Velocity of Simple Harmonic Motion Questions in Gujarati

(C) $S.H.M.$ માં કણની મહત્તમ ઝડપ $v_{\max} = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $y$ પર ઝડપ $v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ઝડપ મહત્તમ ઝડપ કરતા અડધી છે,તેથી $v = \frac{v_{\max}}{2} = \frac{\omega A}{2}$.
ઝડપ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{\omega A}{2} = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{A^2}{4} = A^2 - y^2$
$y^2$ માટે ગોઠવતા:
$y^2 = A^2 - \frac{A^2}{4} = \frac{3A^2}{4}$
વર્ગમૂળ લેતા:
$y = \frac{\sqrt{3}A}{2}$

(A) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની મહત્તમ ઝડપ $(v_{\max})$ નું સૂત્ર $v_{\max} = A\omega$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર (મહત્તમ સ્થાનાંતર) છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $v_{\max} = A \times \frac{2\pi}{T}$ લખી શકાય.
$A$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$A = \frac{v_{\max} \times T}{2\pi}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $v_{\max} = 1.00 \times 10^3 \, m/s$ અને $T = 1.00 \times 10^{-5} \, s$.
$A = \frac{(1.00 \times 10^3) \times (1.00 \times 10^{-5})}{2\pi} = \frac{1.00 \times 10^{-2}}{2\pi} \, m$.
$A = \frac{0.01}{6.283} \approx 0.00159 \, m = 1.59 \, mm$.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ કરતા કણનો વેગ $v$ એ સ્થાનાંતર $x$ માટે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$
અહીં કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ અને સ્થાનાંતર $x = \frac{A}{2}$ આપેલ છે,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{A^2 - (\frac{A}{2})^2}$
વર્ગમૂળની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{A^2 - \frac{A^2}{4}}$
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{\frac{3A^2}{4}}$
વર્ગમૂળમાંથી પદો બહાર કાઢતા:
$v = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{A\sqrt{3}}{2}$
$v = \frac{\pi A\sqrt{3}}{T}$
આમ,$X = \frac{A}{2}$ સ્થાને લોલકની ઝડપ $\frac{\pi A\sqrt{3}}{T}$ થશે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો $y$ સ્થાનાંતરે વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \omega \sqrt{a^2 - y^2}$.
આપેલ છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\,rad/s$
કંપવિસ્તાર $a = 60\,mm$
સ્થાનાંતર $y = 20\,mm$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = 2 \sqrt{60^2 - 20^2}$
$v = 2 \sqrt{3600 - 400}$
$v = 2 \sqrt{3200}$
$v = 2 \times 56.568$
$v \approx 113.14\,mm/s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $113\,mm/s$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: કંપવિસ્તાર $a = 10\, cm$,મહત્તમ વેગ $v_{\max} = 100\, cm/s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v_{\max} = a\omega$.
તેથી,$\omega = \frac{v_{\max}}{a} = \frac{100}{10} = 10\, rad/s$.
સ્થાનાંતર $y$ પર વેગ $v$ નું સૂત્ર $v = \omega \sqrt{a^2 - y^2}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $50 = 10 \sqrt{10^2 - y^2}$.
$10$ વડે ભાગતા: $5 = \sqrt{100 - y^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $25 = 100 - y^2$.
$y^2 = 100 - 25 = 75$.
$y = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\, cm$.

(C) સરળ આવર્ત દોલકનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દોલનના કેન્દ્ર પર,સ્થાનાંતર $x = 0$ હોય છે.
તેથી,મહત્તમ વેગ $v_{\text{max}} = A\omega$ થાય.
આપેલ છે કે,કંપવિસ્તાર $A = 0.2 \, m$ અને આવર્તકાળ $T = 0.01 \, s$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.01} = 200\pi \, rad/s$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $v_{\text{max}} = 0.2 \times 200\pi = 40\pi \, m/s$ મળે છે.

