SHM of Spring Mass System Questions in Gujarati

(D) $k$ અચળાંક ધરાવતી બે સમાન સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં જોડાયેલ હોય ત્યારે,સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_s = \frac{k \cdot k}{k + k} = \frac{k}{2}$ થાય છે.
શ્રેણી જોડાણમાં દોલનની આવૃત્તિ $f_s = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_s}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{2m}}$ છે.
$k$ અચળાંક ધરાવતી બે સમાન સ્પ્રિંગ સમાંતરમાં જોડાયેલ હોય ત્યારે,સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_p = k + k = 2k$ થાય છે.
સમાંતર જોડાણમાં દોલનની આવૃત્તિ $f_p = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_p}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2k}{m}}$ છે.
તેમની આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{f_s}{f_p} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{2m}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2k}{m}}} = \sqrt{\frac{k}{2m} \cdot \frac{m}{2k}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ થાય છે.
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ $(a)$ માટે: અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq,a} = K$ છે. તેથી,$T_a = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$.
આકૃતિ $(b)$ માટે: બે સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં છે. અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $\frac{1}{K_{eq,b}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{K} = \frac{2}{K}$ છે,તેથી $K_{eq,b} = \frac{K}{2}$. તેથી,$T_b = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{K}} = \sqrt{2} T_a$.
આકૃતિ $(c)$ માટે: બે સ્પ્રિંગ સમાંતરમાં છે. અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq,c} = K + K = 2K$ છે. તેથી,$T_c = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2K}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}) = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$.
પરિણામોની સરખામણી કરતા: $T_b = \sqrt{2} T_a$ અને $T_c = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$.
આથી,$T_b = \sqrt{2} (\sqrt{2} T_c) = 2 T_c$. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) જ્યારે $500 \ g$ નું દળ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેલું દળ $m = (100 + 300) \ g = 400 \ g = 0.4 \ kg$ થાય છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T = 2 \ s$,તેથી $2 = 2 \pi \sqrt{\frac{0.4}{k}}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{2 \pi}{\sqrt{k}} = \frac{2}{\sqrt{0.4}} \quad \dots (i)$.
જ્યારે $300 \ g$ નું દળ પણ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેલું દળ $m' = 100 \ g = 0.1 \ kg$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{0.1}{k}}$ છે.
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $T' = \left( \frac{2 \pi}{\sqrt{k}} \right) \sqrt{0.1} = \left( \frac{2}{\sqrt{0.4}} \right) \sqrt{0.1} = 2 \sqrt{\frac{0.1}{0.4}} = 2 \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \ s$.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{k}}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{k_1}{k_2}}$ થશે.
જ્યારે $k$ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k' = 2k$ થાય છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_1 = k$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,દળને સ્પ્રિંગના એક ભાગ સાથે લટકાવવામાં આવે છે,તેથી નવો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_2 = 2k$ છે.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{k}{2k}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક દળ $m$ માટે,આવર્તકાળ $T_1 = 3 \ s$ છે:
$3 = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \implies \frac{9}{4 \pi^2} = \frac{m}{k} \implies k = \frac{4 \pi^2 m}{9} \quad \dots (i)$
જ્યારે દળમાં $0.6 \ kg$ નો વધારો કરવામાં આવે,ત્યારે નવું દળ $m' = m + 0.6$ અને નવો આવર્તકાળ $T_2 = 3 + 3 = 6 \ s$ થાય છે:
$6 = 2 \pi \sqrt{\frac{m + 0.6}{k}} \implies 3 = \pi \sqrt{\frac{m + 0.6}{k}} \implies 9 = \pi^2 \frac{m + 0.6}{k} \implies \frac{9}{\pi^2} = \frac{m + 0.6}{k} \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{9 / \pi^2}{9 / 4 \pi^2} = \frac{(m + 0.6) / k}{m / k}$
$4 = \frac{m + 0.6}{m}$
$4m = m + 0.6$
$3m = 0.6$
$m = 0.2 \ kg$.

(A) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્પ્રિંગ $A$ માટે,$T_{1} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_{1}}}$.
સ્પ્રિંગ $B$ માટે,$T_{2} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_{2}}}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \sqrt{\frac{k_{2}}{k_{1}}} = \sqrt{\frac{16}{4}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$T_{1} = 2T_{2}$.
હવે,આ કિંમતને $\frac{T_{1}+T_{2}}{T_{1}-T_{2}}$ પદમાં મૂકતા:
$\frac{2T_{2} + T_{2}}{2T_{2} - T_{2}} = \frac{3T_{2}}{T_{2}} = 3$.
આને $3:1$ ના ગુણોત્તર તરીકે લખી શકાય છે.

(C) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ માટે જેનો કંપવિસ્તાર $A$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ હોય,તેનો મહત્તમ વેગ $v_{max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે દળ સમાન છે $(m_A = m_B = m)$ અને મહત્તમ વેગ સમાન છે $(v_{max,A} = v_{max,B})$,તેથી $A_1 \omega_1 = A_2 \omega_2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$,તેથી $A_1 \sqrt{\frac{K_1}{m}} = A_2 \sqrt{\frac{K_2}{m}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$A_1^2 \frac{K_1}{m} = A_2^2 \frac{K_2}{m}$.
સાદુરૂપ આપતા,$A_1^2 K_1 = A_2^2 K_2$.
તેથી,$B$ ના કંપવિસ્તાર $(A_2)$ અને $A$ ના કંપવિસ્તાર $(A_1)$ નો ગુણોત્તર $\frac{A_2}{A_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}}$ મળે છે.

