Fundamental trigonometrical ratios and functions, Trigonometrical ratio of allied angles Questions in Hindi

(B) माना दो बिंदु $P = (\cos \alpha, \sin \alpha)$ और $Q = (\cos (\pi+\alpha), \sin (\pi+\alpha))$ हैं।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos (\pi+\alpha) = -\cos \alpha$ और $\sin (\pi+\alpha) = -\sin \alpha$ का उपयोग करने पर,हमें $Q = (-\cos \alpha, -\sin \alpha)$ प्राप्त होता है।
इसे $Q = -(\cos \alpha, \sin \alpha) = -P$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,बिंदुओं की दिशाएँ विपरीत हैं।

(C) दिया गया है $\cot (A+B) = 0$.
चूंकि $\cot \theta = 0$ तब होता है जब $\theta = (2n+1) \frac{\pi}{2}$,इसलिए $A+B = \frac{\pi}{2}$ (सरलता के लिए $n=0$ लेने पर)।
अतः,$B = \frac{\pi}{2} - A$.
अब,$B$ का मान $\sin (A+2B)$ में रखने पर:
$\sin (A + 2(\frac{\pi}{2} - A)) = \sin (A + \pi - 2A) = \sin (\pi - A)$.
सर्वसमिका $\sin (\pi - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin (\pi - A) = \sin A$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $\sec x + \tan x = 3$ $(1)$
हम जानते हैं कि $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,$(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x) = 1$
$(1)$ का मान रखने पर,$\sec x - \tan x = \frac{1}{3}$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,$2 \sec x = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$
अतः,$\sec x = \frac{5}{3}$,जिसका अर्थ है कि $\cos x = \frac{3}{5}$
चूंकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ है,इसलिए $\sin x$ धनात्मक है।
$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

(B) त्रिकोणमितीय फलनों का परिसर इस प्रकार है:
$1$. $\sin \theta$ और $\cos \theta$ के लिए,मान $[-1, 1]$ अंतराल में होना चाहिए।
$2$. $\sec \theta$ और $\csc \theta$ के लिए,मान $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ में होना चाहिए।
$3$. $\tan \theta$ और $\cot \theta$ के लिए,मान कोई भी वास्तविक संख्या $(R)$ हो सकता है।
विकल्पों का मूल्यांकन करने पर:
- विकल्प $A$: $\sec \theta = 23$ संभव है क्योंकि $23 \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$।
- विकल्प $B$: $\cos \theta = \sqrt{2} \approx 1.414$। चूंकि $1.414 > 1$,यह मान $[-1, 1]$ के परिसर से बाहर है। अतः,$\cos \theta = \sqrt{2}$ का कोई हल नहीं है।
- विकल्प $C$: $\tan \theta = 2019$ संभव है क्योंकि $\tan \theta$ का परिसर $R$ है।
- विकल्प $D$: $\sin \theta = -\frac{1}{5} = -0.2$ संभव है क्योंकि $-0.2 \in [-1, 1]$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin x \cos x = \frac{1}{4}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2 \sin x \cos x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$\sin 2x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,इसलिए $2x \in (0, \pi)$ है।
$(0, \pi)$ में $2x$ के लिए हल $2x = \frac{\pi}{6}$ और $2x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ हैं।
अतः,$x = \frac{\pi}{12}$ और $x = \frac{5\pi}{12}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया व्यंजक: $\frac{\sin ^2(-160^{\circ})}{\sin ^2 70^{\circ}} + \frac{\sin (180^{\circ}-\theta)}{\sin \theta}$
चूँकि $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$,इसलिए $\sin^2(-160^{\circ}) = (-\sin 160^{\circ})^2 = \sin^2 160^{\circ}$ है।
साथ ही,$\sin(180^{\circ}-\theta) = \sin \theta$ होता है।
अतः,व्यंजक $\frac{\sin^2 160^{\circ}}{\sin^2 70^{\circ}} + \frac{\sin \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2(180^{\circ}-20^{\circ})}{\sin^2 70^{\circ}} + 1$ हो जाता है।
चूँकि $\sin(180^{\circ}-\alpha) = \sin \alpha$,इसलिए $\sin 160^{\circ} = \sin 20^{\circ}$ है।
इस प्रकार,$\frac{\sin^2 20^{\circ}}{\sin^2 70^{\circ}} + 1 = \frac{\sin^2 20^{\circ}}{\cos^2 20^{\circ}} + 1 = \tan^2 20^{\circ} + 1 = \sec^2 20^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $A = 18^{\circ}$। तब $5A = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है $2A = 90^{\circ} - 3A$।
दोनों पक्षों में साइन लेने पर,$\sin 2A = \sin(90^{\circ} - 3A) = \cos 3A$।
डबल एंगल और ट्रिपल एंगल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \sin A \cos A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A$।
चूंकि $\cos 18^{\circ} \neq 0$,हम $\cos A$ से विभाजित कर सकते हैं:
$2 \sin A = 4 \cos^2 A - 3$।
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \sin A = 4(1 - \sin^2 A) - 3$।
$2 \sin A = 4 - 4 \sin^2 A - 3$।
$4 \sin^2 A + 2 \sin A - 1 = 0$।
$\sin A$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\sin A = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$।
चूंकि $18^{\circ}$ प्रथम चतुर्थांश में है,$\sin 18^{\circ} > 0$।
अतः,$\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$।

