Mix Examples-Gravitation Questions in Hindi

(D) पृथ्वी के केंद्र से दूरी $d$ के साथ गुरुत्वीय त्वरण $g$ में परिवर्तन निम्नलिखित है:
$1$. पृथ्वी के अंदर $(d < R)$:
$g = \frac{GM}{R^3} d$
चूंकि $G, M,$ और $R$ स्थिरांक हैं,इसलिए $g \propto d$ होता है। यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$2$. पृथ्वी की सतह पर $(d = R)$:
$g = \frac{GM}{R^2} = g_s$ (अधिकतम मान)।
$3$. पृथ्वी के बाहर $(d > R)$:
$g = \frac{GM}{d^2}$
यहाँ,$g \propto \frac{1}{d^2}$ होता है। यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है।
इन सबको मिलाकर,ग्राफ केंद्र से सतह तक एक रैखिक वृद्धि और सतह के बाहर दूरी बढ़ने पर एक हाइपरबोलिक गिरावट को दर्शाता है। यह ग्राफ विकल्प $D$ में दिया गया है।

(B) $\text{कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए: } \Sigma W = \Delta K$.
$\text{गुरुत्वाकर्षण बल } F = -G \frac{Mm}{r^{2.1}} \text{ द्वारा किया गया कार्य जब उपग्रह } r = a \text{ से } r = b \text{ तक चलता है:}$
$W = \int_{a}^{b} F \cdot dr = \int_{a}^{b} -\frac{GMm}{r^{2.1}} dr$.
$W = -GMm \int_{a}^{b} r^{-2.1} dr = -GMm \left[ \frac{r^{-1.1}}{-1.1} \right]_{a}^{b}$.
$W = \frac{GMm}{1.1} \left[ \frac{1}{b^{1.1}} - \frac{1}{a^{1.1}} \right]$.
$\text{कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, } W = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mu^2$.
$\text{दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:}$
$\frac{GMm}{1.1} \left[ \frac{1}{b^{1.1}} - \frac{1}{a^{1.1}} \right] = \frac{1}{2}m(v^2 - u^2)$.
$m/2 \text{ से विभाजित करने पर:}$
$v^2 - u^2 = \frac{2GM}{1.1} \left[ \frac{1}{b^{1.1}} - \frac{1}{a^{1.1}} \right]$.
$v = \sqrt{u^2 + \frac{2}{1.1}GM \left( \frac{1}{b^{1.1}} - \frac{1}{a^{1.1}} \right)}$.

(C) $\text{स्थितिज ऊर्जा}$ $U(r)$ इस प्रकार दी जाती है: $U(r) = -\int_{\infty}^{r} F dr = -\int_{\infty}^{r} -\frac{GMm}{r^{2.1}} dr = GMm \int_{\infty}^{r} r^{-2.1} dr$.
$\text{समाकलन करने पर}$: $U(r) = GMm \left[ \frac{r^{-1.1}}{-1.1} \right]_{\infty}^{r} = -\frac{GMm}{1.1 r^{1.1}}$.
$\text{ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार}$: $K_i + U_i = K_f + U_f$.
$\frac{1}{2}mu^2 - \frac{GMm}{1.1 a^{1.1}} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{1.1 b^{1.1}}$.
$m/2$ $\text{से विभाजित करने पर}$: $u^2 - \frac{2GM}{1.1 a^{1.1}} = v^2 - \frac{2GM}{1.1 b^{1.1}}$.
$v$ $\text{के लिए हल करने पर}$: $v^2 = u^2 + \frac{2GM}{1.1} \left( \frac{1}{b^{1.1}} - \frac{1}{a^{1.1}} \right)$.
$\text{अतः},v = \sqrt{u^2 + \frac{2}{1.1} GM \left( \frac{1}{b^{1.1}} - \frac{1}{a^{1.1}} \right)}$.

(D) $6R$ त्रिज्या वाले अर्धगोलाकार कवच का द्रव्यमान केंद्र उसके केंद्र से $3R$ की दूरी पर होता है। मान लीजिए कवच का द्रव्यमान $m_1 = 2M$ है और बिंदु द्रव्यमान $m_2 = M$ है। उनके बीच की दूरी $d = 3R$ है।
दो-पिंड प्रणाली के लिए,द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर वृत्ताकार कक्षाओं की त्रिज्याएँ $r_1 = \frac{m_2 d}{m_1 + m_2} = \frac{M(3R)}{2M + M} = R$ और $r_2 = \frac{m_1 d}{m_1 + m_2} = \frac{2M(3R)}{2M + M} = 2R$ हैं।
उनके बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m_1 m_2}{d^2} = \frac{G(2M)(M)}{(3R)^2} = \frac{2GM^2}{9R^2}$ है।
बिंदु द्रव्यमान $M$ के लिए,अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $M \omega^2 r_2 = F$.
$M \omega^2 (2R) = \frac{2GM^2}{9R^2}$.
$\omega^2 = \frac{GM}{9R^3}$.
चूंकि दोनों पिंड समान कोणीय गति $\omega_1 = \omega_2 = \omega$ से घूमते हैं,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{GM}{9R^3}}$।

(A) मान लीजिए कि छड़ों का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda = \frac{M}{L}$ है।
दूसरी छड़ पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव लें जो पहली छड़ के निकटतम सिरे से $x$ दूरी पर है।
इस अवयव का द्रव्यमान $dm = \lambda dx = \frac{M}{L} dx$ है।
पहली छड़ (द्रव्यमान $M$) और इस अवयव $dm$ के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $dF = \frac{G M dm}{x(x+L)}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$dF = \frac{G M (M/L) dx}{x(x+L)} = \frac{GM^2}{L} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+L} \right) dx$.
कुल बल प्राप्त करने के लिए,$x = L$ से $x = 2L$ तक समाकलन करने पर:
$F = \frac{GM^2}{L} \int_{L}^{2L} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+L} \right) dx = \frac{GM^2}{L} [\ln x - \ln(x+L)]_{L}^{2L}$.
$F = \frac{GM^2}{L} [\ln(\frac{2L}{3L}) - \ln(\frac{L}{2L})] = \frac{GM^2}{L} [\ln(\frac{2}{3}) - \ln(\frac{1}{2})] = \frac{GM^2}{L} \ln(\frac{4}{3})$.
नोट: विकल्पों में दिया गया मान $\ln(3/4)$,$\ln(4/3)$ का ऋणात्मक मान है,जिसे बल के परिमाण के रूप में लिया गया है।

