Slope of line, Equation of line in different forms Questions in Hindi

(A) रेखा का समीकरण $ax + (3 - a)y + 7 = 0$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि रेखा $Ax + By + C = 0$ की ढाल $m = -\frac{A}{B}$ होती है।
यहाँ,$A = a$ और $B = (3 - a)$ है।
ढाल $m = 7$ दी गई है,इसलिए:
$-\frac{a}{3 - a} = 7$
$\frac{a}{a - 3} = 7$
$a = 7(a - 3)$
$a = 7a - 21$
$6a = 21$
$a = \frac{21}{6} = 3.5$।
'$a$' का पूर्णांक भाग,जिसे $[a]$ के रूप में दर्शाया जाता है,$a$ से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है।
$[3.5] = 3$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) बिंदुओं $u(1, -2)$ और $v(-3, 5)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है: $\frac{x - 1}{-3 - 1} = \frac{y - (-2)}{5 - (-2)} \Rightarrow \frac{x - 1}{-4} = \frac{y + 2}{7} \Rightarrow 7x - 7 = -4y - 8 \Rightarrow 7x + 4y + 1 = 0$।
बिंदु $P(-\frac{1}{7}, 0)$ के लिए: $7(-\frac{1}{7}) + 4(0) + 1 = -1 + 0 + 1 = 0$। अतः,$P$ रेखा पर स्थित है।
बिंदु $Q(0, -\frac{1}{4})$ के लिए: $7(0) + 4(-\frac{1}{4}) + 1 = 0 - 1 + 1 = 0$। अतः,$Q$ रेखा पर स्थित है।
बिंदु $R(-2, 3)$ के लिए: $7(-2) + 4(3) + 1 = -14 + 12 + 1 = -1 \neq 0$। अतः,$R$ रेखा पर स्थित नहीं है।
इसलिए,केवल बिंदु $P$ और $Q$ रेखा पर स्थित हैं।

(D) माना प्रतिच्छेदन बिंदु $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ हैं।
चूंकि बिंदु $(1, 2)$ रेखाखंड $AB$ को समद्विभाजित करता है,हमारे पास है:
$\frac{x_1 + x_2}{2} = 1 \Rightarrow x_2 = 2 - x_1$
$\frac{y_1 + y_2}{2} = 2 \Rightarrow y_2 = 4 - y_1$
चूंकि $A$,$3x - 2y - 1 = 0$ पर स्थित है,हमारे पास है:
$3x_1 - 2y_1 - 1 = 0$ --- $(i)$
चूंकि $B$,$x + 2y + 1 = 0$ पर स्थित है,हम $x_2$ और $y_2$ का मान रखते हैं:
$(2 - x_1) + 2(4 - y_1) + 1 = 0$
$2 - x_1 + 8 - 2y_1 + 1 = 0$
$x_1 + 2y_1 - 11 = 0$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$(3x_1 - 2y_1 - 1) + (x_1 + 2y_1 - 11) = 0$
$4x_1 - 12 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$
समीकरण $(i)$ में $x_1 = 3$ रखने पर:
$3(3) - 2y_1 - 1 = 0 \Rightarrow 8 = 2y_1 \Rightarrow y_1 = 4$
अतः,$A = (3, 4)$.
तब $x_2 = 2 - 3 = -1$ और $y_2 = 4 - 4 = 0$,इसलिए $B = (-1, 0)$.
बिंदुओं $(3, 4)$ और $(-1, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण है:
$y - 0 = \frac{4 - 0}{3 - (-1)}(x - (-1))$
$y = \frac{4}{4}(x + 1) \Rightarrow y = x + 1 \Rightarrow x - y = -1$
$-1$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x}{-1} + \frac{y}{1} = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ से तुलना करने पर,$a = -1$ और $b = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + 2b + 1 = -1 + 2(1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$.

(A) रेखा $L$ बिंदु $A(-2, 4)$ से गुजरती है और इसका झुकाव $\theta = 60^{\circ}$ है।
बिंदु $A(x_1, y_1)$ से $r = 6$ की दूरी पर रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु $B(p, q)$ के निर्देशांक $p = x_1 + r \cos \theta$ और $q = y_1 + r \sin \theta$ द्वारा दिए जाते हैं।
चूंकि $B$ $3^{\text{rd}}$ चतुर्थांश में स्थित है,हम रेखा पर विपरीत दिशा में चलते हैं,इसलिए $r = -6$ होगा।
$p = -2 + (-6) \cos 60^{\circ} = -2 - 6(\frac{1}{2}) = -5$.
$q = 4 + (-6) \sin 60^{\circ} = 4 - 3\sqrt{3}$.
हमें $\sqrt{p^2 + q^2 - 8q}$ का मान ज्ञात करना है।
$p^2 + q^2 - 8q = p^2 + (q-4)^2 - 16$.
$p = -5$ और $q = 4 - 3\sqrt{3}$ रखने पर:
$p^2 = 25$.
$(q-4)^2 = (-3\sqrt{3})^2 = 27$.
अतः,$p^2 + (q-4)^2 - 16 = 25 + 27 - 16 = 36$.
इस प्रकार,$\sqrt{p^2 + q^2 - 8q} = \sqrt{36} = 6$.