(D) दिया गया है $\theta = \frac{17 \pi}{3} = 5 \pi + \frac{2 \pi}{3}$।
चूंकि $\tan(n \pi + x) = \tan x$ और $\cot(n \pi + x) = \cot x$,इसलिए $\tan \theta = \tan \frac{2 \pi}{3} = -\sqrt{3}$ और $\cot \theta = \cot \frac{2 \pi}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
अब,$(\tan \theta - \cot \theta) = -\sqrt{3} - (-\frac{1}{\sqrt{3}})$ की गणना करने पर,
$= -\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{-3 + 1}{\sqrt{3}} = \frac{-2}{\sqrt{3}}$।

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\cos 1^{\circ} \cdot \cos 2^{\circ} \cdot \cos 3^{\circ} \dots \cos 90^{\circ} \dots \cos 179^{\circ}$ है।
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$,इसलिए पूरे गुणनफल का मान $0$ हो जाएगा क्योंकि किसी भी संख्या का $0$ से गुणा करने पर परिणाम $0$ आता है।
अतः,$\cos 1^{\circ} \cdot \cos 2^{\circ} \cdot \cos 3^{\circ} \dots \cos 179^{\circ} = 0$.

(B) हम जानते हैं कि $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ होता है।
दिया गया व्यंजक $P = \tan 1^{\circ} \tan 2^{\circ} \tan 3^{\circ} \cdots \tan 44^{\circ} \tan 45^{\circ} \tan 46^{\circ} \cdots \tan 88^{\circ} \tan 89^{\circ}$ है।
हम लिख सकते हैं कि $\tan 89^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 1^{\circ}) = \cot 1^{\circ}$,$\tan 88^{\circ} = \cot 2^{\circ}$,आदि।
अतः,$P = (\tan 1^{\circ} \cot 1^{\circ}) \times (\tan 2^{\circ} \cot 2^{\circ}) \times \cdots \times (\tan 44^{\circ} \cot 44^{\circ}) \times \tan 45^{\circ}$।
चूँकि $\tan \theta \times \cot \theta = 1$ और $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $P = 1 \times 1 \times \cdots \times 1 \times 1 = 1$।

(A) दिया है $\sec \theta = \frac{13}{12}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{12}{13}$.
चूंकि $\theta$ चौथे चतुर्थांश में है,$\sin \theta$ ऋणात्मक होगा।
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$\sin \theta = -\sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = -\frac{5}{13}$.
अब,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\frac{5}{12}$ और $\operatorname{cosec} \theta = -\frac{13}{5}$.
मान रखने पर: $\tan \theta \times \operatorname{cosec} \theta \times \sin \theta \times \cos \theta = (-\frac{5}{12}) \times (-\frac{13}{5}) \times (-\frac{5}{13}) \times (\frac{12}{13}) = -\frac{5}{13}$.

