Fundamental trigonometrical ratios and functions, Trigonometrical ratio of allied angles Questions in Hindi

(A) दिया गया व्यंजक: $\cos \theta(\operatorname{cosec} \theta - \sec \theta) - \cot \theta$
$= \cos \theta \left( \frac{1}{\sin \theta} - \frac{1}{\cos \theta} \right) - \cot \theta$
$= \frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\cos \theta}{\cos \theta} - \cot \theta$
$= \cot \theta - 1 - \cot \theta$
$= -1$

(C) बिंदु $(-5, 12)$ का $x$-निर्देशांक ऋणात्मक और $y$-निर्देशांक धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि यह द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
द्वितीय चतुर्थांश में,$\sin \theta$ और $\operatorname{cosec} \theta$ धनात्मक होते हैं,जबकि $\cos \theta, \sec \theta, \tan \theta$ और $\cot \theta$ ऋणात्मक होते हैं।
मापांक फलन की परिभाषा के अनुसार,यदि $x < 0$ है तो $|x| = -x$ होता है।
चूंकि $\tan \theta < 0$ है,इसलिए $|\tan \theta| = -\tan \theta$ होगा।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) संबद्ध कोणों के सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\sin(\pi+x) = -\sin x$
$\cos(\frac{\pi}{2}+x) = -\sin x$
$\tan(\frac{3\pi}{2}-x) = \cot x$
$\cot(2\pi-x) = -\cot x$
$\sin(2\pi-x) = -\sin x$
$\cos(2\pi+x) = \cos x$
$\operatorname{cosec}(-x) = -\operatorname{cosec} x$
$\sin(\frac{3\pi}{2}+x) = -\cos x$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$= \frac{(-\sin x)(-\sin x)(\cot x)(-\cot x)}{(-\sin x)(\cos x)(-\operatorname{cosec} x)(-\cos x)} = 1$
अतः,विकल्प $C$ सही है.

(D) दिया गया है कि $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,जहाँ $\tan \theta$ धनात्मक होता है।
हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos \theta = -\frac{3}{5}$ रखने पर,$\sin^2 \theta + (-\frac{3}{5})^2 = 1$.
$\sin^2 \theta + \frac{9}{25} = 1 \implies \sin^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
चूँकि $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में है,$\sin \theta$ ऋणात्मक होगा,अतः $\sin \theta = -\frac{4}{5}$.
अब,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-4/5}{-3/5} = \frac{4}{3}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) हम जानते हैं कि $\tanh \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}}$ है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1 + \tanh \left(\frac{x}{2}\right)}{1 - \tanh \left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1 + \frac{e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}}}{1 - \frac{e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}}}$
$= \frac{\frac{e^{x/2} + e^{-x/2} + e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}}}{\frac{e^{x/2} + e^{-x/2} - (e^{x/2} - e^{-x/2})}{e^{x/2} + e^{-x/2}}}$
$= \frac{2e^{x/2}}{2e^{-x/2}}$
$= e^{x/2 - (-x/2)} = e^x$.

(B) दिया गया है $\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = \frac{1}{3}$.
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta = \frac{1}{\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta} = 3$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2 \operatorname{cosec} \theta = \frac{10}{3} \Rightarrow \sin \theta = \frac{3}{5}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2 \cot \theta = -\frac{8}{3}$ $\Rightarrow \cot \theta = -\frac{4}{3}$ $\Rightarrow \cos \theta = -\frac{4}{5}$.
चूँकि $\sin \theta > 0$ और $\cos \theta < 0$ है,इसलिए $\theta$ $2^{\text{nd}}$ चतुर्थांश में स्थित है.