(D) $r \ge R$ के लिए,गुरुत्वीय त्वरण $a_g = \frac{GM}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a_g = \frac{4}{3} \pi G \rho \frac{R^3}{r^2}$ प्राप्त होता है।
सतह पर $(r = R)$,$a_g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ होता है।
चूंकि आरेख $1$ और $2$ $r \ge R_2$ के लिए संपाती हैं,वे समान द्रव्यमान $M_1 = M_2$ दर्शाते हैं। $R_1 < R_2$ होने के कारण,घनत्व $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3}$ से पता चलता है कि $\rho_1 > \rho_2$ है।
इसी प्रकार,आरेख $3$ और $4$ के लिए,$M_3 = M_4$ और $R_3 < R_4$ है,इसलिए $\rho_3 > \rho_4$ है।
सतह पर मानों की तुलना करने पर,$1$ और $2$ के लिए त्वरण $3$ और $4$ की तुलना में अधिक है,जिसका अर्थ है $M_{1,2} > M_{3,4}$।
आरेखों को देखते हुए,घनत्व $\rho \propto \frac{a_g}{R}$ है। सतह के मानों और त्रिज्याओं का विश्लेषण करने पर,घनत्व का अवरोही क्रम $1, 2, 4, 3$ है।

(D) $1$. ब्लैक होल के परितः कोणीय संवेग का संरक्षण:
$mv_0 R = mva \implies v = \frac{v_0 R}{a}$
$2$. यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण:
प्रारंभिक ऊर्जा = निकटतम पहुंच पर अंतिम ऊर्जा
$\frac{1}{2}mv_0^2 + 0 = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{a}$
$3$. ऊर्जा समीकरण में $v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{v_0 R}{a}\right)^2 - \frac{GM}{a}$
$v_0^2 = \frac{v_0^2 R^2}{a^2} - \frac{2GM}{a}$
$1 = \frac{R^2}{a^2} - \frac{2GM}{a v_0^2}$
$\frac{R^2}{a^2} = 1 + \frac{2GM}{a v_0^2}$
$\frac{R}{a} = \left(1 + \frac{2GM}{a v_0^2}\right)^{1/2}$
$a = R\left(1 + \frac{2GM}{a v_0^2}\right)^{-1/2}$

(B) $3\rho$ घनत्व वाले कोर के अंदर केंद्र से $r$ दूरी पर $m$ द्रव्यमान के कण पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल है:
$F = -\frac{G M_{enc} m}{r^2} = -\frac{G (\frac{4}{3} \pi r^3 \cdot 3\rho) m}{r^2}$
$F = -4\pi G \rho m r$
चूंकि $F = ma$,त्वरण है:
$a = -4\pi G \rho r$
यह सरल आवर्त गति का समीकरण $a = -\omega^2 r$ है,जहाँ $\omega^2 = 4\pi G \rho$ है।
अतः,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{4\pi G \rho}$ है।
पूर्ण दोलन का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{4\pi G \rho}} = \sqrt{\frac{\pi}{G \rho}}$ है।
कण $A$ से $B$ तक पहुँचने में आवर्तकाल का आधा समय लेता है:
$t = \frac{T}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{G \rho}}$.

(A) केंद्रीय बल के अंतर्गत दीर्घवृत्ताकार कक्षा के लिए,ऊर्जा संरक्षण और कोणीय संवेग संरक्षण के नियम लागू होते हैं।
निकटतम दूरी $(r_1)$ और अधिकतम दूरी $(r_2)$ के बिंदुओं पर,वेग त्रिज्या सदिश के लंबवत होता है।
कोणीय संवेग संरक्षण: $L = mv_1r_1 = mv_2r_2 \implies v_1 = \frac{L}{mr_1}$ और $v_2 = \frac{L}{mr_2}$.
ऊर्जा संरक्षण: $\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0r_1} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0r_2}$.
$v_1$ और $v_2$ का मान रखने पर: $\frac{L^2}{2m}(\frac{1}{r_1^2} - \frac{1}{r_2^2}) = \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2})$.
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर: $\frac{L^2}{2m} \frac{(r_2-r_1)(r_2+r_1)}{r_1^2r_2^2} = \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(r_2-r_1)}{r_1r_2}$.
$L$ के लिए हल करने पर: $L^2 = \frac{2mQq}{4\pi\varepsilon_0} \frac{r_1r_2}{r_1+r_2} = \frac{mr_1r_2Qq}{2\pi\varepsilon_0(r_1+r_2)}$.
अतः,$L = \sqrt{\frac{mr_1r_2Qq}{2\pi\varepsilon_0(r_1+r_2)}}$.

(D) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = -\frac{GMm}{R^3}r$ द्वारा दिया जाता है।
यह बल $F = -kr$ के रूप में है,जहाँ $k = \frac{GMm}{R^3}$ है।
यह गति सरल आवर्त गति है,जिसकी कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{GM}{R^3}}$ है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$ है।
चूंकि आवर्तकाल $T$ केवल पृथ्वी के द्रव्यमान $M$ और उसकी त्रिज्या $R$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह दोलन करने वाले द्रव्यमान $m$ से स्वतंत्र है।
अतः,यदि द्रव्यमान को बदलकर $4m$ कर दिया जाए,तो भी आवर्तकाल $T$ ही रहेगा।

(A) $m$ द्रव्यमान वाले कणों में से किसी एक पर लगने वाले बलों पर विचार करें। मान लीजिए कि यह कण नीचे की स्थिति में है।
दो निकटवर्ती कणों के बीच की दूरी $d = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$ है।
इन दो कणों में से प्रत्येक द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_1 = \frac{Gm^2}{(r\sqrt{2})^2} = \frac{Gm^2}{2r^2}$ है।
इन दो बलों के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जबकि ऊर्ध्वाधर घटक केंद्र की ओर जुड़ जाते हैं।
प्रत्येक बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F_1 \cos(45^\circ) = \frac{Gm^2}{2r^2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{Gm^2}{2\sqrt{2}r^2}$ है।
इन दो कणों द्वारा लगाया गया कुल ऊर्ध्वाधर बल $2 \times \frac{Gm^2}{2\sqrt{2}r^2} = \frac{Gm^2}{\sqrt{2}r^2}$ है।
ऊपर स्थित कण की दूरी $2r$ है।
ऊपर स्थित कण द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_2 = \frac{Gm^2}{(2r)^2} = \frac{Gm^2}{4r^2}$ है।
केंद्र की ओर लगने वाला कुल शुद्ध बल $F_{net} = \frac{Gm^2}{\sqrt{2}r^2} + \frac{Gm^2}{4r^2} = \frac{Gm^2}{r^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4} \right) = \frac{Gm^2}{r^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$ है।
यह शुद्ध बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $\frac{mv^2}{r} = F_{net}$.
$\frac{mv^2}{r} = \frac{Gm^2}{r^2} \left( \frac{1 + 2\sqrt{2}}{4} \right)$.
$v^2 = \frac{Gm}{r} \left( \frac{1 + 2\sqrt{2}}{4} \right)$.
$v = \sqrt{\frac{Gm}{r} \left( \frac{1 + 2\sqrt{2}}{4} \right)}$.

