Mix Examples-Gravitation Questions in Hindi

(B) असत्य। गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $g(h) = g_0 (1 + h/R)^{-2}$ के अनुसार ऊँचाई $h$ बढ़ने पर घटती है।
$(b)$ सत्य। चूँकि चंद्रमा पर पलायन वेग कम है,इसलिए गैस के अणु तापीय ऊर्जा के कारण आसानी से इस वेग को प्राप्त कर अंतरिक्ष में पलायन कर जाते हैं,जिससे वहाँ वायुमंडल नहीं बन पाता है।
$(c)$ सत्य। कक्षा में घूम रहा उपग्रह पृथ्वी की ओर मुक्त रूप से गिर रहा होता है,जिसके कारण उसके अंदर की वस्तुएँ भारहीनता का अनुभव करती हैं।

(B) असत्य। पृथ्वी ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है। ध्रुवों पर त्रिज्या भूमध्य रेखा की तुलना में कम होती है। चूँकि $g = GM/R^2$,इसलिए ध्रुवों पर $g$ का मान भूमध्य रेखा की तुलना में अधिक होता है।
$(b)$ सत्य। चूँकि $F = mg$,इसलिए $g = F/m$। बल की इकाई $\text{Newton}$ $(N)$ है और द्रव्यमान की इकाई $\text{kilogram}$ $(kg)$ है,इसलिए $g$ की इकाई $N/kg$ है,जो $m/s^2$ के बराबर है।
$(c)$ असत्य। पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{2GM/R}$ है। अतः,$v_e$ ग्रह के द्रव्यमान के वर्गमूल $(\sqrt{M})$ के समानुपाती और त्रिज्या के वर्गमूल $(1/\sqrt{R})$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

(A) स्थितिज ऊर्जा $U(r) = -\frac{C}{r}$ द्वारा दी गई है।
बल $F$ स्थितिज ऊर्जा का ऋणात्मक अवकलन है: $F = -\frac{dU}{dr} = -\frac{d}{dr}\left(-\frac{C}{r}\right) = -\frac{C}{r^2}$.
वृत्ताकार कक्षा में गति करने वाले कण के लिए,अभिकेंद्र बल का परिमाण केंद्रीय बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $|F| = \frac{mv^2}{r}$.
परिमाणों की तुलना करने पर: $\frac{C}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$.
इसे सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{C}{r} = mv^2$,जिसका अर्थ है $r = \frac{C}{mv^2}$.
अतः,$r \propto \frac{1}{v^2}$.
यह संबंध एक ऐसा वक्र दर्शाता है जहाँ $v$ के बढ़ने पर $r$ तेजी से घटता है,जो विकल्प $A$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(A) मान लीजिए कि चार कण $R$ त्रिज्या के वृत्त में अंकित एक वर्ग के कोनों पर स्थित हैं। किसी एक कण के लिए,अन्य तीन कणों द्वारा लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल इस प्रकार हैं:
$1$. व्यास के विपरीत स्थित कण द्वारा बल $F_1 = \frac{G m^2}{(2R)^2} = \frac{G m^2}{4R^2}$.
$2$. आसन्न दो कणों द्वारा बल $F_2 = F_3 = \frac{G m^2}{(\sqrt{2}R)^2} = \frac{G m^2}{2R^2}$.
केंद्र की ओर कार्य करने वाला कुल गुरुत्वाकर्षण बल $F_{\text{net}}$ इन बलों के त्रिज्यीय घटकों का योग है:
$F_{\text{net}} = F_1 + F_2 \cos 45^{\circ} + F_3 \cos 45^{\circ}$
$F_{\text{net}} = \frac{G m^2}{4R^2} + \frac{G m^2}{2R^2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \frac{G m^2}{2R^2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$F_{\text{net}} = \frac{G m^2}{R^2} \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{G m^2}{4R^2} (1 + 2\sqrt{2})$.
यह कुल बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $F_{\text{net}} = \frac{m v^2}{R}$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{m v^2}{R} = \frac{G m^2}{4R^2} (1 + 2\sqrt{2})$.
$v^2 = \frac{G m}{4R} (1 + 2\sqrt{2})$.
$m = 1 \, kg$ और $R = 1 \, m$ रखने पर,$v^2 = \frac{G}{4} (1 + 2\sqrt{2})$.
$v = \sqrt{\frac{G}{4} (1 + 2\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{G(1+2\sqrt{2})}}{2}$.

(C) माना ठोस गोले का प्रारंभिक द्रव्यमान $M$ है। गोले का घनत्व $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ है।
केंद्र से $3R$ की दूरी पर $m$ द्रव्यमान के कण पर लगने वाला बल $F_{1}$ है:
$F_{1} = \frac{GMm}{(3R)^2} = \frac{GMm}{9R^2}$.
जब $r = \frac{R}{2}$ त्रिज्या की गोलाकार गुहा बनाई जाती है,तो हटाए गए भाग का द्रव्यमान $M' = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi (\frac{R}{2})^3 = M \cdot (\frac{1}{2})^3 = \frac{M}{8}$ होता है।
गुहा का केंद्र गोले के केंद्र से $\frac{R}{2}$ की दूरी पर है। कण गोले के केंद्र से $3R$ की दूरी पर है,इसलिए यह गुहा के केंद्र से $3R - \frac{R}{2} = \frac{5R}{2}$ की दूरी पर है।
नया बल $F_{2}$,मूल गोले के कारण बल और हटाए गए भाग के कारण बल का अंतर है:
$F_{2} = \frac{GMm}{(3R)^2} - \frac{G(M/8)m}{(5R/2)^2} = \frac{GMm}{9R^2} - \frac{GMm}{8 \cdot \frac{25R^2}{4}} = \frac{GMm}{R^2} (\frac{1}{9} - \frac{1}{50})$.
$F_{2} = \frac{GMm}{R^2} (\frac{50 - 9}{450}) = \frac{41}{450} \frac{GMm}{R^2}$.
अतः,अनुपात $F_{1} : F_{2}$ है:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{GMm/9R^2}{41GMm/450R^2} = \frac{1}{9} \cdot \frac{450}{41} = \frac{50}{41}$.
इस प्रकार,अनुपात $50:41$ है।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर $m$ द्रव्यमान के कण पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = -\frac{GMmr}{R^3}$ द्वारा दिया जाता है।
सुरंग में,इस बल का सुरंग के अनुदिश घटक $F_t = F \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ स्थिति सदिश $r$ और सुरंग के लंबवत दिशा के बीच का कोण है।
सुरंग की ज्यामिति से,केंद्र से लंबवत दूरी $d = R/2$ है। यदि $x$ जीवा के मध्य बिंदु से कण का विस्थापन है,तो $r \cos \theta = x$ होता है।
अतः,प्रत्यानयन बल $F_t = -\left(\frac{GMm}{R^3}\right) r \cos \theta = -\left(\frac{GMm}{R^3}\right) x$ है।
चूंकि $g = \frac{GM}{R^2}$,हम $F_t = -\left(\frac{mg}{R}\right) x$ लिख सकते हैं।
त्वरण $a = \frac{F_t}{m} = -\left(\frac{g}{R}\right) x$ है।
यह सरल आवर्त गति का समीकरण $a = -\omega^2 x$ है,जहाँ $\omega^2 = \frac{g}{R}$ है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ प्राप्त होता है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक समान गोलीय कोश के लिए,भीतर किसी भी बिंदु पर $(r < R)$ गुरुत्वीय क्षेत्र $E = 0$ होता है।
चूंकि गुरुत्वीय क्षेत्र $E = -dV/dr$ होता है,यदि $E = 0$ है,तो विभव $V$ पूरे आंतरिक भाग में स्थिर रहना चाहिए।
इस स्थिर विभव का मान $V = -GM/R$ होता है,जो शून्य नहीं है।
इसलिए,कथन $(a), (c)$ और $(d)$ सही हैं,जबकि $(b)$ गलत है।
अतः,सही विकल्प केवल $(a), (c)$ और $(d)$ है।

