Energy of Simple Harmonic Motion Questions in Gujarati

(D) $S.H.M.$ કરતા કણની કુલ ઊર્જા $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$
જ્યાં $m$ એ કણનું દળ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,અને $A$ એ ગતિનો કંપવિસ્તાર છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કુલ ઊર્જા $E$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગ $A^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$ નું સૂત્ર: $P.E. = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સ્થિતિઊર્જા એ સ્થાનાંતરના વર્ગ $(x^2)$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,જ્યારે સ્થાનાંતર $x$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોય ત્યારે સ્થિતિઊર્જા મહત્તમ થશે.
અહીં ગતિનો કંપવિસ્તાર $A$ હોવાથી,મહત્તમ સ્થાનાંતર $x = \pm A$ થાય.
આમ,$x = \pm A$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા મહત્તમ હોય છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની કુલ ઉર્જા $E$ એ તેની ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ નો સરવાળો છે.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $x$ પર,ગતિ ઉર્જા એ સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી છે,એટલે કે $K.E. = P.E.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $P.E. = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$ અને $K.E. = \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - x^2)$,જ્યાં $a$ એ કંપનવિસ્તાર છે.
$K.E. = P.E.$ લેતા:
$\frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - x^2) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$
$a^2 - x^2 = x^2$
$2x^2 = a^2$
$x^2 = \frac{a^2}{2}$
$x = \frac{a}{\sqrt{2}}$
$a = 4\, cm$ આપેલ હોવાથી:
$x = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\, cm$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં,કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$ અચળ રહે છે.
કુલ ઊર્જા $E = K + U$,જ્યાં $K$ એ ગતિઊર્જા છે અને $U$ એ સ્થિતિઊર્જા છે.
ગતિઊર્જા $K = K_0 \cos^2 \omega t$ તરીકે આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જાનું મહત્તમ મૂલ્ય $K_{\max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\cos^2 \omega t = 1$ હોય,તેથી $K_{\max} = K_0$.
$SHM$ ના અંતિમ સ્થાનો પર,ગતિઊર્જા શૂન્ય હોય છે અને સ્થિતિઊર્જા તેના મહત્તમ મૂલ્ય પર હોય છે.
કુલ ઊર્જા $E$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા જેટલી હોવાથી,$E = K_{\max} = K_0$.
અંતિમ સ્થાન પર,$K = 0$,તેથી $U_{\max} = E = K_0$.
આમ,સ્થિતિઊર્જાનું મહત્તમ મૂલ્ય $K_0$ છે.

(A) કણ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરે તે માટે,પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં અને સંતુલન સ્થાન તરફ હોવું જોઈએ,જે $F = -KX$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ બળ અચળાંક છે.
સ્થિતિ ઊર્જા $U(X)$ અને બળ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dX}$ છે.
આ સમીકરણનું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે $U(X) = -\int F dX = -\int (-KX) dX = \int KX dX$.
આમ,$U(X) = \frac{1}{2}KX^2 + C$. સંતુલન સ્થાન $(X=0)$ પર સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય લેતા,આપણને $C = 0$ મળે છે.
તેથી,સરળ આવર્ત ગતિ માટે સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2}KX^2$ થાય છે.

(C) ધારો કે કણનું સ્થાનાંતર $y$ છે અને કંપવિસ્તાર $a$ છે. સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે સ્થિતિઊર્જા $(U)$ અને ગતિઊર્જા $(K)$ નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$
$K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)$
પ્રશ્ન મુજબ,$U = K$:
$\frac{1}{2} m \omega^2 y^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)$
$y^2 = a^2 - y^2$
$2y^2 = a^2$
$y^2 = \frac{a^2}{2}$
$y = \frac{a}{\sqrt{2}}$

(C) $S.H.M.$ કરતા પદાર્થની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
સ્થાનાંતર $y$ પર સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} k y^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિ ઉર્જા $K = E - U = \frac{1}{2} k a^2 - \frac{1}{2} k y^2 = \frac{1}{2} k (a^2 - y^2)$ છે.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $y = \frac{a}{2}$,તેથી તેને ગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} k (a^2 - (\frac{a}{2})^2)$
$K = \frac{1}{2} k (a^2 - \frac{a^2}{4})$
$K = \frac{1}{2} k (\frac{3a^2}{4})$
$K = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} k a^2)$
કારણ કે $E = \frac{1}{2} k a^2$,તેથી $K = \frac{3E}{4}$ મળે છે.

