SHM of Spring Mass System Questions in Gujarati

(A) શરૂઆતમાં,સ્પ્રિંગ બંને દળ $m_1$ અને $m_2$ ને ટેકો આપે છે. સંતુલન સ્થિતિમાં સ્પ્રિંગમાં કુલ વિસ્તરણ $x_1$ હૂકના નિયમ દ્વારા મળે છે: $(m_1 + m_2)g = K x_1$,જેનો અર્થ છે કે $x_1 = \frac{(m_1 + m_2)g}{K}$.
જ્યારે $m_1$ ને દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેલા દળ $m_2$ માટે નવી સંતુલન સ્થિતિ $x_2$ વિસ્તરણ પર હોય છે જે આ રીતે મળે છે: $m_2 g = K x_2$,જેનો અર્થ છે કે $x_2 = \frac{m_2 g}{K}$.
તંત્ર આ નવી સંતુલન સ્થિતિની આસપાસ દોલન કરવાનું શરૂ કરે છે. જે ક્ષણે $m_1$ ને દૂર કરવામાં આવે છે,તે ક્ષણે સ્પ્રિંગ હજુ પણ $x_1$ જેટલી ખેંચાયેલી છે,પરંતુ નવી સંતુલન સ્થિતિ $x_2$ છે. દોલનનો કંપવિસ્તાર $A$ એ પ્રારંભિક વિસ્તરણ અને નવી સંતુલન સ્થિતિના વિસ્તરણ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$A = x_1 - x_2 = \frac{(m_1 + m_2)g}{K} - \frac{m_2 g}{K} = \frac{m_1 g}{K}$.

(B) સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ તેની લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $k \propto 1/l$ અથવા $kl = \text{અચળ}$.
ધારો કે સ્પ્રિંગની કુલ લંબાઈ $l$ છે અને તેનો બળ અચળાંક $k$ છે.
સ્પ્રિંગને બે ટુકડાઓમાં એવી રીતે કાપવામાં આવે છે કે એક ટુકડો બીજા કરતા બમણી લંબાઈનો છે. ધારો કે બે ટુકડાઓની લંબાઈ $l_1$ અને $l_2$ છે.
આપેલ છે કે $l_1 = 2l_2$ અને $l_1 + l_2 = l$.
$l_1$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને મળે છે $2l_2 + l_2 = l \Rightarrow 3l_2 = l \Rightarrow l_2 = l/3$.
તેથી $l_1 = 2l/3$.
$l_1 = 2l/3$ લંબાઈના લાંબા ટુકડા માટે, ધારો કે નવો બળ અચળાંક $k_1$ છે.
$k_1 l_1 = kl$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $k_1 (2l/3) = kl$.
$k_1 = k / (2/3) = (3/2)k$.

(B) તાર $k_1$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ તરીકે વર્તે છે. યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ ની વ્યાખ્યા પરથી,આપણને $k_1 = \frac{F}{\Delta L} = \frac{YA}{L}$ મળે છે.
આપેલી સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_2 = K$ છે.
તાર અને સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq}$ માટે $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ થાય.
$\frac{1}{k_{eq}} = \frac{L}{YA} + \frac{1}{K} = \frac{KL + YA}{YAK}$.
તેથી,$k_{eq} = \frac{YAK}{YA + KL}$.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m(YA + KL)}{YAK}}$ થાય.

(A) જ્યારે $M$ દળ ધરાવતા પદાર્થને ઢળતા સમતલ પર $x$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે બંને સ્પ્રિંગમાં વિકૃતિ આવે છે. એક સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી સંકોચાય છે અને બીજી $x$ જેટલી ખેંચાય છે.
દરેક સ્પ્રિંગ દ્વારા લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = -Kx$ છે.
બંને સ્પ્રિંગ સંતુલન સ્થિતિમાં પાછા લાવવા માટે એક જ દિશામાં કાર્ય કરતી હોવાથી,કુલ પુનઃસ્થાપક બળ $F_{net} = -Kx - Kx = -2Kx$ થાય છે.
તંત્રનો અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eff} = 2K$ છે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{K_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K_{eff} = 2K$ મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{2K}}$ મળે છે.
ઢળતા સમતલનો ખૂણો દોલનના આવર્તકાળને અસર કરતો નથી કારણ કે તે માત્ર પદાર્થની સંતુલન સ્થિતિ બદલે છે,પુનઃસ્થાપક બળ અચળાંક નહીં.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દોલન કરતું દળ છે અને $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે $700 \, g$ દળ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેતું દળ $m_1 = 500 \, g + 400 \, g = 900 \, g$ છે. આવર્તકાળ $T_1 = 3 \, s$ છે.
$3 = 2\pi \sqrt{\frac{900}{k}} \quad \dots (i)$
કિસ્સો $2$: જ્યારે $500 \, g$ દળ પણ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેતું દળ $m_2 = 400 \, g$ છે. ધારો કે નવો આવર્તકાળ $T_2$ છે.
$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{400}{k}} \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{3}{T_2} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{900}{k}}}{2\pi \sqrt{\frac{400}{k}}} = \sqrt{\frac{900}{400}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$
તેથી,$T_2 = 2 \, s$.

(B) જ્યારે $O$ પર રહેલા $m$ દળના કણને સ્પ્રિંગ $A$ ની દિશામાં $y$ જેટલું નાનું સ્થાનાંતર આપવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગ $A$ એ $y$ જેટલી દબાય છે. સ્પ્રિંગ $B$ અને $C$ એ $y' = y \cos 45^\circ$ જેટલી ખેંચાય છે.
$OA$ દિશામાં કણ પર લાગતું કુલ પુનઃસ્થાપક બળ:
$F_{net} = F_A + F_B \cos 45^\circ + F_C \cos 45^\circ$
$F_{net} = ky + (ky') \cos 45^\circ + (ky') \cos 45^\circ$
$F_{net} = ky + 2k(y \cos 45^\circ) \cos 45^\circ$
$F_{net} = ky + 2ky \cos^2 45^\circ = ky + 2ky(1/2) = ky + ky = 2ky$
આને $F_{net} = k_{eff} y$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k_{eff} = 2k$ મળે છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k_{eff} = 2k$ મૂકતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$ મળે છે.