(A) $M$ द्रव्यमान वाले एक कण पर विचार करें। अन्य तीन कणों के कारण उस पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल हैं:
$1$. दो बल $F = \frac{GM^2}{(\sqrt{2}R)^2}$ जो वर्ग की भुजाओं के अनुदिश ($90^\circ$ के कोण पर) कार्य करते हैं।
$2$. एक बल $F_1 = \frac{GM^2}{(2R)^2}$ जो विकर्ण के अनुदिश कार्य करता है।
वृत्त के केंद्र की ओर लगने वाला कुल गुरुत्वाकर्षण बल है:
$F_{\text{net}} = \sqrt{F^2 + F^2} + F_1 = \sqrt{2}F + F_1$
$F_{\text{net}} = \sqrt{2} \left( \frac{GM^2}{2R^2} \right) + \frac{GM^2}{4R^2} = \frac{GM^2}{R^2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} \right) = \frac{GM^2}{R^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$
यह कुल बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$F_{\text{net}} = \frac{MV^2}{R}$
$\frac{MV^2}{R} = \frac{GM^2}{R^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$
$V^2 = \frac{GM}{R} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$
$V = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{GM}{R}(2\sqrt{2} + 1)}$

(D) यात्री का वजन $W = mg_{eff}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g_{eff}$ अंतरिक्ष यान में व्यक्ति द्वारा अनुभव किया जाने वाला प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण है।
जैसे-जैसे अंतरिक्ष यान पृथ्वी से मंगल की ओर बढ़ता है,यह एक तटस्थ बिंदु से गुजरता है जहाँ पृथ्वी और मंगल का गुरुत्वाकर्षण खिंचाव एक-दूसरे को रद्द कर देता है,जिससे प्रभावी गुरुत्वाकर्षण $g_{eff} = 0$ हो जाता है।
इस तटस्थ बिंदु पर,यात्री का वजन $W = 100\, {kg} \times 0\, {m/s^2} = 0\, {N}$ हो जाता है।
दिए गए वक्रों को देखने पर,केवल वक्र $(d)$ ही पृथ्वी और मंगल के बीच किसी बिंदु पर समय अक्ष (जहाँ वजन $0\, {N}$ है) को स्पर्श करता है।
इसलिए,वक्र $(d)$ समय के फलन के रूप में यात्री के वजन का सही निरूपण है।

(B) $m = 1 \, kg$ द्रव्यमान वाले दो कणों के बीच की दूरी $d = 2R$ है।
उनके बीच का गुरुत्वाकर्षण बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m^2}{(2R)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ त्रिज्या के वृत्त में $\omega$ कोणीय गति से गति करने वाले $m$ द्रव्यमान के कण के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल $F_c = m R \omega^2$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{G m^2}{4 R^2} = m R \omega^2$.
$\omega^2$ के लिए सरल करने पर: $\omega^2 = \frac{G m}{4 R^3}$.
चूंकि $m = 1 \, kg$ दिया गया है,हमें $\omega^2 = \frac{G}{4 R^3}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$\omega = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{G}{R^3}}$ प्राप्त होता है।

(A) $1$. गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$: $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ से,$G = \frac{F r^2}{m_1 m_2}$। विमीय सूत्र $[MLT^{-2}][L^2] / [M^2] = [M^{-1}L^3T^{-2}]$ होता है। अतः,$(a)-(ii)$।
$2$. गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $(U)$: $U = -\frac{G M m}{r}$। विमीय सूत्र $[MLT^{-2}][L] = [ML^2T^{-2}]$ होता है। अतः,$(b)-(iv)$।
$3$. गुरुत्वीय विभव $(V)$: $V = \frac{U}{m}$। विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}] / [M] = [L^2T^{-2}]$ होता है। अतः,$(c)-(i)$।
$4$. गुरुत्वीय तीव्रता $(E)$: $E = \frac{F}{m}$। विमीय सूत्र $[MLT^{-2}] / [M] = [LT^{-2}]$ होता है। अतः,$(d)-(iii)$।
अतः,सही मिलान $(a)-(ii), (b)-(iv), (c)-(i), (d)-(iii)$ है।

(B) माना प्रत्येक कण का द्रव्यमान $M = 100 \, kg$ है। दूरी $AB = BC = r = 13 \, m$ है। कण $P$,$AC$ के लंब समद्विभाजक पर $B$ से $r = 13 \, m$ की दूरी पर है।
$P$ की $B$ से दूरी $r_B = 13 \, m$ है।
$P$ की $A$ और $C$ से दूरी $r_A = r_C = \sqrt{13^2 + 13^2} = 13\sqrt{2} \, m$ है।
$B$ द्वारा $P$ पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_B = \frac{GM^2}{r^2}$ है जो $B$ की ओर कार्य करता है।
$A$ और $C$ द्वारा $P$ पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_A = F_C = \frac{GM^2}{(13\sqrt{2})^2} = \frac{GM^2}{2r^2}$ है।
$F_A$ और $F_C$ के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। ऊर्ध्वाधर घटक जुड़ जाते हैं:
$F_{net} = F_B + 2 \times F_A \cos(\theta)$,जहाँ $\cos(\theta) = \frac{13}{13\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$F_{net} = \frac{GM^2}{r^2} + 2 \times \frac{GM^2}{2r^2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{GM^2}{r^2} (1 + \frac{1}{\sqrt{2}})$.
$M = 100 \, kg$ और $r = 13 \, m$ रखने पर:
$F_{net} = \frac{G \times 100^2}{13^2} (1 + 0.707) \approx 100 G$.

