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) = A \cos(\omega t) = 0.02 \cos(20t)$ છે.
$(c)$ મહત્તમ દબાયેલી સ્થિતિમાં (અત્યંત ડાબી બાજુ),પ્રારંભિક કળા $\frac{3\pi}{2}$ (અથવા $-\frac{\pi}{2}$) છે. સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \frac{3\pi}{2}) = -A \cos(\omega t) = -0.02 \cos(20t)$ છે.
$SHM$ માટેના આ વિધેયો માત્ર તેમની પ્રારંભિક કળામાં એકબીજાથી અલગ પડે છે.

(N/A) એક-બ્લોક સિસ્ટમ માટે (આકૃતિ $(a)$):
જ્યારે મુક્ત છેડા પર $F$ બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે વિસ્તરણ $l = F/k$ મળે છે.
ગતિનું સમીકરણ $m(d^2x/dt^2) = -kx$ છે. આ સરળ આવર્ત ગતિ છે જેની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{k/m}$ છે.
આવર્તકાળ $T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/k}$ છે.
બે-બ્લોક સિસ્ટમ માટે (આકૃતિ $(b)$):
દરેક છેડા પર $F$ બળ લાગે છે. સ્પ્રિંગમાં તણાવ $F$ હોવાથી,વિસ્તરણ $l = F/k$ મળે છે. બંને કિસ્સામાં વિસ્તરણ સમાન છે.
દોલન માટે,સ્પ્રિંગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને ધ્યાનમાં લો. દરેક દળ $m$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં ગતિ કરે છે. સ્પ્રિંગના અડધા ભાગ માટે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k' = 2k$ થાય છે. એક દળ માટે ગતિનું સમીકરણ $m(d^2x/dt^2) = -2kx$ છે.
આથી $\omega = \sqrt{2k/m}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/(2k)}$ છે.

(A) દોલન કરતા દળ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$x = A \cos (\omega t + \theta)$
વેગ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin (\omega t + \theta)$
$t = 0$ સમયે,સ્થાનાંતર $x = x_{0}$ છે અને વેગ $v = -v_{0}$ છે (કારણ કે તેને કેન્દ્ર તરફ ધકેલવામાં આવે છે):
$x_{0} = A \cos \theta \quad \dots(i)$
$-v_{0} = -A \omega \sin \theta \implies A \sin \theta = \frac{v_{0}}{\omega} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$A^2 \cos^2 \theta + A^2 \sin^2 \theta = x_{0}^2 + \left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^2$
$A^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = x_{0}^2 + \frac{v_{0}^2}{\omega^2}$
$A^2 = x_{0}^2 + \frac{v_{0}^2}{\omega^2}$
તેથી,કંપવિસ્તાર $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \sqrt{x_{0}^2 + \left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^2}$

(N/A) આકૃતિને ધ્યાનમાં લો,પથ્થરને $P$ બિંદુથી નીચે પાડવામાં આવે છે.
$(a)$ પથ્થર $L$ લંબાઈ સુધી મુક્ત પતન કરે છે. ત્યારબાદ,દોરીની સ્થિતિસ્થાપકતા પુનઃસ્થાપક બળ લગાડે છે. ધારો કે પથ્થર $P$ થી $y$ અંતરે ક્ષણિક સ્થિર થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પથ્થરની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = દોરીની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો:
$mgy = \frac{1}{2}k(y - L)^2$
$mgy = \frac{1}{2}k(y^2 - 2yL + L^2)$
$2mgy = ky^2 - 2kyL + kL^2$
$ky^2 - 2(mg + kL)y + kL^2 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{2(mg + kL) \pm \sqrt{4(mg + kL)^2 - 4k^2L^2}}{2k}$
$y = \frac{(mg + kL) + \sqrt{m^2g^2 + 2mgkL + k^2L^2 - k^2L^2}}{k}$
$y = L + \frac{mg + \sqrt{m^2g^2 + 2mgkL}}{k}$
$(b)$ મહત્તમ વેગ ત્યારે મળે છે જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય,એટલે કે જ્યારે તણાવ બળ વજન બળ જેટલું હોય: $k(y_{eq} - L) = mg$,તેથી $y_{eq} = L + \frac{mg}{k}$.
શરૂઆત અને સંતુલન સ્થિતિ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$mgy_{eq} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 + \frac{1}{2}k(y_{eq} - L)^2$
$mg(L + \frac{mg}{k}) = \frac{1}{2}mv_{max}^2 + \frac{1}{2}k(\frac{mg}{k})^2$
$mgL + \frac{m^2g^2}{k} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 + \frac{m^2g^2}{2k}$
$v_{max} = \sqrt{2gL + \frac{m^2g^2}{mk}} = \sqrt{2gL + \frac{mg^2}{k}}$.
$(c)$ સૌથી નીચલા બિંદુએ પહોંચ્યા પછી,પથ્થર સંતુલન સ્થિતિ $y_{eq} = L + \frac{mg}{k}$ ની આસપાસ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરશે.

