Conservation of Linear Momentum Questions in Gujarati

(B) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગોળી છોડતા પહેલા તંત્રનું કુલ વેગમાન એ ગોળી છોડ્યા પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $(P_i)$ = $0$ (કારણ કે બંને સ્થિર છે).
અંતિમ વેગમાન $(P_f)$ = $m_b v_b + m_g v_g$,જ્યાં $m_b = 40 \,g = 0.04 \,kg$,$v_b = 400 \,m/s$,$m_g = 10 \,kg$,અને $v_g$ એ બંદૂકનો રિકોઈલ વેગ છે.
$P_i = P_f$
$0 = (0.04 \,kg \times 400 \,m/s) + (10 \,kg \times v_g)$
$0 = 16 + 10 v_g$
$10 v_g = -16$
$v_g = -1.6 \,m/s$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે રિકોઈલ વેગ એ ગોળીની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

(D) બોમ્બનું કુલ દળ $M = 1 \,kg$ છે. ત્રણ ટુકડાઓના દળનો ગુણોત્તર $1: 1: 3$ છે. તેથી,ટુકડાઓના દળ $m_1 = 0.2 \,kg$,$m_2 = 0.2 \,kg$,અને $m_3 = 0.6 \,kg$ થશે.
શરૂઆતમાં બોમ્બ સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = 0$ છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$.
$0.2 \,kg$ દળના બે ટુકડાઓ એકબીજાને લંબ દિશામાં $v_1 = v_2 = 15 \,m / s$ ની ઝડપે ગતિ કરે છે. તેમનું સંયુક્ત વેગમાન $p_{12} = \sqrt{(m_1 v_1)^2 + (m_2 v_2)^2} = \sqrt{(0.2 \times 15)^2 + (0.2 \times 15)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3 \sqrt{2} \,kg \cdot m / s$ થશે.
કુલ વેગમાન શૂન્ય રહે તે માટે,ત્રીજા ટુકડાનું વેગમાન $p_{12}$ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ. તેથી,$m_3 v_3 = 3 \sqrt{2}$.
$m_3 = 0.6 \,kg$ મૂકતા,$0.6 \times v_3 = 3 \sqrt{2}$ મળે.
$v_3 = \frac{3 \sqrt{2}}{0.6} = 5 \sqrt{2} \,m / s$.

(B) બોમ્બ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે. રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ત્રણેય ટુકડાઓના વેગમાનનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\vec{p}_P + \vec{p}_Q + \vec{p}_R = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{p}_R = -(\vec{p}_P + \vec{p}_Q)$.
દરેક ટુકડાનું દળ $m = 6 \,kg / 3 = 2 \,kg$ છે.
ટુકડા $P$ નું વેગમાન $p_P = m v_P = 2 \times 30 = 60 \,kg \cdot m/s$ છે.
ટુકડા $Q$ નું વેગમાન $p_Q = m v_Q = 2 \times 40 = 80 \,kg \cdot m/s$ છે.
$P$ અને $Q$ એકબીજા સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે હોવાથી,$P$ અને $Q$ ના પરિણામી વેગમાનનું મૂલ્ય $p_{PQ} = \sqrt{p_P^2 + p_Q^2} = \sqrt{60^2 + 80^2} = 100 \,kg \cdot m/s$ થાય.
કુલ વેગમાન શૂન્ય થવા માટે,$\vec{p}_R$ એ $\vec{p}_{PQ}$ ની વિરુદ્ધ અને સમાન હોવું જોઈએ. તેથી,$p_R = 100 \,kg \cdot m/s$.
ધારો કે $\alpha$ એ $\vec{p}_R$ અને $\vec{p}_P$ ની વિરુદ્ધ દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે. તો $\tan \alpha = p_Q / p_P = 80 / 60 = 4/3$,તેથી $\alpha = 53^{\circ}$.
$P$ અને $R$ ની ગતિની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ} - 53^{\circ} = 127^{\circ}$ થશે.

(D) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,શરૂઆતમાં કણ સ્થિર હોવાથી,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
$0 = x v_1 - y v_2$ (વિરુદ્ધ દિશાઓને ધન અને ઋણ લેતા)
$x v_1 = y v_2 \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{y}{x} \dots (1)$
કણની ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2} m v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{1}{2} x v_1^2}{\frac{1}{2} y v_2^2} = \frac{x}{y} \left( \frac{v_1}{v_2} \right)^2$
સમીકરણ $(1)$ ને આ પદમાં મૂકતા:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{x}{y} \left( \frac{y}{x} \right)^2 = \frac{x}{y} \cdot \frac{y^2}{x^2} = \frac{y}{x}$
આમ,ગુણોત્તર $\frac{y}{x}$ છે.

