SHM of Spring Mass System Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે,કણનું દળ $m = 100 \, g = 0.1 \, kg$.
સ્થિતિઊર્જા $U = 5x(x - 4) = 5x^2 - 20x$.
કણ પર લાગતું બળ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
$F = -\frac{d}{dx}(5x^2 - 20x) = -(10x - 20) = -10(x - 2)$.
સરળ આવર્ત ગતિ માટે,સંતુલન સ્થાન ત્યાં હોય છે જ્યાં $F = 0$,તેથી $x - 2 = 0$,એટલે કે $x = 2 \, m$.
ધારો કે $x' = x - 2$,તો $F = -10x'$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $F = -kx'$ સાથે સરખાવતા,બળ અચળાંક $k = 10 \, N/m$ મળે છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = 2\pi \sqrt{\frac{0.1}{10}} = 2\pi \sqrt{0.01} = 2\pi \times 0.1 = 0.2\pi \, s$.

(A) $M$ દળ ધરાવતો પદાર્થ લીસી ઢળતી સપાટી પર બે સમાન સ્પ્રિંગો સાથે જોડાયેલ છે,જેનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ છે.
જ્યારે પદાર્થને ઢાળની દિશામાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે બંને સ્પ્રિંગો સમાંતર રીતે પુનઃસ્થાપક બળ પૂરું પાડે છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલી સ્પ્રિંગો માટે,અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{\text{eff}}$ એ વ્યક્તિગત સ્પ્રિંગ અચળાંકોનો સરવાળો છે:
$K_{\text{eff}} = k + k = 2k$
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{K_{\text{eff}}}}$
$K_{\text{eff}}$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{2k}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનની આવૃત્તિ $v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$v_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ એ સ્પ્રિંગની લંબાઈ $L$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(k \propto \frac{1}{L})$.
જ્યારે લંબાઈને એક-તૃતીયાંશ $(L' = L/3)$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k' = 3k$ થાય છે.
નવી આવૃત્તિ $v_2$ એ $v_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k'}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{3k}{m}}$ દ્વારા મળે છે.
સમીકરણમાં $v_1$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $v_2 = \sqrt{3} \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \right) = \sqrt{3} v_1$ મળે છે.
તેથી,$v_2 = \sqrt{3} v_1$.

(B) આપેલ છે: આવર્તકાળ $T = 2.0 \, s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2.0} = \pi \, rad/s$.
બ્લોક પિસ્ટનથી અલગ થાય તે માટે,પિસ્ટનનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ જેટલો હોવો જોઈએ.
સરળ આવર્ત ગતિમાં,મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a_{max} = g$ લેતા,આપણને મળે છે $g = \omega^2 A$.
તેથી,કંપવિસ્તાર $A = \frac{g}{\omega^2} = \frac{9.8}{\pi^2} \, m$.
પિસ્ટનનો મહત્તમ વેગ $v_{max} = A\omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{max} = \left( \frac{9.8}{\pi^2} \right) \times \pi = \frac{9.8}{\pi} \, m/s$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$v_{max} = \frac{9.8}{3.14} \approx 3.12 \, m/s$.

(C) શરૂઆતમાં,સ્પ્રિંગ સંતુલનમાં બંને દળ $m_1$ અને $m_2$ દ્વારા ખેંચાયેલી છે.
પ્રારંભિક વિસ્તરણ $x_i = \frac{(m_1 + m_2) g}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $m_1$ ને દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેલા દળ $m_2$ માટે નવી સંતુલન સ્થિતિ (મધ્યમાન સ્થિતિ) $x_f = \frac{m_2 g}{k}$ થાય છે.
દોલનનો કંપવિસ્તાર $A$ એ પ્રારંભિક સ્થિતિ અને નવી સંતુલન સ્થિતિ વચ્ચેનો તફાવત છે: $A = x_i - x_f$.
$A = \frac{(m_1 + m_2) g}{k} - \frac{m_2 g}{k} = \frac{m_1 g}{k}$.
કિંમતો $m_1 = 1 \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$,અને $k = 12.5 \, N/m$ મૂકતા:
$A = \frac{1 \times 10}{12.5} = \frac{10}{12.5} = 0.8 \, m$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $A = 0.8 \times 100 = 80 \, cm$.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K_{\text{eq}}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવર્તકાળ $T$ મહત્તમ હોય તે માટે,સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{\text{eq}}$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
$1$. ગોઠવણી $(a)$,$(c)$ અને $(d)$ માં,સ્પ્રિંગો સમાંતર જોડાણમાં છે. સમાંતર જોડાણ માટે,$K_{\text{eq}} = K + K = 2K$.
$2$. ગોઠવણી $(b)$ માં,સ્પ્રિંગો શ્રેણી જોડાણમાં છે. શ્રેણી જોડાણ માટે,$\frac{1}{K_{\text{eq}}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{K} = \frac{2}{K}$,જે આપે છે $K_{\text{eq}} = \frac{K}{2}$.
અહીં $\frac{K}{2} < 2K$ હોવાથી,કિસ્સા $(b)$ માં સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક ન્યૂનતમ છે.
તેથી,કિસ્સા $(b)$ માં આવર્તકાળ મહત્તમ હશે.

(B) ધારો કે નળાકાર પ્રવાહીમાં સંતુલન સ્થિતિમાં તરે છે. નળાકારનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે: $mg = F_B \Rightarrow (A l \rho_0) g = (A h \rho) g$,જ્યાં $h$ એ ડૂબેલી લંબાઈ છે. તેથી,$h = \frac{\rho_0 l}{\rho}$.
જ્યારે નળાકારને $x$ જેટલા નાના અંતરે નીચેની તરફ સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઉપરની તરફ લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F_{extra} = A x \rho g$ છે.
આ બળ પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે: $F = - (A \rho g) x$.
આને સરળ આવર્ત ગતિના સમીકરણ $F = -kx$ સાથે સરખાવતા,આપણને અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = A \rho g$ મળે છે.
નળાકારનું દળ $m = A l \rho_0$ છે.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{A l \rho_0}{A \rho g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\rho_0 l}{\rho g}}$.

