Solution of trigonometrical equations Questions in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ: $(\sqrt{3}-1) \sin \theta + (\sqrt{3}+1) \cos \theta = 2$.
બંને બાજુને $\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = 2\sqrt{2}$ વડે ભાગતા.
$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
અહીં $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ અને $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ લેતા,$\tan \alpha = \tan(\frac{5\pi}{12})$ મળે.
તેથી,$\sin(\theta + \frac{5\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.
ઉકેલ: $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cot \frac{x}{2} - \operatorname{cosec} \frac{x}{2} = \cot x$.
નિત્યસમ $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ અને $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cos(x/2) - 1}{\sin(x/2)} = \frac{\cos x}{\sin x}$.
$\cos(x/2) - 1 = -2 \sin^2(x/4)$ અને $\sin(x/2) = 2 \sin(x/4) \cos(x/4)$ મૂકતા,ડાબી બાજુ:
$\frac{-2 \sin^2(x/4)}{2 \sin(x/4) \cos(x/4)} = -\tan(x/4)$.
જમણી બાજુ $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ છે.
તેથી,$-\tan(x/4) = \frac{1}{\tan x}$,જેનો અર્થ છે $\tan x \cdot \tan(x/4) = -1$.
આ સમીકરણ માટે $x$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમતો શક્ય નથી.

(B) આપેલ ત્રિકોણમિતીય સમીકરણો $\tan \theta = -1$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
$\tan \theta$ ઋણ છે અને $\cos \theta$ ધન છે,તેથી $\theta$ ચોથા ચરણમાં હોવો જોઈએ.
$\tan \theta = -1$ માટેનો સામાન્ય ઉકેલ $\theta = n \pi + \frac{3 \pi}{4}$ છે.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ માટેનો સામાન્ય ઉકેલ $\theta = 2 n \pi \pm \frac{\pi}{4}$ છે.
બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરતો ખૂણો ચોથા ચરણમાં $\theta = \frac{7 \pi}{4}$ છે.
તેથી,સામાન્ય ઉકેલ $\theta = 2 n \pi + \frac{7 \pi}{4}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2 \sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta - 3 \cos^2 \theta = 0$.
$\cos^2 \theta$ વડે ભાગતા ($\cos \theta \neq 0$ ધારીને):
$2 \tan^2 \theta - \tan \theta - 3 = 0$.
ધારો કે $x = \tan \theta$,તો $2x^2 - x - 3 = 0$.
$(2x - 3)(x + 1) = 0$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{3}{2}$ અથવા $\tan \theta = -1$.
$\tan \theta = -1$ માટે,$(-\pi, \pi)$ માં $\theta = -\frac{\pi}{4}$ અને $\theta = \frac{3\pi}{4}$ મળે.
$\tan \theta = \frac{3}{2}$ માટે,$(-\pi, \pi)$ માં $\theta = \arctan(\frac{3}{2})$ અને $\theta = \arctan(\frac{3}{2}) - \pi$ મળે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $4$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cos \theta + \cos 2\theta - \sqrt{3}(\sin \theta + \sin 2\theta) + 1 = 0$.
$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ અને $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \theta + 2\cos^2 \theta - 1 - \sqrt{3}\sin \theta - 2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta + 1 = 0$.
$\cos \theta(1 + 2\cos \theta) - \sqrt{3}\sin \theta(1 + 2\cos \theta) = 0$.
$(1 + 2\cos \theta)(\cos \theta - \sqrt{3}\sin \theta) = 0$.
કિસ્સો $1$: $1 + 2\cos \theta = 0 \implies \cos \theta = -1/2$.
$(0, 2\pi)$ માં,$\theta = 2\pi/3, 4\pi/3$.
કિસ્સો $2$: $\cos \theta - \sqrt{3}\sin \theta = 0 \implies \tan \theta = 1/\sqrt{3}$.
$(0, 2\pi)$ માં,$\theta = \pi/6, 7\pi/6$.
ઉકેલો $\pi/6, 2\pi/3, 7\pi/6, 4\pi/3$ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $4$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sec x \cos 5x + 1 = 0$ ને $\frac{\cos 5x}{\cos x} = -1$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $\cos x \neq 0$.
આથી $\cos 5x = -\cos x$,એટલે કે $\cos 5x = \cos(\pi - x)$.
સામાન્ય ઉકેલ $x = \frac{(2n+1)\pi}{6}$ અથવા $x = \frac{(2n-1)\pi}{4}$ મળે છે.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં $\cos x = 0$ ન હોય તેવા કુલ $8$ ઉકેલો મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $\cos x \sqrt{16 \sin ^2 x} = 1$ છે.
આનું સાદું રૂપ $\cos x \cdot 4 |\sin x| = 1$ થાય,એટલે કે $2 \sin(2x) = 1$ (જ્યારે $\sin x > 0$) અને $-2 \sin(2x) = 1$ (જ્યારે $\sin x < 0$).
કિસ્સો $1$: $\sin x > 0$ $(x \in (0, \pi))$. તેથી $2 \sin(2x) = 1 \implies \sin(2x) = \frac{1}{2}$.
$2x = \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6} \implies x = \frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}$. બંને $(0, \pi)$ માં છે.
કિસ્સો $2$: $\sin x < 0$ $(x \in (\pi, 2 \pi))$. તેથી $-2 \sin(2x) = 1 \implies \sin(2x) = -\frac{1}{2}$.
$2x$ નો વિસ્તાર $x \in (\pi, 2 \pi)$ માટે $2x \in (2 \pi, 4 \pi)$ છે.