(C) हम जानते हैं कि $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$,इसलिए $\cos^2(\pi - \theta) = \cos^2 \theta$.
साथ ही,$\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$,इसलिए $\cos^2(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin^2 \theta$.
दिया गया व्यंजक: $E = \cos^2(\frac{7\pi}{8}) + \cos^2(\frac{5\pi}{8}) + \cos^2(\frac{3\pi}{8}) + \cos^2(\frac{\pi}{8})$.
यहाँ $\frac{7\pi}{8} = \pi - \frac{\pi}{8}$,इसलिए $\cos^2(\frac{7\pi}{8}) = \cos^2(\frac{\pi}{8})$.
यहाँ $\frac{5\pi}{8} = \pi - \frac{3\pi}{8}$,इसलिए $\cos^2(\frac{5\pi}{8}) = \cos^2(\frac{3\pi}{8})$.
अतः,$E = 2\cos^2(\frac{\pi}{8}) + 2\cos^2(\frac{3\pi}{8})$.
चूंकि $\frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}$,इसलिए $\cos^2(\frac{3\pi}{8}) = \sin^2(\frac{\pi}{8})$.
इस मान को $E$ में रखने पर: $E = 2\cos^2(\frac{\pi}{8}) + 2\sin^2(\frac{\pi}{8})$.
$E = 2(\cos^2(\frac{\pi}{8}) + \sin^2(\frac{\pi}{8}))$.
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $E = 2(1) = 2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $\sin(270^{\circ}-x^{\circ})=\cos 292^{\circ}$.
संबद्ध कोण सूत्र $\sin(270^{\circ}-\theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$-\cos x^{\circ} = \cos 292^{\circ}$.
हम जानते हैं कि $\cos(180^{\circ}+\theta) = -\cos \theta$,इसलिए:
$-\cos x^{\circ} = \cos(180^{\circ}+x^{\circ})$.
अब,$\cos(180^{\circ}+x^{\circ}) = \cos 292^{\circ}$ की तुलना करने पर:
$180+x = 292 \implies x = 292-180 = 112$.
अतः,$x = 112$.

(A) दिया गया है कि $\theta$ प्रथम चतुर्थांश में है और $5 \tan \theta = 4$ है।
व्यंजक के अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{5 \tan \theta - 3}{\tan \theta + 2}$
$\tan \theta = \frac{4}{5}$ रखने पर:
$\frac{5(\frac{4}{5}) - 3}{\frac{4}{5} + 2} = \frac{4 - 3}{\frac{4 + 10}{5}} = \frac{1}{\frac{14}{5}} = \frac{5}{14}$.

(B) संबद्ध कोणों के लिए त्रिकोणमितीय फलनों के मानों का उपयोग करने पर:
$\sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 150^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 240^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} = -\frac{1}{2}$
$\sin 330^{\circ} = \sin(360^{\circ} - 30^{\circ}) = -\sin 30^{\circ} = -\frac{1}{2}$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{1}{2}\right)$
$= -\frac{3}{4} - \frac{1}{4}$
$= -\frac{4}{4} = -1$

(C) माना $x \cos \theta = y \cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) = z \cos \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) = \lambda$ (जहाँ $\lambda \neq 0$ है)।
अतः,$\frac{1}{x} = \frac{\cos \theta}{\lambda}$,$\frac{1}{y} = \frac{\cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right)}{\lambda}$,और $\frac{1}{z} = \frac{\cos \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right)}{\lambda}$।
इनका योग करने पर,$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{\lambda} \left[ \cos \theta + \cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) + \cos \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) \right]$।
पहले और तीसरे पद के लिए सर्वसमिका $\cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\cos \theta + \cos \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) = 2 \cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) \cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right) = 2 \cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) \left(-\frac{1}{2}\right) = -\cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right)$।
इस मान को योग में रखने पर:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{\lambda} \left[ -\cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) + \cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) \right] = \frac{1}{\lambda} (0) = 0$।

(B) योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करते हुए: $\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$ और $\sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$.
इन सूत्रों को व्यंजक में लागू करने पर:
$\frac{\cos 10^{\circ} + \cos 80^{\circ}}{\sin 80^{\circ} - \sin 10^{\circ}} = \frac{2 \cos \left( \frac{80^{\circ} + 10^{\circ}}{2} \right) \cos \left( \frac{80^{\circ} - 10^{\circ}}{2} \right)}{2 \cos \left( \frac{80^{\circ} + 10^{\circ}}{2} \right) \sin \left( \frac{80^{\circ} - 10^{\circ}}{2} \right)}$
$= \frac{\cos 45^{\circ} \cos 35^{\circ}}{\cos 45^{\circ} \sin 35^{\circ}}$
$= \cot 35^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 35^{\circ}) = \tan 55^{\circ}$.