(B) $S.H.M.$ માં રહેલા કણની સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$ છે.
કણની કુલ ઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
સ્થિતિઊર્જા અને કુલ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U}{E} = \frac{y^2}{a^2}$ થાય.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $y = \frac{a}{2}$,તેથી આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{2.5}{E} = \frac{(a/2)^2}{a^2} = \frac{a^2/4}{a^2} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$E = 2.5 \times 4 = 10 \ J$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની $y$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2}m\omega^2 y^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_{\max}$ કંપવિસ્તાર $a$ પર મળે છે,જે $U_{\max} = \frac{1}{2}m\omega^2 a^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્થિતિ ઊર્જા તેના મહત્તમ મૂલ્યના એક-ચતુર્થાંશ છે:
$U = \frac{1}{4} U_{\max}$
$U$ અને $U_{\max}$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{1}{2}m\omega^2 y^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2}m\omega^2 a^2)$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{1}{2}m\omega^2$ ને દૂર કરતા:
$y^2 = \frac{1}{4} a^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$y = \frac{a}{2}$

(C) $S.H.M.$ કરતા કણની ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર: $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)$ છે.
આપેલ છે: દળ $m = 10 \, g$,આવર્તકાળ $T = 2 \, s$,કંપવિસ્તાર $a = 10 \, cm$,અને સ્થાનાંતર $y = 5 \, cm$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \, rad/s$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} \times 10 \times (\pi)^2 \times (10^2 - 5^2)$
$K = 5 \times \pi^2 \times (100 - 25)$
$K = 5 \times \pi^2 \times 75$
$K = 375 \pi^2 \, ergs$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2}m\omega^2y^2$ છે,જ્યાં $y$ એ સ્થાનાંતર છે.
દોલકની કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2}m\omega^2a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
સ્થિતિઊર્જા અને કુલ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U}{E} = \frac{\frac{1}{2}m\omega^2y^2}{\frac{1}{2}m\omega^2a^2} = \frac{y^2}{a^2}$ થાય.
અહીં આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $y = \frac{a}{2}$,તેથી કિંમત મૂકતા:
$\frac{U}{E} = \frac{(\frac{a}{2})^2}{a^2} = \frac{\frac{a^2}{4}}{a^2} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણની સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ એ કણને તેની સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતરિત કરવા માટે પુનઃસ્થાપક બળની વિરુદ્ધ કરેલા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
સ્થિતિ ઉર્જાની ગણતરી કાર્યના સંકલન દ્વારા કરવામાં આવે છે: $PE = \int_{0}^{x} F dx = \int_{0}^{x} kx dx = \frac{1}{2}kx^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ બળ અચળાંક $k$ અને દળ $m$ સાથે $\omega^2 = \frac{k}{m}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $k = m\omega^2$.
$k$ ની આ કિંમતને સ્થિતિ ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$PE = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$.

(B) $T$ આવર્તકાળ ધરાવતી સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ છે,જેનો આવર્તકાળ પણ $T = 2\, s$ જ રહે છે.
સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t) = \frac{1}{4} k A^2 (1 - \cos(2\omega t))$ છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t) = \frac{1}{4} m A^2 \omega^2 (1 + \cos(2\omega t))$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જા બંને $2\omega$ કોણીય આવૃત્તિ સાથે બદલાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમનો આવર્તકાળ $T' = \frac{T}{2} = \frac{2\, s}{2} = 1\, s$ થાય છે.
તેથી,સ્થિતિ ઉર્જા $1\, s$ ના આવર્તકાળ સાથે સરળ આવર્ત ફેરફાર દર્શાવે છે.

(B) $S.H.M.$ માં $y$ સ્થાનાંતરે કણની સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણની કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તત્કાલીન સ્થિતિઊર્જા એ કુલ ઊર્જાના અડધી છે,તેથી $U = \frac{1}{2} E$.
સૂત્રો મૂકતા,$\frac{1}{2} m \omega^2 y^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m \omega^2 a^2)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$y^2 = \frac{a^2}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $y = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
અહીં $a = 6\, cm$ આપેલ છે,તેથી $y = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3 \times \sqrt{2} \approx 3 \times 1.414 = 4.242\, cm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,અંતર $4.2\, cm$ છે.