$2x = 2 \pi + \frac{7 \pi}{6} = \frac{19 \pi}{6} \implies x = \frac{19 \pi}{12}$ અને $2x = 2 \pi + \frac{11 \pi}{6} = \frac{23 \pi}{6} \implies x = \frac{23 \pi}{12}$.
ઉકેલોનો સરવાળો $= \frac{\pi}{12} + \frac{5 \pi}{12} + \frac{19 \pi}{12} + \frac{23 \pi}{12} = \frac{48 \pi}{12} = 4 \pi$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $4 \cos 2 \theta \cos 3 \theta = \sec \theta$
$\cos \theta$ વડે ગુણતા ($\cos \theta \neq 0$ ધારીને):
$4 \cos 2 \theta \cos 3 \theta \cos \theta = 1$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos 2 \theta (\cos 4 \theta + \cos 2 \theta) = 1$
$2 \cos 2 \theta \cos 4 \theta + 2 \cos^2 2 \theta = 1$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ અને $2 \cos^2 A = 1 + \cos 2A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\cos 6 \theta + \cos 2 \theta) + (1 + \cos 4 \theta) = 1$
$\cos 6 \theta + \cos 4 \theta + \cos 2 \theta = 0$
$\cos 6 \theta + \cos 2 \theta = 2 \cos 4 \theta \cos 2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 4 \theta (2 \cos 2 \theta + 1) = 0$
કિસ્સો $1$: $\cos 4 \theta = 0 \implies 4 \theta = (2n+1) \frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{(2n+1) \pi}{8}$ જ્યાં $n = 0, 1, \dots, 7$ ($8$ ઉકેલો).
કિસ્સો $2$: $\cos 2 \theta = -\frac{1}{2} \implies 2 \theta = 2n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \implies \theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$ જ્યાં $n = 0, 1, 2$ ($4$ ઉકેલો).
કુલ ઉકેલો = $8 + 4 = 12$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin^2 \theta + 3 \cos^2 \theta = 5 \sin \theta$
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ મૂકતા:
$\sin^2 \theta + 3(1 - \sin^2 \theta) = 5 \sin \theta$
$\sin^2 \theta + 3 - 3 \sin^2 \theta = 5 \sin \theta$
$-2 \sin^2 \theta - 5 \sin \theta + 3 = 0$
$2 \sin^2 \theta + 5 \sin \theta - 3 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 3) = 0$
તેથી $\sin \theta = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin \theta = -3$ મળે.
$\sin \theta = -3$ શક્ય નથી,તેથી $\sin \theta = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$
માટે વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}, n \in Z$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2 \tan 2 \theta - \cot 2 \theta + 1 = 0$.
ધારો કે $x = \tan 2 \theta$. તો $\cot 2 \theta = \frac{1}{x}$.
સમીકરણ $2x - \frac{1}{x} + 1 = 0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $2x^2 + x - 1 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2x - 1)(x + 1) = 0$,તેથી $x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = -1$.
કિસ્સો $1$: $\tan 2 \theta = -1$.
$2 \theta = n \pi - \frac{\pi}{4} \Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{2} - \frac{\pi}{8}$.
$\theta \in [0, \pi]$ માટે,શક્ય કિંમતો $\theta = \frac{3 \pi}{8}$ $(n=1)$ અને $\theta = \frac{7 \pi}{8}$ $(n=2)$ છે.
કિસ્સો $2$: $\tan 2 \theta = \frac{1}{2}$.
$2 \theta = n \pi + \tan^{-1}(\frac{1}{2}) \Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{2} + \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{1}{2})$.
$\theta \in [0, \pi]$ માટે,શક્ય કિંમતો $\theta = \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{1}{2})$ $(n=0)$ અને $\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{1}{2})$ $(n=1)$ છે.
આમ,અંતરાલ $[0, \pi]$ માં કુલ $2 + 2 = 4$ ઉકેલો મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan x + \tan 2x - \tan 3x = 0$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 3x = \tan(x + 2x) = \frac{\tan x + \tan 2x}{1 - \tan x \tan 2x}$
તેથી,$\tan x + \tan 2x = \tan 3x(1 - \tan x \tan 2x)$
$\tan x + \tan 2x = \tan 3x - \tan x \tan 2x \tan 3x$
$\tan x + \tan 2x - \tan 3x = -\tan x \tan 2x \tan 3x$
આપેલ સમીકરણ $\tan x + \tan 2x - \tan 3x = 0$ હોવાથી:
$-\tan x \tan 2x \tan 3x = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\tan x = 0$ અથવા $\tan 2x = 0$ અથવા $\tan 3x = 0$
$\tan x = 0$ માટે,$x = n\pi$
$\tan 2x = 0$ માટે,$2x = n\pi \Rightarrow x = \frac{n\pi}{2}$
$\tan 3x = 0$ માટે,$3x = n\pi \Rightarrow x = \frac{n\pi}{3}$
આ બધાને જોડતા,ઉકેલનો ગણ $\left\{x \mid x = \frac{n\pi}{3}, n \in Z\right\}$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=1$
નિત્યસમ $\sin(A+B)+\sin(A-B) = 2 \sin A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin x \cos \frac{\pi}{3} = 1$
કારણ કે $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$2 \sin x \cdot \frac{1}{2} = 1$
$\sin x = 1$
$x \in [0, \pi]$ માટે,$x$ ની કિંમત $\frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\sin \left(\frac{\pi}{4} \cot \theta\right)=\cos \left(\frac{\pi}{4} \tan \theta\right)$.
