m द्रव्यमान के चार समान कण अपने पारस्परिक गुर | vedclass

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Question

(A) $m$ द्रव्यमान वाले कणों में से किसी एक पर लगने वाले बलों पर विचार करें। मान लीजिए कि यह कण नीचे की स्थिति में है।दो निकटवर्ती कणों के बीच की दूरी

Vedclass · Accepted Answer

${\left[ {\frac{{Gm}}{r}\left( {\frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{4}} \right)} \right]^{\frac{1}{2}}}$

Vedclass · Answer

(A) $m$ द्रव्यमान वाले कणों में से किसी एक पर लगने वाले बलों पर विचार करें। मान लीजिए कि यह कण नीचे की स्थिति में है।दो निकटवर्ती कणों के बीच की दूरी $d = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$ है।इन दो कणों में से प्रत्येक द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_1 = \frac{Gm^2}{(r\sqrt{2})^2} = \frac{Gm^2}{2r^2}$ है।इन दो बलों के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जबकि ऊर्ध्वाधर घटक केंद्र की ओर जुड़ जाते हैं।प्रत्येक बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F_1 \cos(45^\circ) = \frac{Gm^2}{2r^2} 	imes \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{Gm^2}{2\sqrt{2}r^2}$ है।इन दो कणों द्वारा लगाया गया कुल ऊर्ध्वाधर बल $2 	imes \frac{Gm^2}{2\sqrt{2}r^2} = \frac{Gm^2}{\sqrt{2}r^2}$ है।ऊपर स्थित कण की दूरी $2r$ है।ऊपर स्थित कण द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_2 = \frac{Gm^2}{(2r)^2} = \frac{Gm^2}{4r^2}$ है।केंद्र की ओर लगने वाला कुल शुद्ध बल $F_{net} = \frac{Gm^2}{\sqrt{2}r^2} + \frac{Gm^2}{4r^2} = \frac{Gm^2}{r^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4} ight) = \frac{Gm^2}{r^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} ight)$ है।यह शुद्ध बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $\frac{mv^2}{r} = F_{net}$.$\frac{mv^2}{r} = \frac{Gm^2}{r^2} \left( \frac{1 + 2\sqrt{2}}{4} ight)$.$v^2 = \frac{Gm}{r} \left( \frac{1 + 2\sqrt{2}}{4} ight)$.$v = \sqrt{\frac{Gm}{r} \left( \frac{1 + 2\sqrt{2}}{4} ight)}$.

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