(B) ઉપરની બે સ્પ્રિંગ સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{p} = k + k = 2k$ છે.
હવે,આ સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ $k$ અચળાંક ધરાવતી ત્રીજી સ્પ્રિંગ સાથે શ્રેણીમાં છે. તંત્રનો સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_{p}} + \frac{1}{k} = \frac{1}{2k} + \frac{1}{k} = \frac{1 + 2}{2k} = \frac{3}{2k}$
તેથી,$k_{eq} = \frac{2k}{3}$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$
$k_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{2k/3}} = 2 \pi \sqrt{\frac{3m}{2k}}$

(D) સંતુલન બિંદુએ,સ્પ્રિંગ બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે: $k x = m g$.
અહીં $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$ અને $x = 9.8 \,cm = 0.098 \,m$ આપેલ છે.
$k \times 0.098 = 0.1 \times 9.8$.
$k = \frac{0.98}{0.098} = 10 \,N/m$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m'}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $T = 6.28 \,s$ અને $k = 10 \,N/m$ આપેલ છે,તેથી $6.28 = 2 \times 3.14 \sqrt{\frac{m'}{10}}$.
$6.28 = 6.28 \sqrt{\frac{m'}{10}}$.
$1 = \sqrt{\frac{m'}{10}} \implies 1 = \frac{m'}{10}$.
$m' = 10 \,kg = 10,000 \,g = 10^4 \,g$.

(C) સ્પ્રિંગ-બ્લોક તંત્રનો પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે,જ્યાં $k$ એ મૂળ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગને $n$ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k' = n k$ થાય છે. અહીં $n = 4$ હોવાથી,નવો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k' = 4 k$ થશે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k'}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{4 k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T' = \frac{1}{2} \times (2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}) = \frac{T}{2}$ મળે છે.
આમ,નવો આવર્તકાળ $\frac{T}{2}$ થશે.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતના દળ $m$ માટે,આવર્તકાળ $T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 4 \, s$ છે.
જ્યારે $2 \, kg$ નું વધારાનું દળ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું દળ $(m + 2) \, kg$ થાય છે અને નવો આવર્તકાળ $T_2 = 4 + 1 = 5 \, s$ થાય છે.
આમ,$T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{m+2}{k}} = 5 \, s$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T_2}{T_1} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{m+2}{k}}}{2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}} = \sqrt{\frac{m+2}{m}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{4} = \sqrt{\frac{m+2}{m}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{25}{16} = \frac{m+2}{m}$.
$25m = 16(m + 2) \implies 25m = 16m + 32$.
$9m = 32 \implies m = \frac{32}{9} \approx 3.55 \, kg$.

(C) કણની સ્થિતિ ઊર્જા $U(x) = \alpha + 2 \beta x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ પર લાગતું બળ $F$ એ સ્થિતિ ઊર્જાના ઋણ વિકલન જેટલું હોય છે:
$F = -\frac{dU(x)}{dx} = -\frac{d}{dx}(\alpha + 2 \beta x^2) = -4 \beta x$.
આને સરળ આવર્ત ગતિ માટેના પુનઃસ્થાપક બળના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $F = -kx$ સાથે સરખાવતા,આપણને અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 4 \beta$ મળે છે.
$m$ દળ ધરાવતા કણ માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
સૂત્રમાં $k = 4 \beta$ મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{4 \beta}} = 2 \pi \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{\beta}} = \pi \sqrt{\frac{m}{\beta}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) બોર્ડ પર મૂકેલી વસ્તુ સંપર્ક ગુમાવે નહીં તે માટે,બોર્ડનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ કરતા વધવો જોઈએ નહીં.
$S.H.M.$ માં કણનો પ્રવેગ $a = -\omega^2 y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ નીચેની તરફનો પ્રવેગ સૌથી ઉપરના બિંદુએ મળે છે,જ્યાં $a_{\max} = \omega^2 A$ થાય છે.
સંપર્ક જાળવી રાખવા માટે,શરત $a_{\max} \leq g$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega^2 A \leq g$.
લઘુત્તમ આવર્તકાળ $T$ માટે,આપણે સીમાંત કિસ્સો $\omega^2 A = g$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$\omega = \frac{2 \pi}{T}$ મૂકતા,આપણને $\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^2 A = g$ મળે છે.
$\frac{4 \pi^2 A}{T^2} = g$.
$T^2 = \frac{4 \pi^2 A}{g}$.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{A}{g}}$.

(B) ધારો કે જ્યારે $m$ દળને પેન પર મૂકવામાં આવે ત્યારે સ્પ્રિંગનું સંતુલન વિસ્તરણ $x_0$ છે. સંતુલન સ્થિતિમાં,$mg = kx_0$,તેથી $x_0 = \frac{mg}{k}$.
ધારો કે જ્યારે $m$ દળ $h$ ઊંચાઈએથી પડે છે ત્યારે સ્પ્રિંગનું તેની કુદરતી લંબાઈથી મહત્તમ નીચેની તરફનું સ્થાનાંતર (મહત્તમ વિસ્તરણ) $x_1$ છે. પ્રારંભિક સ્થિતિ (પેનથી $h$ ઊંચાઈએ દળ) અને ગતિના સૌથી નીચલા બિંદુ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત લાગુ પાડતા:
પ્રારંભિક ઉર્જા (સૌથી નીચલા બિંદુની સાપેક્ષમાં સ્થિતિ ઉર્જા) = અંતિમ ઉર્જા (સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા).
$mg(h + x_1) = \frac{1}{2} kx_1^2$
$2mgh + 2mgx_1 = kx_1^2$
$kx_1^2 - 2mgx_1 - 2mgh = 0$
આ દ્વિઘાત સમીકરણને $x_1$ માટે ઉકેલતા:
$x_1 = \frac{2mg \pm \sqrt{(2mg)^2 - 4(k)(-2mgh)}}{2k} = \frac{2mg + \sqrt{4m^2g^2 + 8kmgh}}{2k} = \frac{mg}{k} + \sqrt{\frac{m^2g^2}{k^2} + \frac{2mgh}{k}}$
$x_1 = \frac{mg}{k} + \frac{mg}{k} \sqrt{1 + \frac{2hk}{mg}}$
કંપનનો કંપવિસ્તાર $A$ એ સંતુલન સ્થિતિ $x_0$ થી અંતિમ સ્થિતિ $x_1$ સુધીનું અંતર છે:
$A = x_1 - x_0 = \left( \frac{mg}{k} + \frac{mg}{k} \sqrt{1 + \frac{2hk}{mg}} \right) - \frac{mg}{k} = \frac{mg}{k} \sqrt{1 + \frac{2hk}{mg}}$