(D) समान सतह द्रव्यमान घनत्व $\sigma$ वाली एक अत्यंत पतली डिस्क के लिए,अक्ष पर केंद्र से $z$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g = 2\pi G \sigma \left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $z \ll R$,हम द्विपद विस्तार का उपयोग करते हैं: $\frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} = \frac{z}{R(1 + z^2/R^2)^{1/2}} \approx \frac{z}{R}(1 - \frac{z^2}{2R^2}) \approx \frac{z}{R}$.
अतः,$g \approx 2\pi G \sigma (1 - \frac{z}{R}) \approx 2\pi G \sigma$.
इसका अर्थ है कि छोटे $z$ के लिए,गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र लगभग स्थिर है,$g = g_0 = 2\pi G \sigma$.
$z$ ऊँचाई पर एक तारे के लिए गति का समीकरण $\ddot{z} = -g_0 \text{sgn}(z)$ है।
यह डिस्क की ओर स्थिर त्वरण के साथ गति को दर्शाता है। $z_0$ से $0$ तक यात्रा करने में लगा समय $t = \sqrt{2z_0/g_0}$ है।
एक पूर्ण दोलन ( $z_0$ से $-z_0$ और वापस) के लिए कुल आवर्तकाल $T = 4t = 4\sqrt{\frac{2z_0}{g_0}}$ है।
इसलिए,$T \propto \sqrt{z_0}$.
आवर्तकालों का अनुपात $\frac{T_A}{T_B} = \sqrt{\frac{2z_0}{z_0}} = \sqrt{2} = 2^{1/2}$ है।

(A) $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाले एक गोलाकार कवच के लिए,परत का भार परत के आर-पार दबाव के अंतर द्वारा संतुलित होता है।
$\therefore$ भार $= \{p - (p + dp)\} 4 \pi r^{2} = -dp \cdot 4 \pi r^{2}$
साथ ही,भार $= (dm)g = (\rho \cdot 4 \pi r^{2} dr) \cdot \frac{GM(r)}{r^{2}}$,जहाँ $M(r) = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3}$ है।
अतः,$-dp \cdot 4 \pi r^{2} = \rho \cdot 4 \pi r^{2} dr \cdot \frac{G \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3}}{r^{2}}$
$-dp = \frac{4}{3} \pi G \rho^{2} r dr$
$r=0$ से $R$ तक समाकलन करने पर,जहाँ $p(R)=0$ और $p(0)=P_{center}$ है:
$P_{center} = \int_{0}^{R} \frac{4}{3} \pi G \rho^{2} r dr = \frac{2}{3} \pi G \rho^{2} R^{2}$
चूंकि $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^{3}}$,इसलिए $\rho^{2} = \frac{M^{2}}{\frac{16}{9} \pi^{2} R^{6}}$ प्राप्त होता है।
दबाव के व्यंजक में $\rho^{2}$ का मान रखने पर:
$P \propto \frac{M^{2}}{R^{6}} \cdot R^{2} = \frac{M^{2}}{R^{4}}$
अतः,औसत गुरुत्वाकर्षण दबाव $P_{av} \propto \frac{1}{R^{4}}$ है।

(D) प्रारंभ में,पृथ्वी के सापेक्ष अंतरिक्ष यान का वेग $\vec{v}_{SE, i} = u \hat{i}$ है।
पृथ्वी के सापेक्ष ग्रह का वेग $\vec{v}_{PE} = -3u \hat{i}$ है।
इसलिए,ग्रह के सापेक्ष अंतरिक्ष यान का प्रारंभिक वेग $\vec{v}_{SP, i} = \vec{v}_{SE, i} - \vec{v}_{PE} = u \hat{i} - (-3u \hat{i}) = 4u \hat{i}$ होगा।
चूंकि ग्रह बहुत अधिक विशाल है,इसलिए अंतरिक्ष यान ग्रह के संदर्भ फ्रेम में एक प्रत्यास्थ टक्कर का अनुभव करता है। वेग का परिमाण समान रहता है,लेकिन दिशा उलट जाती है। इस प्रकार,ग्रह के सापेक्ष अंतरिक्ष यान का अंतिम वेग $\vec{v}_{SP, f} = -4u \hat{i}$ होगा।
अंत में,पृथ्वी के सापेक्ष अंतरिक्ष यान का वेग $\vec{v}_{SE, f} = \vec{v}_{SP, f} + \vec{v}_{PE} = -4u \hat{i} + (-3u \hat{i}) = -7u \hat{i}$ होगा।
पृथ्वी के सापेक्ष अंतरिक्ष यान की गति $|\vec{v}_{SE, f}| = |-7u| = 7u$ होगी।

(D) तारे की सतह से उत्सर्जित विकिरण की तीव्रता उसके प्रक्षेपित क्षेत्रफल के समानुपाती होती है।
मान लीजिए $I \propto A$,जहाँ $A$ तारे की डिस्क का क्षेत्रफल है।
यदि $I_0$ मूल तारे की तीव्रता है,तो $I_0 = k \pi (100 R)^2 = k \pi R^2 \times 10000$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
जब एक्सोप्लैनेट तारे के सामने होता है,तो देखी गई तीव्रता न्यूनतम $(I_{\min })$ होती है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि एक्सोप्लैनेट अपने स्वयं के अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $\pi R^2$ के बराबर तारे की डिस्क के हिस्से को अवरुद्ध कर देता है।
अतः,$I_{\min } = k [\pi (100 R)^2 - \pi R^2]$
$I_{\min } = k \pi R^2 (10000 - 1) = k \pi R^2 \times 9999$
न्यूनतम तीव्रता और मूल तीव्रता का अनुपात लेने पर:
$\frac{I_{\min }}{I_0} = \frac{k \pi R^2 \times 9999}{k \pi R^2 \times 10000} = \frac{9999}{10000} = 0.9999$
इसलिए,$I_{\min } = 0.9999 \,I_0$.

(A) सूर्य के चारों ओर दीर्घवृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा करने वाले ग्रह के लिए,कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ को $E = K + U$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि ग्रह सूर्य से बंधा हुआ है,इसलिए कुल ऊर्जा $E$ ऋणात्मक होती है $(E < 0)$।
गुरुत्वाकर्षण विभव $V \propto r^{-1}$ के लिए विरियल प्रमेय के अनुसार,औसत गतिज ऊर्जा $\langle K \rangle$ और औसत स्थितिज ऊर्जा $\langle U \rangle$ के बीच संबंध $\langle K \rangle = -\frac{1}{2} \langle U \rangle$ है।
विशेष रूप से,कक्षा के किसी भी बिंदु पर,स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ है और गतिज ऊर्जा $K = \frac{GMm}{2r} + \text{कक्षा पर निर्भर अचर पद}$ है।
सरल शब्दों में,एक बद्ध कक्षा के लिए,कुल ऊर्जा $E = K + U < 0$,जिसका अर्थ है $K + U < 0$,या $K < -U$। चूंकि $U$ ऋणात्मक है,इसलिए $-U = |U|$।
अतः,एक बद्ध दीर्घवृत्ताकार कक्षा के लिए $K < |U|$ हमेशा सत्य है।

(B) कथन $(i)$ सही है: पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है,जो वस्तु के द्रव्यमान $m$ पर निर्भर नहीं करता है।
कथन $(ii)$ सही है: यदि उपग्रह की कुल ऊर्जा ऋणात्मक है तो वह पृथ्वी से बंधा रहता है। यदि कुल ऊर्जा धनात्मक (या शून्य) हो जाती है,तो उपग्रह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकल जाता है।
कथन $(iii)$ सही है: भूस्थिर कक्षा को पार्किंग कक्षा कहा जाता है क्योंकि इस कक्षा में स्थित उपग्रह पृथ्वी की सतह के सापेक्ष स्थिर दिखाई देता है,जैसे कि वह किसी विशिष्ट स्थान पर 'पार्क' किया गया हो।
अतः,तीनों कथन सही हैं। सही विकल्प $(b)$ है।