નિત્યસમ $\cos x = \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\sin \left(\frac{\pi}{4} \cot \theta\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \tan \theta\right)$.
$\frac{\pi}{4} \cot \theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \tan \theta$.
$\frac{\pi}{4} (\cot \theta + \tan \theta) = \frac{\pi}{2}$.
$\cot \theta + \tan \theta = 2$.
$\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = 2$.
$1 = 2 \sin \theta \cos \theta$.
$1 = \sin 2 \theta$.
$\sin 2 \theta = 1$ હોવાથી,$2 \theta = 2n \pi + \frac{\pi}{2}$.
$2$ વડે ભાગતા,$\theta = n \pi + \frac{\pi}{4}$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $(\sin x + \cos x)^{1 + \sin 2x} = 2$ છે.
$1 + \sin 2x = (\sin x + \cos x)^2$ હોવાથી,સમીકરણ $(\sin x + \cos x)^{(\sin x + \cos x)^2} = 2$ બને છે.
ધારો કે $u = \sin x + \cos x$,તો $u^{u^2} = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-\sqrt{2} \leq \sin x + \cos x \leq \sqrt{2}$.
જો $u = \sqrt{2}$ હોય,તો $(\sqrt{2})^{(\sqrt{2})^2} = 2$.
આથી $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \implies x = \frac{\pi}{4}$.
જો $u = -\sqrt{2}$ હોય,તો $(-\sqrt{2})^{(-\sqrt{2})^2} = 2$.
આથી $\sin x + \cos x = -\sqrt{2} \implies x = -\frac{3\pi}{4}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\frac{\pi}{4}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4 \sin^2(x) - 4 \sin(x) + 1 = 0$
આ $\sin(x)$ ના સ્વરૂપમાં દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જેને $(2 \sin(x) - 1)^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $2 \sin(x) - 1 = 0$
$\sin(x) = \frac{1}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(x) = \sin(\frac{\pi}{6})$.
$\sin(x) = \sin(\alpha)$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
તેથી,$x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}, n \in \mathbb{Z}$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan(x) + \sec(x) = \sqrt{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2(x) - \tan^2(x) = 1$,તેથી $(\sec(x) - \tan(x))(\sec(x) + \tan(x)) = 1$.
કિંમત મૂકતા: $(\sec(x) - \tan(x))(\sqrt{3}) = 1$,તેથી $\sec(x) - \tan(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2\sec(x) = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow \sec(x) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow \cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$x \in [0, 2\pi]$ માટે,ઉકેલ $x = \frac{\pi}{6}$ અને $x = \frac{11\pi}{6}$ મળે છે.
મૂળ સમીકરણમાં ચકાસતા,$x = \frac{\pi}{6}$ સાચો ઉકેલ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $|\tan \theta| = \tan \theta + \sec \theta$.
કિસ્સો $1$: જો $\tan \theta \ge 0$ હોય,તો $\tan \theta = \tan \theta + \sec \theta$,જેનો અર્થ છે $\sec \theta = 0$. આનો કોઈ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: જો $\tan \theta < 0$ હોય,તો $-\tan \theta = \tan \theta + \sec \theta$,જેનો અર્થ છે $2\tan \theta + \sec \theta = 0$.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ અને $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ મૂકતા,આપણને $2\sin \theta + 1 = 0$ મળે છે,તેથી $\sin \theta = -\frac{1}{2}$.
$\tan \theta < 0$ હોવાથી,$\theta$ બીજા અથવા ચોથા ચરણમાં હોવો જોઈએ. $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ માટે,$\theta = \frac{7\pi}{6}$ અથવા $\theta = \frac{11\pi}{6}$.
$\tan \theta < 0$ ચકાસતા:
$\theta = \frac{7\pi}{6}$ માટે,$\tan \theta = \tan(\frac{7\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} > 0$ (અસ્વીકાર્ય).
$\theta = \frac{11\pi}{6}$ માટે,$\tan \theta = \tan(\frac{11\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} < 0$ (સ્વીકાર્ય).
આમ,ઉકેલ $\theta = \frac{11\pi}{6}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $4(\sin 2x \sin 4x + \sin^2 x) = 3$
નિત્યસમ $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ અને $2 \sin^2 x = 1 - \cos 2x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(2 \sin 2x \sin 4x) + 2(2 \sin^2 x) = 3$
$2(\cos 2x - \cos 6x) + 2 - 2 \cos 2x = 3$
$-2 \cos 6x + 2 = 3$
$\cos 6x = -\frac{1}{2}$
$\cos \theta = \cos \alpha \Rightarrow \theta = 2n\pi \pm \alpha$ હોવાથી,જ્યાં $\alpha = \frac{2\pi}{3}$:
$6x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$
$6$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{n\pi}{3} \pm \frac{\pi}{9}, n \in Z$

(C) આપેલ સમીકરણ: $|\cos x|^{2\sin^2 x - 3\sin x + 1} = 1$.
આ સમીકરણ ત્યારે જ શક્ય છે જો:
$1)$ $|\cos x| = 1$
$2)$ ઘાતાંક $0$ હોય (જ્યારે આધાર $0$ ન હોય).
કિસ્સો $1$: $|\cos x| = 1 \implies \cos x = 1$ અથવા $\cos x = -1$.
$x \in [0, 2\pi]$ માટે,$x = 0, \pi, 2\pi$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$.
$(2\sin x - 1)(\sin x - 1) = 0$.
$\sin x = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin x = 1$.