(A) $m$ દળ ધરાવતો કણ જ્યારે પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ હેઠળ $SHM$ કરતો હોય,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$ થાય છે.
આને $\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આ સમીકરણને $SHM$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{k}{m}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ મળે છે.

(N/A) $m$ દળનો એક બ્લોક સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલો છે,જે એક દ્રઢ દીવાલ સાથે જડેલી છે. બ્લોકને ઘર્ષણરહિત સમક્ષિતિજ સપાટી પર મૂકવામાં આવ્યો છે.
જો બ્લોકને એક તરફ ખેંચીને મુક્ત કરવામાં આવે,તો તે મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ આગળ-પાછળની ગતિ કરે છે.
ધારો કે $x=0$ એ સ્પ્રિંગ સંતુલનમાં હોય ત્યારે બ્લોકના કેન્દ્રનું સ્થાન દર્શાવે છે. $-A$ અને $+A$ સ્થાનો મધ્યમાન સ્થાનની ડાબી અને જમણી બાજુના મહત્તમ સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,જ્યારે સ્પ્રિંગને વિરૂપિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર પુનઃસ્થાપક બળ લાગે છે,જેનું મૂલ્ય વિરૂપણ અથવા સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર,જો બ્લોકનું તેના મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર $x$ હોય,તો બ્લોક પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F$ છે:
$F(x) = -kx$ $(1)$
જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma = m \frac{d^2x}{dt^2}$.
બંનેને સરખાવતા,$m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$,જે આપે છે $\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0$.
આ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ નું વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $\omega^2 = \frac{k}{m}$.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(N/A) જ્યારે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થને $k$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડવામાં આવે છે અને તેને સંતુલન સ્થિતિમાંથી $x$ જેટલા નાના સ્થાનાંતરથી નીચે ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગ સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં પુનઃસ્થાપક બળ $F$ લગાડે છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,પુનઃસ્થાપક બળનું મૂલ્ય સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બળ સંતુલન સ્થિતિ તરફ લાગે છે અને સ્થાનાંતરનો વિરોધ કરે છે.

(A) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $m$ એ જોડેલું દળ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે આવૃત્તિ $f$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે $(f \propto \sqrt{k})$.
નરમ સ્પ્રિંગની સરખામણીમાં કઠણ સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ વધારે હોય છે.
તેથી,કઠણ સ્પ્રિંગમાં દોલનની આવૃત્તિ વધારે હશે,જેનો અર્થ છે કે તે ઝડપથી દોલન કરશે.

(C) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T$ એ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $m$ એ બ્લોકનું દળ છે અને $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $T \propto \sqrt{m}$.
તેથી, દોલનનો આવર્તકાળ એ સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા બ્લોકના દળના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(N/A) સ્પ્રિંગ અથવા સસ્પેન્શન વાયરના ટોર્સનલ અચળાંકને (જેને રિસ્ટોરિંગ ટોર્ક અચળાંક તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એકમ કોણીય સ્થાનાંતર દીઠ ઉદ્ભવતા પુનઃસ્થાપક ટોર્ક (restoring torque) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જો સ્પ્રિંગ પર $\tau$ જેટલું ટોર્ક લગાડવામાં આવે અને તેના પરિણામે $\theta$ જેટલું કોણીય સ્થાનાંતર (angular twist) થાય,તો પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = k\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ટોર્સનલ અચળાંક છે.
તેથી,$k = \frac{\tau}{\theta}$.
ટોર્સનલ અચળાંકનો $SI$ એકમ $\text{N} \cdot \text{m/rad}$ (ન્યૂટન-મીટર પ્રતિ રેડિયન) છે.

(C) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T$ એ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે。
આડા દોલનમાં, પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ છે。
ઊભા દોલનમાં, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દળ પર કાર્ય કરે છે, પરંતુ તે માત્ર સ્પ્રિંગની સંતુલન સ્થિતિને $\Delta x = \frac{mg}{k}$ જેટલી સ્થાનાંતરિત કરે છે。
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ અને દળ $m$ બદલાતા ન હોવાથી, આવર્તકાળ $T$ એ સ્પ્રિંગની દિશાથી સ્વતંત્ર રહે છે。
તેથી, બંને કિસ્સાઓમાં આવર્તકાળ સમાન રહેશે.