(A) हम जानते हैं कि $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$ होता है।
$\tan \theta = 2$ का मान रखने पर,$\sec^{2} \theta = 1 + (2)^{2} = 1 + 4 = 5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\sec \theta$ ऋणात्मक होगा।
अतः,$\sec \theta = -\sqrt{5}$।

(D) $(a) \sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$(b) \cos 930^{\circ} = \cos(2 \times 360^{\circ} + 210^{\circ}) = \cos 210^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$(c) \tan 840^{\circ} = \tan(2 \times 360^{\circ} + 120^{\circ}) = \tan 120^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\tan 60^{\circ} = -\sqrt{3}$
$(d) \cot(-1110^{\circ}) = -\cot(1110^{\circ}) = -\cot(3 \times 360^{\circ} + 30^{\circ}) = -\cot 30^{\circ} = -\sqrt{3}$
मानों की तुलना करने पर,$(c)$ और $(d)$ दोनों का मान $-\sqrt{3}$ है।

(A) $\sin 690^{\circ} \times \sec 240^{\circ}$
$= \sin (2 \times 360^{\circ} - 30^{\circ}) \times \sec (180^{\circ} + 60^{\circ})$
$= \sin (-30^{\circ}) \times (-\sec 60^{\circ})$
$= (-\sin 30^{\circ}) \times (-2)$
$= (-\frac{1}{2}) \times (-2) = 1$

(C) दिया गया है $a = \sin 175^{\circ} + \cos 175^{\circ}$.
संबद्ध कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\sin 175^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 5^{\circ}) = \sin 5^{\circ}$
$\cos 175^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 5^{\circ}) = -\cos 5^{\circ}$
अतः,$a = \sin 5^{\circ} - \cos 5^{\circ}$.
अंतराल $0^{\circ} < \theta < 45^{\circ}$ में,हम जानते हैं कि $\sin \theta < \cos \theta$.
चूंकि $5^{\circ}$ इस अंतराल में है,इसलिए $\sin 5^{\circ} < \cos 5^{\circ}$.
अतः,$\sin 5^{\circ} - \cos 5^{\circ} < 0$,जिसका अर्थ है कि $a < 0$.

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ संपूरक कोण हैं,इसलिए $A + B = 180^{\circ}$ है।
इसका अर्थ है $B = 180^{\circ} - A$,अतः $\frac{B}{2} = 90^{\circ} - \frac{A}{2}$ है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^{2} \frac{A}{2} + \sin^{2} (90^{\circ} - \frac{A}{2})$.
सर्वसमिका $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sin^{2} \frac{A}{2} + \cos^{2} \frac{A}{2}$.
चूंकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,इसलिए उत्तर $1$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
$\tan \frac{2 \pi}{3} = \tan(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\tan \frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$.
$\tan \frac{4 \pi}{3} = \tan(\pi + \frac{\pi}{3}) = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
$\tan \frac{8 \pi}{3} = \tan(2 \pi + \frac{2 \pi}{3}) = \tan \frac{2 \pi}{3} = -\sqrt{3}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\sqrt{3} + 2(-\sqrt{3}) + 4(\sqrt{3}) + 8(-\sqrt{3})$
$= \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3}$
$= (1 - 2 + 4 - 8) \sqrt{3}$
$= -5 \sqrt{3}$.