(B) $S.H.M.$ કરતા કણની મહત્તમ ઝડપનું સૂત્ર $v_{\max} = a\omega$ છે.
અહીં,$a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવર્તકાળ $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
આપેલ છે: કંપવિસ્તાર $a = 3 \, cm$ અને આવર્તકાળ $T = 6 \, s$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_{\max} = a \times \frac{2\pi}{T} = 3 \times \frac{2\pi}{6} = \pi \, cm/s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $S.H.M.$ કરતા કણનો મહત્તમ વેગ $(v_{\max})$ શોધવાનું સૂત્ર: $v_{\max} = \omega a$ છે.
અહીં,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,જે $\omega = \frac{2\pi}{T}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે: કંપવિસ્તાર $a = 2 \, m$ અને આવર્તકાળ $T = 2 \, s$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_{\max} = \left( \frac{2\pi}{T} \right) \times a$
$v_{\max} = \left( \frac{2\pi}{2} \right) \times 2$
$v_{\max} = \pi \times 2 = 2\pi \, m/s$.
તેથી,મહત્તમ વેગ $2\pi \, m/s$ થશે.

(D) $S.H.M.$ માં કણનું સ્થાનાંતર $x = a \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,વેગ $v = \frac{dx}{dt} = a\omega \cos(\omega t + \phi)$ મળે છે.
મહત્તમ વેગ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\cos(\omega t + \phi) = 1$ હોય,તેથી $v_{\max} = a\omega$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી,આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા $v_{\max} = a \left(\frac{2\pi}{T}\right) = \frac{2\pi a}{T}$ મળે છે.

(C) $S.H.M.$ કરતી પદાર્થનો સ્થાનાંતર $y$ પર વેગ $v$ નું સૂત્ર: $v = \omega \sqrt{a^2 - y^2}$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
$y_1 = 4 \, cm$ માટે,$v_1 = 10 \, cm/sec$: $10 = \omega \sqrt{a^2 - 4^2} \implies 100 = \omega^2(a^2 - 16)$ --- $(1)$
$y_2 = 5 \, cm$ માટે,$v_2 = 8 \, cm/sec$: $8 = \omega \sqrt{a^2 - 5^2} \implies 64 = \omega^2(a^2 - 25)$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$100 - 64 = \omega^2(a^2 - 16 - a^2 + 25)$
$36 = \omega^2(9)$
$\omega^2 = 4 \implies \omega = 2 \, rad/sec$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi \, sec$.

(D) ગતિનું સમીકરણ $x = 5 \sin \left( 4t - \frac{\pi}{6} \right)$ આપેલ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કંપવિસ્તાર $A = 5$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 4$ મળે છે.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો $x$ સ્થાનાંતરે વેગ $v$ શોધવાનું સૂત્ર $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ છે.
આપેલ કિંમતો $A = 5$,$\omega = 4$,અને $x = 3$ મૂકતા:
$v = 4 \sqrt{5^2 - 3^2}$
$v = 4 \sqrt{25 - 9}$
$v = 4 \sqrt{16}$
$v = 4 \times 4 = 16$ એકમ.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થનો મહત્તમ વેગ $(v_{\max})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{\max} = A\omega$,જ્યાં $A$ એ કંપનવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે: કંપનવિસ્તાર $A = 50\, mm = 50 \times 10^{-3}\, m = 0.05\, m$.
આવર્તકાળ $T = 2\, s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi\, rad/s$.
કિંમતો મૂકતા: $v_{\max} = 0.05 \times \pi$.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,આપણને $v_{\max} = 0.05 \times 3.14159 \approx 0.157\, m/s$ મળે છે.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.16\, m/s$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થ માટે,મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = A\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ પ્રવેગના સમીકરણને મહત્તમ વેગના સમીકરણ વડે ભાગતા:
$\frac{a_{\max}}{v_{\max}} = \frac{A\omega^2}{A\omega} = \omega$.
અહીં $v_{\max} = 2 \ m/s$ અને $a_{\max} = 4 \ m/s^2$ આપેલ છે,તેથી:
$\omega = \frac{4}{2} = 2 \ rad/s$.