(B) આપેલ આલેખ પરથી,સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ સ્થાનાંતર $y$ સાથે બદલાય છે. હાર્મોનિક ઓસિલેટરની સ્થિતિ ઊર્જા $U(y) = U_0 + \frac{1}{2}ky^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $U_0$ એ સંતુલન સ્થિતિ $(y=0)$ પરની લઘુત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા છે.
આલેખ પરથી,$y=0$ પર લઘુત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_0 = 0.01 \text{ J}$ છે.
અંતિમ સ્થિતિ $y = 20 \text{ mm} = 0.02 \text{ m}$ પર મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_{max} = 0.04 \text{ J}$ છે.
તેથી,સંતુલન સ્થિતિથી અંતિમ સ્થિતિ સુધી સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_{max} - U_0 = 0.04 \text{ J} - 0.01 \text{ J} = 0.03 \text{ J}$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં આ ફેરફાર સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા જેટલો હોય છે,જે $\frac{1}{2}kA^2$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
$0.03 = \frac{1}{2} \times k \times (0.02)^2$
$0.03 = \frac{1}{2} \times k \times 0.0004$
$0.03 = k \times 0.0002$
$k = \frac{0.03}{0.0002} = \frac{300}{2} = 150 \text{ N/m}$.

(B) શરૂઆતમાં,સ્પ્રિંગ સંતુલન સ્થિતિમાં છે: $k l = Mg \Rightarrow k = \frac{5 \times 10}{0.1} = 500 \ N/m$.
ધારો કે $h$ એ સંતુલન સ્થિતિથી બ્લોક દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સંતુલન સ્થિતિમાં કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈએ કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} k l^2 = Mgh + \frac{1}{2} k (h - l)^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \times 5 \times (2)^2 + \frac{1}{2} \times 500 \times (0.1)^2 = 5 \times 10 \times h + \frac{1}{2} \times 500 \times (h - 0.1)^2$.
$10 + 2.5 = 50h + 250(h^2 - 0.2h + 0.01)$.
$12.5 = 50h + 250h^2 - 50h + 2.5$.
$10 = 250h^2$.
$h^2 = \frac{10}{250} = \frac{1}{25}$.
$h = 0.2 \ m$.

(D) તાર એક સ્પ્રિંગ તરીકે વર્તે છે જેનો અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_1 = \frac{YA}{L}$ છે.
$k_2 = k$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ તાર સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં બે સ્પ્રિંગ માટે સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{L}{YA} + \frac{1}{k} = \frac{kL + YA}{kYA}$.
તેથી,$k_{eq} = \frac{kYA}{kL + YA}$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ છે.
$k_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m(kL + YA)}{kYA}}$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થનો મહત્તમ વેગ $v_{max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{k/m}$ છે.
આપેલ છે કે મહત્તમ વેગ સમાન છે: $A_1\omega_1 = A_2\omega_2$.
$\omega$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા: $A_1\sqrt{\frac{k_1}{m}} = A_2\sqrt{\frac{k_2}{m}}$.
દળ $m$ સમાન હોવાથી,આપણે સમીકરણને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$A_1\sqrt{k_1} = A_2\sqrt{k_2}$.
તેથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$ થાય.

(C) પ્રથમ તંત્ર (શ્રેણી જોડાણ) માટે,અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff1} = \frac{k \cdot k}{k + k} = \frac{k}{2}$ છે.
આવૃત્તિ $n_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eff1}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{2m}}$ થાય.
બીજા તંત્ર (સમાંતર જોડાણ) માટે,અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff2} = k + k = 2k$ છે.
આવૃત્તિ $n_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eff2}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2k}{m}}$ થાય.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{n_1}{n_2} = \frac{\sqrt{k/2m}}{\sqrt{2k/m}} = \sqrt{\frac{k}{2m} \cdot \frac{m}{2k}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}$,બળઅચળાંક $k = 80 \text{ N/m}$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = 2\pi \sqrt{\frac{0.2}{80}}$.
$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{400}} = 2\pi \times \frac{1}{20} = \frac{\pi}{10}$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$T = \frac{3.14}{10} = 0.314 \text{ s}$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$T \approx 0.31 \text{ s}$ મળે છે.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
અહીં $m$ અચળ હોવાથી,$f \propto \sqrt{k}$ થાય.
જ્યારે $l$ લંબાઈ અને $k$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને બે સમાન ભાગમાં કાપવામાં આવે,ત્યારે દરેક ભાગનો નવો બળ અચળાંક $k' = 2k$ થાય છે.
પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1 \propto \sqrt{k}$ છે.
નવી આવૃત્તિ $f_2 \propto \sqrt{2k}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{2k}{k}} = \sqrt{2}$.
તેથી,$f_2 = \sqrt{2} f_1$ મળે છે.

(A) સ્પ્રિંગની મૂળભૂત લંબાઈ $l$ છે. જ્યારે તેના પર $m$ દળ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે સંતુલન સ્થિતિ $O'$ સુધી પહોંચવા માટે $x_0$ જેટલી દબાય છે.
સંતુલન સ્થિતિએ,સ્પ્રિંગનું બળ પદાર્થના વજનને સંતુલિત કરે છે: $k x_0 = m g$.
$x_0 = \frac{m g}{k} = \frac{2.0 \times 10}{200} = 0.10\, m = 10\, cm$.
જ્યારે પદાર્થ $A$ કંપવિસ્તાર સાથે દોલનો કરે છે,ત્યારે પદાર્થનો મહત્તમ ઉપરની તરફનો પ્રવેગ $a_{max} = A \omega^2$ હોય છે,જ્યાં $\omega^2 = \frac{k}{m}$ છે.
જ્યારે પદાર્થ તેની ગતિના સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ હોય ત્યારે તેનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ કરતા વધી જાય,ત્યારે પદાર્થ તાસકથી અલગ થઈ જશે.
પદાર્થ તાસક સાથેનો સંપર્ક ગુમાવે તે માટેની શરત $A \omega^2 \ge g$ છે.
$\omega^2 = \frac{k}{m}$ મૂકતા,આપણને $A (\frac{k}{m}) \ge g$ મળે છે.
$A \ge \frac{m g}{k} = x_0$.
તેથી,પદાર્થને અલગ થવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ કંપવિસ્તાર $A = 10\, cm$ છે.