(D) મહત્તમ ઊંચાઈએ,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ $v_x = u \cos \theta$ અને $v_y = 0$ છે. કુલ દળ $M = m + m + 2m = 4m$ છે.
વિસ્ફોટ દરમિયાન કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળો ન હોવાથી,$x$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
$x$-અક્ષ પર પ્રારંભિક વેગમાન: $P_{ix} = (4m)(u \cos \theta)$.
વિસ્ફોટ પછી:
- પ્રથમ ભાગ $(m)$ શિરોલંબ નીચે પડે છે,તેથી તેનો સમક્ષિતિજ વેગ $0$ છે.
- બીજો ભાગ $(m)$ પ્રક્ષેપણ બિંદુ પર પાછો ફરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો સમક્ષિતિજ વેગ $-u \cos \theta$ હોવો જોઈએ.
- ધારો કે ત્રીજા ભાગ $(2m)$ નો વેગ $V$ છે.
$x$-અક્ષ પર વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$4m(u \cos \theta) = m(0) + m(-u \cos \theta) + 2m(V)$
$4m u \cos \theta = -m u \cos \theta + 2m V$
$5m u \cos \theta = 2m V$
$V = \frac{5}{2} u \cos \theta$.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બોમ્બનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે કારણ કે તે સ્થિર છે.
ધારો કે $m_1 = 3 \,kg$ અને $m_2 = 6 \,kg$. $m_1$ નો વેગ $v_1 = 16 \,m/s$ છે.
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$ હોવાથી,$3 \times 16 + 6 \times v_2 = 0$ મળે.
$48 + 6 v_2 = 0 \implies v_2 = -8 \,m/s$.
$6 \,kg$ દળના ટુકડાની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} m_2 v_2^2$ છે.
$K.E. = \frac{1}{2} \times 6 \times (-8)^2 = 3 \times 64 = 192 \,J$.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન એ કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોય છે.
શરૂઆતમાં,રાઈફલમેન અને ગોળીઓ સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
ધારો કે $M = 100\,kg$ એ રાઈફલમેન અને રાઈફલનું દળ છે,$n = 10$ એ ગોળીઓની સંખ્યા છે,$m = 10\,g = 0.01\,kg$ એ દરેક ગોળીનું દળ છે અને $v_b = 800\,ms^{-1}$ એ દરેક ગોળીનો વેગ છે.
ધારો કે $V$ એ રાઈફલમેનનો રિકોઈલ વેગ છે.
સિસ્ટમનું અંતિમ વેગમાન $M \times V + n \times m \times v_b = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $100 \times V + 10 \times 0.01 \times 800 = 0$.
$100 \times V + 80 = 0$.
$100 \times V = -80$.
$V = -0.8\,ms^{-1}$.
રાઈફલમેન દ્વારા પ્રાપ્ત વેગનું મૂલ્ય ગોળીઓની વિરુદ્ધ દિશામાં $0.8\,ms^{-1}$ છે.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય,તો કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
શરૂઆતમાં,પદાર્થ સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક વેગમાન $P_{i} = 0$ છે.
વિસ્ફોટ પછી,કુલ અંતિમ વેગમાન $P_{f}$ પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$P_{f} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = 0$
આ સૂચવે છે કે $m_{1}v_{1} = -m_{2}v_{2}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બંને ટુકડાઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
જેহেতু દળ અસમાન છે $(m_{1} \neq m_{2})$,તેથી $m_{1}v_{1} = m_{2}v_{2}$ ના સમીકરણને સંતોષવા માટે તેમની ઝડપ પણ અસમાન $(v_{1} \neq v_{2})$ હોવી જોઈએ.

(B) ધારો કે માણસનું દળ $m_m = 100\,kg$ અને પ્લેટફોર્મનું દળ $m_p = 200\,kg$ છે.
સિસ્ટમ લીસી બરફની સપાટી પર હોવાથી,સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું નથી.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહે છે. શરૂઆતમાં સિસ્ટમ સ્થિર છે,તેથી $v_{com} = 0$.
ધારો કે પ્લેટફોર્મનો બરફ (જમીન) ની સાપેક્ષે પાછળની દિશામાં વેગ $v_p$ છે.
ધારો કે માણસનો બરફ (જમીન) ની સાપેક્ષે આગળની દિશામાં વેગ $v_m$ છે.
માણસનો પ્લેટફોર્મની સાપેક્ષે વેગ $v_{m/p} = 30\,m/s$ આપેલ છે.
સાપેક્ષ વેગની વ્યાખ્યા મુજબ,$v_{m/p} = v_m - (-v_p) = v_m + v_p$.
તેથી,$v_m = 30 - v_p$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સિસ્ટમનું કુલ વેગમાન શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$m_m v_m - m_p v_p = 0$
$100(30 - v_p) - 200 v_p = 0$
$3000 - 100 v_p - 200 v_p = 0$
$3000 = 300 v_p$
$v_p = 10\,m/s$.
આમ,પ્લેટફોર્મ બરફની સાપેક્ષે $10\,m/s$ ના વેગથી પાછળની તરફ ધકેલાશે.

(C) ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,સ્પ્રિંગ બંને ગાડીઓ પર સમાન સમયગાળા માટે સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડે છે.
તંત્ર અલગ હોવાથી (કોઈ બાહ્ય આડું બળ નથી),તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
શરૂઆતમાં,ગાડીઓ સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = 0$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાન $P_f$ પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$
વેગનો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$m_1 v_1 = -m_2 v_2$
$\frac{v_1}{v_2} = -\frac{m_2}{m_1}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,$h = 20\,m$ ઊંચાઈ પરથી જમીન સુધી પહોંચવા માટે બંને પદાર્થો દ્વારા લેવાયેલ સમય $h = \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરીને ગણો:
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = \sqrt{4} = 2\,s$.
ધારો કે અથડામણ પછી દડાનો વેગ $v_1$ અને ગોળીનો વેગ $v_2$ છે.
દડા માટે: $v_1 = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{30}{2} = 15\,m/s$.
ગોળી માટે: $v_2 = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{120}{2} = 60\,m/s$.
સમક્ષિતિજ દિશામાં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$m_{bullet} u = m_{ball} v_1 + m_{bullet} v_2$
$(0.01) u = (0.2)(15) + (0.01)(60)$
$0.01 u = 3 + 0.6 = 3.6$
$u = \frac{3.6}{0.01} = 360\,m/s$.