(A) $S.H.M.$ કરતા કણનો મહત્તમ વેગ $(v_{\max})$ સૂત્ર $v_{\max} = a\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ આવર્તકાળ $T$ સાથે $\omega = \frac{2\pi}{T}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ છે: કંપવિસ્તાર $a = 2 \times 10^{-3} \ m$ અને આવર્તકાળ $T = 0.1 \ s$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_{\max} = a \times \frac{2\pi}{T} = (2 \times 10^{-3}) \times \frac{2\pi}{0.1}$.
$v_{\max} = \frac{4 \times 10^{-3} \times \pi}{10^{-1}} = 4 \times 10^{-2} \times \pi = 0.04\pi \ m/s$.
$v_{\max} = \frac{4\pi}{100} = \frac{\pi}{25} \ m/s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મહત્તમ વેગ $v_{\max} = a\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ કંપનવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે $v_{\max} = 10 \, cm/s$ અને $a = 4 \, cm$,તેથી $\omega = \frac{v_{\max}}{a} = \frac{10}{4} = 2.5 \, rad/s$.
મધ્યમાન સ્થાનથી $y$ સ્થાનાંતરે વેગ $v = \omega \sqrt{a^2 - y^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v^2 = \omega^2(a^2 - y^2)$.
$y$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$y^2 = a^2 - \frac{v^2}{\omega^2}$,તેથી $y = \sqrt{a^2 - \frac{v^2}{\omega^2}}$.
કિંમતો $a = 4 \, cm$,$v = 5 \, cm/s$,અને $\omega = 2.5 \, rad/s$ મૂકતા:
$y = \sqrt{4^2 - \frac{5^2}{(2.5)^2}} = \sqrt{16 - \frac{25}{6.25}} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \, cm$.

(B) કંપવિસ્તાર અને $\omega$ કોણીય વેગ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે:
મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = A\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ વેગ અને મહત્તમ પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{\max}}{a_{\max}} = \frac{A\omega}{A\omega^2} = \frac{1}{\omega}$ થાય છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મહત્તમ વેગ $(v_{max})$ સૂત્ર $v_{max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે ત્રણેય પદાર્થોનો મહત્તમ વેગ સમાન છે,તેથી:
$v_1 = v_2 = v_3$
દરેક પદાર્થ માટે મહત્તમ વેગનું સૂત્ર મૂકતા:
$A_1\omega_1 = A_2\omega_2 = A_3\omega_3$
તેથી,સાચો સંબંધ ${A_1}{\omega _1} = {A_2}{\omega _2} = {A_3}{\omega _3}$ છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ માં,સ્થાનાંતર $x$ એ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$.
મધ્યમાન સ્થાન પર,સ્થાનાંતર $x = 0$ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin(\omega t + \phi) = 0$,તેથી $\cos(\omega t + \phi) = \pm 1$ થાય.
તેથી,વેગનું મૂલ્ય $|v| = A\omega$ મળે છે,જે $S.H.M.$ માં વેગનું મહત્તમ શક્ય મૂલ્ય છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $y = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું વિકલન કરવાથી વેગ $v$ મળે છે:
$v = \frac{dy}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\omega t) = \sqrt{1 - \sin^2(\omega t)}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\sin(\omega t) = \frac{y}{A}$ મૂકીએ છીએ:
$v = A \omega \sqrt{1 - (\frac{y}{A})^2}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$v = A \omega \sqrt{\frac{A^2 - y^2}{A^2}}$
$v = A \omega \frac{\sqrt{A^2 - y^2}}{A}$
$v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$
આમ,$y$ સ્થાનાંતરે કણનો વેગ $\omega \sqrt{A^2 - y^2}$ છે.

(B) કણનું સ્થાનાંતર $x = A \cos (\omega t - \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાનાંતરનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [A \cos (\omega t - \theta)]$
$v = -A \omega \sin (\omega t - \theta)$
જ્યારે સાઈન વિધેયનું મૂલ્ય $1$ હોય ત્યારે વેગ મહત્તમ હોય છે,એટલે કે $|\sin (\omega t - \theta)| = 1$.
તેથી,મહત્તમ વેગ $v_{\max} = | -A \omega (1) | = A \omega$ થાય.
આમ,કણનો મહત્તમ વેગ $A \omega$ છે.

