Fundamental trigonometrical ratios and functions, Trigonometrical ratio of allied angles Questions in Hindi

(B) सबसे पहले,रिडक्शन सूत्रों का उपयोग करके प्रत्येक त्रिकोणमितीय पद को सरल करें:
$ \sin(3\pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha $
$ \cos(3\pi + \alpha) = -\cos \alpha $
$ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha $
$ \cos(\frac{5\pi}{2} - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha $
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$ [1 - \sin \alpha - \cos \alpha] [1 - (-\cos \alpha) + \sin \alpha ] $
$ = [1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)] [1 + (\sin \alpha + \cos \alpha)] $
$ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$ = 1^2 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 $
$ = 1 - (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha) $
$ = 1 - (1 + \sin 2\alpha) $
$ = - \sin 2\alpha $

(A) हम जानते हैं कि फलन $f(x) = sin\ x$ अंतराल $[0^{\circ}, 90^{\circ}]$ में वर्धमान है।
$90^{\circ}$ से बड़े कोणों के लिए,हम सर्वसमिका $sin\ \theta = sin(180^{\circ} - \theta)$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$sin\ 95^{\circ} = sin(180^{\circ} - 95^{\circ}) = sin\ 85^{\circ}$।
अब हम $sin\ 85^{\circ}$,$sin\ 63^{\circ}$ और $sin\ 1^{\circ}$ की तुलना करते हैं।
चूंकि $85^{\circ} > 63^{\circ} > 1^{\circ}$ और साइन फलन प्रथम चतुर्थांश में वर्धमान है,इसलिए $sin\ 85^{\circ} > sin\ 63^{\circ} > sin\ 1^{\circ}$ है।
अतः,$sin\ 95^{\circ} > sin\ 63^{\circ} > sin\ 1^{\circ}$।

(D) दिया गया है $\sin \left( x + \frac{4\pi}{9} \right) = a$.
हमें $\cos \left( x + \frac{7\pi}{9} \right)$ का मान ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $\frac{7\pi}{9} = \frac{4\pi}{9} + \frac{\pi}{3}$.
अतः,$\cos \left( x + \frac{7\pi}{9} \right) = \cos \left( \left( x + \frac{4\pi}{9} \right) + \frac{\pi}{3} \right)$.
सूत्र $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\cos \left( \left( x + \frac{4\pi}{9} \right) + \frac{\pi}{3} \right) = \cos \left( x + \frac{4\pi}{9} \right) \cos \frac{\pi}{3} - \sin \left( x + \frac{4\pi}{9} \right) \sin \frac{\pi}{3}$.
अंतराल $\frac{\pi}{9} < x < \frac{\pi}{3}$ के लिए,$\cos \left( x + \frac{4\pi}{9} \right) = -\sqrt{1 - a^2}$ होगा।
मान रखने पर:
$-\sqrt{1 - a^2} \cdot \frac{1}{2} - a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{-\sqrt{1 - a^2} - a\sqrt{3}}{2}$.

(D) दिया गया व्यंजक $E = \frac{\sin 81^o + \cos 81^o}{\sin 81^o - \cos 81^o}$ है।
अंश और हर को $\cos 81^o$ से विभाजित करने पर:
$E = \frac{\tan 81^o + 1}{\tan 81^o - 1}$.
अंश और हर को $-1$ से गुणा करने पर:
$E = \frac{1 + \tan 81^o}{1 - \tan 81^o}$.
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A = 45^o$ और $B = 81^o$:
$E = \tan(45^o + 81^o) = \tan 126^o$.
वैकल्पिक रूप से,चूँकि $\sin 81^o = \cos 9^o$ और $\cos 81^o = \sin 9^o$:
$E = \frac{\cos 9^o + \sin 9^o}{\cos 9^o - \sin 9^o} = \frac{1 + \tan 9^o}{1 - \tan 9^o} = \tan(45^o + 9^o) = \tan 54^o$.

(A) हम जानते हैं कि $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + 45^{\circ})$.
$A$ के लिए,$\theta = 45^{\circ}$,अतः $A = \sqrt{2} \sin(45^{\circ} + 45^{\circ}) = \sqrt{2} \sin 90^{\circ} = \sqrt{2}(1) = \sqrt{2}$.
$B$ के लिए,$\theta = 44^{\circ}$,अतः $B = \sqrt{2} \sin(44^{\circ} + 45^{\circ}) = \sqrt{2} \sin 89^{\circ}$.
चूँकि $\sin 89^{\circ} < \sin 90^{\circ}$,इसलिए $\sqrt{2} \sin 89^{\circ} < \sqrt{2} \sin 90^{\circ}$.
अतः,$B < A$ या $A > B$.