(D) આપેલ છે:
ગનનું દળ,$M = 10\,kg$
દરેક ગોળીનું દળ,$m = 20\,g = 0.02\,kg$
પ્રતિ મિનિટ છોડાતી ગોળીઓની સંખ્યા,$n = 180$
દરેક ગોળીનો વેગ,$v = 100\,m s^{-1}$
પ્રતિ સેકન્ડ છોડાતી ગોળીઓનો દર,$n' = \frac{180}{60} = 3\,bullets/s$
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગન અને ગોળીઓનું કુલ વેગમાન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$M \times V + n' \times (m \times v) = 0$
$10 \times V + 3 \times (0.02 \times 100) = 0$
$10 \times V + 3 \times 2 = 0$
$10 \times V = -6$
$V = -0.6\,m/s$
રિકોઇલ વેગનું મૂલ્ય $0.6\,m/s$ છે.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય તો તંત્રનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = m_1 \times v_1 = 1000 \text{ kg} \times 6 \text{ m/s} = 6000 \text{ kg m/s}$.
અંતિમ દળ $m_f = 1000 \text{ kg} + 200 \text{ kg} = 1200 \text{ kg}$.
ધારો કે અંતિમ વેગ $v_f$ છે.
અંતિમ વેગમાન $P_f = m_f \times v_f = 1200 \text{ kg} \times v_f$.
$P_i = P_f$ હોવાથી,$6000 = 1200 \times v_f$.
$v_f = \frac{6000}{1200} = 5 \text{ m/s}$.

(B) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગોળો છોડ્યા પછી તરત જ આર્ટિલરીનું વેગમાન $(p_1)$ અને ગોળાનું વેગમાન $(p_2)$ ના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ,કારણ કે તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય હતું.
$|p_1| = |p_2| = p$
ગતિઊર્જા $(KE)$ એ વેગમાન $(p)$ અને દળ $(m)$ સાથે $KE = \frac{p^2}{2m}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
અહીં વેગમાન $p$ બંને માટે સમાન હોવાથી,$KE \propto \frac{1}{m}$ થાય.
તેથી,આર્ટિલરીની ગતિઊર્જા $(KE_1)$ અને ગોળાની ગતિઊર્જા $(KE_2)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{KE_1}{KE_2} = \frac{p^2 / 2M_1}{p^2 / 2M_2} = \frac{M_2}{M_1}$.

(B) કણ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાન પણ $0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,બંને ભાગોના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $|P_A| = |P_B|$,જેનો અર્થ છે કે $m_A v_A = m_B v_B$.
કણની ગતિઊર્જા $K = \frac{P^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_B}{K_A} = \frac{P_B^2 / 2m_B}{P_A^2 / 2m_A}$ થાય.
કારણ કે $|P_A| = |P_B|$,આ સમીકરણ $\frac{K_B}{K_A} = \frac{2m_A}{2m_B} = \frac{m_A}{m_B}$ માં સરળ બને છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં માન્ય છે અને આ નિયમ જણાવે છે કે,
જો કણોની સિસ્ટમ પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય તો રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે.
$F_{\text{resultant}} = \frac{dP}{dt}$
તેથી,કારણ કે $F_{\text{resultant}} = 0$,આપણે કહી શકીએ કે સિસ્ટમનું રેખીય વેગમાન સમય સાથે બદલાશે નહીં.

(A) બોમ્બ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ અંતિમ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે દરેક ટુકડાનું દળ $m$ છે. ત્રણ ટુકડાઓના વેગ $\vec{v}_1 = (1\hat{i}+3\hat{j}) \ m/s$,$\vec{v}_2 = (2\hat{i}-4\hat{j}) \ m/s$,અને $\vec{v}_3$ (અજ્ઞાત) છે.
વેગમાન સંરક્ષણનું સમીકરણ: $m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2 + m\vec{v}_3 = 0$.
$m$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3 = 0$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(1\hat{i}+3\hat{j}) + (2\hat{i}-4\hat{j}) + \vec{v}_3 = 0$.
$(3\hat{i}-1\hat{j}) + \vec{v}_3 = 0$.
તેથી,$\vec{v}_3 = -(3\hat{i}-1\hat{j}) = (-3\hat{i}+1\hat{j}) \ m/s$.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે.
$P_{i} = 0$
વિસ્ફોટ પછી,બે ભાગો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે. ધારો કે વેગ $v_{1}$ અને $v_{2}$ છે.
$P_{f} = M_{1}v_{1} - M_{2}v_{2} = 0$
$M_{1}v_{1} = M_{2}v_{2}$
$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{M_{2}}{M_{1}}$
પદાર્થની ગતિઊર્જા $E = \frac{p^{2}}{2M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવાથી $(p_{1} = p_{2} = p)$,
$\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{p^{2} / (2M_{1})}{p^{2} / (2M_{2})} = \frac{M_{2}}{M_{1}}$
આમ,તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{M_{2}}{M_{1}}$ છે.