(D) $SHM$ કરતા કણ માટે,સરેરાશ સ્થાનથી $y$ સ્થાનાંતર પર વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
સરેરાશ સ્થાન $(y = 0)$ પર,વેગ મહત્તમ હોય છે,જે $v_{max} = A\omega$ છે.
આપેલ છે કે $A = 4 \,cm$ અને $v_{max} = 16 \,cm/s$,તેથી $16 = 4\omega$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = 4 \,rad/s$.
હવે,આપણે તે અંતર $y$ શોધવાનું છે જ્યાં $v = 8\sqrt{3} \,cm/s$ થાય.
સૂત્ર $v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$8\sqrt{3} = 4 \sqrt{4^2 - y^2}$
બંને બાજુ $4$ વડે ભાગતા:
$2\sqrt{3} = \sqrt{16 - y^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(2\sqrt{3})^2 = 16 - y^2$
$4 \times 3 = 16 - y^2$
$12 = 16 - y^2$
$y^2 = 16 - 12 = 4$
$y = 2 \,cm$.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ માટેનું આપેલ સમીકરણ $y = a \sin(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 3 \sin \left( 100t + \frac{\pi}{6} \right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કંપવિસ્તાર $a = 3$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \text{ rad/s}$.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મહત્તમ વેગ $v_{\max}$ શોધવાનું સૂત્ર $v_{\max} = a\omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $v_{\max} = 3 \times 100 = 300$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: કંપનવિસ્તાર $A = 0.06\, m$,આવૃત્તિ $n = 15\, Hz$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi n = 2 \times 3.14159 \times 15 = 94.248\, rad/s$.
મહત્તમ વેગ $v_{max} = A\omega = 0.06 \times 94.248 = 5.654\, m/s$.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = A\omega^2 = 0.06 \times (94.248)^2 = 0.06 \times 8882.68 = 532.96\, m/s^2 = 5.33 \times 10^2\, m/s^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) $S.H.M.$ માં કણની ગતિઊર્જા તેના મધ્યમાન સ્થાને મહત્તમ હોય છે.
આપેલ છે,મહત્તમ ગતિઊર્જા,$K_{\max} = 16 \, J$.
કણનું દળ,$m = 0.32 \, kg$.
મહત્તમ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$ છે.
મહત્તમ વેગ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$v_{\max} = \sqrt{\frac{2 K_{\max}}{m}}$.
કિંમતો મૂકતા,$v_{\max} = \sqrt{\frac{2 \times 16}{0.32}}$.
$v_{\max} = \sqrt{\frac{32}{0.32}} = \sqrt{100}$.
$v_{\max} = 10 \, m/s$.

(D) આપેલ છે: મહત્તમ વેગ $v_{max} = \omega A = 1 \ m/s$ અને મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \omega^2 A = 1.57 \ m/s^2$.
મહત્તમ પ્રવેગના સમીકરણને મહત્તમ વેગના સમીકરણ વડે ભાગતા:
$\frac{a_{max}}{v_{max}} = \frac{\omega^2 A}{\omega A} = \omega$
$\omega = \frac{1.57}{1} = 1.57 \ rad/s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા:
$1.57 = \frac{2 \times 3.14}{T}$
$T = \frac{6.28}{1.57} = 4 \ s$.
તેથી,કણનો આવર્તકાળ $4 \ s$ છે.

(B) આપેલ છે કે,પ્રારંભિક સ્થાન $x = 1 \, cm$,પ્રારંભિક વેગ $v = \pi \, cm/s$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \pi \, s^{-1}$ છે.
$SHM$ માં વેગ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\pi = \pi \sqrt{A^2 - (1)^2}$
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા:
$1 = \sqrt{A^2 - 1}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1 = A^2 - 1$
$A^2 = 2$
$A = \sqrt{2} \, cm$.
આમ,કંપવિસ્તાર $\sqrt{2} \, cm$ છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 10\,kg$,બળ અચળાંક $k = 10\,N/m$,વેગ $v = 40\,cm/s = 0.4\,m/s$,કંપવિસ્તાર $A = 0.5\,m$.
પ્રથમ,કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ ની ગણતરી કરો:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{10}{10}} = 1\,rad/s$.
સ્થાનાંતર $y$ પર વેગ $v$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$0.4 = 1 \times \sqrt{(0.5)^2 - y^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(0.4)^2 = (0.5)^2 - y^2$.
$0.16 = 0.25 - y^2$.
$y^2$ માટે ઉકેલતા:
$y^2 = 0.25 - 0.16 = 0.09$.
વર્ગમૂળ લેતા:
$y = \sqrt{0.09} = 0.3\,m$.