(A) भुजाओं के समीकरण इस प्रकार दिए गए हैं:
$AB: x-3y=0$
$AC: 3x-y=0$
$BC: x+y+4=0$
शीर्ष $B$ के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,हम रेखाओं $AB$ और $BC$ के समीकरणों को हल करते हैं:
$x-3y=0 \Rightarrow x=3y$
$x+y+4=0$ में $x=3y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3y+y+4=0$ $\Rightarrow 4y=-4$ $\Rightarrow y=-1$
तब $x=3(-1)=-3$.
अतः,शीर्ष $B$ $(-3, -1)$ है।
चूंकि रेखा $3x-y+k=0$,$B(-3, -1)$ से होकर गुजरती है,हम इन निर्देशांकों को रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3(-3)-(-1)+k=0$
$-9+1+k=0$
$-8+k=0 \Rightarrow k=8$.

(B) दिए गए बिंदु $(3,3)$ और $(7,6)$ हैं।
रेखा की ढाल $m = \frac{6-3}{7-3} = \frac{3}{4}$ है।
रेखा का समीकरण $(y-3) = \frac{3}{4}(x-3)$ है,जिसे सरल करने पर $4y - 12 = 3x - 9$ या $3x - 4y = -3$ प्राप्त होता है।
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$x=0$ रखें: $3(0) - 4y = -3 \Rightarrow y = \frac{3}{4}$। बिंदु $(0, \frac{3}{4})$ है।
$x$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y=0$ रखें: $3x - 4(0) = -3 \Rightarrow x = -1$। बिंदु $(-1, 0)$ है।
$(0, \frac{3}{4})$ और $(-1, 0)$ के बीच के रेखाखंड की लंबाई दूरी सूत्र द्वारा:
$d = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (\frac{3}{4} - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$।

(C) बिंदु $P(1, 2)$ से गुजरने वाली और $\theta$ कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण: $\frac{x - 1}{\cos \theta} = \frac{y - 2}{\sin \theta} = r$.
चूंकि $PQ = \frac{1}{2}$,$Q$ के निर्देशांक $(1 + \frac{1}{2} \cos \theta, 2 + \frac{1}{2} \sin \theta)$ हैं।
चूंकि $Q$ रेखा $x + \sqrt{3}y - 2\sqrt{3} = 0$ पर स्थित है,मान रखने पर:
$(1 + \frac{1}{2} \cos \theta) + \sqrt{3}(2 + \frac{1}{2} \sin \theta) - 2\sqrt{3} = 0$.
$\frac{1}{2} \cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta = -1$.
$\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) = -1$.
$\theta = \frac{2\pi}{3}$ के लिए $PQ = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) माना रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जहाँ $a$ और $b$ क्रमशः $X$ और $Y$ अंतःखंड हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |ab| = 12$ दिया गया है,अतः $|ab| = 24$.
रेखा $(12, 4)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{12}{a} + \frac{4}{b} = 1$.
$b = -\frac{24}{a}$ रखने पर,$\frac{12}{a} - \frac{a}{6} = 1 \implies a^2 + 6a - 72 = 0$.
हल करने पर $a = 6$ या $a = -12$ प्राप्त होता है।
यदि $a = -12$ है,तो $b = 2$ होगा। अतः $P = a \cdot b^2 = -12 \cdot 4 = -48$।

(A) माना बिंदु $A(1, 2)$ और $B(-3, 5)$ हैं। बिंदु $P(x, y)$ रेखाखंड $AB$ को $4:3$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर: $x = \frac{4(-3) - 3(1)}{4 - 3} = -15$ और $y = \frac{4(5) - 3(2)}{4 - 3} = 14$.
बिंदु $(-15, 14)$ से गुजरने वाली और $\frac{-2}{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - 14 = \frac{-2}{3}(x + 15)$.
$3y - 42 = -2x - 30$.
$2x + 3y - 12 = 0$.