(A) $\sec 2 \theta - \tan 2 \theta = \frac{1}{\cos 2 \theta} - \frac{\sin 2 \theta}{\cos 2 \theta} = \frac{1 - \sin 2 \theta}{\cos 2 \theta}$
$\frac{(\cos \theta - \sin \theta)^2}{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta} = \frac{(\cos \theta - \sin \theta)^2}{(\cos \theta - \sin \theta)(\cos \theta + \sin \theta)}$
$= \frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} = \frac{\tan \frac{\pi}{4} - \tan \theta}{1 + \tan \frac{\pi}{4} \tan \theta}$
$= \tan \left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)$

(C) दिया गया है कि $\sin A - \sin B = 0$ है।
इसका अर्थ है कि $\sin A = \sin B$ है।
हम जानते हैं कि $A, B \in (0, \pi)$ के लिए,$\sin A = \sin B$ का अर्थ है कि या तो $A = B$ है या $A = \pi - B$ है।
प्रतिबंध $A = \pi - B$ का अर्थ $A + B = \pi$ है,जिसका मतलब है कि कोण संपूरक हैं।
चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि कोण संपूरक नहीं हैं,इसलिए $A = B$ होना चाहिए।

(B) हमारे पास है,$\frac{1-2(\cos 60^{\circ}-\cos 80^{\circ})}{2 \sin 10^{\circ}}$
$= \frac{1-2(\frac{1}{2}-\cos 80^{\circ})}{2 \sin 10^{\circ}}$
$= \frac{1-1+2 \cos 80^{\circ}}{2 \sin 10^{\circ}}$
$= \frac{2 \cos 80^{\circ}}{2 \sin 10^{\circ}}$
$= \frac{\cos(90^{\circ}-10^{\circ})}{\sin 10^{\circ}}$
$= \frac{\sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}} = 1$

(A) हम जानते हैं कि $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$.
दिया गया व्यंजक: $\sin^{2} 51^{\circ} + \sin^{2} 39^{\circ}$.
हम $39^{\circ}$ को $(90^{\circ} - 51^{\circ})$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\sin^{2} 39^{\circ} = \sin^{2}(90^{\circ} - 51^{\circ}) = \cos^{2} 51^{\circ}$.
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\sin^{2} 51^{\circ} + \cos^{2} 51^{\circ}$.
सर्वसमिका $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $1$ प्राप्त होता है।

(C) रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए सूत्र: $\text{डिग्री} = \text{रेडियन} \times \frac{180^{\circ}}{\pi}$.
दिया गया कोण $\frac{\pi}{32}$ रेडियन है।
$\text{डिग्री माप} = \frac{\pi}{32} \times \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{180}{32}^{\circ} = \frac{45}{8}^{\circ} = 5 \frac{5}{8}^{\circ}$.
अब,भिन्नात्मक भाग को मिनट में बदलने पर: $5^{\circ} + (\frac{5}{8} \times 60)^{\prime} = 5^{\circ} + (\frac{300}{8})^{\prime} = 5^{\circ} + 37.5^{\prime} = 5^{\circ} 37^{\prime} + 0.5^{\prime}$.
शेष भिन्नात्मक भाग को सेकंड में बदलने पर: $0.5^{\prime} = (0.5 \times 60)^{\prime \prime} = 30^{\prime \prime}$.
अतः,अंतिम माप $5^{\circ} 37^{\prime} 30^{\prime \prime}$ है।

(A) दिया गया व्यंजक: $\cos 1200^{\circ} + \tan 1485^{\circ}$
$\cos(n \times 360^{\circ} + \theta) = \cos \theta$ और $\tan(n \times 360^{\circ} + \theta) = \tan \theta$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\cos 1200^{\circ} = \cos(3 \times 360^{\circ} + 120^{\circ}) = \cos 120^{\circ}$
$\tan 1485^{\circ} = \tan(4 \times 360^{\circ} + 45^{\circ}) = \tan 45^{\circ}$
अब,मान ज्ञात करने पर:
$\cos 120^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} = -\frac{1}{2}$
$\tan 45^{\circ} = 1$
अतः,$\cos 1200^{\circ} + \tan 1485^{\circ} = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

