Periodic, Oscillatory motion and its characteristics and types of SHM and Equation of SHM Questions in Gujarati

(D) કણની સ્થિતિ ઊર્જા $U(x) = k(1 - e^{-x^2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ પર લાગતું બળ $F = -\frac{dU}{dx}$ છે.
$F = -\frac{d}{dx} [k(1 - e^{-x^2})] = -k[0 - e^{-x^2} \cdot (-2x)] = -2kxe^{-x^2}$.
ઉગમબિંદુથી નાના સ્થાનાંતર $(x \approx 0)$ માટે,આપણે ટેલર શ્રેણી $e^{-x^2} \approx 1 - x^2 + \dots \approx 1$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આમ,$F \approx -2kx$.
અહીં $F \propto -x$ હોવાથી,પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં છે,જે સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટેની શરત છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિમાં સરેરાશ સ્થાન માટેની શરત એ છે કે ચોખ્ખું પુનઃસ્થાપક બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
આપેલ બળનું સમીકરણ: $F = -kx + F_0$.
સરેરાશ સ્થાન પર,$F = 0$,તેથી $0 = -kx + F_0$,જે $x = F_0/k$ આપે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ શોધવા માટે,આપણે બળના સમીકરણને સરેરાશ સ્થાનથી સ્થાનાંતર $x' = x - F_0/k$ ના સંદર્ભમાં ફરીથી લખીએ છીએ. તેથી $x = x' + F_0/k$.
આને બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $F = -k(x' + F_0/k) + F_0 = -kx' - F_0 + F_0 = -kx'$.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $F = -m\omega^2 x'$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m\omega^2 = k$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{k/m}$.
તેથી,કણ $x = F_0/k$ ની આસપાસ $\omega = \sqrt{k/m}$ કોણીય આવૃત્તિ સાથે દોલન કરશે.

(C) પ્રથમ સમીકરણ $y_1 = a\sin(\omega t - \alpha)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(\theta) = \cos(\theta - 90^\circ)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$y_1 = a\cos(\omega t - \alpha - 90^\circ)$.
બીજું સમીકરણ $y_2 = b\cos(\omega t - \alpha)$ છે.
કોસાઇન વિધેયોના ખૂણાઓની સરખામણી કરતા,પ્રથમ સમીકરણની કળા $\phi_1 = \omega t - \alpha - 90^\circ$ છે અને બીજા સમીકરણની કળા $\phi_2 = \omega t - \alpha$ છે.
કળા તફાવત $\Delta\phi = |\phi_2 - \phi_1| = |(\omega t - \alpha) - (\omega t - \alpha - 90^\circ)| = 90^\circ$ થાય.

