Conservation of Linear Momentum Questions in Gujarati

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિસ્ફોટ પહેલાનું કુલ વેગમાન અને વિસ્ફોટ પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોવું જોઈએ.
અવકાશયાનનું પ્રારંભિક વેગમાન = $M \vec{V}$.
વિસ્ફોટ પછી,અવકાશયાન બે ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે: એક $m$ દળનો અને બીજો $(M - m)$ દળનો.
ધારો કે $m$ દળના ટુકડાનો વેગ $\vec{v}_1 = 0$ છે (કારણ કે તે સ્થિર થઈ જાય છે).
ધારો કે $(M - m)$ દળના બીજા ટુકડાનો વેગ $\vec{v}_2$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$M \vec{V} = m \vec{v}_1 + (M - m) \vec{v}_2$
$M \vec{V} = m(0) + (M - m) \vec{v}_2$
$M \vec{V} = (M - m) \vec{v}_2$
$\vec{v}_2 = \frac{M \vec{V}}{M - m}$
તેથી,બીજા ટુકડાનો વેગ $\frac{MV}{M - m}$ થશે.

(B) ગતિપથના સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે અને સમક્ષિતિજ ઘટક $V \cos \theta$ હોય છે. ધારો કે શેલનું દળ $2m$ છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
પ્રારંભિક વેગમાન = અંતિમ વેગમાન
$(2m)(V \cos \theta) = m(0) + m(v_2)$
જ્યાં $v_2$ એ બીજા ટુકડાનો વેગ છે.
$2mV \cos \theta = mv_2$
તેથી,$v_2 = 2V \cos \theta$.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બાહ્ય બળની ગેરહાજરીમાં તંત્રનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
પ્રારંભિક વેગમાન: $\vec{P}_i = m_1 \vec{u}_1 + m_2 \vec{u}_2 + m_3 \vec{u}_3$
$\vec{P}_i = 10(10 \hat{i}) + 20(10 \hat{j}) + 40(10 \hat{k}) = 100 \hat{i} + 200 \hat{j} + 400 \hat{k} \ (g \cdot m/s)$
અંતિમ વેગમાન: $\vec{P}_f = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + m_3 \vec{v}_3$
આપેલ છે કે $\vec{v}_1 = 0$ અને $\vec{v}_2 = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \ m/s$:
$\vec{P}_f = 10(0) + 20(3 \hat{i} + 4 \hat{j}) + 40 \vec{v}_3 = 60 \hat{i} + 80 \hat{j} + 40 \vec{v}_3$
$\vec{P}_i = \vec{P}_f$ લેતા:
$100 \hat{i} + 200 \hat{j} + 400 \hat{k} = 60 \hat{i} + 80 \hat{j} + 40 \vec{v}_3$
$40 \vec{v}_3 = (100 - 60) \hat{i} + (200 - 80) \hat{j} + 400 \hat{k}$
$40 \vec{v}_3 = 40 \hat{i} + 120 \hat{j} + 400 \hat{k}$
$\vec{v}_3 = 1 \hat{i} + 3 \hat{j} + 10 \hat{k} \ m/s$

(C) સ્કેટર $A$ નું વેગમાન $p_A = m_A v_A = 30 \times 1 = 30 \, kg \cdot m/s$ છે.
સ્કેટર $B$ નું વેગમાન $p_B = m_B v_B = 20 \times 2 = 40 \, kg \cdot m/s$ છે.
કારણ કે સ્કેટર એકબીજા તરફ કાટખૂણે આવે છે,પરિણામી વેગમાન $p$ સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$p = \sqrt{p_A^2 + p_B^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \, kg \cdot m/s$.
જ્યારે તેઓ એકબીજાને વળગી જાય છે,ત્યારે તંત્રનું કુલ દળ $M = m_A + m_B = 30 + 20 = 50 \, kg$ થાય છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંતિમ વેગ $v_f$ નીચે મુજબ મળે:
$v_f = \frac{p}{M} = \frac{50}{50} = 1 \, m/s$.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સિસ્ટમનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે કારણ કે બોમ્બ સ્થિર છે.
તેથી,ત્રણ ટુકડાઓના વેગમાનનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\vec{p}_X + \vec{p}_Y + \vec{p}_Z = 0$.
દરેક ટુકડાનું દળ $m$ સમાન હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $m\vec{v}_X + m\vec{v}_Y + m\vec{v}_Z = 0$,જેનું સાદું રૂપ $\vec{v}_X + \vec{v}_Y + \vec{v}_Z = 0$ થાય છે.
આ સદિશ સમીકરણ સૂચવે છે કે ત્રણ વેગ સદિશો એક બંધ ત્રિકોણ બનાવવો જોઈએ.
ત્રણ સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય થવા માટે,તેઓ એક જ સમતલમાં હોવા જોઈએ.
ટુકડાઓ એક સમતલમાં ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી,તેઓ સામાન્ય રીતે અલગ અલગ વેગ (ઝડપ અને દિશા) સાથે ગતિ કરશે જેથી તેમનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય.

(A) ધારો કે દળ $m_1 = 4\, kg$ અને $m_2 = 6\, kg$ છે. પ્રથમ ટુકડાની ગતિઊર્જા $KE_1 = 200\, J$ છે.
પ્રથમ ટુકડાનું વેગમાન $p_1 = \sqrt{2 m_1 KE_1} = \sqrt{2 \times 4 \times 200} = \sqrt{1600} = 40\, kg\cdot m/s$ છે.
બોમ્બ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,કુલ વેગમાન શૂન્ય છે. તેથી,બંને ટુકડાઓના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $p_2 = p_1 = 40\, kg\cdot m/s$.
બીજા ટુકડાની ગતિઊર્જા $KE_2 = \frac{p_2^2}{2 m_2} = \frac{40^2}{2 \times 6} = \frac{1600}{12} = \frac{400}{3}\, J$ થાય.