(D) જ્યારે દળ $m$ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તે ફક્ત $k$ બળ અચળાંક ધરાવતી ઉપરની સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલું હોય છે. આ અર્ધ-દોલન માટે લાગતો સમય $t_1 = \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
જ્યારે દળ $m$ નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તે ઉપરની અને નીચેની બંને સ્પ્રિંગને દબાવે છે. બંને સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ છે અને તે સમાંતર હોવાથી,અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = k + k = 2k$ થાય છે. આ અર્ધ-દોલન માટે લાગતો સમય $t_2 = \pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$ છે.
એક પૂર્ણ દોલનનો કુલ આવર્તકાળ એ બંને અર્ધ-દોલનોના સમયનો સરવાળો છે:
$T = t_1 + t_2 = \pi \sqrt{\frac{m}{k}} + \pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$.

(D) દળ-સ્પ્રિંગ તંત્રની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1 = 4 \ Hz$,તેથી $4 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$.
જ્યારે $k$ અચળાંક ધરાવતી બે સમાન સ્પ્રિંગોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq}$ એ $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k} = \frac{2}{k}$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k_{eq} = \frac{k}{2}$.
નવી આવૃત્તિ $f_2$ એ $f_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eq}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k/2}{m}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \right)$ દ્વારા મળે છે.
પ્રારંભિક આવૃત્તિનું મૂલ્ય મૂકતા,$f_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \times 4 = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \ Hz$.

(A) આ ગોઠવણીમાં,બ્લોકના સ્થાનાંતરના સંદર્ભમાં બંને સ્પ્રિંગ સમાંતર જોડાણમાં છે. જ્યારે બ્લોકને $x$ જેટલા અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે બંને સ્પ્રિંગ સમાન દિશામાં પુનઃસ્થાપક બળ લગાડે છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલી બે સ્પ્રિંગ માટે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = k_1 + k_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $k_1 = k_2 = 20\,N/m$ આપેલ છે,તેથી $k_{eff} = 20 + 20 = 40\,N/m$ થશે.
સિસ્ટમની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ $\omega = \sqrt{\frac{k_{eff}}{m}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\omega = \sqrt{\frac{40}{2}} = \sqrt{20}\,rad/s$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$T = \frac{2\pi}{\sqrt{20}} = \frac{2\pi}{2\sqrt{5}} = \frac{\pi}{\sqrt{5}}$.
આને આપેલ સમીકરણ $T = \frac{\pi}{\sqrt{x}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 5$ મળે છે.

(C) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$m$ દળ માટે $T = 1\; s$,તેથી $1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
જ્યારે દળમાં $3\; kg$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવું દળ $(m + 3)\; kg$ થાય છે અને નવો આવર્તકાળ $T' = 1 + 1 = 2\; s$ થાય છે.
આમ,$2 = 2\pi \sqrt{\frac{m + 3}{k}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T}{T'} = \frac{2\pi \sqrt{m/k}}{2\pi \sqrt{(m+3)/k}} = \frac{1}{2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sqrt{\frac{m}{m+3}} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{m}{m+3} = \frac{1}{4}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $4m = m + 3$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $3m = 3$.
તેથી,$m = 1\; kg$.

(B) દળ-સ્પ્રિંગ તંત્રની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $m$ એ બ્લોકનું દળ છે.
આપેલ છે કે બંને કિસ્સાઓ માટે સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ સમાન રહે છે,તેથી:
$\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m_1}}$ અને $\omega_2 = \sqrt{\frac{k}{m_2}}$
$\omega_2$ અને $\omega_1$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{\sqrt{k/m_2}}{\sqrt{k/m_1}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$
આપેલ કિંમતો $m_1 = 1\,kg$ અને $m_2 = 2\,kg$ મૂકતા:
$\frac{\omega_2}{\omega_1} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(A) અહીં બંને સ્પ્રિંગ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{\text{eff}} = K + K$ થશે.
$K_{\text{eff}} = 2K = 2 \times 2 = 4 \, N \, m^{-1}$.
બ્લોકનું દળ $M = 490 \, g = 0.49 \, kg$ છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{K_{\text{eff}}}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{0.49}{4}} = 2 \pi \sqrt{\frac{49}{400}} = 2 \pi \left( \frac{7}{20} \right) = \frac{7 \pi}{10} \, s$.
સમય $t = 14 \pi \, s$ માં પૂર્ણ દોલનોની સંખ્યા $N = \frac{t}{T}$ થશે.
$N = \frac{14 \pi}{7 \pi / 10} = 14 \pi \times \frac{10}{7 \pi} = 20$.