(C) આપેલ ગતિનું સમીકરણ $X = 7 \cos(0.5 \pi t)$ છે.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $X = A \cos(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 0.5 \pi \ rad/s$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{0.5 \pi} = 4 \ s$ દ્વારા મળે છે.
કણ માટે સંતુલન સ્થિતિ (મધ્યમાન સ્થિતિ) થી મહત્તમ સ્થાનાંતર (અંતિમ સ્થિતિ) સુધી જવા માટે લાગતો સમય એ આવર્તકાળનો ચોથો ભાગ હોય છે.
તેથી,$t = \frac{T}{4} = \frac{4}{4} = 1 \ s$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ ને $x(t) = A\sin(\omega t + \phi)$ અથવા $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપના સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $A$ એ $x = A\sin(\omega t + \delta)$ છે,જે પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ છે.
વિકલ્પ $B$ એ $x = B\cos(\omega t + \phi)$ છે,જે પણ એક પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ છે.
વિકલ્પ $C$ એ $x = A\sin \omega t \cos \omega t$ છે. ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને $x = \frac{A}{2}\sin(2\omega t)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ. આ $\frac{A}{2}$ કંપવિસ્તાર અને $2\omega$ કોણીય આવૃત્તિ ધરાવતી $SHM$ દર્શાવે છે.
આમ,ત્રણેય સમીકરણો સરળ આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(C) ધારો કે એક કણ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળના પરિઘ પર અચળ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ગતિ કરે છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર કણનું સ્થાન ખૂણા $\theta = \omega t + \phi$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
$x$-અક્ષ (એક વ્યાસ) પર કણનો પ્રક્ષેપ $x = r \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ $r$ કંપવિસ્તાર અને $\omega$ કોણીય આવૃત્તિ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ ($S$.$H$.$M$.) કરતા કણનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.
કોઈપણ વ્યાસ પરનો પ્રક્ષેપ આ સાઈનસૉઈડલ સ્વરૂપને અનુસરે છે,તેથી નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિનો કોઈપણ વ્યાસ પરનો પ્રક્ષેપ એ $S$.$H$.$M$. છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x(t) = A\sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,અને $\phi$ એ ફેઝ કોન્સ્ટન્ટ છે.
આપેલ સમીકરણ $F(t) = 10\sin(20t + 0.5)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x(t) = A\sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા:
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સાઈન વિધેયનો સહગુણક કંપવિસ્તાર $A$ દર્શાવે છે.
તેથી,$A = 10$.
સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ માટેનું પ્રમાણિત વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 y$ છે.
$y = a \sin \omega t$ માટે,$\frac{d^2y}{dt^2} = -a \omega^2 \sin \omega t = -\omega^2 y$ થાય છે. આ શરતનું પાલન કરે છે.
$y = a \cos \omega t$ માટે,$\frac{d^2y}{dt^2} = -a \omega^2 \cos \omega t = -\omega^2 y$ થાય છે. આ શરતનું પાલન કરે છે.
$y = a \sin \omega t + b \cos \omega t$ એ સમાન આવૃત્તિ ધરાવતા બે $S.H.M.$ વિધેયોનું રેખીય સંયોજન છે,જે પણ $S.H.M.$ જ દર્શાવે છે.
$y = a \tan \omega t$ માટે,આ વિધેય સીમિત નથી ($\omega t = \pi/2$ પર તે અનંત બને છે),અને તે $\frac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 y$ સમીકરણનું પાલન કરતું નથી. તેથી,તે $S.H.M.$ દર્શાવતું નથી.

(A) $Y$-અક્ષ પર સરળ આવર્ત ગતિનું સામાન્ય સમીકરણ $y = y_0 + A' \sin(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $y_0$ એ સરેરાશ સ્થાન છે,$A'$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\phi$ એ કળા અચળાંક છે.
આપેલ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t) + B$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે સરેરાશ સ્થાન $B$ છે અને કંપવિસ્તાર $A$ છે.
કંપવિસ્તાર એ કણનું તેના સરેરાશ સ્થાનથી મહત્તમ સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.
આમ,સરળ આવર્ત ગતિનો કંપવિસ્તાર $A$ છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ એ એક પ્રકારની આવર્ત ગતિ છે જેમાં પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
બંને છેડે જડેલી દોરીમાં રચાતા સ્થિત તરંગો એ બે પ્રગામી તરંગોનું સંપાતીકરણ છે,અને દોરીના કણો તેમના સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે.
તેથી,બંને છેડે જડેલી દોરીમાં કણોની ગતિ એ સરળ આવર્ત ગતિનું ઉદાહરણ છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિનું સામાન્ય સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ ગતિનો કંપવિસ્તાર છે.
આપેલા સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$y_1 = 10 \sin \left( \omega t + \frac{\pi}{4} \right)$ પરથી કંપવિસ્તાર $A_1 = 10$ મળે છે.
$y_2 = 25 \sin \left( \omega t + \frac{\sqrt{3} \pi}{4} \right)$ પરથી કંપવિસ્તાર $A_2 = 25$ મળે છે.
તેમના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$ થાય છે.
તેથી,ગુણોત્તર $2:5$ છે.