(A) माना व्यंजक $E = \sqrt{\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}} - \sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}}$ है।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$E = \frac{|1 - \sin \alpha| - |1 + \sin \alpha|}{\sqrt{\cos^2 \alpha}}$
$E = \frac{(1 - \sin \alpha) - (1 + \sin \alpha)}{|\cos \alpha|}$
$E = \frac{-2 \sin \alpha}{|\cos \alpha|}$.
चूंकि $\alpha$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\cos \alpha < 0$,इसलिए $|\cos \alpha| = -\cos \alpha$ होगा।
$E = \frac{-2 \sin \alpha}{-\cos \alpha} = 2 \tan \alpha$.

(A) एक चक्रीय चतुर्भुज में,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$A + C = 180^{\circ}$ और $B + D = 180^{\circ}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$\cos(180^{\circ} + A) = -\cos A$
$\cos(180^{\circ} - B) = -\cos B$
$\cos(180^{\circ} - C) = -\cos C$
$\sin(90^{\circ} - D) = \cos D$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$-\cos A - \cos B - \cos C - \cos D = -(\cos A + \cos C) - (\cos B + \cos D)$
चूंकि $C = 180^{\circ} - A$,इसलिए $\cos C = \cos(180^{\circ} - A) = -\cos A$,अतः $\cos A + \cos C = 0$।
इसी प्रकार,$D = 180^{\circ} - B$,इसलिए $\cos D = \cos(180^{\circ} - B) = -\cos B$,अतः $\cos B + \cos D = 0$।
अतः,व्यंजक का मान $-(0) - (0) = 0$ है।

(B) हम जानते हैं कि $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$.
$\sin \frac{7\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{\pi}{8}) = \sin \frac{\pi}{8}$
$\sin \frac{5\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{8}) = \sin \frac{3\pi}{8}$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\text{व्यंजक} = \sin ^2 \frac{\pi}{8} + \sin ^2 \frac{3\pi}{8} + \sin ^2 \frac{3\pi}{8} + \sin ^2 \frac{\pi}{8}$
$= 2(\sin ^2 \frac{\pi}{8} + \sin ^2 \frac{3\pi}{8})$
चूंकि $\sin \frac{3\pi}{8} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}) = \cos \frac{\pi}{8}$,इसलिए:
$= 2(\sin ^2 \frac{\pi}{8} + \cos ^2 \frac{\pi}{8})$
सर्वसमिका $\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$= 2(1) = 2$

(D) हम जानते हैं कि $1 \text{ radian} \approx 57.295^\circ$.
$\sin 1 \text{ rad} = \sin 57.295^\circ \approx 0.841$
$\sin 2 \text{ rad} = \sin 114.591^\circ = \sin(180^\circ - 114.591^\circ) = \sin 65.409^\circ \approx 0.909$
$\sin 3 \text{ rad} = \sin 171.887^\circ = \sin(180^\circ - 171.887^\circ) = \sin 8.113^\circ \approx 0.141$
मानों की तुलना करने पर: $0.141 < 0.841 < 0.909$.
अतः,$\sin 3 < \sin 1 < \sin 2$.

(C) $\cos 255^o + \sin 195^o$ पर विचार करें।
रिडक्शन सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\cos 255^o = \cos(270^o - 15^o) = -\sin 15^o$.
$\sin 195^o = \sin(180^o + 15^o) = -\sin 15^o$.
अतः,व्यंजक होगा:
$-\sin 15^o - \sin 15^o = -2 \sin 15^o$.
$\sin 15^o = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ का मान रखने पर:
$-2 \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \right) = -\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}$.