(D) सही विकल्प $(d)$ है।
$1$. जब कण पृथ्वी के बाहर होता है (केंद्र से $r > R$ दूरी पर),तो उस पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{GMm}{r^2}$ होता है,जो $\frac{1}{r^2}$ के समानुपाती है।
$2$. जब कण सुरंग के अंदर होता है (केंद्र से $r < R$ दूरी पर),तो उस पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{GMmr}{R^3}$ होता है,जो $r$ के समानुपाती है।
$3$. दोनों ही स्थितियों में,बल हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। चूंकि कण को सतह से $R$ ऊँचाई से गिराया जाता है,इसलिए यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के कारण यह सुरंग में गिरेगा,केंद्र से गुजरेगा और दूसरी तरफ $R$ ऊँचाई तक पहुँचेगा।
$4$. यह गति पुनरावर्ती और परिबद्ध है,जिससे यह आवर्ती और दोलनी हो जाती है। हालाँकि,चूंकि बल पूरे पथ के दौरान संतुलन स्थिति से विस्थापन के समानुपाती नहीं है (यह $\propto \frac{1}{r^2}$ से बदलकर $\propto r$ हो जाता है),इसलिए यह गति सरल आवर्त गति $(SHM)$ नहीं है।
अतः,कथन $(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(B) गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा ग्रह पर किया गया कार्य कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार दिया जाता है: $W = \Delta K = K_f - K_i$।
पेरिहेलियन $(P)$ पर,ग्रह सूर्य के सबसे निकट होता है और उसकी गति $(v_P)$ अधिकतम होती है।
एफेलियन $(A)$ पर,ग्रह सूर्य से सबसे दूर होता है और उसकी गति $(v_A)$ न्यूनतम होती है।
चूंकि ग्रह पेरिहेलियन से एफेलियन की ओर गति करता है,इसलिए अंतिम स्थिति एफेलियन है और प्रारंभिक स्थिति पेरिहेलियन है।
अतः,$W = \frac{1}{2} m (v_A^2 - v_P^2)$।
चूंकि $v_A < v_P$ है,इसलिए $v_A^2 - v_P^2 < 0$ होता है।
इस प्रकार,गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है।

(D) पृथ्वी (द्रव्यमान $M_e$,त्रिज्या $R_e$) की सतह से $h$ ऊँचाई पर परिक्रमा कर रहे $m_s$ द्रव्यमान के उपग्रह के लिए:
$1$. स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का सूत्र $P.E. = -\frac{G M_e m_s}{R_e + h}$ है। जैसे-जैसे $h$ बढ़ता है,हर (denominator) बढ़ता है,जिससे मान कम ऋणात्मक हो जाता है,जिसका अर्थ है कि $P.E.$ बढ़ती है।
$2$. गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{G M_e m_s}{2(R_e + h)}$ है। जैसे-जैसे $h$ बढ़ता है,हर बढ़ता है,इसलिए $K.E.$ घटती है।
$3$. कुल ऊर्जा $(T.E.)$ का सूत्र $T.E. = P.E. + K.E. = -\frac{G M_e m_s}{2(R_e + h)}$ है। जैसे-जैसे $h$ बढ़ता है,मान कम ऋणात्मक हो जाता है,जिसका अर्थ है कि $T.E.$ बढ़ती है।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं। सही विकल्प $D$ है।

(B) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,चूंकि पृथ्वी पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए कोणीय संवेग $L = I\omega$ स्थिर रहता है।
प्रारंभ में,जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{2}{5}MR^2$ है और कोणीय वेग $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}$ है,जहाँ $T_1 = 24 \text{ घंटे}$ है।
अंत में,त्रिज्या $R' = nR$ हो जाती है,इसलिए नया जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{2}{5}M(nR)^2 = n^2 I_1$ होगा।
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$ का उपयोग करने पर:
$I_1 \times \frac{2\pi}{24} = (n^2 I_1) \times \frac{2\pi}{T_2}$
दोनों पक्षों से $I_1$ और $2\pi$ को हटाने पर:
$\frac{1}{24} = \frac{n^2}{T_2}$
$T_2$ के लिए हल करने पर:
$T_2 = 24 n^2 \text{ घंटे}$।
अतः,दिन की अवधि $24 n^2$ घंटे हो जाएगी।

(C) पृथ्वी के केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के कण पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = -\frac{G M m x}{R^3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $F = ma$,इसलिए $a = -\frac{G M}{R^3} x$ है।
यह सरल आवर्त गति का समीकरण $(a = -\omega^2 x)$ है,जहाँ $\omega^2 = \frac{G M}{R^3}$ है।
हम जानते हैं कि $g = \frac{G M}{R^2}$,इसलिए $\frac{G M}{R^3} = \frac{g}{R}$ होता है।
अतः,$\omega^2 = \frac{g}{R}$,जिसका अर्थ है कि $\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$ है।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ प्राप्त होता है।

(A) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,सूर्य और ग्रह के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{GMm}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. कथन $A$ सही है क्योंकि $F \propto \frac{1}{r^2}$।
$2$. कथन $B$ गलत है क्योंकि बल द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती होता है $(F \propto Mm)$,न कि व्युत्क्रमानुपाती।
$3$. कथन $C$ गलत है क्योंकि अभिकेंद्री बल (गुरुत्वाकर्षण बल) सूर्य की ओर निर्देशित होता है,न कि सूर्य से दूर।
$4$. कथन $D$ सही है क्योंकि यह केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम को दर्शाता है,जिसके अनुसार $T^2 \propto a^3$,जहाँ $T$ आवर्तकाल है और $a$ अर्ध-दीर्घ अक्ष है।
अतः,कथन $A$ और $D$ सही हैं।

(B) कोणीय गति $\omega$ को सूत्र $\omega = \frac{2\pi}{T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ परिक्रमण काल है।
इसका अर्थ है कि $\omega \propto \frac{1}{T}$।
पृथ्वी के चारों ओर घूमने वाले चंद्रमा का परिक्रमण काल $T_{\text{moon}} \approx 27.3 \text{ दिन}$ है।
सूर्य के चारों ओर घूमने वाली पृथ्वी का परिक्रमण काल $T_{\text{earth}} \approx 365.25 \text{ दिन}$ है।
चूंकि $T_{\text{moon}} < T_{\text{earth}}$,इसलिए $\omega_{\text{moon}} > \omega_{\text{earth}}$ होता है।
अतः,अभिकथन $(A)$ और कारण $(R)$ दोनों सही हैं,और कारण $(R)$ सही व्याख्या करता है कि चंद्रमा की कोणीय गति अधिक क्यों है।