(B) કોઈપણ સિસ્ટમ $S.H.M.$ (સરળ આવર્ત ગતિ) દર્શાવે તે માટે બે મૂળભૂત શરતોનું પાલન થવું જરૂરી છે:
$1$. સ્થિતિસ્થાપકતા: સિસ્ટમમાં પુનઃસ્થાપક બળ હોવું જોઈએ જે પદાર્થને સ્થાનાંતરિત કર્યા પછી તેને સંતુલન સ્થિતિમાં પાછો લાવે.
$2$. જડત્વ: સિસ્ટમ પાસે દળ (જડત્વ) હોવું જોઈએ જેથી તે તેના વેગમાનને કારણે સંતુલન સ્થિતિથી આગળ વધી શકે.
તેથી,$S.H.M.$ દર્શાવતી સિસ્ટમ પાસે સ્થિતિસ્થાપકતા અને જડત્વ બંને હોવા જોઈએ.

(A) સ્થાનાંતર માટેનું આપેલ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $A = 0.30 \, m$ અને $\omega = 220 \, rad/s$ છે.
$1$. આવૃત્તિ $(n)$: આવૃત્તિ $n = \frac{\omega}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = \frac{220}{2 \times 3.14159} \approx 35.01 \, Hz \approx 35 \, Hz$.
$2$. મહત્તમ વેગ $(v_{\max})$: મહત્તમ વેગ $v_{\max} = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_{\max} = 220 \times 0.30 = 66 \, m/s$.
આમ,આવૃત્તિ $35 \, Hz$ છે અને મહત્તમ વેગ $66 \, m/s$ છે.

(A) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ $x = 3\sin 2t + 4\cos 2t$ છે.
આ સમીકરણ $x = A_1\sin \omega t + A_2\cos \omega t$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $A_1 = 3$,$A_2 = 4$,અને $\omega = 2$ છે.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નીચે મુજબ મળે છે: $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$.
$A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
મહત્તમ વેગ $v_{\max}$ નું સૂત્ર $v_{\max} = A\omega$ છે.
$v_{\max} = 5 \times 2 = 10$.
આમ,કંપવિસ્તાર $5$ છે અને મહત્તમ વેગ $10$ છે.

(D) $Simple \ Harmonic \ Motion$ $(S.H.M.)$ ની વ્યાખ્યાયિત લાક્ષણિકતા એ છે કે કણ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ સંતુલન સ્થાનથી તેના સ્થાનાંતર $x$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે અને તે સંતુલન સ્થાન તરફ દિશામાન હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $F = -kx$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
$F = ma$ હોવાથી,આનો અર્થ એ થાય કે $a = -(k/m)x$,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ પણ સ્થાનાંતરના પ્રમાણમાં છે.
જો કે,ગતિને વ્યાખ્યાયિત કરતી મૂળભૂત ભૌતિક શરત એ રેખીય પુનઃસ્થાપક બળ છે,જે વિકલ્પ $(d)$ ને આવશ્યક અને પર્યાપ્ત શરત બનાવે છે.

(B) પદાર્થ $5 \ m$ ના અંતરે રહેલી બે દીવાલો વચ્ચે $20 \ m/s$ ના અચળ વેગથી ગતિ કરે છે.
અથડામણો સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી અને ઘર્ષણ ન હોવાથી,પદાર્થ ગતિઊર્જા ગુમાવ્યા વગર દરેક અથડામણ પછી તેની દિશા બદલે છે.
એક દીવાલથી બીજી દીવાલ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v} = \frac{5 \ m}{20 \ m/s} = 0.25 \ s$ છે.
પદાર્થ કુલ $T = 2 \times 0.25 \ s = 0.5 \ s$ ના સમય પછી તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછો ફરે છે.
આમ,ગતિ $0.5 \ s$ ના નિયમિત અંતરાલે પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી તે આવર્ત ગતિ છે.
જોકે,સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટે પ્રવેગ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોવો જોઈએ $(a \propto -x)$. અહીં અથડામણ વચ્ચે વેગ અચળ છે,એટલે કે પ્રવેગ શૂન્ય છે. તેથી,આ સરળ આવર્ત ગતિ નથી.

(B) કણનો પ્રવેગ $a = -bx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણની સરખામણી સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે કરતા,આપણને $\omega^2 = b$ મળે છે.
તેથી,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{b}$ થશે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T$ શોધવાનું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2\pi}{\sqrt{b}}$ મળે છે.