(A) प्रत्येक विकल्प का मूल्यांकन करते हैं:
$A$: $\cos 5 \pi = -1$ और $\cos 4 \pi = 1$ है। चूँकि $-1 \neq 1$,यह कथन गलत है।
$B$: $\sin 2 \pi = 0$ और $\sin (-2 \pi) = 0$ है। यह सही है।
$C$: $\sin 4 \pi = 0$ और $\sin 6 \pi = 0$ है। यह सही है।
$D$: $\tan 45^{\circ} = 1$ और $\tan (-315^{\circ}) = \tan (-315^{\circ} + 360^{\circ}) = \tan 45^{\circ} = 1$ है। यह सही है।
अतः,गलत कथन $A$ है।

(D) दिया गया फलन $y = \tan x$ है।
$II$ चतुर्थांश में,कोण $x$ का मान $\frac{\pi}{2}$ से $\pi$ के बीच होता है।
जैसे-जैसे $x$,$\frac{\pi}{2}^+$ की ओर बढ़ता है,$\tan x$ का मान $-\infty$ की ओर जाता है।
जैसे-जैसे $x$,$\pi^-$ की ओर बढ़ता है,$\tan x$ का मान $0$ की ओर जाता है।
चूंकि फलन का मान $-\infty$ से $0$ की ओर बढ़ता है,इसलिए $II$ चतुर्थांश में $y = \tan x$,$-\infty$ से $0$ तक बढ़ता है।

(B) दी गई व्यंजक $\frac{\sin 70^{\circ}+\cos 40^{\circ}}{\cos 70^{\circ}+\sin 40^{\circ}}$ है।
सर्वसमिका $\cos \theta = \sin(90^{\circ}-\theta)$ और $\sin \theta = \cos(90^{\circ}-\theta)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\sin 70^{\circ}+\sin 50^{\circ}}{\cos 70^{\circ}+\cos 50^{\circ}}$
योग-गुणनफल सूत्रों $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ और $\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin 60^{\circ} \cos 10^{\circ}}{2 \cos 60^{\circ} \cos 10^{\circ}}$
$= \frac{\sin 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}} = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.

(C) दिया गया व्यंजक: $(\sin \theta + \cos \theta)(\tan \theta + \cot \theta)$
$= (\sin \theta + \cos \theta) \left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)$
$= (\sin \theta + \cos \theta) \left( \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \right)$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$= (\sin \theta + \cos \theta) \left( \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} \right)$
$= \frac{\sin \theta}{\sin \theta \cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
$= \frac{1}{\cos \theta} + \frac{1}{\sin \theta}$
$= \sec \theta + \operatorname{cosec} \theta$

(C) $\sin \theta$ और $\cos \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है। $\sec \theta$ का परिसर $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ है। $\tan \theta$ का परिसर $(-\infty, \infty)$ है।
$(a)$ $\sin \theta = \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}$ के लिए,यदि हम $a=2, b=1$ लें,तो $\sin \theta = \frac{5}{3} > 1$ होगा,जो संभव नहीं है।
$(b)$ $\sec \theta = \frac{4}{5} = 0.8$ के लिए,जो संभव नहीं है क्योंकि $|\sec \theta| \geq 1$ होता है।
$(c)$ $\tan \theta = 45$ के लिए,यह संभव है क्योंकि $\tan \theta$ का परिसर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।
$(d)$ $\cos \theta = \frac{7}{3} > 1$ के लिए,जो संभव नहीं है।
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(C) माना $x = 67 \frac{1}{2}^{\circ} = 67.5^{\circ}$. हमें $\tan 67.5^{\circ} + \cot 67.5^{\circ}$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ का उपयोग करने पर।
यहाँ,$\theta = 67.5^{\circ}$,इसलिए $2\theta = 135^{\circ}$.
अतः,$\tan 67.5^{\circ} + \cot 67.5^{\circ} = \frac{2}{\sin 135^{\circ}}$.
चूंकि $\sin 135^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,मान $\frac{2}{1/\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$ है।