(D) સ્પ્રિંગના છેડે લટકાવેલ પદાર્થ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ દર્શાવે તે માટે નીચેની શરતો પૂરી થવી જોઈએ:
$1$. સ્પ્રિંગ આદર્શ હોવી જોઈએ,એટલે કે તે દળરહિત અને સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હોવી જોઈએ,જે સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં હૂકના નિયમ $(F = -kx)$ નું પાલન કરે.
$2$. આંદોલન કોઈપણ અવરોધક બળો,જેમ કે હવાના અવરોધ અથવા આંતરિક ઘર્ષણની ગેરહાજરીમાં થવું જોઈએ,અન્યથા તે અવમંદિત આંદોલન બની જશે.
$3$. સંતુલન સ્થિતિમાંથી સ્થાનાંતર એટલું નાનું હોવું જોઈએ કે પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સીધા પ્રમાણમાં રહે.

(C) દળ-સ્પ્રિંગ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$m$ એ સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ દળ છે અને $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે.
આવર્તકાળ $T$ માત્ર દળ $m$ અને સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગ $g$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,જ્યારે તંત્રને ચંદ્ર પર લઈ જવામાં આવે છે,ત્યારે આવર્તકાળમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(C) સ્પ્રિંગ સાથે લટકાવેલ $m$ દળના દોલનની આવૃત્તિ $v$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે આવૃત્તિ એ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે:
$v \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$
ધારો કે પ્રારંભિક દળ $m_1 = m$ અને પ્રારંભિક આવૃત્તિ $v_1 = v$ છે. નવું દળ $m_2 = \frac{m}{4}$ છે.
પ્રમાણસરતા $v \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_2}{v} = \sqrt{\frac{m}{m/4}} = \sqrt{4} = 2$
તેથી,નવી આવૃત્તિ $v_2 = 2v$ થશે.

(B) દળ-સ્પ્રિંગ તંત્ર માટે,દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ $x = 20\, cm = 0.2\, m$ એ વજન $mg$ ને કારણે છે,તેથી $mg = kx$,જેનો અર્થ થાય છે કે $\frac{m}{k} = \frac{x}{g}$.
$x = 0.2\, m$ અને $g = 9.8\, m/s^2$ કિંમતો મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.2}{9.8}} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{49}}$.
$T = 2\pi \times \frac{1}{7} = \frac{2 \times 3.14}{7} \approx 0.897\, s$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$T \approx 0.90\, s$ મળે છે.

(N/A) આકૃતિ મુજબ,બ્લોકને જમણી બાજુ $x$ અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે.
જમણી બાજુની સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી સંકોચાય છે,જેના કારણે બ્લોક પર ડાબી તરફ $kx$ જેટલું પુનઃસ્થાપક બળ લાગે છે.
ડાબી બાજુની સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી ખેંચાય છે,જેના કારણે બ્લોક પર ડાબી તરફ $kx$ જેટલું પુનઃસ્થાપક બળ લાગે છે.
તેથી,બ્લોક પર ડાબી તરફ લાગતું કુલ પુનઃસ્થાપક બળ $F$:
$F = kx + kx$
$\therefore F = 2kx$

(N/A) ધારો કે સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ છે. જ્યારે દળ $M$ ને નીચેની તરફ $x$ જેટલા અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ગરગડી $x$ જેટલી નીચે જાય છે. દોરી અદબનીય હોવાથી અને ગરગડી પરથી પસાર થતી હોવાથી,ગરગડી સાથે જોડાયેલી દોરીની બંને બાજુઓ $x$ જેટલી નીચે જવી જોઈએ. આના કારણે સ્પ્રિંગમાં વધારાનું $2x$ જેટલું ખેંચાણ થાય છે.
સ્પ્રિંગના બળમાં થતો ફેરફાર $\Delta F = k(2x) = 2kx$ છે.
દોરી ગરગડી સાથે બંને બાજુ જોડાયેલી હોવાથી,દળ $M$ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F_{rest}$ એ ગરગડીની બંને બાજુએ તણાવમાં થયેલા ફેરફારોનો સરવાળો છે. દોરીની દરેક બાજુએ તણાવમાં $\Delta T = k(2x) = 2kx$ જેટલો ફેરફાર અનુભવાય છે.
તેથી,કુલ પુનઃસ્થાપક બળ $F_{rest} = 2 \times \Delta T = 2 \times (2kx) = 4kx$ છે.
આને $SHM$ ના પ્રમાણિત પુનઃસ્થાપક બળના સમીકરણ $F = -k_{eff}x$ સાથે સરખાવતા,આપણને અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = 4k$ મળે છે.
તંત્રનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{4k}} = \pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(N/A) સ્પ્રિંગ-બ્લોક તંત્ર મધ્યમાન સ્થાનથી $A = 5 \, cm$ કંપવિસ્તાર સાથે સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરે છે.
આપેલ છે:
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 50 \, N/m$
કંપવિસ્તાર $A = 5 \, cm = 0.05 \, m$
દળ $m = 2 \, kg$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5 \, rad/s$
સરળ આવર્ત ગતિ માટે સ્થાનાંતરનું સામાન્ય સમીકરણ:
$x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$
$t = 0$ સમયે,બ્લોક તેના મહત્તમ સ્થાનાંતર $x = A$ પર છે (કારણ કે તેને $5 \, cm$ ખેંચીને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે).
$x(0) = A \sin(\phi) = A$
$\sin(\phi) = 1 \implies \phi = \frac{\pi}{2} \, rad$
કિંમતોને સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા:
$x(t) = 5 \sin(5t + \frac{\pi}{2})$
કારણ કે $\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos(\theta)$,
$x(t) = 5 \cos(5t)$
જ્યાં $x$ એ $cm$ માં અને $t$ એ સેકન્ડમાં છે.