(A) सूर्य ($M$ द्रव्यमान) के चारों ओर $a$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूमते हुए ग्रह के लिए:
$1$. गतिज ऊर्जा $(KE)$: कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{a}}$ है। अतः,$KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2a}$। यह $(2)$ से मेल खाता है।
$2$. गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $(PE)$: निकाय की स्थितिज ऊर्जा $PE = -\frac{GMm}{a}$ है। यह $(1)$ से मेल खाता है।
$3$. कुल यांत्रिक ऊर्जा $(TE)$: $TE = KE + PE = \frac{GMm}{2a} - \frac{GMm}{a} = -\frac{GMm}{2a}$। यह $(4)$ से मेल खाता है।
$4$. ग्रह की सतह पर पलायन ऊर्जा: सतह पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर ऊर्जा आवश्यक है,जो $\frac{GM_p m}{r}$ है। इकाई द्रव्यमान वस्तु के लिए $(m=1)$,यह $\frac{GM_p}{r}$ है। यह $(3)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(A) - II, (B) - I, (C) - IV, (D) - III$ है।

(C) वृत्ताकार कक्षा में घूमते हुए ग्रह के लिए,कोणीय संवेग $L = mvr = m(r\omega)r = mr^2\left(\frac{2\pi}{T}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\frac{L}{m} = \frac{2\pi r^2}{T}$,जिसका अर्थ है $\frac{T}{r^2} = \frac{2\pi m}{L}$.
ग्रह $A$ के लिए: $\frac{T_A}{r_1^2} = \frac{2\pi m_1}{L}$.
ग्रह $B$ के लिए: $\frac{T_B}{r_2^2} = \frac{2\pi m_2}{3L}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T_A}{T_B} \cdot \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 = \frac{m_1}{m_2} \cdot 3 \implies \frac{T_A}{T_B} = 3 \left(\frac{m_1}{m_2}\right) \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$.
केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,$T^2 \propto r^3$,इसलिए $\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^2 = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$,जिसका अर्थ है $\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^{4/3}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{T_A}{T_B} = 3 \left(\frac{m_1}{m_2}\right) \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^{4/3}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^{-1/3} = 3 \frac{m_1}{m_2} \implies \frac{T_A}{T_B} = \left(3 \frac{m_1}{m_2}\right)^{-3} = \frac{1}{27} \left(\frac{m_2}{m_1}\right)^3$.

(C) वृत्तातीय गति में एक परीक्षण द्रव्यमान के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $\frac{G M(r) m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$,जो सरल होकर $v = \sqrt{\frac{G M(r)}{r}}$ हो जाता है।
स्थिति $1$: $r \leq R$
त्रिज्या $r$ के भीतर निहित द्रव्यमान $M(r) = \rho_0 \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$ है। इसे गति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{\frac{G (\rho_0 \cdot \frac{4}{3} \pi r^3)}{r}} = \sqrt{\frac{4}{3} \pi G \rho_0} \cdot r$. अतः,$v \propto r$.
स्थिति $2$: $r > R$
प्रणाली का कुल द्रव्यमान $M = \rho_0 \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ है। $r > R$ के लिए निहित द्रव्यमान स्थिर $M$ रहता है। इसे गति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$. अतः,$v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
इन परिणामों की तुलना करने पर,ग्राफ $r \leq R$ के लिए रैखिक वृद्धि और $r > R$ के लिए $1/\sqrt{r}$ के अनुपात में घटता हुआ वक्र दिखाता है,जो विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(C) अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर घूमने वाली बाइनरी तारा प्रणाली में,दोनों तारों का कोणीय वेग $\omega$ समान होता है।
द्रव्यमान केंद्र से तारे $A$ की दूरी $r_A$ है और तारे $B$ की दूरी $r_B$ है।
द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा के अनुसार,$M_A r_A = M_B r_B$,जिसका अर्थ है $r_A / r_B = M_B / M_A$।
द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष एक कण का कोणीय संवेग $L = mvr = mr^2\omega$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रकार,तारे $A$ का कोणीय संवेग $L_A = M_A r_A^2 \omega$ है और तारे $B$ के लिए $L_B = M_B r_B^2 \omega$ है।
कोणीय संवेग का अनुपात $L_A / L_B = (M_A r_A^2) / (M_B r_B^2) = (M_A r_A) r_A / (M_B r_B) r_B$ है।
चूंकि $M_A r_A = M_B r_B$,अनुपात सरल होकर $L_A / L_B = r_A / r_B = M_B / M_A$ हो जाता है।
दिया गया है कि $M_A = 2.2 M_S$ और $M_B = 11 M_S$,इसलिए अनुपात $L_A / L_B = 11 / 2.2 = 5$ है।

(D) मान लीजिए कि $r$ त्रिज्या के गोले के भीतर निहित कुल द्रव्यमान $M$ है।
$r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूमने वाले $m$ द्रव्यमान के कण के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $mv^2 = 2K$ होगा। इसे बल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{GMm}{r^2} = \frac{2K}{r} \Rightarrow M = \frac{2Kr}{Gm}$
$dr$ मोटाई के खोल (shell) में द्रव्यमान $dM$ ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$dM = \frac{2K}{Gm} dr$
साथ ही,खोल का द्रव्यमान $dM = \rho(r) \cdot 4 \pi r^2 dr$ है। $dM$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$4 \pi r^2 \rho(r) dr = \frac{2K}{Gm} dr$
घनत्व $\rho(r)$ के लिए हल करने पर:
$\rho(r) = \frac{2K}{4 \pi r^2 Gm} = \frac{K}{2 \pi r^2 Gm}$
कण संख्या घनत्व $n(r) = \rho(r) / m$ द्वारा प्राप्त होता है:
$n(r) = \frac{K}{2 \pi r^2 m^2 G}$

(A) चूंकि दोनों बिंदु द्रव्यमान एक कठोर द्रव्यमानहीन छड़ से जुड़े हैं,इसलिए उनका त्वरण $a$ बड़े द्रव्यमान $M$ की ओर समान होना चाहिए।
मान लीजिए $F_1$ बड़े द्रव्यमान $M$ के कारण निकटतम द्रव्यमान $m$ पर गुरुत्वाकर्षण बल है,और $F_2$ दूरस्थ द्रव्यमान $m$ पर गुरुत्वाकर्षण बल है।
मान लीजिए $F$ छड़ में तनाव है। चूंकि तनाव शून्य है,$F = 0$.
निकटतम द्रव्यमान $m$ के लिए:
$F_1 - F_g = ma \implies \frac{GMm}{(3\ell)^2} - \frac{Gm^2}{\ell^2} = ma \quad (i)$
दूरस्थ द्रव्यमान $m$ के लिए:
$F_2 + F_g = ma \implies \frac{GMm}{(4\ell)^2} + \frac{Gm^2}{\ell^2} = ma \quad (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$F_1 - F_g = F_2 + F_g \implies F_1 - F_2 = 2F_g$
$\frac{GMm}{9\ell^2} - \frac{GMm}{16\ell^2} = 2 \left( \frac{Gm^2}{\ell^2} \right)$
$GMm \left( \frac{16 - 9}{144\ell^2} \right) = \frac{2Gm^2}{\ell^2}$
$\frac{7GMm}{144} = 2Gm^2 \implies \frac{7M}{144} = 2m \implies m = \frac{7M}{288}$
$m = k\left(\frac{M}{288}\right)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 7$ प्राप्त होता है।

