Mix Examples-Gravitation Questions in Hindi

(C) मान लीजिए मूल गोले $A$ का द्रव्यमान $M$ है। $m$ द्रव्यमान वाले कण $B$ पर $2R$ की दूरी पर लगने वाला बल $F = \frac{GMm}{(2R)^2} = \frac{GMm}{4R^2}$ है।
$r = R/2$ त्रिज्या वाले काटे गए गोलाकार भाग का द्रव्यमान $M^{\prime} = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi (R/2)^3 = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3} \cdot \frac{4}{3} \pi \frac{R^3}{8} = \frac{M}{8}$ है।
काटे गए भाग के केंद्र की कण $B$ से दूरी $d = 2R - R/2 = 3R/2$ है।
काटे गए भाग द्वारा $B$ पर लगाया गया बल $F_{removed} = \frac{G M^{\prime} m}{d^2} = \frac{G (M/8) m}{(3R/2)^2} = \frac{GMm}{8 \cdot (9R^2/4)} = \frac{GMm}{18R^2}$ है।
चूंकि $F = \frac{GMm}{4R^2}$,इसलिए $\frac{GMm}{R^2} = 4F$ है। अतः,$F_{removed} = \frac{4F}{18} = \frac{2}{9} F$ है।
नया बल $F^{\prime} = F - F_{removed} = F - \frac{2}{9} F = \frac{7}{9} F$ है।

(C) जब कण गुरुत्वाकर्षण प्रभाव के तहत गति करते हैं,तो गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
$L$ दूरी पर स्थित $M$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G M^2}{L^2}$ है।
शीर्ष $A$ पर स्थित कण पर $B$ और $C$ पर स्थित कणों के कारण लगने वाला कुल बल $\vec{F}_{AB}$ और $\vec{F}_{AC}$ बलों का सदिश योग है।
चूंकि इन बलों के बीच का कोण $60^\circ$ है,इसलिए परिणामी बल का परिमाण $F_{net} = 2 F \cos(30^\circ) = 2 \left( \frac{G M^2}{L^2} \right) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} G M^2}{L^2}$ है।
कण $R$ त्रिज्या के वृत्त में गति करते हैं। समबाहु त्रिभुज के लिए,केंद्रक से शीर्ष की दूरी $R = \frac{L}{\sqrt{3}}$ है।
कुल बल को अभिकेंद्री बल के बराबर करने पर,$\frac{M v^2}{R} = F_{net}$।
मान रखने पर,$\frac{M v^2}{L/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} G M^2}{L^2}$।
$v$ के लिए हल करने पर,$v^2 = \frac{\sqrt{3} G M^2}{L^2} \cdot \frac{L}{\sqrt{3} M} = \frac{G M}{L}$।
अतः,$v = \sqrt{\frac{G M}{L}}$।

(C) गुरुत्वाकर्षण बल एक संरक्षी बल है। किसी भी संरक्षी बल के लिए,एक पूर्ण बंद पथ (एक पूर्ण परिक्रमण) में किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है।
अतः,कथन (iii) सत्य है।
किया गया कार्य डॉट प्रोडक्ट $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\vec{F} = m\vec{a}$,इसलिए $W = \int m\vec{a} \cdot d\vec{r}$ होता है।
यदि त्वरण सदिश $\vec{a}$ (जो सूर्य की ओर निर्देशित है) विस्थापन सदिश $d\vec{r}$ (जो कक्षा के स्पर्शरेखा है) के लंबवत है,तो किया गया कार्य शून्य होता है।
दीर्घवृत्ताकार कक्षा में,कुछ विशिष्ट बिंदु (पेरिहेलियन और एफेलियन पर) होते हैं जहाँ वेग त्रिज्या सदिश के लंबवत होता है,जिसका अर्थ है कि उन तात्कालिक बिंदुओं पर बल विस्थापन के लंबवत होता है।
इसलिए,इन विशिष्ट बिंदुओं पर किया गया कार्य शून्य है,जो कथन (ii) को सत्य बनाता है।
कथन $(i)$ गलत है क्योंकि कार्य विशिष्ट बिंदुओं पर शून्य होता है।
कथन (iv) गलत है क्योंकि कक्षा के किसी भी छोटे भाग के लिए कार्य शून्य नहीं होता है।
अतः,(ii) और (iii) सत्य हैं।