(B) दिया गया व्यंजक: $E = \frac{1}{\cos 290^{\circ}} + \frac{1}{\sqrt{3} \sin 250^{\circ}}$
संबद्ध कोणों का उपयोग करने पर: $\cos 290^{\circ} = \cos(270^{\circ} + 20^{\circ}) = \sin 20^{\circ}$ और $\sin 250^{\circ} = \sin(270^{\circ} - 20^{\circ}) = -\cos 20^{\circ}$।
अतः,$E = \frac{1}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\sqrt{3} \cos 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sqrt{3} \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$E = \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ})}{\frac{\sqrt{3}}{2} (2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ})}$
$E = \frac{2(\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 40^{\circ}}$
$E = \frac{2 \sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 40^{\circ}} = \frac{2 \sin 40^{\circ}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 40^{\circ}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$

(B) दी गई व्यंजक: $\left[1-\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)+\sin \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)\right]^2+\left[1-\sin \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)-\cos \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)\right]^2=a+b \sin ^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए: $\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha) = -\sin \alpha$,$\sin(\frac{3\pi}{2}+\alpha) = -\cos \alpha$,$\sin(\frac{3\pi}{2}-\alpha) = -\cos \alpha$,और $\cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha) = \sin \alpha$.
व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $(1+\sin \alpha-\cos \alpha)^2+(1+\cos \alpha-\sin \alpha)^2 = a+b \sin ^2(\frac{\pi}{4}+\alpha)$.
दोनों वर्गों का विस्तार करने पर: $(1+\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha+2\sin \alpha-2\sin \alpha \cos \alpha-2\cos \alpha) + (1+\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha+2\cos \alpha-2\sin \alpha \cos \alpha-2\sin \alpha) = a+b \sin^2(\frac{\pi}{4}+\alpha)$.
सरल करने पर: $4-4\sin \alpha \cos \alpha = a+b(\sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha+\cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha)^2$.
$4-4\sin \alpha \cos \alpha = a+\frac{b}{2}(\cos \alpha+\sin \alpha)^2 = a+\frac{b}{2}(1+2\sin \alpha \cos \alpha) = (a+\frac{b}{2}) + b\sin \alpha \cos \alpha$.
गुणांकों की तुलना करने पर: $b = -4$ और $a+\frac{b}{2} = 4$ $\Rightarrow a-2 = 4$ $\Rightarrow a = 6$.
अतः,$a^2+b^2 = 6^2+(-4)^2 = 36+16 = 52$.

(A) हमारे पास व्यंजक $\operatorname{cosec} 750^{\circ} - 2 \cot 765^{\circ}$ है।
त्रिकोणमितीय फलनों की आवर्तकता का उपयोग करते हुए,$\operatorname{cosec}(n \times 360^{\circ} + \theta) = \operatorname{cosec} \theta$ और $\cot(n \times 360^{\circ} + \theta) = \cot \theta$.
$\operatorname{cosec} 750^{\circ} = \operatorname{cosec}(2 \times 360^{\circ} + 30^{\circ}) = \operatorname{cosec} 30^{\circ} = 2$.
$\cot 765^{\circ} = \cot(2 \times 360^{\circ} + 45^{\circ}) = \cot 45^{\circ} = 1$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 - 2(1) = 2 - 2 = 0$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) हमें $S = \sin \frac{\pi}{5} + \sin \frac{2\pi}{5} + \sin \frac{3\pi}{5} + \sin \frac{4\pi}{5}$ का मान ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $\sin \frac{4\pi}{5} = \sin \frac{\pi}{5}$ और $\sin \frac{3\pi}{5} = \sin \frac{2\pi}{5}$ होता है।
अतः,$S = 2(\sin \frac{\pi}{5} + \sin \frac{2\pi}{5})$।
$\sin \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$ और $\sin \frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$ मानों का उपयोग करने पर,
$S = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}} + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$S = \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}$।

(C) हमें व्यंजक दिया गया है: $\frac{\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta}{\sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)}$.
सूत्र $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करके हर का विस्तार करने पर:
$\sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \sin \theta \cos \frac{\pi}{6} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{6}$.
चूंकि $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$,हर होगा:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta = \frac{1}{2} (\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta)$.
इस मान को मूल व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta}{\frac{1}{2} (\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta)} = \frac{1}{1/2} = 2$.
अतः,विकल्प $C$ सही है.

