Conservation of Linear Momentum Questions in Gujarati

(D) આ તંત્ર ટ્રોલી અને રેતીની બેગનું બનેલું છે. ટ્રેક ઘર્ષણ રહિત હોવાથી,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું નથી.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
રેતી ટ્રોલીની અંદર જ પડી રહી હોવાથી,તંત્રનું કુલ દળ (ટ્રોલી + રેતીની બેગ + રેતી) અચળ રહે છે.
કોઈ બાહ્ય બળ ન હોવાથી અને તંત્રનું કુલ દળ સમાન વેગથી ગતિ કરતું હોવાથી,ટ્રોલીના વેગમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,ટ્રોલીની ઝડપ $27 \ km/hr$ જ રહેશે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિભાજન પહેલાનું કુલ વેગમાન અને વિભાજન પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે.
પ્રારંભિક વેગમાન: $\vec{P}_i = m v_0 \hat{i}$.
અંતિમ વેગમાન: $\vec{P}_f = (m/3)(2v_0 \hat{j}) + (2m/3)\vec{v}$,જ્યાં $\vec{v}$ એ બાકી વધેલા ભાગનો વેગ છે.
$\vec{P}_i = \vec{P}_f$ લેતા:
$m v_0 \hat{i} = \frac{2m v_0}{3} \hat{j} + \frac{2m}{3} \vec{v}$.
$m$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$v_0 \hat{i} - \frac{2}{3} v_0 \hat{j} = \frac{2}{3} \vec{v}$.
$3/2$ વડે ગુણતા:
$\vec{v} = \frac{3}{2} v_0 \hat{i} - v_0 \hat{j}$.

(A) ધારો કે $3 \ kg$ અને $6 \ kg$ ના ટુકડાઓના વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે. પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $3v_1 = 6v_2$,જેનો અર્થ છે કે $v_1 = 2v_2$ થાય.
$6 \ kg$ ના ટુકડાની ગતિ ઊર્જા $KE_2 = \frac{1}{2} \times 6 \times v_2^2 = 120 \ J$ આપેલ છે.
આથી $3v_2^2 = 120$,તેથી $v_2^2 = 40 \ (m/s)^2$ મળે.
$3 \ kg$ ના ટુકડાની ગતિ ઊર્જા $KE_1 = \frac{1}{2} \times 3 \times v_1^2$ છે.
$v_1 = 2v_2$ મૂકતા,$KE_1 = \frac{1}{2} \times 3 \times (2v_2)^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 4v_2^2 = 6v_2^2$ મળે.
$v_2^2 = 40$ હોવાથી,$KE_1 = 6 \times 40 = 240 \ J$ થાય.

(B) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું કુલ પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે કારણ કે બંદૂક અને ગોળી બંને શરૂઆતમાં સ્થિર છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = 0$.
અંતિમ વેગમાન $P_f = M V_G + m v$,જ્યાં $V_G$ એ બંદૂકનો રિકોઈલ વેગ છે અને $v$ એ ગોળીનો વેગ છે.
$P_i = P_f$ હોવાથી,$0 = M V_G + mv$ મળે.
બંદૂકના રિકોઈલ વેગ $V_G$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$M V_G = -mv$
$V_G = -\frac{mv}{M}$.
રિકોઈલ વેગનું મૂલ્ય $\frac{mv}{M}$ છે.

(B) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બોમ્બ સ્થિર હોવાથી તેનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે.
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$
અહીં $m_1 = 4 \ kg$,$m_2 = 12 \ kg$ અને $v_2 = 4 \ m/s$ આપેલ છે.
$4 \times v_1 + 12 \times 4 = 0$
$4 v_1 = -48$
$v_1 = -12 \ m/s$ (ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વેગની દિશા $12 \ kg$ ના ટુકડાની વિરુદ્ધ છે).
$4 \ kg$ દળના ટુકડાની ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2} m_1 v_1^2$ દ્વારા મળે છે.
$K = \frac{1}{2} \times 4 \times (-12)^2$
$K = 2 \times 144 = 288 \ J$.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું કુલ પ્રારંભિક વેગમાન એ કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોય છે.
પ્રારંભિક વેગમાન: $\vec{P}_i = m_1\vec{u}_1 + m_2\vec{u}_2 + m_3\vec{u}_3$
$\vec{P}_i = 10(10\hat{i}) + 20(10\hat{j}) + 40(10\hat{k}) = 100\hat{i} + 200\hat{j} + 400\hat{k}$
અંતિમ વેગમાન: $\vec{P}_f = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 + m_3\vec{v}_3$
અહીં $\vec{v}_1 = 0$ અને $\vec{v}_2 = (3\hat{i} + 4\hat{j})\;m/s$ આપેલ છે.
$\vec{P}_f = 10(0) + 20(3\hat{i} + 4\hat{j}) + 40\vec{v}_3 = 60\hat{i} + 80\hat{j} + 40\vec{v}_3$
$\vec{P}_i = \vec{P}_f$ લેતા:
$100\hat{i} + 200\hat{j} + 400\hat{k} = 60\hat{i} + 80\hat{j} + 40\vec{v}_3$
$40\vec{v}_3 = (100 - 60)\hat{i} + (200 - 80)\hat{j} + 400\hat{k}$
$40\vec{v}_3 = 40\hat{i} + 120\hat{j} + 400\hat{k}$
$\vec{v}_3 = \hat{i} + 3\hat{j} + 10\hat{k}\;m/s$.

(A) આપેલ છે: કુલ દળ $M = 12 \ kg$. દળનો ગુણોત્તર $m_1:m_2 = 1:3$.
તેથી,$m_1 = 3 \ kg$ અને $m_2 = 9 \ kg$.
બોમ્બ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બંને ટુકડાઓના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $p_1 = p_2 = p$.
ગતિ ઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે,તેથી $p = \sqrt{2mK}$.
નાના ટુકડા માટે $(m_1 = 3 \ kg)$: $p = \sqrt{2 \times 3 \times 216} = \sqrt{1296} = 36 \ kg \cdot m/s$.
વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવાથી,મોટા ટુકડાનું વેગમાન પણ $36 \ kg \cdot m/s$ થશે.

(A) ધારો કે પ્લેટફોર્મનો બરફની સાપેક્ષે વેગ $V$ પાછળની દિશામાં છે અને માણસનો બરફની સાપેક્ષે વેગ $w$ આગળની દિશામાં છે.
આપેલ છે કે પ્લેટફોર્મની સાપેક્ષે માણસનો વેગ $v$ છે,તેથી $w + V = v$,જેનો અર્થ થાય છે $w = v - V$.
તંત્ર (માણસ + પ્લેટફોર્મ) પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતજ બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
શરૂઆતમાં બંને સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા: $MV - mw = 0$.
સમીકરણમાં $w = v - V$ મૂકતા: $MV - m(v - V) = 0$.
$MV - mv + mV = 0$.
$V(M + m) = mv$.
તેથી,બરફની સાપેક્ષે પ્લેટફોર્મનો વેગ $V = \frac{mv}{M + m}$ છે.