(C) આપેલ ગતિનું સમીકરણ $\frac{d^2y}{dt^2} + Ky = 0$ છે.
આ સમીકરણને સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{d^2y}{dt^2} + \omega^2 y = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = K$ મળે છે.
તેથી,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{K}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે આવર્તકાળ $T$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2\pi}{\sqrt{K}}$ મળે છે.

(B) $S.H.M.$ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 0.01 \sin(100\pi t + 5\pi)$ ને સામાન્ય સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100\pi \ rad/s$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ એ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $T = \frac{2\pi}{\omega}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2\pi}{100\pi} = \frac{2}{100} = 0.02 \ sec$.
તેથી,આવર્તકાળ $0.02 \ sec$ છે.

(D) $S.H.M.$ (સરળ આવર્ત ગતિ) માં,પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(F = -kx)$,તેથી તે સ્થાન સાથે બદલાય છે.
ગતિ ઉર્જા $(K = \frac{1}{2}mv^2)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(U = \frac{1}{2}kx^2)$ સતત બદલાતી રહે છે જેમ કણ ગતિ કરે છે.
કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $(E = K + U)$ અચળ રહે છે.
જોકે,આવર્તકાળ $(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}})$ માત્ર કણના દળ અને બળ અચળાંક પર આધાર રાખે છે,જે બંને સિસ્ટમના આંતરિક ગુણધર્મો છે.
તેથી,આપેલ $S.H.M.$ સિસ્ટમ માટે આવર્તકાળ એ એવી રાશિ છે જે અચળ રહે છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિનું સામાન્ય સમીકરણ $X = A \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $X = 0.34 \cos(3000t + 0.74)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 3000 \ rad/s$ મળે છે.
આવૃત્તિ $n$ (અથવા $f$) અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi n$ છે.
તેથી,આવૃત્તિ $n = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{3000}{2\pi} \ Hz$ થાય.

(B) $S.H.M.$ માટે,કણ પર લાગતું બળ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$F = ma$ હોવાથી,આપણને $ma = -kx$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = -(k/m)x$.
આને પ્રમાણિત $S.H.M.$ સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = k/m$ મળે છે,જે એક અચળાંક છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અચળ હોવાથી,આવર્તકાળ $T = 2\pi/\omega$ પણ અચળ રહે છે. આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
બધી જ આવર્ત ગતિ $S.H.M.$ હોતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં નિશ્ચિત આવર્તકાળ હોય છે પરંતુ તે $S.H.M.$ નથી કારણ કે બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોતું નથી. તેથી,વિધાન $B$ ખોટું છે.
$S.H.M.$ ની કુલ ઉર્જા $E = (1/2)kA^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે દર્શાવે છે કે ઉર્જા કંપવિસ્તારના વર્ગ $(A^2)$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે. આમ,વિધાન $C$ સાચું છે.
સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા અચળાંક છે. $\phi$ નું મૂલ્ય $t = 0$ સમયે કણના પ્રારંભિક સ્થાન અને વેગ દ્વારા નક્કી થાય છે. આમ,વિધાન $D$ સાચું છે.
તેથી,ખોટું વિધાન $B$ છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિનું પ્રમાણિત સમીકરણ $x = a \cos(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 0.01 \cos \left( \pi t + \frac{\pi}{4} \right)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \pi \, rad/s$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવૃત્તિ $n$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi n$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\pi = 2\pi n$ મળે છે.
$n$ માટે ઉકેલતા,$n = \frac{\pi}{2\pi} = 0.5 \, Hz$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $y = 5 \sin \pi (t + 4) = 5 \sin (\pi t + 4\pi)$ છે.
આને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \sin (\omega t + \phi)$ અથવા $y = a \sin (\frac{2\pi}{T} t + \phi)$ સાથે સરખાવતા:
કંપવિસ્તાર $a$ એ સાઈન વિધેયનો સહગુણક છે,તેથી $a = 5 \ m$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ $t$ નો સહગુણક છે,તેથી $\omega = \pi \ rad/s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $\pi = \frac{2\pi}{T}$.
$T$ માટે ઉકેલતા,આપણને $T = 2 \ s$ મળે છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની મહત્તમ ઝડપનું સૂત્ર $v_{\max} = a\omega$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપનવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2\pi n$,જ્યાં $n$ એ દોલનની આવૃત્તિ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $a = 5\, cm = 0.05\, m$ અને $v_{\max} = 31.4\, cm/s = 0.314\, m/s$.
$v_{\max} = a \times 2\pi n$
$0.314 = 0.05 \times 2 \times 3.14 \times n$
$0.314 = 0.314 \times n$
$n = 1\, Hz$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિનું સામાન્ય સમીકરણ $x = A \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 0.05 \cos \left( 4 \pi t + \frac{\pi}{4} \right)$ ને સામાન્ય સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 4 \pi \ rad/s$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવૃત્તિ $n$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2 \pi n$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$4 \pi = 2 \pi n$
$n = \frac{4 \pi}{2 \pi} = 2 \ Hz$.
તેથી,ગતિની આવૃત્તિ $2 \ Hz$ છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ છે.
અહીં કંપનવિસ્તાર $A = 0.16 \, m$ અને આવર્તકાળ $T = 2 \, s$ આપેલ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \, rad/s$ થાય.
$t = 0$ સમયે,સ્થાનાંતર $x = -0.16 \, m$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $-0.16 = 0.16 \cos(\pi \cdot 0 + \phi) \implies \cos(\phi) = -1 \implies \phi = \pi$.
તેથી,સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = 0.16 \cos(\pi t + \pi)$ મળે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\theta + \pi) = -\cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x = -0.16 \cos(\pi t)$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $y = A\sin PT + B\cos PT$
ધારો કે $A = r\cos \theta$ અને $B = r\sin \theta$,જ્યાં $r = \sqrt{A^2 + B^2}$ અને $\tan \theta = B/A$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y = r\cos \theta \sin PT + r\sin \theta \cos PT$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = r\sin(PT + \theta)$
આ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ ના સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે,જ્યાં $r$ એ કંપવિસ્તાર છે,$P$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $\theta$ એ કળા અચળાંક છે.