(A) વર્ટિકલ સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રમાં,સંતુલન સ્થિતિ તે છે જ્યાં સ્પ્રિંગ $x_0 = \frac{mg}{k}$ જેટલી ખેંચાયેલી હોય છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{k}{m} = \omega^2 = \left(\frac{2 \pi}{T}\right)^2$.
આપેલ છે $T = 0.1 \ s$,તેથી $\omega = \frac{2 \pi}{0.1} = 20 \pi \ rad/s$.
સંતુલન સ્થિતિએ સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ $x_0 = \frac{g}{\omega^2} = \frac{10}{(20 \pi)^2} = \frac{10}{400 \pi^2} = \frac{1}{40 \pi^2} \ m$ છે.
કારણ કે સ્પ્રિંગ સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ ખેંચાયેલી નથી,તેથી દોલનનો કંપવિસ્તાર $A$ એ સંતુલન વિસ્તરણ $x_0$ જેટલો જ થાય,એટલે કે $A = x_0 = \frac{1}{40 \pi^2} \ m$.
$S.H.M.$ માં મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = A \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{max} = \left(\frac{1}{40 \pi^2}\right) \times (20 \pi) = \frac{20 \pi}{40 \pi^2} = \frac{1}{2 \pi} \ m/s$.

(B) દોલનની આવૃત્તિ $n = 10 \ Hz$ છે. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi n = 20 \pi \ rad/s$ છે.
ઉર્ધ્વ સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે,સંતુલન સ્થિતિ એ સ્પ્રિંગની અખિંચિત સ્થિતિથી $x_0 = \frac{mg}{k}$ અંતરે હોય છે.
દોલનના સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ સ્પ્રિંગ ખેંચાયેલી ન હોવાથી,દોલનનો કંપવિસ્તાર $A$ એ સંતુલન સ્થિતિના સ્થાનાંતર જેટલો થાય,તેથી $A = x_0 = \frac{mg}{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^2 = \frac{k}{m}$,તેથી $k = m \omega^2$.
$A$ ના સૂત્રમાં $k$ ની કિંમત મૂકતા: $A = \frac{mg}{m \omega^2} = \frac{g}{\omega^2}$.
મહત્તમ ઝડપ $v_{\max} = \omega A = \omega \left( \frac{g}{\omega^2} \right) = \frac{g}{\omega}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{\max} = \frac{10}{20 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \ m/s$.

(A) $S.H.M.$ કરતા કણ માટે પ્રવેગ $a = \omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \omega^2 A$ છે。
બ્લોક પિસ્ટનથી અલગ થાય તે માટે, પિસ્ટનનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ。
આમ, અલગ થવાની શરત $a_{max} \geq g$ છે。
આવર્તકાળ $T = 1 \,s$ આપેલ છે, તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi \,rad/s$ થાય。
શરત $a_{max} = g$ મૂકતા:
$\omega^2 A = g$
$(2\pi)^2 A = 10$
$4\pi^2 A = 10$
$\pi^2 = 10$ આપેલ હોવાથી, $4(10) A = 10$ મળે。
$40 A = 10$
$A = \frac{10}{40} = 0.25 \,m$.

(A) શિરોલંબ સ્પ્રિંગ સાથે લટકાવેલ $S.H.M.$ કરતા કણ માટે,સંતુલન સ્થિતિ તે છે જ્યાં સ્પ્રિંગ બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે,એટલે કે $kx = mg$.
દોલનના સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુએ સ્પ્રિંગ ખેંચાયેલી નથી,જેનો અર્થ છે કે વિસ્તરણ $x = 0$ છે.
સંતુલન સ્થિતિ એ સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુથી $A$ (કંપવિસ્તાર) અંતરે નીચે હોવાથી,સંતુલન સમયે વિસ્તરણ $x = A$ થાય.
તેથી,$kA = mg$,જે કંપવિસ્તાર $A = \frac{mg}{k} = \frac{g}{\omega^2}$ આપે છે.
આપેલ આવૃત્તિ $f = 5 \ Hz$ માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 5 = 10 \pi \ rad/s$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = \frac{10}{(10 \pi)^2} = \frac{10}{100 \pi^2} = \frac{1}{10 \pi^2} \ m$.
મહત્તમ ઝડપ $V_{\max} = A \omega$ છે.
$V_{\max} = \left( \frac{1}{10 \pi^2} \right) \times (10 \pi) = \frac{1}{\pi} \ m/s$.