(C) $(2, -1)$ और $(5, -3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण: $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$.
बिंदुओं $(2, -1)$ और $(5, -3)$ को रखने पर:
$y + 1 = \frac{-3 + 1}{5 - 2}(x - 2)$
$y + 1 = \frac{-2}{3}(x - 2)$
$3y + 3 = -2x + 4$
$2x + 3y = 1$ (रेखा $L$)
चूंकि $(a, 4)$,$L$ पर स्थित है:
$2a + 12 = 1$ $\Rightarrow 2a = -11$ $\Rightarrow a = -\frac{11}{2}$.
चूंकि $(-2, b)$,$L$ पर स्थित है:
$-4 + 3b = 1$ $\Rightarrow 3b = 5$ $\Rightarrow b = \frac{5}{3}$.
बिंदु $(a, b) = (-\frac{11}{2}, \frac{5}{3})$ रेखा $2x + 6y + 1 = 0$ पर स्थित है।

(B) दिया गया ढाल $m = \tan \theta = \frac{3}{4}$ है।
चूंकि $\tan \theta = \frac{3}{4}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{3}{5}$ और $\cos \theta = \frac{4}{5}$ होगा।
$A(x_1, y_1) = (3, 2)$ से $r = 5$ की दूरी पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक $(x_1 \pm r \cos \theta, y_1 \pm r \sin \theta)$ द्वारा दिए जाते हैं।
पहले बिंदु $P$ के लिए:
$x = 3 + 5 \times \frac{4}{5} = 7$
$y = 2 + 5 \times \frac{3}{5} = 5$
अतः $P = (7, 5)$।
दूसरे बिंदु $Q$ के लिए:
$x = 3 - 5 \times \frac{4}{5} = -1$
$y = 2 - 5 \times \frac{3}{5} = -1$
अतः $Q = (-1, -1)$।
इस प्रकार,अभीष्ट बिंदु $(7, 5)$ और $(-1, -1)$ हैं।

(C) माना बिंदु $P(1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है। रेखा का प्राचलिक रूप $x = 1 + r \cos \theta$ और $y = 2 + r \sin \theta$ है,जहाँ $r = \frac{\sqrt{6}}{3}$ है।
चूँकि बिंदु $(x, y)$ रेखा $x + y = 4$ पर स्थित है,हम प्राचलिक निर्देशांक प्रतिस्थापित करते हैं:
$(1 + r \cos \theta) + (2 + r \sin \theta) = 4$
$3 + r(\cos \theta + \sin \theta) = 4$
$r(\cos \theta + \sin \theta) = 1$
$r = \frac{\sqrt{6}}{3}$ रखने पर:
$\frac{\sqrt{6}}{3}(\cos \theta + \sin \theta) = 1$
$\cos \theta + \sin \theta = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\cos \theta + \sin \theta)^2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$1 + \sin 2\theta = \frac{3}{2}$
$\sin 2\theta = \frac{1}{2}$
अतः,$2\theta = \frac{\pi}{6}$ या $2\theta = \frac{5\pi}{6}$।
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{12}$ या $\theta = \frac{5\pi}{12}$।

(C) माना अंतःखंड $5C$ और $3C$ हैं। समीकरण $\frac{x}{5C} + \frac{y}{3C} = 1$ है। यह $(-4, 3)$ से गुजरती है,इसलिए $-\frac{4}{5C} + \frac{3}{3C} = 1$ $\Rightarrow \frac{-4+5}{5C} = 1$ $\Rightarrow 5C = 1$ $\Rightarrow C = \frac{1}{5}$. अतः,$3x + 5y = 3$. इसलिए,$A-2$.
$(B)$ रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है। अंतःखंड $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ हैं। $P(2, -5)$ मध्यबिंदु है,इसलिए $a = 4$ और $b = -10$. समीकरण $5x - 2y - 20 = 0$ है। इसलिए,$B-5$.
$(C)$ $2x - 3y + 5 = 0$ के समानांतर रेखा $2x - 3y + k = 0$ है। $x$-अंतःखंड $\frac{2}{5}$ है,इसलिए $k = -\frac{4}{5}$. समीकरण $10x - 15y = 4$ है। इसलिए,$C-4$.
$(D)$ $5x + 2y + 7 = 0$ के लंबवत रेखा $2x - 5y + \mu = 0$ है। $y$-अंतःखंड $\frac{4}{5}$ है,इसलिए $\mu = 4$. समीकरण $2x - 5y + 4 = 0$ है। इसलिए,$D-1$.

(C) दी गई रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{\cos \theta}=\frac{y-y_1}{\sin \theta}=\gamma$ है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = \tan \theta$ है।
माना इस रेखा के लंबवत रेखा की ढाल $m_2$ है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$ होगा।
अतः,$m_2 = -\frac{1}{\tan \theta} = -\cot \theta$।
आवश्यक रेखा का समीकरण $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ दिया गया है,जिसे $y = -\frac{b}{a}x + b$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{b}{a}$ है।
ढालों की तुलना करने पर,$-\frac{b}{a} = -\cot \theta$।
अतः,$\frac{b}{a} = \cot \theta$।