(D) સપાટી ઘર્ષણરહિત હોવાથી તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$,જ્યાં $A = 10 \, cm = 0.1 \, m$.
કોઈપણ સ્થાન $x$ પર,કુલ ઉર્જા એ સ્થિતિ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $E = \frac{1}{2} k x^2 + K(x)$.
અહીં $x = 5 \, cm = 0.05 \, m$ પર ગતિ ઉર્જા $0.25 \, J$ લેતા:
કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k (0.1)^2 = \frac{1}{2} k (0.05)^2 + 0.25$.
$\frac{1}{2} k (0.01 - 0.0025) = 0.25$
$\frac{1}{2} k (0.0075) = 0.25$
$k = \frac{0.5}{0.0075} = 66.67 \, N/m \approx 67 \, N/m$.

(D) હૂકના નિયમ મુજબ,સ્પ્રિંગનું પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ સંતુલન સ્થિતિમાંથી સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને તે વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
આ સંબંધને સમીકરણ $F = -kx$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
આમ,$F$ અને $x$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -kx$ હોવાથી,તેનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા છે જેનો ઢાળ (slope) ઋણ $(-k)$ છે.
તેથી,સાચો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે,જે વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(C) જ્યારે દળ $m$ ને જમણી બાજુ $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે $K_1$ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી દબાય છે અને $K_2$ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી ખેંચાય છે.
બંને સ્પ્રિંગ ડાબી દિશામાં પુનઃસ્થાપક બળ લગાડે છે.
કુલ પુનઃસ્થાપક બળ $F$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F = -(K_1 x + K_2 x) = -(K_1 + K_2)x$
આને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $F = -K_{eff} x$ સાથે સરખાવતા,આપણને અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eff} = K_1 + K_2$ મળે છે.
દળનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ છે:
$a = \frac{F}{m} = -\left(\frac{K_1 + K_2}{m}\right)x$
કારણ કે $a = -\omega^2 x$,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ થશે:
$\omega = \sqrt{\frac{K_1 + K_2}{m}}$
આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ મળે છે:
$T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K_1 + K_2}}$

(C) આપેલ છે: દળ $m = 5\,kg$,કંપનવિસ્તાર $A = 1\,m$,આવર્તકાળ $T = 3.14\,s = \pi\,s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નીચે મુજબ મળે છે: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2\,rad/s$.
સ્પ્રિંગ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું મહત્તમ બળ $F_{\max}$ એ દળ અને મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max}$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$F_{\max} = m \cdot a_{\max} = m \cdot (A\omega^2)$.
કિંમતો મૂકતા: $F_{\max} = 5 \times 1 \times (2)^2$.
$F_{\max} = 5 \times 4 = 20\,N$.

(A) સૌ પ્રથમ,સ્પ્રિંગની ગોઠવણીનું વિશ્લેષણ કરો. અહીં એક સ્પ્રિંગ (અચળાંક $k$) એ બીજી બે સમાંતર સ્પ્રિંગો (દરેક $k$) ના સંયોજન સાથે સમાંતરમાં છે,જે પોતે એક અન્ય સ્પ્રિંગ (અચળાંક $k$) સાથે શ્રેણીમાં છે.
$1$. ઉપરની બે સમાંતર સ્પ્રિંગોનો સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_p = k + k = 2k$ છે.
$2$. આ સંયોજન તેની નીચેની સ્પ્રિંગ (અચળાંક $k$) સાથે શ્રેણીમાં છે. આ શાખા માટે સમતુલ્ય અચળાંક $k_s$ એ $\frac{1}{k_s} = \frac{1}{2k} + \frac{1}{k} = \frac{1+2}{2k} = \frac{3}{2k}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $k_s = \frac{2k}{3}$.
$3$. આ શાખા ડાબી બાજુની $k$ અચળાંક ધરાવતી એકલ સ્પ્રિંગ સાથે સમાંતરમાં છે. આમ,કુલ સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq} = k + k_s = k + \frac{2k}{3} = \frac{5k}{3}$ થાય.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k_{eq}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k_{eq} = \frac{5k}{3}$ મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{5k/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3M}{5k}} = \pi \sqrt{4 \cdot \frac{3M}{5k}} = \pi \sqrt{\frac{12M}{5k}}$.
આપેલ સમીકરણ $\pi \sqrt{\frac{\alpha M}{5K}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 12$ મળે છે.

(A) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનોની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે અને $m$ એ દળ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,આવૃત્તિ $f_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
બીજા કિસ્સા માટે,જ્યાં દળ $9m$ છે,આવૃત્તિ $f_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{9m}}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2}$ શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરીએ:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{9m}}} = \sqrt{\frac{k}{m} \cdot \frac{9m}{k}} = \sqrt{9} = 3$.
તેથી,$\frac{f_1}{f_2}$ નું મૂલ્ય $3$ છે.

(B) આપેલ દળ $m = 0.50 \ kg$ અને બળ $F = -50x$.
સરળ આવર્ત ગતિ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $F = -kx$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $k = 50 \ N/m$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નીચે મુજબ મળે છે: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{0.5}} = \sqrt{100} = 10 \ rad/s$.
આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ મળે છે: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \ s$.
$\pi = \frac{22}{7}$ મૂકતા,આપણને $T = \frac{22}{7 \times 5} = \frac{22}{35} \ s$ મળે છે.
આની સરખામણી આપેલ આવર્તકાળ $\frac{x}{35} \ s$ સાથે કરતા,આપણને $x = 22$ મળે છે.