(D) हमारे पास व्यंजक है: $\tan \left(-\frac{23 \pi}{3}\right)-\cot \left(\theta-\frac{13 \pi}{3}\right)$
चूँकि $\tan(-x) = -\tan(x)$,हमारे पास $\tan \left(-\frac{23 \pi}{3}\right) = -\tan \left(\frac{23 \pi}{3}\right) = -\tan \left(8 \pi - \frac{\pi}{3}\right) = -(-\tan \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ है।
दूसरे पद के लिए,$\cot \left(\theta-\frac{13 \pi}{3}\right) = \cot \left(\theta - (4 \pi + \frac{\pi}{3})\right) = \cot \left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = -\cot \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{3} - (-\cot \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)) = \sqrt{3} + \cot \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना $x = \cot \theta$. व्यंजक $2x^2 - x - 3$ हो जाता है।
$2x^2 - x - 3$ का गुणनखंड करने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $2 \times (-3) = -6$ और योग $-1$ हो।
ये संख्याएँ $-3$ और $2$ हैं।
$2x^2 - 3x + 2x - 3 = x(2x - 3) + 1(2x - 3) = (2x - 3)(x + 1)$.
$x = \cot \theta$ वापस रखने पर,हमें $(2 \cot \theta - 3)(\cot \theta + 1)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया व्यंजक: $\tan x + \frac{\cos x}{1 + \sin x}$
$= \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{1 + \sin x}$
$= \frac{\sin x(1 + \sin x) + \cos^2 x}{\cos x(1 + \sin x)}$
$= \frac{\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x}{\cos x(1 + \sin x)}$
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{\sin x + 1}{\cos x(1 + \sin x)}$
$= \frac{1}{\cos x} = \sec x$

(A) हमारे पास $\sin \left(\frac{5 \pi}{3}\right) + \sec \left(\frac{13 \pi}{3}\right)$ है।
पहले,$\sin \left(\frac{5 \pi}{3}\right) = \sin \left(2 \pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ को सरल करें।
फिर,$\sec \left(\frac{13 \pi}{3}\right) = \sec \left(4 \pi + \frac{\pi}{3}\right) = \sec \left(\frac{\pi}{3}\right) = 2$ को सरल करें।
इन मानों को जोड़ने पर,हमें $-\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दी गई असमिका $\sqrt{3} \cos \theta + \sin \theta > 0$ है।
पूरी असमिका को $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta > 0$.
हम जानते हैं कि $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ होता है।
अतः,$\cos \frac{\pi}{6} \cos \theta + \sin \frac{\pi}{6} \sin \theta > 0$.
सर्वसमिका $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\cos(\theta - \frac{\pi}{6}) > 0$.
$\cos x > 0$ के लिए,$x$ को एक आवर्त में $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ अंतराल में होना चाहिए।
इसलिए,$-\frac{\pi}{2} < \theta - \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$.
सभी भागों में $\frac{\pi}{6}$ जोड़ने पर:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$.
$-\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{2\pi}{3}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\tanh(y) = \frac{e^y - e^{-y}}{e^y + e^{-y}}$ होता है।
$y = \log x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tanh(\log x) = \frac{e^{\log x} - e^{-\log x}}{e^{\log x} + e^{-\log x}}$
चूंकि $e^{\log x} = x$ और $e^{-\log x} = \frac{1}{x}$,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\tanh(\log x) = \frac{x - \frac{1}{x}}{x + \frac{1}{x}}$
अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tanh(\log x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$

(D) माना कि $x = \operatorname{Tanh}^{-1}(\sin \theta)$.
तब $\tanh x = \sin \theta$.
हम जानते हैं कि $\operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x = 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$.
अतः,$\operatorname{sech} x = \cos \theta$,जिसका अर्थ है कि $\cosh x = \sec \theta$.
इसलिए,$x = \operatorname{Cosh}^{-1}(\sec \theta)$.
अतः,$\operatorname{Tanh}^{-1}(\sin \theta) = \operatorname{Cosh}^{-1}(\sec \theta)$.