(A) આપેલ વેગ-સમયના આલેખ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે દોલનનું એક પૂર્ણ ચક્ર $T = 0.04 \; s$ ના સમયગાળામાં પૂર્ણ થાય છે.
દોલનની આવૃત્તિ $(f)$ ને સમયગાળા $(T)$ ના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$f = \frac{1}{T}$
આલેખમાંથી $T$ ની કિંમત મૂકતા:
$f = \frac{1}{0.04} \; Hz$
$f = 25 \; Hz$
તેથી,દોલનની આવૃત્તિ $25 \; Hz$ છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ માં,સ્થાનાંતર $y = a \sin(\omega t)$ અને વેગ $v = a \omega \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણો પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $\sin(\omega t) = \frac{y}{a}$ અને $\cos(\omega t) = \frac{v}{a \omega}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{y^2}{a^2} + \frac{v^2}{a^2 \omega^2} = 1$.
આ $(y, v)$ સમતલમાં ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે,જ્યાં $y$ એ સ્થાનાંતર છે અને $v$ એ વેગ છે.

(C) સરળ આવર્તગતિ કરતા કણનો $y$ સ્થાનાંતરે વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ વેગ $v_{\text{max}} = A\omega$ છે.
અહીં આપેલ છે કે વેગ મહત્તમ વેગ કરતા અડધો છે,તેથી $v = \frac{A\omega}{2}$.
આ કિંમતને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{A\omega}{2} = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{A^2}{4} = A^2 - y^2$
$y^2$ ને કર્તા બનાવતા:
$y^2 = A^2 - \frac{A^2}{4} = \frac{3A^2}{4}$
વર્ગમૂળ લેતા:
$y = \frac{\sqrt{3}A}{2}$.

(A) સરળ આવર્તગતિ માટેનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 5 \sin(4t - \frac{\pi}{6})$ સાથે સરખાવતા,આપણને કંપવિસ્તાર $A = 5 \, m$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 4 \, rad/s$ મળે છે.
સરળ આવર્તગતિ કરતા કણનો સ્થાનાંતર $y$ આગળ વેગ $v$ શોધવાનું સૂત્ર $v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$ છે.
આપેલ કિંમતો $\omega = 4$,$A = 5$ અને $y = 3$ મૂકતા:
$v = 4 \sqrt{5^2 - 3^2}$
$v = 4 \sqrt{25 - 9}$
$v = 4 \sqrt{16}$
$v = 4 \times 4 = 16 \, m/s$.
તેથી,વેગ $16 \, m/s$ થાય.

(A) સરળ આવર્તગતિ કરતા કણનો $x$ સ્થાનાંતરે વેગ $v$ શોધવાનું સૂત્ર: $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ છે.
અહીં કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ અને સ્થાનાંતર $x = \frac{A}{2}$ આપેલ છે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{A^2 - (\frac{A}{2})^2}$
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{A^2 - \frac{A^2}{4}}$
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{\frac{3A^2}{4}}$
$v = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{A\sqrt{3}}{2}$
$v = \frac{\pi A \sqrt{3}}{T}$.