(D) આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ $k$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી દળરહિત સ્પ્રિંગ સાથે $M$ દળ લટકાવેલું છે.
દોલનનો આવર્તકાળ નીચે મુજબ છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ $(i)$
જ્યારે તેની સાથે બીજું $M$ દળ લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ દળ $M + M = 2M$ થાય છે,જે આકૃતિ $(b)$ માં દર્શાવેલ છે.
નવો આવર્તકાળ $T^{\prime}$ નીચે મુજબ છે:
$T^{\prime} = 2 \pi \sqrt{\frac{2M}{k}}$
$T^{\prime} = \sqrt{2} \left( 2 \pi \sqrt{\frac{M}{k}} \right)$
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$T^{\prime} = \sqrt{2} T$

(B) સ્પ્રિંગ-બ્લોક સિસ્ટમનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સ્પ્રિંગ માટે,$T \propto \sqrt{m}$ છે.
તેથી,$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \sqrt{\frac{m_{1}}{m_{2}}}$.
અહીં,$T_{1} = 3 \ s$,$m_{1} = m$,$T_{2} = 5 \ s$,અને $m_{2} = m + 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{5} = \sqrt{\frac{m}{m+1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{9}{25} = \frac{m}{m+1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $9(m + 1) = 25m \Rightarrow 9m + 9 = 25m$.
$16m = 9 \Rightarrow m = \frac{9}{16} \ kg$.

(B) સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ હૂકના નિયમ $F = kx$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
અહીં $F = 6.4 \, N$ અને $x = 0.1 \, m$ આપેલ છે,તેથી $6.4 = k(0.1)$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $k = 64 \, N/m$ મળે છે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi}{4} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{64}}$.
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{4} = 2 \sqrt{\frac{m}{64}}$.
$2$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{8} = \sqrt{\frac{m}{64}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{64} = \frac{m}{64}$.
આમ,$m = 1 \, kg$ મળે છે.

(D) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગ $= 0$ અને અંતિમ વેગ $= 0$ છે.
$mgx - \frac{1}{2} kx^2 = 0$
$x = \frac{2mg}{k}$.
જ્યારે ગોળો $x/2$ અંતર નીચે પડે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગમાં ખેંચાણ $x/2$ થાય છે.
સ્પ્રિંગ બળ $= k(x/2) = k \cdot \frac{2mg}{2k} = mg$ છે.
સ્પ્રિંગ બળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવાથી,ચોખ્ખું બળ (net force) $= 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x/2$ સ્થિતિ પર પ્રવેગ $a = 0$ છે.
નિમ્નતમ બિંદુ $(x)$ પર,ચોખ્ખું બળ $= kx - mg = k(\frac{2mg}{k}) - mg = mg$ છે.
તેથી,$ma = mg \Rightarrow a = g$ (ઉપરની તરફ).
આમ,તમામ વિધાનો સાચા છે.

(B) સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ ધરાવતી બે સમાન સ્પ્રિંગો માટે,જ્યારે તેમને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે ત્યારે સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq}$ એ $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k} = \frac{2}{k}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $k_{eq} = \frac{k}{2}$ થાય.
શ્રેણી જોડાણમાં આવર્તકાળ $T_{1} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2m}{k}}$ છે.
જ્યારે તેમને સમાંતર જોડવામાં આવે ત્યારે સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k'$ એ $k' = k + k = 2k$ થાય છે.
સમાંતર જોડાણમાં આવર્તકાળ $T_{2} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k'}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$ છે.
આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{2m}{k}}}{2 \pi \sqrt{\frac{m}{2k}}} = \sqrt{\frac{2m}{k} \cdot \frac{2k}{m}} = \sqrt{4} = 2$ થાય છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થનો મહત્તમ વેગ $v_{max} = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે દળ સમાન છે $(m_P = m_Q = m)$ અને તેમના મહત્તમ વેગ સમાન છે $(v_P = v_Q)$,
તેથી $\omega_1 A_1 = \omega_2 A_2$,જ્યાં $A_1$ અને $A_2$ એ અનુક્રમે $P$ અને $Q$ ના કંપવિસ્તાર છે.
કોણીય આવૃત્તિનું સૂત્ર મૂકતા: $\sqrt{\frac{k_1}{m}} A_1 = \sqrt{\frac{k_2}{m}} A_2$.
કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2}$ શોધવા માટે:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\sqrt{\frac{k_2}{m}}}{\sqrt{\frac{k_1}{m}}} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ગોળાને પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V\rho_L g$ લાગે છે,જ્યાં $V$ એ ગોળાનું કદ છે અને $\rho_L$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
ગોળાનું અસરકારક વજન $W_{eff} = mg - F_B = V\rho_S g - V\rho_L g = Vg(\rho_S - \rho_L)$ થાય છે,જ્યાં $\rho_S$ એ ગોળાની ઘનતા છે.
અહીં $\rho_L = \frac{1}{10}\rho_S$ હોવાથી,અસરકારક વજન $W_{eff} = Vg(\rho_S - \frac{1}{10}\rho_S) = Vg(\frac{9}{10}\rho_S) = \frac{9}{10}mg$ થાય છે.
આ અસરકારક દળ $m' = \frac{9}{10}m$ ધરાવતા તંત્રને સમાન છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{m'}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{9m}{10k}} = \sqrt{\frac{9}{10}} T$ થશે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ કરતી સ્પ્રિંગ-દળ પ્રણાલી માટે,સંતુલન સ્થાન પર મહત્તમ ઝડપ $V$ નું સૂત્ર $V = A \omega$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ એ માત્ર સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ અને દળ $m$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે કંપવિસ્તારથી સ્વતંત્ર રહે છે.
શરૂઆતનો કંપવિસ્તાર $A$ હોવાથી,પ્રારંભિક ઝડપ $V = A \omega$ છે.
જ્યારે કંપવિસ્તાર વધારીને $A' = 2A$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સંતુલન સ્થાન પર નવી મહત્તમ ઝડપ $V' = A' \omega = (2A) \omega = 2(A \omega) = 2V$ થાય છે.
તેથી,સંતુલન સ્થાનમાંથી પસાર થતી વખતે દળની ઝડપ $2V$ હશે.

(C) ગતિ કરતો બ્લોક $m_1$ સ્પ્રિંગના દબાવ દરમિયાન તેના સંપર્કમાં રહે છે,જે સમતુલ્ય તંત્રના આવર્તકાળના અડધા સમય જેટલો હોય છે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\mu}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ રિડ્યુસ્ડ માસ (ઘટાડેલું દળ) છે.
અહીં,$m_1 = 2\, kg$,$m_2 = 2\, kg$,અને $k = \pi^2\, N/m$ છે.
રિડ્યુસ્ડ માસ $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1\, kg$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\pi^2}} = 2\pi \times \frac{1}{\pi} = 2\, \sec$ મળે.
ગતિ કરતો બ્લોક સ્પ્રિંગના સંપર્કમાં રહે તે સમય $t = \frac{T}{2} = \frac{2}{2} = 1\, \sec$ થશે.