(D) दी गई रेखा का समीकरण: $x + 2y + 1 = 0$.
ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ में बदलने पर:
$2y = -x - 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$.
अतः,$m = -\frac{1}{2}$ और $c = -\frac{1}{2}$.
अभिलंब रूप $x \cos \theta + y \sin \theta = p$ में बदलने पर:
$x + 2y = -1$ को $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ से भाग देने पर,हमें $\frac{1}{\sqrt{5}}x + \frac{2}{\sqrt{5}}y = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि अभिलंब रूप में $p > 0$ होना चाहिए,इसलिए $-1$ से गुणा करने पर: $-\frac{1}{\sqrt{5}}x - \frac{2}{\sqrt{5}}y = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
अतः,$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ और $\sin \theta = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.
इसलिए,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-2/\sqrt{5}}{-1/\sqrt{5}} = 2$.
अब,$\tan^{-1}(\tan \theta + m + c) = \tan^{-1}(2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(C) माना रेखा की ढाल $m$ है।
बिंदु $P(1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y-2 = m(x-1)$ है,जिसे $mx - y + (2-m) = 0$ लिखा जा सकता है।
इस रेखा और $x+y=4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने पर:
$x + (mx + 2 - m) = 4$ $\Rightarrow x(1+m) = m+2$ $\Rightarrow x = \frac{m+2}{m+1}$.
अतः $y = 4 - x = \frac{3m+2}{m+1}$.
बिंदु $P(1, 2)$ और प्रतिच्छेदन बिंदु के बीच की दूरी $\frac{\sqrt{6}}{3}$ दी गई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(\frac{m+2}{m+1} - 1)^2 + (\frac{3m+2}{m+1} - 2)^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
$\frac{\sqrt{1+m^2}}{|m+1|} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Rightarrow \frac{1+m^2}{(m+1)^2} = \frac{2}{3}$.
$3+3m^2 = 2m^2+4m+2 \Rightarrow m^2-4m+1 = 0$.
$m$ के लिए हल करने पर: $m = 2 \pm \sqrt{3}$.
$m = 2+\sqrt{3} = \tan(\frac{5\pi}{12})$ और $m = 2-\sqrt{3} = \tan(\frac{\pi}{12})$.
अतः कोण $\frac{\pi}{12}$ और $\frac{5\pi}{12}$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $4x + 3y + 2 = 0$ या $4x + 3y = -2$.
अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ में बदलने के लिए,$\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ से विभाजित करें।
चूंकि $p$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $-5$ से विभाजित करें: $\frac{-4}{5}x - \frac{3}{5}y = \frac{2}{5}$.
अतः,$\cos \alpha = \frac{-4}{5}$,$\sin \alpha = \frac{-3}{5}$,और $p = \frac{2}{5}$.
अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ के लिए,$4x + 3y = -2$ को $\frac{x}{-2/4} + \frac{y}{-2/3} = 1$ के रूप में लिखें।
अतः,$a = \frac{-1}{2}$ और $b = \frac{-2}{3}$.
अब,$\frac{p \sec \alpha}{ab} = \frac{p}{ab \cos \alpha} = \frac{2/5}{(-1/2 \times -2/3) \times (-4/5)} = \frac{2/5}{(1/3) \times (-4/5)} = \frac{2/5}{-4/15} = \frac{2}{5} \times \frac{-15}{4} = \frac{-3}{2}$.

(D) माना रेखा की ढाल $m$ है। बिंदु $(-5, 4)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y-4=m(x+5)$ है,जिसे $mx-y+5m+4=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समांतर रेखाओं $x+2y+1=0$ और $x+2y-1=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|1 - (-1)|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
चूंकि इन दो समांतर रेखाओं के बीच रेखा द्वारा बनाया गया अंतःखंड उनके बीच की दूरी के बराबर है,इसलिए रेखा को दी गई समांतर रेखाओं के लंबवत होना चाहिए।
रेखाओं $x+2y+1=0$ और $x+2y-1=0$ की ढाल $m_1 = -\frac{1}{2}$ है।
अतः,अभीष्ट रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{m_1} = 2$ होगी।
$m=2$ को समीकरण $y-4=m(x+5)$ में रखने पर,हमें $y-4=2(x+5)$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $2x-y+14=0$ प्राप्त होता है।

(D) रेखा का दिया गया समीकरण $x + \sqrt{3} y = -4$ है।
$X$-अंतःखंड $a$ ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें: $x = -4$,अतः $a = -4$।
$Y$-अंतःखंड $b$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें: $\sqrt{3} y = -4$,अतः $b = -\frac{4}{\sqrt{3}}$।
अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है।
$x + \sqrt{3} y = -4$ की तुलना $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ से करने पर,अचर पद को धनात्मक बनाने के लिए: $-x - \sqrt{3} y = 4$।
$\sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$ से भाग देने पर,$-\frac{1}{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2} y = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$ और $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,जिससे $\alpha = \frac{4 \pi}{3}$ और $p = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$\sqrt{3} \pi b p - 3 a \alpha$ की गणना करने पर:
$\sqrt{3} \pi \left( -\frac{4}{\sqrt{3}} \right) (2) - 3 (-4) \left( \frac{4 \pi}{3} \right) = -8 \pi + 16 \pi = 8 \pi$।