(C) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $y = a(\sin \omega \,t + \cos \omega \,t)$.
આપણે તેને $\sqrt{2}$ વડે ગુણીને અને ભાગીને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$y = a\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega \,t + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega \,t \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે:
$y = a\sqrt{2} (\sin \omega \,t \cos 45^\circ + \cos \omega \,t \sin 45^\circ)$.
$y = a\sqrt{2} \sin(\omega \,t + 45^\circ)$.
આ સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ નું પ્રમાણિત સમીકરણ છે,જે $y = A \sin(\omega \,t + \phi)$ છે,જ્યાં કંપવિસ્તાર $A = a\sqrt{2}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x = 5\sqrt{2} (\sin 2\pi t + \cos 2\pi t)$.
આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય: $x = 5\sqrt{2} \sin 2\pi t + 5\sqrt{2} \cos 2\pi t$.
નિત્યસમ $A \sin \omega t + B \cos \omega t = R \sin(\omega t + \phi)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $R = \sqrt{A^2 + B^2}$.
અહીં,$A = 5\sqrt{2}$ અને $B = 5\sqrt{2}$.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $R = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2}$.
$R = \sqrt{(25 \times 2) + (25 \times 2)} = \sqrt{50 + 50} = \sqrt{100} = 10 \, cm$.

(D) આપેલ વિધેય $y = \sin^2(\omega t)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે વિધેયને આ રીતે લખી શકીએ:
$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2\omega t)$.
$\cos(kt)$ વિધેયનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$k = 2\omega$ છે,તેથી આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}$ થશે.
સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dt^2} = -\Omega^2 y$ નું પાલન કરવું જોઈએ. આપેલ વિધેય એક અચળ પદ અને કોસાઇન પદનો સરવાળો છે,જે $S.H.M.$ ની શરતનું પાલન કરતું નથી કારણ કે સંતુલન સ્થાન સ્થળાંતરિત થયેલ છે અને તે ઉગમબિંદુની આસપાસ શુદ્ધ સાઇનસૉઇડલ દોલન નથી. તેથી,આ એક આવર્ત ગતિ છે પરંતુ $S.H.M.$ નથી.