(B) તંત્ર લીસી આડી સપાટી પર હોવાથી,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું નથી. તેથી,તંત્રનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = 0$.
ધારો કે પ્લેટફોર્મનો જમીનની સાપેક્ષ રિકોઈલ વેગ $v'$ છે.
માણસનો જમીનની સાપેક્ષ વેગ $(v - v')$ થશે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$p_i = p_f$
$0 = m_1(v - v') - m_2v'$
$0 = m_1v - m_1v' - m_2v'$
$m_1v = (m_1 + m_2)v'$
$v' = \frac{m_1v}{m_1 + m_2}$

(C) ધારો કે પદાર્થનું કુલ દળ $M = m + 3m = 4m$ છે. પદાર્થનું પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = Mv = 4mv$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાન $P_f$ એ પ્રારંભિક વેગમાન $P_i$ જેટલું હોવું જોઈએ.
પદાર્થ $m_1 = m$ અને $m_2 = 3m$ દળના બે ટુકડાઓમાં વિસ્ફોટ પામે છે.
આપેલ છે કે નાનો ટુકડો $(m_1)$ સ્થિર થાય છે,તેથી તેનો વેગ $v_1 = 0$ છે.
ધારો કે મોટા ટુકડા $(m_2)$ નો વેગ $v_2$ છે.
$P_f = m_1 v_1 + m_2 v_2 = m(0) + 3m(v_2) = 3mv_2$.
$P_i$ અને $P_f$ ને સરખાવતા:
$4mv = 3mv_2$
$v_2 = \frac{4v}{3}$.

(C) શરૂઆતમાં કણ સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે. રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાન પણ $0$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $m$ દળના બે ટુકડાઓ $x$ અને $y$ દિશામાં $v$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે. તેમના વેગમાન $\vec{p}_1 = mv \hat{i}$ અને $\vec{p}_2 = mv \hat{j}$ છે.
આ બે ટુકડાઓનું પરિણામી વેગમાન $\vec{p}_{12} = \sqrt{(mv)^2 + (mv)^2} = \sqrt{2} mv$ છે.
વેગમાનનું સંરક્ષણ કરવા માટે,$M_3 = 4m - m - m = 2m$ દળના ત્રીજા ટુકડાનું વેગમાન $\vec{p}_3$ એવું હોવું જોઈએ કે જેથી $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\vec{p}_3 = -(\vec{p}_1 + \vec{p}_2)$.
ત્રીજા ટુકડાના વેગમાનનું મૂલ્ય $p_3 = \sqrt{2} mv$ છે.
કારણ કે $p_3 = M_3 v_3$,તેથી $2m v_3 = \sqrt{2} mv$,જે આપણને $v_3 = \frac{v}{\sqrt{2}}$ આપે છે.
મુક્ત થતી કુલ ઉર્જા એ ટુકડાઓની અંતિમ ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$KE = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (2m) v_3^2$
$KE = mv^2 + m \left(\frac{v}{\sqrt{2}}\right)^2 = mv^2 + m \left(\frac{v^2}{2}\right) = \frac{3}{2} mv^2$.

(B) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
શરૂઆતમાં તંત્ર સ્થિર હોવાથી,કુલ વેગમાન $0$ છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે બ્લોક્સ વિરુદ્ધ દિશામાં $p_A$ અને $p_B$ વેગમાન સાથે ગતિ કરે છે,જેથી $p_A = p_B = p$ થાય.
કોઈ પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{p^2}{2m}$ છે.
તેથી,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{KE_A}{KE_B} = \frac{p^2 / (2m_A)}{p^2 / (2m_B)} = \frac{m_B}{m_A}$ થશે.
અહીં $m_A = 1\, kg$ અને $m_B = 2\, kg$ આપેલ હોવાથી,$\frac{KE_A}{KE_B} = \frac{2}{1} = 2$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: કુલ દળ $M = 12\,kg$. દળનો ગુણોત્તર $m_1 : m_2 = 1 : 3$.
તેથી,$m_1 = 3\,kg$ અને $m_2 = 9\,kg$.
નાના ટુકડાની ગતિઊર્જા $K_1 = 216\,J$.
બોમ્બ સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બંને ટુકડાઓના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $p_1 = p_2 = p$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $K = \frac{p^2}{2m}$,તેથી $p = \sqrt{2mK}$.
નાના ટુકડા માટે: $p = \sqrt{2 \times 3 \times 216} = \sqrt{6 \times 216} = \sqrt{1296} = 36\,kg\cdot m/s$.
$p_1 = p_2$ હોવાથી,ભારે ટુકડાનું વેગમાન પણ $36\,kg\cdot m/s$ થશે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન એ કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે સંયુક્ત દળનો વેગ $\vec{v}$ છે.
પ્રારંભિક વેગમાન સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{p}_1 = m(3u)\hat{i} = 3mu\hat{i}$
$\vec{p}_2 = 2m(2u)(-\cos 60^\circ \hat{i} + \sin 60^\circ \hat{j}) = 4mu(-\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{j}) = -2mu\hat{i} + 2\sqrt{3}mu\hat{j}$
$\vec{p}_3 = 3m(u)(-\cos 60^\circ \hat{i} - \sin 60^\circ \hat{j}) = 3mu(-\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{j}) = -1.5mu\hat{i} - 1.5\sqrt{3}mu\hat{j}$
કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{P}_{total} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = (3 - 2 - 1.5)mu\hat{i} + (2\sqrt{3} - 1.5\sqrt{3})mu\hat{j} = -0.5mu\hat{i} + 0.5\sqrt{3}mu\hat{j}$
કુલ દળ $M = m + 2m + 3m = 6m$.
$\vec{P}_{total} = M\vec{v}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-0.5mu\hat{i} + 0.5\sqrt{3}mu\hat{j} = 6m\vec{v}$
$\vec{v} = \frac{-0.5u\hat{i} + 0.5\sqrt{3}u\hat{j}}{6} = \frac{u}{12}(-\hat{i} + \sqrt{3}\hat{j})$.