(B) रेखा $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $120^{\circ}$ का कोण बनाती है। रेखा की ढाल $m = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ है।
मान लीजिए कि रेखा पर अभिलंब $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $\alpha$ कोण बनाता है। अभिलंब रेखा के लंबवत है,इसलिए अभिलंब का कोण $\alpha = 120^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
मूल बिंदु से रेखा पर लंब की लंबाई $p = 4$ दी गई है।
रेखा के अभिलंब रूप का समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है।
मान रखने पर,$x \cos(30^{\circ}) + y \sin(30^{\circ}) = 4$.
$x(\frac{\sqrt{3}}{2}) + y(\frac{1}{2}) = 4$.
$2$ से गुणा करने पर,$\sqrt{3}x + y = 8$ प्राप्त होता है।

(A) माना रेखा के निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $a$ और $b$ हैं।
दिया है कि $a+b = -1$,अतः $b = -(1+a)$।
रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
$b$ का मान रखने पर,$\frac{x}{a} - \frac{y}{1+a} = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखा $(4,3)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{4}{a} - \frac{3}{1+a} = 1$।
$a(1+a)$ से गुणा करने पर,$4(1+a) - 3a = a(1+a)$।
$4 + 4a - 3a = a + a^2$ $\Rightarrow 4 + a = a + a^2$ $\Rightarrow a^2 = 4$।
अतः,$a = 2$ या $a = -2$।
यदि $a = 2$ है,तो $b = -(1+2) = -3$। समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} = 1 \Rightarrow 3x - 2y - 6 = 0$ है।
यदि $a = -2$ है,तो $b = -(1-2) = 1$। समीकरण $\frac{x}{-2} + \frac{y}{1} = 1$ $\Rightarrow -x + 2y = 2$ $\Rightarrow x - 2y + 2 = 0$ है।
अतः,संयुक्त समीकरण $(3x - 2y - 6)(x - 2y + 2) = 0$ है।

(C) मान लीजिए कि रेखा निर्देशांक अक्षों को बिंदुओं $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ पर काटती है।
बिंदु $P\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$,रेखाखंड $AB$ को $2: 3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left(\frac{2(a) + 3(0)}{2 + 3}, \frac{2(0) + 3(b)}{2 + 3}\right) = \left(\frac{2a}{5}, \frac{3b}{5}\right)$.
दिया गया है कि $P = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$,निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{2a}{5} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{4}$
$\frac{3b}{5} = \frac{1}{3} \Rightarrow b = \frac{5}{9}$
रेखा के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
$a$ और $b$ के मान रखने पर:
$\frac{x}{5/4} + \frac{y}{5/9} = 1$
$\frac{4x}{5} + \frac{9y}{5} = 1$
$4x + 9y = 5$.

(C) दी गई रेखा $5x - 12y + 6 = 0$ है। इस रेखा की ढाल $m = \frac{5}{12}$ है।
चूंकि रेखा $L$ इस रेखा के लंबवत है,इसकी ढाल $m_L$ को $m_L \times \frac{5}{12} = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए,इसलिए $m_L = -\frac{12}{5}$ है।
रेखा $L$ का अभिलंब रूप $x \cos \theta + y \sin \theta = p$ है,जहाँ $p = 2$ मूल बिंदु से दूरी है।
इस रेखा की ढाल $-\cot \theta = -\frac{12}{5}$ है,जिसका अर्थ है $\cot \theta = \frac{12}{5}$।
अतः,$\tan \theta = \frac{5}{12}$ है।
चूंकि रेखा $Y$-अक्ष पर धनात्मक अंतःखंड बनाती है,हम अंतःखंड रूप की जाँच करते हैं: $y = -\frac{12}{5}x + \frac{2}{\sin \theta}$।
$\cot \theta = \frac{12}{5}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\sin \theta = \frac{5}{13}$ और $\cos \theta = \frac{12}{13}$ प्राप्त होता है।
अंतःखंड $\frac{2}{\sin \theta} = \frac{2}{5/13} = \frac{26}{5} > 0$ है,जो धनात्मक है।
अंत में,$\tan \theta + \cot \theta = \frac{5}{12} + \frac{12}{5} = \frac{25 + 144}{60} = \frac{169}{60}$।