(B) हम जानते हैं कि,$\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\cos 18^{\circ} = \sqrt{1 - \sin^2 18^{\circ}}$
$= \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2}$
$= \sqrt{1 - \frac{5+1-2\sqrt{5}}{16}}$
$= \sqrt{\frac{16 - 6 + 2\sqrt{5}}{16}}$
$= \sqrt{\frac{10 + 2\sqrt{5}}{16}}$
$= \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$
$= \frac{\sqrt{2(5 + \sqrt{5})}}{4} = \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}$।

(B) दिया गया है $\tan A = \frac{-60}{11}$। चूँकि $\tan A$ ऋणात्मक है,$A$ दूसरे $(2^{\text{nd}})$ या चौथे $(4^{\text{th}})$ चतुर्थांश में स्थित है। दिया गया है कि $A$ चौथे चतुर्थांश में नहीं है,इसलिए $A$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
दूसरे चतुर्थांश में,$\operatorname{cosec} A$ धनात्मक होता है। $60, 11, 61$ भुजाओं वाले त्रिभुज का उपयोग करने पर,हमें $\operatorname{cosec} A = \frac{61}{60}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\sec B = \frac{41}{9}$। चूँकि $\sec B$ धनात्मक है,$B$ पहले $(1^{\text{st}})$ या चौथे $(4^{\text{th}})$ चतुर्थांश में स्थित है। दिया गया है कि $B$ पहले चतुर्थांश में नहीं है,इसलिए $B$ चौथे चतुर्थांश में स्थित है।
चौथे चतुर्थांश में,$\cot B$ ऋणात्मक होता है। $40, 9, 41$ भुजाओं वाले त्रिभुज का उपयोग करने पर,हमें $\cot B = -\frac{9}{40}$ प्राप्त होता है।
अब,$K = \operatorname{cosec} A + \cot B = \frac{61}{60} - \frac{9}{40}$।
समान हर $(120)$ लेने पर: $K = \frac{122 - 27}{120} = \frac{95}{120} = \frac{19}{24}$।
अतः,$24K = 24 \times \frac{19}{24} = 19$।

(B) दिया गया है $\cot \theta = -\frac{2}{3}$.
चूँकि $\cot \theta < 0$ है और $\theta$ चतुर्थ चतुर्थांश में नहीं है,इसलिए $\theta$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित होना चाहिए।
द्वितीय चतुर्थांश में,$\sin \theta > 0$ और $\cos \theta < 0$ होता है।
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = -\frac{2}{3}$ का उपयोग करते हुए,$\cos \theta = -2k$ और $\sin \theta = 3k$ लें।
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ होने के कारण,$(3k)^2 + (-2k)^2 = 1 \implies 13k^2 = 1 \implies k = \frac{1}{\sqrt{13}}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{13}}$,$\cos \theta = -\frac{2}{\sqrt{13}}$,और $\tan \theta = -\frac{3}{2}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{(5 \sin \theta + \cos \theta)^2}{\tan \theta + \cot \theta} = \frac{(\frac{15}{\sqrt{13}} - \frac{2}{\sqrt{13}})^2}{-\frac{3}{2} - \frac{2}{3}} = \frac{(\frac{13}{\sqrt{13}})^2}{-\frac{9+4}{6}} = \frac{13}{-\frac{13}{6}} = -6$.

(B) दिया गया व्यंजक: $\frac{1}{\sin 250^{\circ}}+\frac{\sqrt{3}}{\cos 290^{\circ}}$
$= \frac{1}{\sin(270^{\circ}-20^{\circ})} + \frac{\sqrt{3}}{\cos(270^{\circ}+20^{\circ})}$
$= -\frac{1}{\cos 20^{\circ}} + \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}}$
$= \frac{-\sin 20^{\circ} + \sqrt{3} \cos 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ} \sin 20^{\circ}}$
$= \frac{2 \left( -\frac{1}{2} \sin 20^{\circ} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} \right)}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{2 (\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{2 \sin(60^{\circ}-20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{4 \sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = 4$
अतः,विकल्प $B$ सही है.