(A) हम जानते हैं कि $180^{\circ} = \pi \text{ रेडियन}$ होता है।
सबसे पहले,$40^{\circ} 20^{\prime}$ को डिग्री में बदलें:
$20^{\prime} = (\frac{20}{60})^{\circ} = (\frac{1}{3})^{\circ}$.
अतः,$40^{\circ} 20^{\prime} = (40 + \frac{1}{3})^{\circ} = (\frac{120+1}{3})^{\circ} = (\frac{121}{3})^{\circ}$.
अब,डिग्री को $\frac{\pi}{180}$ से गुणा करके रेडियन में बदलें:
$\text{रेडियन माप} = (\frac{121}{3}) \times \frac{\pi}{180} = \frac{121 \pi}{540} \text{ रेडियन}$.
इसलिए,$40^{\circ} 20^{\prime} = \frac{121 \pi}{540} \text{ रेडियन}$।

(A) हम जानते हैं कि $\pi \text{ रेडियन} = 180^{\circ}$।
इसलिए,$6 \text{ रेडियन} = \frac{180}{\pi} \times 6 \text{ डिग्री} = \frac{1080 \times 7}{22} \text{ डिग्री} \approx 343.6363^{\circ}$।
दशमलव भाग को मिनट में बदलने पर: $0.6363^{\circ} = 0.6363 \times 60^{\prime} = 38.1818^{\prime} = 38^{\prime} + 0.1818^{\prime}$।
शेष दशमलव भाग को सेकंड में बदलने पर: $0.1818^{\prime} = 0.1818 \times 60^{\prime \prime} \approx 10.9^{\prime \prime} \approx 11^{\prime \prime}$।
अतः,$6 \text{ रेडियन} \approx 343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime}$।

(B) माना $r_{1}$ और $r_{2}$ दो वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं और $l$ दोनों स्थितियों में चाप की लंबाई है।
हम जानते हैं कि चाप की लंबाई का सूत्र $l = r \theta$ है,जहाँ $\theta$ रेडियन में है।
दिया गया है कि $\theta_{1} = 65^{\circ}$ और $\theta_{2} = 110^{\circ}$।
चूँकि चाप की लंबाई समान है,इसलिए $l = r_{1} \theta_{1} = r_{2} \theta_{2}$।
अतः,$\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{\theta_{2}}{\theta_{1}}$।
मान रखने पर,$\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{110^{\circ}}{65^{\circ}} = \frac{110}{65} = \frac{22}{13}$।
इस प्रकार,उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $22: 13$ है।

(A) हम जानते हैं कि $180^{\circ} = \pi \text{ रेडियन}$ होता है।
इसलिए,$1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \text{ रेडियन}$।
$25^{\circ}$ को रेडियन में बदलने के लिए,हम $\frac{\pi}{180}$ से गुणा करेंगे:
$25^{\circ} = 25 \times \frac{\pi}{180} \text{ रेडियन}$।
अंश और हर को $5$ से विभाजित करने पर:
$25^{\circ} = \frac{5 \pi}{36} \text{ रेडियन}$।

(A) हम जानते हैं कि $1^{\circ} = 60^{\prime}$,इसलिए $30^{\prime} = (\frac{30}{60})^{\circ} = 0.5^{\circ}$.
अतः,$-47^{\circ} 30^{\prime} = -(47 + 0.5)^{\circ} = -47.5^{\circ} = -\frac{95}{2}^{\circ}$.
चूंकि $180^{\circ} = \pi \text{ रेडियन}$,इसलिए $1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \text{ रेडियन}$.
इसलिए,$-\frac{95}{2}^{\circ} = (-\frac{95}{2}) \times \frac{\pi}{180} \text{ रेडियन}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $(-\frac{95}{360}) \pi = -\frac{19}{72} \pi \text{ रेडियन}$.
अतः,$-47^{\circ} 30^{\prime} = -\frac{19}{72} \pi \text{ रेडियन}$.

(A) हम जानते हैं कि $180^{\circ} = \pi \text{ रेडियन}$ होता है।
डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए,हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं: $\text{रेडियन माप} = \text{डिग्री माप} \times \frac{\pi}{180^{\circ}}$।
अतः,$240^{\circ} = 240 \times \frac{\pi}{180} \text{ रेडियन}$।
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{240}{180} \pi = \frac{4}{3} \pi \text{ रेडियन}$।

(A) हम जानते हैं कि $180^{\circ} = \pi \text{ रेडियन}$.
डिग्री माप को रेडियन में बदलने के लिए,हम डिग्री माप को $\frac{\pi}{180}$ से गुणा करते हैं।
$\therefore 520^{\circ} = 520 \times \frac{\pi}{180} \text{ रेडियन}$.
$= \frac{520}{180} \pi \text{ रेडियन}$.
$= \frac{52}{18} \pi \text{ रेडियन} = \frac{26 \pi}{9} \text{ रेडियन}$.