(D) सबसे पहले,रेखाओं $2x + 3y + 1 = 0$ और $x + y - 3 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
समीकरणों को हल करने पर:
$x + y = 3 \Rightarrow y = 3 - x$.
पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2x + 3(3 - x) + 1 = 0$ $\Rightarrow 2x + 9 - 3x + 1 = 0$ $\Rightarrow -x + 10 = 0$ $\Rightarrow x = 10$.
तब $y = 3 - 10 = -7$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(10, -7)$ है।
रेखा $L$ की ढाल $m = \tan(\tan^{-1} \frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$ है।
$(10, -7)$ से गुजरने वाली और $\frac{2}{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - (-7) = \frac{2}{3}(x - 10)$ $\Rightarrow 3(y + 7) = 2(x - 10)$ $\Rightarrow 3y + 21 = 2x - 20$ $\Rightarrow 2x - 3y = 41$.
अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ में लिखने पर:
$\frac{2x}{41} - \frac{3y}{41} = 1 \Rightarrow \frac{x}{41/2} + \frac{y}{-41/3} = 1$.
अतः,$a = \frac{41}{2}$ और $b = -\frac{41}{3}$.
अंतःखंडों का योग $a + b = \frac{41}{2} - \frac{41}{3} = \frac{123 - 82}{6} = \frac{41}{6}$.

(C) बिंदु $P(3,4)$ से गुजरने वाली और $\theta = \frac{\pi}{6}$ का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण प्राचल रूप में है: $\frac{x-3}{\cos(\pi/6)} = \frac{y-4}{\sin(\pi/6)} = r$।
$\cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin(\pi/6) = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें मिलता है: $\frac{x-3}{\sqrt{3}/2} = \frac{y-4}{1/2} = r$।
अतः,इस रेखा पर कोई भी बिंदु $Q$ $(3 + \frac{\sqrt{3}r}{2}, 4 + \frac{r}{2})$ है।
चूंकि $Q$ रेखा $12x + 5y + 10 = 0$ पर स्थित है,हम $Q$ के निर्देशांक इस समीकरण में रखते हैं:
$12(3 + \frac{\sqrt{3}r}{2}) + 5(4 + \frac{r}{2}) + 10 = 0$।
$36 + 6\sqrt{3}r + 20 + 2.5r + 10 = 0$।
$66 + (6\sqrt{3} + 2.5)r = 0$।
$66 + (\frac{12\sqrt{3} + 5}{2})r = 0$।
$r = -\frac{132}{12\sqrt{3} + 5}$।
$PQ$ की लंबाई $|r| = \frac{132}{12\sqrt{3} + 5}$ है।

(D) दी गई रेखा $x+y-2=0$ है।
$X$-अंतःखंड '$a$' ज्ञात करने के लिए,$y=0$ रखें: $x+0-2=0 \Rightarrow x=2$। अतः,$a=2$।
रेखा को अंतःखंड रूप में $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा का अभिलंब रूप $x \cos \beta + y \sin \beta = p$ होता है।
$x+y=2$ की तुलना $x \cos \beta + y \sin \beta = p$ से करने पर,हम $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ से भाग देते हैं:
$\frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।
यहाँ,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\beta = 45^{\circ}$।
लंबवत दूरी $p = \sqrt{2}$ है।
अब,$a \tan \beta + p^2$ की गणना करें:
$a \tan \beta + p^2 = 2 \tan(45^{\circ}) + (\sqrt{2})^2 = 2(1) + 2 = 4$।

(D) दिया गया है $k = \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.
हम बिंदु $\left(\frac{1}{k}, \frac{1}{k}\right)$ को समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ में जाँचते हैं:
$x = \frac{1}{k}$ और $y = \frac{1}{k}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{ka} + \frac{1}{kb} = \frac{1}{k} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$.
चूँकि $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = k$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{k} \cdot k = 1$.
अतः,बिंदु $\left(\frac{1}{k}, \frac{1}{k}\right)$ रेखा के समीकरण को संतुष्ट करता है.

(C) रेखा $y=\sqrt{3}x$ की ढाल $m=\sqrt{3}$ है। चूंकि अभीष्ट रेखा इसके समांतर है,इसलिए इसकी ढाल भी $\sqrt{3}$ होगी।
अतः,$\tan \theta = \sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $\theta = 60^{\circ}$।
माना दूरी $PQ = r$ है। $Q(2,3)$ से गुजरने वाली रेखा पर $r$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ के निर्देशांक $(2+r \cos 60^{\circ}, 3+r \sin 60^{\circ}) = (2+\frac{r}{2}, 3+\frac{r\sqrt{3}}{2})$ होंगे।
चूंकि $P$,रेखा $2x+4y-27=0$ पर स्थित है,इसलिए इन निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर:
$2(2+\frac{r}{2}) + 4(3+\frac{r\sqrt{3}}{2}) - 27 = 0$
$4 + r + 12 + 2\sqrt{3}r - 27 = 0$
$r(1+2\sqrt{3}) - 11 = 0$
$r = \frac{11}{2\sqrt{3}+1}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$r = \frac{11(2\sqrt{3}-1)}{(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)} = \frac{11(2\sqrt{3}-1)}{12-1} = 2\sqrt{3}-1$.
अतः,रेखाखंड $PQ$ की लंबाई $2\sqrt{3}-1$ है।