(B) अपने स्वयं के गुरुत्वाकर्षण के तहत संतुलन में अचर घनत्व $\rho$ के एक तरल गोले के लिए,केंद्र से $r$ दूरी पर दबाव $P(r)$ हाइड्रोस्टेटिक संतुलन समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\frac{dP}{dr} = -\rho g(r)$.
$r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g(r) = \frac{G M(r)}{r^2} = \frac{G (\frac{4}{3}\pi r^3 \rho)}{r^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho r$ है।
इसे संतुलन समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dP}{dr} = -\frac{4}{3}\pi G \rho^2 r$.
$r$ से $R$ तक समाकलन करने पर (जहाँ $P(R) = 0$): $\int_{P(r)}^{0} dP = -\int_{r}^{R} \frac{4}{3}\pi G \rho^2 r dr$.
$0 - P(r) = -\frac{4}{3}\pi G \rho^2 [\frac{r^2}{2}]_r^R = -\frac{2}{3}\pi G \rho^2 (R^2 - r^2)$.
अतः,$P(r) = \frac{2}{3}\pi G \rho^2 R^2 (1 - \frac{r^2}{R^2}) = P_c (1 - \frac{r^2}{R^2})$.
अनुपातों की जाँच करने पर:
$(B) \frac{P(3R/4)}{P(2R/3)} = \frac{1 - (3/4)^2}{1 - (2/3)^2} = \frac{1 - 9/16}{1 - 4/9} = \frac{7/16}{5/9} = \frac{63}{80}$. (सही)
$(C) \frac{P(3R/5)}{P(2R/5)} = \frac{1 - 9/25}{1 - 4/25} = \frac{16/25}{21/25} = \frac{16}{21}$. (सही)
$(D) \frac{P(R/2)}{P(R/3)} = \frac{1 - 1/4}{1 - 1/9} = \frac{3/4}{8/9} = \frac{27}{32} \neq \frac{20}{27}$. (गलत)
इसलिए,सही विकल्प $(B)$ और $(C)$ हैं।

(C) पूर्ण गोले के कारण द्रव्यमान $m$ पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल इस प्रकार है:
$F_1 = \frac{GMm}{(2R)^2} = \frac{GMm}{4R^2} \quad ...(1)$
जब $r = R/3$ त्रिज्या का एक गोलाकार भाग हटा दिया जाता है,तो उसका द्रव्यमान $M'$ गोले के घनत्व $\rho$ पर विचार करके निकाला जाता है:
$M' = \rho \cdot V' = \left( \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} \right) \cdot \left( \frac{4}{3}\pi (R/3)^3 \right) = \frac{M}{27}$
हटाए गए गोले का केंद्र मुख्य केंद्र $O$ से $d = R - R/3 = 2R/3$ की दूरी पर है। इस केंद्र से बिंदु द्रव्यमान $m$ की दूरी $2R - 2R/3 = 4R/3$ है।
शेष भाग द्वारा लगाया गया बल $F_2$ मूल बल में से हटाए गए भाग द्वारा लगाए गए बल को घटाने पर प्राप्त होता है:
$F_2 = F_1 - F_{\text{removed}} = \frac{GMm}{4R^2} - \frac{G(M/27)m}{(4R/3)^2}$
$F_2 = \frac{GMm}{4R^2} - \frac{GMm}{27 \cdot (16R^2/9)} = \frac{GMm}{4R^2} - \frac{GMm}{48R^2}$
$F_2 = \frac{GMm}{R^2} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{48} \right) = \frac{GMm}{R^2} \left( \frac{12-1}{48} \right) = \frac{11}{48} \frac{GMm}{R^2}$
अब,अनुपात $F_1 : F_2$ इस प्रकार है:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{GMm / 4R^2}{11GMm / 48R^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{48}{11} = \frac{12}{11}$
अतः,$F_1 : F_2 = 12 : 11$.

(A) गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G = \frac{Fr^2}{m^2}$। विमीय सूत्र $[G] = \frac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M^2]} = [M^{-1} L^3 T^{-2}] \ (IV)$ है।
$(B)$ गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = mgh$। विमीय सूत्र $[U] = [M][LT^{-2}][L] = [ML^2 T^{-2}] \ (III)$ है।
$(C)$ गुरुत्वीय विभव $V = \frac{GM}{r}$। विमीय सूत्र $[V] = \frac{[M^{-1} L^3 T^{-2}][M]}{[L]} = [L^2 T^{-2}] \ (II)$ है।
$(D)$ गुरुत्वीय त्वरण $g$। विमीय सूत्र $[g] = [LT^{-2}] \ (I)$ है।
अतः,सही मिलान $A-IV, B-III, C-II, D-I$ है।

(A) गोलों के टकराने में लगा समय गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में किसी पिंड की कक्षीय अवधि के समानुपाती होता है,जो केप्लर के तीसरे नियम का पालन करता है: $T^2 \propto \frac{a^3}{M}$.
यहाँ,$a$ त्रिभुज की भुजा की लंबाई है और $M$ गोलों का द्रव्यमान है।
प्रारंभिक स्थिति: $T_1 = 4 \text{ s}$,$a_1 = a$,और $M_1 = m$.
दूसरी स्थिति के लिए: $a_2 = 2a$ और $M_2 = 2m$.
समानुपातिकता $T \propto \sqrt{\frac{a^3}{M}}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{a_2^3}{M_2} \cdot \frac{M_1}{a_1^3}}$
$\frac{T_2}{4} = \sqrt{\frac{(2a)^3}{2m} \cdot \frac{m}{a^3}}$
$\frac{T_2}{4} = \sqrt{\frac{8a^3}{2m} \cdot \frac{m}{a^3}}$
$\frac{T_2}{4} = \sqrt{4} = 2$
$T_2 = 4 \times 2 = 8 \text{ s}$.

(D) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर $m$ द्रव्यमान के कण पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = -\frac{GMmr}{R^3}$ द्वारा दिया जाता है।
सुरंग के अनुदिश,इस बल का केवल वह घटक जो सुरंग के केंद्र (साम्यावस्था) की ओर निर्देशित है,प्रत्यानयन बल के रूप में कार्य करता है।
मान लीजिए $x$ सुरंग के केंद्र से कण का विस्थापन है। पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = \sqrt{x^2 + (R/2)^2}$ है।
सुरंग के अनुदिश बल का घटक $F_{restoring} = F \cos \theta$ है,जहाँ $\cos \theta = \frac{x}{r}$ है।
अतः,$F_{restoring} = -\left(\frac{GMmr}{R^3}\right) \left(\frac{x}{r}\right) = -\frac{GMm}{R^3} x$.
चूंकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $\frac{GM}{R^3} = \frac{g}{R}$.
अतः,$F_{restoring} = -\left(\frac{mg}{R}\right) x$.
इसे सरल आवर्त गति के समीकरण $F = -m \omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{g}{R}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$.
आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।