(A) જ્યારે સ્પ્રિંગ સાથે $m_{1}$ દળ જોડાયેલું હોય,ત્યારે $S.H.M.$ ની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A_{1}^{2}$ છે.
મધ્યમાન સ્થાન પર,$m_{1}$ દળનો વેગ $v_{1}$ મહત્તમ હોય છે,જે $v_{1} = \omega_{1} A_{1} = \sqrt{\frac{k}{m_{1}}} A_{1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે મધ્યમાન સ્થાન પર $m_{1}$ પર $m_{2}$ દળ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્રનું વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે કારણ કે કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું નથી.
પ્રારંભિક વેગમાન $p_{i} = m_{1} v_{1}$.
અંતિમ વેગમાન $p_{f} = (m_{1} + m_{2}) v_{2}$,જ્યાં $v_{2}$ એ મધ્યમાન સ્થાન પરનો નવો વેગ છે.
$p_{i} = p_{f}$ હોવાથી,$m_{1} v_{1} = (m_{1} + m_{2}) v_{2}$.
$v_{2} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{1}$.
નવી કોણીય આવૃત્તિ $\omega_{2} = \sqrt{\frac{k}{m_{1} + m_{2}}}$ છે.
$v_{2} = \omega_{2} A_{2}$ હોવાથી,$A_{2} = \frac{v_{2}}{\omega_{2}} = \frac{m_{1} v_{1}}{(m_{1} + m_{2})} \sqrt{\frac{m_{1} + m_{2}}{k}}$.
$v_{1} = \sqrt{\frac{k}{m_{1}}} A_{1}$ મૂકતા,આપણને $A_{2} = \frac{m_{1}}{(m_{1} + m_{2})} \sqrt{\frac{k}{m_{1}}} A_{1} \sqrt{\frac{m_{1} + m_{2}}{k}} = A_{1} \sqrt{\frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}}}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{A_{2}}{A_{1}} = \left[\frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}}\right]^{1/2}$.

(D) $S.H.M.$ ની આવૃત્તિ $n = 5 Hz$ છે. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi n = 2 \pi \times 5 = 10 \pi rad s^{-1}$ છે.
દોલનના સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ સ્પ્રિંગ ખેંચાયેલી નથી,એટલે કે સ્થાનાંતર $x = 0$ છે. $S.H.M.$ માં,સંતુલન સ્થિતિ તે છે જ્યાં સ્પ્રિંગ બળ ગુરુત્વાકર્ષણને સંતુલિત કરે છે,$k x_0 = mg$,જ્યાં $x_0$ એ સ્થિર વિસ્તરણ છે.
દોલનનો કંપવિસ્તાર $A$ એ આ સ્થિર વિસ્તરણ $x_0$ જેટલો છે,કારણ કે કણ તેના માર્ગના ટોચ પર અખિંચાયેલી સ્થિતિ $(x=0)$ પર પહોંચે છે. તેથી,$A = x_0 = \frac{mg}{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^2 = \frac{k}{m}$,તેથી $k = m \omega^2 = m(10 \pi)^2 = 100 \pi^2 m$.
$k$ ની કિંમત કંપવિસ્તારના સમીકરણમાં મૂકતા: $A = \frac{mg}{100 \pi^2 m} = \frac{g}{100 \pi^2} = \frac{10}{100 \pi^2} = \frac{1}{10 \pi} m$.
મહત્તમ ઝડપ $V_{max} = \omega A = (10 \pi) \times (\frac{1}{10 \pi}) = \frac{1}{\pi} m s^{-1}$.

(A) મધ્યમાન સ્થિતિ પર,સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે અને ગતિ ઉર્જા મહત્તમ હોય છે. મધ્યમાન સ્થિતિ પર દળ $m_1$ નો વેગ $v = A\omega = A\sqrt{\frac{k}{m_1}}$ છે.
જ્યારે દળ $m_2$ ને $m_1$ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે કારણ કે મધ્યમાન સ્થિતિ પર સ્પ્રિંગ બળ શૂન્ય હોય છે. ધારો કે નવો વેગ $v'$ છે:
$m_1 v = (m_1 + m_2) v'$
$v' = \frac{m_1 v}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 A \sqrt{k/m_1}}{m_1 + m_2} = A \sqrt{\frac{k m_1}{(m_1 + m_2)^2}}$.
તંત્રની નવી ઉર્જા $E' = \frac{1}{2} k A_1^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) (v')^2$ છે.
$v'$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{2} k A_1^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \left( A^2 \frac{k m_1}{(m_1 + m_2)^2} \right)$.
$A_1^2 = A^2 \frac{m_1}{m_1 + m_2}$.
તેથી,$\frac{A_1}{A} = \sqrt{\frac{m_1}{m_1 + m_2}}$.

(D) ઉભી સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T = 6 \ s$,તેથી $6 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $3 = \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$9 = \pi^2 \frac{m}{k}$ મળે.
$g = \pi^2$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $9 = g \frac{m}{k}$,અથવા $\frac{m}{k} = \frac{9}{g}$.
જ્યારે દળ સ્થિર હોય,ત્યારે સ્પ્રિંગમાં થતું ખેંચાણ $x$ એવું હોય છે કે સ્પ્રિંગ બળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સમાન થાય: $kx = mg$.
તેથી,ખેંચાણ $x = \frac{mg}{k} = m \cdot \frac{g}{k}$.
$\frac{m}{k} = \frac{9}{g}$ મૂકતા,આપણને $x = \frac{g}{k} \cdot m = \frac{9}{g} \cdot g = 9 \ m$ મળે છે.