(A) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિસ્ફોટ પહેલાનું કુલ વેગમાન અને વિસ્ફોટ પછીનું કુલ વેગમાન સમાન રહે છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = MV$.
વિસ્ફોટ પછી,$m$ દળનો એક ભાગ સ્થિર થાય છે (વેગ $= 0$),અને બાકી રહેલા ભાગનું દળ $(M - m)$ છે જે $v$ વેગથી ગતિ કરે છે.
અંતિમ વેગમાન $P_f = m(0) + (M - m)v = (M - m)v$.
$P_i = P_f$ લેતા:
$MV = (M - m)v$.
તેથી,બીજા ભાગનો વેગ $v = \frac{MV}{M - m}$ થશે.

(C) ત્રીજા ટુકડાનું દળ $M - (M/4 + M/4) = M/2$ છે.
ધારો કે પ્રથમ બે ટુકડાઓના વેગ $\vec{v}_1 = 3\hat{i} \ m/s$ અને $\vec{v}_2 = 4\hat{j} \ m/s$ છે.
પ્રથમ ટુકડાનું વેગમાન $\vec{p}_1 = (M/4)(3\hat{i}) = (3M/4)\hat{i}$ છે.
બીજા ટુકડાનું વેગમાન $\vec{p}_2 = (M/4)(4\hat{j}) = M\hat{j}$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે,તેથી $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$.
તેથી,$\vec{p}_3 = -(\vec{p}_1 + \vec{p}_2) = -(3M/4)\hat{i} - M\hat{j}$.
ત્રીજા ટુકડાના વેગમાનનું મૂલ્ય $p_3 = \sqrt{(3M/4)^2 + M^2} = \sqrt{9M^2/16 + M^2} = \sqrt{25M^2/16} = 5M/4$ છે.
કારણ કે $p_3 = (M/2)v_3$,તેથી $(M/2)v_3 = 5M/4$.
$v_3$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v_3 = (5M/4) \times (2/M) = 2.5 \ m/s$ મળે છે.

(A) ધારો કે બે ટુકડાઓનું દળ $m$ છે અને તેમની ઝડપ $u = 30 \; m/s$ છે। ત્રીજા ટુકડાનું દળ $3m$ છે। ધારો કે તેનો વેગ $v$ છે જે પ્રથમ બે ટુકડાઓના પરિણામી વેગમાનની વિરુદ્ધ દિશા સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,અંતિમ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
પરસ્પર લંબ ગતિ કરતા બે ટુકડાઓનું પરિણામી વેગમાન $P_r = \sqrt{(mu)^2 + (mu)^2} = mu\sqrt{2}$ થાય.
આ પરિણામી વેગમાન બંને ટુકડાઓ સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે હોય છે.
ત્રીજા ટુકડાએ આને સંતુલિત કરવા માટે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરવી જોઈએ,તેથી તેનું વેગમાન $3mv$ એ $mu\sqrt{2}$ ના મૂલ્ય જેટલું હોવું જોઈએ.
$3mv = mu\sqrt{2} \Rightarrow v = \frac{u\sqrt{2}}{3} = \frac{30\sqrt{2}}{3} = 10\sqrt{2} \; m/s$.
દિશા એ પ્રથમ બે ટુકડાઓની દિશાની સાપેક્ષે $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ હશે.

(D) કુલ દળ $5 \ kg$ છે. ટુકડાઓના દળ $m_1 = 1 \ kg$,$m_2 = 1 \ kg$ અને $m_3 = 3 \ kg$ છે.
પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,તેનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાનનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ: $\vec{P}_1 + \vec{P}_2 + \vec{P}_3 = 0$.
ધારો કે $1 \ kg$ ના બે ટુકડાઓ અનુક્રમે $X$ અને $Y$ અક્ષ પર ગતિ કરે છે: $\vec{P}_1 = (1 \ kg)(21 \ m/s) \hat{i} = 21 \hat{i} \ kg \cdot m/s$ અને $\vec{P}_2 = (1 \ kg)(21 \ m/s) \hat{j} = 21 \hat{j} \ kg \cdot m/s$.
ત્રીજા ટુકડાનું વેગમાન $\vec{P}_3 = -(\vec{P}_1 + \vec{P}_2) = -(21 \hat{i} + 21 \hat{j}) \ kg \cdot m/s$ હોવું જોઈએ.
ત્રીજા ટુકડાના વેગમાનનું મૂલ્ય $|\vec{P}_3| = \sqrt{21^2 + 21^2} = 21\sqrt{2} \ kg \cdot m/s$ છે.
$|\vec{P}_3| = m_3 \cdot v_3$ હોવાથી,$3 \cdot v_3 = 21\sqrt{2}$ મળે.
$v_3 = 7\sqrt{2} \approx 7 \times 1.414 = 9.898 \ m/s$.

(B) અવકાશયાનના એક ટુકડાનું દળ $m$ છે. આથી બીજા ટુકડાનું દળ $(M - m)$ થશે.
ધારો કે,બીજા ટુકડાનો વેગ $v'$ છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,
અવકાશયાનનું પ્રારંભિક વેગમાન = અવકાશયાનના ટુકડાઓનું અંતિમ વેગમાન
$Mv = m(0) + (M - m)v'$
$\therefore v' = \frac{M}{M - m} v$

(B) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પદાર્થ સ્થિર હોવાથી તેનું કુલ પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે.
$0 = 2p\,\hat{i} + p\,\hat{j} + \vec{p_3}$
તેથી,ત્રીજા ટુકડાનું વેગમાન:
$\vec{p_3} = -2p\,\hat{i} - p\,\hat{j}$
ત્રીજા ટુકડાના વેગમાનનું મૂલ્ય:
$|\vec{p_3}| = \sqrt{(-2p)^2 + (-p)^2} = \sqrt{4p^2 + p^2} = \sqrt{5p^2} = \sqrt{5}p$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) વ્યક્તિનું દળ $m_p = 80 \ kg$ અને ટ્રૉલીનું દળ $m_t = 320 \ kg$ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
વ્યક્તિનું વેગમાન + ટ્રૉલીનું વેગમાન = $0$
ધારો કે ટ્રૉલીનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ $v$ છે.
વ્યક્તિનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ $(1 - v)$ થશે.
$80(1 - v) + 320(v) = 0$
$80 - 80v + 320v = 0$
$240v = -80 \implies v = -0.33 \ m/s$.
પરંતુ,જો આપણે તંત્રના વેગમાનના સંતુલન મુજબ ગણીએ તો: $80 \times 1 = (80 + 320)v \implies 80 = 400v \implies v = 0.2 \ m/s$.
આથી,જમીનની સાપેક્ષે વ્યક્તિનો વેગ = $1 - 0.2 = 0.8 \ m/s$.
$4 \ s$ માં સ્થાનાંતર = $0.8 \times 4 = 3.2 \ m$.