(B) આપેલ દળ $m = 1\,kg$ છે.
સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = 6\sin(100t + \pi/4)$ છે.
આને પ્રમાણિત સરળ આવર્ત ગતિના સમીકરણ $y = A\sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા:
કંપવિસ્તાર $A = 6\,cm = 6 \times 10^{-2}\,m$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100\,rad/s$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{\max})$ નું સૂત્ર:
$K_{\max} = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$K_{\max} = \frac{1}{2} \times 1 \times (100)^2 \times (6 \times 10^{-2})^2$.
$K_{\max} = \frac{1}{2} \times 10000 \times 36 \times 10^{-4}$.
$K_{\max} = \frac{1}{2} \times 10000 \times 0.0036$.
$K_{\max} = 0.5 \times 36 = 18\,J$.

(C) $S.H.M.$ માં,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \cos^2(\omega t) = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2 (1 + \cos(2\omega t))$ છે.
સ્થિતિઊર્જા $P.E. = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t) = \frac{1}{4} k A^2 (1 - \cos(2\omega t))$ છે.
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જા બંને $2\omega$ ની કોણીય આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે.
આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi}$ હોવાથી,ઊર્જાના દોલનની આવૃત્તિ $f' = \frac{2\omega}{2\pi} = 2f$ થાય છે.
તેથી,ગતિઊર્જાનું સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતર થવાની આવૃત્તિ $2f$ છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ કરતા કણની કુલ ઊર્જા $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{2} K a^2$
જ્યાં:
$K$ એ બળ અચળાંક (સ્પ્રિંગ અચળાંક) છે,
$a$ એ દોલનનો કંપવિસ્તાર છે.
કુલ ઊર્જા એ ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો હોવાથી,તે ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે અને તે તત્કાલીન સ્થાનાંતર $x$ પર આધાર રાખતી નથી.
તેથી,કુલ ઊર્જા માત્ર બળ અચળાંક $K$ અને કંપવિસ્તાર $a$ પર આધાર રાખે છે.

(D) $S.H.M.$ માં રહેલા કણની કુલ ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 = 80 \, J$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
સ્થાનાંતર $y$ પર સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જા અને કુલ ઉર્જાનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{U}{E} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 y^2}{\frac{1}{2} m \omega^2 a^2} = \frac{y^2}{a^2}$.
અહીં કણ મધ્યસ્થ સ્થાનથી $y = \frac{3}{4} a$ અંતરે છે:
$\frac{U}{80} = \frac{(\frac{3}{4} a)^2}{a^2} = \frac{9}{16}$.
$U$ માટે ગણતરી કરતા:
$U = 80 \times \frac{9}{16} = 5 \times 9 = 45 \, J$.

(C) સરળ આવર્ત દોલકની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નીચે મુજબ છે:
$K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$
$U = \frac{1}{2} k x^2$
મધ્યમાન સ્થાને,સ્થાનાંતર $x = 0$ હોય છે.
સમીકરણોમાં $x = 0$ મૂકતા:
$K.E. = \frac{1}{2} k A^2$ (જે મહત્તમ મૂલ્ય છે)
$U = \frac{1}{2} k (0)^2 = 0$ (જે ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે)
તેથી,મધ્યમાન સ્થાને ગતિઊર્જા મહત્તમ અને સ્થિતિઊર્જા ન્યૂનતમ હોય છે.

(C) $S.H.M.$ માં,સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ $U = \frac{1}{2} k y^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $y$ એ સ્થાનાંતર છે.
મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા અંતિમ સ્થાનો પર જોવા મળે છે,જ્યાં $y = \pm a$ હોય છે.
ગતિ ઊર્જા $K$ એ $K = \frac{1}{2} k (a^2 - y^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ગતિ ઊર્જા સરેરાશ સ્થાન (મધ્યમાન સ્થાન) પર જોવા મળે છે,જ્યાં $y = 0$ હોય છે.
મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જાના સ્થાન $(y = \pm a)$ અને મહત્તમ ગતિ ઊર્જાના સ્થાન $(y = 0)$ વચ્ચેનું સ્થાનાંતર $| \pm a - 0 | = a$ થાય છે.