(A) $k$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા $m$ દળનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{m/k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક દળ $x$ માટે,આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{x/k}$ છે.
જ્યારે દળમાં $Y \ g$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવું દળ $(x + Y)$ થાય છે અને નવો આવર્તકાળ $T' = 4T/3$ થાય છે.
આમ,$T' = 2\pi \sqrt{(x + Y)/k} = 4T/3$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $T$ ની કિંમત મૂકતા: $2\pi \sqrt{(x + Y)/k} = (4/3) \cdot 2\pi \sqrt{x/k}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x + Y)/k = (16/9) \cdot (x/k)$.
બંને બાજુથી $k$ દૂર કરતા: $x + Y = (16/9)x$.
$Y$ શોધવા માટે ગોઠવતા: $Y = (16/9)x - x = (7/9)x$.
તેથી,ગુણોત્તર $Y/x = 7/9$ છે.

(C) સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા $m$ દળનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતના દળ $m$ માટે,$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
જ્યારે દળમાં $m_0$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવું દળ $m' = m + m_0$ થાય છે. નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $\frac{5T}{4}$ આપેલ છે.
તેથી,$T' = 2\pi \sqrt{\frac{m + m_0}{k}} = \frac{5}{4} T$.
$T$ નું સૂત્ર મૂકતા: $2\pi \sqrt{\frac{m + m_0}{k}} = \frac{5}{4} \times 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{m + m_0}{k} = \frac{25}{16} \frac{m}{k}$.
બંને બાજુથી $k$ દૂર કરતા: $m + m_0 = \frac{25}{16} m$.
$m_0$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $m_0 = \frac{25}{16} m - m = \frac{9}{16} m$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{m_0}{m} = \frac{9}{16}$ થાય છે.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{m/k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક સ્પ્રિંગ માટે જેનો બળ અચળાંક $k$ છે,તેનો આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi \sqrt{m/k}$ છે.
જ્યારે $l$ લંબાઈ અને $k$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો બળ અચળાંક $k' = 2k$ થાય છે,કારણ કે $k \propto 1/l$.
નવા તંત્ર માટે સમાન દળ $m$ અને નવા બળ અચળાંક $k' = 2k$ સાથે,આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{m/(2k)}$ થાય છે.
ગુણોત્તર લેતા: $T_1 / T_2 = \frac{2\pi \sqrt{m/k}}{2\pi \sqrt{m/(2k)}} = \sqrt{\frac{m/k}{m/(2k)}} = \sqrt{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $T_1 / T_2 = \sqrt{2}$ થાય છે.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
શરૂઆતના દળ $m$ માટે,આવર્તકાળ $T = 3 \text{ s}$ છે,તેથી $3 = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
વધારેલા દળ $m+1$ માટે,આવર્તકાળ $T' = 5 \text{ s}$ છે,તેથી $5 = 2 \pi \sqrt{\frac{m+1}{k}}$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{T}{T'} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}}{2 \pi \sqrt{\frac{m+1}{k}}} = \sqrt{\frac{m}{m+1}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3}{5} = \sqrt{\frac{m}{m+1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{9}{25} = \frac{m}{m+1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$9(m+1) = 25m \implies 9m + 9 = 25m$.
$16m = 9 \implies m = \frac{9}{16} \text{ kg}$.

(C) દળ-સ્પ્રિંગ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક દળ $m_1$ માટે,આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}$ છે.
નવા દળ $(m_1 + m_2)$ માટે,આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{k}}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \frac{m_1 + m_2}{m_1} = 1 + \frac{m_2}{m_1}$.
ગુણોત્તર શોધવા માટે ગોઠવતા: $\frac{m_2}{m_1} = \frac{T_2^2}{T_1^2} - 1 = \frac{T_2^2 - T_1^2}{T_1^2}$.

(A) $m$ દળ ધરાવતા કણનો $k$ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથેનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સ્પ્રિંગ માટે,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$,તેથી $T_1^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1}$.
બીજી સ્પ્રિંગ માટે,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$,તેથી $T_2^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_2}$.
જ્યારે બે સ્પ્રિંગને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ એ $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ દ્વારા મળે છે.
શ્રેણી જોડાણ માટેનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} = 4\pi^2 m \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$.
$T_1^2$ અને $T_2^2$ ના પદો મૂકતા,આપણને $T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1} + 4\pi^2 \frac{m}{k_2} = T_1^2 + T_2^2$ મળે છે.
તેથી,$T = \sqrt{T_1^2 + T_2^2}$.