જો $\sin x = \frac{1}{2}$,તો $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.
જો $\sin x = 1$,તો $x = \frac{\pi}{2}$.
પરંતુ,પ્રદેશ $x \in [0, 2\pi] - \{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\}$ છે.
તેથી,$x = \frac{\pi}{2}$ ને બાકાત રાખવામાં આવે છે.
માન્ય ઉકેલો: $x \in \{0, \pi, 2\pi, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\}$.
કુલ મૂલ્યોની સંખ્યા $5$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{3-5 \sin x+\sin ^2 x} = -\cos x$.
વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે અને $-\cos x$ ની બરાબર હોવા માટે,$-\cos x \ge 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\cos x \le 0$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $3-5 \sin x+\sin ^2 x = \cos ^2 x$.
$\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા: $3-5 \sin x+\sin ^2 x = 1 - \sin ^2 x$.
$2 \sin ^2 x - 5 \sin x + 2 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(2 \sin x - 1)(\sin x - 2) = 0$.
આથી $\sin x = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin x = 2$.
$\sin x \in [-1, 1]$ હોવાથી,$\sin x = \frac{1}{2}$ મળે.
$\sin x = \frac{1}{2}$ માટે,$x = \frac{\pi}{6}$ અથવા $x = \frac{5\pi}{6}$.
$\cos x \le 0$ હોવાથી,$[0, 2\pi]$ અંતરાલમાં $x = \frac{5\pi}{6}$ મળે.
તેથી વ્યાપક ઉકેલ $x = (2n+1)\pi - \frac{\pi}{6}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x$.
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(\sin 3x + \sin x) + \sin 2x = (\cos 3x + \cos x) + \cos 2x$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $2 \sin 2x \cos x + \sin 2x = 2 \cos 2x \cos x + \cos 2x$.
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા: $\sin 2x (2 \cos x + 1) = \cos 2x (2 \cos x + 1)$.
પુનઃગોઠવણી કરતા: $(2 \cos x + 1)(\sin 2x - \cos 2x) = 0$.
કિસ્સો $1$: $2 \cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1/2$. અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$x = 2\pi/3, 4\pi/3$.
કિસ્સો $2$: $\sin 2x - \cos 2x = 0 \implies \tan 2x = 1$.
$0 \leq x \leq 2\pi$ માટે,$0 \leq 2x \leq 4\pi$.
$2x = \pi/4, 5\pi/4, 9\pi/4, 13\pi/4$.
$x = \pi/8, 5\pi/8, 9\pi/8, 13\pi/8$.
$x$ ના કુલ મૂલ્યો $2 + 4 = 6$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4 \cos 2 \theta \cos 3 \theta = \sec \theta$
કારણ કે $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,તેથી $4 \cos 2 \theta \cos 3 \theta \cos \theta = 1$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $2 \cos 2 \theta (\cos 4 \theta + \cos 2 \theta) = 1$.
$2 \cos 2 \theta \cos 4 \theta + 2 \cos^2 2 \theta = 1$.
$2 \cos^2 2 \theta - 1 = \cos 4 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $2 \cos 2 \theta \cos 4 \theta + \cos 4 \theta = 0$.
$\cos 4 \theta (2 \cos 2 \theta + 1) = 0$.
કિસ્સો $1$: $\cos 4 \theta = 0 \Rightarrow 4 \theta = (2n + 1) \frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta = (2n + 1) \frac{\pi}{8}$.
$0 < \theta < \pi$ માટે,$\theta \in \{ \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8} \}$.
કિસ્સો $2$: $2 \cos 2 \theta + 1 = 0 \Rightarrow \cos 2 \theta = -\frac{1}{2}$.
$2 \theta = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \Rightarrow \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.
$0 < \theta < \pi$ માટે,$\theta \in \{ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \}$.
ચકાસણી $\cos \theta \neq 0$: આમાંથી કોઈ પણ કિંમત $\cos \theta = 0$ બનાવતી નથી.
કુલ ઉકેલો = $4 + 2 = 6$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $1 + \cos^2 \theta = 3 \sin \theta \cos \theta$.
બંને બાજુને $\cos^2 \theta$ વડે ભાગતા:
$\sec^2 \theta + 1 = 3 \tan \theta$.
$\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ હોવાથી:
$(1 + \tan^2 \theta) + 1 = 3 \tan \theta$
$\tan^2 \theta - 3 \tan \theta + 2 = 0$.
અવયવ પાડતા:
$(\tan \theta - 1)(\tan \theta - 2) = 0$.
બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = n\pi + \frac{\pi}{4}$.
કિસ્સો $2$: $\tan \theta = 2 \Rightarrow \theta = n\pi + \tan^{-1}(2)$.
આમ,ઉકેલ $n\pi + \frac{\pi}{4}, n\pi + \tan^{-1}(2); n \in \mathbb{Z}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0$.
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(\sin 4x + \sin x) + (\sin 3x + \sin 2x) = 0$.
સૂત્ર $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin(\frac{5x}{2}) \cos(\frac{3x}{2}) + 2 \sin(\frac{5x}{2}) \cos(\frac{x}{2}) = 0$.
$2 \sin(\frac{5x}{2}) [\cos(\frac{3x}{2}) + \cos(\frac{x}{2})] = 0$.
$\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4 \sin(\frac{5x}{2}) \cos x \cos(\frac{x}{2}) = 0$.