(B) સરળ આવર્ત દોલકની $y$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2}m\omega^2y^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દોલકની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2}m\omega^2a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
સ્થિતિ ઉર્જા અને કુલ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U}{E} = \frac{\frac{1}{2}m\omega^2y^2}{\frac{1}{2}m\omega^2a^2} = \frac{y^2}{a^2}$ થાય છે.
આપેલ છે કે કણ તેના અંતિમ બિંદુથી અડધા અંતરે છે,તેથી સ્થાનાંતર $y = \frac{a}{2}$ છે.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા,આપણને $\frac{U}{E} = \frac{(\frac{a}{2})^2}{a^2} = \frac{a^2/4}{a^2} = \frac{1}{4}$ મળે છે.
તેથી,$U = \frac{1}{4}E$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ માં,સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા અને ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યમાન સ્થિતિએ,$x = 0$ હોય છે. આ કિંમતોને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} k (0)^2 = 0$ (ન્યૂનતમ સ્થિતિ ઊર્જા).
$K = \frac{1}{2} k (A^2 - 0^2) = \frac{1}{2} k A^2$ (મહત્તમ ગતિ ઊર્જા).
કુલ ઊર્જા $E = U + K = \frac{1}{2} k A^2$,જે ગતિ દરમિયાન હંમેશા અચળ રહે છે.
તેથી,મધ્યમાન સ્થિતિ $(x = 0)$ પર ગતિ ઊર્જા મહત્તમ હોય છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે,જેનો કંપવિસ્તાર $a$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ છે,તેની તાત્ક્ષણિક ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - x^2)$ અને સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$ છે.
એક સંપૂર્ણ આવર્તકાળ $T$ દરમિયાન,સરેરાશ ગતિઊર્જા $< E > = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - a^2 \sin^2(\omega t)) dt = \frac{1}{4}m\omega^2a^2$ મળે છે.
તે જ રીતે,સરેરાશ સ્થિતિઊર્જા $< U > = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 \sin^2(\omega t)) dt = \frac{1}{4}m\omega^2a^2$ મળે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $< E > = < U >$ છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણની કુલ ઊર્જા $(E)$ એ તેની ગતિઊર્જા $(K)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(U)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$E = K + U = \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - x^2) + \frac{1}{2}m\omega^2x^2$
$E = \frac{1}{2}m\omega^2a^2$
અહીં $m$ (દળ),$\omega$ (કોણીય આવૃત્તિ) અને $a$ (કંપવિસ્તાર) એ આપેલ સરળ આવર્ત ગતિ માટે અચળ હોવાથી,કુલ ઊર્જા અચળ રહે છે અને તે સ્થાનાંતર $x$ થી સ્વતંત્ર છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણની કુલ ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$
જ્યાં $m$ એ કણનું દળ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે,તેથી ઉર્જાના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} m \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 A^2 = \frac{2 \pi^2 m A^2}{T^2}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કુલ ઉર્જા $E$ એ કંપવિસ્તાર $A$ અને આવર્તકાળ $T$ પર આધાર રાખે છે.
સરળ આવર્ત ગતિમાં કુલ ઉર્જા દરેક સમયે અચળ રહે છે અને તે તત્કાલીન સ્થાનાંતર $x$ પર આધાર રાખતી નથી.
તેથી,વિધાન $(1)$ અને $(2)$ સાચા છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y$ સ્થાનાંતરે ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)$ છે.
ગતિ ઉર્જા અને કુલ ઉર્જાનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{K}{E} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)}{\frac{1}{2} m \omega^2 a^2} = \frac{a^2 - y^2}{a^2} = 1 - \frac{y^2}{a^2}$.
આપેલ છે કે $K = 3E/4$,તેથી:
$\frac{3E/4}{E} = 1 - \frac{y^2}{a^2}$.
$\frac{3}{4} = 1 - \frac{y^2}{a^2}$.
$\frac{y^2}{a^2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $y = a/2$ મળે છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x = a \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = a\omega \cos(\omega t)$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(a\omega \cos(\omega t))^2$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$K = \frac{1}{2}m a^2 \omega^2 \cos^2(\omega t) = \frac{1}{4}m a^2 \omega^2 (1 + \cos(2\omega t))$.
$\cos(2\omega t)$ પદ દર્શાવે છે કે ગતિઊર્જા $2\omega$ ની કોણીય આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે.
કારણ કે $\omega = 2\pi f$,તેથી ગતિઊર્જાની દોલન આવૃત્તિ $2f$ થાય છે.

