સ્પ્રિંગના લીધે થતાં દોલનો સ.આ.દોલનો છે તેમ બતાવો અને આવર્તકાળનું સૂત્ર મેળવો.
સ્પ્રિંગના લીધે થતાં દોલનો સ.આ.દોલનો છે તેમ બતાવો અને આવર્તકાળનું સૂત્ર મેળવો.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર દઢ દીવાલ સાથે સ્પ્રિંગના એક છેડાને અને બીજા મુક્ત છેડા સાથે $m$ દળનો બલોક જોડેલો છે.
આ બ્લોક અને સ્પ્રિંગના તંત્રને ઘર્ષણરહિત સપાટી પર મૂક્વામાં આવેલ છે.
બ્લોકને એક બાજુએ ખેંચીને છોડી દેવામાં આવે, તો બ્લોક તેનાં મધ્યમાન સ્થાનને અનુલક્ષીને આગળ-પાછળ ગતિ કરે છે.
$x=0$એ સ્પ્રિગ સંતુલનમાં હોય ત્યારની બ્લૉકના કેન્દ્રની સ્થિતિ દર્શાવે છે.
$- A$ અને $+A$ વડે દર્શાવેલ સ્થાનો મધ્યમાન સ્થાનેથી અનુક્રમે ડાબી અને જમણી તરફના મહત્તમ સ્થાનાંતરો દર્શાવે છે.
સ્પ્રિગ માટે રોબર્ટ હૂક આપેલો નિયમ "સ્પ્રિગને વિરૂપિત કરવામાં આવે ત્યારે તેમાં પુનઃસ્થાપક બળ લાગે છે. આ
પુનઃસ્થાપકબળનું મૂલ્ય વિરૂપણ અથવા સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને તેની દિશા સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધમાં હોય છે."
ધારો કે $t$ સમયે મધ્યમાન સ્થાનેથી બ્લોકનું સ્થાનાંતર $x$ હોય, તો બ્લોકમાં ઉદ્ભવતું પુનઃસ્થાપક બળ, $F (x)=-k x... (1)$
જ્યાં $k$ સમપ્રમાણતાનો અચળાંક છે અને તેને સ્પ્રિગ અચળાંક અથવા સ્પ્રિગનો બળ અચળાંક કહે છે.
સમીકરણ $(1)$ એ સ.આ.ગ. કરતાં કણ પર લાગતાં બળના નિયમ જેવું છે. એટલે કे, સ્પ્રિગ સાથે જોડેલ બ્લૉક પરનું બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં અને સ્થાનાંતરની વિરુધ્ધમાં હોય છે જे સ.આ.ગ. ની આવશ્યક શરત છે તેથી આ બ્લોકની ગતિ સ.આ.ગ. છે.
પણ $F(x)=ma(x)$ લખતાં,
$\therefore m a(x)=k x$
$\therefore m\left(-\omega^{2} x\right)=-k x\left[\because a(x)=-\omega^{2} x\right]$
$\therefore \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$
$\therefore \frac{2 \pi}{ T }=\sqrt{\frac{k}{m}}$
$\therefore T =2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
Similar Questions
બાજુની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, જો કોઈ લીસા ઢાળ પર સરખી સ્પ્રિંગોથી કોઈ દળ ગોઠવેલું હોય તો આ દોલન કરતા તંત્રનો આવર્તકાળ કેટલો થશે ?
બાજુની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, જો કોઈ લીસા ઢાળ પર સરખી સ્પ્રિંગોથી કોઈ દળ ગોઠવેલું હોય તો આ દોલન કરતા તંત્રનો આવર્તકાળ કેટલો થશે ?
કોઈ એક સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ દ્રવ્યમાન સમક્ષિતિજ સમતલમાં કોણીય વેગ $\omega $ સાથે ઘર્ષણ કે અવમંદનરહિત દોલનો માટે મુક્ત છે. તેને $t = 0 $ એ, $x_0$ અંતર સુધી ખેંચવામાં આવે છે અને કેન્દ્ર તરફ $v_0$ , વેગથી ધક્કો મારવામાં આવે છે. પ્રાચલો , $\omega ,x-0$ અને $v_0$ નાં પદમાં પરિણામી દોલનોના કંપવિસ્તાર નક્કી કરો. (સૂચન : સમીકરણ $x = a\, cos\,(\omega t + \theta )$ સાથે શરૂઆત કરો અને નોંધ કરો કે, પ્રારંભિક વેગ ઋણ છે.)