(C) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું દળ $m$ છે અને $h = 490\, m$ ની ઊંચાઈએ તેનો વેગ $v_0 = 200\, ms^{-1}$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિસ્ફોટ પહેલાનું વેગમાન એ વિસ્ફોટ પછીના બે ભાગોના વેગમાનના સરવાળા જેટલું હોય છે.
$m v_0 = \frac{m}{2} v_1 + \frac{m}{2} v_2$
અહીં $v_0 = 200\, ms^{-1}$ (ઉપરની તરફ) અને $v_1 = 400\, ms^{-1}$ (ઉપરની તરફ) આપેલ છે.
$m(200) = \frac{m}{2}(400) + \frac{m}{2} v_2$
$200 = 200 + \frac{1}{2} v_2$
$0 = \frac{1}{2} v_2 \Rightarrow v_2 = 0\, ms^{-1}$.
આમ,બીજો ભાગ $490\, m$ ની ઊંચાઈએ સ્થિર છે.
બીજા ભાગ માટે ગતિનું સમીકરણ $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ વાપરતા:
$490 = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$490 = 4.9 t^2$
$t^2 = \frac{490}{4.9} = 100$
$t = 10\, s$.

(D) ધારો કે માણસનું દળ $m_1 = 50\, kg$ અને પુત્રનું દળ $m_2 = 20\, kg$ છે.
ધારો કે સપાટીની સાપેક્ષમાં માણસનો વેગ $V_1$ છે અને પુત્રનો વેગ $V_2$ છે.
સપાટી ઘર્ષણરહિત હોવાથી,તંત્ર પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય છે,તેથી રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
શરૂઆતમાં,બંને સ્થિર છે,તેથી કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
$m_1 V_1 + m_2 V_2 = 0$
પુત્રની ગતિની દિશાને ધન લેતા,$50 V_1 + 20 V_2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $50 V_1 = -20 V_2$,અથવા $V_2 = -2.5 V_1$.
માણસની સાપેક્ષમાં પુત્રની ઝડપ $V_{rel} = V_2 - V_1 = 0.70\, ms^{-1}$ આપેલ છે.
સાપેક્ષ વેગના સમીકરણમાં $V_2 = -2.5 V_1$ મૂકતા:
$-2.5 V_1 - V_1 = 0.70$
$-3.5 V_1 = 0.70$
$V_1 = -0.20\, ms^{-1}$.
સપાટીની સાપેક્ષમાં માણસની ઝડપનું મૂલ્ય $0.20\, ms^{-1}$ છે.

(D) બોમ્બનો પ્રારંભિક વેગ $u = 200\,m/s$ અને ખૂણો $\theta = 60^o$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક $0$ છે અને સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos(60^o) = 200 \times 0.5 = 100\,m/s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ કુલ વેગમાન $P = M v_x = M(100)$ છે,જ્યાં $M$ એ કુલ દળ છે.
વિસ્ફોટ પછી,દળ ત્રણ સમાન ભાગો $m = M/3$ માં વહેંચાય છે. ધારો કે ત્રણ કણોના વેગ $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{v}_1 = 100\hat{j}$ અને $\vec{v}_2 = -100\hat{j}$.
સમક્ષિતિજ દિશામાં રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$M(100) = m(v_{1x}) + m(v_{2x}) + m(v_{3x})$
$M(100) = (M/3)(0) + (M/3)(0) + (M/3)(v_{3x})$
$100 = v_{3x} / 3 \implies v_{3x} = 300\,m/s$.
પ્રથમ બે કણોના શિરોલંબ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,તેથી શિરોલંબ દિશામાં વેગમાન જાળવી રાખવા માટે ત્રીજા કણનો શિરોલંબ વેગ $0$ હોવો જોઈએ.
આમ,ત્રીજા કણનો વેગ સમક્ષિતિજ દિશામાં $300\,m/s$ છે.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન તેના અંતિમ વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
પ્રારંભિક વેગમાન: $\vec{P}_i = m v_0 \hat{i}$.
કણ બે ભાગમાં વહેંચાય છે: $m_1 = \frac{m}{3}$ જેનો વેગ $\vec{v}_1 = 2 v_0 \hat{j}$ છે,અને $m_2 = \frac{2m}{3}$ જેનો વેગ $\vec{v}_2$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા: $m v_0 \hat{i} = \left( \frac{m}{3} \right) (2 v_0 \hat{j}) + \left( \frac{2m}{3} \right) \vec{v}_2$.
$m v_0 \hat{i} = \frac{2m v_0}{3} \hat{j} + \frac{2m}{3} \vec{v}_2$.
$m$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા: $v_0 \hat{i} - \frac{2}{3} v_0 \hat{j} = \frac{2}{3} \vec{v}_2$.
$\frac{3}{2}$ વડે ગુણતા: $\vec{v}_2 = \frac{3}{2} v_0 \hat{i} - v_0 \hat{j} = v_0 \left( \frac{3}{2} \hat{i} - \hat{j} \right)$.

(C) શરૂઆતનો વેગ $u = 100 \; m/s$. પ્રવેગ $g = -10 \; m/s^2$.
$t = 5 \; s$ સમયે પદાર્થનો વેગ $v = u + at = 100 - 10 \times 5 = 50 \; m/s$ (ઉપરની તરફ).
ધારો કે કુલ દળ $M = 1 \; kg$ છે. દળ બે ભાગમાં વહેંચાય છે: $m_1 = 0.4 \; kg$ અને $m_2 = 0.6 \; kg$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિસ્ફોટ પહેલાનું વેગમાન = વિસ્ફોટ પછીનું વેગમાન.
$Mv = m_1 v_1 + m_2 v_2$
ઉપરની દિશાને ધન લેતા:
$1 \times 50 = 0.4 \times (-25) + 0.6 \times v_2$
$50 = -10 + 0.6 \times v_2$
$60 = 0.6 \times v_2$
$v_2 = \frac{60}{0.6} = 100 \; m/s$.
પરિણામ ધન હોવાથી,વેગ $100 \; m/s$ ઉપરની તરફ હશે.

(C) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું કુલ દળ $M = m + 3m = 4m$ છે. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = Mv = 4mv$ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે,તેથી $P_i = P_f$.
અંતિમ વેગમાન $P_f$ એ બંને ભાગોના વેગમાનનો સરવાળો છે: $P_f = m_1v_1 + m_2v_2$.
આપેલ છે કે નાનો ભાગ $(m_1 = m)$ સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી તેનો વેગ $v_1 = 0$ છે.
મોટા ભાગનું દળ $m_2 = 3m$ છે. ધારો કે તેનો વેગ $v'$ છે.
આમ,$4mv = m(0) + 3m(v')$.
$4mv = 3mv'$.
$v'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v' = \frac{4v}{3}$ મળે છે.