(A) શ્રેણી જોડાણમાં,અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_s$ નીચે મુજબ મળે છે:
$k_s = \frac{K \cdot K}{K + K} = \frac{K}{2}$
સમાંતર જોડાણમાં,અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_p$ નીચે મુજબ મળે છે:
$k_p = K + K = 2K$
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{M}}$ છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે,આવૃત્તિ $f_s$ છે:
$f_s = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K/2}{M}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{2M}}$
સમાંતર જોડાણ માટે,આવૃત્તિ $f_p$ છે:
$f_p = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K}{M}}$
શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણની આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{f_s}{f_p} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{2M}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K}{M}}} = \sqrt{\frac{K}{2M} \cdot \frac{M}{2K}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(D) $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ જે $SHM$ કરે છે,તેના માટે બળ $F = kx$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે. આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}$.
બળ $F_1$ માટે,$k_1 = \frac{4\pi^2 m}{T_1^2}$.
બળ $F_2$ માટે,$k_2 = \frac{4\pi^2 m}{T_2^2}$.
જ્યારે બંને બળો એકસાથે એક જ દિશામાં કાર્ય કરે છે,ત્યારે અસરકારક બળ અચળાંક $k_{eff} = k_1 + k_2$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$ દ્વારા મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = \frac{4\pi^2 m}{k_1 + k_2}$.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{1}{T^2} = \frac{k_1 + k_2}{4\pi^2 m} = \frac{k_1}{4\pi^2 m} + \frac{k_2}{4\pi^2 m}$.
$k_1$ અને $k_2$ ના પદો મૂકતા,$\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{T_1^2 T_2^2}$.
તેથી,$T = \frac{T_1 T_2}{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}}$.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે દળમાં $m$ જેટલો વધારો થાય છે,ત્યારે નવો આવર્તકાળ $T' = \frac{5T}{3}$ થાય છે.
તેથી,$\frac{5T}{3} = 2\pi \sqrt{\frac{M+m}{k}}$.
સમીકરણમાં $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ મૂકતા:
$\frac{5}{3} \times 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{M+m}{k}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{25}{9} \times \frac{M}{k} = \frac{M+m}{k}$.
$\frac{25}{9}M = M + m$.
$M$ વડે ભાગતા:
$\frac{25}{9} = 1 + \frac{m}{M}$.
$\frac{m}{M} = \frac{25}{9} - 1 = \frac{16}{9}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{M}{m} = \frac{9}{16}$ થાય.

(A) જ્યારે $m$ દળને તાર પર લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તાર સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ ધરાવતી સ્પ્રિંગ તરીકે વર્તે છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,$x$ જેટલા વિસ્તરણ માટે તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $T = \frac{YA}{L} x$ છે.
આને સ્પ્રિંગ બળના સમીકરણ $F = kx$ સાથે સરખાવતા,આપણને અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{YA}{L}$ મળે છે.
દળ-સ્પ્રિંગ તંત્ર માટે દોલન આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{YA}{mL}}$ મળે છે.

(B) સંતુલન સ્થિતિમાં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સ્પ્રિંગના પુનઃસ્થાપક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે: $mg = kx$.
આના પરથી,સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k = \frac{mg}{x}$ મળે છે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાંથી $k$ ની કિંમત મૂકતા: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{(mg/x)}} = 2\pi\sqrt{\frac{mx}{mg}}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $T = 2\pi\sqrt{\frac{x}{g}}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 10 \,kg$, સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 1000 \,N/m$, અને કંપવિસ્તાર $A = 10 \,cm = 0.1 \,m$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં, પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ છે.
મહત્તમ બળ મહત્તમ સ્થાનાંતર (કંપવિસ્તાર) પર મળે છે, તેથી $F_{max} = kA$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $F_{max} = m a_{max}$.
તેથી, $m a_{max} = kA$.
$a_{max} = \frac{kA}{m} = \frac{1000 \,N/m \times 0.1 \,m}{10 \,kg} = \frac{100}{10} = 10 \,m/s^2$.
આમ, બ્લોકનો મહત્તમ પ્રવેગ $10 \,m/s^2$ છે.

(C) ટ્રેનું દળ, $m = 12 \,kg$.
આવર્તકાળ, $T = 1.5 \,s$.
ધારો કે દરેક સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ છે.
સ્પ્રિંગો સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી, અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{\text{net}} = k + k = 2k$ થશે।
દળ-સ્પ્રિંગ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{\text{net}}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા, $1.5 = 2\pi \sqrt{\frac{12}{2k}}$.
$1.5 = 2\pi \sqrt{\frac{6}{k}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $(1.5)^2 = (2\pi)^2 \cdot \frac{6}{k}$.
$2.25 = 4\pi^2 \cdot \frac{6}{k}$.
$k = \frac{24\pi^2}{2.25} \approx \frac{24 \times 9.87}{2.25} \approx 105.28 \,Nm^{-1}$.
આમ, દરેક સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક આશરે $105 \,Nm^{-1}$ છે।