(C) $SHM$ કરતા કણની કુલ ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આવર્તકાળ $T$ અચળ હોવાથી,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ પણ અચળ રહેશે.
તેથી,કુલ ઉર્જા એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે: $E \propto A^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક કંપવિસ્તાર $A$ છે અને પ્રારંભિક ઉર્જા $E$ છે. નવો કંપવિસ્તાર $A' = \frac{3}{4}A$ છે.
નવી ઉર્જા $E'$ માટે $\frac{E'}{E} = \left( \frac{A'}{A} \right)^2$ થાય.
$A'$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{E'}{E} = \left( \frac{\frac{3}{4}A}{A} \right)^2 = \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16}$ મળે.
આમ,નવી ઉર્જા $E' = \frac{9}{16}E$ થશે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિમાં,ઊર્જા ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જા વચ્ચે બદલાતી રહે છે.
જોકે,કુલ યાંત્રિક ઊર્જા,જે ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે,તે ગતિ દરમિયાન હંમેશા અચળ રહે છે.
તેથી,કણની કુલ ઊર્જા દરેક સ્થાને સમાન હોય છે.

(D) ઓસિલેટરની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E = 160 \, J$ આપેલ છે.
રેખીય હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે,હાર્મોનિક દોલન સાથે સંકળાયેલી ઊર્જા (ગતિ ઊર્જાનો ભાગ) $E_{osc} = \frac{1}{2} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $E_{osc} = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^6) \times (0.01)^2 = 10^6 \times 10^{-4} = 100 \, J$.
આ $100 \, J$ એ ઓસિલેટરની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $(K_{max})$ દર્શાવે છે.
કુલ ઊર્જા $160 \, J$ હોવાથી અને દોલનનો ભાગ $100 \, J$ હોવાથી,ત્યાં વધારાની અચળ સ્થિતિ ઊર્જા $U_0 = 160 - 100 = 60 \, J$ હોવી જોઈએ.
સ્થિતિ ઊર્જા $U(x) = U_0 + \frac{1}{2} k x^2$ મુજબ બદલાય છે.
મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા અંતિમ સ્થાનો $(x = \pm A)$ પર મળે છે,જે $U_{max} = U_0 + \frac{1}{2} k A^2 = 60 + 100 = 160 \, J$ છે.
આમ,વિધાન $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(D) આલેખ પરથી,$t = T/2$ સમયે,સ્થાનાંતર $y$ તેની નકારાત્મક અંતિમ સ્થિતિ $(-A)$ પર છે.
અંતિમ સ્થિતિ પર,કણનો વેગ શૂન્ય હોય છે $(v = 0)$.
$S$.$H$.$M$. માં કણની કુલ ઊર્જા $(E)$ એ ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ નો સરવાળો છે,જે $E = K.E. + P.E.$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$,તેથી $v = 0$ પર,$K.E. = 0$ થાય છે.
તેથી,અંતિમ સ્થિતિ પર,$E = P.E.$
આમ,$T/2$ સમયે સ્થિતિ ઊર્જા કુલ ઊર્જા જેટલી હોય છે.

(B) $S.H.M.$ કરતા કણની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે,જ્યાં $x = A \sin(\omega t + \phi)$.
$x$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $U = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t + \phi) = \frac{1}{4} k A^2 (1 - \cos(2\omega t + 2\phi))$.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે $U$ હંમેશા અ-ઋણ $(U \ge 0)$ છે અને તે સ્થાનાંતરની આવૃત્તિ કરતા બમણી આવૃત્તિ $(2\omega)$ સાથે સાઇનસૉઇડલ રીતે બદલાય છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,આલેખ $B$ એક એવું વિધેય દર્શાવે છે જે હંમેશા અ-ઋણ છે અને તેની આવૃત્તિ પ્રમાણભૂત સાઇન તરંગ કરતા બમણી છે,જે $t=0$ સમયે શૂન્યથી શરૂ થાય છે (ધારો કે $\phi = 0$).
તેથી,આલેખ $B$ સ્થિતિ ઊર્જાના સમય સાથેના ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણની સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
જ્યાં $m$ એ દળ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,અને $x$ એ સંતુલન સ્થાન $O$ થી સ્થાનાંતર છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે સ્થિતિ ઊર્જા સ્થાનાંતર $x$ સાથે પરવલયાકાર રીતે બદલાય છે.
મધ્યમાન સ્થાન $(x = 0)$ પર,સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય હોય છે.
અંતિમ સ્થાનો ($x = x_1$ અને $x = x_2$) પર,સ્થિતિ ઊર્જા મહત્તમ હોય છે.
તેથી,સ્થિતિ ઊર્જા વિરુદ્ધ સ્થાનાંતરનો આલેખ એ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $O$ પર છે,જે આલેખ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(A) $S.H.M.$ માં રહેલા કણની સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = A \cos \omega t$ મૂકતા,આપણને $U = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2 \omega t = \frac{1}{2} k A^2 \left( \frac{1 + \cos 2 \omega t}{2} \right)$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$x = A$ છે,તેથી $U$ મહત્તમ છે. આલેખ $I$ એ $t = 0$ સમયે મહત્તમ મૂલ્યથી શરૂ થતો $P.E.$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ દર્શાવે છે,જે $U \propto \cos^2 \omega t$ સમીકરણ સાથે સુસંગત છે.
સ્થાનાંતર $x$ ના વિધેય તરીકે,$U = \frac{1}{2} k x^2$,જે ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે અને તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $x = 0$ પર છે. આલેખ $III$ એ $x$ ની સાપેક્ષમાં $P.E.$ નો આ પરવલયાકાર ફેરફાર દર્શાવે છે.
આમ,આલેખ $I$ અને $III$ સાચા છે.