(A) કોઈ વિધેય સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ ત્યારે જ દર્શાવે જો તે વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$ નું પાલન કરે.
વિકલ્પ $A$: $x = \sin \omega t - \cos \omega t$. આને $x = \sqrt{2} [\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t] = \sqrt{2} \sin(\omega t - \frac{\pi}{4})$ તરીકે લખી શકાય છે. આ એક પ્રમાણિત $S.H.M.$ સમીકરણ છે.
વિકલ્પ $B$: $x = \sin^2 \omega t = \frac{1 - \cos 2\omega t}{2}$. આ અચળ સ્થાનાંતર અને $2\omega$ આવૃત્તિ ધરાવતી ગતિ દર્શાવે છે,જે સરળ આવર્ત ગતિ નથી.
વિકલ્પ $C$ અને $D$: આ બે અલગ-અલગ આવૃત્તિઓ ($\omega$ અને $2\omega$) નું સંપાતીકરણ છે,જે આવર્ત ગતિ આપે છે પરંતુ સરળ આવર્ત ગતિ નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સરળ આવર્તગતિ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 0.01 \sin(100\pi t + 5\pi)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100\pi \text{ rad/s}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ અને કોણીય આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,$T = \frac{2\pi}{100\pi} = \frac{2}{100} = 0.02 \text{ sec}$ મળે છે.
આમ,આ સરળ આવર્તગતિનો આવર્તકાળ $0.02 \text{ sec}$ છે.

(A) સરળ આવર્તગતિનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \sin (\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.30 \sin (220 \, t + 0.64)$ સાથે સરખાવતા,કંપવિસ્તાર $a = 0.30 \, m$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 220 \, rad/s$ મળે છે.
આવૃત્તિ $n$ ની ગણતરી $n = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{220}{2 \times 3.14159} \approx 35.01 \, Hz \approx 35 \, Hz$ મુજબ થાય છે.
મહત્તમ વેગ $v_{max}$ નું સૂત્ર $v_{max} = a \omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v_{max} = 0.30 \times 220 = 66 \, m/s$ મળે છે.
આમ,આવૃત્તિ $35 \, Hz$ અને મહત્તમ વેગ $66 \, m/s$ છે.

(B) સરળ આવર્તગતિ માટે પ્રવેગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ છે.
આપેલ સમીકરણ $a = -bx$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = b$ મળે છે.
તેથી,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{b}$ થાય.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2\pi}{\sqrt{b}}$ મળે છે.

(C) સરળ આવર્તગતિ માટેનું પ્રમાણિત વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dt^2} + \omega^2 y = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dt^2} + ky = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = k$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{k}$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2\pi}{\sqrt{k}}$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x = a \sin(\omega t) + b \cos(\omega t)$ સ્વરૂપમાં છે.
આને $x = A \sin(\omega t + \phi)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય,જ્યાં કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 3 \sin(5\pi t) + 4 \cos(5\pi t)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$ અને $b = 4$ મળે છે.
તેથી,કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$ થાય.
આમ,કણનો કંપવિસ્તાર $5 \text{ cm}$ છે.