(C) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $m$ द्रव्यमान वाले पिंड की कुल ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
$R$ त्रिज्या पर $m$ द्रव्यमान वाले पिंड की प्रारंभिक कुल ऊर्जा:
$E_i = -\frac{GMm}{2R}$
विभाजन के बाद,पिंड दो द्रव्यमानों में विभाजित हो जाता है,प्रत्येक का द्रव्यमान $m' = \frac{m}{2}$ है।
पहला द्रव्यमान $r_1 = \frac{R}{2}$ त्रिज्या की कक्षा में और दूसरा द्रव्यमान $r_2 = \frac{3R}{2}$ त्रिज्या की कक्षा में गति करता है।
अंतिम कुल ऊर्जा $E_f$ दोनों द्रव्यमानों की ऊर्जाओं का योग है:
$E_f = -\frac{GM(m/2)}{2(R/2)} - \frac{GM(m/2)}{2(3R/2)}$
$E_f = -\frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{6R}$
$E_f = -\frac{3GMm + GMm}{6R} = -\frac{4GMm}{6R} = -\frac{2GMm}{3R}$
अंतिम और प्रारंभिक कुल ऊर्जाओं के बीच का अंतर:
$\Delta E = E_f - E_i = -\frac{2GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{2R})$
$\Delta E = -\frac{2GMm}{3R} + \frac{GMm}{2R} = \frac{-4GMm + 3GMm}{6R} = -\frac{GMm}{6R}$

(A) $M$ द्रव्यमान वाले पिंड द्वारा $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{GMm}{r^2}$ होता है।
पृथ्वी पर निकटतम बिंदु $(r-R_e)$ और दूरस्थ बिंदु $(r+R_e)$ के बीच बल का अंतर $\Delta F = \frac{GMm}{(r-R_e)^2} - \frac{GMm}{(r+R_e)^2} \approx \frac{4GMmR_e}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चंद्रमा के लिए: $\Delta F_1 = \frac{4GM_m m R_e}{r_1^3}$.
सूर्य के लिए: $\Delta F_2 = \frac{4GM_s m R_e}{r_2^3}$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{\Delta F_1}{\Delta F_2} = \frac{M_m}{M_s} \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3$.
दिए गए मान: $M_m = 8 \times 10^{22} \, kg$,$M_s = 2 \times 10^{30} \, kg$,$r_1 = 0.4 \times 10^6 \, km$,$r_2 = 150 \times 10^6 \, km$.
$\frac{\Delta F_1}{\Delta F_2} = \left( \frac{8 \times 10^{22}}{2 \times 10^{30}} \right) \times \left( \frac{150 \times 10^6}{0.4 \times 10^6} \right)^3 = (4 \times 10^{-8}) \times (375)^3$.
$(375)^3 = 52,734,375$.
$\frac{\Delta F_1}{\Delta F_2} = 4 \times 10^{-8} \times 5.27 \times 10^7 \approx 2.1$.
अतः,सबसे निकटतम पूर्णांक $2$ है।

(C) केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,$M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ त्रिज्या में परिक्रमा कर रहे उपग्रह का आवर्तकाल $T$ इस प्रकार है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3$
द्रव्यमान $M$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$M = \frac{4\pi^2 r^3}{GT^2}$
सापेक्ष अनिश्चितता ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेकर अवकलन करने पर:
$\ln M = \ln(4\pi^2) + 3\ln r - \ln G - 2\ln T$
$\frac{\Delta M}{M} = 3\frac{\Delta r}{r} - 2\frac{\Delta T}{T}$
यहाँ त्रिज्या में सापेक्ष अनिश्चितता $\frac{\Delta r}{r}$ नगण्य है (अर्थात $\frac{\Delta r}{r} = 0$):
$\left| \frac{\Delta M}{M} \right| = |-2| \frac{\Delta T}{T} = 2 \times 10^{-2}$

(B) $r$ त्रिज्या $(r \leq R)$ वाले गोले के भीतर निहित द्रव्यमान $M(r)$ इस प्रकार है:
$M(r) = \int_0^r \rho(r') 4\pi r'^2 dr' = \int_0^r \frac{k}{r'} 4\pi r'^2 dr' = 4\pi k \int_0^r r' dr' = 2\pi k r^2$.
$r$ दूरी पर स्थित एक परीक्षण कण का त्वरण $a = \frac{GM(r)}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$r \leq R$ के लिए:
$a = \frac{G(2\pi k r^2)}{r^2} = 2\pi G k = \text{स्थिरांक}$.
$r > R$ के लिए,कुल द्रव्यमान $M = M(R) = 2\pi k R^2$ स्थिर रहता है।
$a = \frac{GM}{r^2} = \frac{G(2\pi k R^2)}{r^2} \propto \frac{1}{r^2}$.
अतः,$r \leq R$ के लिए त्वरण स्थिर है और $r > R$ के लिए यह $1/r^2$ के अनुसार घटता है। इस व्यवहार को दर्शाने वाला सही ग्राफ विकल्प $(b)$ है।

(A) एक बहुत लंबे बेलनाकार द्रव्यमान वितरण के लिए,धुरी से $r$ $(r > R)$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E$,गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस के नियम द्वारा दिया जाता है: $E = \frac{2GM}{Lr}$.
$m$ द्रव्यमान वाले तारे पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = mE = \frac{2GMm}{Lr}$ है।
चूंकि तारा एक वृत्ताकार पथ में परिक्रमा कर रहा है,यह गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $\frac{mv^2}{r} = \frac{2GMm}{Lr}$.
$v = r\omega = r(\frac{2\pi}{T})$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $m r (\frac{2\pi}{T})^2 = \frac{2GMm}{Lr}$.
समीकरण को सरल बनाने पर: $r \frac{4\pi^2}{T^2} = \frac{2GM}{Lr}$.
$T^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $T^2 = \frac{4\pi^2 L}{2GM} r^2$.
अतः,$T^2 \propto r^2$,जिसका अर्थ है कि $T \propto r$.

(D) गैस अणु की गतिज ऊर्जा $KE = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया तापमान $T = 0^{\circ}C = 273 \ K$ है।
तापमान का मान रखने पर,$KE = \frac{3}{2} k_B (273) = \frac{819 k_B}{2}$ प्राप्त होता है।
जब अणु $h$ ऊँचाई तक पहुँचता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,$PE = Mgh$।
गतिज ऊर्जा को स्थितिज ऊर्जा के बराबर रखने पर: $\frac{819 k_B}{2} = Mgh$।
ऊँचाई $h$ के लिए हल करने पर,हमें $h = \frac{819 k_B}{2Mg}$ प्राप्त होता है।

(D) $h$ ऊँचाई पर उपग्रह का कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $h \ll R$,हम $R+h \approx R$ मान सकते हैं। अतः,$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$.
संबंध $g = \frac{GM}{R^2}$ का उपयोग करने पर,हमें $GM = gR^2$ प्राप्त होता है। इसका मान रखने पर,$v = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$.
$h$ ऊँचाई से पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से पलायन करने के लिए आवश्यक पलायन वेग $v' = \sqrt{\frac{2GM}{R+h}}$ है।
पुनः,$h \ll R$ का उपयोग करने पर,$v' = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$.
गति में आवश्यक न्यूनतम वृद्धि $\Delta v = v' - v$ है।
$\Delta v = \sqrt{2gR} - \sqrt{gR} = \sqrt{gR}(\sqrt{2} - 1)$.