(C) કિસ્સો $(i)$: બ્લોક $x_0$ પર છે, જ્યાં તેનો વેગ મહત્તમ છે $(v_{max} = \omega A = \sqrt{k/M} A)$. જ્યારે $m$ દળ મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે વેગમાન સંરક્ષણ મુજબ: $M v_{max} = (M + m) v'_{max}$. તેથી, $v'_{max} = \frac{M}{M+m} \sqrt{\frac{k}{M}} A$. નવી કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = \sqrt{k/(M+m)}$ છે. $v'_{max} = \omega' A'$ હોવાથી, $A' = \frac{v'_{max}}{\omega'} = \sqrt{\frac{M}{M+m}} A$. કંપવિસ્તાર $\sqrt{\frac{M}{M+m}}$ ના ગુણાંકમાં બદલાય છે.
કિસ્સો $(ii)$: બ્લોક $x = x_0 + A$ પર છે, જ્યાં તેનો વેગ $0$ છે. $m$ દળ મૂકવાથી વેગમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી $(0)$. નવું સંતુલન સ્થાન $x_0$ જ રહે છે, અને બ્લોક સમાન કંપવિસ્તાર $A$ થી નવી આવૃત્તિ $\omega'$ સાથે દોલન શરૂ કરે છે. આમ, કંપવિસ્તાર બદલાતો નથી.
સમયગાળો: બંને કિસ્સામાં, નવો સમયગાળો $T' = 2\pi \sqrt{\frac{M+m}{k}}$ છે, જે સમાન છે.
ઉર્જા: કિસ્સા $(i)$ માં, અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણને કારણે ગતિ ઉર્જા ઘટે છે. કિસ્સા $(ii)$ માં, સ્થિતિ ઉર્જા સમાન રહે છે, અને કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
ઝડપ: કિસ્સા $(i)$ માં, $x_0$ પર ઝડપ ઘટે છે. કિસ્સા $(ii)$ માં, $x_0$ પરની ઝડપ $(v'_{max})$ મૂળ $v_{max}$ કરતા ઓછી છે કારણ કે નવો કંપવિસ્તાર સમાન છે પણ આવૃત્તિ ઓછી છે. આમ, $A, B, D$ સાચા છે.

(D) ધારો કે સ્પ્રિંગ $k_1$ માં વિસ્તરણ $x_1$ છે અને સ્પ્રિંગ $k_2$ માં વિસ્તરણ $x_2$ છે.
સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં હોવાથી,બંને સ્પ્રિંગમાં લાગતું બળ $F$ સમાન હશે.
$F = k_1 x_1 = k_2 x_2$
કુલ કંપવિસ્તાર $A$ એ બંને સ્પ્રિંગના વિસ્તરણનો સરવાળો છે:
$A = x_1 + x_2$
બળના સમીકરણ પરથી,$x_1 = \frac{F}{k_1}$ અને $x_2 = \frac{F}{k_2}$ મળે છે.
આ કિંમતોને કંપવિસ્તારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$A = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2} = F \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right) = F \left( \frac{k_1 + k_2}{k_1 k_2} \right)$
આમ,બળ $F = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} A$ મળે છે.
બિંદુ $P$ નો કંપવિસ્તાર એ પ્રથમ સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ $x_1$ છે:
$x_1 = \frac{F}{k_1} = \frac{1}{k_1} \left( \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} A \right) = \frac{k_2 A}{k_1 + k_2}$.

(A) બ્લોક-સ્પ્રિંગ સિસ્ટમ માટે દોલનની આવૃત્તિ $v_0 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ આવૃત્તિ માત્ર સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ અને બ્લોકના દળ $m$ પર આધાર રાખે છે,અને તે કોઈપણ અચળ બાહ્ય બળથી સ્વતંત્ર છે.
જ્યારે સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બ્લોક પર અચળ સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e = QE$ લાગે છે.
આ બળ બ્લોકના સંતુલન (મધ્યમાન) સ્થાનને એક નવા સ્થાન પર સ્થાનાંતરિત કરે છે જ્યાં સ્પ્રિંગ બળ વિદ્યુત બળને સંતુલિત કરે છે,એટલે કે $kx' = QE$,જ્યાં $x'$ એ મૂળ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
બળ અચળ હોવાથી,તે પુનઃસ્થાપક બળના ઢાળ (સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$) ને અસર કરતું નથી,અને તેથી દોલનની આવૃત્તિ બદલાતી નથી.
આમ,બ્લોક સમાન આવૃત્તિ સાથે પરંતુ નવા,સ્થાનાંતરિત મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ $SHM$ કરે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.

(A) ગતિનું સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $\omega = \sqrt{k/m}$.
વેગ $v(t) = A\omega \cos(\omega t)$ છે. $t=0$ સમયે,$v(0) = u_0 = A\omega$,તેથી $A = u_0/\omega$.
જ્યારે ઝડપ $0.5 u_0$ હોય,ત્યારે $A\omega \cos(\omega t) = 0.5 u_0 \implies u_0 \cos(\omega t) = 0.5 u_0 \implies \cos(\omega t) = 1/2$.
આમ,$\omega t_1 = \pi/3$,તેથી $t_1 = \frac{\pi}{3} \sqrt{\frac{m}{k}}$.
આ સમયે,કણ દીવાલ સાથે સ્થિતિસ્થાપક રીતે અથડાય છે. ઝડપ $0.5 u_0$ રહે છે પરંતુ દિશા ઉલટાય છે.
$(A)$ અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી અને સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જા સંરક્ષિત હોવાથી,કુલ ઊર્જા અચળ રહે છે. જ્યારે તે સંતુલન સ્થિતિમાં પાછો ફરે છે $(x=0)$,ત્યારે સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય હોય છે,તેથી ગતિ ઊર્જા $1/2 m u_0^2$ હોય છે. આમ,ઝડપ $u_0$ છે. (સાચું)
$(B)$ $t_1$ સમયે અથડામણ પછી,કણ પાછો ફરે છે. તે સંતુલન સ્થિતિમાં પહોંચે છે જ્યારે કળા $\omega t$ એ $\pi$ સુધી પહોંચે છે. સંતુલન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $\Delta t = (\pi - \pi/3)/\omega = (2\pi/3)/\omega$. કુલ સમય $t = \pi/3\omega + 2\pi/3\omega = \pi\omega = \pi \sqrt{m/k}$. (સાચું)