કેસ $1$: $\sin(\frac{5x}{2}) = 0 \implies x = \frac{2n \pi}{5}$. $0 \leq x \leq 2 \pi$ માટે,$x \in \{0, \frac{2 \pi}{5}, \frac{4 \pi}{5}, \frac{6 \pi}{5}, \frac{8 \pi}{5}, 2 \pi\}$.
કેસ $2$: $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$.
કેસ $3$: $\cos(\frac{x}{2}) = 0 \implies x = \pi$.
કુલ અનન્ય મૂલ્યોની સંખ્યા $9$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $1+\cos x \cdot \cos 5 x=\sin ^2 x$
નિત્યસમ $\sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1+\cos x \cdot \cos 5 x = 1 - \cos ^2 x$
$\Rightarrow \cos ^2 x + \cos x \cdot \cos 5 x = 0$
$\Rightarrow \cos x(\cos x + \cos 5 x) = 0$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Rightarrow \cos x [2 \cos(3x) \cos(-2x)] = 0$
$\cos(-2x) = \cos(2x)$ હોવાથી:
$2 \cos x \cos 3x \cos 2x = 0$
આથી $\cos x = 0$ અથવા $\cos 3x = 0$ અથવા $\cos 2x = 0$.
$x \in [0, 2 \pi]$ માટે:
$1$. $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ ($2$ ઉકેલો)
$2$. $\cos 3x = 0$ $\Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}, \frac{9 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{6}$ ($6$ ઉકેલો)
$3$. $\cos 2x = 0$ $\Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}$ ($4$ ઉકેલો)
આ બધાને ભેગા કરતા અને પુનરાવર્તિત ઉકેલો $(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ દૂર કરતા,કુલ $10$ ઉકેલો મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin^2 x - \cos 2x = 2 - \sin 2x$
નિત્યસમ $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ અને $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 x - (2\cos^2 x - 1) = 2 - 2\sin x \cos x$
$(1 - \cos^2 x) - 2\cos^2 x + 1 = 2 - 2\sin x \cos x$
$2 - 3\cos^2 x = 2 - 2\sin x \cos x$
$-3\cos^2 x + 2\sin x \cos x = 0$
$\cos x (2\sin x - 3\cos x) = 0$
આપેલ છે કે $3\cos x \neq 2\sin x$,તેથી $\cos x = 0$ મળે.
$\cos x = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ $x = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ છે,જેને $x = (4n \pm 1) \frac{\pi}{2}$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cos 2x = (\sqrt{2}+1)(\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2\cos^2 x - 1 = \sqrt{2}\cos x - 1 + \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$2\cos^2 x - (\sqrt{2}+1)\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $\cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos x = \frac{(\sqrt{2}+1) \pm \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}}{4} = \frac{\sqrt{2}+1 \pm (\sqrt{2}-1)}{4}$.
$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અથવા $\cos x = \frac{1}{2}$.
પ્રશ્ન મુજબ $\cos x \neq \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos x \neq \frac{1}{2}$ હોવાથી,$x$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ $25 \cos^2 \alpha + 5 \cos \alpha - 12 = 0$ છે. ધારો કે $x = \cos \alpha$. તેથી $25x^2 + 5x - 12 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(25)(-12)}}{50} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 1200}}{50} = \frac{-5 \pm 35}{50}$.
તેથી,$x = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$ અથવા $x = \frac{-40}{50} = -\frac{4}{5}$.
કારણ કે $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$,$\cos \alpha$ ઋણ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$.
હવે,$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ (કારણ કે બીજા ચરણમાં $\sin \alpha > 0$ હોય છે).
અંતે,$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \left(\frac{3}{5}\right) \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{25}$.

(C) આપણે નિત્યસમ $\cos \theta \cos \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+\theta\right) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ સમીકરણ $\cos x \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \frac{1}{4}$ માં આ નિત્યસમ મૂકતા:
$\frac{1}{4} \cos 3x = \frac{1}{4}$
$\cos 3x = 1$
$x \in (0, 2\pi)$ માટે,$3x \in (0, 6\pi)$ થાય.
$\cos 3x = 1$ ના ઉકેલો $3x = 2\pi, 4\pi$ છે.
તેથી,$x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$.
ઉકેલોનો સરવાળો $\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$ થાય.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cos 6x + \cos 4x + \cos 2x = -1$ અંતરાલ $[0, \pi]$ માં.
પદોને ગોઠવતા: $(\cos 6x + 1) + (\cos 4x + \cos 2x) = 0$.
નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 + \cos 6x = 2\cos^2 3x$ મળે.
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્ર $\cos C + \cos D = 2\cos(\frac{C+D}{2})\cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos 4x + \cos 2x = 2\cos 3x \cos x$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $2\cos^2 3x + 2\cos 3x \cos x = 0$.
$2\cos 3x$ સામાન્ય લેતા: $2\cos 3x(\cos 3x + \cos x) = 0$.
ફરીથી સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $2\cos 3x(2\cos 2x \cos x) = 0$,જે $4\cos x \cos 2x \cos 3x = 0$ માં પરિણમે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos x = 0$ અથવા $\cos 2x = 0$ અથવા $\cos 3x = 0$.
$[0, \pi]$ માં $\cos x = 0$ માટે,$x = \frac{\pi}{2} (90^{\circ})$.
$[0, \pi]$ માં $\cos 2x = 0$ માટે,$2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4} (45^{\circ}), \frac{3\pi}{4} (135^{\circ})$.
$[0, \pi]$ માં $\cos 3x = 0$ માટે,$3x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} (30^{\circ}), \frac{\pi}{2} (90^{\circ}), \frac{5\pi}{6} (150^{\circ})$.