(A) हम जानते हैं कि $\pi \text{ रेडियन} = 180^{\circ}$.
$\therefore \frac{11}{16} \text{ रेडियन} = \frac{180}{\pi} \times \frac{11}{16} \text{ डिग्री}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर: $\frac{180 \times 7}{22} \times \frac{11}{16} = \frac{315}{8} \text{ डिग्री}$.
$= 39 \frac{3}{8} \text{ डिग्री} = 39^{\circ} + \frac{3}{8} \times 60^{\prime} \quad [\because 1^{\circ} = 60^{\prime}]$.
$= 39^{\circ} + 22.5^{\prime} = 39^{\circ} + 22^{\prime} + 0.5 \times 60^{\prime \prime} \quad [\because 1^{\prime} = 60^{\prime \prime}]$.
$= 39^{\circ} 22^{\prime} 30^{\prime \prime}$.

(A) हम जानते हैं कि $\pi \text{ रेडियन} = 180^{\circ}$.
$-4 \text{ रेडियन} = \frac{180}{\pi} \times (-4) \text{ डिग्री}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{180 \times 7 \times (-4)}{22} \text{ डिग्री} = \frac{-2520}{11} \text{ डिग्री} = -229 \frac{1}{11} \text{ डिग्री}$.
$= -229^{\circ} + \left( \frac{1}{11} \times 60 \right) \text{ मिनट} \quad [\because 1^{\circ} = 60^{\prime}]$.
$= -229^{\circ} + 5 \frac{5}{11} \text{ मिनट} = -229^{\circ} 5^{\prime} + \left( \frac{5}{11} \times 60 \right) \text{ सेकंड} \quad [\because 1^{\prime} = 60^{\prime \prime}]$.
$= -229^{\circ} 5^{\prime} + 27.27^{\prime \prime} \approx -229^{\circ} 5^{\prime} 27^{\prime \prime}$.

(A) हम जानते हैं कि $1 \text{ रेडियन} = \left( \frac{180}{\pi} \right)^{\circ}$ होता है।
अतः,$\frac{5 \pi}{3}$ रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए,हम $\frac{180}{\pi}$ से गुणा करेंगे:
$\text{डिग्री माप} = \frac{5 \pi}{3} \times \left( \frac{180}{\pi} \right)^{\circ}$
$= \frac{5}{3} \times 180^{\circ}$
$= 5 \times 60^{\circ}$
$= 300^{\circ}$

(A) हम जानते हैं कि $\pi \text{ रेडियन} = 180^{\circ}$ होता है।
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए,हम $\frac{180}{\pi}$ से गुणा करते हैं।
$\frac{7 \pi}{6} \text{ रेडियन} = \frac{7 \pi}{6} \times \frac{180}{\pi}^{\circ}$.
$= \frac{7}{6} \times 180^{\circ}$.
$= 7 \times 30^{\circ} = 210^{\circ}$.

(B) पहिए द्वारा $1$ मिनट में लगाए गए चक्करों की संख्या $= 360$ है।
चूंकि $1$ मिनट $= 60$ सेकंड,इसलिए $1$ सेकंड में पहिए द्वारा लगाए गए चक्करों की संख्या $= \frac{360}{60} = 6$ है।
एक पूर्ण चक्कर में,पहिया $2 \pi$ रेडियन का कोण घूमता है।
अतः,$6$ पूर्ण चक्करों में,यह $6 \times 2 \pi = 12 \pi$ रेडियन का कोण घूमेगा।
इस प्रकार,एक सेकंड में,पहिया $12 \pi$ रेडियन का कोण घूमता है।

(A) हम जानते हैं कि $r$ त्रिज्या वाले वृत्त में,यदि $l$ लंबाई का चाप केंद्र पर $\theta$ रेडियन का कोण अंतरित करता है,तो $\theta = \frac{l}{r}$ होता है।
यहाँ $r = 100 \, cm$ और $l = 22 \, cm$ दिया गया है,इसलिए:
$\theta = \frac{22}{100} \, \text{रेडियन}$.
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए,हम $1 \, \text{रेडियन} = \frac{180^{\circ}}{\pi}$ का उपयोग करते हैं।
$\theta = \frac{22}{100} \times \frac{180}{\pi} \, \text{डिग्री}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ रखने पर:
$\theta = \frac{22}{100} \times 180 \times \frac{7}{22} = \frac{180 \times 7}{100} = \frac{1260}{100} = 12.6^{\circ}$.
$0.6^{\circ}$ को मिनट में बदलने पर:
$0.6^{\circ} = 0.6 \times 60^{\prime} = 36^{\prime}$.
अतः,अभीष्ट कोण $12^{\circ} 36^{\prime}$ है।