(A) સિસ્ટમ પર શિરોલંબ દિશામાં કોઈ બાહ્ય બળ $(F_{\text{ext}} = 0)$ લાગતું ન હોવાથી,સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહેશે.
ધારો કે માણસનું સ્થાનાંતર ઉપરની દિશામાં $x$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાનાંતરના સૂત્ર મુજબ: $M \Delta x_M + m \Delta x_m = 0$.
અહીં,માણસનું સ્થાનાંતર $x$ છે અને દડાનું જમીનની સાપેક્ષ સ્થાનાંતર $-(h - x)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $M(x) + m(-(h - x)) = 0$.
$Mx - mh + mx = 0$.
$x(M + m) = mh$.
$x = \frac{mh}{M + m}$.
આ પ્રશ્નના સંદર્ભમાં,માણસની નવી ઊંચાઈ $h + x$ થશે,જે $h(1 + \frac{m}{M})$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.

(C) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બોમ્બનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે.
$0 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$m_2 v_2 = -m_1 v_1$
અહીં $m_1 = 3 \ kg$,$v_1 = 16 \ m/s$,અને $m_2 = 6 \ kg$ આપેલ છે.
$6 \times v_2 = -(3 \times 16) = -48$
$v_2 = -8 \ m/s$ (ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે દિશા $3 \ kg$ ના ટુકડાની વિરુદ્ધ છે).
$6 \ kg$ દળના ટુકડાની ગતિઊર્જા $(KE)$:
$KE = \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} \times 6 \times (-8)^2$
$KE = 3 \times 64 = 192 \ J$.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બાહ્ય બળની ગેરહાજરીમાં તંત્રનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
અવકાશયાનનું પ્રારંભિક વેગમાન = $MV$.
વિસ્ફોટ પછી,અવકાશયાન બે ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે: એક $m$ દળનો અને બીજો $(M - m)$ દળનો.
ધારો કે બીજા ટુકડાનો વેગ $v$ છે.
$m$ દળનો ટુકડો સ્થિર થઈ જતો હોવાથી,તેનો વેગ $0$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$MV = m(0) + (M - m)v$
$MV = (M - m)v$
$v = \frac{MV}{M - m}$

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ $(COLM)$ મુજબ,વિભાજન પહેલાનું કુલ વેગમાન એ વિભાજન પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = mv$.
વિભાજન પછી,શેલ બે દળમાં વહેંચાય છે: $m_1 = \frac{m}{5}$ અને $m_2 = m - \frac{m}{5} = \frac{4m}{5}$.
પ્રથમ ભાગનો વેગ $v_1 = 0$ (સ્થિર) છે.
ધારો કે બીજા ભાગનો વેગ $v_2$ છે.
$COLM$ લાગુ પાડતા:
$mv = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$mv = (\frac{m}{5})(0) + (\frac{4m}{5})v_2$
$mv = \frac{4m}{5} v_2$
$v_2 = \frac{5v}{4}$.

(A) બંદૂકમાંથી ગોળી છૂટતી વખતે વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પડે છે,જેનો અર્થ છે કે બંદૂક અને ગોળીનું વેગમાન મૂલ્યમાં સમાન હોય છે $(p_{gun} = p_{bullet} = p)$.
ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = p^2 / (2m)$ છે.
ગોળી માટે,$KE_{bullet} = p^2 / (2m)$,જ્યાં $m$ એ ગોળીનું દળ છે.
બંદૂક માટે,$KE_{gun} = p^2 / (2M)$,જ્યાં $M$ એ બંદૂકનું દળ છે.
બંદૂકનું દળ $(M)$ એ ગોળીના દળ $(m)$ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી,$KE_{gun} < KE_{bullet}$ થાય છે.

(C) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું દળ $2m$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ તેનો વેગ સમક્ષિતિજ હોય છે,$v_x = 20 \, m/s$.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન એ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોય છે.
પ્રારંભિક વેગમાન: $P_i = (2m)(20) \hat{i} = 40m \hat{i}$.
ધારો કે પ્રથમ ભાગનો (દળ $m$) વેગ $\vec{v}_1 = 30 \hat{j} \, m/s$ છે.
ધારો કે બીજા ભાગનો (દળ $m$) વેગ $\vec{v}_2 = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ છે.
વેગમાનનું સંરક્ષણ: $40m \hat{i} = m(30 \hat{j}) + m(v_x \hat{i} + v_y \hat{j})$.
ઘટકોને સરખાવતા:
સમક્ષિતિજ: $40 = v_x \implies v_x = 40 \, m/s$.
શિરોલંબ: $0 = 30 + v_y \implies v_y = -30 \, m/s$.
બીજા ભાગનો વેગ $\vec{v}_2 = 40 \hat{i} - 30 \hat{j}$ છે.
તેનું મૂલ્ય $v_2 = \sqrt{40^2 + (-30)^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50 \, m/s$ થાય.

(A) ધારો કે કુલ દળ $M = 7k$ છે. ત્રણ ભાગોના દળ $m_1 = k$,$m_2 = 3k$,અને $m_3 = 3k$ છે.
શરૂઆતમાં પદાર્થ સ્થિર હોવાથી,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ત્રણેય ભાગોના વેગમાનનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ: $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$.
આપેલ છે કે $3k$ દળ ધરાવતા બે ભાગો $15\,m/s$ ના વેગથી એકબીજાને કાટખૂણે ગતિ કરે છે,તેથી તેમનું પરિણામી વેગમાન $P_{23} = \sqrt{(3k \times 15)^2 + (3k \times 15)^2} = 3k \times 15 \times \sqrt{2} = 45k\sqrt{2}$ થાય.
તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,પ્રથમ ભાગ $(m_1 = k)$ નું વેગમાન આ પરિણામી વેગમાન જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ: $p_1 = P_{23}$.
$k \times v_1 = 45k\sqrt{2}$.
તેથી,$v_1 = 45\sqrt{2}\,m/s$.