(A) આપેલ છે: $m = 3 \ kg$,$K_1 = 50 \ Nm^{-1}$,$K_2 = 150 \ Nm^{-1}$,$g = 10 \ ms^{-2}$.
બ્લોક બે સમાંતર સ્પ્રિંગ વચ્ચે જોડાયેલ હોવાથી,સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq} = K_1 + K_2 = 50 + 150 = 200 \ Nm^{-1}$ થાય.
સંતુલન સ્થિતિ તે છે જ્યાં સ્પ્રિંગ બળ વજન બળને સંતુલિત કરે છે: $K_{eq} x_0 = mg \implies x_0 = \frac{mg}{K_{eq}} = \frac{3 \times 10}{200} = 0.15 \ m$.
બ્લોકને સ્પ્રિંગ ખેંચાયા વગરની સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી દોલનનો કંપવિસ્તાર $A = x_0 = 0.15 \ m$ છે.
સૌથી નીચલા સ્થાને,બ્લોક સંતુલન સ્થિતિથી નીચે $x = 2A = 2 \times 0.15 = 0.3 \ m$ ના સ્થાનાંતરે છે.
ત્યાં લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = K_{eq} x - mg = 200(0.3) - 3(10) = 60 - 30 = 30 \ N$.
તેથી પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{30}{3} = 10 \ ms^{-2}$ થાય.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે.
જ્યારે ગોળાને અશ્યાન પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર ઉત્પ્લાવક બળ લાગે છે. જોકે,ઉત્પ્લાવક બળ એ અચળ બળ છે (ગુરુત્વાકર્ષણની જેમ) અને તે તંત્રના અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ અથવા જડત્વીય દળ $m$ માં કોઈ ફેરફાર કરતું નથી.
પ્રવાહી અશ્યાન હોવાથી,ગોળા પર કોઈ અવરોધક બળ (ડ્રેગ) લાગતું નથી.
તેથી,અસરકારક દળ અને સ્પ્રિંગ અચળાંક અપરિવર્તિત રહે છે,અને દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ જ રહે છે.
આમ,આવર્તકાળ અપરિવર્તિત રહેશે.

(B) સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા $m$ દળ માટે દોલન આવૃત્તિ $v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$s_1$ અને $s_2$ સ્પ્રિંગ માટે,આપણી પાસે $v_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{s_1}{m}}$ અને $v_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{s_2}{m}}$ છે.
તેનો વર્ગ કરતા,$v_1^2 = \frac{1}{4\pi^2} \frac{s_1}{m}$ અને $v_2^2 = \frac{1}{4\pi^2} \frac{s_2}{m}$ મળે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,સ્પ્રિંગ સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $s_{eq} = s_1 + s_2$ થાય.
નવી આવૃત્તિ $v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{s_{eq}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{s_1 + s_2}{m}}$ છે.
$s_1 = 4\pi^2 m v_1^2$ અને $s_2 = 4\pi^2 m v_2^2$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{4\pi^2 m v_1^2 + 4\pi^2 m v_2^2}{m}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$.

(B) $m$ દળ ધરાવતા બ્લોક માટે જે $k$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ છે,તેની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નું સૂત્ર: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
અહીં આપેલ કિંમતો $m = 0.1 \ kg$ અને $k = 2.5 \ Nm^{-1}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega = \sqrt{\frac{2.5}{0.1}}$
$\omega = \sqrt{25}$
$\omega = 5 \ rad \ s^{-1}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ પ્રારંભિક દળ $m_1 = 1 \,kg$ છે। અથડાતું દળ $m_2 = 0.5 \,kg$ છે।
અથડામણ પછી, બંને પદાર્થો એકસાથે $M = m_1 + m_2 = 1 + 0.5 = 1.5 \,kg$ ના કુલ દળ સાથે ગતિ કરે છે।
સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k = 600 \,N \,m^{-1}$ છે।
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા: $\omega = \sqrt{\frac{600}{1.5}} = \sqrt{400} = 20 \,rad \,s^{-1}$.
દોલનની આવૃત્તિ $f$ એ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $f = \frac{\omega}{2\pi}$ સંબંધ ધરાવે છે।
તેથી, $f = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi} \,Hz$.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $m_1 = 4 \ kg$ માટે,આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{4}{k}} = 2\pi \cdot \frac{2}{\sqrt{k}} = \frac{4\pi}{\sqrt{k}}$ છે.
દળ $m_2 = 9 \ kg$ માટે,આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{9}{k}} = 2\pi \cdot \frac{3}{\sqrt{k}} = \frac{6\pi}{\sqrt{k}}$ છે.
આપેલ છે કે આવર્તકાળમાં $0.2\pi \ s$ નો વધારો થાય છે,તેથી $T_2 - T_1 = 0.2\pi$.
$T_1$ અને $T_2$ ના પદો મૂકતા: $\frac{6\pi}{\sqrt{k}} - \frac{4\pi}{\sqrt{k}} = 0.2\pi$.
$\frac{2\pi}{\sqrt{k}} = 0.2\pi$.
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા: $\frac{2}{\sqrt{k}} = 0.2$.
$\sqrt{k} = \frac{2}{0.2} = 10$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $k = 100 \ N \ m^{-1}$ મળે છે.

(B) $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ જ્યારે $k$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ હોય અને સરળ આવર્ત ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તેનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
આપેલ છે:
દળ $m = 4 \ kg$
બળ અચળાંક $k = 64 \ N \ m^{-1}$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{4}{64}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{16}}$
$T = 2\pi \times \frac{1}{4}$
$T = \frac{\pi}{2} \ s$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m_1 = 0.5 \ kg$,સ્થાનાંતર $x = 0.2 \ m$,$g = 10 \ m \ s^{-2}$.
હૂકના નિયમ મુજબ,$mg = kx$,તેથી સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{mg}{x} = \frac{0.5 \times 10}{0.2} = \frac{5}{0.2} = 25 \ N/m$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે દળને $m_2 = 0.25 \ kg$ દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે નવો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{0.25}{25}} = 2\pi \sqrt{0.01} = 2\pi \times 0.1 = 0.2\pi \ s$ થાય છે.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$T = 0.2 \times 3.14 = 0.628 \ s$ મળે છે.