અલગ ઉકેલો $\{30^{\circ}, 45^{\circ}, 90^{\circ}, 135^{\circ}, 150^{\circ}\}$ છે.
આમ,કુલ $5$ ઉકેલો છે.

(B) આપેલ છે $\cos 3x = \sin 4x$.
આને $\cos 3x = \cos \left(\frac{\pi}{2} - 4x\right)$ તરીકે લખી શકાય.
સામાન્ય ઉકેલ $\cos \theta = \cos \alpha \Rightarrow \theta = 2n\pi \pm \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$:
કિસ્સો $1$: $3x = 2n\pi + \left(\frac{\pi}{2} - 4x\right)
$ $\Rightarrow 7x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}
$ $\Rightarrow x = \frac{2n\pi}{7} + \frac{\pi}{14}$.
$n=0$ માટે,$x = \frac{\pi}{14}$ જે અંતરાલમાં છે.
કિસ્સો $2$: $3x = 2n\pi - \left(\frac{\pi}{2} - 4x\right)
\Rightarrow x = -2n\pi + \frac{\pi}{2}$.
આ કિસ્સામાં કોઈ પણ મૂલ્ય અંતરાલમાં નથી.
તેથી,કુલ $1$ ઉકેલ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin^{2020} x - \cos^{2020} x + 2019 = 2020$
$\Rightarrow \sin^{2020} x = 1 + \cos^{2020} x$
$\sin^{2020} x$ નો વિસ્તાર $[0, 1]$ છે અને $1 + \cos^{2020} x$ નો વિસ્તાર $[1, 2]$ છે,તેથી સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\sin^{2020} x = 1$ અને $\cos^{2020} x = 0$ હોય.
આનો અર્થ છે કે $\sin x = \pm 1$ અને $\cos x = 0$.
અંતરાલ $\left(-\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right)$ માં $\cos x = 0$ માટે $x$ ની શક્ય કિંમતો $x = -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ છે.
આ કિંમતો $\sin^{2020} x = 1$ માં ચકાસતા,ત્રણેય કિંમતો ઉકેલ આપે છે.
આમ,કુલ $3$ વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan \theta + 5 \cot \theta = \sec \theta$.
$\sin \theta$ અને $\cos \theta$ માં ફેરવતા:
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{5 \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\cos \theta}$,જ્યાં $\sin \theta \neq 0$ અને $\cos \theta \neq 0$.
$\sin \theta \cos \theta$ વડે ગુણતા:
$\sin^2 \theta + 5 \cos^2 \theta = \sin \theta$.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ મૂકતા:
$\sin^2 \theta + 5(1 - \sin^2 \theta) = \sin \theta$.
પદોને ગોઠવતા:
$4 \sin^2 \theta + \sin \theta - 5 = 0$.
અવયવ પાડતા:
$(4 \sin \theta + 5)(\sin \theta - 1) = 0$.
આથી $\sin \theta = -\frac{5}{4}$ અથવા $\sin \theta = 1$.
$-1 \leq \sin \theta \leq 1$ હોવાથી,$\sin \theta = -\frac{5}{4}$ શક્ય નથી.
$\sin \theta = 1$ માટે,$\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ મળે.
પરંતુ,મૂળ સમીકરણ માટે $\cos \theta \neq 0$ હોવું જોઈએ. જો $\sin \theta = 1$ હોય,તો $\cos \theta = 0$ થાય,જે $\tan \theta$ અને $\sec \theta$ માટે અવ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,કોઈ ઉકેલ નથી,એટલે કે ઉકેલ ગણ $\phi$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin x - \sqrt{3} \cos x + 4 \sin 2x - 4 \sqrt{3} \cos 2x + \sin 3x - \sqrt{3} \cos 3x = 0$.
$2$ વડે ભાગતા:
$2[\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x] + 8[\frac{1}{2} \sin 2x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x] + 2[\frac{1}{2} \sin 3x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 3x] = 0$.
જેનું સાદું રૂપ:
$2 \sin(x - \frac{\pi}{3}) + 8 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 2 \sin(3x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
$2$ વડે ભાગતા:
$\sin(x - \frac{\pi}{3}) + \sin(3x - \frac{\pi}{3}) + 4 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
$\sin C + \sin D$ ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) \cos(x) + 4 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
$2 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) [\cos x + 2] = 0$.
$\cos x + 2 \neq 0$ હોવાથી,$\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
તેથી,$2x - \frac{\pi}{3} = n \pi$,એટલે કે $x = \frac{n \pi}{2} + \frac{\pi}{6}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin A - 5 \sin 2A + \sin 3A = \cos A - 5 \cos 2A + \cos 3A$
પદોને ગોઠવતા: $(\sin A + \sin 3A) - 5 \sin 2A = (\cos A + \cos 3A) - 5 \cos 2A$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $2 \sin 2A \cos A - 5 \sin 2A = 2 \cos 2A \cos A - 5 \cos 2A$
અવયવ પાડતા: $2 \cos A (\sin 2A - \cos 2A) - 5 (\sin 2A - \cos 2A) = 0$
$(\sin 2A - \cos 2A)(2 \cos A - 5) = 0$
કારણ કે $2 \cos A - 5 = 0$ એ $\cos A = 2.5$ સૂચવે છે,જે અશક્ય છે,તેથી $\sin 2A - \cos 2A = 0$ હોવું જોઈએ
$\sin 2A = \cos 2A \Rightarrow \tan 2A = 1$
અંતરાલ $(0, \pi)$ માટે,$2A \in (0, 2\pi)$
$\tan 2A = 1$ એ $2A = \frac{\pi}{4}$ અને $2A = \frac{5\pi}{4}$ પર મળે છે
તેથી,$A = \frac{\pi}{8}$ અને $A = \frac{5\pi}{8}$
આમ,આપેલ અંતરાલમાં $2$ ઉકેલો છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin x + 3 \sin 3x + \sin 5x = 0$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(\sin 5x + \sin x) + 3 \sin 3x = 0$
$2 \sin 3x \cos 2x + 3 \sin 3x = 0$
$\sin 3x (2 \cos 2x + 3) = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin 3x = 0$ $\Rightarrow 3x = n\pi$ $\Rightarrow x = \frac{n\pi}{3}$
કિસ્સો $2$: $2 \cos 2x + 3 = 0 \Rightarrow \cos 2x = -\frac{3}{2}$
$\cos 2x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$\cos 2x = -\frac{3}{2}$ નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,$x = \frac{n\pi}{3}$.