(D) કણ પર લાગતું બળ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે $U = 5x(x-4) = 5x^2 - 20x.$
$F = -\frac{d}{dx}(5x^2 - 20x) = -(10x - 20) = -10(x - 2).$
અહીં $F = -k(x - x_0)$ છે,જ્યાં $x_0 = 2\,m,$ તેથી કણ $x = 2\,m$ ના સંતુલન સ્થાનની આસપાસ સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે.
સંતુલન સ્થાન $(x = 2\,m)$ પર બળ શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ શૂન્ય છે અને કણની ઝડપ મહત્તમ છે.
$F = -10(x - 2)$ ની સરખામણી $SHM$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $F = -k(x - x_0)$ સાથે કરતા,બળ અચળાંક $k = 10\,N/m$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m = 0.1\,kg$ અને $k = 10\,N/m$ મૂકતા,
$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.1}{10}} = 2\pi \sqrt{0.01} = 2\pi(0.1) = 0.2\pi = \frac{\pi}{5}\,s.$
આમ,તમામ વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $1$. સંતુલન સ્થિતિમાં ખેંચાણ: સંતુલન સમયે,દળનું વજન સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે. $mg = kx \implies 0.2 \times 10 = 200 \times x \implies x = 0.01\,m = 1\,cm.$ તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
$2$. અખિંચાયેલી સ્થિતિમાંથી ગતિ: જ્યારે દળને અખિંચાયેલી સ્થિતિ સુધી ઉપર લઈ જઈને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે દોલનનો કંપવિસ્તાર $A$ એ સંતુલન સ્થાનાંતર $x = 1\,cm$ જેટલો હોય છે. દળ અખિંચાયેલી સ્થિતિ $(0\,cm)$ અને સૌથી નીચલા બિંદુ $(2A = 2\,cm)$ વચ્ચે દોલન કરશે. તેથી,તે ઉપર તરફ ગતિ કરતા પહેલા $2\,cm$ નીચે જશે. વિધાન $B$ સાચું છે.
$3$. દોલનની આવૃત્તિ: આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{200}{0.2}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{1000} \approx \frac{31.62}{6.28} \approx 5.03\,Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ આશરે $5\,Hz$ છે. વિધાન $C$ સાચું છે.
આમ,બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) $1$. જ્યારે લિફ્ટ $v_0$ જેટલી અચળ ઝડપથી નીચે તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે બ્લોક લિફ્ટની સાપેક્ષમાં સ્થિર છે. જ્યારે લિફ્ટ અચાનક અટકે છે,ત્યારે બ્લોક જમીનની સાપેક્ષમાં $v_0$ જેટલા પ્રારંભિક વેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
$2$. સ્પ્રિંગ-બ્લોક સિસ્ટમની સંતુલન સ્થિતિ બદલાતી નથી કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને સ્પ્રિંગ બળ સંતુલિત છે. હવે બ્લોક પાસે સંતુલન સ્થિતિમાં $v_0$ જેટલો પ્રારંભિક વેગ છે.
$3$. કંપવિસ્તાર $A$ એ $v_{max} = A\omega_0$ દ્વારા મળે છે,તેથી $A = \frac{v_0}{\omega_0}$. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$4$. બ્લોક સંતુલન સ્થિતિમાંથી ધન (નીચેની) દિશામાં ગતિ શરૂ કરતો હોવાથી,ગતિનું સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega_0 t) = \frac{v_0}{\omega_0} \sin(\omega_0 t)$ થાય છે. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$5$. $SHM$ માં મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = A\omega_0 = \frac{v_0}{\omega_0} \cdot \omega_0 = v_0$ છે. આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.
$6$. $x(t) = A \sin(\omega_0 t + \phi)$ માટે પ્રારંભિક કળા $\phi$ એ $0$ છે કારણ કે $t=0$ સમયે,$x=0$ અને $v > 0$ છે. તેથી,પ્રારંભિક કળા $\pi$ છે તે વિધાન ખોટું છે.

(D) જ્યારે નળાકાર બ્લોક સંતુલનમાં હોય,ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળ બ્લોકના વજન જેટલું હોય છે:
$F_B = mg \Rightarrow (3\rho) A y g = \rho A h g$,જ્યાં $y$ એ ડૂબેલી ઊંડાઈ છે અને $h = 60\, cm$ છે.
$3y = h \Rightarrow y = h/3 = 60/3 = 20\, cm$.
બ્લોકને પ્રવાહીમાંથી બહાર નીકળ્યા વગર તેની ડૂબેલી ઊંડાઈ કરતા વધુ ઉપર ખસેડી શકાતો નથી,તેથી મહત્તમ કંપવિસ્તાર $20\, cm$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાંથી $x$ જેટલા નાના સ્થાનાંતર માટે,પુનઃસ્થાપક બળ $F = -(\text{ઉત્પ્લાવક બળમાં ફેરફાર}) = -(A \cdot 3\rho \cdot g) x$ છે.
અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 3A\rho g$ છે.
બ્લોકનું દળ $m = \rho A h$ છે.
આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{m/k} = 2\pi \sqrt{(\rho A h) / (3A\rho g)} = 2\pi \sqrt{h / (3g)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h = 0.6\, m$ અને $g = 9.8\, m/s^2$ મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{0.6 / (3 \times 9.8)} = 2\pi \sqrt{0.6 / 29.4} = 2\pi \sqrt{1/49} = 2\pi/7\, s$.

(D) જ્યારે પ્લેટફોર્મનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ કરતા વધી જાય ત્યારે સિક્કો પ્લેટફોર્મ સાથેનો સંપર્ક ગુમાવશે.
સરળ આવર્ત ગતિમાં,પ્રવેગ $a = -\omega^2 y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ નીચેની તરફનો પ્રવેગ દોલનના સૌથી ઊંચા બિંદુએ જોવા મળે છે,જ્યાં સ્થાનાંતર $y = A$ (કંપવિસ્તાર) હોય છે.
આમ,નીચેની તરફનો પ્રવેગ $a = \omega^2 A$ છે.
સિક્કો ત્યારે સંપર્ક ગુમાવે છે જ્યારે પ્લેટફોર્મનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ $g$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોય.
$\omega^2 A \geq g$
$A \geq \frac{g}{\omega^2}$
તેથી,જ્યારે કંપવિસ્તાર $A = \frac{g}{\omega^2}$ થાય ત્યારે સિક્કો સૌપ્રથમ સૌથી ઊંચા બિંદુએ સંપર્ક ગુમાવશે.