(C) સરળ આવર્તગતિ કરતા કણનો મહત્તમ વેગ $(v_{\max})$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_{\max} = a\omega$
જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે:
કંપવિસ્તાર $a = 2 \ m$
આવર્તકાળ $T = 2 \ s$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \frac{2\pi}{2} = \pi \ rad/s$
હવે,$v_{\max}$ ની ગણતરી કરતા:
$v_{\max} = 2 \times \pi = 2\pi \ m/s$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) સરળ આવર્તગતિ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x = a \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = a\omega \cos(\omega t + \phi)$.
મહત્તમ વેગ $V_{max}$ ત્યારે મળે જ્યારે $\cos(\omega t + \phi) = 1$ થાય,તેથી $V_{max} = a\omega$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી,આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા આપણને $V_{max} = a \left(\frac{2\pi}{T}\right) = \frac{2\pi a}{T}$ મળે છે.

(B) સરળ આવર્તગતિ કરતા કણનો મહત્તમ વેગ $(v_{\max})$ શોધવાનું સૂત્ર: $v_{\max} = a\omega$,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે: કંપવિસ્તાર $a = 3 \ cm$,આવર્તકાળ $T = 6 \ s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \ rad/s$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_{\max} = 3 \times \frac{\pi}{3} = \pi \ cm/s$.
તેથી,મહત્તમ વેગ $\pi \ cm/s$ થાય છે.

(C) આપેલ છે: કંપવિસ્તાર $a = 10 \ cm$,મહત્તમ વેગ $v_{\max} = 100 \ cm/s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v_{\max} = a\omega$,તેથી $100 = 10 \times \omega$,જે આપણને $\omega = 10 \ rad/s$ આપે છે.
સ્થાનાંતર $y$ પર વેગ $v$ નું સૂત્ર $v = \omega \sqrt{a^2 - y^2}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $50 = 10 \sqrt{10^2 - y^2}$.
$10$ વડે ભાગતા: $5 = \sqrt{100 - y^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $25 = 100 - y^2$.
$y^2 = 100 - 25 = 75$.
$y = \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \ cm$.

(A) સરળ આવર્તગતિ કરતા પદાર્થ માટે,મહતમ પ્રવેગ $A_{max} = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે $A_{max} = 24 \ m/s^2$,તેથી $\omega^2 A = 24$ --- $(i)$
મહતમ વેગ $V_{max} = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V_{max} = 16 \ m/s$,તેથી $\omega A = 16$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\omega^2 A}{\omega A} = \frac{24}{16}$
$\omega = 1.5 \ rad/s = 3/2 \ rad/s$
$\omega = 3/2$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$(3/2) A = 16$
$A = 16 \times (2/3) = 32/3 \ m$
આમ,કંપવિસ્તાર $32/3 \ m$ છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ માટે,$x$ સ્થાને વેગ $v$ નું સૂત્ર $v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ છે.
અહીં કંપવિસ્તાર $a$ અને આવર્તકાળ $T$ આપેલ છે,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ થાય.
$x = \frac{a}{2}$ સ્થાને ઝડપ:
$v = \omega \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}$
$v = \omega \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}}$
$v = \omega \sqrt{\frac{3a^2}{4}}$
$v = \omega \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ કિંમત મૂકતા:
$v = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$v = \frac{\pi a\sqrt{3}}{T}$

(B) $SHM$ માં,મધ્યમાન સ્થાનથી $x$ અંતરે કણનો વેગ $V = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $V^2 = \omega^2(a^2 - x^2)$.
$x_1$ અને $x_2$ અંતર માટે,આપણી પાસે છે:
$V_1^2 = \omega^2(a^2 - x_1^2) \dots (i)$
$V_2^2 = \omega^2(a^2 - x_2^2) \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$V_1^2 - V_2^2 = \omega^2(a^2 - x_1^2 - a^2 + x_2^2)$
$V_1^2 - V_2^2 = \omega^2(x_2^2 - x_1^2)$
$\omega^2 = \frac{V_1^2 - V_2^2}{x_2^2 - x_1^2}$
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ હોવાથી,$\omega = \frac{2\pi}{T}$ થાય.
આ કિંમત $\omega^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \frac{V_1^2 - V_2^2}{x_2^2 - x_1^2}$
$T^2 = 4\pi^2 \left(\frac{x_2^2 - x_1^2}{V_1^2 - V_2^2}\right)$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{x_2^2 - x_1^2}{V_1^2 - V_2^2}}$