(A) સ્થિતિ ઊર્જા $V(x)$ પરવલયાકાર વક્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $V(x) = \frac{1}{2}kx^2$.
આ એક સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ દર્શાવે છે જ્યાં પુનઃસ્થાપક બળ $F = -\frac{dV}{dx} = -kx$ છે.
કણ $t = 0$ સમયે $x = A$ જેટલા ધન સ્થાનાંતર પરથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી તેની ગતિનું સમીકરણ $x(t) = A \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0$ સમયે,$x = A$ છે,જે ધન અંતિમ સ્થાન છે.
જેમ જેમ સમય વધે છે,કણ સરેરાશ સ્થાન $(x = 0)$ તરફ અને પછી ઋણ અંતિમ સ્થાન $(x = -A)$ તરફ ગતિ કરે છે.
આ વર્તણૂક $t = 0$ સમયે મહત્તમ ધન મૂલ્યથી શરૂ થતા કોસાઇન આલેખ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ માટેની વ્યાખ્યા મુજબ,પ્રવેગ $(a)$ એ સરેરાશ સ્થાનથી સ્થાનાંતર $(x)$ ના ઋણ મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $a = -\omega^2 x$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
વિકલ્પ $(C)$ માં,સમીકરણ $a = -k(x+a)$ છે. જો આપણે નવો યામ $x' = x+a$ લઈએ,તો સમીકરણ $a = -k x'$ બને છે.
આ $x = -a$ સંતુલન સ્થાનની આસપાસ $S.H.M.$ દર્શાવે છે.
કારણ કે પ્રવેગ એ સરેરાશ સ્થાનથી સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં છે અને તેની વિરુદ્ધ દિશામાં છે,તેથી વિકલ્પ $(C)$ એ $S.H.M.$ ને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(A) આપેલ સ્થાનાંતર $x = a \sin^2 \omega t$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય:
$x = a \left( \frac{1 - \cos 2\omega t}{2} \right) = \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos 2\omega t$.
આ સમીકરણ મધ્યમાન સ્થાન $x = \frac{a}{2}$ ની આસપાસ આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે.
કોઈપણ ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ હોવા માટે,પ્રવેગ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતરના ઋણ પ્રમાણમાં હોવો જોઈએ,એટલે કે $a_{acc} \propto -(x - x_{mean})$.
અહીં,સ્થાનાંતર $x - \frac{a}{2} = -\frac{a}{2} \cos 2\omega t$ છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos 2\omega t) = a\omega \sin 2\omega t$ છે.
પ્રવેગ $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = 2a\omega^2 \cos 2\omega t$ છે.
સ્થાનાંતર માટેનું પદ મૂકતા,આપણને $a_{acc} = -4\omega^2 (x - \frac{a}{2})$ મળે છે.
જેથી પ્રવેગ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતરના ઋણ પ્રમાણમાં હોવાથી,આ ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ છે.
આ $SHM$ ની કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = 2\omega$ છે.
આવૃત્તિ $f = \frac{\omega'}{2\pi} = \frac{2\omega}{2\pi} = \frac{\omega}{\pi}$ થાય.

(C) જો કોઈ વિધેયને $y = A \sin(\omega t + \phi)$ અથવા $y = A \cos(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,તો તે $SHM$ છે.
$(A)$ માટે: $y = \sin \omega t - \cos \omega t = \sqrt{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t \right] = \sqrt{2} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{4} \right)$. આ $SHM$ છે.
$(B)$ માટે: $y = \sin^3 \omega t = \frac{1}{4} [3 \sin \omega t - \sin 3 \omega t]$. આ બે અલગ-અલગ આવૃત્તિઓ ધરાવતી ગતિઓનું સંપાતીકરણ છે,તેથી તે આવર્ત ગતિ છે પણ $SHM$ નથી.
$(C)$ માટે: $y = 5 \cos \left( \frac{3\pi}{4} - 3\omega t \right) = 5 \cos \left( 3\omega t - \frac{3\pi}{4} \right)$. આ $3\omega$ કોણીય આવૃત્તિ ધરાવતી $SHM$ છે.
$(D)$ માટે: $y = 1 + \omega t + \omega^2 t^2$. આ સમયનું દ્વિઘાત વિધેય છે,જે અ-આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે.
આમ,$(A)$ અને $(C)$ બંને $SHM$ દર્શાવે છે.

(D) પ્રથમ ગતિનો કંપવિસ્તાર $A_1 = A$ છે.
બીજું સમીકરણ $y_2 = \frac{A}{2} \sin \omega t + \frac{A}{2} \cos \omega t$ છે.
આપણે તેને $\sqrt{2}$ વડે ગુણીને અને ભાગીને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$y_2 = \frac{A}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t \right)$
$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે:
$y_2 = \frac{A}{\sqrt{2}} \sin(\omega t + 45^\circ)$.
આમ,બીજી ગતિનો કંપવિસ્તાર $A_2 = \frac{A}{\sqrt{2}}$ છે.
કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{A}{A/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ થાય છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $y = 5 \sin(\pi t + 4\pi)$.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા:
કંપનવિસ્તાર $A = 5 \ m$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \pi \ rad/s$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી,$\pi = \frac{2\pi}{T}$ મળે.
$T$ માટે ઉકેલતા,$T = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \ s$ મળે.
તેથી,$A = 5$ અને $T = 2$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $4 \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+9 y=0$ છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = -\frac{9}{4} y$ મળે છે.
આને સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{d^{2} y}{dt^{2}} = -\omega^{2} y$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે:
$\omega^{2} = \frac{9}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\omega = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ rad/s}$ મળે છે.