(C) બૉમ્બ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,તેનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે દરેક ટુકડાનું દળ $m$ છે. બૉમ્બનું કુલ દળ $3m$ છે.
ધારો કે ત્રણ ટુકડાઓના વેગ $\vec{v}_1 = 9\hat{i} \ m s^{-1}$,$\vec{v}_2 = 12\hat{j} \ m s^{-1}$ અને $\vec{v}_3$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા: $m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2 + m\vec{v}_3 = 0$.
$m$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3 = 0$.
$\vec{v}_3 = -(\vec{v}_1 + \vec{v}_2) = -(9\hat{i} + 12\hat{j})$.
ત્રીજા ટુકડાના વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}_3| = \sqrt{(-9)^2 + (-12)^2}$ થશે.
$|\vec{v}_3| = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \ m s^{-1}$.

(C) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન એ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોય છે.
પ્રારંભિક દળ $m_1 = 1000\, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 50\, km/h$.
અંતિમ દળ $m_2 = 1000\, kg + 250\, kg = 1250\, kg$.
ધારો કે નવો વેગ $v$ છે.
$m_1 u_1 = m_2 v$
$1000 \times 50 = 1250 \times v$
$v = \frac{50000}{1250} = 40\, km/h$.

(C) ધારો કે ગોળાનું દળ $m = 0.2\, kg$ અને બંદૂકનું દળ $M = 4\, kg$ છે. ધારો કે ગોળાનો વેગ $v$ છે અને બંદૂકનો રિકોઇલ વેગ $V$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$mv = MV$,તેથી $V = (m/M)v$.
વિસ્ફોટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી કુલ ઉર્જા એ ગોળા અને બંદૂકની ગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2$
$V = (m/M)v$ મૂકતા:
$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}M(\frac{m}{M}v)^2 = \frac{1}{2}mv^2 (1 + \frac{m}{M})$
અહીં $E = 1.05\, kJ = 1050\, J$,$m = 0.2\, kg$,અને $M = 4\, kg$ આપેલ છે:
$1050 = \frac{1}{2} \times 0.2 \times v^2 \times (1 + \frac{0.2}{4})$
$1050 = 0.1 \times v^2 \times (1 + 0.05)$
$1050 = 0.1 \times 1.05 \times v^2$
$1050 = 0.105 \times v^2$
$v^2 = \frac{1050}{0.105} = 10000$
$v = 100\, m/s$.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ખડકનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે. તેથી,ત્રણેય ભાગોના વેગમાનનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ.
ધારો કે ત્રણેય ભાગોના વેગમાન $\vec{p}_1$,$\vec{p}_2$ અને $\vec{p}_3$ છે.
$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0 \implies \vec{p}_3 = -(\vec{p}_1 + \vec{p}_2)$.
પ્રથમ ભાગના વેગમાનનું મૂલ્ય $p_1 = m_1 v_1 = 1 \, kg \times 12 \, m s^{-1} = 12 \, kg \, m s^{-1}$ છે.
બીજા ભાગના વેગમાનનું મૂલ્ય $p_2 = m_2 v_2 = 2 \, kg \times 8 \, m s^{-1} = 16 \, kg \, m s^{-1}$ છે.
આ બે ભાગો એકબીજાને કાટખૂણે ગતિ કરતા હોવાથી,આ બે ભાગોના પરિણામી વેગમાનનું મૂલ્ય $p_{12} = \sqrt{p_1^2 + p_2^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \, kg \, m s^{-1}$ થાય.
ત્રીજા ભાગનું વેગમાન આ પરિણામી વેગમાન જેટલું જ મૂલ્ય ધરાવતું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ જેથી સંરક્ષણનો નિયમ જળવાય.
તેથી,$p_3 = p_{12} = 20 \, kg \, m s^{-1}$.
ત્રીજા ભાગની ઝડપ $v_3 = 4 \, m s^{-1}$ આપેલ હોવાથી,તેનું દળ $m_3$:
$m_3 = \frac{p_3}{v_3} = \frac{20 \, kg \, m s^{-1}}{4 \, m s^{-1}} = 5 \, kg$.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,શરૂઆતનું વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,બંને ટુકડાઓના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $p_1 = p_2 = p$.
પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ અને તેના વેગમાન $p$ તથા દળ $m$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
અહીં $p$ સમાન હોવાથી,ગતિઊર્જા એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $K \propto \frac{1}{m}$.
ધારો કે $m_1 = 2M$ દળના ટુકડાની ગતિઊર્જા $E_1$ છે અને $m_2 = 3M$ દળના ટુકડાની ગતિઊર્જા $E_2$ છે.
તેથી,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{m_2}{m_1} = \frac{3M}{2M} = \frac{3}{2}$.
કુલ ગતિઊર્જા $E = E_1 + E_2$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$E_1 = \left( \frac{m_2}{m_1 + m_2} \right) E = \left( \frac{3M}{2M + 3M} \right) E = \left( \frac{3M}{5M} \right) E = \frac{3E}{5}$.

(A) શરૂઆતમાં બોમ્બ સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાન પણ $0$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $m$ દળનો વેગ $v_A$ છે અને $2m$ દળનો વેગ $v_B$ છે.
$m v_A + 2m v_B = 0$
આપેલ છે કે $v_A = 16 \text{ m/s}$,તેથી $m(16) + 2m v_B = 0$.
$2m v_B = -16m \implies v_B = -8 \text{ m/s}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બંને ટુકડાઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
વિસ્ફોટમાં મુક્ત થતી કુલ ગતિઊર્જા $K$ એ બંને ટુકડાઓની ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$K = \frac{1}{2} m v_A^2 + \frac{1}{2} (2m) v_B^2$
$K = \frac{1}{2} m (16)^2 + \frac{1}{2} (2m) (-8)^2$
$K = \frac{1}{2} m (256) + m (64)$
$K = 128m + 64m = 192m \text{ J}$.
આમ,મુક્ત થતી કુલ ગતિઊર્જા $192m \text{ J}$ છે.