(D) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય,તો કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન = ગોળીનું વેગમાન + બ્લોકનું વેગમાન = $mv + M(0) = mv$.
અથડામણ પછી,ગોળી બ્લોકની અંદર ફસાઈ જાય છે,તેથી તેઓ $(m+M)$ દળના એક તંત્ર તરીકે અંતિમ વેગ $V$ સાથે ગતિ કરે છે.
તંત્રનું અંતિમ વેગમાન = $(m+M)V$.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mv = (m+M)V$
$V = \frac{mv}{m+M}$.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બોમ્બ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે. તેથી,કુલ અંતિમ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે ત્રીજા ભાગનું વેગમાન $\vec{p}_3$ છે.
$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$
$(-3 p \hat{i}) + (2 p \hat{j}) + \vec{p}_3 = 0$
$\vec{p}_3 = 3 p \hat{i} - 2 p \hat{j}$
ત્રીજા ભાગના વેગમાનનું મૂલ્ય:
$|\vec{p}_3| = \sqrt{(3p)^2 + (-2p)^2}$
$|\vec{p}_3| = \sqrt{9p^2 + 4p^2}$
$|\vec{p}_3| = \sqrt{13} p$

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું કુલ પ્રારંભિક વેગમાન તેના કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ,કારણ કે વિસ્ફોટ દરમિયાન પદાર્થ પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_{i} = MV$
અંતિમ વેગમાન $P_{f} = \frac{M}{2}(0) + \frac{M}{2}(v_{0})$
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા:
$MV = 0 + \frac{M}{2}v_{0}$
$MV = \frac{M}{2}v_{0}$
$v_{0} = 2V$

(B) શેલ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી તેનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે। વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, ત્રણેય ટુકડાઓના વેગમાનનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ।
ધારો કે ટુકડાઓના દળ $m_1 = M/4$, $m_2 = M/4$, અને $m_3 = M - (M/4 + M/4) = M/2$ છે।
પ્રથમ બે ટુકડાઓના વેગમાન $p_1 = m_1 v_1 = (M/4) \times 3 = 3M/4$ અને $p_2 = m_2 v_2 = (M/4) \times 4 = 4M/4 = M$ છે।
આ ટુકડાઓ પરસ્પર લંબ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી, તેમનું પરિણામી વેગમાન $p_{12} = \sqrt{p_1^2 + p_2^2} = \sqrt{(3M/4)^2 + (M)^2} = \sqrt{9M^2/16 + 16M^2/16} = \sqrt{25M^2/16} = 5M/4$ થાય।
ત્રીજા ટુકડાનું વેગમાન $p_3$ એવું હોવું જોઈએ કે $p_3 = -p_{12}$, તેથી તેનું મૂલ્ય $p_3 = 5M/4$ થાય।
$p_3 = m_3 v_3$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $(M/2) \times v_3 = 5M/4$ મળે છે।
$v_3$ માટે ઉકેલતા, $v_3 = (5M/4) \times (2/M) = 2.5 \text{ m/s}$ મળે છે।

(A) શેલનું કુલ દળ $M = 20 \,kg$ છે.
દળનો ગુણોત્તર $m_1 : m_2 = 2 : 3$ આપેલ છે.
તેથી,$m_1 = (2/5) \times 20 = 8 \,kg$ અને $m_2 = (3/5) \times 20 = 12 \,kg$ થાય.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,અંતિમ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$.
નાના ટુકડાનો વેગ $v_1 = 6 \,ms^{-1}$ લેતા,$8 \times 6 + 12 \times v_2 = 0$ મળે.
$48 + 12 v_2 = 0 \implies v_2 = -4 \,ms^{-1}$.
મોટા ટુકડાના વેગનું મૂલ્ય $4 \,ms^{-1}$ છે.
મોટા ટુકડાની ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} \times 12 \times (4)^2 = 6 \times 16 = 96 \,J$ થાય.

(A) $\text{રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ}$, સ્થિર રહેલા બોમ્બનું કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે।
બોમ્બ બે ટુકડાઓમાં વિસ્ફોટ પામે છે, તેથી અંતિમ વેગમાન પણ $0$ હોવું જોઈએ।
તેથી, $4 \,kg$ ના ટુકડાનું વેગમાન $(p_1)$ નું મૂલ્ય $8 \,kg$ ના ટુકડાના વેગમાન $(p_2)$ ના મૂલ્ય જેટલું જ હોવું જોઈએ।
આપેલ છે કે $p_1 = 20 \,Ns$, તેથી $p_2 = 20 \,Ns$.
કોઈપણ પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{p^2}{2m}$ છે।
$8 \,kg$ ના ટુકડા માટે, $K_2 = \frac{p_2^2}{2m_2} = \frac{20^2}{2 \times 8} = \frac{400}{16} = 25 \,J$.