(A) આપેલ છે,કંપનવિસ્તાર $A = 3\,cm$ અને સ્થાનાંતર $x = 2\,cm$.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ છે.
તેના પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \omega^2 x$ છે.
આપેલ છે કે $|v| = |a|$,તેથી $\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 x$.
બંને બાજુ $\omega$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\sqrt{A^2 - x^2} = \omega x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $A^2 - x^2 = \omega^2 x^2$.
કિંમતો મૂકતા: $3^2 - 2^2 = \omega^2 (2^2) \Rightarrow 9 - 4 = 4\omega^2 \Rightarrow 5 = 4\omega^2$.
આમ,$\omega^2 = \frac{5}{4}$,જે આપે છે $\omega = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{5}/2} = \frac{4\pi}{\sqrt{5}}\,s$.

(B) ગતિનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \frac{\pi}{6})$ છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \frac{\pi}{6})$.
મહત્તમ વેગ $v_{max} = A\omega$ છે.
આપણને આપેલ છે કે વેગ તેના મહત્તમ વેગના અડધા જેટલો છે: $v = \frac{v_{max}}{2}$.
કિંમતો મુકતા: $A\omega \cos(\omega t + \frac{\pi}{6}) = \frac{A\omega}{2}$.
આથી $\cos(\omega t + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી $\omega t + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ લેતા,$\frac{2\pi}{T} t + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$t = \frac{\pi}{6} \times \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$.

(A) સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \sin (2\pi t + \pi /3)$ છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = A(2\pi) \cos (2\pi t + \pi /3).$
વેગ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે કોસાઈન પદનું મૂલ્ય મહત્તમ હોય,જે સરેરાશ સ્થાન પર થાય છે જ્યાં $x = 0$ હોય.
$x = 0$ લેતા,આપણને $\sin (2\pi t + \pi /3) = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $(2\pi t + \pi /3) = n\pi$,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.
$n = 0$ માટે,$2\pi t = -\pi /3$,જે $t < 0$ આપે છે (જે શક્ય નથી).
$n = 1$ માટે,$2\pi t + \pi /3 = \pi$.
$2\pi t = \pi - \pi /3 = 2\pi /3$.
$t = 1/3 \approx 0.33 \text{ s}$.
આમ,$t = 0$ પછી પ્રથમ વખત જ્યારે વેગ મહત્તમ હોય ત્યારે સમય $0.33 \text{ s}$ છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મહત્તમ વેગ $v_{\max} = a \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ કંપનવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
$\omega = \frac{2 \pi}{T}$ હોવાથી,આપણને $v_{\max} = a \times \frac{2 \pi}{T}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$T = \frac{2 \pi a}{v_{\max}}$ મળે.
અહીં $a = 7 \ mm = 7 \times 10^{-3} \ m$ અને $v_{\max} = 4.4 \ m/s$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{2 \times 3.14 \times 7 \times 10^{-3}}{4.4}$.
$T = \frac{43.96 \times 10^{-3}}{4.4} \approx 9.99 \times 10^{-3} \ s \approx 0.01 \ s$.