(A) બે સ્પ્રિંગ $m$ દળ સાથે સમાંતર જોડાયેલી છે.
અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = k_1 + k_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_1 + k_2}{m}}$ ... $(i)$
જ્યારે $k_1$ અને $k_2$ બંનેને તેમના મૂળ મૂલ્યો કરતા ચાર ગણા કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવા સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_1' = 4k_1$ અને $k_2' = 4k_2$ થાય છે.
નવો અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff}' = 4k_1 + 4k_2 = 4(k_1 + k_2)$ છે.
દોલનની નવી આવૃત્તિ $f'$ એ $f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eff}'}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{4(k_1 + k_2)}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f' = 2 \times \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_1 + k_2}{m}} \right) = 2f$.

(D) મધ્યમાન સ્થાન પર સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે અને ગતિ ઉર્જા મહત્તમ હોય છે. દળ $m$ મૂકતી વખતે તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું ન હોવાથી,રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે મધ્યમાન સ્થાન પર દળ $M$ નો વેગ $v_1$ છે,અને $m$ મૂક્યા પછી તરત જ સંયુક્ત દળ $(M+m)$ નો વેગ $v_2$ છે.
વેગમાનનું સંરક્ષણ: $M v_1 = (M + m) v_2$.
$S.H.M.$ માં મહત્તમ વેગ $v_{max} = A \omega = A \sqrt{\frac{k}{m_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $v_1 = A_1 \sqrt{\frac{k}{M}}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $v_2 = A_2 \sqrt{\frac{k}{M+m}}$.
આ કિંમતોને વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$M \left( A_1 \sqrt{\frac{k}{M}} \right) = (M + m) \left( A_2 \sqrt{\frac{k}{M+m}} \right)$.
$A_1 \sqrt{M k} = A_2 \sqrt{(M+m) k}$.
$A_1 \sqrt{M} = A_2 \sqrt{M+m}$.
તેથી,$\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{M+m}{M}} = \left( \frac{M+m}{M} \right)^{\frac{1}{2}}$.

(A) $SHM$ માં પરમાણુની આવૃત્તિનું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $m$ એ સિલ્વરના એક પરમાણુનું દળ છે.
સિલ્વરના એક પરમાણુનું દળ: $m = \frac{108 \times 10^{-3} \ kg/mol}{6.02 \times 10^{23} \ mol^{-1}} \approx 1.794 \times 10^{-25} \ kg$.
આપેલ $f = 10^{12} \ s^{-1}$ માટે,$k$ શોધવા માટે સૂત્રને આ રીતે લખી શકાય: $k = m(2\pi f)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $k = (1.794 \times 10^{-25}) \times (2 \times 3.1416 \times 10^{12})^2$.
$k = (1.794 \times 10^{-25}) \times (39.478 \times 10^{24}) \approx 7.08 \ N/m$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$k = 7.1 \ N/m$ મળે છે.

(A) બ્લોક પાટિયાથી અલગ થાય તે માટે,પાટિયાનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
અલગ થવાના બિંદુએ,$SHM$ નો નીચેની તરફનો પ્રવેગ $g$ જેટલો થાય છે.
$SHM$ નો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = A \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a_{max} = g$ લેતા,આપણને $A \omega^2 = g$ મળે છે.
આપેલ આવર્તકાળ $T = 2 \ s$ માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{2} = \pi \ rad/s$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$A (\pi)^2 = g$ મળે છે.
$g = 10 \ m/s^2$ લેતા,$A \pi^2 = 10$ મળે છે.
તેથી,લઘુત્તમ કંપવિસ્તાર $A = \frac{10}{\pi^2} \ m$ છે.

(B) $1$. પ્રારંભિક સ્થિતિ: કુલ દળ $M = 2 + 2 = 4 \, kg$ છે. સંતુલન સ્થિતિમાં સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ $x_0 = \frac{Mg}{k} = \frac{4 \times 10}{200} = 0.2 \, m = 20 \, cm$ છે.
$2$. દોરો સળગાવ્યા પછી: નીચેનું દળ મુક્ત પતન કરે છે. ઉપરનું દળ નવી સંતુલન સ્થિતિની આસપાસ દોલન કરે છે. નવી સંતુલન સ્થિતિ સ્પ્રિંગની કુદરતી લંબાઈથી $x_{new} = \frac{mg}{k} = \frac{2 \times 10}{200} = 0.1 \, m = 10 \, cm$ નીચે છે.
$3$. ઉપરના દળ માટે દોલનનો કંપવિસ્તાર $A = x_0 - x_{new} = 20 \, cm - 10 \, cm = 10 \, cm$ છે.
$4$. ઉપરનું દળ મૂળ સંતુલન સ્થિતિ (કુદરતી લંબાઈથી $20 \, cm$ નીચે) થી શરૂ થાય છે અને તેની સૌથી ઊંચી સ્થિતિ (ઉપલા અંતિમ બિંદુ) પર પહોંચે છે,જે નવી સંતુલન સ્થિતિથી $10 \, cm$ ઉપર છે. આમ,તે નવી સંતુલન સ્થિતિ સુધી પહોંચવા માટે $10 \, cm$ અને ઉપલા અંતિમ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે બીજા $10 \, cm$ કાપે છે.
$5$. ઉપલા અંતિમ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{T}{2} = \frac{1}{2} \times 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = \pi \sqrt{\frac{2}{200}} = \frac{\pi}{10} \, s$ છે.
$6$. આ સમયમાં,નીચેનો પદાર્થ $h = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (\frac{\pi}{10})^2 = 5 \times \frac{10}{100} = 0.5 \, m = 50 \, cm$ અંતર કાપે છે.
$7$. ઉપરનો પદાર્થ કુદરતી લંબાઈથી $10 \, cm$ નીચે છે. નીચેનો પદાર્થ $20 \, cm$ (મૂળ સંતુલન) $+ 10 \, cm$ (દોરાની લંબાઈ) $+ 50 \, cm$ (મુક્ત પતન) $= 80 \, cm$ કુદરતી લંબાઈથી નીચે છે.
$8$. તેમની વચ્ચેનું અંતર $80 \, cm - 10 \, cm = 70 \, cm$ છે.