કોઈ એક સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ દ્રવ્યમાન સમક્ષિતિજ સમતલમાં કોણીય વેગ $\omega $ સાથે ઘર્ષણ કે અવમંદનરહિત દોલનો માટે મુક્ત છે. તેને $t = 0 $ એ, $x_0$ અંતર સુધી ખેંચવામાં આવે છે અને કેન્દ્ર તરફ $v_0$ , વેગથી ધક્કો મારવામાં આવે છે. પ્રાચલો , $\omega ,x-0$ અને $v_0$ નાં પદમાં પરિણામી દોલનોના કંપવિસ્તાર નક્કી કરો. (સૂચન : સમીકરણ $x = a\, cos\,(\omega t + \theta )$ સાથે શરૂઆત કરો અને નોંધ કરો કે, પ્રારંભિક વેગ ઋણ છે.)
$k$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગના બે ટુકડા કરવામાં આવે છે,મોટા ટુકડાની લંબાઇ નાના ટુકડાની લંબાઇ કરતાં બમણી છે,તો મોટા ટુકડાનો બળ અચળાંક કેટલો થાય?
$k$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગના બે ટુકડા કરવામાં આવે છે,મોટા ટુકડાની લંબાઇ નાના ટુકડાની લંબાઇ કરતાં બમણી છે,તો મોટા ટુકડાનો બળ અચળાંક કેટલો થાય?
- [IIT 1999]
સ્પ્રિંગ અચળાંકો $k _{1}$ અને $k _{2}$ ધરાવતી બે સ્પ્રિંગો એક દળ $m$ સાથે જોડી છે. આ દળનાં દોલનોની આવૃતિ $f$ છે. જો $k _{1}$ અને $k _{2}$ નાં મૂલ્યો ચાર ગણા કરવામાં આવે, તો દોલનોની આવૃત્તિ કેટલી થશે?
સ્પ્રિંગ અચળાંકો $k _{1}$ અને $k _{2}$ ધરાવતી બે સ્પ્રિંગો એક દળ $m$ સાથે જોડી છે. આ દળનાં દોલનોની આવૃતિ $f$ છે. જો $k _{1}$ અને $k _{2}$ નાં મૂલ્યો ચાર ગણા કરવામાં આવે, તો દોલનોની આવૃત્તિ કેટલી થશે?
- [AIEEE 2007]
સ્વાધ્યાયમાં, ચાલો આપણે જ્યારે સ્પ્રિંગ ખેંચાયેલી ના હોય ત્યારની દ્રવ્યમાનની સ્થિતિને $x = 0$ લઈએ અને ડાબાથી જમણી તરફની દિશાને $X-$ અક્ષની ધન દિશા તરીકે લઈએ. દોલન કરતાં આ દ્રવ્યમાન આપણે જ્યારે સ્ટૉપવૉચ શરૂ કરીએ $(t = 0)$ તે ક્ષણે આ દ્રવ્યમાન
$(a)$ મધ્યમાન સ્થાને
$(b) $ મહત્તમ ખેંચાયેલા સ્થિતિ પર, અને
$(c)$ મહત્તમ સંકોચિત સ્થિતિ પર હોય તે દરેક કિસ્સા માટે $x$ ને $t$ ના વિધેય તરીકે દર્શાવો.
સ.આ.ગ. માટેનાં આ વિધેયો આવૃત્તિમાં, કંપવિસ્તારમાં અથવા પ્રારંભિક કાળમાં બીજા કરતાં કેવી રીતે અલગ પડે છે ?
સ્વાધ્યાયમાં, ચાલો આપણે જ્યારે સ્પ્રિંગ ખેંચાયેલી ના હોય ત્યારની દ્રવ્યમાનની સ્થિતિને $x = 0$ લઈએ અને ડાબાથી જમણી તરફની દિશાને $X-$ અક્ષની ધન દિશા તરીકે લઈએ. દોલન કરતાં આ દ્રવ્યમાન આપણે જ્યારે સ્ટૉપવૉચ શરૂ કરીએ $(t = 0)$ તે ક્ષણે આ દ્રવ્યમાન
$(a)$ મધ્યમાન સ્થાને
$(b) $ મહત્તમ ખેંચાયેલા સ્થિતિ પર, અને
$(c)$ મહત્તમ સંકોચિત સ્થિતિ પર હોય તે દરેક કિસ્સા માટે $x$ ને $t$ ના વિધેય તરીકે દર્શાવો.
સ.આ.ગ. માટેનાં આ વિધેયો આવૃત્તિમાં, કંપવિસ્તારમાં અથવા પ્રારંભિક કાળમાં બીજા કરતાં કેવી રીતે અલગ પડે છે ?