(C) અંતિમ સ્થાનથી શરૂ થતા $SHM$ માં કણના સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = a \cos(\omega t)$ છે.
અંતિમ સ્થાન $(x = a)$ થી $a/2$ જેટલું અંતર કાપવા માટે,કણ $x = a - a/2 = a/2$ સ્થાન પર પહોંચે છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $a/2 = a \cos(\omega t) \Rightarrow \cos(\omega t) = 1/2.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\pi/3) = 1/2,$ તેથી $\omega t = \pi/3.$
$\omega = 2\pi/T$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $(2\pi/T)t = \pi/3 \Rightarrow t = T/6.$
સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમયગાળો: $v_{av} = \frac{\text{સ્થાનાંતર}}{\text{સમય}} = \frac{a/2}{T/6} = \frac{3a}{T}.$

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં,સમય $t$ ના વિધેય તરીકે સ્થાનાંતર $d$ ને $d = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જ્યારે $y$ એ સમય $(t)$ હોય અને $d$ એ સ્થાનાંતર હોય તેવો સંબંધ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ: $t = \frac{1}{\omega} \arcsin(\frac{d}{A}) - \frac{\phi}{\omega}$.
આ સમીકરણ સૂચવે છે કે સ્થાનાંતર $d$ ના એક મૂલ્ય માટે,સમય $t$ ના અનેક મૂલ્યો મળે છે કારણ કે કણ આગળ-પાછળ દોલન કરે છે.
આલેખ $IV$ એવો સંબંધ દર્શાવે છે કે જ્યાં આપેલ સ્થાનાંતર $d$ ($-A$ થી $+A$ ની રેન્જમાં) માટે,$y$ (સમય) ના અનેક મૂલ્યો મળે છે,જે જ્યારે સમયને ઊભી ધરી પર આલેખવામાં આવે ત્યારે $SHM$ ની આવર્તક પ્રકૃતિને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(C) સમક્ષિતિજ વર્તુળનો વ્યાસ $d = 0.8 \, m$ છે. સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ નો કંપવિસ્તાર $A$ એ આ વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલો હોય છે.
$A = \frac{d}{2} = \frac{0.8 \, m}{2} = 0.4 \, m$.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f = 30 \, rev/min = \frac{30}{60} \, rev/s = 0.5 \, Hz$ છે.
$SHM$ નો આવર્તકાળ $T$ એ એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ માટે લાગતા સમય જેટલો જ હોય છે.
$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{0.5} = 2 \, s$.
વૈકલ્પિક રીતે,કોણીય વેગ $\omega = \frac{2 \pi \times 30}{60} = \pi \, rad/s$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\omega = \frac{2 \pi}{T}$ હોવાથી,$\pi = \frac{2 \pi}{T}$,જે આપણને $T = 2 \, s$ આપે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $v^2 = 108 - 9x^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$2v \frac{dv}{dt} = -18x \frac{dx}{dt}$
$v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$2v a = -18xv$,જેનું સાદું રૂપ $a = -9x$ થાય છે.
આ સરળ આવર્ત ગતિ $(a = -\omega^2 x)$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ છે,જ્યાં $\omega^2 = 9$,તેથી $\omega = 3 \, rad/s$.
$x = 3 \, m$ પર,પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = |-9(3)| = 27 \, m/s^2$ છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
ગતિ $x = 0$ (સંતુલન સ્થિતિ) ની આસપાસ સરળ આવર્ત ગતિ છે.
મહત્તમ સ્થાનાંતર (કંપવિસ્તાર $A$) ત્યારે મળે છે જ્યારે $v = 0$ હોય:
$0 = 108 - 9x^2 \implies x^2 = 12 \implies x = \sqrt{12} \, m \approx 3.46 \, m$. તેથી,વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.