(B) मान लीजिए कि चार कण $a$ भुजा वाले वर्ग के कोनों पर हैं। वर्ग के केंद्र से प्रत्येक कण की दूरी $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
$M$ द्रव्यमान वाले एक कण पर विचार करें। अन्य तीन कणों के कारण उस पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल हैं:
$1$. वर्ग की भुजाओं के अनुदिश $F_1 = \frac{GM^2}{a^2}$ परिमाण के दो बल।
$2$. विकर्ण के अनुदिश $F_2 = \frac{GM^2}{(a\sqrt{2})^2} = \frac{GM^2}{2a^2}$ परिमाण का एक बल।
केंद्र की ओर परिणामी बल $F_c$ इन बलों के विकर्ण पर घटकों का योग है:
$F_c = F_1 \cos(45^\circ) + F_1 \cos(45^\circ) + F_2$
$F_c = 2 \left( \frac{GM^2}{a^2} \right) \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{GM^2}{2a^2} = \frac{GM^2}{a^2} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right)$.
यह बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $F_c = \frac{Mv^2}{r}$.
$r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ रखने पर:
$\frac{Mv^2}{a/\sqrt{2}} = \frac{GM^2}{a^2} \left( \sqrt{2} + 0.5 \right)$
$v^2 = \frac{GM}{a} \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{0.5}{\sqrt{2}} \right) = \frac{GM}{a} (1 + 0.3535) \approx 1.3535 \frac{GM}{a}$.
$v \approx 1.16 \sqrt{\frac{GM}{a}}$.

(D) $M_E$ द्रव्यमान वाली पृथ्वी के चारों ओर $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में स्थित $m$ द्रव्यमान के उपग्रह के लिए:
$1$. गतिज ऊर्जा $(K)$: अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है,इसलिए $\frac{mv^2}{r} = \frac{GM_Em}{r^2}$,जिससे $v^2 = \frac{GM_E}{r}$ प्राप्त होता है। अतः,$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GM_Em}{2r}$। यह $(s)$ से मेल खाता है।
$2$. स्थितिज ऊर्जा $(U)$: गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GM_Em}{r}$ द्वारा दी जाती है। यह $(r)$ से मेल खाता है।
$3$. कुल ऊर्जा $(E)$: $E = K + U = \frac{GM_Em}{2r} - \frac{GM_Em}{r} = -\frac{GM_Em}{2r}$। यह $(p)$ से मेल खाता है।
$4$. कक्षीय वेग $(v)$: $v = \sqrt{\frac{GM_E}{r}}$। यह $(q)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $A-s, B-r, C-p, D-q$ है।

(B) दो कणों के बीच का गुरुत्वाकर्षण बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
दोनों कणों के बीच की दूरी $2r$ है।
गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G \cdot m \cdot m}{(2r)^2} = \frac{Gm^2}{4r^2}$ है।
$r$ त्रिज्या के वृत्त में $v$ वेग से गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के कण के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{r}$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{mv^2}{r} = \frac{Gm^2}{4r^2}$।
$v$ के लिए हल करने पर: $v^2 = \frac{Gm}{4r} \implies v = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{Gm}{r}}$।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi r}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
$v$ का मान रखने पर: $T = \frac{2\pi r}{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{Gm}{r}}} = 4\pi r \sqrt{\frac{r}{Gm}} = \frac{4\pi r^{3/2}}{\sqrt{Gm}}$।

(B) $m$ द्रव्यमान के दो कण एक-दूसरे से $2R$ की दूरी पर हैं और अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर $R$ त्रिज्या के वृत्त में घूमते हैं।
उनके बीच का गुरुत्वाकर्षण बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m^2}{(2R)^2} = \frac{G m^2}{4R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ त्रिज्या के वृत्त में $v$ गति से चलने वाले $m$ द्रव्यमान के कण के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल $F_c = \frac{m v^2}{R}$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर:
$\frac{m v^2}{R} = \frac{G m^2}{4R^2}$
$v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{G m}{4R}$
$v = \sqrt{\frac{Gm}{4R}}$

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक समान गोले के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $F$ इस प्रकार है:
$1$. गोले के अंदर $(r < R)$: $F = \frac{GM r}{R^3}$,जिसका अर्थ है $F \propto r$.
अतः,$r_1 < R$ और $r_2 < R$ के लिए $\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_1}{r_2}$ होगा।
$2$. गोले के बाहर $(r > R)$: $F = \frac{GM}{r^2}$,जिसका अर्थ है $F \propto \frac{1}{r^2}$.
अतः,$r_1 > R$ और $r_2 > R$ के लिए $\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$ होगा।
चूंकि कथन $A$ और $B$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $C$ है।

(D) दो कणों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल उनकी वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है।
दोनों कणों के बीच की दूरी $d = r + r = 2r$ है।
गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m m}{(2r)^2} = \frac{G m^2}{4r^2}$ है।
$(r)$ त्रिज्या के वृत्त में $(v)$ चाल से गतिमान $(m)$ द्रव्यमान के कण के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{m v^2}{r}$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{m v^2}{r} = \frac{G m^2}{4r^2}$।
$(v^2)$ के लिए सरल करने पर: $v^2 = \frac{G m}{4r}$।
वर्गमूल लेने पर,प्रत्येक कण की चाल $v = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{Gm}{r}}$ प्राप्त होती है।

(C) समबाहु त्रिभुज के केंद्र से प्रत्येक कण की दूरी $r = \frac{l}{\sqrt{3}}$ है।
अन्य दो कणों द्वारा एक कण पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल दो बलों का सदिश योग है,जिनमें से प्रत्येक का परिमाण $F = \frac{Gm^2}{l^2}$ है।
केंद्र की ओर परिणामी बल $F_{net} = 2F \cos(30^\circ) = 2 \left( \frac{Gm^2}{l^2} \right) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}Gm^2}{l^2}$ है।
यह बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $\frac{mv^2}{r} = F_{net}$।
$r = \frac{l}{\sqrt{3}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{mv^2}{l/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}Gm^2}{l^2}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $v^2 = \frac{Gm}{l}$ या $v = \sqrt{\frac{Gm}{l}}$ हो जाता है।
परिक्रमण काल $T$ का मान $T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi (l/\sqrt{3})}{\sqrt{Gm/l}} = \frac{2\pi}{\sqrt{3G m}} l^{3/2}$ है।
अतः,$T \propto l^{3/2}$।