(C) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બોમ્બનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે,તેથી બંને ટુકડાઓનું અંતિમ વેગમાન સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ.
$m_1 v_1 = m_2 v_2$
અહીં $m_1 = 3\, kg$,$v_1 = 16\, m/s$,અને $m_2 = 6\, kg$ આપેલ છે.
$3 \times 16 = 6 \times v_2$
$48 = 6 \times v_2$
$v_2 = 8\, m/s$
હવે,$6\, kg$ દળની ગતિઊર્જા $(KE)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$KE = \frac{1}{2} m_2 v_2^2$
$KE = \frac{1}{2} \times 6 \times (8)^2$
$KE = 3 \times 64 = 192\, J$

(B) જ્યારે હવામાં શેલનો વિસ્ફોટ થાય છે,ત્યારે આ વિસ્ફોટ આંતરિક બળોને કારણે થાય છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
આ કિસ્સામાં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ બાહ્ય બળ છે,પરંતુ વિસ્ફોટના ટૂંકા ગાળા દરમિયાન,આંતરિક બળો બાહ્ય બળો કરતા ઘણા વધારે હોય છે,જેના કારણે બાહ્ય બળોને કારણે લાગતો આઘાત (impulse) નગણ્ય બની જાય છે.
તેથી,શેલનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
વિસ્ફોટમાં ગતિ ઊર્જા સામાન્ય રીતે સંરક્ષિત રહેતી નથી કારણ કે આંતરિક રાસાયણિક ઊર્જા ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેના પરિણામે ટુકડાઓની કુલ ગતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.

(A) શેલ પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે. શરૂઆતમાં,શેલ સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે. તેથી,બે ટુકડાઓનું અંતિમ વેગમાન પણ $0$ હોવું જોઈએ. ધારો કે $m_A$ અને $m_B$ એ ટુકડા $A$ અને $B$ ના દળ છે,અને $v_A$ અને $v_B$ તેમના વેગ છે. તો,$m_A v_A + m_B v_B = 0$,જે સૂચવે છે કે $m_A v_A = -m_B v_B$. આનો અર્થ એ છે કે તેમના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન છે: $|p_A| = |p_B|$. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે. ગતિઊર્જા માટે,$K = p^2 / (2m)$. કારણ કે $|p_A| = |p_B| = p$,આપણી પાસે $K_A = p^2 / (2m_A)$ અને $K_B = p^2 / (2m_B)$ છે. આપેલ છે કે $m_A < m_B$,તેથી $K_A > K_B$ થાય. તેથી,ટુકડા $A$ ની ગતિઊર્જા વધારે છે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિસ્ફોટ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ વિસ્ફોટ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું જ હોવું જોઈએ.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = mv$.
શેલ તૂટ્યા પછી,$m_1 = m/3$ દળ ધરાવતા એક ભાગનો વેગ $v_1 = 0$ છે.
બીજા ભાગનું દળ $m_2 = m - m/3 = 2m/3$ છે અને તેનો વેગ $v_2 = v'$ છે.
અંતિમ વેગમાન $P_f = m_1v_1 + m_2v_2 = (m/3)(0) + (2m/3)v' = (2m/3)v'$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા:
$mv = (2m/3)v'$
$v' = \frac{mv \times 3}{2m} = \frac{3}{2}v$.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિભાજન પહેલાનું કુલ વેગમાન એ વિભાજન પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે કુલ દળ $M = m_1 + m_2$ છે. આપેલ ગુણોત્તર $m_1 : m_2 = 1 : 5$ પરથી,$m_1 = \frac{M}{6}$ અને $m_2 = \frac{5M}{6}$ મળે.
પ્રારંભિક વેગમાન: $P_i = M \vec{v}_0 = M(20 \hat{i} + 25 \hat{j} - 12 \hat{k})$.
અંતિમ વેગમાન: $P_f = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = \frac{M}{6}(100 \hat{i} + 35 \hat{j} + 8 \hat{k}) + \frac{5M}{6} \vec{v}_2$.
$P_i = P_f$ ને સરખાવતા:
$M(20 \hat{i} + 25 \hat{j} - 12 \hat{k}) = \frac{M}{6}(100 \hat{i} + 35 \hat{j} + 8 \hat{k}) + \frac{5M}{6} \vec{v}_2$
$M$ વડે ભાગતા અને $6$ વડે ગુણતા:
$6(20 \hat{i} + 25 \hat{j} - 12 \hat{k}) = (100 \hat{i} + 35 \hat{j} + 8 \hat{k}) + 5 \vec{v}_2$
$120 \hat{i} + 150 \hat{j} - 72 \hat{k} = 100 \hat{i} + 35 \hat{j} + 8 \hat{k} + 5 \vec{v}_2$
$5 \vec{v}_2 = (120 - 100) \hat{i} + (150 - 35) \hat{j} + (-72 - 8) \hat{k}$
$5 \vec{v}_2 = 20 \hat{i} + 115 \hat{j} - 80 \hat{k}$
$\vec{v}_2 = 4 \hat{i} + 23 \hat{j} - 16 \hat{k}$.

(D) ધારો કે $3m$ દળના ત્રીજા ટુકડાનો વેગ $\vec{v}'$ છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,અંતિમ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$3m \vec{v}' + m v \hat{i} + m v \hat{j} = 0$
$3m \vec{v}' = -mv \hat{i} - mv \hat{j}$
$\vec{v}' = -\frac{v}{3} \hat{i} - \frac{v}{3} \hat{j}$
ત્રીજા ટુકડાના વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}'| = \sqrt{(-\frac{v}{3})^2 + (-\frac{v}{3})^2} = \sqrt{\frac{2v^2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3} v$ છે.
મુક્ત થતી ઉર્જા એ ટુકડાઓની કુલ ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$K = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (3m) |\vec{v}'|^2$
$K = m v^2 + \frac{3}{2} m (\frac{2v^2}{9}) = m v^2 + \frac{1}{3} m v^2 = \frac{4}{3} m v^2$.