(B) ધારો કે અવકાશયાનનું કુલ દળ $m$ છે. પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{P}_i = m v_0 \hat{j}$ છે.
વિસ્ફોટ પછી,અવકાશયાન બે ભાગમાં વહેંચાય છે: $m_1 = \frac{m}{4}$ અને $m_2 = \frac{3m}{4}$.
પ્રથમ ભાગનો વેગ $\vec{v}_1 = 2v_0 \hat{i}$ છે.
ધારો કે બાકી રહેલા ભાગનો વેગ $\vec{v}_2 = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\vec{P}_i = \vec{P}_f$,તેથી $m v_0 \hat{j} = \frac{m}{4}(2v_0 \hat{i}) + \frac{3m}{4}(v_x \hat{i} + v_y \hat{j})$.
ઘટકોને સરખાવતા:
$x$-અક્ષ પર: $0 = \frac{2m v_0}{4} + \frac{3m v_x}{4} \Rightarrow 3v_x = -2v_0 \Rightarrow v_x = -\frac{2}{3}v_0$.
$y$-અક્ષ પર: $m v_0 = \frac{3m v_y}{4} \Rightarrow v_y = \frac{4}{3}v_0$.
બાકી રહેલા ભાગના વેગનું મૂલ્ય $v_2 = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(-\frac{2}{3}v_0)^2 + (\frac{4}{3}v_0)^2} = \sqrt{\frac{4}{9}v_0^2 + \frac{16}{9}v_0^2} = \sqrt{\frac{20}{9}}v_0 = \frac{\sqrt{20}}{3}v_0$.

(C) કિસ્સો $I$: એકસાથે કૂદકો.
ધારો કે બગીનો વેગ $V_1$ છે. જમીનની સાપેક્ષે દરેક માણસનો વેગ $(10 - V_1)$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા: $0 = 100 V_1 - 2 \times 50(10 - V_1)$.
$100 V_1 = 100(10 - V_1) \implies V_1 = 10 - V_1 \implies 2 V_1 = 10 \implies V_1 = 5\, m/s$.
કિસ્સો $II$: ક્રમિક કૂદકો.
પ્રથમ માણસ કૂદકો મારે છે: $0 = (100 + 50) v_a - 50(10 - v_a) \implies 150 v_a = 500 - 50 v_a \implies 200 v_a = 500 \implies v_a = 2.5\, m/s$.
બીજો માણસ બગી પરથી કૂદકો મારે છે (હવે દળ $150\, kg$ છે): $150 v_a = 100 V_2 - 50(10 - V_2)$.
$375 = 100 V_2 - 500 + 50 V_2 \implies 150 V_2 = 875 \implies V_2 = 875 / 150 = 35 / 6 \approx 5.83\, m/s$.
ગુણોત્તર $V_1 : V_2 = 5 : (35/6) = 30 : 35 = 6 : 7$. તેથી રિકોઈલ વેગનો ગુણોત્તર $7 : 6$ છે.

(C) આપેલ છે: વેગનનું પ્રારંભિક દળ,$m = 5 \times 10^3 \text{ kg}$.
વેગનનો પ્રારંભિક વેગ,$v = 1.2 \text{ m/s}$.
વરસાદના ટીપાં એકત્રિત કર્યા પછી,વેગનનું કુલ દળ $m' = m + 10^3 \text{ kg} = 6 \times 10^3 \text{ kg}$ થાય છે.
વરસાદના ટીપાં શિરોલંબ નીચે પડે છે,તેથી તેમની પાસે વેગમાનનો કોઈ સમક્ષિતિજ ઘટક નથી. તેથી,તંત્રનું સમક્ષિતિજ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m \times v = m' \times v'$.
કિંમતો મૂકતા: $(5 \times 10^3) \times 1.2 = (6 \times 10^3) \times v'$.
$v' = \frac{5 \times 10^3 \times 1.2}{6 \times 10^3}$.
$v' = \frac{5 \times 1.2}{6} = 1 \text{ m/s}$.

(C) તંત્ર ઘર્ષણરહિત ટેબલ પર હોવાથી,$x$-દિશામાં કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી. $x$-દિશામાં તંત્રનો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય છે,તેથી ગતિ દરમિયાન $x$-દિશામાં કુલ વેગમાન શૂન્ય રહેવું જોઈએ.
ધારો કે $v_{x_A}$ અને $v_{x_B}$ એ અનુક્રમે પદાર્થ $A$ અને $B$ ના વેગના $x$-ઘટકો છે.
$x$-દિશામાં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$M v_{x_A} + (2M) v_{x_B} = 0$
$M v_{x_A} = -2M v_{x_B}$
$v_{x_A} = -2 v_{x_B}$
આપેલ છે કે પદાર્થ $B$ ના વેગનો $x$-ઘટક $V_x$ છે,તેથી $v_{x_B} = V_x$.
તેથી,$v_{x_A} = -2 V_x$.
$z$-દિશામાં કોઈ બાહ્ય બળ ન હોવાથી બંને પદાર્થો માટે $z$-દિશામાં વેગ $u \hat{k}$ અચળ રહે છે.
આમ,પદાર્થ $A$ નો વેગ $\vec{V}_A = -2 V_x \hat{i} + u \hat{k}$ થશે.

(B) તંત્ર (દડો + સ્પ્રિંગ ગન) પર કોઈ બાહ્ય આડા બળો લાગતા ન હોવાથી,તંત્રનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે દડો નળીની સાપેક્ષમાં સ્થિર થયા પછી સંયુક્ત તંત્ર (દડો + સ્પ્રિંગ ગન) નો અંતિમ વેગ $V$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m v_0 + M(0) = (m + M) V$
આપેલ છે:
$m = 60 \text{ g} = 0.06 \text{ kg}$
$M = 240 \text{ g} = 0.24 \text{ kg}$
$v_0 = 22 \text{ m/s}$
કિંમતો મૂકતા:
$0.06 \times 22 + 0 = (0.06 + 0.24) V$
$1.32 = 0.30 V$
$V = \frac{1.32}{0.30} = 4.4 \text{ m/s}$
આમ,દડો નળીની સાપેક્ષમાં સ્થિર થયા પછી સ્પ્રિંગ ગનની ઝડપ $4.4 \text{ m/s}$ છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,સિસ્ટમના કુલ વેગમાન $\vec{P}$ માં થતો ફેરફારનો દર તેના પર લાગતા ચોખ્ખા બાહ્ય બળ જેટલો હોય છે: $\frac{d\vec{P}}{dt} = \vec{F}_{ext}$.
સિસ્ટમ કોઈપણ બાહ્ય બળોથી મુક્ત હોવાથી,$\vec{F}_{ext} = 0$ છે.
તેથી,$\frac{d\vec{P}}{dt} = 0$,જે સૂચવે છે કે સિસ્ટમનું કુલ વેગમાન $\vec{P}$ અચળ છે.
આંતરિક બળો ક્રિયા-પ્રતિક્રિયાની જોડીમાં કાર્ય કરે છે અને એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે,તેથી તેઓ સિસ્ટમના કુલ વેગમાનમાં ફેરફાર કરતા નથી.
આમ,કુલ વેગમાન શૂન્યતર હોઈ શકે છે (જો સિસ્ટમ પાસે પ્રારંભિક વેગ હોય),પરંતુ તે સમય સાથે અચળ રહેવું જોઈએ.