(A) $S.H.M.$ માં,પ્રવેગ $A$ એ $A = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ આલેખ દર્શાવે છે કે $t = 0$ સમયે $A$ ઋણ મહત્તમ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે $t = 0$ સમયે સ્થાનાંતર $x$ એ ધન મહત્તમ (અંતિમ સ્થાન) પર છે.
અંતિમ સ્થાન પર,કણનો વેગ $v$ શૂન્ય હોય છે,અને તેથી ગતિ ઊર્જા $(K.E. = \frac{1}{2}mv^2)$ શૂન્ય હોય છે.
જેમ જેમ કણ મધ્યમાન સ્થાન તરફ ગતિ કરે છે,તેમ તેની ઝડપ વધે છે અને મધ્યમાન સ્થાન પર મહત્તમ બને છે,જ્યાં પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે. આમ,જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય ત્યારે $K.E.$ મહત્તમ બને છે.
પ્રવેગ સમય $T$ માં એક સંપૂર્ણ ચક્ર પૂર્ણ કરે છે,તેથી ગતિ ઊર્જા,જે $v^2$ પર આધાર રાખે છે,તે સમાન સમય $T$ માં બે ચક્ર પૂર્ણ કરે છે. $t = 0$ સમયે શૂન્યથી શરૂ થતો,મહત્તમ સુધી પહોંચતો અને $t = T/2$ સમયે શૂન્ય પર પાછો આવતો આલેખ $S.H.M.$ માં $K.E.$ ના વર્તનને અનુરૂપ છે. આ વિકલ્પ $A$ માં આપેલા આલેખ દ્વારા યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવ્યું છે.

(A) $S.H.M.$ કરતા પદાર્થ માટે,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t + \phi)$ છે.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $K = \frac{1}{4}m A^2 \omega^2 [1 + \cos(2\omega t + 2\phi)]$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે ગતિઊર્જા $K$ સમય $t$ સાથે $S.H.M.$ કરતા બમણી આવૃત્તિ સાથે બદલાય છે અને તે હંમેશા અન-ઋણ $(K \ge 0)$ હોય છે.
આલેખ $A$ એક આવર્તનીય ફેરફાર દર્શાવે છે જેમાં $K$ હંમેશા અન-ઋણ છે,જે તારવેલા સમીકરણ સાથે સુસંગત છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં,જ્યારે કણ તેના સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ દોલન કરે છે ત્યારે તેની ગતિ ઉર્જા $(K)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ સમય સાથે બદલાય છે.
જો કે,કણની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $(E = K + U)$ ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે,જો કોઈ બાહ્ય ઘર્ષણ કે અવરોધક બળ ન હોય તો.
તેથી,સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો એક અચળ (invariant) રાશિ છે.