(B) हमारे पास है,$\sin ^{2} 17.5^{\circ} + \sin ^{2} 72.5^{\circ}$
चूँकि $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$,इसलिए $\sin(72.5^{\circ}) = \sin(90^{\circ} - 17.5^{\circ}) = \cos(17.5^{\circ})$।
अतः,$\sin ^{2} 17.5^{\circ} + \sin ^{2} 72.5^{\circ} = \sin ^{2} 17.5^{\circ} + \cos ^{2} 17.5^{\circ}$।
सर्वसमिका $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $\tan ^{2} 45^{\circ} = 1^{2} = 1$।
अतः,यह व्यंजक $\tan ^{2} 45^{\circ}$ के बराबर है।

(B) हमें दिया गया व्यंजक है: $\tan 1^{\circ} \tan 2^{\circ} \tan 3^{\circ} \ldots \tan 89^{\circ}$।
गुणधर्म $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ का उपयोग करते हुए,हम $46^{\circ}$ से $89^{\circ}$ तक के पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\tan 89^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 1^{\circ}) = \cot 1^{\circ}$
$\tan 88^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 2^{\circ}) = \cot 2^{\circ}$
$\dots$
$\tan 46^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 44^{\circ}) = \cot 44^{\circ}$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$= (\tan 1^{\circ} \cot 1^{\circ}) \times (\tan 2^{\circ} \cot 2^{\circ}) \times \dots \times (\tan 44^{\circ} \cot 44^{\circ}) \times \tan 45^{\circ}$।
चूंकि $\tan \theta \cot \theta = 1$ और $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए व्यंजक का मान:
$= 1 \times 1 \times \dots \times 1 \times 1 = 1$ होगा।

(B) दिया गया व्यंजक: $\tan \left(1^{\circ}\right)+\tan \left(89^{\circ}\right)$
चूंकि $\tan \left(90^{\circ}-\theta\right)=\cot \theta$,इसलिए $\tan \left(89^{\circ}\right)=\tan \left(90^{\circ}-1^{\circ}\right)=\cot \left(1^{\circ}\right)$
अतः,व्यंजक हो जाता है: $\tan \left(1^{\circ}\right)+\cot \left(1^{\circ}\right)$
$= \frac{\sin \left(1^{\circ}\right)}{\cos \left(1^{\circ}\right)}+\frac{\cos \left(1^{\circ}\right)}{\sin \left(1^{\circ}\right)}$
$= \frac{\sin^2 \left(1^{\circ}\right)+\cos^2 \left(1^{\circ}\right)}{\sin \left(1^{\circ}\right) \cos \left(1^{\circ}\right)}$
$= \frac{1}{\sin \left(1^{\circ}\right) \cos \left(1^{\circ}\right)}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2}{2 \sin \left(1^{\circ}\right) \cos \left(1^{\circ}\right)}$
सर्वसमिका $\sin \left(2\theta\right)=2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2}{\sin \left(2^{\circ}\right)}$

(D) हम जानते हैं कि $\operatorname{cosech} x = \frac{1}{\sinh x}$ होता है।
दिया गया है $\operatorname{cosech} x = \frac{4}{5}$,इसलिए $\sinh x = \frac{5}{4}$।
सर्वसमिका $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ का उपयोग करने पर,$\cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x$ प्राप्त होता है।
$\sinh x$ का मान रखने पर: $\cosh^2 x = 1 + (\frac{5}{4})^2 = 1 + \frac{25}{16} = \frac{16 + 25}{16} = \frac{41}{16}$।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $\cosh x > 0$ होता है,इसलिए हम धनात्मक वर्गमूल लेते हैं: $\cosh x = \sqrt{\frac{41}{16}}$।