(C) વેગમાન સંરક્ષિત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે રેલ કાર અને બોલિંગ બોલની બનેલી સિસ્ટમ પર લાગતા બાહ્ય બળોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$1$. આડી દિશામાં (ટ્રેકને સમાંતર),સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી કારણ કે ટ્રેક ઘર્ષણરહિત છે અને રેલ કાર અલગ છે.
$2$. ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,જો સિસ્ટમ પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો સિસ્ટમનું કુલ રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે.
$3$. તેથી,વેગમાનનો આડો ઘટક સંરક્ષિત રહે છે.
$4$. શિરોલંબ દિશામાં,સિસ્ટમ પર બાહ્ય બળ લાગે છે: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) અને ટ્રેક દ્વારા લાગતું લંબબળ. જેમ બોલ નીચે પડે છે,તેમ ગુરુત્વાકર્ષણ અને કારના તળિયા સાથેની અથડામણને કારણે સિસ્ટમ શિરોલંબ વેગમાનમાં ફેરફાર અનુભવે છે.
$5$. કારણ કે કુલ બાહ્ય બળનો આડો ઘટક શૂન્ય છે,તેથી ટ્રેકને સમાંતર વેગમાનનો ઘટક સંરક્ષિત રહે છે.

(B) ટ્રેક ઘર્ષણરહિત હોવાથી અને ગતિની દિશામાં સિસ્ટમ (રેલ કાર $+$ બોલિંગ બોલ) પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું નથી,તેથી તે દિશામાં સિસ્ટમનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે $V$ એ સિસ્ટમનો અંતિમ વેગ છે.
સિસ્ટમનું પ્રારંભિક વેગમાન $= M \times v_0 + (N \times m) \times 0 = Mv_0$.
સિસ્ટમનું અંતિમ વેગમાન $= (M + Nm) \times V$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$Mv_0 = (M + Nm) \times V$.
$V$ માટે ઉકેલતા,આપણને $V = \frac{Mv_0}{M + Nm}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $v_1$ એ જમીનની સાપેક્ષે માણસનો વેગ છે અને $v_2$ એ જમીનની સાપેક્ષે ટ્રોલીનો વેગ છે.
સિસ્ટમ લીસી આડી સપાટી પર હોવાથી,સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું નથી.
તેથી,સિસ્ટમનું વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
શરૂઆતમાં,સિસ્ટમ સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
$m v_1 + M v_2 = 0$
$v_1 = -\frac{M}{m} v_2$
આપણને ટ્રોલીની સાપેક્ષે માણસનો સાપેક્ષ વેગ $u_{rel} = v_1 - v_2$ તરીકે આપવામાં આવ્યો છે.
સાપેક્ષ વેગના સમીકરણમાં $v_1$ ની કિંમત મૂકતા:
$u_{rel} = -\frac{M}{m} v_2 - v_2$
$u_{rel} = -v_2 \left( \frac{M}{m} + 1 \right)$
$u_{rel} = -v_2 \left( \frac{M + m}{m} \right)$
$v_2 = -\frac{m u_{rel}}{M + m}$
ટ્રોલીના વેગનું મૂલ્ય $\frac{m u_{rel}}{m + M}$ છે.

(A) ધારો કે $v_1$ એ માણસનો વેગ છે અને $v_2$ એ જમીનની સાપેક્ષે ટ્રોલીનો વેગ છે.
સિસ્ટમ લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર હોવાથી,સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું નથી. તેથી,સિસ્ટમનું વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
શરૂઆતમાં,સિસ્ટમ સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
$m v_1 + M v_2 = 0 \implies v_2 = -\frac{m}{M} v_1$.
ટ્રોલીની સાપેક્ષે માણસનો સાપેક્ષ વેગ $u_{rel} = v_1 - v_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણમાં $v_2$ ની કિંમત મૂકતા: $u_{rel} = v_1 - (-\frac{m}{M} v_1) = v_1 (1 + \frac{m}{M}) = v_1 (\frac{M + m}{M})$.
$v_1$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v_1 = \frac{M u_{rel}}{M + m}$ મળે છે.

(C) તંત્ર (માણસ + ટ્રોલી) લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર હોવાથી,તેના પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું નથી. તેથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
ધારો કે જમીનની સાપેક્ષે માણસનો વેગ $v_m$ અને ટ્રોલીનો વેગ $v_t$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m v_m + M v_t = 0$,જે સૂચવે છે કે $v_t = -\frac{m}{M} v_m$.
ટ્રોલીની સાપેક્ષે માણસનો વેગ $u_{rel} = v_m - v_t$ તરીકે આપવામાં આવ્યો છે.
$v_t$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $u_{rel} = v_m - (-\frac{m}{M} v_m) = v_m (1 + \frac{m}{M}) = v_m \left( \frac{M+m}{M} \right)$.
આમ,જમીનની સાપેક્ષે માણસનો વેગ $v_m = u_{rel} \left( \frac{M}{M+m} \right)$ છે.
માણસ દ્વારા ટ્રોલીની લંબાઈ $L$ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{L}{u_{rel}}$ છે.
ટ્રોલી પણ ગતિ કરતી હોવાથી,માણસ ટ્રોલીની સાપેક્ષે $u_{rel}$ ઝડપે $L$ અંતર કાપે છે.
તેથી,લાગતો સમય $t = \frac{L}{u_{rel}}$ છે.