(C) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગોળી છોડ્યા પછી બંદૂકનું વેગમાન $(p_g)$ અને ગોળીનું વેગમાન $(p_b)$ સમાન હોવું જોઈએ,એટલે કે $p_g = p_b = p$.
$m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની $p$ વેગમાન સાથેની ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વેગમાન $p$ સમાન હોવાથી,$K \propto \frac{1}{m}$ થાય.
બંદૂકનું દળ $(M)$ એ ગોળીના દળ $(m)$ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી,બંદૂકની ગતિઊર્જા $(K_g = \frac{p^2}{2M})$ એ ગોળીની ગતિઊર્જા $(K_b = \frac{p^2}{2m})$ કરતા ઘણી ઓછી હશે.
તેથી,બંદૂકની ગતિઊર્જા $K$ કરતા ઓછી હશે.

(B) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિસ્ફોટ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ વિસ્ફોટ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = M \vec{v} = 10 \ kg \times 5 \hat{i} \ m \ s^{-1} = 50 \hat{i} \ kg \ m \ s^{-1}$.
ધારો કે પ્રથમ ટુકડાનું દળ $m_1 = 4 \ kg$ છે અને તેનો વેગ $\vec{v}_1 = 10 \hat{i} \ m \ s^{-1}$ છે.
બીજા ટુકડાનું દળ $m_2 = M - m_1 = 10 \ kg - 4 \ kg = 6 \ kg$ છે.
ધારો કે બીજા ટુકડાનો વેગ $\vec{v}_2$ છે.
અંતિમ વેગમાન $P_f = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = 4 \times 10 \hat{i} + 6 \times \vec{v}_2 = 40 \hat{i} + 6 \vec{v}_2$.
$P_i = P_f$ સરખાવતા:
$50 \hat{i} = 40 \hat{i} + 6 \vec{v}_2$.
$6 \vec{v}_2 = 10 \hat{i}$.
$\vec{v}_2 = \frac{10}{6} \hat{i} = 1.67 \hat{i} \ m \ s^{-1}$.

(B) ધારો કે દરેક ટુકડાનું દળ $m$ છે. બોમ્બ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે. રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાન પણ $0$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે ત્રણ ટુકડાઓના વેગ $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ અને $\vec{v}_3$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{v}_1 = v \hat{i}$ અને $\vec{v}_2 = v \hat{j}$.
વેગમાન સંરક્ષણનું સમીકરણ: $m \vec{v}_1 + m \vec{v}_2 + m \vec{v}_3 = 0$.
$m$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3 = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $v \hat{i} + v \hat{j} + \vec{v}_3 = 0$.
તેથી,$\vec{v}_3 = -v \hat{i} - v \hat{j}$.
ત્રીજા ટુકડાની ઝડપ એ $\vec{v}_3$ નું મૂલ્ય છે:
$|v_3| = \sqrt{(-v)^2 + (-v)^2} = \sqrt{v^2 + v^2} = \sqrt{2v^2} = v \sqrt{2}$.

(A) આપેલ છે કે,શેલનું દળ $= m$.
શેલનો પ્રારંભિક વેગ $= v$.
પ્રથમ ટુકડાનું દળ,$m_1 = \frac{m}{6}$.
બીજા ટુકડાનું દળ,$m_2 = m - \frac{m}{6} = \frac{5m}{6}$.
પ્રથમ ટુકડાનો વેગ,$v_1 = 0$ (કારણ કે તે સ્થિર રહે છે).
ધારો કે બીજા ટુકડાનો વેગ $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન = કુલ અંતિમ વેગમાન:
$m v = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
સમીકરણમાં જાણીતી કિંમતો મૂકતા:
$m v = \left(\frac{m}{6}\right) \times 0 + \left(\frac{5m}{6}\right) \times v_2$.
$m v = \frac{5m}{6} v_2$.
$v_2$ માટે ઉકેલતા:
$v_2 = \frac{m v \times 6}{5m} = \frac{6v}{5}$.
આમ,બીજા ટુકડાનો વેગ મૂળ ગતિની દિશામાં $\frac{6v}{5}$ છે.

(B) આપેલ છે કે,ગોળીનું દળ $= m$.
રાઈફલનું દળ $= M$.
ગોળીનો વેગ $= v$.
ધારો કે રાઈફલનો વેગ $v_r$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન એ કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોય છે.
તંત્ર (ગોળી + રાઈફલ) શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
તેથી,$m v + M v_r = 0$.
$v_r$ માટે સમીકરણને ઉકેલતા:
$M v_r = -m v$
$v_r = -\frac{m}{M} v$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે રાઈફલનો રિકોઈલ વેગ ગોળીના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