(N/A) ધારો કે સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ છે. જ્યારે હાથ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે $m$ દળનો પદાર્થ દોલન કરવાનું શરૂ કરે છે. પ્રાપ્ત થયેલ સૌથી નીચું બિંદુ $x_{max} = 4 \, cm = 0.04 \, m$ છે. આ બિંદુએ વેગ શૂન્ય છે,તેથી કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં ઘટાડો એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જામાં થયેલા વધારા જેટલો હોય છે:
$mgx_{max} = \frac{1}{2} k x_{max}^2$
$mg = \frac{1}{2} k x_{max} \implies x_{max} = \frac{2mg}{k}$.
સંતુલન સ્થાન (મધ્યમાન સ્થાન) $x_{eq} = \frac{mg}{k}$ પર છે.
કંપવિસ્તાર $A$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી અંતિમ સ્થાન સુધીનું અંતર છે:
$A = x_{max} - x_{eq} = \frac{2mg}{k} - \frac{mg}{k} = \frac{mg}{k}$.
કારણ કે $x_{max} = 4 \, cm$,તેથી $\frac{2mg}{k} = 4 \, cm$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{mg}{k} = 2 \, cm$.
આમ,કંપવિસ્તાર $A = 2 \, cm = 0.02 \, m$.
$(b)$ દોલનની આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{mg}{k} = 0.02 \, m$ પરથી,આપણને $\frac{k}{m} = \frac{g}{0.02} = \frac{9.8}{0.02} = 490 \, s^{-2}$ મળે છે.
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{490} \approx \frac{22.136}{6.28} \approx 3.52 \, Hz$.

(B) સંતુલન સ્થિતિએ,બ્લોકનો વેગ મહત્તમ હોય છે,જે $V_0 = \omega_0 A = \sqrt{\frac{k}{m}} A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સંતુલન સ્થિતિએ અડધું દળ છૂટું પડે છે,ત્યારે બાકી રહેલા $m/2$ દળનો વેગ $V_0$ જેટલો જ રહે છે કારણ કે સમક્ષિતિજ દિશામાં સિસ્ટમ પર કોઈ આઘાતી બળ લાગતું નથી.
ધારો કે નવો કંપવિસ્તાર $A'$ છે. નવી કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = \sqrt{\frac{k}{m/2}} = \sqrt{\frac{2k}{m}} = \sqrt{2} \omega_0$ છે.
સંતુલન સ્થિતિએ વેગ $V_0 = \omega' A'$ હોવાથી:
$\omega_0 A = \omega' A'$
$\omega_0 A = (\sqrt{2} \omega_0) A'$
$A' = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
આમ,$f = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) આપેલ ગતિનું સમીકરણ $y = y_{0} \sin^{2} \omega t$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^{2} \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$y = \frac{y_{0}}{2} (1 - \cos 2\omega t)$
$y - \frac{y_{0}}{2} = -\frac{y_{0}}{2} \cos 2\omega t$
આ સમીકરણ સંતુલન સ્થિતિ $y_{eq} = \frac{y_{0}}{2}$ ની આસપાસ સરળ આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે,જેનો કંપવિસ્તાર $A = \frac{y_{0}}{2}$ છે.
ઉર્ધ્વ સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે,સંતુલન સ્થિતિ એ સ્પ્રિંગની ખેંચાયા વગરની સ્થિતિથી $y_{eq} = \frac{mg}{k}$ અંતરે હોય છે.
તેથી,$\frac{y_{0}}{2} = \frac{mg}{k}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{k}{m} = \frac{2g}{y_{0}}$.
દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\Omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણ $y = \frac{y_{0}}{2} - \frac{y_{0}}{2} \cos 2\omega t$ પરથી,ગતિની કોણીય આવૃત્તિ $2\omega$ છે.
આમ,$2\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{2g}{y_{0}}}$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $\omega = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2g}{y_{0}}} = \sqrt{\frac{2g}{4y_{0}}} = \sqrt{\frac{g}{2y_{0}}}$.