(C) प्रकृति में चार मूल बलों के गुण निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं:
| बल | अनुमानित सापेक्ष शक्ति | सीमा | आकर्षण/प्रतिकर्षण |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| गुरुत्वाकर्षण | $10^{-38}$ | अनंत | केवल आकर्षण |
| विद्युतचुंबकीय | $10^{-2}$ | अनंत | आकर्षण और प्रतिकर्षण |
| दुर्बल नाभिकीय | $10^{-13}$ | $ < 10^{-16} \,m$ | आकर्षण और प्रतिकर्षण |
| प्रबल नाभिकीय | $1$ | $ < 10^{-15} \,m$ | आकर्षण और प्रतिकर्षण |
तालिका से,हम निम्नलिखित देख सकते हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण और विद्युतचुंबकीय बलों की सीमा अनंत होती है।
$2$. दुर्बल नाभिकीय बल की सीमा ($ < 10^{-16} \,m$),प्रबल नाभिकीय बल ($ < 10^{-15} \,m$) की सीमा से,और गुरुत्वाकर्षण तथा विद्युतचुंबकीय बलों की अनंत सीमा से छोटी है।
इसलिए,विकल्प $(c)$ सही है।

(C) दिया गया है: सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी,$r = 1.6 \times 10^{11} \,m$. पृथ्वी की त्रिज्या,$R_e = 6.4 \times 10^6 \,m$. पृथ्वी का द्रव्यमान,$M_e = 6.0 \times 10^{24} \,kg$.
सूर्य के चारों ओर पृथ्वी का कोणीय संवेग $(L_1)$: $L_1 = M_e v r = M_e (\frac{2 \pi r}{T_1}) r = \frac{2 \pi M_e r^2}{T_1}$.
यहाँ,$T_1 = 365 \times 24 \times 3600 \,s \approx 3.15 \times 10^7 \,s$.
$L_1 = \frac{2 \times 3.14 \times 6.0 \times 10^{24} \times (1.6 \times 10^{11})^2}{3.15 \times 10^7} \approx 3.06 \times 10^{40} \,kg \cdot m^2/s$.
अपनी धुरी पर पृथ्वी का कोणीय संवेग $(L_2)$: $L_2 = I \omega = (\frac{2}{5} M_e R_e^2) (\frac{2 \pi}{T_2})$.
यहाँ,$T_2 = 24 \times 3600 \,s = 8.64 \times 10^4 \,s$.
$L_2 = \frac{2}{5} \times 6.0 \times 10^{24} \times (6.4 \times 10^6)^2 \times \frac{2 \times 3.14}{8.64 \times 10^4} \approx 7.15 \times 10^{33} \,kg \cdot m^2/s$.
अनुपात $\frac{L_1}{L_2} = \frac{3.06 \times 10^{40}}{7.15 \times 10^{33}} \approx 4.28 \times 10^6 \approx 4.3 \times 10^6$.

(B) पृथ्वी की कुल गतिज ऊर्जा उसकी अपनी धुरी पर घूर्णन गतिज ऊर्जा और सूर्य के चारों ओर उसकी कक्षीय गति के कारण स्थानांतरण गतिज ऊर्जा का योग है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega_0^2$,जहाँ ठोस गोले के लिए $I = \frac{2}{5} M R^2$ है।
अतः,$K_{rot} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} M R^2 \omega_0^2 = \frac{1}{5} M R^2 \omega_0^2$.
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_{trans} = \frac{1}{2} M v^2$,जहाँ $v = D \omega$ है।
अतः,$K_{trans} = \frac{1}{2} M (D \omega)^2 = \frac{1}{2} M D^2 \omega^2$.
कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{5} M R^2 \omega_0^2 + \frac{1}{2} M D^2 \omega^2$.
$\frac{M R^2 \omega_0^2}{5}$ को कॉमन लेने पर,हमें प्राप्त होता है $K_{total} = \frac{M R^2 \omega_0^2}{5} \left[ 1 + \frac{5}{2} \frac{M D^2 \omega^2}{M R^2 \omega_0^2} \right] = \frac{M R^2 \omega_0^2}{5} \left[ 1 + \frac{5}{2} \left( \frac{D \omega}{R \omega_0} \right)^2 \right]$.