(D) माना रेखा $L$ द्वारा धनात्मक $X$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\theta$ है। बिंदु $B$ के निर्देशांक $(2 + 4 \cos \theta, 3 + 4 \sin \theta)$ के रूप में लिखे जा सकते हैं।
चूंकि $B$,रेखा $4x - 3y - 19 = 0$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$4(2 + 4 \cos \theta) - 3(3 + 4 \sin \theta) - 19 = 0$
$8 + 16 \cos \theta - 9 - 12 \sin \theta - 19 = 0$
$16 \cos \theta - 12 \sin \theta = 20$
$4$ से भाग देने पर,हमें $4 \cos \theta - 3 \sin \theta = 5$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण को हल करने पर $\tan \theta = -3/4$ प्राप्त होता है। अतः,कोण $\pi - \operatorname{Tan}^{-1}(3/4)$ होगा।

(C) माना अभीष्ट रेखा की ढाल $m$ है। $(1, 1)$ और $(2, 3)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_1 = \frac{3-1}{2-1} = 2$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\tan(45^{\circ}) = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}|$.
$1 = |\frac{m - 2}{1 + 2m}|$.
इससे दो स्थितियाँ मिलती हैं: $1 + 2m = m - 2$ या $1 + 2m = -(m - 2)$.
स्थिति $1$: $m = -3$. चूंकि ढाल ऋणात्मक है,यह एक मान्य समाधान है।
स्थिति $2$: $1 + 2m = -m + 2 \implies 3m = 1 \implies m = \frac{1}{3}$. यह धनात्मक है,इसलिए हम इसे अस्वीकार करते हैं।
$m = -3$ ढाल और $(4, -3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - (-3) = -3(x - 4)$ है,जो $y + 3 = -3x + 12$ या $3x + y = 9$ में सरल होता है।
$9$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x}{3} + \frac{y}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
$x$-अंतःखंड $a = 3$ और $y$-अंतःखंड $b = 9$ है।
अंतःखंडों का योग $a + b = 3 + 9 = 12$ है।

(C) दिया गया ध्रुवीय समीकरण $\cos \theta + 7 \sin \theta = \frac{1}{r}$ है।
दोनों पक्षों को $r$ से गुणा करने पर,हमें $r \cos \theta + 7 r \sin \theta = 1$ प्राप्त होता है।
मानक रूपांतरण सूत्रों $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ का उपयोग करने पर,समीकरण $x + 7y = 1$ हो जाता है।
यह $x$ और $y$ में एक रैखिक समीकरण है,जो एक सरल रेखा को दर्शाता है।

(A) रेखा का दिया गया ध्रुवीय समीकरण $\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{r}$ है।
$r$ से गुणा करने पर,हमें $r \sin \theta - r \cos \theta = 1$ प्राप्त होता है।
$x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ रूपांतरण का उपयोग करते हुए,कार्तीय समीकरण $y - x = 1$ या $x - y + 1 = 0$ है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = 1$ है।
इस रेखा के लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -1$ होगी।
दिया गया बिंदु $\left(2, \frac{\pi}{6}\right)$ है। कार्तीय निर्देशांक में बदलने पर:
$x = 2 \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
$y = 2 \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$
अतः बिंदु $(\sqrt{3}, 1)$ है।
$(\sqrt{3}, 1)$ से गुजरने वाली और $-1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - 1 = -1(x - \sqrt{3})$
$y - 1 = -x + \sqrt{3}$
$x + y = \sqrt{3} + 1$
$x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ का उपयोग करके वापस ध्रुवीय रूप में बदलने पर:
$r \cos \theta + r \sin \theta = \sqrt{3} + 1$
$r(\sin \theta + \cos \theta) = \sqrt{3} + 1$
$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{3} + 1}{r}$

(A) दिया गया है कि $a, b$ और $c$ $AP$ में हैं।
इसलिए,$2b = a + c$ या $c = 2b - a$ है।
सरल रेखा का समीकरण $ax + 2by + c = 0$ है।
$c$ का मान रखने पर,हमें $ax + 2by + (2b - a) = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$a(x - 1) + 2b(y + 1) = 0$ मिलता है।
इस रेखा के $a$ और $b$ के सभी मानों के लिए एक निश्चित बिंदु से गुजरने के लिए,गुणांकों को स्वतंत्र रूप से शून्य होना चाहिए।
अतः,$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ और $y + 1 = 0 \Rightarrow y = -1$ है।
इसलिए,निश्चित बिंदु $(1, -1)$ है।