(A) हम जानते हैं कि $r$ इकाई त्रिज्या वाले वृत्त में,यदि $l$ इकाई लंबाई का चाप केंद्र पर $\theta$ रेडियन का कोण बनाता है,तो $\theta = \frac{l}{r}$ होता है।
यहाँ लोलक की लंबाई $r = 75 \, cm$ और चाप की लंबाई $l = 10 \, cm$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\theta = \frac{10}{75} \, {\text{रेडियन}}$.
भिन्न को सरल करने पर,$\theta = \frac{2}{15} \, {\text{रेडियन}}$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $r$ इकाई त्रिज्या वाले वृत्त में,यदि $l$ इकाई लंबाई का चाप केंद्र पर $\theta$ रेडियन का कोण बनाता है,तो $\theta = \frac{l}{r}$ होता है।
यहाँ लोलक की लंबाई $r = 75\, cm$ और चाप की लंबाई $l = 15\, cm$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\theta = \frac{15}{75} \text{ radian}$.
$\theta = \frac{1}{5} \text{ radian}$.

(A) हम जानते हैं कि $r$ त्रिज्या वाले वृत्त में,यदि $l$ लंबाई का चाप केंद्र पर $\theta$ रेडियन का कोण बनाता है,तो $\theta = \frac{l}{r}$ होता है।
यहाँ लोलक की लंबाई $r = 75 \, cm$ और चाप की लंबाई $l = 21 \, cm$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\theta = \frac{21}{75} \, \text{रेडियन}$।
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर:
$\theta = \frac{7}{25} \, \text{रेडियन}$।

दिया गया है $\cos x = -\frac{3}{5}$.
चूँकि $\sec x = \frac{1}{\cos x}$,इसलिए $\sec x = -\frac{5}{3}$.
सर्वसमिका $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ का उपयोग करने पर,$\sin^2 x = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
अतः,$\sin x = \pm \frac{4}{5}$.
चूँकि $x$ तीसरे चतुर्थांश में है,$\sin x$ ऋणात्मक होगा,इसलिए $\sin x = -\frac{4}{5}$.
परिणामस्वरूप,$\csc x = \frac{1}{\sin x} = -\frac{5}{4}$.
अब,$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-4/5}{-3/5} = \frac{4}{3}$.
अंततः,$\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{3}{4}$.

(A) दिया गया है $\cot x = -\frac{5}{12}$। चूँकि $x$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\tan x = \frac{1}{\cot x} = -\frac{12}{5}$।
सर्वसमिका $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + (-\frac{12}{5})^2 = 1 + \frac{144}{25} = \frac{169}{25}$ का उपयोग करने पर।
चूँकि $x$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\sec x$ ऋणात्मक होगा,इसलिए $\sec x = -\frac{13}{5}$।
परिणामस्वरूप,$\cos x = \frac{1}{\sec x} = -\frac{5}{13}$।
अब,$\sin x = \tan x \cdot \cos x = (-\frac{12}{5}) \cdot (-\frac{5}{13}) = \frac{12}{13}$।
अंत में,$\csc x = \frac{1}{\sin x} = \frac{13}{12}$।

(A) हम जानते हैं कि $\sin x$ का मान $2 \pi$ के अंतराल के बाद दोहराता है।
इसलिए,हम लिख सकते हैं:
$\sin \frac{31 \pi}{3} = \sin \left( 10 \pi + \frac{\pi}{3} \right)$
चूंकि किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $\sin(2n \pi + \theta) = \sin \theta$ होता है,हमारे पास है:
$\sin \left( 10 \pi + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{3}$
अंततः,मान है:
$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(A) हम जानते हैं कि $\cos(x)$ का मान $2\pi$ या $360^{\circ}$ के अंतराल के बाद दोहराया जाता है।
इसलिए,$\cos \left(-1710^{\circ}\right) = \cos \left(-1710^{\circ} + n \times 360^{\circ}\right)$.
$-1710^{\circ}$ के साथ सह-अंतिम सबसे छोटा धनात्मक कोण ज्ञात करने के लिए,हम $360^{\circ}$ के गुणज जोड़ते हैं:
$-1710^{\circ} + 5 \times 360^{\circ} = -1710^{\circ} + 1800^{\circ} = 90^{\circ}$.
अतः,$\cos \left(-1710^{\circ}\right) = \cos(90^{\circ})$.
चूंकि $\cos(90^{\circ}) = 0$,इसलिए मान $0$ है।