(C) તંત્રમાં $m = 1/4 \text{ kg}$ દળનો બ્લોક એક દોરી સાથે જોડાયેલ છે જે $M = 1 \text{ kg}$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યાની તકતી (disc) પરથી પસાર થાય છે,અને દોરીનો બીજો છેડો $K = 100 \text{ N/m}$ ના સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ છે.
ધારો કે બ્લોકનું સ્થાનાંતર $x$ છે. બ્લોકનો વેગ $v = \dot{x}$ છે. તકતીની કોણીય ઝડપ $\omega_d = v/R$ છે. સ્પ્રિંગમાં ખેંચાણ $x$ છે,તેથી સ્પ્રિંગ બળ $Kx$ છે.
તંત્રની કુલ ઉર્જા $E$ નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{2} Kx^2 + \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega_d^2 = \text{અચળ}$
તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે. આ કિંમત અને $\omega_d = v/R$ મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} Kx^2 + \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} Kx^2 + \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{4} Mv^2$
$E = \frac{1}{2} Kx^2 + \frac{1}{2} (m + \frac{M}{2}) v^2$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dE}{dt} = Kx \dot{x} + (m + \frac{M}{2}) v \dot{v} = 0$
કારણ કે $\dot{x} = v$ અને $\dot{v} = a$:
$Kxv + (m + \frac{M}{2}) va = 0$
$a = -\frac{K}{m + M/2} x$
$a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ:
$\omega = \sqrt{\frac{K}{m + M/2}}$
આપેલ કિંમતો $K = 100 \text{ N/m}$,$m = 0.25 \text{ kg}$,$M = 1 \text{ kg}$ મૂકતા:
$\omega = \sqrt{\frac{100}{0.25 + 1/2}} = \sqrt{\frac{100}{0.75}} = \sqrt{\frac{100}{3/4}} = \sqrt{\frac{400}{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \text{ rad/s}$.

(C) બ્લોક $A$ બ્લોક $B$ પર સરકે નહીં તે માટે,$A$ પર લાગતું મહત્તમ સ્યુડો બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
તંત્રનું કુલ દળ $M = m_A + m_B = 0.25 + 1.25 = 1.5 \ kg$ છે.
$SHM$ ની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{K}{M}} = \sqrt{\frac{100}{1.5}} = \sqrt{\frac{200}{3}} \ rad/s$ છે.
તંત્રનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \omega^2 A$ છે.
સરક્યા વગર ગતિ કરવાની શરત $m_A a_{max} \leq \mu m_A g$ છે,જેનું સાદું રૂપ $a_{max} \leq \mu g$ થાય છે.
$a_{max} = \omega^2 A$ મૂકતા,આપણને $\omega^2 A \leq \mu g$ મળે છે.
$A \leq \frac{\mu g}{\omega^2} = \frac{0.4 \times 10}{100 / 1.5} = \frac{4}{100 / 1.5} = \frac{4 \times 1.5}{100} = \frac{6}{100} \ m$.
$cm$ માં ફેરવતા,$A = 6 \ cm$ મળે છે.

(A) સ્પ્રિંગના શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક સ્પ્રિંગ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F$ સમાન હોય છે.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E = \frac{F^2}{2k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણીમાં રહેલી બંને સ્પ્રિંગો માટે બળ $F$ અચળ હોવાથી,સંગ્રહિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર તેમના બળ અચળાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{E_A}{E_B} = \frac{\frac{F^2}{2k_A}}{\frac{F^2}{2k_B}} = \frac{k_B}{k_A}$.
અહીં $k_A = 300 \, N/m$ અને $k_B = 400 \, N/m$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{E_A}{E_B} = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$.

(A) આપેલ આકૃતિમાં,$K_{1}$ અને $K_{2}$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં જોડાયેલી છે.
શ્રેણી જોડાણમાં સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq}$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K_{1}} + \frac{1}{K_{2}}$
$K_{eq}$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$K_{eq} = \frac{K_{1}K_{2}}{K_{1}+K_{2}}$
સ્પ્રિંગ સિસ્ટમ સાથે જોડાયેલ $m$ દળ માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}}$
$K_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{\left(\frac{K_{1}K_{2}}{K_{1}+K_{2}}\right)}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m(K_{1}+K_{2})}{K_{1}K_{2}}}$

(B) આકૃતિ $1$ માટે,એક સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનનો આવર્તકાળ નીચે મુજબ છે:
$T_a = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$
આકૃતિ $2$ માટે,બે સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે. શ્રેણીમાં જોડાયેલ બે સ્પ્રિંગ માટે સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k} = \frac{2}{k} \Rightarrow k_{eq} = \frac{k}{2}$
શ્રેણી જોડાણ માટે દોલનનો આવર્તકાળ:
$T_b = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k_{eq}}} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2M}{k}}$
હવે,ગુણોત્તર $\frac{T_b}{T_a}$ શોધો:
$\frac{T_b}{T_a} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{2M}{k}}}{2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}} = \sqrt{\frac{2M/k}{M/k}} = \sqrt{2}$
આપેલ છે કે $\frac{T_b}{T_a} = \sqrt{x}$,તેથી $\sqrt{x} = \sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મહત્તમ વેગ $v_{max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
આપેલ છે કે કણો $A$ અને $B$ ના મહત્તમ વેગ સમાન છે,તેથી $v_{max, A} = v_{max, B}$.
તેથી,$A_{1}\omega_{1} = A_{2}\omega_{2}$.
કોણીય આવૃત્તિનું સૂત્ર મૂકતા: $A_{1}\sqrt{\frac{K_{1}}{m}} = A_{2}\sqrt{\frac{K_{2}}{m}}$.
દળ $m$ સમાન હોવાથી,તે ઉડી જશે: $A_{1}\sqrt{K_{1}} = A_{2}\sqrt{K_{2}}$.
કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_{1}}{A_{2}}$ શોધવા માટે ગોઠવતા,આપણને $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \sqrt{\frac{K_{2}}{K_{1}}}$ મળે છે.
આમ,$A$ અને $B$ ના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\sqrt{\frac{K_{2}}{K_{1}}}$ છે.

(B) જ્યારે દળ $M$ સંતુલન સ્થિતિમાં હોય છે,ત્યારે તેનો વેગ મહત્તમ હોય છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$p_{i} = p_{f}$
$M v_{max} = (M + m) v^{\prime}_{max}$
$M (A \omega) = (M + m) (A^{\prime} \omega^{\prime})$
અહીં $\omega = \sqrt{\frac{k}{M}}$ અને $\omega^{\prime} = \sqrt{\frac{k}{M+m}}$ છે.
તેથી,$M A \sqrt{\frac{k}{M}} = (M + m) A^{\prime} \sqrt{\frac{k}{M+m}}$
$A \sqrt{M k} = A^{\prime} \sqrt{(M + m) k}$
$A^{\prime} = A \sqrt{\frac{M}{M+m}}$

(A) જ્યારે $K$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq}$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{K} = \frac{2}{K}$ છે.
તેથી,$K_{eq} = \frac{K}{2}$. નવો સ્પ્રિંગ અચળાંક $1/2$ ના અવયવથી બદલાય છે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{K}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K' = K/2$ સાથેનો નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{M}{K/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2M}{K}} = \sqrt{2} \times (2\pi \sqrt{\frac{M}{K}}) = \sqrt{2}T$ થાય છે.
આમ,આવર્તકાળ $\sqrt{2}$ ના અવયવથી બદલાય છે.

(C) જ્યારે $M$ દળ ધરાવતા પદાર્થને ઢળતા સમતલ પર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે બંને સ્પ્રિંગો એકસાથે સંકોચાય છે અથવા ખેંચાય છે.
સ્પ્રિંગો પદાર્થના સ્થાનાંતરની સાપેક્ષમાં સમાંતર જોડાયેલી હોવાથી,અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{eq} = k_1 + k_2 = k + k = 2k$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{K_{eq}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{2k}}$.
દોલન આવૃત્તિ $f$ એ આવર્તકાળનો વ્યસ્ત છે:
$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{2k}{M}}$.

(D) જ્યારે $m$ દળના બ્લોકને $k_1$ અને $k_2$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગો સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq} = k_1 + k_2$ થાય છે.
આ પ્રશ્નમાં,બંને સ્પ્રિંગોનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $2k$ છે.
તેથી,સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq} = 2k + 2k = 4k$ થશે.
સરળ આવર્ત દોલકનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{4k}}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$T = 2\pi \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{k}} = \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ થાય છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે,કુલ ઊર્જા $E$ એ ગતિઊર્જા $(KE)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ નો સરવાળો છે.
$E = KE + PE$
આપેલ છે કે $KE = PE$,તેથી $E = 2 \cdot PE$ અથવા $E = 2 \cdot KE$.
સ્થાનાંતર $y$ પર સ્થિતિઊર્જા $PE = \frac{1}{2} k y^2$ છે,અને કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
$KE = PE$ લેતા,$PE = \frac{1}{2} E$ મળે,તેથી $\frac{1}{2} k y^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} k A^2)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $y^2 = \frac{A^2}{2}$,અથવા $y = \frac{A}{\sqrt{2}}$ મળે.
ગતિનું સમીકરણ $y = A \sin(\omega t)$ વાપરતા,$\frac{A}{\sqrt{2}} = A \sin(\omega t)$,જેનો અર્થ છે કે $\sin(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\omega t = \frac{\pi}{4}$.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $(\frac{2\pi}{T}) t = \frac{\pi}{4}$.
$t$ માટે ઉકેલતા,$t = \frac{T}{8}$ મળે.
આને $\frac{T}{x}$ સાથે સરખાવતા,$x = 8$ મળે છે.

(D) હૂકના નિયમ મુજબ, $F = Kx$, જ્યાં $F$ એ બળ છે, $K$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે, અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે。
આપેલ છે કે $F = 10 \,\,N$ અને $x = 5 \,\,cm = 0.05 \,\,m$.
$10 = K \times 0.05 \implies K = \frac{10}{0.05} = 200 \,\,N/m$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m = 2 \,\,kg$ અને $K = 200 \,\,N/m$ મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{2}{200}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{100}} = 2 \pi \times \frac{1}{10} = \frac{2 \times 3.14}{10} = 0.628 \,\,s$.

(D) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $x(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t$.
$t = 0$ પર,$x(0) = A \sin(0) + B \cos(0) = B$. તેથી,$B = x(0)$.
વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos \omega t - B \omega \sin \omega t$.
$t = 0$ પર,$v(0) = A \omega \cos(0) - B \omega \sin(0) = A \omega$. તેથી,$A = \frac{v(0)}{\omega}$.
આપણે $x(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t$ ને $x(t) = C \cos(\omega t - \phi) = C \cos \omega t \cos \phi + C \sin \omega t \sin \phi$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માંગીએ છીએ.
$\sin \omega t$ અને $\cos \omega t$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A = C \sin \phi$ અને $B = C \cos \phi$.
વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા: $A^2 + B^2 = C^2 (\sin^2 \phi + \cos^2 \phi) = C^2$.
આમ,$C = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{\left( \frac{v(0)}{\omega} \right)^2 + x(0)^2} = \sqrt{\frac{v(0)^2}{\omega^2} + x(0)^2}$.
સહગુણકોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{A}{B} = \frac{C \sin \phi}{C \cos \phi} = \tan \phi$.
તેથી,$\tan \phi = \frac{A}{B} = \frac{v(0) / \omega}{x(0)} = \frac{v(0)}{x(0) \omega}$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = \tan^{-1} \left( \frac{v(0)}{x(0) \omega} \right)$.

(C) બે-પદાર્થ સ્પ્રિંગ-દળ સિસ્ટમની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \sqrt{\frac{k_{\text{eq}}}{\mu}}$ છે,જ્યાં $k_{\text{eq}}$ એ સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $\mu$ એ રિડ્યુસ્ડ માસ (ઘટાડેલું દળ) છે.
$1$. સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{\text{eq}}$ ની ગણતરી:
સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં જોડાયેલી છે. તેથી,$k_{\text{eq}} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$.
અહીં $k_1 = k$ અને $k_2 = 4k$ આપેલ છે,તેથી:
$k_{\text{eq}} = \frac{k \times 4k}{k + 4k} = \frac{4k^2}{5k} = \frac{4k}{5}$.
$k = 20 \, N/m$ મૂકતા:
$k_{\text{eq}} = \frac{4 \times 20}{5} = 16 \, N/m$.
$2$. રિડ્યુસ્ડ માસ $\mu$ ની ગણતરી:
$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$.
અહીં $m_1 = 200 \, g = 0.2 \, kg$ અને $m_2 = 800 \, g = 0.8 \, kg$ આપેલ છે:
$\mu = \frac{0.2 \times 0.8}{0.2 + 0.8} = \frac{0.16}{1.0} = 0.16 \, kg$.
$3$. કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ ની ગણતરી:
$\omega = \sqrt{\frac{16}{0.16}} = \sqrt{100} = 10 \, rad/s$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થનો મહત્તમ વેગ $V_{\max} = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે $V_{\max,1} = V_{\max,2}$,તેથી $\omega_1 A_1 = \omega_2 A_2$,જે સૂચવે છે કે $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\omega_2}{\omega_1}$.
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{k_2}{m_2}} \times \sqrt{\frac{m_1}{k_1}} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1} \times \frac{m_1}{m_2}}$.
અહીં $k_1 = 2k$,$k_2 = 9k$,$m_1 = 50\,g$,અને $m_2 = 100\,g$ છે.
તેથી,$\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{9k}{2k} \times \frac{50}{100}} = \sqrt{\frac{9}{2} \times \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

(A) આકૃતિ $(A)$ માટે,કુલ દળ $M = m + 2m = 3m$ છે. '$k$' અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગ સમાંતરમાં છે,તેથી અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = k + k = 2k$ થાય.
આવર્તકાળ $T_{1} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{3m}{2k}}$ મળે.
આકૃતિ $(B)$ માટે,દળ $m$ છે. '$k$' અને '$2k$' અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગ સમાંતરમાં છે,તેથી અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = k + 2k = 3k$ થાય.
આવર્તકાળ $T_{2} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{3k}}$ મળે.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{3m}{2k}}}{2\pi \sqrt{\frac{m}{3k}}} = \sqrt{\frac{3m}{2k} \cdot \frac{3k}{m}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.