(C) ધારો કે પદાર્થનું દળ $2m$ છે. તે $m$ દળના બે સમાન ટુકડાઓમાં વિસ્ફોટ પામે છે. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે, તેથી અંતિમ વેગમાન સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ. જો એક ટુકડાનો વેગ $\vec{v}_1 = -10 \hat{i} - gt \hat{j}$ હોય, તો બીજાનો વેગ $\vec{v}_2 = 10 \hat{i} - gt \hat{j}$ હોવો જોઈએ.
સમય $t$ પર વિસ્ફોટના બિંદુની સાપેક્ષમાં ટુકડાઓના સ્થાન સદિશો $\vec{r}_1 = -10t \hat{i} - \frac{1}{2}gt^2 \hat{j}$ અને $\vec{r}_2 = 10t \hat{i} - \frac{1}{2}gt^2 \hat{j}$ છે.
સ્થાન સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે, તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = 0$
$(-10t \hat{i} - \frac{1}{2}gt^2 \hat{j}) \cdot (10t \hat{i} - \frac{1}{2}gt^2 \hat{j}) = 0$
$-100t^2 + \frac{1}{4}g^2t^4 = 0$
$t \neq 0$ હોવાથી, $t^2$ વડે ભાગતા:
$-100 + \frac{1}{4}g^2t^2 = 0$
$\frac{1}{4}g^2t^2 = 100$
$g^2t^2 = 400$
$g = 10 \,ms^{-2}$ લેતા:
$100t^2 = 400$
$t^2 = 4$
$t = 2 \,s$.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિસ્ફોટ પહેલા અને પછી તંત્રનું કુલ વેગમાન શૂન્ય હોવું જોઈએ,કારણ કે બોમ્બ શરૂઆતમાં સ્થિર હતો.
ધારો કે ત્રીજા ભાગનું વેગમાન $\vec{p}_3$ છે.
$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$
આપેલ છે કે $\vec{p}_1 = -2p \hat{i}$ અને $\vec{p}_2 = p \hat{j}$.
$-2p \hat{i} + p \hat{j} + \vec{p}_3 = 0$
$\vec{p}_3 = 2p \hat{i} - p \hat{j}$
ત્રીજા ભાગના વેગમાનનું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$|\vec{p}_3| = \sqrt{(2p)^2 + (-p)^2}$
$|\vec{p}_3| = \sqrt{4p^2 + p^2}$
$|\vec{p}_3| = \sqrt{5p^2} = \sqrt{5} p$

(C) આપેલ છે,બોમ્બનું દળ,$M = 9 \text{ kg}$.
શરૂઆતમાં,બોમ્બ સ્થિર છે,તેથી તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \text{ m/s}$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન એ કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ:
$M \times u = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$9 \times 0 = 3 \times 16 + 6 \times v_2$
$0 = 48 + 6 v_2$
$6 v_2 = -48$
$v_2 = -8 \text{ m/s}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે $6 \text{ kg}$ નો ટુકડો $3 \text{ kg}$ ના ટુકડાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
હવે,$6 \text{ kg}$ દળની ગતિઊર્જા $K$ નીચે મુજબ મળે:
$K = \frac{1}{2} m_2 v_2^2$
$K = \frac{1}{2} \times 6 \times (-8)^2$
$K = 3 \times 64 = 192 \text{ J}$.

$(A)$ આપેલ છે: $m_1 = 1 \,kg, m_2 = 2 \,kg$, $v_1 = 12 \,ms^{-1}, v_2 = 8 \,ms^{-1}$, અને $v_3 = 4 \,ms^{-1}$.
ખડક શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી, પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, અંતિમ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0 \Rightarrow \vec{p}_3 = -(\vec{p}_1 + \vec{p}_2)$.
ત્રીજા ભાગના વેગમાનનું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે:
$p_3 = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + 2p_1 p_2 \cos 90^{\circ}} = \sqrt{(m_1 v_1)^2 + (m_2 v_2)^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$p_3 = \sqrt{(1 \times 12)^2 + (2 \times 8)^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \,kg \cdot ms^{-1}$.
$p_3 = m_3 v_3$ હોવાથી, $m_3 \times 4 = 20$, જે આપણને $m_3 = 5 \,kg$ આપે છે.
ખડકનું કુલ દળ $m = m_1 + m_2 + m_3 = 1 + 2 + 5 = 8 \,kg$ થાય.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે ગોળાનું દળ $2m$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે અને સમક્ષિતિજ વેગ $u \cos \theta$ હોય છે.
આમ,વિસ્ફોટ પહેલાં ગોળાનું વેગમાન $P = (2m)(u \cos \theta)$ છે.
વિસ્ફોટ પછી,ગોળો દરેક $m$ દળના બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત થાય છે.
એક ભાગ તેનો માર્ગ પાછો ખેંચે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો વેગ $v_1 = -u \cos \theta$ છે.
ધારો કે બીજા ભાગનો વેગ $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$2m u \cos \theta = m v_1 + m v_2$
$2m u \cos \theta = m(-u \cos \theta) + m v_2$
$2m u \cos \theta = -m u \cos \theta + m v_2$
$m v_2 = 3m u \cos \theta \Rightarrow v_2 = 3u \cos \theta$.
પ્રથમ ભાગની ગતિઊર્જા $E_1 = \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m (-u \cos \theta)^2 = \frac{1}{2} m u^2 \cos^2 \theta$ છે.
બીજા ભાગની ગતિઊર્જા $E_2 = \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m (3u \cos \theta)^2 = \frac{1}{2} m (9 u^2 \cos^2 \theta) = 9 \left( \frac{1}{2} m u^2 \cos^2 \theta \right)$ છે.
તેથી,$E_2 = 9 E_1$.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,અંતિમ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે $2M$ દળના ટુકડાનો વેગ $\vec{v} = u_x \hat{i} + u_y \hat{j}$ છે.
$X$-અક્ષ પર વેગમાન: $M(4) + M(0) + 2M(u_x) = 0 \Rightarrow 2M u_x = -4M \Rightarrow u_x = -2 \ m s^{-1}$.
$Y$-અક્ષ પર વેગમાન: $M(0) + M(6) + 2M(u_y) = 0 \Rightarrow 2M u_y = -6M \Rightarrow u_y = -3 \ m s^{-1}$.
વેગનું મૂલ્ય $u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$ દ્વારા મળે છે.
$u = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \ m s^{-1}$.