दिया गया है $\cos x = -\frac{1}{2}$.
$\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{(-1/2)} = -2$.
सर्वसमिका $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - (-1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4$.
चूँकि $x$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,$\sin x$ ऋणात्मक होगा।
$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\csc x = \frac{1}{\sin x} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$.
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-\sqrt{3}/2}{-1/2} = \sqrt{3}$.
$\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

दिया गया है $\sin x = \frac{3}{5}$.
$\csc x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{\left(\frac{3}{5}\right)} = \frac{5}{3}$.
सर्वसमिका $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ का उपयोग करने पर:
$\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^{2} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
चूँकि $x$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,$\cos x$ ऋणात्मक होगा:
$\cos x = -\frac{4}{5}$.
$\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{(-\frac{4}{5})} = -\frac{5}{4}$.
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{(\frac{3}{5})}{(-\frac{4}{5})} = -\frac{3}{4}$.
$\cot x = \frac{1}{\tan x} = -\frac{4}{3}$.

दिया है $\cot x = \frac{3}{4}$.
$\tan x = \frac{1}{\cot x} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
सर्वसमिका $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ का उपयोग करने पर:
$1 + (4/3)^2 = \sec^2 x$
$1 + \frac{16}{9} = \sec^2 x$
$\frac{25}{9} = \sec^2 x$
$\sec x = \pm \frac{5}{3}$.
चूँकि $x$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,$\sec x$ ऋणात्मक होगा:
$\sec x = -\frac{5}{3}$.
$\cos x = \frac{1}{\sec x} = -\frac{3}{5}$.
चूँकि $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$,इसलिए $\sin x = \tan x \cdot \cos x$:
$\sin x = \left(\frac{4}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{4}{5}$.
$\csc x = \frac{1}{\sin x} = -\frac{5}{4}$.

(N/A) दिया गया है $\sec x = \frac{13}{5}$.
चूँकि $\cos x = \frac{1}{\sec x}$,इसलिए $\cos x = \frac{5}{13}$ है।
सर्वसमिका $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ का उपयोग करने पर,$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin x = \pm \frac{12}{13}$।
चूँकि $x$ चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है,$\sin x$ ऋणात्मक होगा,इसलिए $\sin x = -\frac{12}{13}$।
अब,$\csc x = \frac{1}{\sin x} = -\frac{13}{12}$।
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-12/13}{5/13} = -\frac{12}{5}$।
$\cot x = \frac{1}{\tan x} = -\frac{5}{12}$।

दिया गया है $\tan x = -\frac{5}{12}$.
$\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{1}{(-\frac{5}{12})} = -\frac{12}{5}$.
सर्वसमिका $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ का उपयोग करने पर:
$1 + (-\frac{5}{12})^2 = \sec^2 x$
$1 + \frac{25}{144} = \sec^2 x$
$\frac{169}{144} = \sec^2 x$
$\sec x = \pm \frac{13}{12}$.
चूँकि $x$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,$\sec x$ ऋणात्मक होगा।
$\therefore \sec x = -\frac{13}{12}$.
$\cos x = \frac{1}{\sec x} = \frac{1}{(-\frac{13}{12})} = -\frac{12}{13}$.
चूँकि $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$,इसलिए:
$\sin x = \tan x \times \cos x = (-\frac{5}{12}) \times (-\frac{12}{13}) = \frac{5}{13}$.
$\csc x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{(\frac{5}{13})} = \frac{13}{5}$.