(A) हम जानते हैं कि $\sin(180^{\circ} + \theta) = -\sin \theta$ और $\sin(540^{\circ} + \theta) = -\sin \theta$ होता है।
चरण $1$: $\sin 210^{\circ} = \sin(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\sin 30^{\circ} = -\frac{1}{2}$।
चरण $2$: $\sin 585^{\circ} = \sin(540^{\circ} + 45^{\circ}) = -\sin 45^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।
चरण $3$: मानों का गुणा करने पर: $(-\frac{1}{2}) \times (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) $\operatorname{cosec} 15^{\circ} + \sec 15^{\circ} = \frac{1}{\sin 15^{\circ}} + \frac{1}{\cos 15^{\circ}}$
$= \frac{\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2(\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ})}{2 \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}} = \frac{2(\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ})}{\sin 30^{\circ}}$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$= 4(\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ})$
$\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ और $\cos 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ का उपयोग करने पर:
$= 4 \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right)$
$= 4 \left( \frac{2\sqrt{6}}{4} \right) = 2\sqrt{6}$

(A) दिया गया है $x = \tan 15^{\circ} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.268$।
$y = \operatorname{cosec} 75^{\circ} = \sqrt{6} - \sqrt{2} \approx 1.035$।
$z = 4 \sin 18^{\circ} = \sqrt{5} - 1 \approx 1.236$।
मानों की तुलना करने पर: $0.268 < 1.035 < 1.236$,जो दर्शाता है कि $x < y < z$।

(D) दिया गया व्यंजक: $\frac{\sin \theta}{1-\cot \theta} + \frac{\cos \theta}{1-\tan \theta}$
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ और $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{\sin \theta}{1-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}} + \frac{\cos \theta}{1-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}$
$= \frac{\sin^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta - \sin \theta}$
$= \frac{\sin^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} - \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta}$
$= \frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta}$
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin \theta + \cos \theta)}{\sin \theta - \cos \theta}$
$= \sin \theta + \cos \theta$

(B) हम जानते हैं कि हाइपरबोलिक फलन इस प्रकार संबंधित हैं:
$\sinh x = \frac{1}{\operatorname{cosech} x}$
दिया गया है कि $\operatorname{cosech} x = \frac{4}{5}$,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\sinh x = \frac{1}{4/5} = \frac{5}{4}$

(C) $\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1+\tanh x}{1-\tanh x} = \frac{1 + \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}}{1 - \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}}$
$= \frac{\frac{e^x + e^{-x} + e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}}{\frac{e^x + e^{-x} - (e^x - e^{-x})}{e^x + e^{-x}}}$
$= \frac{2e^x}{2e^{-x}}$
$= e^{2x}$

(D) दिया गया व्यंजक: $f(x) = 1 + \sec ^2 x \sin ^2 x$
चूँकि $\sec x = \frac{1}{\cos x}$,इसलिए $\sec ^2 x = \frac{1}{\cos ^2 x}$ होता है।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $f(x) = 1 + \frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}$
चूँकि $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$,इसलिए $\tan ^2 x = \frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}$ होता है।
अतः,$f(x) = 1 + \tan ^2 x$
सर्वसमिका $1 + \tan ^2 x = \sec ^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें $f(x) = \sec ^2 x$ प्राप्त होता है।

(A) हम प्रत्येक व्यंजक का मूल्यांकन उस चतुर्थांश के आधार पर करते हैं जिसमें कोण स्थित है:
$I. \sin(-292^{\circ}) = \sin(68^{\circ})$। चूँकि $68^{\circ}$ प्रथम चतुर्थांश में है,$\sin(68^{\circ}) > 0$ है।
$II. \tan(-190^{\circ}) = -\tan(190^{\circ}) = -\tan(180^{\circ} + 10^{\circ}) = -\tan(10^{\circ})$। चूँकि $\tan(10^{\circ}) > 0$ है,इसलिए मान ऋणात्मक है।
$III. \cos(-207^{\circ}) = \cos(207^{\circ}) = \cos(180^{\circ} + 27^{\circ}) = -\cos(27^{\circ})$। चूँकि $\cos(27^{\circ}) > 0$ है,इसलिए मान ऋणात्मक है।
$IV. \cot(-222^{\circ}) = -\cot(222^{\circ}) = -\cot(180^{\circ} + 42^{\circ}) = -\cot(42^{\circ})$। चूँकि $\cot(42^{\circ}) > 0$ है,इसलिए मान ऋणात्मक है।
अतः,$II, III$ और $IV$ ऋणात्मक हैं।