$x = \frac{n\pi}{3}$ માટે,$\cos x$ ના શક્ય મૂલ્યો $\cos(0) = 1$,$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,$\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$,$\cos(\pi) = -1$ છે.
તેથી,$\cos y$ ના તમામ મૂલ્યોનો ગણ $\{-1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\}$ છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = \cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = 1$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{1+\cos 2x}{2} + \frac{1+\cos 4x}{2} + \cos^2 3x = 1$
$1 + \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x) + \cos^2 3x = 1$
$\frac{1}{2}(2\cos 3x \cos x) + \cos^2 3x = 0$
$\cos 3x (\cos x + \cos 3x) = 0$
$\cos 3x (2 \cos 2x \cos x) = 0$
$2 \cos 3x \cos 2x \cos x = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\cos 3x = 0$ અથવા $\cos 2x = 0$ અથવા $\cos x = 0$.
$x \in [0, 2\pi]$ માટે:
$1$. $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$
$2$. $\cos 2x = 0$ $\Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$
$3$. $\cos 3x = 0$ $\Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \frac{11\pi}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$
બધી અનન્ય કિંમતોને જોડતા: $x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}, \frac{11\pi}{6}\}$.
આ ગણતરી કરતા,$10$ અલગ કિંમતો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta - \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta = 2$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 = 2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 2 \sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta$ લખી શકાય.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta - \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta = 2 \sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta$.
સાદુરૂપ આપતા: $-\sin^2 \theta - \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta = 0$.
$-\sin \theta$ સામાન્ય લેતા: $-\sin \theta (\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta) = 0$.
બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\sin \theta = 0$. અંતરાલ $(-\pi, \pi)$ માં,ઉકેલ $\theta = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે $\tan \theta = -\sqrt{3}$.
અંતરાલ $(-\pi, \pi)$ માં,$\tan \theta = -\sqrt{3}$ એ $\theta = -\frac{\pi}{3}$ અને $\theta = \frac{2\pi}{3}$ પર મળે છે.
આમ,ઉકેલો $\{0, -\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\}$ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $3$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2 \sin x \sin 3 x \sin 5 x + \sin 5 x \cos 4 x = 0$
$\sin 5 x$ સામાન્ય લેતા: $\sin 5 x (2 \sin x \sin 3 x + \cos 4 x) = 0$
નિત્યસમ $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin x \sin 3 x = \cos(x-3x) - \cos(x+3x) = \cos 2x - \cos 4x$
કિંમત મૂકતા: $\sin 5 x (\cos 2x - \cos 4x + \cos 4x) = 0$
$\sin 5 x \cos 2x = 0$
આથી $\sin 5 x = 0$ અથવા $\cos 2x = 0$.
$\sin 5 x = 0$ માટે,$5x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{5}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$(-\pi, \pi)$ અંતરાલમાં,$n \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$,જે $9$ ઉકેલો આપે છે.
$\cos 2x = 0$ માટે,$2x = (2k+1)\frac{\pi}{2} \implies x = (2k+1)\frac{\pi}{4}$,જ્યાં $k \in \mathbb{Z}$.
$(-\pi, \pi)$ અંતરાલમાં,$k \in \{-2, -1, 0, 1\}$,જે $4$ ઉકેલો આપે છે: $\pm \frac{\pi}{4}, \pm \frac{3\pi}{4}$.
કુલ ભિન્ન ઉકેલો: $9 + 4 = 13$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan^2 x + 3 \cot^2 x = 2 \sec^2 x$
નિત્યસમ $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^2 x + 3 \cot^2 x = 2(1 + \tan^2 x)$
$\tan^2 x + 3 \cot^2 x = 2 + 2 \tan^2 x$
$3 \cot^2 x - \tan^2 x = 2$
ધારો કે $t = \tan^2 x$,તો $\cot^2 x = \frac{1}{t}$.
$3(\frac{1}{t}) - t = 2$
$3 - t^2 = 2t$
$t^2 + 2t - 3 = 0$
$(t + 3)(t - 1) = 0$
$t = \tan^2 x \ge 0$ હોવાથી,$t = 1$.
$\tan^2 x = 1 \implies \tan x = \pm 1$.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\tan x = 1$ માટે $x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ અને $\tan x = -1$ માટે $x = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
આ તમામ કિંમતો માન્ય છે.