(C) हम जानते हैं कि $\sin x$ के मान $360^{\circ}$ के अंतराल के बाद दोहराते हैं।
$\sin 765^{\circ} = \sin (2 \times 360^{\circ} + 45^{\circ})$
चूंकि $\sin (n \times 360^{\circ} + \theta) = \sin \theta$,इसलिए:
$\sin 765^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय फलन $\csc(x)$ का आवर्तकाल $360^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\csc(-1410^{\circ}) = \csc(-1410^{\circ} + n \times 360^{\circ})$.
$n = 4$ के लिए,$-1410^{\circ} + 4 \times 360^{\circ} = -1410^{\circ} + 1440^{\circ} = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\csc(-1410^{\circ}) = \csc(30^{\circ})$.
चूंकि $\csc(30^{\circ}) = \frac{1}{\sin(30^{\circ})} = \frac{1}{1/2} = 2$ होता है।

(A) टैंजेंट फलन $\tan x$ का आवर्तकाल $\pi$ होता है।
हम $\frac{19 \pi}{3}$ को $6 \pi + \frac{\pi}{3}$ के रूप में लिख सकते हैं।
गुणधर्म $\tan(n \pi + \theta) = \tan \theta$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$:
$\tan \frac{19 \pi}{3} = \tan \left(6 \pi + \frac{\pi}{3}\right) = \tan \frac{\pi}{3}$.
चूँकि $\tan \frac{\pi}{3} = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए मान $\sqrt{3}$ है।

(A) हम जानते हैं कि साइन फलन का आवर्तकाल $2\pi$ होता है। इसलिए,किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $\sin(x + 2n\pi) = \sin(x)$ होता है।
$\sin \left(-\frac{11 \pi}{3}\right) = \sin \left(-\frac{11 \pi}{3} + 4\pi\right)$
$= \sin \left(\frac{-11\pi + 12\pi}{3}\right)$
$= \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)$
$= \frac{\sqrt{3}}{2}$

(A) हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय फलन $\cot(x)$ का आवर्तनांक $\pi$ होता है।
$\therefore \cot \left(-\frac{15 \pi}{4}\right) = \cot \left(-\frac{15 \pi}{4} + 4 \pi\right)$
$= \cot \left(\frac{-15 \pi + 16 \pi}{4}\right)$
$= \cot \left(\frac{\pi}{4}\right)$
$= 1$

(N/A) हमारे पास $L.H.S. = 3 \sin \frac{\pi}{6} \sec \frac{\pi}{3} - 4 \sin \frac{5 \pi}{6} \cot \frac{\pi}{4}$ है।
मान रखने पर $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$,$\sec \frac{\pi}{3} = 2$,$\sin \frac{5 \pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$,और $\cot \frac{\pi}{4} = 1$:
$L.H.S. = 3 \times \frac{1}{2} \times 2 - 4 \times \frac{1}{2} \times 1$
$L.H.S. = 3 - 2 = 1$
अतः $L.H.S. = R.H.S. = 1$,सिद्ध हुआ।

(N/A) हम $L.H.S$ से शुरू करते हैं: $\sin ^{2} \frac{\pi}{6}+\cos ^{2} \frac{\pi}{3}-\tan ^{2} \frac{\pi}{4}$
मानक त्रिकोणमितीय मान प्रतिस्थापित करने पर: $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$,$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,और $\tan \frac{\pi}{4} = 1$
$= (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} - (1)^{2}$
$= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 1$
$= \frac{2}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$
$= R.H.S$
अतः,सर्वसमिका सिद्ध हुई।

$L.H.S. = 2 \sin ^{2} \frac{\pi}{6} + \csc ^{2} \frac{7 \pi}{6} \cos ^{2} \frac{\pi}{3}$
$= 2 \left( \frac{1}{2} \right)^{2} + \csc ^{2} \left( \pi + \frac{\pi}{6} \right) \left( \frac{1}{2} \right)^{2}$
$= 2 \times \frac{1}{4} + \left( -\csc \frac{\pi}{6} \right)^{2} \left( \frac{1}{4} \right)$
$= \frac{1}{2} + (-2)^{2} \left( \frac{1}{4} \right)$
$= \frac{1}{2} + \frac{4}{4} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$
$= R.H.S.$

(N/A) $L.H.S. = \cot ^{2} \frac{\pi}{6} + \csc \frac{5 \pi}{6} + 3 \tan ^{2} \frac{\pi}{6}$
$= (\sqrt{3})^{2} + \csc \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) + 3 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}$
$= 3 + \csc \frac{\pi}{6} + 3 \times \frac{1}{3}$
$= 3 + 2 + 1 = 6$
$= R.H.S.$