(A) ગતિ બે અલગ-અલગ સ્પ્રિંગ અચળાંકો સાથેના બે અર્ધ-દોલનોની બનેલી છે.
જ્યારે $l > l_0$ હોય,ત્યારે સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_1 = 0.009 \text{ N/m}$ છે. આ અર્ધ-દોલન માટે લાગતો સમય $t_1 = \pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$ છે.
જ્યારે $l < l_0$ હોય,ત્યારે સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_2 = 0.016 \text{ N/m}$ છે. આ અર્ધ-દોલન માટે લાગતો સમય $t_2 = \pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$ છે.
કુલ આવર્તકાળ $T = t_1 + t_2 = \pi \left( \sqrt{\frac{0.1}{0.009}} + \sqrt{\frac{0.1}{0.016}} \right)$.
$T = \pi \left( \sqrt{\frac{100}{9}} + \sqrt{\frac{100}{16}} \right) = \pi \left( \frac{10}{3} + \frac{10}{4} \right)$.
$T = \pi \left( 3.333 + 2.5 \right) = 5.833 \pi \text{ s}$.
આપેલ છે કે $T = n \pi$,તેથી $n = 5.833$.
$n$ ની સૌથી નજીકનો પૂર્ણાંક $6$ છે.

(C) બળ $F = -20x + 10 = -20(x - 0.5)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ધારો કે $X = x - 0.5$. તેથી $F = -20X$. આ સંતુલન સ્થાન $x_0 = 0.5 \ m$ ની આસપાસ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ દર્શાવે છે.
$F = -m\omega^2 X$ સાથે સરખાવતા,$m\omega^2 = 20$ મળે. $m = 5 \ kg$ હોવાથી,$\omega^2 = 4$,તેથી $\omega = 2 \ rad/s$.
કંપવિસ્તાર $A$ એ સંતુલન સ્થાનથી શરૂઆતના બિંદુ સુધીનું અંતર છે. $t = 0$ સમયે,$x = 1 \ m$,તેથી $A = |1 - 0.5| = 0.5 \ m$.
ગતિનું સમીકરણ $X(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ છે. $t = 0$ સમયે,$X = 0.5$,તેથી $0.5 = 0.5 \cos(\phi) \Rightarrow \phi = 0$.
આમ,$x(t) = 0.5 + 0.5 \cos(2t)$.
$t = \pi/4 \ s$ સમયે,$x = 0.5 + 0.5 \cos(2 \cdot \pi/4) = 0.5 + 0.5 \cos(\pi/2) = 0.5 + 0 = 0.5 \ m$.
વેગ $v = dx/dt = -0.5 \cdot 2 \sin(2t) = -1 \sin(2t)$ છે.
$t = \pi/4 \ s$ સમયે,$v = -1 \sin(\pi/2) = -1 \ m/s$.
વેગમાન $p = mv = 5 \times (-1) = -5 \ kg \ m/s$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થનો મહત્તમ વેગ $V_{max} = A \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
$k$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા $m$ દળ માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
આપેલ છે કે દળ સમાન છે $(m_A = m_B = m)$ અને કંપવિસ્તાર સમાન છે $(A_A = A_B = A_0)$,તેથી મહત્તમ વેગ:
$V_A = A_0 \omega_A = A_0 \sqrt{\frac{k_1}{m}}$
$V_B = A_0 \omega_B = A_0 \sqrt{\frac{k_2}{m}}$
$A$ ના મહત્તમ વેગ અને $B$ ના મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_A}{V_B} = \frac{A_0 \sqrt{\frac{k_1}{m}}}{A_0 \sqrt{\frac{k_2}{m}}} = \sqrt{\frac{k_1}{k_2}}$.

(C) બંને બ્લોક સાથે ગતિ કરતા હોવાથી,તંત્ર એક જ દળ $(M + m)$ તરીકે વર્તે છે. દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M + m}{k}}$ થાય. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$(B)$ પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ છે. કુલ દળ $(M + m)$ હોવાથી,પ્રવેગ $a = \frac{F}{M + m} = -\frac{kx}{M + m}$ થાય. તેનું મૂલ્ય $a = \frac{kx}{M + m}$ છે. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
$(C)$ $m$ દળનો ઉપરનો બ્લોક સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f$ ને કારણે $a = \frac{kx}{M + m}$ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે. તેથી,$f = ma = \frac{mkx}{M + m}$. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
$(D)$ ઉપરનો બ્લોક સરકે નહીં તે માટે,ઘર્ષણ બળ સીમાંત ઘર્ષણ $f \le \mu mg$ કરતા ઓછું અથવા સમાન હોવું જોઈએ. મહત્તમ કંપવિસ્તાર $A$ પર,$f_{max} = m \cdot a_{max} = m \cdot \frac{kA}{M + m}$. $f_{max} = \mu mg$ લેતા,આપણને $\frac{mkA}{M + m} = \mu mg$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $A = \frac{\mu g(M + m)}{k}$ થાય છે. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
$(E)$ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ ખરેખર $\mu mg$ છે. તેથી,$(E)$ સાચું છે.