(A) જ્યારે $M$ દળના બ્લોકને ઢળતી સપાટી પર $x$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે એક સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી દબાય છે અને બીજી સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી ખેંચાય છે.
દરેક સ્પ્રિંગ દ્વારા લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ છે.
બંને સ્પ્રિંગ સંતુલન સ્થિતિમાં પાછા લાવવા માટે એક જ દિશામાં કાર્ય કરતી હોવાથી,કુલ પુનઃસ્થાપક બળ $F_{net} = -kx - kx = -2kx$ થાય છે.
બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ $M a = -2kx$ છે,જેને $M \frac{d^2x}{dt^2} + 2kx = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$ જેવું છે,જ્યાં $\omega^2 = \frac{2k}{M}$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{2k}{M}}$ છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{2k}}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ડાબી બાજુની બે સ્પ્રિંગ સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_p = K + K = 2K$ થશે.
આ સંયોજન ત્રીજી સ્પ્રિંગ (જેનો અચળાંક $K$ છે) સાથે શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{2K} + \frac{1}{K} = \frac{1+2}{2K} = \frac{3}{2K}$
$K_{eq} = \frac{2K}{3} = \frac{2 \times 9 \pi^2}{3} = 6 \pi^2 \ Nm^{-1}$.
બ્લોકનું દળ $m = 3 \ kg$ છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{6 \pi^2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{2 \pi^2}} = 2 \pi \times \frac{1}{\pi \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ s$.
$T = 1.414 \ s$.

(D) બ્લોકનું વજન $W = mg = 20 \,N$ છે. આપેલ છે કે $g = 10 \,ms^{-2}$, તેથી બ્લોકનું દળ $m = \frac{20}{10} = 2 \,kg$ થાય.
લીસા ઢળતા સમતલ પરના બ્લોક-સ્પ્રિંગ તંત્ર માટે, ગુરુત્વાકર્ષણનો સમતલની દિશામાંનો ઘટક માત્ર સંતુલન સ્થિતિને બદલે છે અને તે દોલનોની આવૃત્તિ કે આવર્તકાળને અસર કરતું નથી.
દોલનોની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $K = 8 \pi^2 \,Nm^{-1}$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
$\omega = \sqrt{\frac{8 \pi^2}{2}} = \sqrt{4 \pi^2} = 2 \pi \,rad/s$.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $T = \frac{2 \pi}{2 \pi} = 1 \,s$ મળે છે.
તેથી, દોલનોનો આવર્તકાળ $1 \,s$ છે.

(A) આપેલ દળ $m = 8 \,kg$ અને સ્થાનાંતર $x = 20 \,cm = 0.2 \,m$.
હૂકના નિયમ મુજબ, $mg = kx$, તેથી સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{mg}{x} = \frac{8 \times 10}{0.2} = 400 \,N/m$.
સ્પ્રિંગ પર દોલન કરતા $M$ દળ માટે, આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ છે.
આપેલ $T = \frac{\pi}{5} \,s$ હોવાથી, $\frac{\pi}{5} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{400}}$.
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા, $\frac{1}{5} = 2 \sqrt{\frac{M}{400}} = 2 \frac{\sqrt{M}}{20} = \frac{\sqrt{M}}{10}$.
તેથી, $\sqrt{M} = \frac{10}{5} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $M = 4 \,kg$ મળે છે.

(C) જ્યારે $M$ દળનો બ્લોક સંતુલન સ્થિતિમાં સ્પ્રિંગ સાથે લટકે છે,ત્યારે નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઉપરની તરફ લાગતા સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$Mg = kx$,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ સ્પ્રિંગમાં થયેલું વિસ્તરણ છે.
તેથી,વિસ્તરણ $x = \frac{Mg}{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\omega^2 = \frac{k}{M}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k = M\omega^2$.
$k$ ની કિંમત $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = \frac{Mg}{M\omega^2} = \frac{g}{\omega^2}$.
આમ,જ્યારે બ્લોકને દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગ $\frac{g}{\omega^2}$ જેટલી ટૂંકી થાય છે.

(A) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
અહીં, દળ $m = 2 \,kg$ અને સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 8 \,N/m$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{2}{8}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \pi \times \frac{1}{2} = \pi \,s$.
$t = 66 \,s$ સમયમાં પૂર્ણ થતા દોલનોની સંખ્યા $n$ નીચે મુજબ છે:
$n = \frac{t}{T} = \frac{66}{\pi}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા, આપણને મળે છે:
$n = \frac{66}{22/7} = \frac{66 \times 7}{22} = 3 \times 7 = 21$.
આમ, પદાર્થ આપેલા સમયમાં $21$ દોલનો પૂર્ણ કરે છે.