(N/A) $L.H.S. = 2 \sin ^{2} \frac{3 \pi}{4} + 2 \cos ^{2} \frac{\pi}{4} + 2 \sec ^{2} \frac{\pi}{3}$
$= 2 \left\{ \sin \left( \pi - \frac{\pi}{4} \right) \right\}^{2} + 2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2} + 2 (2)^{2}$
$= 2 \left( \sin \frac{\pi}{4} \right)^{2} + 2 \times \frac{1}{2} + 2(4)$
$= 2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2} + 1 + 8$
$= 2 \left( \frac{1}{2} \right) + 1 + 8$
$= 1 + 1 + 8 = 10$
$= R.H.S.$

(N/A) हम $L.H.S.$ से शुरू करते हैं: $\frac{\cos (\pi+x) \cos (-x)}{\sin (\pi-x) \cos (\frac{\pi}{2}+x)}$
संबद्ध कोणों के सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\cos (\pi+x) = -\cos x$
$\cos (-x) = \cos x$
$\sin (\pi-x) = \sin x$
$\cos (\frac{\pi}{2}+x) = -\sin x$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{(-\cos x)(\cos x)}{(\sin x)(-\sin x)}$
$= \frac{-\cos^{2} x}{-\sin^{2} x}$
$= \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x}$
$= \cot^{2} x = R.H.S.$

(N/A) $L.H.S. = \cos \left(\frac{3 \pi}{2}+x\right) \cos (2 \pi+x) \left[\cot \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right)+\cot (2 \pi+x)\right]$
संबद्ध कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\cos \left(\frac{3 \pi}{2}+x\right) = \sin x$
$\cos (2 \pi+x) = \cos x$
$\cot \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right) = \tan x$
$\cot (2 \pi+x) = \cot x$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \sin x \cos x [\tan x + \cot x]$
$= \sin x \cos x \left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}\right)$
$= \sin x \cos x \left[\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}\right]$
$= \sin^2 x + \cos^2 x = 1 = R.H.S.$

(B) मान लीजिए $\angle A = \theta$.
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\text{ar}(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \theta$ है।
$\triangle ADE$ का क्षेत्रफल $\text{ar}(\triangle ADE) = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin \theta$ है।
अतः,क्षेत्रफलों का अनुपात:
$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle ADE)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \theta}{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin \theta} = \frac{AB}{AD} \times \frac{AC}{AE}$.
दिया है $AD : AB = 3 : 5$,इसलिए $\frac{AB}{AD} = \frac{5}{3}$.
दिया है $AE : AC = 2 : 3$,इसलिए $\frac{AC}{AE} = \frac{3}{2}$.
इस प्रकार,अनुपात $\frac{5}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ है।
मान $2.5$ अंतराल $\left(2, \frac{5}{2}\right]$ में स्थित है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है $\sin x = -\frac{3}{5}$ और $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ (जो तीसरा चतुर्थांश है)।
तीसरे चतुर्थांश में $\tan x$ धनात्मक है और $\cos x$ ऋणात्मक है।
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,$\cos^2 x = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$।
चूंकि $x$ तीसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $\cos x = -\frac{4}{5}$।
अब,$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}$।
अतः,$\tan^2 x = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$।
इन मानों को $80(\tan^2 x - \cos x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$80(\frac{9}{16} - (-\frac{4}{5})) = 80(\frac{9}{16} + \frac{4}{5})$।
$= 80(\frac{45 + 64}{80}) = 45 + 64 = 109$।

(C) हम जानते हैं कि $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ और $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{3(\frac{\sqrt{5}+1}{4}) + 5(\frac{\sqrt{5}-1}{4})}{5(\frac{\sqrt{5}+1}{4}) - 3(\frac{\sqrt{5}-1}{4})} = \frac{3\sqrt{5}+3+5\sqrt{5}-5}{5\sqrt{5}+5-3\sqrt{5}+3} = \frac{8\sqrt{5}-2}{2\sqrt{5}+8} = \frac{4\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+4}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{4\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+4} \times \frac{4-\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}} = \frac{16\sqrt{5}-20-4+\sqrt{5}}{16-5} = \frac{17\sqrt{5}-24}{11}$.
इसकी तुलना $\frac{a\sqrt{5}-b}{c}$ से करने पर,हमें $a=17, b=24, c=11$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\gcd(17, 11)=1$,अतः ये मान सही हैं।
इसलिए,$a+b+c = 17+24+11 = 52$.