(D) ધારો કે $A$ પરની વ્યક્તિ કૂદકો મારે તે પછી ટ્રોલીનો ($B$ પરની વ્યક્તિ સાથે) વેગ જમણી તરફ $v$ છે. જમીનની સાપેક્ષમાં $A$ પરની વ્યક્તિનો વેગ $v_1 = v - u_{rel}$ (ડાબી તરફ) છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = 0$.
અંતિમ વેગમાન $P_f = m_1(v - u_{rel}) + (m_2 + M)v = 0$.
$m_1 v - m_1 u_{rel} + m_2 v + M v = 0$.
$(m_1 + m_2 + M)v = m_1 u_{rel}$.
$v = \frac{m_1 u_{rel}}{m_1 + m_2 + M}$.
$v > 0$ હોવાથી,ટ્રોલી જમણી તરફ ગતિ કરે છે.
વળી,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
આમ,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(D) શરૂઆતમાં,તંત્ર (ટ્રોલી + બે વ્યક્તિઓ) સ્થિર છે,તેથી તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું કુલ વેગમાન સંરક્ષિત રહેવું જોઈએ (એટલે કે શૂન્ય).
જ્યારે $m_2$ દળની વ્યક્તિ ટ્રોલીની સાપેક્ષમાં $u_{rel}$ સાપેક્ષ વેગ સાથે જમણી તરફ કૂદકો મારે છે,ત્યારે ધારો કે ટ્રોલી (અને વ્યક્તિ $m_1$) નો વેગ ડાબી તરફ $v$ છે.
જમીનની સાપેક્ષમાં વ્યક્તિ $m_2$ નો વેગ $v_{m2} = u_{rel} - v$ (જમણી તરફ) છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા: $0 = (m_1 + M)(-v) + m_2(u_{rel} - v)$.
$0 = -m_1 v - Mv + m_2 u_{rel} - m_2 v$.
$m_2 u_{rel} = (m_1 + m_2 + M)v$.
$v = \frac{m_2 u_{rel}}{m_1 + m_2 + M}$.
$v$ ડાબી તરફ હોવાથી,ટ્રોલી ડાબી તરફ ગતિ કરે છે.
વળી,કોઈ બાહ્ય બળ ન હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
આમ,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(A) ધારો કે ટ્રોલીનો વેગ $m_1$ દળ ધરાવતી વ્યક્તિની દિશામાં $v$ છે.
તંત્ર (ટ્રોલી + બે વ્યક્તિઓ) પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોવાથી,તંત્રનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે ટ્રોલીનો વેગ $v$ (જમણી તરફ) છે.
જમીનની સાપેક્ષે $m_1$ દળ ધરાવતી વ્યક્તિનો વેગ $v - u_{rel}$ છે (ધારો કે તેઓ ડાબી તરફ કૂદકો મારે છે).
જમીનની સાપેક્ષે $m_2$ દળ ધરાવતી વ્યક્તિનો વેગ $v + u_{rel}$ છે (ધારો કે તેઓ જમણી તરફ કૂદકો મારે છે).
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$0 = Mv + m_1(v - u_{rel}) + m_2(v + u_{rel})$
$0 = Mv + m_1v - m_1u_{rel} + m_2v + m_2u_{rel}$
$0 = (M + m_1 + m_2)v + (m_2 - m_1)u_{rel}$
$(M + m_1 + m_2)v = (m_1 - m_2)u_{rel}$
$v = \frac{(m_1 - m_2)u_{rel}}{M + m_1 + m_2}$
મૂલ્ય લેતા,ટ્રોલીનો વેગ $\frac{|m_1 - m_2|u_{rel}}{M + m_1 + m_2}$ મળે છે.

(A) $1$. પ્રારંભિક વેગના ઘટકો: $u_x = 50 \cos 53^{\circ} = 30 \, m/s$ અને $u_y = 50 \sin 53^{\circ} = 40 \, m/s$.
$2$. મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગ $v_x = 30 \, m/s$ છે. ઉગમબિંદુથી મહત્તમ ઊંચાઈ સુધીનું સમક્ષિતિજ અંતર $R/2 = (30 \times 40) / 10 = 120 \, m$ છે.
$3$. મહત્તમ ઊંચાઈએ,દળ $m$ બે ભાગ $m/2$ માં વહેંચાય છે. એક ભાગ સ્થિર થાય છે $(v_1 = 0)$. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m(30) = (m/2)v_2 \implies v_2 = 60 \, m/s$.
$4$. સ્થિર ભાગ $x_1 = 120 \, m$ પર પડે છે. બીજો ભાગ $v_2 = 60 \, m/s$ થી ગતિ કરે છે અને $H = 40^2 / 20 = 80 \, m$ ની ઊંચાઈએથી પડે છે. નીચે પડવાનો સમય $t = \sqrt{160/10} = 4 \, s$ છે.
$5$. બીજા ભાગનું મહત્તમ ઊંચાઈથી અંતર $d = 60 \times 4 = 240 \, m$ છે. તેનું અંતિમ સ્થાન $x_2 = 120 + 240 = 360 \, m$ છે.
$6$. બંને ટુકડાઓ વચ્ચેનું અંતર $|360 - 120| = 240 \, m$ છે.

(C) તંત્ર રેલ કાર અને તમામ રેતીનું બનેલું છે. ટ્રેક ઘર્ષણરહિત હોવાથી અને રેલ કાર અલગ (isolated) હોવાથી,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય આડા બળો લાગતા નથી,તેથી આડી દિશામાં કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય છે. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે. જેમ રેતી ઊભી દિશામાં બહાર પડે છે,તેમ તે જમીનની સાપેક્ષમાં કોઈ આડું વેગમાન ધરાવતી નથી કારણ કે જ્યારે તે બહાર નીકળે છે ત્યારે તેનો આડો વેગ રેલ કાર જેટલો જ હોય છે. તેથી,રેલ કાર અને તમામ રેતી (અંદર અને બહાર) નું કુલ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે. વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ ટુકડાનું દળ અને વેગ $m_1 = 4 \ kg$ અને $v_1$ છે,અને બીજા ટુકડાનું દળ અને વેગ $m_2 = 12 \ kg$ અને $v_2 = 4 \ m s^{-1}$ છે.
બોમ્બ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,તેનું પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાન પણ $0$ હોવું જોઈએ.
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$
$4 v_1 + 12 \times 4 = 0$
$4 v_1 = -48$
$v_1 = -12 \ m s^{-1}$
વેગનું મૂલ્ય $12 \ m s^{-1}$ છે.
$4 \ kg$ ના ટુકડાની ગતિઊર્જા:
$K.E. = \frac{1}{2} m_1 v_1^2$
$K.E. = \frac{1}{2} \times 4 \times (12)^2$
$K.E. = 2 \times 144 = 288 \ J.$

(NONE) અથડામણ દરમિયાન,તંત્ર પર લાગતા આઘાતી બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દડા અને વેજ વચ્ચેનું લંબબળ,જે $Y'$ દિશામાં લાગે છે.
$2$. જમીન દ્વારા વેજ પર લાગતું લંબબળ,જે $Y$ દિશામાં લાગે છે.
$3$. જમીન દ્વારા વેજ પર લાગતું આઘાતી ઘર્ષણ બળ,જે $X$ દિશામાં લાગે છે.
કોઈ ચોક્કસ દિશામાં વેગમાનનું સંરક્ષણ થવા માટે,તે દિશામાં કુલ બાહ્ય આઘાતી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
- $Y'$ દિશામાં: દડા અને વેજ વચ્ચેનું લંબબળ $(M+m)$ તંત્ર માટે આંતરિક બળ છે,પરંતુ તે $m$ અથવા $M$ વ્યક્તિગત તંત્ર માટે બાહ્ય આઘાતી બળ છે. તેથી,$m$ કે $M$ માટે $Y'$ દિશામાં વેગમાનનું સંરક્ષણ થતું નથી.
- $X$ દિશામાં: જમીન દ્વારા વેજ પર આઘાતી ઘર્ષણ બળ લાગે છે,તેથી $(M+m)$ તંત્ર માટે $X$ દિશામાં વેગમાનનું સંરક્ષણ થતું નથી.
- $Y$ દિશામાં: જમીન દ્વારા વેજ પર આઘાતી લંબબળ લાગે છે,તેથી $(M+m)$ તંત્ર માટે $Y$ દિશામાં વેગમાનનું સંરક્ષણ થતું નથી.
આપેલ શરતોમાંથી કોઈ પણ શરત કુલ બાહ્ય આઘાતી બળ શૂન્ય કરતી નથી,તેથી આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચો નથી.

