$m$ દળનો એક પથ્થર અવગણ્ય દળ અને $k$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્થિતિસ્થાપક દોરી સાથે બાંધેલો છે. દોરીની ખેંચાયા વગરની લંબાઈ $L$ છે. દોરીનો બીજો છેડો $P$ બિંદુએ ખીલી સાથે જડેલો છે. શરૂઆતમાં પથ્થરને $P$ બિંદુની સપાટી પર રાખવામાં આવે છે અને તેને શિરોલંબ નીચે પાડવામાં આવે છે.
$(a)$ જ્યારે પદાર્થ પ્રથમ વખત ક્ષણભર માટે સ્થિર થાય ત્યારે ઉપરથી તેનું અંતર $y$ શોધો.
$(b)$ આ પતન દરમિયાન પથ્થર દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ વેગ કેટલો હશે?
$(c)$ પથ્થર તેના સૌથી નીચલા બિંદુએ પહોંચ્યા પછી તેની ગતિનું સ્વરૂપ કેવું હશે?

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store
(N/A) આકૃતિને ધ્યાનમાં લો,પથ્થરને $P$ બિંદુથી નીચે પાડવામાં આવે છે.
$(a)$ પથ્થર $L$ લંબાઈ સુધી મુક્ત પતન કરે છે. ત્યારબાદ,દોરીની સ્થિતિસ્થાપકતા પુનઃસ્થાપક બળ લગાડે છે. ધારો કે પથ્થર $P$ થી $y$ અંતરે ક્ષણિક સ્થિર થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પથ્થરની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = દોરીની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો:
$mgy = \frac{1}{2}k(y - L)^2$
$mgy = \frac{1}{2}k(y^2 - 2yL + L^2)$
$2mgy = ky^2 - 2kyL + kL^2$
$ky^2 - 2(mg + kL)y + kL^2 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{2(mg + kL) \pm \sqrt{4(mg + kL)^2 - 4k^2L^2}}{2k}$
$y = \frac{(mg + kL) + \sqrt{m^2g^2 + 2mgkL + k^2L^2 - k^2L^2}}{k}$
$y = L + \frac{mg + \sqrt{m^2g^2 + 2mgkL}}{k}$
$(b)$ મહત્તમ વેગ ત્યારે મળે છે જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય,એટલે કે જ્યારે તણાવ બળ વજન બળ જેટલું હોય: $k(y_{eq} - L) = mg$,તેથી $y_{eq} = L + \frac{mg}{k}$.
શરૂઆત અને સંતુલન સ્થિતિ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$mgy_{eq} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 + \frac{1}{2}k(y_{eq} - L)^2$
$mg(L + \frac{mg}{k}) = \frac{1}{2}mv_{max}^2 + \frac{1}{2}k(\frac{mg}{k})^2$
$mgL + \frac{m^2g^2}{k} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 + \frac{m^2g^2}{2k}$
$v_{max} = \sqrt{2gL + \frac{m^2g^2}{mk}} = \sqrt{2gL + \frac{mg^2}{k}}$.
$(c)$ સૌથી નીચલા બિંદુએ પહોંચ્યા પછી,પથ્થર સંતુલન સ્થિતિ $y_{eq} = L + \frac{mg}{k}$ ની આસપાસ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરશે.

Explore More

Similar Questions

જ્યારે $m$ દળને સ્પ્રિંગ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે $4 \, s$ ના આવર્તકાળ સાથે દોલન કરે છે. જ્યારે સ્પ્રિંગ સાથે $2 \, kg$ નું વધારાનું દળ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે આવર્તકાળમાં $1 \, s$ નો વધારો થાય છે. $m$ નું મૂલ્ય ........... $kg$ છે.

$m$ દળનો એક કણ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $k$ બળ અચળાંક ધરાવતી ત્રણ સમાન સ્પ્રિંગો $A, B$ અને $C$ સાથે જોડાયેલ છે. જો $m$ દળના કણને સ્પ્રિંગ $A$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં થોડો ધકેલીને મુક્ત કરવામાં આવે,તો દોલનોનો આવર્તકાળ કેટલો હશે?

Difficult
View Solution

$1\, kg$ અને $4\, kg$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થોને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક ઉર્ધ્વ સ્પ્રિંગ સાથે જોડવામાં આવ્યા છે. નાનો પદાર્થ $25\, rad/s$ ની કોણીય આવૃત્તિ અને $1.6\, cm$ ના કંપનવિસ્તાર સાથે સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે,જ્યારે મોટો પદાર્થ જમીન પર સ્થિર રહે છે. તંત્ર દ્વારા જમીન પર લાગતું મહત્તમ બળ ..... $N$ છે ($g = 10\, m/s^2$ લો).

ઘન પદાર્થમાં રહેલો સિલ્વરનો પરમાણુ $10^{12} \ s^{-1}$ ની આવૃત્તિ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે. એક પરમાણુને બીજા સાથે જોડતા બંધનો બળ અચળાંક કેટલો હશે? (સિલ્વરનું મોલર દળ $= 108 \ g/mol$ અને એવોગેડ્રો આંક $= 6.02 \times 10^{23} \ mol^{-1}$)

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ દરેક $k$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી અને $M$ દળની સરખામણીમાં અવગણ્ય દળ ધરાવતી બે સમાન સ્પ્રિંગનો વિચાર કરો. આકૃતિ $1$ તેમાંથી એક દર્શાવે છે અને આકૃતિ $2$ તેમનું શ્રેણી જોડાણ દર્શાવે છે. બે $SHM$ ના દોલનનો આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T_b}{T_a} = \sqrt{x}$ છે,જ્યાં $x$ નું મૂલ્ય કેટલું છે? (નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરો).

Vedclass Products

For Students

Vedclass Test Series

Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.

Start Free Trial
For Teachers

Exam Paper Generator

Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.

Try Free
For Institutes

Online Exam Module

Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.

See Demo