(C) સરળ આવર્તગતિ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(A \omega \cos(\omega t))^2 = \frac{1}{2}mA^2 \omega^2 \cos^2(\omega t)$ થાય.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$K = \frac{1}{2}mA^2 \omega^2 \left( \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2} \right) = \frac{1}{4}mA^2 \omega^2 (1 + \cos(2\omega t))$.
ગતિઊર્જાની આવૃત્તિ $\cos(2\omega t)$ પદ દ્વારા નક્કી થાય છે.
ગતિઊર્જાની કોણીય આવૃત્તિ $2\omega$ હોવાથી,નવી આવૃત્તિ $f' = \frac{2\omega}{2\pi} = 2 \left( \frac{\omega}{2\pi} \right) = 2f$ થાય.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 10 \ g$,કંપવિસ્તાર $a = 10 \ cm$,આવર્તકાળ $T = 2 \ s$,સ્થાનાંતર $y = 5 \ cm$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \ rad/s$.
સરળ આવર્તગતિ કરતા કણની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{1}{2} \times 10 \times (\pi)^2 \times (10^2 - 5^2)$.
$K = 5 \times \pi^2 \times (100 - 25)$.
$K = 5 \times \pi^2 \times 75$.
$K = 375 \pi^2 \ erg$.

(C) સરળ આવર્તગતિ કરતા પદાર્થની કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2}m\omega^2 a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $y$ પર ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - y^2)$ છે.
અહીં આપેલ છે કે સ્થાનાંતર એ કંપવિસ્તારનું અડધું છે,એટલે કે $y = a/2$.
આ કિંમત ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - (a/2)^2)$
$K = \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - a^2/4)$
$K = \frac{1}{2}m\omega^2(3a^2/4)$
$K = \frac{3}{4}(\frac{1}{2}m\omega^2 a^2)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $E = \frac{1}{2}m\omega^2 a^2$,તેથી:
$K = \frac{3}{4}E$.

(C) સરળ આવર્તગતિ કરતા કણની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - y^2)$ છે.
સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}m\omega^2y^2$ છે.
અહીં આપેલ છે કે ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જા સમાન છે $(K = U)$:
$\frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - y^2) = \frac{1}{2}m\omega^2y^2$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદ $\frac{1}{2}m\omega^2$ ને દૂર કરતા:
$a^2 - y^2 = y^2$
$a^2 = 2y^2$
$y^2 = \frac{a^2}{2}$
$y = \pm \frac{a}{\sqrt{2}}$
આમ,$y = a/\sqrt{2}$ સ્થાને ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જા સમાન થાય છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની ગતિઊર્જા $K = K_0 \cos^2(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\cos^2(\omega t)$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ હોવાથી,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = K_0$ થાય.
સરળ આવર્ત ગતિમાં,કુલ ઊર્જા $E$ અચળ રહે છે અને તે મહત્તમ ગતિઊર્જા અથવા મહત્તમ સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે.
તેથી,$E = K_{max} = K_0$.
કુલ ઊર્જા $E = K + U$ હોવાથી,જ્યાં $U$ એ સ્થિતિઊર્જા છે,આપણને મળે છે $U = E - K = K_0 - K_0 \cos^2(\omega t) = K_0 \sin^2(\omega t)$.
સ્થિતિઊર્જાનું મહત્તમ મૂલ્ય $U_{max} = K_0$ છે.
તેથી,મહત્તમ સ્થિતિઊર્જા $K_0$ અને કુલ ઊર્જા $K_0$ છે.

(A) $S.H.M.$ કરતા કણ માટે,ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - x^2)$ છે અને સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$ નું સૂત્ર $P.E. = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે કે $K.E. = P.E.$
$\frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - x^2) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$
$a^2 - x^2 = x^2$
$a^2 = 2x^2$
$x^2/a^2 = 1/2$
$x/a = 1/\sqrt{2}$
તેથી,સ્થાનાંતર અને કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $1/\sqrt{2}$ છે.