(B) સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = 2 \times 10^{-2} \cos(\pi t)$ છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે, આપણે સ્થાનાંતરનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [2 \times 10^{-2} \cos(\pi t)] = -2 \times 10^{-2} \pi \sin(\pi t)$.
ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય છે, $|v| = |2 \times 10^{-2} \pi \sin(\pi t)|$.
ઝડપ મહત્તમ હોવા માટે, $|\sin(\pi t)|$ નું મૂલ્ય $1$ હોવું જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\sin(\pi t) = 1$ અથવા $\sin(\pi t) = -1$ હોય.
પ્રથમ વખત આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\sin(\pi t) = 1$, જે $\pi t = \frac{\pi}{2}$ ને અનુરૂપ છે.
$t$ માટે ઉકેલતા, આપણને $t = \frac{1}{2} = 0.5 \text{ s}$ મળે છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક કંપવિસ્તાર $A$ છે અને નવો કંપવિસ્તાર $A'$ છે. સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો સંતુલન સ્થાનથી $x$ અંતરે વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = \frac{2A}{3}$ પર,પ્રારંભિક વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - (\frac{2A}{3})^2} = \omega \sqrt{A^2 - \frac{4A^2}{9}} = \omega \sqrt{\frac{5A^2}{9}} = \frac{\omega A \sqrt{5}}{3}$ છે.
નવી ઝડપ $v' = 3v = \omega A \sqrt{5}$ છે.
તે જ સ્થાન $x = \frac{2A}{3}$ પર નવા કંપવિસ્તાર $A'$ માટેનું સૂત્ર વાપરતા:
$(v')^2 = \omega^2 (A'^2 - x^2)$
$(\omega A \sqrt{5})^2 = \omega^2 (A'^2 - (\frac{2A}{3})^2)$
$5A^2 = A'^2 - \frac{4A^2}{9}$
$A'^2 = 5A^2 + \frac{4A^2}{9} = \frac{45A^2 + 4A^2}{9} = \frac{49A^2}{9}$
$A' = \sqrt{\frac{49A^2}{9}} = \frac{7A}{3}$.

(D) આલેખ પરથી,છતથી મહત્તમ અંતર $100\ cm$ અને ન્યૂનતમ અંતર $30\ cm$ છે.
આ દોલનના બે અંતિમ સ્થાનો દર્શાવે છે.
અંતિમ સ્થાનો વચ્ચેનું કુલ અંતર $100\ cm - 30\ cm = 70\ cm$ છે.
અંતિમ સ્થાનો વચ્ચેનું કુલ અંતર $2A$ હોવાથી,$2A = 70\ cm$,જે કંપવિસ્તાર $A = 35\ cm$ આપે છે.
મધ્યમાન સ્થાન છતથી $30\ cm + 35\ cm = 65\ cm$ ના અંતરે છે.
$t = 0$ સમયે,દળ ઉપરના અંતિમ સ્થાને $(100\ cm)$ છે.
$t = \frac{1}{4}\ T$ સમયે,દળ મધ્યમાન સ્થાને $(65\ cm)$ પહોંચે છે.
$t = \frac{1}{2}\ T$ સમયે,દળ નીચેના અંતિમ સ્થાને $(30\ cm)$ પહોંચે છે.
સરળ આવર્ત ગતિમાં,મધ્યમાન સ્થાને ઝડપ મહત્તમ હોય છે.
તેથી,$t = \frac{1}{4}\ T$ સમયે ઝડપ મહત્તમ છે.

(A) $SHM$ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega(t - t_0))$ છે,જ્યાં $t_0$ એ સમય છે જ્યારે કણ સંતુલન સ્થાન પર હોય છે.
આપેલ છે $t_0 = 1 \, s$,તેથી $x(t) = A \sin(\omega(t - 1))$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \, rad/s$ છે.
વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega(t - 1))$ છે.
$t = 2 \, s$ સમયે,$v = 0.25 \, m/s = \frac{1}{4} \, m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{4} = A \left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3}(2 - 1)\right)$.
$\frac{1}{4} = A \left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{1}{4} = A \left(\frac{\pi}{3}\right) \left(\frac{1}{2}\right)$.
$\frac{1}{4} = A \left(\frac{\pi}{6}\right)$.
$A = \frac{6}{4\pi} = \frac{3}{2\pi} \, m$.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ માટે,સ્થાનાંતર $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આલેખ પરથી,$t = 0$ સમયે,વેગ $v(0)$ મહત્તમ (ધન શિખર) છે.
જો લોલક મધ્યમાન સ્થાન $(x=0)$ થી શરૂ થાય,તો $t=0$ સમયે વેગ મહત્તમ હોય છે,જે આલેખ સાથે મેળ ખાય છે.
જો લોલક અંતિમ સ્થાન $(x=A)$ થી શરૂ થાય,તો $t=0$ સમયે વેગ $0$ હોય છે,જે આલેખ સાથે મેળ ખાતું નથી.
તેથી,આલેખ મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતા સાદા લોલકની ગતિ દર્શાવે છે.