(B) दिया गया व्यंजक: $\sin ^2\left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\cos ^2\left(\frac{5 \pi}{6}\right)-\tan ^2\left(\frac{3 \pi}{4}\right)$
संबद्ध कोणों का उपयोग करते हुए: $\sin(\pi-x) = \sin x$,$\cos(\pi-x) = -\cos x$,$\tan(\pi-x) = -\tan x$
$= \sin ^2\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)+\cos ^2\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)-\tan ^2\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$
$= \sin ^2\left(\frac{\pi}{3}\right)+\left(-\cos \frac{\pi}{6}\right)^2-\left(-\tan \frac{\pi}{4}\right)^2$
$= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-(-1)^2$
$= \frac{3}{4}+\frac{3}{4}-1$
$= \frac{6}{4}-1 = \frac{3}{2}-1 = \frac{1}{2}$

(D) $\frac{1}{1+\sin \theta} + \frac{1}{1-\sin \theta} = \frac{(1-\sin \theta) + (1+\sin \theta)}{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}$
$= \frac{2}{1-\sin^2 \theta}$
$= \frac{2}{\cos^2 \theta}$
$= 2 \sec^2 \theta$

(D) दिया गया व्यंजक: $\frac{\cos x}{1+\sin x} + \tan x$
पहले पद के अंश और हर को $(1-\sin x)$ से गुणा करने पर:
$\frac{\cos x(1-\sin x)}{(1+\sin x)(1-\sin x)} + \tan x$
सर्वसमिका $(1+\sin x)(1-\sin x) = 1-\sin^2 x = \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos x(1-\sin x)}{\cos^2 x} + \tan x$
भिन्न को सरल करने पर:
$\frac{1-\sin x}{\cos x} + \tan x$
भिन्न को अलग करने पर:
$\frac{1}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x} + \tan x$
चूंकि $\frac{1}{\cos x} = \sec x$ और $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$:
$\sec x - \tan x + \tan x = \sec x$

(B) हम गुणधर्म $\cos^2 \theta = \cos^2(180^{\circ} \pm \theta) = \cos^2(360^{\circ} \pm \theta)$ का उपयोग करते हैं।
$\cos 135^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} \implies \cos^2 135^{\circ} = \cos^2 45^{\circ}$.
$\cos 225^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} \implies \cos^2 225^{\circ} = \cos^2 45^{\circ}$.
$\cos 315^{\circ} = \cos(360^{\circ} - 45^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \implies \cos^2 315^{\circ} = \cos^2 45^{\circ}$.
अतः,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\cos^2 45^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} = 4 \cos^2 45^{\circ}$.
चूँकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$.
अतः,$4 \times \frac{1}{2} = 2$.

(B) हम जानते हैं कि $\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$ और $\sec 45^{\circ} = \sqrt{2}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 + (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2$
$= 1 + 3 - 2$
$= 4 - 2$
$= 2$

(B) दिया गया व्यंजक: $\frac{\sin x}{1+\cos x} + \frac{1+\cos x}{\sin x}$
हर समान करने पर: $\frac{\sin^2 x + (1+\cos x)^2}{\sin x(1+\cos x)}$
$= \frac{\sin^2 x + 1 + 2\cos x + \cos^2 x}{\sin x(1+\cos x)}$
चूँकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1 + 1 + 2\cos x}{\sin x(1+\cos x)}$
$= \frac{2 + 2\cos x}{\sin x(1+\cos x)} = \frac{2(1+\cos x)}{\sin x(1+\cos x)}$
$= \frac{2}{\sin x} = 2 \operatorname{cosec} x$