(D) આકૃતિ $(a)$ માટે,સ્પ્રિંગો શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$K_{eq} = \frac{K \times 2K}{K + 2K} = \frac{2K}{3}$
દોલનનો આવર્તકાળ $T$:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2K/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3m}{2K}} = 3 \text{ s}$
આકૃતિ $(b)$ માટે,સ્પ્રિંગો સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K'_{eq}$:
$K'_{eq} = K + 2K = 3K$
દોલનનો આવર્તકાળ $T'$:
$T' = 2\pi \sqrt{\frac{m}{3K}}$
$T'$ ને $T$ વડે ભાગતા:
$\frac{T'}{T} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{m}{3K}}}{2\pi \sqrt{\frac{3m}{2K}}} = \sqrt{\frac{m}{3K} \times \frac{2K}{3m}} = \sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$
આપેલ છે કે $T = 3 \text{ s}$,તેથી:
$T' = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2} \text{ s}$
$T' = \sqrt{x} \text{ s}$ ને $T' = \sqrt{2} \text{ s}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(C) $SHM$ ની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મધ્યમાન સ્થાન પર સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે,તેથી કુલ ઉર્જા સંપૂર્ણપણે ગતિ ઉર્જા હોય છે: $E = \frac{p^2}{2m}$,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
જ્યારે મધ્યમાન સ્થાન પર દળ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે વેગ $v$ બદલાય છે,પરંતુ દળના ત્વરિત મૂકવા દરમિયાન વેગમાન $p$ સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રારંભિક દળ $m_1 = 0.9 \, kg = 900 \, g$. અંતિમ દળ $m_2 = 900 \, g + 124 \, g = 1024 \, g$.
કારણ કે $E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{p^2}{2m}$,અચળ વેગમાન $p$ માટે $A \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ થાય.
તેથી,$\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} = \sqrt{\frac{1024}{900}} = \frac{32}{30} = \frac{16}{15}$.
આપેલ છે કે $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\alpha}{\alpha-1} = \frac{16}{16-1}$.
પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $\alpha = 16$ મળે છે.

(A) સ્થિતિઊર્જા $U = 4(1 - \cos 4x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંરક્ષી બળ માટે,$F = -\frac{dU}{dx}$.
$F = -\frac{d}{dx} [4(1 - \cos 4x)] = -4(0 - (-\sin 4x) \cdot 4) = -16 \sin 4x$.
નાના દોલનો માટે,$\sin \theta \approx \theta$,તેથી $\sin 4x \approx 4x$.
આમ,$F \approx -16(4x) = -64x$.
આને $SHM$ ના બળના સમીકરણ $F = -m\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m\omega^2 = 64$ મળે છે.
આપેલ દળ $m = 4 \, kg$ હોવાથી,$4 \cdot \omega^2 = 64$,જેનો અર્થ છે કે $\omega^2 = 16$,તેથી $\omega = 4 \, rad/s$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \, s$.
આને $\frac{\pi}{K}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 2$ મળે છે.

(A) સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
ધારો કે દળ $m_1$ અને $m_2$ ના તેમના સંતુલન સ્થાનથી સ્થાનાંતર અનુક્રમે $x_1$ અને $x_2$ છે.
સ્પ્રિંગનું કુલ વિસ્તરણ $x = x_1 + x_2$ છે.
દરેક દળ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ છે.
દરેક દળ માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m_1 \frac{d^2 x_1}{dt^2} = -kx$
$m_2 \frac{d^2 x_2}{dt^2} = -kx$
આના પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{d^2 x_1}{dt^2} = -\frac{k}{m_1} x$
$\frac{d^2 x_2}{dt^2} = -\frac{k}{m_2} x$
કારણ કે $x = x_1 + x_2$,સાપેક્ષ પ્રવેગ:
$\frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{d^2 x_1}{dt^2} + \frac{d^2 x_2}{dt^2} = -k \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) x = -k \left( \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2} \right) x$
આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ $\frac{d^2 x}{dt^2} = -\omega^2 x$ છે,જ્યાં $\omega^2 = k \left( \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2} \right) = \frac{k}{\mu}$,અને $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ એ રિડ્યુસ્ડ માસ (ઘટાડેલું દળ) છે.
આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ મળે છે:
$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{\mu}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$