(D) दिया गया ध्रुवीय समीकरण: $r \cos \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=2$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$r \left( \cos \theta \cos \frac{\pi}{3} + \sin \theta \sin \frac{\pi}{3} \right) = 2$
$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर:
$r \left( \cos \theta \cdot \frac{1}{2} + \sin \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2$
$2$ से गुणा करने पर:
$r \cos \theta + \sqrt{3} r \sin \theta = 4$
रूपांतरण सूत्रों $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ का उपयोग करते हुए:
$x + \sqrt{3} y = 4$
यह $x$ और $y$ में एक रैखिक समीकरण है,जो एक सीधी रेखा को दर्शाता है।

(C) माना रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
दिया गया है कि अंतःखंडों का योग $a + b = -1$ है,इसलिए $b = -1 - a$।
रेखा $(4, 3)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{4}{a} + \frac{3}{b} = 1$।
$b = -(1 + a)$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{4}{a} - \frac{3}{1 + a} = 1$ प्राप्त होता है।
$4(1 + a) - 3a = a(1 + a) \Rightarrow 4 + 4a - 3a = a + a^2$।
$a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$ या $a = -2$।
यदि $a = 2$ है,तो $b = -1 - 2 = -3$। समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} = 1$ है।
यदि $a = -2$ है,तो $b = -1 - (-2) = 1$। समीकरण $\frac{x}{-2} + \frac{y}{1} = 1$ है।

(C) माना दिए गए बिंदु $A(a, b)$ और $B(-a, -b)$ हैं।
$A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m$ इस प्रकार है:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-b - b}{-a - a} = \frac{-2b}{-2a} = \frac{b}{a}$.
$(a, b)$ से गुजरने वाली और $\frac{b}{a}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - b = \frac{b}{a}(x - a)$
$ay - ab = bx - ab$
$bx = ay$
अब,हम जाँचते हैं कि कौन सा विकल्प समीकरण $bx = ay$ को संतुष्ट करता है:
विकल्प $(C)$ के लिए,$x = a^2$ और $y = ab$ रखने पर:
$b(a^2) = a(ab)$
$a^2b = a^2b$
अतः,रेखा $(a^2, ab)$ से होकर गुजरती है।

(C) माना रेखा का समीकरण अंतःखंड रूप में $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
जिन बिंदुओं पर रेखा अक्षों को काटती है,उनके निर्देशांक $A(0, b)$ और $B(a, 0)$ हैं।
चूंकि बिंदु $(\alpha, \beta)$ रेखाखंड $AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$\alpha = \frac{0 + a}{2} \Rightarrow a = 2\alpha$
$\beta = \frac{b + 0}{2} \Rightarrow b = 2\beta$
इन मानों को अंतःखंड रूप के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{2\alpha} + \frac{y}{2\beta} = 1$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} = 2$

(B) प्रारंभिक रेखा $A(2,0)$ से गुजरती है और $x$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
जब रेखा को दक्षिणावर्त दिशा में $15^{\circ}$ घुमाया जाता है,तो $x$-अक्ष के साथ नया कोण $\theta = 30^{\circ} - 15^{\circ} = 15^{\circ}$ हो जाता है।
नई रेखा की ढाल $m = \tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$ है।
$(2,0)$ से गुजरने वाली और $m = 2-\sqrt{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 0 = (2-\sqrt{3})(x - 2)$ है।
अतः,$(2-\sqrt{3})x - y - 4 + 2\sqrt{3} = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $y-y_1=m(x-x_1)$ है,जिसे $y=mx+(y_1-mx_1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $m$ और $x_1$ स्थिर हैं,इसलिए रेखाओं की ढाल $(m)$ समान रहती है।
समान ढाल वाली रेखाएं एक-दूसरे के समांतर होती हैं।
अतः,$y_1$ के विभिन्न मानों के लिए,हमें समांतर रेखाओं का एक समूह प्राप्त होता है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(C) माना बिंदु $A(3q, 0)$,$B(0, 3p)$ और $C(1, 1)$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,$AC$ की ढाल $BC$ की ढाल के बराबर होनी चाहिए।
$AC$ की ढाल $= \frac{1 - 0}{1 - 3q} = \frac{1}{1 - 3q}$.
$BC$ की ढाल $= \frac{3p - 1}{0 - 1} = 1 - 3p$.
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{1}{1 - 3q} = 1 - 3p$.
$1 = (1 - 3p)(1 - 3q)$.
$1 = 1 - 3q - 3p + 9pq$.
$3p + 3q = 9pq$.
दोनों पक्षों को $3pq$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{q} + \frac{1}{p} = 3$ प्राप्त होता है।