(C) બંદૂકનું દળ,$M = 100 \; kg$.
ગોળાનું દળ,$m = 0.020 \; kg$.
ગોળાની મઝલ ઝડપ,$v = 80 \; m/s$.
ધારો કે બંદૂકની રિકોઈલ ઝડપ $V$ છે.
શરૂઆતમાં,બંદૂક અને ગોળો બંને સ્થિર છે,તેથી તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું અંતિમ વેગમાન પણ $0$ હોવું જોઈએ.
અંતિમ વેગમાન $= mv - MV = 0$.
અહીં,ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બંદૂક ગોળાની વિરુદ્ધ દિશામાં પાછળ ધકેલાય છે.
સમીકરણને ગોઠવતા: $MV = mv$.
$V = \frac{mv}{M} = \frac{0.020 \; kg \times 80 \; m/s}{100 \; kg}$.
$V = \frac{1.6}{100} \; m/s = 0.016 \; m/s$.

(C) ટ્રોલીનું દળ,$M = 200\; kg$.
ટ્રોલીની પ્રારંભિક ઝડપ,$v = 36\; km/h = 10\; m/s$.
બાળકનું દળ,$m = 20\; kg$.
તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન (બાળક + ટ્રોલી) $= (M + m)v = (200 + 20) \times 10 = 2200\; kg\; m/s$.
ધારો કે જમીનની સાપેક્ષમાં ટ્રોલીનો અંતિમ વેગ $v'$ છે.
જમીનની સાપેક્ષમાં બાળકનો અંતિમ વેગ $= v' - 4$.
અંતિમ વેગમાન $= Mv' + m(v' - 4) = 200v' + 20v' - 80 = 220v' - 80$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન = અંતિમ વેગમાન:
$2200 = 220v' - 80$.
$220v' = 2280$.
$v' = \frac{2280}{220} \approx 10.36\; m/s$.
ટ્રોલીની લંબાઈ,$l = 10\; m$.
ટ્રોલીની સાપેક્ષમાં બાળકની ઝડપ,$u = 4\; m/s$.
બાળકને દોડવા માટે લાગતો સમય,$t = \frac{l}{u} = \frac{10}{4} = 2.5\; s$.
ટ્રોલી દ્વારા કપાયેલ અંતર $= v' \times t = 10.36 \times 2.5 = 25.9\; m$.

(N/A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ ન્યૂટનના ગતિના બીજા અને ત્રીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.
જ્યારે બંદૂકમાંથી ગોળી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે ગોળી આગળની દિશામાં ગતિ કરે છે અને બંદૂક પાછળની દિશામાં ગતિ કરે છે (રિકોઈલ).
ધારો કે બંદૂક દ્વારા ગોળી પર લાગતું બળ $\overrightarrow{F}$ છે,તો ગોળી દ્વારા બંદૂક પર લાગતું બળ $-\overrightarrow{F}$ છે. આ બંને બળો સમાન સમયગાળા $\Delta t$ માટે કાર્ય કરે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ગોળીના વેગમાનમાં ફેરફાર $= \overrightarrow{F} \Delta t$ અને બંદૂકના વેગમાનમાં ફેરફાર $= -\overrightarrow{F} \Delta t$ થાય.
શરૂઆતમાં,બંને સ્થિર છે તેથી બંનેના વેગમાનમાં ફેરફાર તેમના અંતિમ વેગમાન જેટલો થાય છે. ધારો કે બંદૂકનું અંતિમ વેગમાન $\overrightarrow{p_{g}}$ અને ગોળીનું અંતિમ વેગમાન $\overrightarrow{p_{b}}$ છે,તો $\overrightarrow{p_{g}} = -\overrightarrow{p_{b}}$ એટલે કે $\overrightarrow{p_{g}} + \overrightarrow{p_{b}} = 0$ થાય.
આમ,તંત્ર (ગોળી અને બંદૂક) નું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
વેગમાન સંરક્ષણ: અલગ કરેલા તંત્ર માટે કુલ રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે.
ઉદાહરણ: બે પદાર્થો $A$ અને $B$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે તેમનું પ્રારંભિક વેગમાન $\overrightarrow{p_{A}}$ અને $\overrightarrow{p_{B}}$ છે. અથડામણ પછી તેમનું વેગમાન $\overrightarrow{p_{A}^{\prime}}$ અને $\overrightarrow{p_{B}^{\prime}}$ છે.
ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{F_{AB}} \Delta t = \overrightarrow{p_{A}^{\prime}} - \overrightarrow{p_{A}}$ અને $\overrightarrow{F_{BA}} \Delta t = \overrightarrow{p_{B}^{\prime}} - \overrightarrow{p_{B}}$.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{F_{AB}} = -\overrightarrow{F_{BA}}$,તેથી $\overrightarrow{F_{AB}} \Delta t = -\overrightarrow{F_{BA}} \Delta t$.
તેથી,$\overrightarrow{p_{A}^{\prime}} - \overrightarrow{p_{A}} = -(\overrightarrow{p_{B}^{\prime}} - \overrightarrow{p_{B}})$,એટલે કે $\overrightarrow{p_{A}^{\prime}} + \overrightarrow{p_{B}^{\prime}} = \overrightarrow{p_{A}} + \overrightarrow{p_{B}}$.
આમ,અલગ કરેલા તંત્ર માટે કુલ અંતિમ વેગમાન એ કુલ પ્રારંભિક વેગમાન જેટલું હોય છે. સ્થિતિસ્થાપક અને અસ્થિતિસ્થાપક બંને અથડામણમાં વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે. રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ સાર્વત્રિક અને પાયાનો છે.

(D) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે.
ન્યૂટનનો બીજો નિયમ જણાવે છે કે પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ તેના રેખીય વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે,એટલે કે $F = dp/dt$.
જો પરિણામી બાહ્ય બળ $F = 0$ હોય,તો $dp/dt = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે વેગમાન $p$ અચળ છે.
ન્યૂટનનો ત્રીજો નિયમ એ દર્શાવવા માટે વપરાય છે કે બે આંતરક્રિયા કરતા કણોના અલગ કરેલા તંત્ર માટે,આંતરિક બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે,જે કુલ વેગમાનની ગણતરીમાં આંતરિક બળોને નાબૂદ કરે છે.
તેથી,કણોના તંત્ર માટે રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનું તારણ ન્યૂટનના બીજા અને ત્રીજા બંને નિયમો પર આધારિત છે.