(D) મધ્યમાન સ્થિતિમાં ગતિઊર્જા એ કુલ ઊર્જા અને મધ્યમાન સ્થિતિમાં સ્થિતિઊર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે.
$K.E._{\text{mean}} = E_{\text{total}} - P.E._{\text{mean}} = 9\, J - 5\, J = 4\, J$.
મધ્યમાન સ્થિતિમાં સ્થિતિઊર્જા $5\, J$ છે અને ગતિઊર્જા મહત્તમ હોય છે,તેથી $K.E._{\text{max}} = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2 = 4\, J$.
$m = 2\, kg$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{2} \times 2 \times v_{\text{max}}^2 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $v_{\text{max}}^2 = 4$,તેથી $v_{\text{max}} = 2\, m/s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v_{\text{max}} = A \omega$,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
$A \omega = 2\, m/s$.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $A \times \frac{2\pi}{T} = 2$.
$A = 0.01\, m$ મૂકતા,આપણને મળે છે $0.01 \times \frac{2\pi}{T} = 2$.
$T = \frac{0.01 \times 2\pi}{2} = 0.01\pi = \frac{\pi}{100}\, s$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિમાં પદાર્થની કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે $AE = 2R$ અને $C$ એ મધ્યબિંદુ છે,તેથી કંપવિસ્તાર $A = R$ થાય.
કોઈપણ સ્થાન $x$ પર ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$B$ અને $D$ આગળ ગતિઊર્જા મહત્તમ મૂલ્યના ચોથા ભાગની છે:
$\frac{1}{2} k (A^2 - x^2) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} k A^2)$
$A^2 - x^2 = \frac{1}{4} A^2$
$x^2 = \frac{3}{4} A^2$
$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} A$
કારણ કે $A = R$,તેથી $B$ અને $D$ ના સ્થાન $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} R$ છે.
$B$ અને $D$ વચ્ચેનું અંતર $|x_D - x_B| = |\frac{\sqrt{3}}{2} R - (-\frac{\sqrt{3}}{2} R)| = \sqrt{3} R$ થાય.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતી સિસ્ટમમાં,કુલ ઉર્જા $(E)$ એ ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$E = K + U = \frac{1}{2} k A^2$,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
કુલ ઉર્જા કોઈપણ સમયે સ્થાનાંતર $d$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,તે ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
આલેખ $I$ એ ગતિના ગાળામાં $d$ ના તમામ મૂલ્યો માટે $y$ નું અચળ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
તેથી,આલેખ $I$ આ સંબંધને શ્રેષ્ઠ રીતે દર્શાવે છે.

(B) કણ સંતુલન સ્થાનથી ગતિ શરૂ કરતો હોવાથી,તેનું સ્થાનાંતર $x = a \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = T/12$ સમયે,સ્થાનાંતર $x = a \sin(\frac{2\pi}{T} \times \frac{T}{12}) = a \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{a}{2}$ થાય છે.
ગતિઊર્જા $(K.E.)$ $\frac{1}{2}k(a^2 - x^2)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$ $\frac{1}{2}kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K.E.}{P.E.} = \frac{a^2 - x^2}{x^2}$ છે.
$x = \frac{a}{2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{K.E.}{P.E.} = \frac{a^2 - (a/2)^2}{(a/2)^2} = \frac{a^2 - a^2/4}{a^2/4} = \frac{3a^2/4}{a^2/4} = \frac{3}{1}$ મળે છે.

(C) $S.H.M.$ કરતા સ્પ્રિંગ-દ્રવ્યમાન તંત્રની કુલ ઉર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} k A^{2}$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $A$ એ દોલનનો કંપવિસ્તાર છે.
આ સમીકરણમાં,કુલ ઉર્જા માત્ર સ્પ્રિંગ અચળાંક $(k)$ અને કંપવિસ્તાર $(A)$ પર આધાર રાખે છે.
તે સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા પદાર્થના દ્રવ્યમાન $(m)$ થી સ્વતંત્ર છે.
કારણ કે કંપવિસ્તાર $(A)$ સમાન રાખવામાં આવ્યો છે અને સ્પ્રિંગ અચળાંક $(k)$ પણ સમાન રહે છે,તેથી દ્રવ્યમાન બમણું કરવા છતાં $S.H.M.$ ની કુલ ઉર્જા અપરિવર્તિત રહેશે.

(D) $SHM$ માં રહેલા કણ માટે,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $\omega = 2\pi f$ છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t) = \frac{1}{2}m A^2 (4\pi^2 f^2) \cos^2(\omega t) = 2m\pi^2 f^2 A^2 \cos^2(\omega t)$ છે.
નિત્યસમ $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $K = m\pi^2 f^2 A^2 (1 + \cos(2\omega t))$ મળે છે.
એક ચક્ર પર $\cos(2\omega t)$ નું સરેરાશ મૂલ્ય $0$ છે,તેથી સરેરાશ ગતિઊર્જા $\langle K \rangle = m\pi^2 f^2 A^2$ છે.
તે જ રીતે,સરેરાશ સ્થિતિઊર્જા $\langle U \rangle$ પણ $m\pi^2 f^2 A^2$ છે.
ગતિઊર્જાના પદમાં $\cos(2\omega t)$ પદ છે,જે દર્શાવે છે કે ગતિઊર્જાના દોલનની આવૃત્તિ $2\omega / 2\pi = 2f$ છે.
આમ,વિધાન $(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.