(B) આપેલ છે:
સ્પ્રિંગની કુદરતી લંબાઈ $L = 2 \ m$
બ્લોકનું દળ $m = 2 \ kg$
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 200 \ N/m$
પ્રારંભિક સંકોચન $x_i = L - 1 = 2 - 1 = 1 \ m$
દીવાલથી $x$ અંતરે અંતિમ સંકોચન $x_f = L - x = (2 - x) \ m$
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
બ્લોકને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી $K_i = 0$.
$0 + \frac{1}{2} k x_i^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x_f^2$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} k (x_i^2 - x_f^2)$
$m v^2 = k (x_i^2 - x_f^2)$
કિંમતો મૂકતા:
$2 \times v^2 = 200 \times [1^2 - (2 - x)^2]$
$v^2 = 100 \times [1 - (2 - x)^2]$
$v = 10 \sqrt{1 - (2 - x)^2} \ m/s$
$v = 10 [1 - (2 - x)^2]^{1/2} \ m/s$

(B) દોલિત સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ રેતી બહાર નીકળે છે,તેમ તંત્રનું દળ $m$ સમય સાથે ઘટે છે.
કારણ કે $m$ ઘટે છે,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ સમય સાથે વધવી જોઈએ.
તંત્રની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ રેતી બહાર નીકળે છે,તેમ તંત્રમાંથી બહાર જતું દળ પોતાની સાથે થોડી ગતિ ઉર્જા લઈ જાય છે,જેના કારણે દોલિત તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
કારણ કે કુલ ઉર્જા $E$ ઘટે છે અને સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ અચળ રહે છે,તેથી કંપવિસ્તાર $A$ સમય સાથે ઘટવો જોઈએ.
તેથી,$\omega(t)$ વધે છે અને $A(t)$ સમય સાથે ઘટે છે,જે વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(D) આપેલ છે કે દળ સમાન છે,$m_P = m_Q = m$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં કણની મહત્તમ ઝડપ $V_{\text{max}} = A \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
કોણીય આવૃત્તિનું સૂત્ર $\omega = \sqrt{k/m}$ છે.
આપેલ છે કે $(V_{\text{max}})_P = (V_{\text{max}})_Q$,તેથી $A_P \omega_P = A_Q \omega_Q$.
$\omega$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $A_P \sqrt{k_1 / m} = A_Q \sqrt{k_2 / m}$.
બંને માટે $m$ સમાન હોવાથી,આપણે $\sqrt{m}$ ને બંને બાજુથી દૂર કરી શકીએ છીએ:
$A_P \sqrt{k_1} = A_Q \sqrt{k_2}$.
ગુણોત્તર $A_Q / A_P$ શોધવા માટે ગોઠવતા,આપણને મળે છે $A_Q / A_P = \sqrt{k_1} / \sqrt{k_2} = \sqrt{k_1 / k_2}$.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$T_1 = 6 \ s$,તેથી $6 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
જ્યારે દળમાં $6 \ kg$ નો વધારો કરવામાં આવે,ત્યારે નવું દળ $(m + 6) \ kg$ થાય છે અને નવો આવર્તકાળ $T_2 = 6 + 3 = 9 \ s$ થાય છે.
આમ,$9 = 2\pi \sqrt{\frac{m+6}{k}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{6}{9} = \sqrt{\frac{m}{m+6}}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2}{3} = \sqrt{\frac{m}{m+6}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4}{9} = \frac{m}{m+6}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $4(m + 6) = 9m$.
$4m + 24 = 9m$.
$5m = 24$.
$m = 4.8 \ kg$.

(B) અંતિમ સ્થાન પર,$m$ દળ ધરાવતા પદાર્થનો વેગ શૂન્ય હોય છે. જ્યારે તેના પર $2m$ દળનો પદાર્થ હળવેકથી મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સંયુક્ત તંત્ર $(m + 2m = 3m)$ નો વેગ શૂન્ય જ રહે છે.
$(a)$ પદાર્થ અંતિમ સ્થાન પર હોવાથી,તેનું સ્થાનાંતર $x = A$ એ નવો કંપવિસ્તાર છે. સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2}kA^2$ છે. સ્થાન $x = A$ બદલાતું નથી અને સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ સમાન હોવાથી,કંપવિસ્તાર $A$ બદલાતો નથી. તેથી,$(a)$ સાચું છે.
$(b)$ સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. શરૂઆતમાં,$M = m$,તેથી $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$. દળ ઉમેર્યા પછી,$M' = 3m$,તેથી $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{3m}{k}}$. $T_2 \neq T_1$ હોવાથી,આવર્તકાળ બદલાય છે. તેથી,$(b)$ ખોટું છે.
$(c)$ કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E = \frac{1}{2}kA^2$ છે. $k$ અને $A$ બદલાતા ન હોવાથી,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા બદલાતી નથી. તેથી,$(c)$ સાચું છે.
$(d)$ મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = A\omega = A \sqrt{\frac{k}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $M$ વધીને $3m$ થતું હોવાથી,$\omega$ ઘટે છે,તેથી $v_{max}$ બદલાય છે. તેથી,$(d)$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $(a), (c),$ અને $(d)$ સાચા છે.

(B) સંતુલન સ્થિતિમાં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે: $mg = Kx_0$,જ્યાં $x_0 = 0.2 \ m$ એ ખેંચાણ છે.
આના પરથી,આપણને ગુણોત્તર $\frac{m}{K} = \frac{x_0}{g}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $g = \pi^2$,તેથી કિંમતો મૂકતા: $\frac{m}{K} = \frac{0.2}{\pi^2}$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુણોત્તરની કિંમત મૂકતા: $T = 2\pi \sqrt{\frac{0.2}{\pi^2}}$.
$T = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{0.2}}{\pi} = 2\sqrt{0.2}$.
$T = 2\sqrt{\frac{2}{10}} = 2\sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \ s$.