(N/A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે.
$1$. તેને મૂળભૂત નિયમ માનવામાં આવે છે કારણ કે તે અવકાશની સમાનતા (homogeneity of space) પરથી તારવવામાં આવ્યો છે,જેનો અર્થ છે કે ભૌતિકશાસ્ત્રના નિયમો અવકાશી સ્થાનાંતર હેઠળ બદલાતા નથી (નોએથરનું પ્રમેય).
$2$. તે સાર્વત્રિક છે કારણ કે તે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં અણુ-પરમાણુના કણોથી લઈને ક્લાસિકલ મિકેનિક્સમાં સ્થૂળ પદાર્થો સુધી,અને સાપેક્ષવાદની સ્થિતિઓમાં પણ જ્યાં દળ વેગ સાથે બદલાય છે,ત્યાં સાચો સાબિત થાય છે.
$3$. તે તેમાં સામેલ બળોના ચોક્કસ સ્વરૂપ (ગુરુત્વાકર્ષણ,વિદ્યુતચુંબકીય કે ન્યુક્લિયર) પર આધાર રાખતું નથી,જે તેને તમામ ભૌતિક આંતરક્રિયાઓ માટે લાગુ પાડે છે.

(N/A) કણોના તંત્ર માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ $\frac{d \vec{p}}{dt} = \vec{F}_{ext}$ છે.
જો તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય, તો $\frac{d \vec{p}}{dt} = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $d \vec{p} = 0$, એટલે કે $\vec{p} = \text{અચળ}$.
આ ત્રણ અદિશ સમીકરણોને સમતુલ્ય છે: $p_x = C_1, p_y = C_2, p_z = C_3$, જ્યાં $C_1, C_2, C_3$ અચળાંકો છે.
"જ્યારે કણોના તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય, ત્યારે તેનું કુલ રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે." આને રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ કહેવાય છે.
$\vec{F}_{ext} = M\vec{A}_{cm}$ પરથી, જો $\vec{F}_{ext} = 0$ હોય, તો $\vec{A}_{cm} = 0$ થાય.
કારણ કે $\vec{A}_{cm} = \frac{d\vec{v}_{cm}}{dt}$, જો $\vec{A}_{cm} = 0$ હોય, તો $\vec{v}_{cm}$ અચળ રહે છે.
આમ, જ્યારે તંત્ર પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય, ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહે છે.

(N/A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે જો કણોના તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે.
ગાણિતિક રીતે,જો $\vec{F}_{ext} = 0$ હોય,તો $\frac{d\vec{P}}{dt} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\vec{P} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + ... + \vec{p}_n = \text{અચળ}$.
અહીં,$\vec{P}$ એ તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન છે અને $\vec{F}_{ext}$ એ તંત્ર પર લાગતા તમામ બાહ્ય બળોનો સરવાળો છે.

(N/A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે જો કણોના તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે.
ગાણિતિક રીતે,જો $\vec{F}_{ext} = 0$ હોય,તો $\frac{d\vec{P}}{dt} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\vec{P} = \text{અચળ}$.
અહીં,$\vec{P} = \sum \vec{p}_i$ એ તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન છે.

(A) તંત્રનું પ્રારંભિક દળ (છોકરી + સાયકલ + પથ્થર) $= 50 \, kg + 0.5 \, kg = 50.5 \, kg$.
તંત્રનો પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \, m/s$.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = (50.5 \, kg) \times (5 \, m/s) = 252.5 \, kg \cdot m/s$.
પથ્થર ફેંક્યા પછી,પથ્થરનું દળ $m_s = 0.5 \, kg$ અને તેનો વેગ $v_s = 15 \, m/s$ છે.
ધારો કે છોકરી અને સાયકલનો નવો વેગ $v_b$ છે. છોકરી અને સાયકલનું દળ $m_b = 50 \, kg$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$P_i = P_f$.
$252.5 = (m_s \times v_s) + (m_b \times v_b)$.
$252.5 = (0.5 \times 15) + (50 \times v_b)$.
$252.5 = 7.5 + 50 \times v_b$.
$50 \times v_b = 245$.
$v_b = 4.9 \, m/s$.
હા,સાયકલની ઝડપ બદલાય છે. ઝડપમાં થતો ફેરફાર $5 \, m/s - 4.9 \, m/s = 0.1 \, m/s$ છે.

(N/A) વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે જો કણોના તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે.
ગાણિતિક રીતે,જો $\vec{F}_{ext} = 0$ હોય,તો $\frac{d\vec{P}}{dt} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\vec{P} = \text{અચળ}$.
આનો અર્થ એ છે કે આંતરક્રિયા (જેમ કે અથડામણ) પહેલાનું કુલ વેગમાન એ આંતરક્રિયા પછીના કુલ વેગમાન જેટલું જ હોય છે.

(A) બાઇકનો વેગ વધશે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગતું હોય તો તંત્રનું કુલ વેગમાન $p = mv$ અચળ રહે છે. જ્યારે પાછળ બેઠેલી વ્યક્તિ પડી જાય છે,ત્યારે તંત્રનું કુલ દળ $m$ ઘટે છે. વેગમાન $p$ અચળ હોવાથી અને દળ $m$ ઘટતું હોવાથી,વેગમાન જાળવી રાખવા માટે બાઇકનો વેગ $v$ વધવો જોઈએ.

(N/A) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમને મૂળભૂત અને સાર્વત્રિક કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે તારાઓ અને ગ્રહો જેવા વિશાળ કદના પદાર્થોના તંત્ર માટે તેમજ ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન જેવા સૂક્ષ્મ કણોના તંત્ર માટે સમાન રીતે સાચો છે,ભલે તેમની વચ્ચે લાગતા બળો ગમે તે પ્રકારના હોય.

(N/A) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય $(F_{ext} = 0)$,તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન $(P)$ અચળ રહે છે.
વધુમાં,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ અચળ રહે છે કારણ કે $P = M v_{cm}$ થાય છે.
પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $(a_{cm})$ શૂન્ય રહે છે,કારણ કે $F_{ext} = M a_{cm} = 0$ થાય છે.

