Conservation of Linear Momentum Questions in Gujarati

(C) પદાર્થનો પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $u_x = u \cos \theta$ છે. આપેલ છે કે $\sin \theta = 3/5$,તેથી $\cos \theta = 4/5$. આમ,$u_x = 100 \times (4/5) = 80 \ m/s$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,શિરોલંબ વેગ $0$ છે અને સમક્ષિતિજ વેગ $80 \ m/s$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ તંત્રનું વેગમાન $P = (2m) \times 80 = 160m$ છે.
વિસ્ફોટ પછી,પ્રથમ ટુકડો $(m)$ સ્થિર થાય છે,તેથી તેનો વેગ $0$ છે. ધારો કે બીજા ટુકડા $(m)$ નો વેગ $v$ છે. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $160m = m(0) + m(v)$,જે આપણને $v = 160 \ m/s$ આપે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = (u \sin \theta) / g = (100 \times 3/5) / 10 = 6 \ s$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $x_1 = u_x \times t = 80 \times 6 = 480 \ m$ છે.
બીજો ટુકડો મહત્તમ ઊંચાઈથી જમીન સુધી $t = 6 \ s$ સમયમાં $160 \ m/s$ ના અચળ સમક્ષિતિજ વેગ સાથે ગતિ કરે છે. કાપેલું વધારાનું સમક્ષિતિજ અંતર $x_2 = v \times t = 160 \times 6 = 960 \ m$ છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુથી કુલ અંતર $x_1 + x_2 = 480 + 960 = 1440 \ m$ છે.

(D) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,રેખીય વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર એ તંત્ર પર લાગતા ચોખ્ખા બાહ્ય બળ જેટલો હોય છે:
$F_{ext} = \frac{dp}{dt}$
જો કુલ બાહ્ય બળ $F_{ext} = 0$ હોય,તો $\frac{dp}{dt} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે રેખીય વેગમાન $p$ અચળ (સંરક્ષિત) રહે છે.
અથડામણના કિસ્સામાં,જો સમયગાળો $\Delta t$ અત્યંત નાનો (નગણ્ય) હોય અને બાહ્ય બળ મર્યાદિત હોય,તો આઘાત $J = F_{ext} \cdot \Delta t$ શૂન્યની નજીક પહોંચે છે.
તેથી,અથડામણ માટે,જો બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય અથવા બાહ્ય બળ મર્યાદિત હોય અને અથડામણનો સમય નગણ્ય હોય,તો રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
આમ,શરત $(1)$ અને $(2)$ બંને રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણની જરૂરિયાતને સંતોષે છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ ટુકડાનું દળ $m_1 = 4 \,kg$ છે અને તેનો વેગ $v_1$ છે.
ધારો કે બીજા ટુકડાનું દળ $m_2 = 12 \,kg$ છે અને તેનો વેગ $v_2 = 4 \,ms^{-1}$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, બોમ્બનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે (ધારી લઈએ કે તે સ્થિર હતો).
તેથી, $m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$.
મૂલ્ય લેતા, $m_1 v_1 = m_2 v_2$.
$4 \times v_1 = 12 \times 4$.
$v_1 = 12 \,ms^{-1}$.
$4 \,kg$ ના ટુકડાની ગતિઊર્જા $KE_1 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2$ છે.
$KE_1 = \frac{1}{2} \times 4 \times (12)^2 = 2 \times 144 = 288 \,J$.

(D) ધારો કે ગોળાનું દળ $M$ છે અને મહત્તમ ઊંચાઈએ તેનો વેગ $v_h = u \cos \theta$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગમાન $P = M u \cos \theta$ છે.
$M/2$ દળના બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત થયા પછી,એક ભાગ તેના માર્ગે પાછો ફરે છે,એટલે કે તેનો વેગ $-u \cos \theta$ છે. ધારો કે બીજા ભાગનો વેગ $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$M u \cos \theta = \frac{M}{2} (-u \cos \theta) + \frac{M}{2} v_2$
$u \cos \theta = -\frac{1}{2} u \cos \theta + \frac{1}{2} v_2$
$\frac{3}{2} u \cos \theta = \frac{1}{2} v_2 \implies v_2 = 3 u \cos \theta$.
પ્રથમ ભાગની ગતિઊર્જા $E_1 = \frac{1}{2} (M/2) (u \cos \theta)^2 = \frac{1}{4} M u^2 \cos^2 \theta$ છે.
બીજા ભાગની ગતિઊર્જા $E_2 = \frac{1}{2} (M/2) (3 u \cos \theta)^2 = \frac{1}{4} M (9 u^2 \cos^2 \theta) = \frac{9}{4} M u^2 \cos^2 \theta$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $E_2 = 9 E_1$ મળે છે.

(C) ધારો કે ત્રીજા ટુકડાનો વેગ $v'$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કારણ કે સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી,તેથી કુલ પ્રારંભિક વેગમાન એ કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોય છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = 5 M \times 0 = 0$.
ધારો કે પ્રથમ ટુકડા $(M)$ નો વેગ $\vec{v}_1 = 2v \hat{i}$ છે અને બીજા ટુકડા $(2M)$ નો વેગ $\vec{v}_2 = -v \hat{i}$ છે (કારણ કે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે).
અંતિમ વેગમાન $P_f = M(2v \hat{i}) + 2M(-v \hat{i}) + 2M(\vec{v}') = 0$.
$2Mv \hat{i} - 2Mv \hat{i} + 2M(\vec{v}') = 0$.
$0 + 2M(\vec{v}') = 0$.
તેથી,$\vec{v}' = 0$.
ત્રીજો ટુકડો સ્થિર રહેશે.

(B) પદાર્થનું કુલ દળ $M = 14 \ kg$ છે. ત્રણ ટુકડાઓના દળનો ગુણોત્તર $2:2:3$ છે. તેથી,ટુકડાઓના દળ $m_1 = 4 \ kg$,$m_2 = 4 \ kg$ અને $m_3 = 6 \ kg$ થશે (કારણ કે $2x + 2x + 3x = 7x = 14 \ kg$,તેથી $x = 2 \ kg$).
શરૂઆતમાં પદાર્થ સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે. રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ કુલ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$.
ધારો કે સમાન દળના બે ટુકડાઓ અનુક્રમે ઋણ $x$-અક્ષ અને ઋણ $y$-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરે છે: $\vec{v}_1 = -18 \hat{i} \ m/s$ અને $\vec{v}_2 = -18 \hat{j} \ m/s$.
પ્રથમ બે ટુકડાઓનું વેગમાન $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = 4(-18 \hat{i}) + 4(-18 \hat{j}) = -72 \hat{i} - 72 \hat{j} \ kg \cdot m/s$ થાય.
$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$ હોવાથી,$\vec{p}_3 = -(\vec{p}_1 + \vec{p}_2) = 72 \hat{i} + 72 \hat{j} \ kg \cdot m/s$ મળે.
ત્રીજા (ભારે) ટુકડાનો વેગ $\vec{v}_3 = \frac{\vec{p}_3}{m_3} = \frac{72 \hat{i} + 72 \hat{j}}{6} = 12 \hat{i} + 12 \hat{j} \ m/s$ થાય.
વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}_3| = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} \ m/s$ મળે.