(D) બ્લોક પલટી ન જાય તે માટે,પલટી ખાવાની સ્થિતિમાં બ્લોકની ધાર પર ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે સ્પ્રિંગ બળ $F = Kx$ છે. સ્પ્રિંગ જોડાણની ઊંચાઈ $h = 2a/3$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ભોંયતળિયાથી $a/2$ ઊંચાઈ પર છે.
નીચેની ધાર પર સ્પ્રિંગ બળને કારણે ટોર્ક $\tau_s = F \cdot h = (Kx) \cdot (2a/3)$ છે.
તે જ ધાર પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ટોર્ક $\tau_g = mg \cdot (a/2)$ છે.
પલટી ખાવાની મર્યાદા માટે ટોર્કને સરખાવતા: $(Kx) \cdot (2a/3) = mg \cdot (a/2)$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{mg \cdot a/2}{K \cdot 2a/3} = \frac{mg}{2K} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3mg}{4K}$.
આ વિકલ્પ આપેલો ન હોવાથી,સાચો જવાબ 'કોઈ નહીં' છે.

(A) સંતુલન સ્થિતિમાં,સ્પ્રિંગમાં ખેંચાણ $x_e = M_1g/k$ છે.
જ્યારે બ્લોકને સંતુલન સ્થિતિમાંથી $x$ અંતર જેટલું નીચે ખેંચીને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે $x$ કંપવિસ્તાર સાથે સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે.
સ્પ્રિંગ દ્વારા ફ્રેમ પર લાગતું મહત્તમ ઉપરનું બળ ત્યારે મળે છે જ્યારે બ્લોક તેના સૌથી ઉચ્ચ બિંદુ પર હોય (સંતુલન સ્થિતિથી $x$ અંતર ઉપર).
આ ઉચ્ચ બિંદુ પર,સ્પ્રિંગ $(x - x_e)$ જેટલી દબાયેલી હોય છે.
સ્પ્રિંગ દ્વારા ફ્રેમ પર લાગતું ઉપરનું બળ $F_{up} = k(x - x_e)$ છે.
ફ્રેમ જમીન છોડે તે માટે,ઉપરનું બળ ફ્રેમના વજન $M_2g$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
તેથી,$k(x - x_e) = M_2g$.
$x_e = M_1g/k$ મૂકતા,આપણને $k(x - M_1g/k) = M_2g$ મળે છે.
$kx - M_1g = M_2g$.
$kx = (M_1 + M_2)g$.
$x = (M_1 + M_2)g/k$.

(C) દરેક દળ $M$ એ $k$ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલું છે. જ્યારે તેમને સ્થાનાંતરિત કરીને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક દળ અથડામણ થાય ત્યાં સુધી સ્વતંત્ર રીતે સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરે છે.
એક સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ છે.
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી અને દળો સમાન હોવાથી,અથડામણ સમયે તેઓ તેમના વેગની આપ-લે કરે છે. અસરકારક રીતે,દરેક દળ બીજા દળ સાથે અથડાય તે પહેલાં તેના દોલન ચક્રનો અડધો ભાગ પૂર્ણ કરે છે અને પછી તેની ગતિ ઉલટાવે છે.
તંત્રના દોલનનો કુલ આવર્તકાળ એ ડાબી બાજુના દળના અડધા દોલન અને જમણી બાજુના દળના અડધા દોલન માટે લાગતા સમયનો સરવાળો છે.
$T_{total} = \frac{T}{2} + \frac{T}{2} = T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$.

(C) બે દોલકોની કોણીય આવૃત્તિઓ નીચે મુજબ છે:
$\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m_1}} = \sqrt{\frac{1200}{3.0}} = 20 \ rad/s$
$\omega_2 = \sqrt{\frac{k}{m_2}} = \sqrt{\frac{1200}{27}} = \sqrt{\frac{400}{9}} = \frac{20}{3} \ rad/s$
બંને કણોને સમાન પ્રારંભિક સ્થાનાંતર $A = 10 \ cm$ થી મુક્ત કરવામાં આવે છે. સમયના વિધેય તરીકે તેમના સ્થાન $x_1(t) = A \cos(\omega_1 t)$ અને $x_2(t) = A \cos(\omega_2 t)$ છે.
તેઓ ત્યારે બાજુમાં હોય છે જ્યારે $x_1(t) = x_2(t)$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(20t) = \cos(\frac{20}{3}t)$.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $20t = 2n\pi \pm \frac{20}{3}t$. $t=0$ પછી પ્રથમ વખત માટે,આપણે ઋણ ચિહ્ન લઈએ છીએ:
$20t = 2\pi - \frac{20}{3}t$
$(20 + \frac{20}{3})t = 2\pi$
$(\frac{60+20}{3})t = 2\pi$
$\frac{80}{3}t = 2\pi$
$t = \frac{6\pi}{80} = \frac{3\pi}{40} \ s$.

(A) આપેલ સ્થિતિ ઉર્જા $U(x) = U_0(1 - \cos ax)$ છે.
નાના દોલનો માટે,આપણે $\cos ax \approx 1 - \frac{(ax)^2}{2}$ લઈ શકીએ.
તેથી,$U(x) \approx U_0(1 - (1 - \frac{a^2 x^2}{2})) = \frac{1}{2} U_0 a^2 x^2$.
આને સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = U_0 a^2$ મળે છે.
દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{U_0 a^2}{m}} = a \sqrt{\frac{U_0}{m}}$ છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega_0} = \frac{2\pi}{a} \sqrt{\frac{m}{U_0}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{a^2 U_0}}$ થાય.

(A) ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ ઢળતા સમતલને સમાંતર છે અને બ્લોકનો વેગ $\vec{v}$ પણ ઢળતા સમતલની દિશામાં છે,તેથી ચુંબકીય બળ ઢળતા સમતલને લંબ હશે.
ચુંબકીય બળ ગતિના સમતલને લંબ રૂપે લાગતું હોવાથી,તે સ્પ્રિંગના પુનઃસ્થાપક બળને અસર કરતું નથી,જે ઢળતા સમતલની દિશામાં લાગે છે.
ઢળતા સમતલ પર બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$ છે,જ્યાં $x$ એ સંતુલન સ્થિતિમાંથી સ્થાનાંતર છે.
આ કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્રની દોલનના આવર્તકાળ પર કોઈ અસર થતી નથી.