(B) શરૂઆતમાં શેલ સ્થિર હોવાથી,તેનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે. રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટુકડાઓના અંતિમ વેગમાનનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ.
ધારો કે $\vec{p}_1$,$\vec{p}_2$ અને $\vec{p}_m$ એ ત્રણ ટુકડાઓના વેગમાન છે.
$\vec{p}_1 = 1 \times 5 \hat{i} = 5 \hat{i} \ kg \cdot m/s$
$\vec{p}_2 = 2 \times 6 \hat{j} = 12 \hat{j} \ kg \cdot m/s$
$\vec{p}_m = m \vec{v}_m$
$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_m = 0$ હોવાથી,$\vec{p}_m = -(5 \hat{i} + 12 \hat{j})$ મળે.
$m \ kg$ ના ટુકડાના વેગમાનનું મૂલ્ય $|\vec{p}_m| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \ kg \cdot m/s$ છે.
$m \ kg$ ના ટુકડાની ઝડપ $6.5 \ m/s$ આપેલી હોવાથી,$m \times 6.5 = 13$ મળે.
આમ,$m = \frac{13}{6.5} = 2 \ kg$.
શેલનું કુલ દળ $M = 1 + 2 + m = 1 + 2 + 2 = 5 \ kg$ થાય.

(A) ધારો કે બ્લોકનું દળ $m$ છે અને વેજનું દળ $m$ છે. શરૂઆતમાં, બ્લોકનો વેગ $u$ છે અને વેજ સ્થિર છે।
સપાટી લીસી હોવાથી અને કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ ન હોવાથી, તંત્રનું રેખીય વેગમાન સમક્ષિતિજ દિશામાં સંરક્ષિત રહે છે।
જ્યારે બ્લોક વેજની સાપેક્ષમાં મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર પહોંચે છે, ત્યારે બ્લોક અને વેજ બંને સમાન સમક્ષિતિજ વેગ $v$ થી ગતિ કરે છે।
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mu = (m + m)v$, જે આપણને $v = u/2$ આપે છે।
જોકે, પ્રશ્ન બ્લોક પાછો નીચે સમક્ષિતિજ સપાટી પર આવ્યા પછી વેજના અંતિમ વેગ વિશે પૂછે છે।
આ અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક (elastic) હોવાથી (લીસી સપાટી, કોઈ ઉર્જાનો વ્યય થતો નથી), તંત્ર સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ જેવું વર્તે છે।
સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં, જો એક પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય, તો તેઓ તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે।
તેથી, બ્લોક સ્થિર થઈ જાય છે અને વેજ બ્લોકના પ્રારંભિક વેગ $u$ જેટલો વેગ પ્રાપ્ત કરે છે।

(C) ધારો કે બોમ્બનું દળ $3m$ છે. સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુએ,તેનો વેગ $0$ છે. વિસ્ફોટ પછી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બોમ્બના મૂળ માર્ગને અનુસરવાનું ચાલુ રાખે છે,જે ગુરુત્વાકર્ષણ $g$ હેઠળ ઊંચાઈ $h$ થી મુક્ત પતન છે.
ધારો કે ત્રણ ટુકડાઓના વેગ $v_1, v_2, v_3$ છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m v_1 + m v_2 + m v_3 = 0$. કારણ કે બે ટુકડાઓ જમીન પર પહોંચવા માટે $20 \ s$ લે છે,તેઓ સમાન ઝડપ $v'$ સાથે નીચેની તરફ ફેંકાયા હશે. ધારો કે ત્રીજો ટુકડો $v$ ઝડપ સાથે ઉપરની તરફ ફેંકાય છે. તેથી $m v - m v' - m v' = 0$,એટલે કે $v = 2v'$.
ઉપરની તરફ ફેંકાયેલા ટુકડા માટે: $h = -vt_1 + \frac{1}{2}gt_1^2$ (જ્યાં $t_1 = 10 \ s$ અને $h$ એ નીચેની તરફનું સ્થાનાંતર છે).
નીચેની તરફ ફેંકાયેલા ટુકડાઓ માટે: $h = v't_2 + \frac{1}{2}gt_2^2$ (જ્યાં $t_2 = 20 \ s$).
$v = 2v'$ મૂકતા: $h = -2v'(10) + \frac{1}{2}g(10)^2 = -20v' + 500$.
તેમજ $h = v'(20) + \frac{1}{2}g(20)^2 = 20v' + 2000$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2h = 2500 \implies h = 1250 \ m$.

(C) ધારો કે તોપનું પ્રારંભિક દળ $M = 10m$ છે। પ્રારંભિક વેગ $v_0 = 10 \ m/s$ છે。
$n$ ગોળા છોડ્યા પછી, તોપનું દળ $M' = 10m - nm$ થાય છે。
ધારો કે તોપનો અંતિમ વેગ $v_f$ છે。
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$P_{initial} = P_{final}$
$(10m)(10) = (10m - nm)v_f + (nm)u$
$100m = (10 - n)m v_f + nmu$
$100 = (10 - n)v_f + nu$
જો તોપનો વેગ $u$ થઈ જાય, તો $v_f = u$ થાય。
સમીકરણમાં $v_f = u$ મૂકતા:
$100 = (10 - n)u + nu$
$100 = 10u - nu + nu$
$100 = 10u$
$u = 10 \ m/s$.
તેથી, જો $u = 10 \ m/s$ હોય, તો તોપનો વેગ છોડવામાં આવેલા ગોળાની સંખ્યાને ધ્યાનમાં લીધા વિના $10 \ m/s$ રહેશે।