(C) $m$ द्रव्यमान के दो कण एक-दूसरे से $2R$ की दूरी पर हैं।
उनके बीच का गुरुत्वाकर्षण बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m^2}{(2R)^2} = \frac{G m^2}{4R^2}$ है।
$R$ त्रिज्या के वृत्त में $v$ चाल से गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के कण के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{R}$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{mv^2}{R} = \frac{Gm^2}{4R^2}$।
$v$ के लिए सरल करने पर: $v^2 = \frac{Gm}{4R}$।
अतः,$v = \sqrt{\frac{Gm}{4R}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{Gm}{R}}$।

(D) पृथ्वी-चंद्रमा प्रणाली का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है क्योंकि इस पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है।
संबंध $\tau = \frac{dL}{dt}$ से,यदि $\tau = 0$ है,तो $\frac{dL}{dt} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $L$ स्थिर है।
इसलिए,$Reason$ गलत है।
ज्वारीय घर्षण के कारण,पृथ्वी का घूर्णन धीमा हो जाता है,जिसका अर्थ है कि इसका कोणीय वेग $\omega_1$ कम हो जाता है। चूंकि कुल कोणीय संवेग $L = I_1\omega_1 + I_2\omega_2$ स्थिर रहना चाहिए,इसलिए पृथ्वी के घूर्णन कोणीय संवेग में कमी की भरपाई के लिए चंद्रमा की कक्षा का कोणीय संवेग बढ़ना चाहिए।
जैसे-जैसे चंद्रमा कोणीय संवेग प्राप्त करता है,उसकी कक्षीय त्रिज्या $r_2$ बढ़ जाती है,जिससे चंद्रमा पृथ्वी से दूर चला जाता है। अतः,$Assertion$ भी गलत है।

(B) चूंकि पिंड शुरू में स्थिर हैं,निकाय का कुल संवेग शून्य है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$m_1 v_1 = m_2 v_2$,जहाँ $v_1$ और $v_2$ दूरी $r$ पर पिंडों की गति है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में कमी गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर है: $G m_1 m_2 / r = 1/2 m_1 v_1^2 + 1/2 m_2 v_2^2$.
संवेग समीकरण से,$v_1 = (m_2/m_1) v_2$। इसे ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$G m_1 m_2 / r = 1/2 m_1 (m_2/m_1)^2 v_2^2 + 1/2 m_2 v_2^2 = 1/2 (m_2^2/m_1 + m_2) v_2^2 = 1/2 [m_2(m_1 + m_2)/m_1] v_2^2$.
$v_2$ के लिए हल करने पर,$v_2 = \sqrt{2 G m_1^2 / (r(m_1 + m_2))}$। इसी प्रकार,$v_1 = \sqrt{2 G m_2^2 / (r(m_1 + m_2))}$।
सापेक्ष दृष्टिकोण वेग $v_{rel} = v_1 + v_2 = \sqrt{2 G / (r(m_1 + m_2))} (m_1 + m_2) = \sqrt{2 G (m_1 + m_2) / r}$ है।

(A) उपग्रह पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। इसलिए,उपग्रह $S$ का त्वरण हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है,इसलिए पृथ्वी के केंद्र के परितः इस बल का कुल टॉर्क शून्य है। परिणामस्वरूप,पृथ्वी के केंद्र के परितः $S$ का कोणीय संवेग (परिमाण और दिशा दोनों में) पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल प्रकृति में संरक्षी है,इसलिए उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
$S$ की गति तब अधिकतम होती है जब वह पृथ्वी के सबसे निकट होता है और तब न्यूनतम होती है जब वह सबसे दूर होता है।

(A) वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल अन्य तीन कणों के कारण एक कण पर लगने वाले कुल गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
मान लीजिए कि कण $\sqrt{2}r$ भुजा वाले वर्ग के कोनों पर हैं।
एक कण पर केंद्र की ओर लगने वाला कुल गुरुत्वाकर्षण बल $F_{net}$ है:
$F_{net} = 2F \cos(45^{\circ}) + F_1$
जहाँ $F = \frac{Gm^2}{(\sqrt{2}r)^2} = \frac{Gm^2}{2r^2}$ आसन्न कणों द्वारा लगाया गया बल है,और $F_1 = \frac{Gm^2}{(2r)^2} = \frac{Gm^2}{4r^2}$ विकर्ण के विपरीत कण द्वारा लगाया गया बल है।
$F_{net} = 2 \left( \frac{Gm^2}{2r^2} \right) \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{Gm^2}{4r^2} = \frac{Gm^2}{r^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4} \right) = \frac{Gm^2}{r^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$.
इसे अभिकेंद्री बल $\frac{mv^2}{r}$ के बराबर रखने पर:
$\frac{mv^2}{r} = \frac{Gm^2}{r^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$
$v^2 = \frac{Gm}{r} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$
$v = \sqrt{\frac{Gm}{r} \left( \frac{1 + 2\sqrt{2}}{4} \right)}$

(A) किसी बिंदु पर गुरुत्वीय विभव $V$,गोलीय कोश के कारण विभव और केंद्र पर स्थित कण के कारण विभव का योग होता है।
$1$. $M$ द्रव्यमान और $a$ त्रिज्या वाले गोलीय कोश के लिए,कोश के अंदर किसी भी बिंदु पर (जहाँ दूरी $r < a$ है) विभव स्थिर होता है और यह उसकी सतह पर विभव के बराबर होता है: $V_{\text{shell}} = - \frac{GM}{a}$.
$2$. केंद्र पर स्थित $M$ द्रव्यमान के कण के लिए,$\frac{a}{2}$ की दूरी पर विभव इस प्रकार है: $V_{\text{particle}} = - \frac{GM}{r} = - \frac{GM}{a/2} = - \frac{2GM}{a}$.
$3$. उस बिंदु पर कुल गुरुत्वीय विभव $V_{\text{total}}$:
$V_{\text{total}} = V_{\text{shell}} + V_{\text{particle}}$
$V_{\text{total}} = - \frac{GM}{a} - \frac{2GM}{a} = - \frac{3GM}{a}$.

(C) दिन की लंबाई धीरे-धीरे बढ़ रही है,जिसका कारण सौर मंडल के अन्य ग्रहों का गुरुत्वाकर्षण खिंचाव नहीं है,बल्कि पृथ्वी और चंद्रमा के बीच ज्वारीय घर्षण (tidal friction) और पृथ्वी तथा उसके वायुमंडल के बीच श्यान बल (viscous forces) हैं।
यह प्रक्रिया पृथ्वी की घूर्णन ऊर्जा का धीरे-धीरे क्षय करती है,जिससे इसके घूर्णन में मंदी आती है।
इस संदर्भ में सौर मंडल के अन्य ग्रहों का गुरुत्वाकर्षण बल ज्वारीय प्रभावों की तुलना में नगण्य है।
अतः,$Assertion$ सही है,लेकिन $Reason$ गलत है।

(A) $Assertion$ सही है: पृथ्वी की घूर्णन गति का लाभ उठाने के लिए रॉकेट को पश्चिम से पूर्व की ओर प्रक्षेपित किया जाता है,जो कम ईंधन के साथ कक्षीय वेग प्राप्त करने में मदद करता है।
$Reason$ भी सही है: गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g'$ का मान $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ द्वारा दिया जाता है। भूमध्य रेखा पर अक्षांश $\lambda = 0$ होता है,इसलिए $\cos \lambda = 1$,जिससे $g' = g - \omega^2 R$ प्राप्त होता है,जो न्यूनतम मान है।
हालाँकि,$Reason$ यह नहीं बताता कि रॉकेट को पश्चिम से पूर्व की ओर क्यों प्रक्षेपित किया जाता है। प्रक्षेपण की दिशा पृथ्वी के घूर्णन पर आधारित है,न कि भूमध्य रेखा पर $g$ के मान पर। इसलिए,दोनों सही हैं,लेकिन $Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या नहीं है।

(N/A) $GC$ और धनात्मक $x$-अक्ष के बीच का कोण $30^{\circ}$ है,और $GB$ तथा ऋणात्मक $x$-अक्ष के बीच का कोण भी $30^{\circ}$ है। सदिश रूप में व्यक्तिगत बल इस प्रकार हैं:
$F_{GA} = \frac{G m (2m)}{1^2} \hat{j} = 2Gm^2 \hat{j}$
$F_{GB} = \frac{G m (2m)}{1^2} (-\cos 30^{\circ} \hat{i} - \sin 30^{\circ} \hat{j}) = 2Gm^2 (-\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} - \frac{1}{2} \hat{j}) = -Gm^2 \sqrt{3} \hat{i} - Gm^2 \hat{j}$
$F_{GC} = \frac{G m (2m)}{1^2} (+\cos 30^{\circ} \hat{i} - \sin 30^{\circ} \hat{j}) = 2Gm^2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} - \frac{1}{2} \hat{j}) = Gm^2 \sqrt{3} \hat{i} - Gm^2 \hat{j}$
अध्यारोपण के सिद्धांत से,$(2m)$ पर परिणामी गुरुत्वाकर्षण बल $F_R$ है:
$F_R = F_{GA} + F_{GB} + F_{GC} = 2Gm^2 \hat{j} + (-Gm^2 \sqrt{3} \hat{i} - Gm^2 \hat{j}) + (Gm^2 \sqrt{3} \hat{i} - Gm^2 \hat{j}) = 0$
वैकल्पिक रूप से,समरूपता के आधार पर परिणामी बल शून्य होता है।
$(b)$ यदि शीर्ष $A$ पर द्रव्यमान को दोगुना कर दिया जाए,तो नया बल $F'_{GA} = \frac{G (2m) (2m)}{1^2} \hat{j} = 4Gm^2 \hat{j}$ होगा।
बल $F_{GB}$ और $F_{GC}$ अपरिवर्तित रहते हैं।
$F'_R = F'_{GA} + F_{GB} + F_{GC} = 4Gm^2 \hat{j} - Gm^2 \hat{j} - Gm^2 \hat{j} = 2Gm^2 \hat{j}$ ($A$ की दिशा में)।

(N/A) भाग $(i)$: केप्लर के तीसरे नियम का उपयोग करते हुए,$T^{2} = \frac{4 \pi^{2}}{G M_{m}} R^{3}$।
मंगल के द्रव्यमान $(M_{m})$ के लिए सूत्र: $M_{m} = \frac{4 \pi^{2} R^{3}}{G T^{2}}$।
यहाँ $T = 7 \text{ घंटे } 39 \text{ मिनट} = 27540 \text{ सेकंड}$ और $R = 9.4 \times 10^{6} \text{ मीटर}$।
$M_{m} = \frac{4 \times (3.14)^{2} \times (9.4 \times 10^{6})^{3}}{6.67 \times 10^{-11} \times (27540)^{2}} \approx 6.48 \times 10^{23} \text{ kg}$।
भाग $(ii)$: सूर्य के चारों ओर ग्रहों की कक्षा के लिए केप्लर का तीसरा नियम: $\frac{T_{M}^{2}}{T_{E}^{2}} = \frac{R_{M}^{3}}{R_{E}^{3}}$।
दिया गया है कि $\frac{R_{M}}{R_{E}} = 1.52$ और $T_{E} = 365 \text{ दिन}$।
$T_{M} = T_{E} \times (1.52)^{3/2} = 365 \times 1.873 \approx 684 \text{ दिन}$।

(N/A) विधि $1$: पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का उपयोग करके।
$M_E = \frac{g R_E^2}{G}$
$M_E = \frac{9.81 \times (6.37 \times 10^6)^2}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M_E \approx 5.97 \times 10^{24} \; kg$
विधि $2$: चंद्रमा की कक्षीय गति का उपयोग करके।
केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार, $T^2 = \frac{4 \pi^2 R^3}{G M_E}$, इसलिए $M_E = \frac{4 \pi^2 R^3}{G T^2}$.
यहाँ $T = 27.3 \; \text{दिन} = 27.3 \times 24 \times 3600 \; s = 2.3587 \times 10^6 \; s$.
$M_E = \frac{4 \times (3.14)^2 \times (3.84 \times 10^8)^3}{6.67 \times 10^{-11} \times (2.3587 \times 10^6)^2}$
$M_E \approx 6.02 \times 10^{24} \; kg$.
दोनों विधियाँ लगभग समान उत्तर देती हैं, जिनमें अंतर $1 \%$ से कम है।

(N/A) नहीं। गुरुत्वीय प्रभाव को परिरक्षित नहीं किया जा सकता है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण माध्यम की प्रकृति और अन्य पदार्थ की उपस्थिति से स्वतंत्र है।
$(b)$ हाँ। यदि अंतरिक्ष स्टेशन का आकार बड़ा है,तो अंतरिक्ष यात्री स्टेशन के आयामों में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र (ज्वारीय बलों) में होने वाले परिवर्तन का पता लगा सकता है।
$(c)$ ज्वारीय प्रभाव गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के प्रवणता (gradient) पर निर्भर करता है,जो $1/r^3$ के समानुपाती होता है,जबकि गुरुत्वाकर्षण बल स्वयं $1/r^2$ के समानुपाती होता है। चूंकि चंद्रमा सूर्य की तुलना में पृथ्वी के बहुत करीब है,इसलिए चंद्रमा के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की प्रवणता अधिक होती है,जिसके परिणामस्वरूप ज्वारीय प्रभाव अधिक होता है।

(B, C, D) सही लक्षण $(b)$,$(c)$,और $(d)$ हैं।
पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण की उपस्थिति में,खड़े होने पर पैर शरीर के पूरे द्रव्यमान का भार उठाते हैं। अंतरिक्ष में,गुरुत्वाकर्षण की अनुपस्थिति के कारण अंतरिक्ष यात्री भारहीनता का अनुभव करता है,इसलिए पैरों में सूजन नहीं आती है।
अंतरिक्ष में भारहीनता के कारण शरीर के तरल पदार्थों के पुनर्वितरण से चेहरे पर सूजन आ जाती है। जैसे-जैसे तरल पदार्थ शरीर के ऊपरी हिस्से की ओर बढ़ते हैं,चेहरा फूला हुआ दिखाई देता है।
मानसिक तनाव,इंट्राक्रैनील दबाव में बदलाव और माइक्रोग्रैविटी वातावरण के अनुकूल होने के तनाव के कारण अंतरिक्ष यात्रियों को अक्सर सिरदर्द की शिकायत होती है।
दिशा-भ्रम की समस्या इसलिए होती है क्योंकि वेस्टिबुलर सिस्टम,जो दिशा निर्धारित करने के लिए गुरुत्वाकर्षण पर निर्भर करता है,अंतरिक्ष में सामान्य रूप से कार्य नहीं करता है,जिससे स्थानिक भटकाव (spatial disorientation) होता है।

(A) यदि तारे का अंदर की ओर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल,तारे के घूर्णन के कारण बाहर की ओर लगने वाले अपकेंद्री बल से अधिक है,तो वस्तु तारे की सतह पर चिपकी रहेगी।
गुरुत्वाकर्षण बल,$f_g = \frac{GMm}{R^2}$
जहाँ,
$M = \text{तारे का द्रव्यमान} = 2.5 \times 2 \times 10^{30} = 5 \times 10^{30} \;kg$
$m = \text{वस्तु का द्रव्यमान}$
$R = \text{तारे की त्रिज्या} = 12 \;km = 1.2 \times 10^4 \;m$
$G = 6.67 \times 10^{-11} \;N \cdot m^2/kg^2$
$f_g = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5 \times 10^{30} \times m}{(1.2 \times 10^4)^2} \approx 2.31 \times 10^{11} \;m \;N$
अपकेंद्री बल,$f_c = mR\omega^2$
जहाँ $\omega = 2\pi v$ और $v = 1.2 \;rev/s$
$f_c = m \times (1.2 \times 10^4) \times (2 \times 3.14 \times 1.2)^2$
$f_c = m \times (1.2 \times 10^4) \times (7.54)^2 \approx 6.82 \times 10^5 \;m \;N$
चूंकि $f_g > f_c$,गुरुत्वाकर्षण बल अपकेंद्री बल से बहुत अधिक है। इसलिए,वस्तु तारे की सतह पर चिपकी रहेगी।

(495 KM) रॉकेट का प्रारंभिक वेग,$v = 2 \; km/s = 2 \times 10^3 \; m/s$.
मंगल का द्रव्यमान,$M = 6.4 \times 10^{23} \; kg$.
मंगल की त्रिज्या,$R = 3395 \; km = 3.395 \times 10^6 \; m$.
गुरुत्वाकर्षण नियतांक,$G = 6.67 \times 10^{-11} \; N m^2 kg^{-2}$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v^2$.
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{R}$.
चूंकि $20 \%$ गतिज ऊर्जा नष्ट हो जाती है,उपलब्ध प्रभावी गतिज ऊर्जा $0.8 K_i = 0.4 m v^2$ है।
कुल प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = 0.4 m v^2 - \frac{GMm}{R}$.
अधिकतम ऊंचाई $h$ पर,अंतिम वेग शून्य हो जाता है,इसलिए अंतिम ऊर्जा $E_f = -\frac{GMm}{R+h}$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम से,$E_i = E_f$:
$0.4 m v^2 - \frac{GMm}{R} = -\frac{GMm}{R+h}$.
$m$ से विभाजित करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर: $0.4 v^2 = GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = \frac{GMh}{R(R+h)}$.
$h$ के लिए हल करने पर: $\frac{R+h}{h} = \frac{GM}{0.4 v^2 R} \implies \frac{R}{h} = \frac{GM}{0.4 v^2 R} - 1$.
$h = \frac{0.4 R^2 v^2}{GM - 0.4 v^2 R}$.
मान रखने पर: $h = \frac{0.4 \times (3.395 \times 10^6)^2 \times (2 \times 10^3)^2}{(6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}) - (0.4 \times (2 \times 10^3)^2 \times 3.395 \times 10^6)}$.
$h = \frac{18.442 \times 10^{18}}{42.688 \times 10^{12} - 5.432 \times 10^{12}} = \frac{18.442}{37.256} \times 10^6 \approx 495 \; km$.

(A) पृथ्वी अपनी धुरी पर $360^{\circ}$ का एक पूर्ण चक्कर लगाने में $24\; h$ का समय लेती है।
चूंकि $1\; h = 60\; min$ होता है,इसलिए कुल समय मिनटों में $24 \times 60 = 1440\; min$ होगा।
$1^{\circ}$ के विस्थापन के लिए आवश्यक समय ज्ञात करने के लिए,हम कुल समय को $360^{\circ}$ से विभाजित करेंगे:
$1^{\circ}$ के लिए समय $= \frac{1440\; min}{360} = 4\; min$.
अतः,सूर्य $4\; min$ में $1^{\circ}$ विस्थापित होता हुआ प्रतीत होता है।

(N/A) पृथ्वी की पपड़ी (crust) एकसमान नहीं है; इसमें असंतुलन और विस्थापन होते हैं जिन्हें फॉल्ट लाइन (fault lines) कहा जाता है।
पृथ्वी की पपड़ी में ये फॉल्ट लाइनें दबी हुई स्प्रिंग की तरह कार्य करती हैं और इनमें बड़ी मात्रा में स्थितिज ऊर्जा (potential energy) संचित होती है।
जब ये फॉल्ट लाइनें पुनर्व्यवस्थित होती हैं या खिसकती हैं,तो भूकंप उत्पन्न होता है।

(N/A) पृथ्वी की त्रिज्या $R = 6400 \, km = 6.4 \times 10^6 \, m$.
आवर्तकाल $T = 1 \, \text{दिन} = 86400 \, s$.
अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \omega^2 R = R \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$.
$a_c = \frac{4 \times (3.14)^2 \times 6.4 \times 10^6}{(86400)^2} \approx 0.034 \, m/s^2$.
अक्षांश $\theta$ पर, वृत्तीय पथ की त्रिज्या $R \cos \theta$ है, इसलिए $a_c(\theta) = \omega^2 R \cos \theta = 0.034 \cos \theta \, m/s^2$.
$g$ के साथ तुलना: $\frac{a_c}{g} = \frac{0.034}{9.8} \approx \frac{1}{288}$, जो $g$ से बहुत कम है।
$(b)$ कक्षीय त्रिज्या $R' = 1.5 \times 10^{11} \, m$.
आवर्तकाल $T' = 1 \, \text{वर्ष} = 365 \times 24 \times 3600 \approx 3.15 \times 10^7 \, s$.
अभिकेंद्र त्वरण $a_c' = \frac{4\pi^2 R'}{T'^2} = \frac{4 \times (3.14)^2 \times 1.5 \times 10^{11}}{(3.15 \times 10^7)^2} \approx 5.97 \times 10^{-3} \, m/s^2$.
$g$ के साथ तुलना: $\frac{a_c'}{g} = \frac{5.97 \times 10^{-3}}{9.8} \approx \frac{1}{1642}$, जो $g$ से बहुत कम है।

(C) $(i)$ जैसे-जैसे अंतरिक्ष यान पृथ्वी से दूर चंद्रमा की ओर जाता है,पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण खिंचाव कम होता जाता है,इसलिए उसका भार घटता है।
$(ii)$ पृथ्वी और चंद्रमा के बीच एक विशिष्ट बिंदु पर,जिसे तटस्थ बिंदु (neutral point) कहा जाता है,पृथ्वी और चंद्रमा द्वारा लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं,जिससे शुद्ध भार शून्य हो जाता है।
$(iii)$ जैसे-जैसे अंतरिक्ष यान चंद्रमा की ओर अपनी यात्रा जारी रखता है,चंद्रमा का गुरुत्वाकर्षण खिंचाव बढ़ता जाता है,जिससे भार शून्य से बढ़कर चंद्रमा की सतह पर $\frac{mg}{6}$ हो जाता है (जहाँ $g$ पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण है)।

(N/A) हर दिन,पृथ्वी अपनी कक्षा में लगभग $1^{\circ}$ आगे बढ़ती है।
सूर्य को फिर से ज़ेनिथ बिंदु पर लाने के लिए,पृथ्वी को $361^{\circ}$ घूमना पड़ता है (जिसे हम $1$ माध्य सौर दिवस के रूप में परिभाषित करते हैं)।
चूंकि $361^{\circ}$,$24\,\text{h}$ के बराबर है,इसलिए $1^{\circ}$ के लिए लिया गया समय इस प्रकार है:
$\because 361^{\circ}$ को कवर करने में लगा समय $= 24\,\text{h}$
$\because 1^{\circ}$ को कवर करने में लगा समय $= t$
$t = \frac{24}{361} \times 1 \approx 0.0664\,\text{h}$
$t = 0.0664 \times 60\,\text{min} \approx 3.99\,\text{min} \approx 4\,\text{min}$.
अतः,माध्य सौर दिवस नक्षत्र दिवस से $4\,\text{min}$ लंबा होता है,और दूरस्थ तारे हर क्रमिक दिन $4\,\text{min}$ जल्दी उदय होते हैं।

(N/A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर पृथ्वी के भीतर गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{GM}{R^3} r$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$g' \propto r$ (सीधे समानुपाती)।
$(b)$ वस्तु का भार $W = mg$ होता है। चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,यदि त्रिज्या $R$ घटकर $R' = \frac{R}{2}$ हो जाती है,तो नया गुरुत्वीय त्वरण $g'$ होगा:
$g' = \frac{GM}{(R/2)^2} = 4 \frac{GM}{R^2} = 4g$।
अतः,नया भार $W' = mg' = 4mg$,जो मूल भार का $4$ गुना है।
$(c)$ कक्षीय वेग $v_0 = \sqrt{\frac{GM_e}{r}}$ द्वारा दिया जाता है।
भूस्थिर उपग्रह के लिए,$r \approx 42260 \times 10^3 \ m$।
$G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \ m^2/kg^2$ और $M_e = 5.98 \times 10^{24} \ kg$ का मान रखने पर:
$v_0 = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.98 \times 10^{24}}{42260 \times 10^3}} \approx 3070 \ m/s \approx 3 \ km/s$।

(N/A) पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता $0$ होती है क्योंकि $r=0$ त्रिज्या वाले गोले के भीतर परिबद्ध द्रव्यमान शून्य होता है।
$(b)$ उपग्रह की बंधन ऊर्जा $(BE)$ को उसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा के ऋणात्मक मान के रूप में परिभाषित किया जाता है। यदि स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ $-8 \times 10^9 \, J$ है,तो कुल ऊर्जा $E = PE/2 = -4 \times 10^9 \, J$ होगी। अतः,बंधन ऊर्जा $BE = -E = 4 \times 10^9 \, J$ होगी। यदि दिया गया मान कुल ऊर्जा है,तो बंधन ऊर्जा $8 \times 10^9 \, J$ होगी।
$(c)$ केप्लर का द्वितीय नियम (क्षेत्रफल का नियम) कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है।

(A) केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,$T^2 \propto r^3$,इसलिए $r \propto T^{2/3}$। दिया गया है कि $T_M = 8 T_m$,अतः $r_M = r_m \times (8)^{2/3} = 5.79 \times 10^{10} \times 4 = 23.16 \times 10^{10} \, m$।
$(b)$ द्रव्यमान पदार्थ का एक आंतरिक गुण है और स्थान बदलने पर भी यह स्थिर रहता है। इसलिए,चंद्रमा पर भी द्रव्यमान $m \, kg$ ही रहेगा।
$(c)$ भू-स्थिर उपग्रह पृथ्वी की सतह से लगभग $35,800 \, km$ की ऊँचाई पर परिक्रमा करता है।
$(d)$ न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण नियम के अनुसार,$F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$। यहाँ $m_1 = 1 \, kg$,$m_2 = 1 \, kg$,$r = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$। अतः,$F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1 \times 1}{(10^{-3})^2} = 6.67 \times 10^{-11} \times 10^6 = 6.67 \times 10^{-5} \, N$।

(A) असत्य। $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $g_d = g(1 - d/R)$ द्वारा दिया जाता है,जो गहराई $d$ बढ़ने पर घटता है।
$(b)$ असत्य। पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{2GM/R}$ है। यह वस्तु के द्रव्यमान $m$ पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए,$2m$ द्रव्यमान की वस्तु के लिए भी पलायन वेग $11.2 \, km/s$ ही रहेगा।
$(c)$ असत्य। द्रव्यमान वस्तु का एक आंतरिक गुण है और यह गुरुत्वाकर्षण से स्वतंत्र रहता है। भार गुरुत्वाकर्षण बल $(W = mg)$ है,इसलिए यदि गुरुत्वाकर्षण गायब हो जाता है,तो भार शून्य हो जाएगा,लेकिन द्रव्यमान अपरिवर्तित रहेगा।