(B) શરૂઆતમાં, બ્લોકના વજનને કારણે સ્પ્રિંગ $x_0 = \frac{mg}{k}$ જેટલી સંકોચાયેલી છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a = g$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a = 2g$ થાય છે.
લિફ્ટના ફ્રેમમાં બ્લોકની નવી સંતુલન સ્થિતિ (મધ્યમાન સ્થિતિ) $x_{eq} = \frac{mg_{eff}}{k} = \frac{m(2g)}{k} = \frac{2mg}{k}$ જેટલા સંકોચન પર છે.
બ્લોક પ્રારંભિક સ્થિતિ $x_0 = \frac{mg}{k}$ થી શરૂ થાય છે અને નવી સંતુલન સ્થિતિ $x_{eq} = \frac{2mg}{k}$ તરફ જાય છે.
બ્લોક $x_0$ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી, નવી સંતુલન સ્થિતિ એ દોલનનું મધ્યમાન સ્થાન છે અને પ્રારંભિક સ્થિતિ એ અંતિમ સ્થાન છે.
દોલનનો કંપવિસ્તાર $A = x_{eq} - x_0 = \frac{2mg}{k} - \frac{mg}{k} = \frac{mg}{k}$ છે.
મહત્તમ સંકોચન બીજા અંતિમ સ્થાન પર થાય છે, જે નવી સંતુલન સ્થિતિથી $A$ અંતરે નીચે છે.
તેથી, $x_{max} = x_{eq} + A = \frac{2mg}{k} + \frac{mg}{k} = \frac{3mg}{k}$.
કિંમતો મૂકતા: $m = 1 \ kg$, $g = 10 \ m/s^2$, $k = 1000 \ N/m$.
$x_{max} = \frac{3 \times 1 \times 10}{1000} = \frac{30}{1000} \ m = 0.03 \ m = 3 \ cm$.

(D) આ ગતિ $y = 0 \ cm$ અને $y = 10 \ cm$ ની વચ્ચે સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ છે. મધ્યમાન સ્થાન $y = 5 \ cm$ પર છે.
દોલનનો કંપવિસ્તાર $A = 5 \ cm = 0.05 \ m$ છે.
આલેખ પરથી,મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $KE_{max} = 4 \ J$ મધ્યમાન સ્થાન $(y = 5 \ cm)$ પર છે.
$SHM$ માં મહત્તમ ગતિ ઊર્જાનું સૂત્ર $KE_{max} = \frac{1}{2} k A^2$ છે,જ્યાં $k = m\omega^2$.
કિંમતો મૂકતા: $4 = \frac{1}{2} k (0.05)^2$.
$4 = \frac{1}{2} k (0.0025) \implies k = \frac{8}{0.0025} = 3200 \ N/m$.
$SHM$ માં પરિણામી બળ $F = -k(y - y_{mean})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $y_{mean} = 5 \ cm = 0.05 \ m$.
$F = -3200(y - 0.05) = -3200y + 160$.
જોકે,$cm$ ના સંદર્ભમાં આપેલા વિકલ્પોને જોતા,આપણે $k_{eff} = \frac{2 KE_{max}}{A^2} = \frac{2 \times 4}{5^2} = \frac{8}{25} \ N/cm$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આમ,પરિણામી બળ $F = -\frac{8}{25}(y - 5) = \frac{8}{25}(5 - y)$ છે.

(B) ધારો કે બ્લોકને નીચેની દિશામાં $x$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે.
આ સ્થાનાંતરને કારણે,બ્લોક સાથે જોડાયેલ દોરી ખેંચાય છે,જેનાથી દરેક સ્પ્રિંગમાં $x_1$ જેટલું વિસ્તરણ થાય છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,નીચેની તરફના સ્થાનાંતર $x$ અને વિસ્તરણ $x_1$ વચ્ચેનો સંબંધ $x_1 = x \cos \theta$ છે.
બંને સ્પ્રિંગને કારણે બ્લોક પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = 2(k x_1) \cos \theta$ છે.
બળના સમીકરણમાં $x_1 = x \cos \theta$ મૂકતા,આપણને $F = 2k(x \cos \theta) \cos \theta = (2k \cos^2 \theta) x$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત પુનઃસ્થાપક બળના સમીકરણ $F = k_{eff} x$ સાથે સરખાવતા,અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = 2k \cos^2 \theta$ મળે છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k_{eff}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k \cos^2 \theta}} = 2\pi \sec \theta \sqrt{\frac{m}{2k}}$ મળે છે.

(A) ધારો કે નળાકારની લંબાઈ $L$ છે. કદ $V = AL$ છે. જ્યારે નળાકાર તેની અડધી લંબાઈ સુધી ડૂબેલો હોય, ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = (A \cdot L/2) \rho g = (V/2) \rho g$ થાય.
સંતુલન સ્થિતિમાં, સ્પ્રિંગ બળ $k x_0 = (m + M_0)g - F_B$, જ્યાં $x_0$ એ પ્રારંભિક વિસ્તરણ છે.
જ્યારે નળાકારને $x$ જેટલા નાના અંતરે નીચે તરફ સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F_{B}' = A x \rho g$ લાગે છે.
પરિણામી પુનઃસ્થાપક બળ $F_{net} = -kx - A x \rho g = -(k + A \rho g)x$ થાય.
આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ છે, જેમાં અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = k + A \rho g$ છે.
દોલનનો કંપવિસ્તાર $A_{osc}$ એ નવી સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર દ્વારા મળે છે. જ્યારે $M_0$ દળ ઉમેરવામાં આવે છે, ત્યારે સંતુલન સ્થિતિ $\Delta x = \frac{M_0 g}{k_{eff}}$ જેટલી બદલાય છે.
આમ, દોલનનો કંપવિસ્તાર $A_{osc} = \frac{M_0 g}{k + A \rho g}$ થશે.

(C) સૌ પ્રથમ,હૂકના નિયમ $F = Kx$ નો ઉપયોગ કરીને સ્પ્રિંગ અચળાંક $K$ શોધો.
અહીં $F = 6.4 \ N$ અને $x = 0.1 \ m$ આપેલ છે,તેથી $K = \frac{F}{x} = \frac{6.4}{0.1} = 64 \ N/m$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T = \frac{\pi}{4} \ s$ આપેલ હોવાથી,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\pi}{4} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{64}}$.
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{4} = 2 \sqrt{\frac{m}{64}}$ મળે છે.
$\frac{1}{8} = \sqrt{\frac{m}{64}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{64} = \frac{m}{64}$.
તેથી,$m = 1 \ kg$.