(B) दो पिंडों के बीच प्रारंभिक गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G M^2}{d^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$A$ से $B$ में $50 \%$ द्रव्यमान स्थानांतरित करने के बाद,नए द्रव्यमान $M_A = M - 0.5 M = 0.5 M = \frac{M}{2}$ और $M_B = M + 0.5 M = 1.5 M = \frac{3 M}{2}$ हैं।
पिंडों के बीच की नई दूरी $d' = \frac{d}{2}$ है।
गुरुत्वाकर्षण बल पिंडों के बीच के माध्यम पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,नया गुरुत्वाकर्षण बल $F' = \frac{G M_A M_B}{(d')^2} = \frac{G (M/2) (3M/2)}{(d/2)^2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$F' = \frac{3 G M^2 / 4}{d^2 / 4} = \frac{3 G M^2}{d^2}$.
चूंकि $F = \frac{G M^2}{d^2}$,इसलिए हमें $F' = 3 F$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि दो द्रव्यमान $M$ स्थितियाँ $(-L, 0)$ और $(L, 0)$ पर हैं। कण $m$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
कण $m$ की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i$ दोनों द्रव्यमानों के कारण गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा का योग है:
$U_i = -\frac{GMm}{L} - \frac{GMm}{L} = -\frac{2GMm}{L}$
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ है।
गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए,अनंत पर अंतिम कुल ऊर्जा कम से कम $0$ होनी चाहिए।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{2GMm}{L} = 0 + 0$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{2GMm}{L}$
$v^2 = \frac{4GM}{L}$
$v = 2\sqrt{\frac{GM}{L}}$
अतः,कथन $(b)$ सही है। चूँकि कण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में गति कर रहा है,उसकी स्थितिज ऊर्जा बदलती है,इसलिए उसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है,अतः कथन $(d)$ भी सही है।

(D) उपग्रह को पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई तक ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है:
$U = -\frac{GMm}{R+h} - (-\frac{GMm}{R}) = GMm [\frac{1}{R} - \frac{1}{R+h}] = \frac{GMmh}{R(R+h)}$
उपग्रह को $h$ ऊँचाई पर कक्षा में स्थापित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा वृत्तीय गति के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा है:
$K = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{R+h}) = \frac{GMm}{2(R+h)}$
उपग्रह को ऊँचाई तक ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा और कक्षा में स्थापित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{U}{K} = \frac{GMmh}{R(R+h)} \times \frac{2(R+h)}{GMm} = \frac{2h}{R}$

(C) मान लीजिए कि कोने $A$ पर $m$ द्रव्यमान है। अन्य दो द्रव्यमानों द्वारा उस पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_1$ और $F_2$ है,जहाँ $F_1 = F_2 = G \frac{m^2}{L^2}$ है।
इन दो बलों के बीच का कोण $60^{\circ}$ है। परिणामी बल $F$ इस प्रकार है:
$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1 F_2 \cos 60^{\circ}} = \sqrt{3} F_1 = \sqrt{3} G \frac{m^2}{L^2}$.
त्रिभुज के केंद्र से प्रत्येक द्रव्यमान की दूरी $r = \frac{L}{\sqrt{3}}$ है।
एकसमान वृत्तीय गति के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$mr \omega^2 = F$
$m \left( \frac{L}{\sqrt{3}} \right) \omega^2 = \sqrt{3} G \frac{m^2}{L^2}$
$\omega^2 = 3 G \frac{m}{L^3}$
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए:
$\left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 = \frac{3Gm}{L^3}$
$T^2 = \frac{4\pi^2 L^3}{3Gm}$
$T \propto L^{3/2}$.

(D) जब अपकेंद्री बल गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर हो जाता है,तो पिंड भूमध्य रेखा पर भारहीन हो जाता है,जिसे $R \omega^2 = g$ या $\omega^2 = \frac{g}{R}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
पृथ्वी की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
एक ठोस गोले के लिए (पृथ्वी को ठोस गोला मानते हुए),जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
$I$ और $\omega^2$ के मानों को गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$K = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{5} MR^2) \times (\frac{g}{R})$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$K = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} \times M \times R \times g = \frac{1}{5} MgR$.

(B) मान लीजिए कि द्रव्यमान $L$ भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों $A, B,$ और $C$ पर स्थित हैं। मान लीजिए $O$ त्रिभुज का केंद्रक है।
किसी भी शीर्ष से केंद्रक $O$ तक की दूरी $R = \frac{L}{\sqrt{3}}$ है।
$O$ से गुजरने वाली और त्रिभुज के तल के लंबवत अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण है:
$I = 3 \times (m R^2) = 3 \times m \times \left(\frac{L}{\sqrt{3}}\right)^2 = 3 \times m \times \frac{L^2}{3} = m L^2$.
निकाय के घूमने के लिए,द्रव्यमानों के बीच का गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
अन्य दो द्रव्यमानों के कारण एक द्रव्यमान पर गुरुत्वाकर्षण बल $F_{net} = 2 \times \left(\frac{G m^2}{L^2}\right) \cos 30^{\circ} = 2 \times \frac{G m^2}{L^2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} G m^2}{L^2}$ है।
यह बल अभिकेंद्री बल के रूप में कार्य करता है: $F_{net} = m \omega^2 R$.
$\frac{\sqrt{3} G m^2}{L^2} = m \omega^2 \left(\frac{L}{\sqrt{3}}\right)$.
$\omega^2 = \frac{\sqrt{3} G m}{L^2} \times \frac{\sqrt{3}}{L} = \frac{3 G m}{L^3}$.
चूंकि $T = \frac{2 \pi}{\omega}$,इसलिए $T^2 = \frac{4 \pi^2}{\omega^2} = \frac{4 \pi^2 L^3}{3 G m}$.
अतः,$T^2 \propto L^3$,जिसका अर्थ है कि $T \propto L^{3/2}$.

(A) ठोस गोले की त्रिज्या $R$ है और इसका द्रव्यमान $M$ है। गोले का घनत्व $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3}$ है।
प्रत्येक गोलाकार गुहिका की त्रिज्या $R/2$ है। हटाए गए प्रत्येक भाग का द्रव्यमान $M' = \rho \times \text{गुहिका का आयतन} = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3} \times \frac{4}{3} \pi (R/2)^3 = \frac{M}{8}$ है।
गोले का केंद्र मूल बिंदु पर है। मान लीजिए कि बाईं गुहिका का केंद्र $x = -R/2$ पर है और दाईं गुहिका का केंद्र $x = R/2$ पर है। बिंदु द्रव्यमान $m$ स्थान $x = d$ पर है।
$m$ पर गुरुत्वाकर्षण बल पूरे गोले के कारण बल में से दो हटाए गए गोलाकार द्रव्यमानों के कारण बल को घटाने पर प्राप्त होता है।
$F = \frac{G M m}{d^2} - \frac{G M' m}{(d - R/2)^2} - \frac{G M' m}{(d + R/2)^2}$.
$M' = M/8$ प्रतिस्थापित करने पर:
$F = \frac{G M m}{d^2} - \frac{G M m}{8(d - R/2)^2} - \frac{G M m}{8(d + R/2)^2}$.
$\frac{G M m}{d^2}$ को कॉमन लेने पर:
$F = \frac{G M m}{d^2} \left[ 1 - \frac{1}{8(1 - R/2d)^2} - \frac{1}{8(1 + R/2d)^2} \right]$.