(B) दिया गया है $\sin A = \frac{-7}{25}$। चूँकि $\sin A < 0$ और $A$ तीसरे चतुर्थांश में नहीं है,इसलिए $A$ चौथे चतुर्थांश में होना चाहिए।
चौथे चतुर्थांश में,$\cos A > 0$ होता है। अतः,$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{-7}{25})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$।
इसलिए,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{-7/25}{24/25} = \frac{-7}{24}$।
दिया गया है $\cos B = \frac{8}{17}$। चूँकि $\cos B > 0$ और $B$ पहले चतुर्थांश में नहीं है,इसलिए $B$ चौथे चतुर्थांश में होना चाहिए।
चौथे चतुर्थांश में,$\sin B < 0$ होता है। अतः,$\sin B = -\sqrt{1 - \cos^2 B} = -\sqrt{1 - (\frac{8}{17})^2} = -\sqrt{1 - \frac{64}{289}} = -\sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{-15}{17}$।
इसलिए,$\cot B = \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{8/17}{-15/17} = \frac{-8}{15}$।
अब,$8 \tan A - 5 \cot B = 8(\frac{-7}{24}) - 5(\frac{-8}{15}) = \frac{-7}{3} + \frac{8}{3} = \frac{1}{3}$।

(B) $\triangle ACB$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $C$ पर समकोण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 = AC^2 + BC^2$.
$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 29^2 - 21^2 = 841 - 441 = 400$.
अतः,$AC = \sqrt{400} = 20$ इकाई।
$\cos \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}$ और $\sin \theta = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$.
$\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \left(\frac{21}{29}\right)^2 - \left(\frac{20}{29}\right)^2 = \frac{441 - 400}{841} = \frac{41}{841}$.

(D) हमें दिया गया है कि $\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta = 2017$ $(i)$.
सर्वसमिका $\operatorname{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta) = 1$.
अतः,$\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = \frac{1}{2017}$ (ii).
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2 \operatorname{cosec} \theta = 2017 + \frac{1}{2017} > 0$,जिसका अर्थ है कि $\operatorname{cosec} \theta > 0$.
चूंकि $\operatorname{cosec} \theta > 0$,$\theta$ को $I$ या $II$ चतुर्थांश में होना चाहिए।
(ii) में से $(i)$ घटाने पर:
$2 \cot \theta = \frac{1}{2017} - 2017 < 0$,जिसका अर्थ है कि $\cot \theta < 0$.
चूंकि $\cot \theta < 0$,$\theta$ को $II$ या $IV$ चतुर्थांश में होना चाहिए।
दोनों शर्तों को संतुष्ट करने के लिए,$\theta$ द्वितीय $(II)$ चतुर्थांश में स्थित है।

(D) हम जानते हैं कि $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$ होता है।
दिया गया व्यंजक $E = \tan 1^\circ \tan 2^\circ \tan 3^\circ \dots \tan 44^\circ \tan 45^\circ \tan 46^\circ \dots \tan 88^\circ \tan 89^\circ$ है।
हम पदों को इस प्रकार जोड़ सकते हैं:
$(\tan 1^\circ \tan 89^\circ) \times (\tan 2^\circ \tan 88^\circ) \times \dots \times (\tan 44^\circ \tan 46^\circ) \times \tan 45^\circ$।
चूंकि $\tan 89^\circ = \tan(90^\circ - 1^\circ) = \cot 1^\circ$,इसलिए $\tan 1^\circ \tan 89^\circ = \tan 1^\circ \cot 1^\circ = 1$।
इसी प्रकार,$1$ से $44$ तक के प्रत्येक $k$ के लिए $\tan k^\circ \tan(90^\circ - k^\circ) = 1$ होता है।
अतः,$E = 1 \times 1 \times \dots \times 1 \times \tan 45^\circ = 1 \times 1 = 1$।

(B) दिया गया व्यंजक: $\left(\frac{\sin 35^{\circ}}{\cos 55^{\circ}}\right)^2+\left(\frac{\cos 55^{\circ}}{\sin 35^{\circ}}\right)^2-2 \cos 30^{\circ}$
चूंकि $\cos 55^{\circ} = \cos(90^{\circ}-35^{\circ}) = \sin 35^{\circ}$,हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$= \left(\frac{\sin 35^{\circ}}{\sin 35^{\circ}}\right)^2 + \left(\frac{\sin 35^{\circ}}{\sin 35^{\circ}}\right)^2 - 2 \cos 30^{\circ}$
$= (1)^2 + (1)^2 - 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$= 1 + 1 - \sqrt{3}$
$= 2 - \sqrt{3}$