(B) ધારો કે $M$ એ બોક્સનું દળ છે અને $m$ એ દોલન કરતા પદાર્થનું દળ છે. સ્કેલ એ બોક્સ દ્વારા સ્કેલ પર લાગતું લંબબળ $N$ માપે છે.
સમગ્ર તંત્ર (બોક્સ + સ્પ્રિંગ + દળ) માટે,નીચેની તરફ લાગતું વજન $(M+m)g$ અને ઉપરની તરફ લાગતું લંબબળ $N$ છે.
દળ $m$ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,સ્પ્રિંગ દ્વારા દળ પર લાગતું બળ $F_s = m(g + a)$ છે,જ્યાં $a$ એ દળનો પ્રવેગ છે (ઉપરની દિશા ધન લેતા).
ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દળ સ્પ્રિંગ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ $F_s$ લગાડે છે,જે બોક્સમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે.
આમ,સ્કેલ પરનું કુલ લંબબળ $N = Mg + F_s = Mg + m(g + a) = (M+m)g + ma$ થાય છે.
જ્યારે પ્રવેગ $a$ તેનું મહત્તમ ધન મૂલ્ય (ઉપરની તરફ) ધરાવે ત્યારે સ્કેલનું રીડિંગ સૌથી વધુ હોય છે.
સરળ આવર્ત ગતિમાં,પ્રવેગ હંમેશા સંતુલન સ્થાન તરફ હોય છે. ન્યૂનતમ ઊંચાઈએ (સૌથી નીચેના બિંદુએ),પુનઃસ્થાપક બળ ઉપરની તરફ અને મહત્તમ હોય છે,તેથી પ્રવેગ $a$ તેનું મહત્તમ ધન મૂલ્ય ધરાવે છે.
તેથી,જ્યારે દળ તેની ન્યૂનતમ ઊંચાઈએ હોય ત્યારે સ્કેલનું રીડિંગ સૌથી વધુ હોય છે.

(C) આપેલ છે $F = 4x^{1/2}$ અને દળ $m = 100 \ g = 0.1 \ kg$.
સંતુલન સ્થિતિમાં,સ્પ્રિંગ દ્વારા લાગતું બળ બ્લોકના વજનને સંતુલિત કરે છે:
$mg = 4x_0^{1/2}$
$(0.1 \ kg)(10 \ m/s^2) = 4x_0^{1/2}$
$1 = 4x_0^{1/2}$
$x_0^{1/2} = 0.25$
$x_0 = (0.25)^2 = 0.0625 \ m$.
હવે,$x = x_0$ પર $F$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને સમાન સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_e$ શોધો:
$k_e = \left(\frac{dF}{dx}\right)_{x=x_0} = \frac{d}{dx}(4x^{1/2}) = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x_0}}$.
$x_0 = 0.0625$ મૂકતા:
$k_e = \frac{2}{\sqrt{0.0625}} = \frac{2}{0.25} = 8 \ N/m$.
કંપન આવૃત્તિ $f_n$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f_n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_e}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{8}{0.1}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{80} = \frac{4\sqrt{5}}{2\pi} \ Hz$.
આમ,વિધાન $C$ સાચું છે.

(D) ધારો કે સળિયાને નીચેની તરફ $x$ જેટલા અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે. સળિયો આડો રહેતો હોવાથી,બંને સ્પ્રિંગ સમાન અંતર $x$ જેટલી ખેંચાય છે.
પ્રથમ સ્પ્રિંગમાં પુનઃસ્થાપક બળ $F_1 = kx$ છે અને બીજી સ્પ્રિંગમાં $F_2 = 3kx$ છે.
કુલ પુનઃસ્થાપક બળ $F = F_1 + F_2 = kx + 3kx = 4kx$ થાય.
આને $F = k_{eq}x$ સાથે સરખાવતા,આપણને સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq} = 4k$ મળે છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k_{eq} = 4k$ મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{4k}}$ મળે છે.

(B) ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે. બ્લોક પરના બળ સંતુલન પરથી,તણાવ $T = mg$ મળે છે.
ગરગડીઓ અને સ્પ્રિંગ્સ માટે,ધારો કે ત્રણ સ્પ્રિંગ્સમાં વિસ્તરણ અનુક્રમે $x_1, x_2, x_3$ છે. અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eff}$ એ $x = F/K_{eff}$ સંબંધ દ્વારા નક્કી થાય છે,જ્યાં $x$ એ બ્લોકનું સ્થાનાંતર છે.
ગરગડીઓ માટેના અવરોધ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,બ્લોકનું સ્થાનાંતર $x$ એ વિસ્તરણ સાથે $x = \frac{x_1}{2} + 2x_2 + 2x_3$ તરીકે સંબંધિત છે.
દોરીમાં તણાવ $T$ આપેલ હોવાથી,સ્પ્રિંગ્સ પરના બળો $F_1 = T/2$,$F_2 = 2T$,અને $F_3 = 2T$ છે.
આમ,$x_1 = \frac{T}{2K}$,$x_2 = \frac{2T}{K}$,અને $x_3 = \frac{2T}{K}$ મળે છે.
આને અવરોધ સમીકરણમાં મૂકતા: $x = \frac{T}{4K} + \frac{4T}{K} + \frac{4T}{K} = \frac{T + 16T + 16T}{4K} = \frac{33T}{4K}$.
કારણ કે $T = mg$,તેથી $x = \frac{33mg}{4K}$. અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eff} = \frac{mg}{x} = \frac{4K}{33}$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{K_{eff}}{m}} = \sqrt{\frac{4K}{33m}}$.
સંતુલન સ્થિતિમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} K_1 x_1^2 + \frac{1}{2} K_2 x_2^2 + \frac{1}{2} K_3 x_3^2 = \frac{1}{2} K (\frac{mg}{2K})^2 + \frac{1}{2} K (\frac{2mg}{K})^2 + \frac{1}{2} K (\frac{2mg}{K})^2 = \frac{m^2g^2}{8K} + \frac{2m^2g^2}{K} + \frac{2m^2g^2}{K} = \frac{m^2g^2 + 16m^2g^2 + 16m^2g^2}{8K} = \frac{33m^2g^2}{8K}$.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,તંત્ર પર થયેલું કુલ કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{total} = \Delta KE$
દળ $x = -a$ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને $x = b$ પર ક્ષણિક અટકે છે,તેથી ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta KE = 0 - 0 = 0$ છે.
સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_s = \int_{-a}^{b} -Kx \, dx = -K \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-a}^{b} = -\frac{K}{2}(b^2 - a^2) = \frac{K}{2}(a^2 - b^2)$ છે.
ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_f = -\mu mg(a + b)$ છે,કારણ કે કુલ કાપેલું અંતર $(a + b)$ છે અને ઘર્ષણ સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
$W_{total} = W_s + W_f = 0$ લેતા:
$\frac{K}{2}(a^2 - b^2) - \mu mg(a + b) = 0$
$\frac{K}{2}(a - b)(a + b) = \mu mg(a + b)$
$a + b \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુને $(a + b)$ વડે ભાગતા:
$\frac{K}{2}(a - b) = \mu mg$
$(a - b) = \frac{2 \mu mg}{K}$
આમ,કંપવિસ્તારમાં થતો ઘટાડો $\frac{2 \mu mg}{K}$ છે.