(A) मान लीजिए ठोस गोले का द्रव्यमान $M$ है और कण का द्रव्यमान $m$ है। गोले के केंद्र से $3R$ की दूरी पर स्थित कण पर ठोस गोले के कारण लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल है:
$F_1 = \frac{G M m}{(3 R)^2} = \frac{G M m}{9 R^2}$
जब $r = R/2$ त्रिज्या का एक गोलाकार छेद किया जाता है,तो इसका द्रव्यमान $M'$ इसके आयतन के समानुपाती होता है। चूंकि घनत्व $\rho$ समान है,$M' = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi (R/2)^3 = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{M}{8}$।
छेद का केंद्र मूल गोले के केंद्र से $R/2$ की दूरी पर है। कण मूल गोले के केंद्र से $3R$ की दूरी पर है,इसलिए यह छेद के केंद्र से $(3R - R/2) = 2.5R = 5R/2$ की दूरी पर है।
छेद वाले गोले द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_2$,ठोस गोले के बल में से हटाए गए गोलाकार भाग द्वारा लगाए जाने वाले बल को घटाने पर प्राप्त होता है:
$F_2 = F_1 - F_{hole} = \frac{G M m}{9 R^2} - \frac{G (M/8) m}{(5R/2)^2}$
$F_2 = \frac{G M m}{R^2} \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{25} \right] = \frac{G M m}{R^2} \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{50} \right]$
$F_2 = \frac{G M m}{R^2} \left[ \frac{50 - 9}{450} \right] = \frac{G M m}{R^2} \left[ \frac{41}{450} \right]$
अब,$F_1 / F_2$ का अनुपात है:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{G M m / 9 R^2}{41 G M m / 450 R^2} = \frac{1}{9} \cdot \frac{450}{41} = \frac{50}{41}$

(B) प्रारंभ में,पिंड अनंत दूरी पर हैं,इसलिए उनकी कुल ऊर्जा $0$ है। जब वे $r$ दूरी पर होते हैं,तो कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग होती है: $E = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 - \frac{Gm_1m_2}{r} = 0$। चूंकि निकाय विलगित है,द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है,इसलिए $m_1v_1 = m_2v_2$। ऊर्जा समीकरण में $v_2 = \frac{m_1v_1}{m_2}$ रखने पर,हमें मिलता है $\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2(\frac{m_1v_1}{m_2})^2 = \frac{Gm_1m_2}{r}$। सरल करने पर,$\frac{1}{2}m_1v_1^2(1 + \frac{m_1}{m_2}) = \frac{Gm_1m_2}{r}$,जिससे $v_1 = \sqrt{\frac{2Gm_2^2}{r(m_1+m_2)}}$ प्राप्त होता है। इसी प्रकार,$v_2 = \sqrt{\frac{2Gm_1^2}{r(m_1+m_2)}}$। सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_1 + v_2 = \sqrt{\frac{2G}{r(m_1+m_2)}} (m_1 + m_2) = \sqrt{\frac{2G(m_1+m_2)}{r}}$।

(D) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $m_s$ द्रव्यमान के उपग्रह द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G M_E m_s}{r^2}$ है।
पहले उपग्रह के लिए: द्रव्यमान $m_1 = m$,ऊंचाई $h_1 = R_E$,अतः दूरी $r_1 = R_E + R_E = 2 R_E$। बल $F_1 = \frac{G M_E m}{(2 R_E)^2} = \frac{G M_E m}{4 R_E^2}$।
दूसरे उपग्रह के लिए: द्रव्यमान $m_2 = 1.5 m$,ऊंचाई $h_2 = 2 R_E$,अतः दूरी $r_2 = R_E + 2 R_E = 3 R_E$। बल $F_2 = \frac{G M_E (1.5 m)}{(3 R_E)^2} = \frac{1.5 G M_E m}{9 R_E^2} = \frac{G M_E m}{6 R_E^2}$।
अधिकतम बल $F_{\max} = F_1 + F_2 = \frac{G M_E m}{R_E^2} (\frac{1}{4} + \frac{1}{6}) = \frac{G M_E m}{R_E^2} (\frac{3+2}{12}) = \frac{5}{12} \frac{G M_E m}{R_E^2}$।
न्यूनतम बल $F_{\min} = F_1 - F_2 = \frac{G M_E m}{R_E^2} (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) = \frac{G M_E m}{R_E^2} (\frac{3-2}{12}) = \frac{1}{12} \frac{G M_E m}{R_E^2}$।
अनुपात $\frac{F_{\min}}{F_{\max}} = \frac{1/12}{5/12} = \frac{1}{5} = 1: 5$।

(B) ग्रह $A$ की सतह के निकट किसी पिंड का कक्षीय वेग $V_{A} = \sqrt{\frac{GM_{A}}{r_{A}}}$ है।
ग्रह $B$ की सतह से किसी पिंड का पलायन वेग $V_{B} = \sqrt{\frac{2GM_{B}}{r_{B}}}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$V_{A} = V_{B}$ है।
अतः,$\sqrt{\frac{GM_{A}}{r_{A}}} = \sqrt{\frac{2GM_{B}}{r_{B}}}$.
चूंकि द्रव्यमान समान हैं $(M_{A} = M_{B} = M)$,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{\frac{GM}{r_{A}}} = \sqrt{\frac{2GM}{r_{B}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{GM}{r_{A}} = \frac{2GM}{r_{B}}$.
इसे सरल करने पर $\frac{1}{r_{A}} = \frac{2}{r_{B}}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{r_{A}}{r_{B}} = \frac{1}{2}$।

(B) ग्रह के चारों ओर परिक्रमा कर रहे उपग्रह का परिक्रमण काल $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि दोनों उपग्रह एक ही वृत्ताकार कक्षा में हैं,इसलिए उनकी कक्षीय त्रिज्या $r$ समान है,जिसका अर्थ है कि उनके परिक्रमण काल समान हैं। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
उपग्रह का कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है। यह दर्शाता है कि $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$,जिसका अर्थ है कि कक्षीय वेग कक्षा की त्रिज्या के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती है। अतः,कथन $(B)$ सत्य है।
ग्रह के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु से पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$ होता है। चूंकि $r = R + h$ (जहाँ $R$ ग्रह की त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है),इसलिए पलायन वेग प्रक्षेपण बिंदु की ऊँचाई $h$ पर निर्भर करता है। अतः,कथन $(C)$ असत्य है।

(C) मान लीजिए कि दो पिंडों के प्रारंभिक द्रव्यमान $m$ और $m$ हैं,जो $r$ दूरी पर स्थित हैं। प्रारंभिक गुरुत्वाकर्षण बल $F_1 = \frac{G m^2}{r^2}$ है।
पहले पिंड से $20 \%$ द्रव्यमान दूसरे पिंड में स्थानांतरित करने के बाद,नए द्रव्यमान $m_1 = m - 0.2m = 0.8m$ और $m_2 = m + 0.2m = 1.2m$ हो जाते हैं।
नया गुरुत्वाकर्षण बल $F_2 = \frac{G (0.8m)(1.2m)}{r^2} = \frac{G (0.96m^2)}{r^2} = 0.96 F_1$ है।
बल में परिवर्तन $\Delta F = F_2 - F_1 = 0.96 F_1 - F_1 = -0.04 F_1$ है।
प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta F}{F_1} \times 100 \% = -0.04 \times 100 \% = -4 \%$ है।
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल में $4 \%$ की कमी आती है।