(B) $1$. જ્યારે $k$ બળ અચળાંક અને $L$ લંબાઈ ધરાવતી સ્પ્રિંગને $l_1:l_2 = 1:2$ ગુણોત્તરમાં કાપવામાં આવે,ત્યારે સ્પ્રિંગના ભાગોના બળ અચળાંક તેમની લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(k \propto 1/l)$.
$2$. ધારો કે $l_1 = L/3$ અને $l_2 = 2L/3$. તેથી $k_1 = 3k$ અને $k_2 = 1.5k = 3k/2$ થાય.
$3$. આ બંને સ્પ્રિંગ બ્લોક સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. સમાંતર જોડાણ માટે સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq} = k_1 + k_2 = 3k + 1.5k = 4.5k = 9k/2$ થાય.
$4$. દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ છે.
$5$. $k_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{9k/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{9k}}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 100 \ g = 0.1 \ kg$,સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 8 \ N/m$,કોણીય ઝડપ $\omega = 8 \ rad/s$.
ધારો કે સ્પ્રિંગની મૂળ લંબાઈ $l_0$ છે અને વિસ્તરણ $x$ છે. વર્તુળાકાર માર્ગની કુલ ત્રિજ્યા $r = l_0 + x$ થશે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $F_c = F_s$.
$m \omega^2 r = kx$.
$0.1 \times (8)^2 \times (l_0 + x) = 8x$.
$0.1 \times 64 \times (l_0 + x) = 8x$.
$6.4(l_0 + x) = 8x$.
$6.4 l_0 + 6.4 x = 8x$.
$6.4 l_0 = 8x - 6.4 x$.
$6.4 l_0 = 1.6 x$.
$\frac{x}{l_0} = \frac{6.4}{1.6} = 4$.
આમ,વિસ્તરણ અને મૂળ લંબાઈનો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(B) બ્લોકની જમણી બાજુએ,$K$ અને $2K$ બળ અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગો દીવાલ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલી છે. તેમનો સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_R = K + 2K = 3K$ છે.
બ્લોકની ડાબી બાજુએ,$2K$ અને $2K$ બળ અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગો દીવાલ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલી છે. તેમનો સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_L$ માટે $\frac{1}{K_L} = \frac{1}{2K} + \frac{1}{2K} = \frac{2}{2K} = \frac{1}{K}$,તેથી $K_L = K$ મળે છે.
બ્લોક આ બે સમૂહોની વચ્ચે હોવાથી,તંત્રનો અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eff} = K_R + K_L = 3K + K = 4K$ થાય છે.
દોલનોની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{K_{eff}}{M}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{4K}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે વધારાનું દળ $M_1$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી ખેંચાય છે. હૂકના નિયમ મુજબ,પુનઃસ્થાપક બળ $F = kx = M_1 g$ થાય છે.
તેથી,સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k = \frac{M_1 g}{x}$ મળે છે.
સ્પ્રિંગ પર દોલન કરતું કુલ દળ $m = M + M_1$ છે.
આ કિંમતોને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{M + M_1}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{M + M_1}{\frac{M_1 g}{x}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{(M + M_1) x}{M_1 g}}$.

(C) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $T \propto \sqrt{m}$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$T \propto \sqrt{m_1}$.
બીજા કિસ્સા માટે,કુલ દળ $(m_1 + m_2)$ છે,તેથી નવો આવર્તકાળ $T' \propto \sqrt{m_1 + m_2}$.
આપેલ છે કે $T' = \frac{3}{2} T$,તેથી:
$\frac{T'}{T} = \frac{\sqrt{m_1 + m_2}}{\sqrt{m_1}} = \frac{3}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{m_1 + m_2}{m_1} = \frac{9}{4}$.
$1 + \frac{m_2}{m_1} = \frac{9}{4}$.
$\frac{m_2}{m_1} = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$.
તેથી,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{4}{5}$.

(C) બંને સ્પ્રિંગ સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી,અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = k + k = 2k$ થશે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$2 = 2\pi \sqrt{\frac{12}{2k}}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $1 = \pi \sqrt{\frac{6}{k}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 = \pi^2 \times \frac{6}{k}$.
આપેલ છે કે $\pi^2 = 10$,તેથી $1 = 10 \times \frac{6}{k}$.
આમ,$k = 60 \ Nm^{-1}$.

(C) ધારો કે સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ છે. જ્યારે $m$ દળને લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગમાં થતો વધારો $x_0 = L - \ell$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,સ્પ્રિંગ બળ વજનને સંતુલિત કરે છે: $k(L - \ell) = mg$,જેનો અર્થ છે કે $k/m = g / (L - \ell)$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે ગતિનું સમીકરણ $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$ છે,જ્યાં $\omega^2 = k/m$.
આ સમીકરણની આપેલા સમીકરણ $\frac{d^2x}{dt^2} + P^2 x = 0$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $P^2 = \omega^2 = k/m$ મળે છે.
$k/m$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P^2 = \frac{g}{L - \ell}$ મળે છે.
તેથી,$P = \sqrt{\frac{g}{L - \ell}}$.

(D) સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે લટકાવેલા $m$ દળના દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
આપેલ છે કે $m$ દળ માટે આવર્તકાળ $T_1 = 2 \ s$ છે.
તેથી,$2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
હવે,નવા દળ $m' = 4m$ માટે,નવો આવર્તકાળ $T_2$ આ મુજબ થશે: $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{4m}{k}}$.
આપણે આને આ રીતે લખી શકીએ: $T_2 = 2 \times (2\pi \sqrt{\frac{m}{k}})$.
સમીકરણમાં $T_1$ ની કિંમત મૂકતા: $T_2 = 2 \times T_1$.
કારણ કે $T_1 = 2 \ s$,તેથી $T_2 = 2 \times 2 \ s = 4 \ s$.

(C) પ્રારંભિક ગોઠવણીમાં,દળ $m$ બે સમાંતર સ્પ્રિંગો સાથે જોડાયેલું છે. અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eff} = K + K = 2K$ છે.
દોલન આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_{eff}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગ $S_2$ ને દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે માત્ર એક સ્પ્રિંગ બાકી રહે છે જેનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $K$ છે.
નવો અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K'_{eff} = K$ છે.
નવી દોલન આવૃત્તિ $f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{m}}$ છે.
$f'$ અને $f$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $\frac{f'}{f} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{m}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K}{m}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$f' = \frac{f}{\sqrt{2}}$.