(B) ધારો કે ડાબું પાટિયું $P_1$ છે અને જમણું પાટિયું $P_2$ છે. શરૂઆતમાં,તંત્ર સ્થિર છે.
જ્યારે બિલાડી $P_1$ થી $P_2$ પર $v_{cg}$ ઝડપ (જમણી તરફ) સાથે કૂદકો મારે છે,ત્યારે તંત્ર (બિલાડી + $P_1$) માટે વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$0 = m_c v_{cg} + m_s v_{P1} \implies v_{P1} = -\frac{m_c v_{cg}}{m_s}$ (ડાબી તરફ).
જ્યારે બિલાડી $P_2$ પર ઉતરે છે,ત્યારે બિલાડી અને $P_2$ સાથે ગતિ કરે છે. તંત્ર (બિલાડી + $P_2$) માટે વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_c v_{cg} = (m_c + m_s) v_{P2} \implies v_{P2} = \frac{m_c v_{cg}}{m_c + m_s}$.
જ્યારે બિલાડી $P_2$ થી $P_1$ પર $v_{cg}$ ઝડપ (ડાબી તરફ) સાથે પાછો કૂદકો મારે છે,ત્યારે ધારો કે $P_2$ નો અંતિમ વેગ $v'_{P2}$ છે. તંત્ર (બિલાડી + $P_2$) માટે વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$(m_c + m_s) v_{P2} = m_c (-v_{cg}) + m_s v'_{P2}$.
$v_{P2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(m_c + m_s) \left( \frac{m_c v_{cg}}{m_c + m_s} \right) = -m_c v_{cg} + m_s v'_{P2}$.
$m_c v_{cg} = -m_c v_{cg} + m_s v'_{P2} \implies 2m_c v_{cg} = m_s v'_{P2} \implies v'_{P2} = \frac{2m_c v_{cg}}{m_s}$.

(D) ધારો કે કૂદકા પછી જમીનની સાપેક્ષમાં માણસનો વેગ $v_m$ અને ગાડીનો વેગ $v_c$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે, તેથી $m v_m + 2m v_c = 0$, જેનો અર્થ છે કે $v_m = -2v_c$.
ગાડીની સાપેક્ષમાં માણસનો સાપેક્ષ વેગ $u = v_m - v_c$ છે.
$v_m = -2v_c$ મૂકતા, આપણને $u = -2v_c - v_c = -3v_c$ મળે છે, તેથી $v_c = -u/3$.
તેથી $v_m = -2(-u/3) = 2u/3$.
આંતરિક બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય એ તંત્રની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = K_f - K_i$.
તંત્ર શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી, $K_i = 0$.
$K_f = \frac{1}{2} m v_m^2 + \frac{1}{2} (2m) v_c^2 = \frac{1}{2} m (2u/3)^2 + m (-u/3)^2$.
$K_f = \frac{1}{2} m (4u^2/9) + m (u^2/9) = \frac{2mu^2}{9} + \frac{mu^2}{9} = \frac{3mu^2}{9} = \frac{mu^2}{3}$.
આમ, થયેલું કાર્ય $\frac{mu^2}{3}$ છે.

(A) મહત્તમ બિંદુ પર,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = (3m)(40) = 120m$ સમક્ષિતિજ દિશામાં છે.
ધારો કે $m$ દળ ધરાવતા ભાગનો વેગ $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ છે.
$2m$ દળ ધરાવતો ભાગ શિરોલંબ ઉપરની તરફ $25\, m/s$ ના વેગથી ગતિ કરે છે,તેથી તેનું વેગમાન $\vec{P}_{2m} = (2m)(25\hat{j}) = 50m\hat{j}$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\vec{P}_i = \vec{P}_{2m} + \vec{P}_m$.
$120m\hat{i} = 50m\hat{j} + m(v_x \hat{i} + v_y \hat{j})$.
ઘટકોને સરખાવતા:
સમક્ષિતિજ: $120m = mv_x \implies v_x = 120\, m/s$.
શિરોલંબ: $0 = 50m + mv_y \implies v_y = -50\, m/s$.
$m$ દળ ધરાવતા ભાગની ઝડપ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{120^2 + (-50)^2} = \sqrt{14400 + 2500} = \sqrt{16900} = 130\, m/s$.

(D) ધારો કે કુલ દળ $M = 1 \; kg$ છે. ત્રણ ભાગોના દળ $m_1 = 0.2 \; kg$,$m_2 = 0.2 \; kg$ અને $m_3 = 0.6 \; kg$ ($1:1:3$ ગુણોત્તર) છે.
બોમ્બ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાન પણ $0$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે બે નાના ભાગોના વેગ $\vec{v}_1 = 30\hat{i} \; m/s$ અને $\vec{v}_2 = 30\hat{j} \; m/s$ છે.
આ બે ભાગોનું વેગમાન $\vec{p}_{12} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = 0.2(30\hat{i} + 30\hat{j}) = 6\hat{i} + 6\hat{j} \; kg \cdot m/s$ છે.
આ વેગમાનનું મૂલ્ય $p_{12} = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt{2} \; kg \cdot m/s$ છે.
કુલ વેગમાન શૂન્ય થવા માટે,ત્રીજા ભાગનું વેગમાન $\vec{p}_3 = -\vec{p}_{12}$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$m_3 v_3 = 6\sqrt{2}$.
$0.6 \cdot v_3 = 6\sqrt{2}$.
$v_3 = \frac{6\sqrt{2}}{0.6} = 10\sqrt{2} \; m/s$.

(B) દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u = 200 \, m/s$ અને ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક $0$ છે અને સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos 60^{\circ} = 200 \times 0.5 = 100 \, m/s$ છે.
દડાનું કુલ દળ $m$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગમાન $\vec{P}_{initial} = m \times 100 \hat{i}$ છે.
દડો $m/3$ દળના $3$ સમાન ટુકડાઓમાં વિસ્ફોટ પામે છે.
ધારો કે ટુકડાઓના વેગ $\vec{v}_1 = 100 \hat{j}$,$\vec{v}_2 = -100 \hat{j}$,અને $\vec{v}_3 = \vec{V}$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\vec{P}_{initial} = \vec{P}_{final}$
$m(100 \hat{i}) = \frac{m}{3}(100 \hat{j}) + \frac{m}{3}(-100 \hat{j}) + \frac{m}{3}(\vec{V})$
$100 \hat{i} = \frac{1}{3}(100 \hat{j} - 100 \hat{j} + \vec{V})$
$100 \hat{i} = \frac{1}{3} \vec{V}$
$\vec{V} = 300 \hat{i} \, m/s$.
આમ,ત્રીજો ટુકડો $300 \, m/s$ ની ઝડપે સમક્ષિતિજ દિશામાં ગતિ કરશે.

(A) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે.
મુક્ત અવકાશમાં અથડાતા બે દડાના કિસ્સામાં,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી.
તેથી,અથડામણના પ્રકાર (સ્થિતિસ્થાપક કે અસ્થિતિસ્થાપક) અથવા અથડામણના સ્વરૂપ (હેડ-ઓન કે ઓબ્લિક) ને ધ્યાનમાં લીધા વિના,તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે.