Mix Examples-Gravitation Questions in Hindi

(C) त्वरित फ्रेम में किसी वस्तु का आभासी वजन $W_{app} = m(g + a)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ ऊपर की ओर त्वरण है।
शुरुआत में,जैसे ही हवाई जहाज उड़ान भरता है और ऊंचाई प्राप्त करता है,वह ऊपर की ओर त्वरण का अनुभव करता है,जिससे स्प्रिंग बैलेंस की रीडिंग बढ़ जाती है।
जैसे ही हवाई जहाज अधिक ऊंचाई पर पहुंचता है,त्वरण शून्य (या नगण्य) हो जाता है और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$ का मान ऊंचाई के साथ घटता है $(g' = g(1 - 2h/R))$।
इसलिए,स्प्रिंग बैलेंस की रीडिंग पहले ऊपर की ओर त्वरण के कारण बढ़ेगी और फिर अधिक ऊंचाई पर गुरुत्वाकर्षण बल में कमी के कारण घटेगी।

(A) पृथ्वी जैसे गोलीय सममित विशाल पिंड के लिए,सतह पर पलायन वेग $(V_e)$ का सूत्र है: $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$।
पृथ्वी की सतह के निकट वृत्ताकार कक्षा में घूम रहे उपग्रह के लिए,कक्षीय वेग $(V_0)$ का सूत्र है: $V_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{V_e}{V_0} = \frac{\sqrt{\frac{2GM}{R}}}{\sqrt{\frac{GM}{R}}} = \sqrt{2}$।
अतः,पलायन वेग कक्षीय वेग का $\sqrt{2}$ गुना होता है।

(B) उपग्रह को पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से पलायन करने के लिए आवश्यक $K.E.$ पलायन ऊर्जा है: $E_e = \frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{1}{2}m(\sqrt{\frac{2GM}{R}})^2 = \frac{GMm}{R}$.
उपग्रह को पृथ्वी के वायुमंडल के ठीक ऊपर एक वृत्ताकार कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक $K.E.$ कक्षीय ऊर्जा है: $E_o = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}m(\sqrt{\frac{GM}{R}})^2 = \frac{GMm}{2R}$.
इन दो ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_e}{E_o} = \frac{GMm/R}{GMm/2R} = 2$ है।

(D) उपग्रह की कक्षीय गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $r$ कक्षीय त्रिज्या है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$।
इसलिए,जैसे-जैसे कक्षा की त्रिज्या $r$ बढ़ती है,उपग्रह की कक्षीय गति $v$ कम हो जाती है।
कथन $A$ गलत है क्योंकि एक उपग्रह पृथ्वी के केंद्र से गुजरने वाले किसी भी तल में स्थिर कक्षा में चल सकता है (उदाहरण के लिए,ध्रुवीय कक्षाएं)।
कथन $C$ भी गलत है क्योंकि एक भूस्थिर उपग्रह पृथ्वी की सतह के केवल एक तिहाई हिस्से को ही कवर कर सकता है; वैश्विक कवरेज के लिए तीन उपग्रहों की आवश्यकता होती है।
हालाँकि,इस प्रकार के मानक भौतिकी प्रश्नों के संदर्भ में,कथन $D$ सबसे मौलिक रूप से गलत भौतिक संबंध है।

(D) $(i)$ पृथ्वी की सतह के ठीक ऊपर परिक्रमा करने वाले उपग्रह के लिए,आवर्तकाल $T_{st} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}} \approx 84.6 \; \text{min}$ है।
$(ii)$ पृथ्वी के व्यास से गुजरने वाली सुरंग में दोलन करने वाले द्रव्यमान के लिए,गति सरल आवर्त गति है जहाँ $T_{ma} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}} \approx 84.6 \; \text{min}$ है।
$(iii)$ $g$ के एकसमान क्षेत्र में $l=R$ लंबाई के सरल लोलक के लिए,$T_{sp} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}} \approx 84.6 \; \text{min}$ है।
$(iv)$ पृथ्वी के वास्तविक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में अनंत लंबाई के सरल लोलक के लिए,आवर्तकाल $T_{is} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}} \approx 84.6 \; \text{min}$ है।
अतः,चारों आवर्तकाल समान हैं: ${T_{st}} = {T_{ma}} = {T_{sp}} = {T_{is}}$।

(A) निकोलस कोपरनिकस,एक पोलिश खगोलशास्त्री,ने एक कैथेड्रल के ऊपर से आकाश का अध्ययन किया। $1543$ में,उन्होंने अपनी पुस्तक 'डी रिवोल्यूशनिबस ऑर्बियम कोएलस्टियम' (स्वर्गीय क्षेत्रों के परिक्रमण पर) प्रकाशित की। इस कार्य में,उन्होंने सूर्य-केंद्रित मॉडल का प्रस्ताव रखा,जिसमें कहा गया कि पृथ्वी वर्ष में एक बार सूर्य के चारों ओर घूमती है और अपनी धुरी पर भी घूमती है।

(D) गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$,पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,और गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{R}$ है।
इन संबंधों से,हम देखते हैं कि $g \propto \frac{M}{R^2}$,$v_e \propto \sqrt{\frac{M}{R}}$,और $U \propto \frac{M}{R}$ है।
मान लीजिए परिवर्तन $x = 0.5\% = 0.005$ है। यदि $M' = M(1+x)$ और $R' = R(1+x)$ है:
$1$. $g$ के लिए: $g' = \frac{G M(1+x)}{R^2(1+x)^2} = g(1+x)^{-1} \approx g(1-x)$. अतः,$g$ में $0.5\%$ की कमी होती है।
$2$. $v_e$ के लिए: $v_e' = \sqrt{\frac{2G M(1+x)}{R(1+x)}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = v_e$. अतः,पलायन वेग अपरिवर्तित रहता है।
$3$. $U$ के लिए: $U' = -\frac{G M(1+x)m}{R(1+x)} = -\frac{GMm}{R} = U$. अतः,स्थितिज ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है।
इसलिए,सभी कथन सही हैं।

(D) कोटरों वाले ठोस गोले के कारण किसी बिंदु $P$ पर गुरुत्वीय विभव $V$ अध्यारोपण के सिद्धांत द्वारा दिया जाता है: $V = V_{\text{large sphere}} - V_{\text{cavity A}} - V_{\text{cavity B}}$.
$1$. मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ पर,बड़े गोले के कारण गुरुत्वीय क्षेत्र $\vec{E}$ शून्य है। दो कोटरों के कारण उत्पन्न क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं $(\vec{E}_A = -\vec{E}_B)$,इसलिए मूल बिंदु पर कुल क्षेत्र शून्य है। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
$2$. कोटर वाले गोले के कारण किसी बिंदु $(x, y, z)$ पर गुरुत्वीय विभव कोटरों के केंद्रों से गुजरने वाली अक्ष के परितः सममित होता है। $x = 0$ तल में ${y^2} + {z^2} = R^2$ वृत्त के लिए,वृत्त के किसी भी बिंदु से केंद्रों $A(-2, 0, 0)$ और $B(2, 0, 0)$ तक की दूरी समान है। विशेष रूप से,वृत्त पर किसी भी बिंदु $(0, y, z)$ के लिए,$A$ से दूरी $\sqrt{(-2-0)^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{4 + R^2}$ है और $B$ से दूरी $\sqrt{(2-0)^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{4 + R^2}$ है। चूंकि दूरियां समान हैं,इसलिए कोटरों के कारण विभव समान हैं,और बड़े गोले के कारण विभव इस वृत्त पर स्थिर है। अतः,कुल विभव ${y^2} + {z^2} = 4$ और ${y^2} + {z^2} = 36$ वृत्तों पर स्थिर है। विकल्प $(B)$ और $(C)$ भी सही हैं।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(D) यात्री का भार उस पर कार्य करने वाला शुद्ध गुरुत्वाकर्षण बल है। मान लीजिए $M_e$ और $M_m$ पृथ्वी और मंगल के द्रव्यमान हैं,और $R_e$ और $R_m$ उनकी त्रिज्याएँ हैं। पृथ्वी से मंगल के पथ पर $x$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण बल $F = |F_e - F_m| = |\frac{G M_e m}{x^2} - \frac{G M_m m}{(d-x)^2}|$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ पृथ्वी और मंगल के बीच की दूरी है।
पृथ्वी की सतह पर $(x = R_e)$,भार $W_e = m g_e = 60 \times 10 = 600 \, N$ है।
मंगल की सतह पर $(x = d - R_m)$,भार $W_m = m g_m = 60 \times 4 = 240 \, N$ है।
जैसे-जैसे अंतरिक्ष यान पृथ्वी से मंगल की ओर बढ़ता है,पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण खिंचाव कम होता जाता है और मंगल का गुरुत्वाकर्षण खिंचाव बढ़ता जाता है। दोनों ग्रहों के बीच किसी बिंदु पर,पृथ्वी और मंगल के गुरुत्वाकर्षण बल परिमाण में समान होंगे,जिससे शुद्ध गुरुत्वाकर्षण बल (भार) शून्य हो जाएगा।
चूंकि अंतरिक्ष यान स्थिर वेग से चलता है,इसलिए दूरी $x$ समय $t$ के समानुपाती होती है। इसलिए,भार बनाम समय का ग्राफ $600 \, N$ से कम होना चाहिए,किसी मध्यवर्ती समय पर $0 \, N$ तक पहुँचना चाहिए,और फिर आगमन समय $t_0$ पर $240 \, N$ तक बढ़ना चाहिए। वक्र $D$ ही एकमात्र ऐसा वक्र है जो यह दर्शाता है कि भार शून्य हो जाता है और फिर $240 \, N$ तक बढ़ जाता है।

(C) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह के लिए,ऊर्जाएं इस प्रकार हैं:
स्थितिज ऊर्जा: $U = -\frac{GMm}{r}$
गतिज ऊर्जा: $K = \frac{GMm}{2r}$
कुल ऊर्जा: $E = U + K = -\frac{GMm}{2r}$
इन समीकरणों से:
$1$. $U$ हमेशा ऋणात्मक होता है और जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,इसका परिमाण घटता है,जो नीचे से $0$ की ओर जाता है।
$2$. $K$ हमेशा धनात्मक होता है और जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,यह घटता है,जो ऊपर से $0$ की ओर जाता है।
$3$. $E$ हमेशा ऋणात्मक होता है और जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,इसका परिमाण घटता है,जो नीचे से $0$ की ओर जाता है।
$4$. परिमाणों की तुलना करने पर: $|U| = 2|E|$ और $K = |E|$.
इस प्रकार,$U$ और $E$ ऋणात्मक वक्र हैं,जबकि $K$ धनात्मक वक्र है। जैसे-जैसे $r \to \infty$,सभी ऊर्जाएं $0$ के करीब पहुंचती हैं। सही ग्राफ वह है जिसमें $K$,$r$-अक्ष के ऊपर है,और $U$ तथा $E$ दोनों $r$-अक्ष के नीचे हैं,जिसमें $U$,$E$ से अधिक ऋणात्मक है (अर्थात $|U| > |E|$).

(D) बाइनरी तारे वे दो तारे होते हैं जो एक सामान्य द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर परिक्रमा करते हैं। उनके कक्षीय काल और उनके बीच की दूरी का अवलोकन करके,खगोलशास्त्री तारों के द्रव्यमान को निर्धारित करने के लिए केप्लर के नियमों और न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम का उपयोग कर सकते हैं। इसके अलावा,बाइनरी तारों की गति खगोलीय संदर्भ में न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के लिए एक प्रत्यक्ष अवलोकन परीक्षण प्रदान करती है,जो यह पुष्टि करती है कि पृथ्वी पर वस्तुओं के लिए जो गुरुत्वाकर्षण नियम लागू होते हैं,वही दूर के तारों पर भी लागू होते हैं।

(B) सौर स्थिरांक $S$ को पृथ्वी की सूर्य से दूरी पर प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में आपतित सौर ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
व्युत्क्रम वर्ग नियम के अनुसार,बिंदु स्रोत से विकिरण की तीव्रता $I$,स्रोत से दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $I \propto \frac{1}{r^2}$।
मान लीजिए पृथ्वी की दूरी $r_E = 1 \, AU$ पर सौर स्थिरांक $S$ है।
मान लीजिए $r_P = 5.3 \, AU$ की दूरी पर सौर स्थिरांक $S'$ है।
अतः,$\frac{S'}{S} = \frac{r_E^2}{r_P^2} = \left(\frac{1}{5.3}\right)^2$।
इसलिए,$S' = \frac{S}{(5.3)^2}$।

(D) जैसे-जैसे हम सूर्य के केंद्र की ओर बढ़ते हैं,बाहरी परतों द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल बढ़ता जाता है,जिसके परिणामस्वरूप घनत्व और दबाव दोनों में काफी वृद्धि होती है। इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) सौर स्थिरांक $S$,सूर्य से दूरी $R$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $S \propto \frac{1}{R^2}$।
दिया गया है,$R_M = 0.4 \, R_E$,जहाँ $R_M$ बुध की दूरी है और $R_E$ पृथ्वी की दूरी है।
पृथ्वी का सौर स्थिरांक $S_E = 2 \, cal/min \cdot cm^2$ है।
संबंध $\frac{S_M}{S_E} = \frac{R_E^2}{R_M^2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{S_M}{2} = \frac{R_E^2}{(0.4 \, R_E)^2} = \frac{1}{0.16} = 6.25$।
अतः,$S_M = 6.25 \times 2 = 12.5 \, cal/min \cdot cm^2$।

(A) मान लीजिए कि मूल बिंदु पर स्थित कण $A(0,0)$ है,$(0.2, 0)$ पर स्थित कण $C$ है और $(0, 0.2)$ पर स्थित कण $B$ है। सभी द्रव्यमान $m = 1 \, kg$ हैं।
कण $C$ द्वारा $A$ पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल:
$\vec{F}_{AC} = \frac{G m_A m_C}{r_{AC}^2} \hat{i} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1 \times 1}{(0.2)^2} \hat{i} = \frac{6.67 \times 10^{-11}}{0.04} \hat{i} = 1.6675 \times 10^{-9} \hat{i} \approx 1.67 \times 10^{-9} \hat{i} \, N$
कण $B$ द्वारा $A$ पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल:
$\vec{F}_{AB} = \frac{G m_A m_B}{r_{AB}^2} \hat{j} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1 \times 1}{(0.2)^2} \hat{j} = 1.67 \times 10^{-9} \hat{j} \, N$
कण $A$ पर कुल बल:
$\vec{F}_{net} = \vec{F}_{AC} + \vec{F}_{AB} = 1.67 \times 10^{-9} (\hat{i} + \hat{j}) \, N$

(C) माना वर्ग का केंद्र $P$ है। प्रत्येक कोने से केंद्र $P$ तक की दूरी $x = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
कोनों $A, B, C, D$ पर स्थित द्रव्यमानों द्वारा $P$ पर स्थित $m$ द्रव्यमान पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल इस प्रकार हैं:
$F_{PA} = \frac{G(m)(m)}{x^2} = \frac{Gm^2}{x^2} = F$
$F_{PB} = \frac{G(2m)(m)}{x^2} = 2F$
$F_{PC} = \frac{G(3m)(m)}{x^2} = 3F$
$F_{PD} = \frac{G(4m)(m)}{x^2} = 4F$
ये बल विकर्णों की दिशा में कार्य करते हैं। विकर्ण $AC$ पर कुल बल $F_{net, AC} = F_{PC} - F_{PA} = 3F - F = 2F$ ($C$ की दिशा में)।
विकर्ण $BD$ पर कुल बल $F_{net, BD} = F_{PD} - F_{PB} = 4F - 2F = 2F$ ($D$ की दिशा में)।
परिणामी बल $F_{net}$ इन दो लंबवत बलों का सदिश योग है:
$F_{net} = \sqrt{(2F)^2 + (2F)^2} = 2\sqrt{2}F$
$F = \frac{Gm^2}{x^2} = \frac{Gm^2}{(a/\sqrt{2})^2} = \frac{2Gm^2}{a^2}$ रखने पर:
$F_{net} = 2\sqrt{2} \left( \frac{2Gm^2}{a^2} \right) = \frac{4\sqrt{2}Gm^2}{a^2}$

(A) $m$ द्रव्यमान और $a$ त्रिज्या वाली रिंग की अक्ष पर $r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $I = \frac{Gmr}{(a^2 + r^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$M$ द्रव्यमान वाले गोले द्वारा रिंग पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F = M \times I = \frac{GMmr}{(a^2 + r^2)^{3/2}}$ है।
यहाँ $r = \sqrt{3}a$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$F = \frac{GMm(\sqrt{3}a)}{(a^2 + (\sqrt{3}a)^2)^{3/2}}$
$F = \frac{GMm\sqrt{3}a}{(a^2 + 3a^2)^{3/2}}$
$F = \frac{GMm\sqrt{3}a}{(4a^2)^{3/2}}$
$F = \frac{GMm\sqrt{3}a}{8a^3}$
$F = \frac{\sqrt{3}GMm}{8a^2}$

(C) तीन कणों की प्रणाली की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U$ इस प्रकार दी जाती है:
$U = -\frac{G m_1 m_2}{r_{12}} - \frac{G m_2 m_3}{r_{23}} - \frac{G m_1 m_3}{r_{13}}$
यहाँ $m_1 = m_2 = m_3 = 100 \, g = 0.1 \, kg$ और $r_{12} = r_{23} = r_{13} = 20 \, cm = 0.2 \, m$ है।
चूंकि सभी द्रव्यमान और दूरियां समान हैं,$U = -3 \times \frac{G m^2}{r}$ होगा।
$U = -3 \times \frac{6.67 \times 10^{-11} \times (0.1)^2}{0.2}$
$U = -3 \times \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 0.01}{0.2} = -3 \times 3.335 \times 10^{-12} = -1.00 \times 10^{-11} \, J$.
कणों को अनंत दूरी तक ले जाने के लिए आवश्यक कार्य $W = U_{\infty} - U_{initial} = 0 - (-1.00 \times 10^{-11} \, J) = 1.00 \times 10^{-11} \, J$ होगा।

(C) दो कणों के बीच का गुरुत्वाकर्षण बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
दो कणों के बीच की दूरी $d = 2R$ है।
गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = \frac{G \cdot m \cdot m}{(2R)^2} = \frac{Gm^2}{4R^2}$ है।
$R$ त्रिज्या के वृत्त में $v$ चाल से गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के कण के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{R}$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{mv^2}{R} = \frac{Gm^2}{4R^2}$।
समीकरण को सरल करने पर: $v^2 = \frac{Gm^2}{4R^2} \cdot \frac{R}{m} = \frac{Gm}{4R}$।
वर्गमूल लेने पर: $v = \sqrt{\frac{Gm}{4R}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{Gm}{R}}$।

(B) चूंकि पृथ्वी पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए इसका कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है।
$L = I\omega = \text{स्थिरांक}$
चूंकि $I = \frac{2}{5}MR^2$ और $\omega = \frac{2\pi}{T}$,हमारे पास है:
$\frac{2}{5}MR^2 \times \frac{2\pi}{T} = \text{स्थिरांक}$
इसका अर्थ है $T \propto R^2$।
दी गई नई त्रिज्या $R_2 = \frac{R}{n}$ है,इसलिए नया समय अंतराल $T_2$ और मूल समय अंतराल $T_1 = 24 \ hr$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^2 = \left( \frac{R/n}{R} \right)^2 = \frac{1}{n^2}$
अतः,$T_2 = \frac{T_1}{n^2} = \frac{24}{n^2} \ hr$।

(B) शक्ति को बल और वेग के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = Fv \cos \theta$.
उच्चतम बिंदु पर,वेग $v = 0$ होता है,इसलिए शक्ति $P = 0$ होती है।
गति के दौरान,गुरुत्वाकर्षण बल $\vec{F}$ हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
जैसे ही वस्तु नीचे गिरती है,वेग $\vec{v}$ नीचे की ओर निर्देशित होता है,जो गुरुत्वाकर्षण बल $\vec{F}$ की दिशा में ही होता है (अर्थात,$\theta = 0^\circ$)।
चूंकि $P = Fv \cos(0^\circ) = Fv$,शक्ति गति $v$ के समानुपाती होती है।
वस्तु के पृथ्वी की सतह से टकराने से ठीक पहले उसकी गति $v$ अधिकतम होती है।
इसलिए,गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा लगाया गया शक्ति वस्तु के पृथ्वी से टकराने से ठीक पहले के क्षण पर सबसे अधिक होती है।

(C) दिया गया है:
कण का द्रव्यमान $= M$
गोलीय कोश का द्रव्यमान $= M$
गोलीय कोश की त्रिज्या $= a$
मान लीजिए $O$ गोलीय कोश का केंद्र है।
केंद्र पर स्थित कण के कारण केंद्र से $r = a/2$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर गुरुत्वीय विभव $V_1 = -\frac{GM}{r} = -\frac{GM}{a/2} = -\frac{2GM}{a}$ है।
गोलीय कोश के अंदर किसी भी बिंदु पर गुरुत्वीय विभव स्थिर होता है और इसकी सतह पर विभव के बराबर होता है,जो $V_2 = -\frac{GM}{a}$ है।
बिंदु $P$ पर कुल गुरुत्वीय विभव $V = V_1 + V_2$ है।
$V = -\frac{2GM}{a} + \left( -\frac{GM}{a} \right) = -\frac{3GM}{a}$.
गुरुत्वीय विभव का परिमाण $|V| = \frac{3GM}{a}$ होगा।

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक पतले गोलीय कोश के कारण गुरुत्वीय क्षेत्र $F$ इस प्रकार है:
$1$. कोश के अंदर,अर्थात $r < R$ के लिए:
गुरुत्वीय क्षेत्र $F = 0$ होता है।
$2$. कोश की सतह पर,अर्थात $r = R$ के लिए:
गुरुत्वीय क्षेत्र $F = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
$3$. कोश के बाहर,अर्थात $r > R$ के लिए:
गुरुत्वीय क्षेत्र $F = \frac{GM}{r^2}$ होता है।
अतः,$r < R$ के लिए क्षेत्र शून्य है और $r > R$ के लिए यह व्युत्क्रम-वर्ग नियम का पालन करता है। सही आरेख वह है जो $r < R$ के लिए $F = 0$ और $r > R$ के लिए $F \propto 1/r^2$ को दर्शाता है।

(A) पृथ्वी के अंदर एक बिंदु के लिए,अर्थात $r < R$:
$E = -\frac{GM}{R^3}r$
जहाँ $M$ और $R$ क्रमशः पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं। ऋण चिह्न इंगित करता है कि क्षेत्र केंद्र की ओर निर्देशित है।
केंद्र पर,$r = 0$,इसलिए $E = 0$।
पृथ्वी के बाहर एक बिंदु के लिए,अर्थात $r > R$:
$E = -\frac{GM}{r^2}$
पृथ्वी की सतह पर,अर्थात $r = R$:
$E = -\frac{GM}{R^2}$
गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का परिमाण पृथ्वी के अंदर दूरी $r$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है और पृथ्वी के बाहर दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती घटता है। इस भिन्नता को दर्शाने वाला ग्राफ समाधान छवि में दिखाया गया है।

(C) केंद्रों के बीच की प्रारंभिक दूरी $12R$ है। टक्कर तब होती है जब केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है,जो $R + 2R = 3R$ है।
इसलिए,टक्कर से पहले दोनों पिंडों द्वारा तय की गई कुल दूरी $12R - 3R = 9R$ है।
मान लीजिए कि $M$ और $5M$ द्रव्यमान वाले पिंडों द्वारा तय की गई दूरियाँ क्रमशः $x_1$ और $x_2$ हैं। चूंकि कोई बाहरी बल नहीं है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है। अतः,$M x_1 = 5M x_2$,जिससे $x_1 = 5x_2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $x_1 + x_2 = 9R$,इसलिए $5x_2 + x_2 = 9R$ रखने पर $6x_2 = 9R$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x_2 = 1.5R$।
तब,$x_1 = 5(1.5R) = 7.5R$।
छोटे पिंड ($M$ द्रव्यमान) द्वारा तय की गई दूरी $7.5R$ है।

(A) मान लीजिए $\omega$ पृथ्वी के अपनी धुरी पर घूमने की कोणीय गति है।
मान लीजिए $g$ ध्रुवों पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है।
मान लीजिए $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
भूमध्य रेखा पर गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eq} = g - \omega^2 R$ है।
सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ है।
प्रश्न के अनुसार,पाठ्यांक समान हैं,इसलिए $g_{eq} = g_d$ है।
$g - \omega^2 R = g(1 - \frac{d}{R})$
$g - \omega^2 R = g - \frac{gd}{R}$
$\omega^2 R = \frac{gd}{R}$
$d = \frac{\omega^2 R^2}{g}$

(B) माना क्षुद्रग्रह का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ है। घनत्व $\rho = M / (\frac{4}{3} \pi R^3)$ है।
जब $r = R/2$ त्रिज्या का एक गोलाकार छेद खोदा जाता है,तो हटाए गए भाग का द्रव्यमान $m = \rho \cdot (\frac{4}{3} \pi r^3) = \rho \cdot (\frac{4}{3} \pi (R/2)^3) = \rho \cdot (\frac{4}{3} \pi R^3) / 8 = M/8$ होता है।
पूर्ण क्षुद्रग्रह के कारण बिंदु $P$ (छेद के ठीक ऊपर) पर गुरुत्वीय त्वरण $g_1 = GM/R^2$ है,जो केंद्र की ओर कार्य करता है।
हटाए गए गोले (छेद) के कारण बिंदु $P$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g_2 = G(M/8) / (R/2)^2 = (GM/8) / (R^2/4) = GM / 2R^2$ है,जो छेद के केंद्र से दूर (क्षुद्रग्रह के केंद्र की ओर) कार्य करता है।
चूंकि छेद को हटा दिया गया है,इसलिए कुल गुरुत्वीय त्वरण $g_{net}$ पूर्ण गोले और छेद के ऋणात्मक द्रव्यमान के कारण त्वरण का सदिश योग है: $g_{net} = g_1 - g_2 = GM/R^2 - GM/2R^2 = GM/2R^2$।

(A) ग्रह के बाहर (सतह पर),व्यक्ति पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण नियम द्वारा दिया जाता है: $F_{\text{old}} = \frac{GMm}{R^2}$।
ग्रह के अंदर,व्यक्ति $\frac{2M}{3}$ द्रव्यमान वाले गोलाकार कोश के अंदर है। कोश प्रमेय (shell theorem) के अनुसार,किसी गोलाकार कोश के अंदर किसी भी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र शून्य होता है। अतः,कोश व्यक्ति पर कोई बल नहीं लगाता है।
व्यक्ति केंद्र में स्थित $\frac{M}{3}$ बिंदु द्रव्यमान से $R$ दूरी पर है। इस बिंदु द्रव्यमान द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_{\text{new}} = \frac{G(\frac{M}{3})m}{R^2} = \frac{GMm}{3R^2}$ है।
व्यक्ति द्वारा अनुभव किए गए गुरुत्वाकर्षण बल में परिवर्तन $\Delta F = F_{\text{old}} - F_{\text{new}} = \frac{GMm}{R^2} - \frac{GMm}{3R^2} = \frac{2GMm}{3R^2}$ है।

(D) $M$ द्रव्यमान और $a$ त्रिज्या वाले एक पतले गोलीय कोश के लिए,कोश के कारण उसके भीतर गुरुत्वीय क्षेत्र शून्य होता है,और भीतर गुरुत्वीय विभव स्थिर होता है जो $-GM/a$ के बराबर होता है।
हालाँकि,कोश की सतह से $a$ दूरी पर $M$ द्रव्यमान का एक बाहरी कण स्थित है। कोश के केंद्र से इस कण की दूरी $r = a + a = 2a$ है।
यह बाहरी कण कोश के भीतर सभी बिंदुओं पर एक गैर-शून्य गुरुत्वीय क्षेत्र और एक गैर-शून्य गुरुत्वीय विभव उत्पन्न करता है।
इसलिए,कोश के भीतर,कुल गुरुत्वीय क्षेत्र बाहरी कण द्वारा उत्पन्न क्षेत्र के बराबर होता है,और कुल गुरुत्वीय विभव कोश के कारण स्थिर विभव और बाहरी कण के कारण विभव का योग होता है।
इस प्रकार,कोश के भीतर न तो कुल गुरुत्वीय क्षेत्र और न ही कुल गुरुत्वीय विभव शून्य होता है।

(D) $R$ त्रिज्या और $M$ द्रव्यमान वाली रिंग के केंद्र से $x$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण विभव $V(x) = -\frac{GM}{\sqrt{x^2 + R^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक स्थिति $(x = R)$ और केंद्र $(x = 0)$ के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए $K_i = 0$.
$0 + m V(R) = \frac{1}{2}mv^2 + m V(0)$
$0 + m \left( -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + R^2}} \right) = \frac{1}{2}mv^2 + m \left( -\frac{GM}{R} \right)$
$-\frac{GM}{\sqrt{2}R} = \frac{1}{2}v^2 - \frac{GM}{R}$
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{R} - \frac{GM}{\sqrt{2}R} = \frac{GM}{R} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$v^2 = \frac{2GM}{R} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$v = \sqrt{2\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \frac{GM}{R}}$

(A) दोनों द्रव्यमान अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र (c.m.) के चारों ओर घूमते हैं।
मान लीजिए कि द्रव्यमान $4m$ की द्रव्यमान केंद्र से दूरी $x$ है,और द्रव्यमान $m$ की दूरी $(d-x)$ है।
द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा के अनुसार: $4m(x) = m(d-x) \Rightarrow 4x = d-x \Rightarrow 5x = d \Rightarrow x = d/5$.
इस प्रकार,द्रव्यमान $4m$ की द्रव्यमान केंद्र से दूरी $r_1 = d/5$ है और द्रव्यमान $m$ की दूरी $r_2 = 4d/5$ है।
दोनों द्रव्यमान समान कोणीय वेग $\omega$ के साथ घूमते हैं।
वृत्तीय गति में एक कण की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(r\omega)^2 = \frac{1}{2}mr^2\omega^2$ होती है।
गतिज ऊर्जाओं का अनुपात:
$\frac{K_{4m}}{K_m} = \frac{\frac{1}{2}(4m)r_1^2\omega^2}{\frac{1}{2}(m)r_2^2\omega^2} = \frac{4(d/5)^2}{(4d/5)^2} = \frac{4(d^2/25)}{16(d^2/25)} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
अतः,अनुपात $1:4$ है।

(A, C) एक गोलाकार ग्रह के भीतर गोलाकार गुहा में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र एकसमान और गैर-शून्य होता है। यह गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों के अध्यारोपण के सिद्धांत से प्राप्त एक मानक परिणाम है।
विकल्प $C$ के संबंध में,कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = K + U$ है। यदि $E = 0$ है,तो $K = -U$ होगा। चूंकि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में $U$ ऋणात्मक होता है,इसलिए $K$ धनात्मक होना चाहिए। जैसे-जैसे पिंड स्रोत से दूर जाता है,$U$ बढ़ता है (कम ऋणात्मक होता है) और $K$ घटता है। अनंत पर,$U = 0$ और $K = 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि पिंड के पास अनंत तक पहुँचने के लिए पर्याप्त ऊर्जा है,जो पलायन वेग की परिभाषा है। अतः,शून्य कुल यांत्रिक ऊर्जा वाला पिंड गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से पलायन कर जाएगा।

(D) $m$ द्रव्यमान वाले दो स्थिर कणों के कारण मध्य-बिंदु $P$ पर गुरुत्वीय विभव इस प्रकार है:
$V = V_1 + V_2 = -\frac{Gm}{l/2} - \frac{Gm}{l/2} = -\frac{4Gm}{l}$
बिंदु $P$ पर $m_0$ द्रव्यमान वाले कण की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा:
$U = m_0 V = -\frac{4Gmm_0}{l}$
कण के अनंत तक पलायन करने के लिए,प्रक्षेपण बिंदु पर उसकी कुल ऊर्जा अनंत पर उसकी कुल ऊर्जा के बराबर यानी शून्य होनी चाहिए।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2} m_0 v^2 + \left( -\frac{4Gmm_0}{l} \right) = 0 + 0$
$\frac{1}{2} m_0 v^2 = \frac{4Gmm_0}{l}$
$v^2 = \frac{8Gm}{l}$
$v = \sqrt{\frac{8Gm}{l}} = 2 \sqrt{\frac{2Gm}{l}}$
अतः,न्यूनतम वेग $2 \sqrt{\frac{2Gm}{l}}$ है।

(D) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,प्रारंभिक स्थिति में कुल यांत्रिक ऊर्जा अंतिम स्थिति (जहाँ गेंद क्षण भर के लिए रुकती है) में कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = K_i + U_i = 0 - \frac{GMm}{2R}$ है।
अंतिम ऊर्जा $E_f = K_f + U_f = 0 + U_{grav, depth} + U_{spring}$ है।
$d = R/2$ गहराई पर (अर्थात केंद्र से $r = R/2$ दूरी पर) गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_{grav} = -\frac{GMm}{2R^3}(3R^2 - r^2) = -\frac{GMm}{2R^3}(3R^2 - (R/2)^2) = -\frac{GMm}{2R^3}(3R^2 - R^2/4) = -\frac{GMm}{2R^3}(\frac{11R^2}{4}) = -\frac{11GMm}{8R}$ है।
स्प्रिंग $x = R/2$ तक दब जाती है,इसलिए $U_{spring} = \frac{1}{2}K(R/2)^2 = \frac{KR^2}{8}$ है।
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर: $-\frac{GMm}{2R} = -\frac{11GMm}{8R} + \frac{KR^2}{8}$ प्राप्त होता है।
$\frac{KR^2}{8} = \frac{11GMm}{8R} - \frac{4GMm}{8R} = \frac{7GMm}{8R}$ है।
अतः,$K = \frac{7GMm}{R^3}$ है।

(B) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ होती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,$h$ ऊँचाई से गिराए गए कण का सतह से टकराने से ठीक पहले का वेग $v$,$\frac{1}{2}mv^2 = GMm(\frac{1}{R} - \frac{1}{R+h})$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक ऊँचाई $h_1 = R$ के लिए,पहुँच का वेग (velocity of approach) $v_1$ इस प्रकार है: $\frac{1}{2}mv_1^2 = GMm(\frac{1}{R} - \frac{1}{2R}) = \frac{GMm}{2R}$,अतः $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$।
$h_2 = R/2$ की ऊँचाई तक वापस उछलने के लिए,पृथक्करण का वेग (velocity of separation) $v_2$ इस प्रकार है: $\frac{1}{2}mv_2^2 = GMm(\frac{1}{R} - \frac{1}{R + R/2}) = GMm(\frac{1}{R} - \frac{2}{3R}) = \frac{GMm}{3R}$,अतः $v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{3R}}$।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को $e = \frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{2GM/3R}}{\sqrt{GM/R}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

(B) मान लीजिए $5M$ द्रव्यमान के उपग्रह का कक्षीय वेग $v_r$ है। विस्फोट के बाद $M$ और $4M$ द्रव्यमान के टुकड़ों के वेग क्रमशः $v_1$ और $v_4$ हैं।
दिया गया है कि $M$ द्रव्यमान का टुकड़ा उसी कक्षा में विपरीत दिशा में यात्रा करता है,इसलिए इसका वेग $v_1 = -v_r$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,विस्फोट से पहले का कुल संवेग = विस्फोट के बाद का कुल संवेग:
$5M v_r = (4M) v_4 + (M)(-v_r)$
$5M v_r = 4M v_4 - M v_r$
$6M v_r = 4M v_4$
$v_4 = 1.5 v_r$
वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह के लिए पलायन वेग $v_e = \sqrt{2} v_r \approx 1.414 v_r$ होता है।
चूंकि $v_4 = 1.5 v_r > 1.414 v_r$,इसलिए $4M$ द्रव्यमान का वेग पलायन वेग से अधिक है।
अतः,$4M$ द्रव्यमान का टुकड़ा एक मुक्त कक्षा (unbound orbit) में गति करेगा।

(C) व्युत्क्रम-वर्ग बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण) द्वारा बंधी प्रणाली के लिए विरियल प्रमेय के अनुसार,समय-औसत गतिज ऊर्जा $\langle K \rangle$ और स्थितिज ऊर्जा $\langle U \rangle$ के बीच संबंध $\langle U \rangle = -2 \langle K \rangle$ होता है।
दीर्घवृत्ताकार कक्षा में एक ग्रह के लिए,कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ स्थिर रहती है और इसे $E = K + U = -\frac{GMm}{2a}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ अर्ध-दीर्घ अक्ष है।
कक्षा में किसी भी बिंदु पर,स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ होती है।
चूँकि कुल ऊर्जा $E = K + U = -\frac{GMm}{2a}$ है,इसलिए $K = E - U = -\frac{GMm}{2a} - (-\frac{GMm}{r}) = GMm(\frac{1}{r} - \frac{1}{2a})$ प्राप्त होता है।
परिमाणों $|U| = \frac{GMm}{r}$ और $|K| = GMm|\frac{1}{r} - \frac{1}{2a}|$ की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $|U| > |K|$ कक्षा के सभी बिंदुओं के लिए सत्य है,जिसमें $C$ और $D$ भी शामिल हैं।
विशेष रूप से,कक्षा में किसी भी बिंदु $r$ पर,चूँकि $r$ हमेशा $2a$ (दीर्घ अक्ष की लंबाई) से कम होता है,इसलिए $|U| > |K|$ की शर्त पूरे दीर्घवृत्ताकार पथ पर संतुष्ट होती है।

(B) पृथ्वी के केंद्र से $x$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $g_{x} = \frac{g}{R} x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चूँकि बल $F = -m g_{x} = -\left(\frac{mg}{R}\right) x$ विस्थापन $x$ के समानुपाती है और केंद्र की ओर निर्देशित है,इसलिए गेंद की गति सरल आवर्त गति $(SHM)$ है।
इस $SHM$ का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है,जहाँ $k = \frac{mg}{R}$ है।
अतः,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{mg/R}} = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}$.
$R \approx 6400 \text{ km}$ और $g \approx 9.8 \text{ m/s}^2$ रखने पर,हमें $T \approx 84.6 \text{ min}$ प्राप्त होता है।
दूसरे सिरे तक पहुँचने में लगा समय आवर्तकाल का आधा होता है,इसलिए $t = \frac{T}{2} = \frac{84.6}{2} = 42.3 \text{ min}$।

(D) समस्या की ज्यामिति से,पृथ्वी के केंद्र,उपग्रह और उपग्रह से दिखाई देने वाले क्षितिज पर स्थित बिंदु द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज पर विचार करें। कर्ण $(R+h)$ है और कोण $\theta$ के सम्मुख भुजा $R$ है। अतः,$\sin \theta = \frac{R}{R+h}$ है।
को-लैटीट्यूड ध्रुव से मापा गया कोण है। उपग्रह एक निश्चित अक्षांश तक संचार कर सकता है,जो $\theta = \sin^{-1} \left( \frac{R}{R+h} \right)$ के न्यूनतम को-लैटीट्यूड के अनुरूप है।
उपग्रह से दिखाई देने वाले गोलाकार भाग का क्षेत्रफल $A_{visible} = 2\pi R^2 (1 - \cos \alpha)$ है,जहाँ $\alpha$ दृश्य क्षेत्र की कोणीय त्रिज्या है। इस ज्यामिति में,$\cos \alpha = \frac{R}{R+h} = \sin \theta$ है। अतः,दृश्य क्षेत्र $2\pi R^2 (1 - \sin \theta)$ है।
पृथ्वी पर वह क्षेत्र जो उपग्रह से दिखाई नहीं देता (छूटा हुआ क्षेत्र) कुल सतह के क्षेत्रफल में से दृश्य क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है:
$A_{escaped} = 4\pi R^2 - 2\pi R^2 (1 - \sin \theta) = 2\pi R^2 (1 + \sin \theta).$
अतः,कथन $(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) जब कोई उपग्रह वायु प्रतिरोध का सामना करता है,तो वह यांत्रिक ऊर्जा खो देता है,जिससे वह पृथ्वी की ओर अंदर की ओर सर्पिल गति करने लगता है। जैसे-जैसे कक्षीय त्रिज्या $r$ घटती है,स्थितिज ऊर्जा अधिक ऋणात्मक हो जाती है और गतिज ऊर्जा $K = \frac{GMm}{2r}$ बढ़ जाती है।
चूंकि वायु प्रतिरोध एक असंरक्षी बल के रूप में कार्य करता है,यह उपग्रह पर एक टॉर्क लगाता है,जिसके कारण समय के साथ कोणीय संवेग $L = mvr$ घट जाता है।
अतः,गतिज ऊर्जा बढ़ती है और कोणीय संवेग घटता है। इस प्रकार,विकल्प $(D)$ सही है।

(D) केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,$T^2 \propto r^3$ होता है। इसलिए,$T_1/T_2 = (R_1/R_2)^{3/2} = (R/4R)^{3/2} = (1/4)^{3/2} = 1/8$। अतः,विकल्प $A$ सही है।
कक्षीय वेग के लिए,$v = \sqrt{GM/r}$,इसलिए $v \propto 1/\sqrt{r}$। अतः,$v_1/v_2 = \sqrt{r_2/r_1} = \sqrt{4R/R} = 2/1$। अतः,विकल्प $B$ सही है।
कोणीय वेग $\omega = v/r = \sqrt{GM/r^3}$,इसलिए $\omega \propto r^{-3/2}$।
$\omega_1 = \sqrt{GM/R^3}$ और $\omega_2 = \sqrt{GM/(4R)^3} = \omega_1/8$।
सापेक्ष कोणीय वेग $\omega_{rel} = |\omega_1 - \omega_2| = |\omega_1 - \omega_1/8| = 7\omega_1/8$।
हालांकि,प्रश्न में दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$A$ और $B$ स्पष्ट रूप से सही हैं,इसलिए $D$ सही उत्तर है।

(D) उपग्रह की कक्षीय गति $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दी जाती है। जैसे-जैसे $r$ घटता है,गति $v$ बढ़ती है। अतः,$r$ के न्यूनतम संभव मान के लिए,गति अधिकतम होती है।
उपग्रह का समय अंतराल $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे $r$ घटता है,समय अंतराल $T$ घटता है। अतः,$r$ के न्यूनतम संभव मान के लिए,समय अंतराल न्यूनतम होता है।
उपग्रह-पृथ्वी प्रणाली की कुल ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है। जैसे-जैसे $r$ घटता है,$E$ का मान अधिक ऋणात्मक हो जाता है,जिसका अर्थ है कि कुल ऊर्जा न्यूनतम है।
चूंकि तीनों कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) किसी भी उपग्रह के पृथ्वी की परिक्रमा करने के लिए,पृथ्वी का केंद्र उपग्रह के कक्षीय तल (orbital plane) में स्थित होना चाहिए। चूंकि भूमध्य रेखा पृथ्वी के केंद्र से गुजरने वाला एक महान वृत्त है,इसलिए किसी भी उपग्रह का कक्षीय तल भूमध्यरेखीय तल को काटना चाहिए। इसलिए,उपग्रह को अपनी कक्षा में किसी न किसी बिंदु पर भूमध्य रेखा के ऊपर से गुजरना होगा।
उपग्रह का आवर्तकाल $T$,$T = 2\pi \sqrt{\frac{r}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = R + h$ कक्षीय त्रिज्या है।
चूंकि सतह से न्यूनतम ऊँचाई $h$,$0$ है,इसलिए न्यूनतम कक्षीय त्रिज्या $R$ है। अतः,आवर्तकाल $T$ को $T = 2\pi \sqrt{\frac{R+h}{g}} > 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ शर्त को पूरा करना होगा।
इस प्रकार,कथन $(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

(C) $\text{माना कि पृथ्वी के केंद्र पर पहुँचते समय } m \text{ द्रव्यमान का वेग } u \text{ और } 2m \text{ द्रव्यमान का वेग } u \text{ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम से, } u = \sqrt{gR} = \sqrt{\frac{GM}{R}}.
\text{केंद्र पर, पिंड टकराते हैं और चिपक जाते हैं। रेखीय संवेग संरक्षण के नियम से: } (2m)u - m(u) = (3m)v, \text{ जहाँ } v \text{ टक्कर के बाद } 3m \text{ द्रव्यमान का वेग है।}
mu = 3mv \Rightarrow v = u/3.
\text{केंद्र से } x \text{ दूरी पर संयुक्त द्रव्यमान की स्थितिज ऊर्जा } U(x) = \frac{1}{2} (3m) \omega^2 x^2 \text{ है, जहाँ } \omega^2 = \frac{g}{R} = \frac{GM}{R^3}.
\text{संयुक्त द्रव्यमान के लिए ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करने पर: } \frac{1}{2} (3m) v^2 = \frac{1}{2} (3m) \omega^2 A^2.
v^2 = \omega^2 A^2 \Rightarrow A = \frac{v}{\omega} = \frac{u/3}{\sqrt{GM/R^3}} = \frac{\sqrt{GM/R}/3}{\sqrt{GM/R^3}} = \frac{R}{3}.$

(C) $M$ द्रव्यमान वाले एक कण पर विचार करें। इस पर अन्य तीन कणों द्वारा बल लगाया जाता है। आसन्न कणों के बीच की दूरी $a = R\sqrt{2}$ और विपरीत कणों के बीच की दूरी $d = 2R$ है।
दो आसन्न कणों द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{GM^2}{a^2} = \frac{GM^2}{2R^2}$ है। केंद्र की ओर इन बलों के घटक $F \cos(45^{\circ})$ हैं।
विकर्ण रूप से विपरीत कण द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F' = \frac{GM^2}{d^2} = \frac{GM^2}{(2R)^2} = \frac{GM^2}{4R^2}$ है।
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल इन बलों के योग द्वारा प्रदान किया जाता है:
$F_{net} = 2F \cos(45^{\circ}) + F' = \frac{Mv^2}{R}$
मान रखने पर:
$2 \left( \frac{GM^2}{2R^2} \right) \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{GM^2}{4R^2} = \frac{Mv^2}{R}$
$\frac{GM^2}{R^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4} \right) = \frac{Mv^2}{R}$
$v^2 = \frac{GM}{R} \left( \frac{4 + \sqrt{2}}{4\sqrt{2}} \right) = \frac{GM}{R} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$
$v = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{GM}{R} (1 + 2\sqrt{2})}$

(B) $h$ ऊँचाई पर उपग्रह का कक्षीय वेग $v_o = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $h \ll R$,हम $R+h \approx R$ मान सकते हैं। अतः,$v_o \approx \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR}$।
पृथ्वी की सतह से (या सतह के निकट) पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$ होता है।
वेग में आवश्यक वृद्धि $\Delta v$,पलायन वेग और कक्षीय वेग के बीच का अंतर है:
$\Delta v = v_e - v_o = \sqrt{2gR} - \sqrt{gR}$।
$\sqrt{gR}$ को कॉमन लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta v = \sqrt{gR}(\sqrt{2} - 1)$।

(D) पृथ्वी के केंद्र से दूरी $d$ के साथ गुरुत्वीय त्वरण $g$ में परिवर्तन निम्नलिखित है:
$1$. पृथ्वी के अंदर $(d < R)$:
$g = \frac{GM}{R^3} d$
चूंकि $G, M,$ और $R$ स्थिरांक हैं,इसलिए $g \propto d$ होता है। यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$2$. पृथ्वी की सतह पर $(d = R)$:
$g = \frac{GM}{R^2} = g_s$ (अधिकतम मान)।
$3$. पृथ्वी के बाहर $(d > R)$:
$g = \frac{GM}{d^2}$
यहाँ,$g \propto \frac{1}{d^2}$ होता है। यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है।
इन सबको मिलाकर,ग्राफ केंद्र से सतह तक एक रैखिक वृद्धि और सतह के बाहर दूरी बढ़ने पर एक हाइपरबोलिक गिरावट को दर्शाता है। यह ग्राफ विकल्प $D$ में दिया गया है।