(A) ધારો કે બોમ્બનું કુલ દળ $M = 5m$ છે. નાના ટુકડાનું દળ $m_1 = m$ અને મોટા ટુકડાનું દળ $m_2 = 4m$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન = અંતિમ વેગમાન:
$M \vec{v} = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2$
$5m(40 \hat{i} + 50 \hat{j} - 25 \hat{k}) = m(200 \hat{i} + 70 \hat{j} + 15 \hat{k}) + 4m \vec{v}_2$
$m$ વડે ભાગતા:
$5(40 \hat{i} + 50 \hat{j} - 25 \hat{k}) = (200 \hat{i} + 70 \hat{j} + 15 \hat{k}) + 4 \vec{v}_2$
$(200 \hat{i} + 250 \hat{j} - 125 \hat{k}) - (200 \hat{i} + 70 \hat{j} + 15 \hat{k}) = 4 \vec{v}_2$
$0 \hat{i} + 180 \hat{j} - 140 \hat{k} = 4 \vec{v}_2$
$\vec{v}_2 = \frac{180 \hat{j} - 140 \hat{k}}{4} = 45 \hat{j} - 35 \hat{k} \text{ m/s}$.

(A) ધારો કે પાણીની સાપેક્ષમાં હોડીનો વેગ $v_b$ છે અને પાણીની સાપેક્ષમાં માણસનો વેગ $v_m$ છે.
આપેલ છે કે, હોડીની સાપેક્ષમાં માણસનો વેગ $v_{mb} = 2 \,ms^{-1}$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ, $v_{mb} = v_m - v_b$, તેથી $v_m = v_b + 2$.
તંત્ર (માણસ + હોડી) પર કોઈ બાહ્ય ક્ષૈતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી, તંત્રનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = 0$.
અંતિમ વેગમાન $P_f = m_{boat} v_b + m_{man} v_m = 200 v_b + 50(v_b + 2)$.
$P_i = P_f$ સરખાવતા:
$200 v_b + 50 v_b + 100 = 0$
$250 v_b = -100$
$v_b = -\frac{100}{250} = -0.4 \,ms^{-1}$.
હોડીના વેગનું મૂલ્ય $0.4 \,ms^{-1}$ છે (માણસની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં).

(C) ધારો કે પદાર્થનું દળ $2m$ છે. વિસ્ફોટ પછી,તે $m$ દળના બે ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે.
પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,અંતિમ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ. જો એક ટુકડાનો વેગ $\vec{v}_1 = 10\sqrt{3} \hat{i}$ હોય,તો બીજાનો વેગ $\vec{v}_2 = -10\sqrt{3} \hat{i}$ હોવો જોઈએ.
સમય $t$ પર,ટુકડાઓના સ્થાન $\vec{r}_1 = (10\sqrt{3}t) \hat{i} - (\frac{1}{2}gt^2) \hat{j}$ અને $\vec{r}_2 = (-10\sqrt{3}t) \hat{i} - (\frac{1}{2}gt^2) \hat{j}$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશો $\vec{r}_1$ અને $\vec{r}_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી $\cos(60^{\circ}) = \frac{\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2}{|\vec{r}_1| |\vec{r}_2|}$.
ગણતરી કરતા,$\frac{1}{2} = \frac{y^2 - x^2}{x^2 + y^2}$ જ્યાં $x = 10\sqrt{3}t$ અને $y = 5t^2$ છે.
આનાથી $y = \sqrt{3}x$ મળે છે. $5t^2 = \sqrt{3}(10\sqrt{3}t) = 30t$ પરથી $t = 6 \text{ s}$ મળે છે.
સમક્ષિતિજ અંતર $|x_1 - x_2| = 20\sqrt{3}t = 20\sqrt{3}(6) = 120\sqrt{3} \text{ m}$ થાય છે.

(A) ધારો કે પદાર્થનો વેગ $v$ છે અને વ્યક્તિનો વેગ $v'$ છે.
સપાટી લીસી હોવાથી,કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું નથી,તેથી રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
શરૂઆતમાં બંને સ્થિર છે,તેથી કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
$10 \ s$ પછી,તેમની વચ્ચેનું અંતર $10 \ m$ છે. તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = |v| + |v'| = \frac{10 \ m}{10 \ s} = 1 \ m/s$ થાય.
વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $Mv' + mv = 0$,જે દર્શાવે છે કે $v = -\frac{M}{m}v' = -\frac{90}{10}v' = -9v'$.
આ કિંમત સાપેક્ષ વેગના સમીકરણમાં મૂકતા: $|-9v'| + |v'| = 1 \implies 10|v'| = 1 \implies |v'| = 0.1 \ m/s$.
વ્યક્તિની ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2} M (v')^2 = \frac{1}{2} \times 90 \times (0.1)^2 = 45 \times 0.01 = 0.45 \ J$. જો આપણે $v' = 1/9 \ m/s$ લઈએ,તો $KE = 0.5 \times 90 \times (1/81) = 45/81 = 5/9 \approx 0.555 \ J$ મળે છે.