(B) सूत्र $\cos C - \cos D = -2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\cos 36^{\circ} - \cos 72^{\circ} = -2 \sin \left(\frac{36^{\circ}+72^{\circ}}{2}\right) \sin \left(\frac{36^{\circ}-72^{\circ}}{2}\right)$
$= -2 \sin 54^{\circ} \sin (-18^{\circ})$
$= 2 \sin 54^{\circ} \sin 18^{\circ}$
$\sin 54^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ और $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ का मान रखने पर:
$= 2 \times \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right) \times \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)$
$= 2 \times \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{16} = 2 \times \frac{5-1}{16} = 2 \times \frac{4}{16} = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

(D) दिया गया व्यंजक: $E = \sin ^4 \frac{\pi}{8} + \cos ^4 \frac{3 \pi}{8} - \sin ^4 \frac{3 \pi}{8} + \sin ^4 \frac{5 \pi}{8} + \cos ^4 \frac{7 \pi}{8} - \sin ^4 \frac{7 \pi}{8}$
$\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ और $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin^4 \frac{5 \pi}{8} = \sin^4 \frac{3 \pi}{8}$
$\cos^4 \frac{7 \pi}{8} = \cos^4 \frac{\pi}{8}$
$\sin^4 \frac{7 \pi}{8} = \sin^4 \frac{\pi}{8}$
मान रखने पर:
$E = \cos ^4 \frac{3 \pi}{8} + \cos ^4 \frac{\pi}{8}$
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2 \theta}{2}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$E = \frac{3}{4}$

(C) दिया गया है $\sin A = -\frac{60}{61}$. चूँकि $A$ $4^{\text{th}}$ चतुर्थांश में नहीं है और $\sin A < 0$ है,इसलिए $A$ $3^{\text{rd}}$ चतुर्थांश में होना चाहिए। $3^{\text{rd}}$ चतुर्थांश में $\cot A > 0$ होता है। $\cos A = -\sqrt{1 - \sin^2 A} = -\frac{11}{61}$. अतः,$\cot A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{11}{60}$.
दिया गया है $\cot B = -\frac{40}{9}$. चूँकि $B$ $4^{\text{th}}$ चतुर्थांश में नहीं है और $\cot B < 0$ है,इसलिए $B$ $2^{\text{nd}}$ चतुर्थांश में होना चाहिए। $2^{\text{nd}}$ चतुर्थांश में $\sec B < 0$ होता है। $\sec B = -\sqrt{1 + \tan^2 B} = -\frac{41}{40}$.
अब,$6 \cot A + 4 \sec B = 6(\frac{11}{60}) + 4(-\frac{41}{40}) = \frac{11}{10} - \frac{41}{10} = -\frac{30}{10} = -3$.

(D) दिया गया है कि $y = \log_e \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)$.
$e^y = \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}}$.
हम जानते हैं कि $\tanh \left(\frac{y}{2}\right) = \frac{e^y - 1}{e^y + 1}$.
$e^y$ का मान रखने पर:
$\tanh \left(\frac{y}{2}\right) = \frac{\frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}} - 1}{\frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}} + 1} = \frac{(1 + \tan \frac{x}{2}) - (1 - \tan \frac{x}{2})}{(1 + \tan \frac{x}{2}) + (1 - \tan \frac{x}{2})} = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{2} = \tan \frac{x}{2}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है.

(B) दिया गया है $\cosh x = \frac{\sqrt{14}}{3}$.
सर्वसमिका $\sinh^2 x = \cosh^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$\sinh^2 x = \left(\frac{\sqrt{14}}{3}\right)^2 - 1 = \frac{14}{9} - 1 = \frac{5}{9}$.
चूंकि $\sinh x = \cos \theta$,इसलिए $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
अब,$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
अतः,$\sin \theta = \pm \frac{2}{3}$.
दिया गया है कि $-\pi < \theta < -\frac{\pi}{2}$,जो द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
द्वितीय चतुर्थांश में $\sin \theta$ धनात्मक होता है।
इसलिए,$\sin \theta = \frac{2}{3}$.