(B) $X$-અક્ષ પર તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = m_1 v_1 = 10 \times 10 \sqrt{3} = 100 \sqrt{3} \, kg \cdot m/s$ છે.
$20 \, kg$ દળનો બીજો દડો દરેક $10 \, kg$ ના બે સમાન ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે.
ધારો કે પ્રથમ ટુકડાનો વેગ $Y$-અક્ષ પર $v_y = 10 \, m/s$ છે અને બીજા ટુકડાનો વેગ $X$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે $v_x = 20 \, m/s$ છે.
$X$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$P_{ix} = P_{fx}$
$100 \sqrt{3} = (10 \times v_x \cos \theta) + (10 \times 0)$
$100 \sqrt{3} = 10 \times 20 \cos \theta$
$100 \sqrt{3} = 200 \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{100 \sqrt{3}}{200} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\theta = 30^{\circ}$.

(B) શરૂઆતમાં,શેલ સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
ધારો કે ત્રણ ટુકડાઓના દળ $m_1 = \frac{2m}{5}$,$m_2 = \frac{2m}{5}$,અને $m_3 = \frac{m}{5}$ છે.
$\frac{2m}{5}$ દળ ધરાવતા બે ટુકડાઓ પરસ્પર લંબ દિશામાં $v$ ઝડપ સાથે ગતિ કરે છે. ધારો કે તેમના વેગ સદિશો $\vec{v}_1 = -v \hat{i}$ અને $\vec{v}_2 = -v \hat{j}$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\vec{P}_{initial} = \vec{P}_{final}$
$0 = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + m_3 \vec{v}_3$
$0 = \frac{2m}{5}(-v \hat{i}) + \frac{2m}{5}(-v \hat{j}) + \frac{m}{5} \vec{v}_3$
$\frac{m}{5} \vec{v}_3 = \frac{2m}{5} v \hat{i} + \frac{2m}{5} v \hat{j}$
$\vec{v}_3 = 2v \hat{i} + 2v \hat{j}$
ત્રીજા ટુકડાની ઝડપ એ $\vec{v}_3$ નું મૂલ્ય છે:
$v_3 = |\vec{v}_3| = \sqrt{(2v)^2 + (2v)^2} = \sqrt{4v^2 + 4v^2} = \sqrt{8v^2} = 2\sqrt{2} v$.

(B) માણસ અને ટ્રોલીને એક તંત્ર તરીકે ગણો. કૂદકા દરમિયાન તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય આડા બળો લાગતા ન હોવાથી,તંત્રનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે માણસનું દળ $m_1 = 60\,kg$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $v_1$ છે.
ધારો કે ટ્રોલીનું દળ $m_2 = 120\,kg$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $v_2 = 0\,ms^{-1}$ છે.
માણસ ટ્રોલીમાં કૂદી પડે પછી,તેઓ $v_f = 2\,ms^{-1}$ ના સામાન્ય અંતિમ વેગથી સાથે ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_f$
$60 \times v_1 + 120 \times 0 = (60 + 120) \times 2$
$60 v_1 = 180 \times 2$
$60 v_1 = 360$
$v_1 = \frac{360}{60} = 6\,ms^{-1}$.

(B) ત્રણ ટુકડાઓના દળ $m_1 = \frac{M}{4}$,$m_2 = \frac{M}{4}$,અને $m_3 = \frac{2M}{4} = \frac{M}{2}$ છે.
શરૂઆતમાં પદાર્થ સ્થિર હોવાથી,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ કુલ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\vec{P}_1 + \vec{P}_2 + \vec{P}_3 = 0$.
આથી $\vec{P}_3 = -(\vec{P}_1 + \vec{P}_2)$.
બે નાના ટુકડાઓના વેગમાનના મૂલ્યો $P_1 = m_1 v_1 = \frac{M}{4} \times 30 = 7.5M$ અને $P_2 = m_2 v_2 = \frac{M}{4} \times 40 = 10M$ છે.
$\vec{P}_1$ અને $\vec{P}_2$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના પરિણામી વેગમાનનું મૂલ્ય $P_{12} = \sqrt{P_1^2 + P_2^2} = \sqrt{(7.5M)^2 + (10M)^2} = \sqrt{56.25M^2 + 100M^2} = \sqrt{156.25M^2} = 12.5M$ થાય.
$\vec{P}_3 = -(\vec{P}_1 + \vec{P}_2)$ હોવાથી,$P_3 = P_{12} = 12.5M$.
હવે $P_3 = m_3 v_3 = \frac{M}{2} v_3$ હોવાથી,$\frac{M}{2} v_3 = 12.5M$.
તેથી,$v_3 = 12.5 \times 2 = 25 \, m/s$ મળે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સિસ્ટમનું કુલ પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે કારણ કે સાધન શરૂઆતમાં સ્થિર છે.
વિસ્ફોટ પછી કુલ વેગમાન શૂન્ય રહેવું જોઈએ,તેથી બંને ટુકડાઓના વેગમાનનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ: $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{p}_2 = -\vec{p}_1$.
જો પ્રથમ ટુકડો ધન $x$ દિશામાં ગતિ કરે છે,તો તેનો વેગમાન સદિશ $\vec{p}_1 = p_1 \hat{i}$ છે.
તેથી,બીજા ટુકડાનું વેગમાન $\vec{p}_2 = -p_1 \hat{i}$ હોવું જોઈએ,જે દર્શાવે છે કે બીજો ટુકડો ઋણ $x$ દિશામાં ગતિ કરે છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) ધારો કે દીવાલ $y$-અક્ષ પર છે અને દીવાલને લંબ દિશા $x$-અક્ષ પર છે。
દડાનું પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{P}_i = mv \cos \theta \hat{\imath} - mv \sin \theta \hat{\jmath}$ છે。
અથડામણ પછી, દડો સમાન ખૂણે $\theta$ પર પાછો ફરે છે. અંતિમ વેગમાન $\vec{P}_f = -mv \cos \theta \hat{\imath} - mv \sin \theta \hat{\jmath}$ છે。
ઘટકોની સરખામણી કરતા, વેગમાનનો $y$-ઘટક (જે દીવાલની દિશામાં છે) બદલાતો નથી: $P_{iy} = P_{fy} = -mv \sin \theta$.
દીવાલની દિશામાં દડા પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી (લીસી દીવાલ ધારતા), દીવાલની દિશામાં વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે。
તેથી, સાચો વિકલ્પ $(a)$ છે。