(C) સ્પ્રિંગ માટે હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F = kx$.
જ્યારે $0.6 \ kg$ દળ લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગ બળ તે દળના વજનને સંતુલિત કરે છે,તેથી $F = mg$.
આમ,$k = \frac{mg}{x} = \frac{0.6 \times 10}{0.40} = 15 \ N \ m^{-1}$.
$m' = 255 \ g = 0.255 \ kg$ દળ માટે આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m'}{k}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{0.255}{15}} = 2 \times 3.14 \times \sqrt{0.017} \approx 6.28 \times 0.13038 \approx 0.8188 \ s$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$T \approx 0.82 \ s$.

(A) સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$,હૂકના નિયમ $F = kx$ નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $F = 15 \ kg \times 10 \ m/s^2 = 150 \ N$ અને $x = 0.25 \ m$,તેથી $k = \frac{150}{0.25} = 600 \ N/m$ મળે છે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{2 \pi}{5} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{600}}$.
બંને બાજુ $2 \pi$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{5} = \sqrt{\frac{m}{600}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{25} = \frac{m}{600}$.
$m$ માટે ઉકેલતા,$m = \frac{600}{25} = 24 \ kg$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1 \ kg$,સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 100 \ N \ m^{-1}$,કંપવિસ્તાર $A = 10 \ cm = 0.1 \ m$,સ્થાનાંતર $x = 5 \ cm = 0.05 \ m$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{1}} = 10 \ rad \ s^{-1}$.
સ્થાનાંતર $x$ પર વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = 10 \sqrt{0.1^2 - 0.05^2} = 10 \sqrt{0.01 - 0.0025} = 10 \sqrt{0.0075} = 10 \times 0.0866 = 0.866 \ m \ s^{-1}$.
ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (0.866)^2 = 0.5 \times 0.75 = 0.375 \ J$.
સ્થિતિઊર્જા $P.E. = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times (0.05)^2 = 50 \times 0.0025 = 0.125 \ J$.

(C) આપેલ છે કે, પદાર્થનું દળ $m = 4.9 \, kg$.
સ્પ્રિંગના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 0.5 \, s$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$ અને $\pi^2 = 10$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k}$.
ગુણોત્તર $\frac{m}{k}$ માટે, $\frac{m}{k} = \frac{T^2}{4\pi^2}$.
કિંમતો મૂકતા, $\frac{m}{k} = \frac{(0.5)^2}{4 \times 10} = \frac{0.25}{40} = 0.00625 \, kg/N$.
જ્યારે દળને દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં થતો ઘટાડો $x$ એ સંતુલન સ્થિતિમાં દળ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ વિસ્તરણ જેટલો હોય છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં હૂકના નિયમ મુજબ, $kx = mg$, જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{m}{k} g$.
કિંમતો મૂકતા, $x = 0.00625 \times 10 = 0.0625 \, m$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા, $x = 0.0625 \times 100 = 6.25 \, cm$.
આમ, દળ દૂર કર્યા પછી સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં $6.25 \, cm$ નો ઘટાડો થાય છે.

(C) આપેલ છે:
મહત્તમ સંકોચન (કંપવિસ્તાર $A$) $= 2 x_0$
બ્લોકનું બીજી દીવાલથી અંતર $= x_0$
બ્લોકનું દળ $= m$
બ્લોકને અંતિમ સ્થાનેથી મુક્ત કરવામાં આવતો હોવાથી,સમયના વિધેય તરીકે તેનું સ્થાનાંતર $x(t)$ નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$x(t) = A \cos(\omega t)$
જ્યાં $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
સંતુલન સ્થિતિને $x = 0$ લેતા,બ્લોક શરૂઆતમાં $x = -2 x_0$ (સંકોચાયેલી સ્થિતિ) પર છે. જ્યારે તે બીજી દીવાલ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તે સંતુલન સ્થિતિમાંથી પસાર થઈને $x = +x_0$ પર દીવાલ સાથે અથડાય છે.
સમીકરણમાં $x = x_0$ અને $A = 2 x_0$ મૂકતા:
$x_0 = 2 x_0 \cos(\omega t)$
$\cos(\omega t) = \frac{1}{2}$
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ હોવાથી,આપણને મળે:
$\omega t = \frac{\pi}{3}$
$t = \frac{\pi}{3 \omega} = \frac{\pi}{3} \sqrt{\frac{m}{k}}$
ગતિનું પુનઃ મૂલ્યાંકન કરતા: બ્લોક $x = -2 x_0$ થી શરૂ કરીને $x = +x_0$ સુધી જાય છે. $x = -2 x_0$ થી $x = 0$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $T/4$ છે. $x = 0$ થી $x = x_0$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $\sin(\omega t) = \frac{x_0}{2 x_0} = \frac{1}{2}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\omega t = \frac{\pi}{6}$,જેનો અર્થ છે $t = \frac{\pi}{6 \omega}$.
કુલ સમય $t = \frac{T}{4} + \frac{\pi}{6 \omega} = \frac{\pi}{2 \omega} + \frac{\pi}{6 \omega} = \frac{4 \pi}{6 \omega} = \frac{2 \pi}{3 \omega} = \frac{2 \pi}{3} \sqrt{\frac{m}{k}}$.