આમ,કુલ $4$ ઉકેલો મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin 7 \theta - \sin 3 \theta = \sin 4 \theta$
નિત્યસમ $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos 5 \theta \sin 2 \theta = \sin 4 \theta$
$\sin 4 \theta = 2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta$ હોવાથી,સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$2 \cos 5 \theta \sin 2 \theta = 2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta$
$2 \sin 2 \theta (\cos 5 \theta - \cos 2 \theta) = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin 2 \theta = 0$
$2 \theta = n \pi \Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{2}$. અંતરાલ $(0, \pi)$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{2}$.
કિસ્સો $2$: $\cos 5 \theta = \cos 2 \theta$
$5 \theta = 2 n \pi \pm 2 \theta$
જો $5 \theta = 2 n \pi + 2 \theta$ હોય,તો $3 \theta = 2 n \pi \Rightarrow \theta = \frac{2 n \pi}{3}$. અંતરાલ $(0, \pi)$ માટે,$\theta = \frac{2 \pi}{3}$.
જો $5 \theta = 2 n \pi - 2 \theta$ હોય,તો $7 \theta = 2 n \pi \Rightarrow \theta = \frac{2 n \pi}{7}$. અંતરાલ $(0, \pi)$ માટે,$\theta = \frac{2 \pi}{7}, \frac{4 \pi}{7}, \frac{6 \pi}{7}$.
ઉકેલો $\frac{\pi}{2}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{7}, \frac{4 \pi}{7}, \frac{6 \pi}{7}$ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $5$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $4-3 \cos ^2 \theta=5 \sin \theta \cos \theta$
$\cos ^2 \theta$ વડે ભાગતા:
$4 \sec ^2 \theta-3=5 \tan \theta$
$4(1+\tan ^2 \theta)-3=5 \tan \theta$
$4 \tan ^2 \theta-5 \tan \theta+1=0$
$(4 \tan \theta-1)(\tan \theta-1)=0$
તેથી,$\tan \theta=1$ અથવા $\tan \theta=\frac{1}{4}$.
વિકલ્પ $D$ ચકાસતા: $1+\sin ^2 \theta=3 \cos ^2 \theta$
$1+\sin ^2 \theta=3(1-\sin ^2 \theta)$
$1+\sin ^2 \theta=3-3 \sin ^2 \theta$
$4 \sin ^2 \theta=2$ $\Rightarrow \sin ^2 \theta=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow \tan ^2 \theta=1$.
જેમ કે $\tan \theta=1$ એ મૂળ સમીકરણનો ઉકેલ છે,તેથી વિકલ્પ $D$ સંતોષાય છે.

(B) આપેલ છે કે $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. $\cos \theta$ ઋણ હોવાથી,$\theta$ બીજા અથવા ત્રીજા ચરણમાં છે. $\cos \theta = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{3\pi}{4}$ અથવા $\cos \theta = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{5\pi}{4}$.
આપેલ છે કે $\tan \theta = 1$. $\tan \theta$ ધન હોવાથી,$\theta$ પ્રથમ અથવા ત્રીજા ચરણમાં છે. $\tan \theta = \tan \frac{\pi}{4}$ અથવા $\tan \theta = \tan(\pi + \frac{\pi}{4}) = \tan \frac{5\pi}{4}$.
બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરતી સામાન્ય કિંમત $\theta = \frac{5\pi}{4}$ છે.
$\theta$ માટેનું વ્યાપક ઉકેલ $2n\pi + \frac{5\pi}{4}$ છે,જેને $2n\pi + \pi + \frac{\pi}{4} = (2n + 1)\pi + \frac{\pi}{4}$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \ldots$.

(B) આપેલ ત્રિકોણમિતીય સમીકરણ: $\tan \theta + \sec \theta = 2 \cos \theta$.
$\cos \theta$ વડે ગુણતા ($\cos \theta \neq 0$ હોવાથી):
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{1}{\cos \theta} = 2 \cos \theta$
$\Rightarrow 1 + \sin \theta = 2 \cos^2 \theta$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 + \sin \theta = 2(1 - \sin^2 \theta)$
$2 \sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$
અવયવ પાડતા:
$(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 1) = 0$
તેથી $\sin \theta = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin \theta = -1$.
અંતરાલ $(0, 2 \pi)$ માં $\sin \theta = \frac{1}{2}$ માટે $\theta = \frac{\pi}{6}$ અથવા $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ મળે.
અંતરાલ $(0, 2 \pi)$ માં $\sin \theta = -1$ માટે $\theta = \frac{3 \pi}{2}$ મળે.
પરંતુ,મૂળ સમીકરણમાં $\tan \theta$ અને $\sec \theta$ હોવાથી,$\theta = \frac{3 \pi}{2}$ આગળ તે અવ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,માન્ય ઉકેલો $\theta = \frac{\pi}{6}$ અને $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ છે.
આમ,ઉકેલોની કુલ સંખ્યા $2$ છે.

(D) આપેલ છે,$\theta \in (-\pi, \pi)$ અને $6 \cos 2 \theta + 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + 2 \sin^2 \theta = 0$.
$\cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ અને $2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = 1 + \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$6(2 \cos^2 \theta - 1) + (1 + \cos \theta) + 2 \sin^2 \theta = 0$.
$10 \cos^2 \theta + \cos \theta - 3 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(5 \cos \theta - 3)(2 \cos \theta + 1) = 0$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{3}{5}$ અથવા $\cos \theta = -\frac{1}{2}$.
આથી $\theta$ ની કિંમતો $\pm \cos^{-1}(\frac{3}{5})$ અને $\pm \frac{2\pi}{3}$ મળે છે.