(A) કુલ દળ $M = 1 \,kg$ છે. દળનો ગુણોત્તર $1:1:3$ છે, તેથી દળ $m_1 = \frac{1}{5} \,kg$, $m_2 = \frac{1}{5} \,kg$, અને $m_3 = \frac{3}{5} \,kg$ છે.
પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી, પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, અંતિમ વેગમાન પણ $0$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે બે સમાન દળના ટુકડાઓ $x$ અને $y$ અક્ષ પર ગતિ કરે છે. તેમના વેગમાન સદિશો $\vec{p}_1 = m_1 v_1 \hat{i} = (\frac{1}{5} \times 30) \hat{i} = 6 \hat{i} \,kg \cdot m/s$ અને $\vec{p}_2 = m_2 v_2 \hat{j} = (\frac{1}{5} \times 30) \hat{j} = 6 \hat{j} \,kg \cdot m/s$ છે.
આ બે ભાગોનું પરિણામી વેગમાન $\vec{p}_{12} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = 6 \hat{i} + 6 \hat{j}$ છે.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{p}_{12}| = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6 \sqrt{2} \,kg \cdot m/s$ છે.
કુલ વેગમાન શૂન્ય થવા માટે, ત્રીજા ભાગનું વેગમાન $\vec{p}_3$ એ $\vec{p}_{12} + \vec{p}_3 = 0$ નું પાલન કરવું જોઈએ, તેથી $\vec{p}_3 = -\vec{p}_{12}$.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{p}_3| = m_3 v_3 = \frac{3}{5} v_3 = 6 \sqrt{2}$ છે.
$v_3$ માટે ઉકેલતા: $v_3 = \frac{6 \sqrt{2} \times 5}{3} = 10 \sqrt{2} \,m/s$.

(C) ધારો કે ત્રીજો દળનો કણ $(2m)$ $X$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે $u$ વેગથી ગતિ કરે છે.
$2m$ દળના કણના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta$ અને શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta$ છે.
શરૂઆતમાં કણ સ્થિર હોવાથી,તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$X$-દિશામાં રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$0 = m(4) + 2m(u \cos \theta)$
$4m = -2m(u \cos \theta)$
$u \cos \theta = -2 \quad \dots (i)$
$Y$-દિશામાં રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$0 = m(6) + 2m(u \sin \theta)$
$6m = -2m(u \sin \theta)$
$u \sin \theta = -3 \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને તેમનો સરવાળો કરતા:
$(u \cos \theta)^2 + (u \sin \theta)^2 = (-2)^2 + (-3)^2$
$u^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 4 + 9$
$u^2 = 13$
$u = \sqrt{13} \text{ ms}^{-1}$

(A) ધારો કે પાણીની સાપેક્ષમાં હોડીનો વેગ $v_b$ છે અને પાણીની સાપેક્ષમાં માણસનો વેગ $v_m$ છે.
આપેલ છે કે હોડીની સાપેક્ષમાં માણસનો વેગ $v_{m/b} = 2 \,ms^{-1}$ છે.
સાપેક્ષ વેગની વ્યાખ્યા મુજબ, $v_{m/b} = v_m - v_b$, તેથી $v_m = v_b + 2$.
તંત્ર (માણસ + હોડી) પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું ન હોવાથી, તંત્રનું વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = 0$.
અંતિમ વેગમાન $P_f = m_{boat} v_b + m_{man} v_m = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $200 v_b + 50(v_b + 2) = 0$.
$200 v_b + 50 v_b + 100 = 0$.
$250 v_b = -100$.
$v_b = -100 / 250 = -0.4 \,ms^{-1}$.
વેગનું મૂલ્ય $0.4 \,ms^{-1}$ અથવા $2/5 \,ms^{-1}$ છે.

(C) પદાર્થનો પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $u_x = u \cos \theta$ છે. આપેલ છે કે $\sin \theta = 3/5$,તેથી $\cos \theta = 4/5$. આમ,$u_x = 100 \times (4/5) = 80 \ m/s$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,શિરોલંબ વેગ $0$ છે અને સમક્ષિતિજ વેગ $80 \ m/s$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ તંત્રનું વેગમાન $P = (2m) \times 80 = 160m$ છે.
વિસ્ફોટ પછી,પ્રથમ ટુકડો $(m)$ સ્થિર થાય છે,તેથી તેનો વેગ $0$ છે. ધારો કે બીજા ટુકડા $(m)$ નો વેગ $v$ છે. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $160m = m(0) + m(v)$,જે આપણને $v = 160 \ m/s$ આપે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = (u \sin \theta) / g = (100 \times 3/5) / 10 = 6 \ s$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $x_1 = u_x \times t = 80 \times 6 = 480 \ m$ છે.
બીજો ટુકડો મહત્તમ ઊંચાઈથી જમીન સુધી $t = 6 \ s$ સમયમાં $160 \ m/s$ ના અચળ સમક્ષિતિજ વેગ સાથે ગતિ કરે છે. કાપેલું વધારાનું સમક્ષિતિજ અંતર $x_2 = v \times t = 160 \times 6 = 960 \ m$ છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુથી કુલ અંતર $x_1 + x_2 = 480 + 960 = 1440 \ m$ છે.