(B) दिया गया है,चाप की लंबाई $l = 44 \text{ cm}$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = 12 \text{ cm}$ है।
केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण $\theta$ रेडियन में $\theta = \frac{l}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = \frac{44}{12} = \frac{11}{3} \text{ रेडियन}$।
कोण को रेडियन से डिग्री में बदलने के लिए,हम $\frac{180}{\pi}$ से गुणा करते हैं।
$\theta_{\text{deg}} = \frac{11}{3} \times \frac{180}{\pi} = \frac{11 \times 60}{\pi} = \left(\frac{660}{\pi}\right)^{\circ}$।

(B) हम जानते हैं कि $\tanh \theta = \frac{\sinh \theta}{\cosh \theta}$ होता है।
$\theta = \frac{x}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tanh \frac{x}{2} = \frac{\sinh \frac{x}{2}}{\cosh \frac{x}{2}}$ प्राप्त होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{1+\tanh \frac{x}{2}}{1-\tanh \frac{x}{2}} = \frac{1+\frac{\sinh \frac{x}{2}}{\cosh \frac{x}{2}}}{1-\frac{\sinh \frac{x}{2}}{\cosh \frac{x}{2}}}$
$= \frac{\cosh \frac{x}{2} + \sinh \frac{x}{2}}{\cosh \frac{x}{2} - \sinh \frac{x}{2}}$
परिभाषा $\cosh \theta = \frac{e^{\theta} + e^{-\theta}}{2}$ और $\sinh \theta = \frac{e^{\theta} - e^{-\theta}}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cosh \frac{x}{2} + \sinh \frac{x}{2} = e^{x/2}$
$\cosh \frac{x}{2} - \sinh \frac{x}{2} = e^{-x/2}$
अतः,व्यंजक $\frac{e^{x/2}}{e^{-x/2}} = e^{x/2 - (-x/2)} = e^x$ हो जाता है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $(1+\cos \frac{\pi}{6})(1+\cos \frac{\pi}{3})(1+\cos \frac{2\pi}{3})(1+\cos \frac{7\pi}{6})$
त्रिकोणमितीय फलनों के मानों का उपयोग करने पर:
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$,$\cos \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= (1 + \frac{\sqrt{3}}{2})(1 + \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{2})(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$
सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$= [(1 + \frac{\sqrt{3}}{2})(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})] \times [(1 + \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{2})]$
$= (1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2) \times (1^2 - (\frac{1}{2})^2)$
$= (1 - \frac{3}{4}) \times (1 - \frac{1}{4})$
$= \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{16}$

(C) दिया गया है $\frac{\cos A}{3} = \frac{1}{5} \implies \cos A = \frac{3}{5}$.
चूंकि $-\frac{\pi}{2} < A < 0$,$A$ चौथे चतुर्थांश में है,इसलिए $\sin A$ ऋणात्मक होगा।
$\sin A = -\sqrt{1 - \cos^2 A} = -\sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = -\frac{4}{5}$.
इसी प्रकार,$\frac{\cos B}{4} = \frac{1}{5} \implies \cos B = \frac{4}{5}$.
चूंकि $-\frac{\pi}{2} < B < 0$,$B$ चौथे चतुर्थांश में है,इसलिए $\sin B$ ऋणात्मक होगा।
$\sin B = -\sqrt{1 - \cos^2 B} = -\sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = -\frac{3}{5}$.
अब,$2 \sin A + 4 \sin B = 2(-\frac{4}{5}) + 4(-\frac{3}{5}) = -\frac{8}{5} - \frac{12}{5} = -\frac{20}{5} = -4$.

(B) हम जानते हैं कि $\cot \theta = \tan(90^{\circ} - \theta)$.
इस सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:
$\cot 54^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 54^{\circ}) = \tan 36^{\circ}$.
$\cot 70^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 70^{\circ}) = \tan 20^{\circ}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\tan 36^{\circ}}{\tan 36^{\circ}} + \frac{\tan 20^{\circ}}{\tan 20^{\circ}} = 1 + 1 = 2$.

(D) हम जानते हैं कि $\cos 55^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 55^{\circ}) = \sin 35^{\circ}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\frac{\sin 55^{\circ} - \sin 35^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\sin C - \sin D = 2 \cos\left(\frac{C+D}{2}\right) \sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\sin 55^{\circ} - \sin 35^{\circ} = 2 \cos 45^{\circ} \sin 10^{\circ}$।
अब,व्यंजक $\frac{2 \cos 45^{\circ} \sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}} = 2 \cos 45^{\circ}$ हो जाता है।
चूंकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए मान $2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।