Slope of line, Equation of line in different forms Questions in Gujarati

(A) રેખાનું સમીકરણ $ax + (3 - a)y + 7 = 0$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખા $Ax + By + C = 0$ નો ઢાળ $m = -\frac{A}{B}$ થાય.
અહીં,$A = a$ અને $B = (3 - a)$ છે.
ઢાળ $m = 7$ આપેલ હોવાથી:
$-\frac{a}{3 - a} = 7$
$\frac{a}{a - 3} = 7$
$a = 7(a - 3)$
$a = 7a - 21$
$6a = 21$
$a = \frac{21}{6} = 3.5$.
'$a$' નો પૂર્ણાંક ભાગ,જેને $[a]$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $a$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.
$[3.5] = 3$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) બિંદુઓ $u(1, -2)$ અને $v(-3, 5)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ: $\frac{x - 1}{-3 - 1} = \frac{y - (-2)}{5 - (-2)} \Rightarrow \frac{x - 1}{-4} = \frac{y + 2}{7} \Rightarrow 7x - 7 = -4y - 8 \Rightarrow 7x + 4y + 1 = 0$ છે.
બિંદુ $P(-\frac{1}{7}, 0)$ માટે: $7(-\frac{1}{7}) + 4(0) + 1 = -1 + 0 + 1 = 0$. તેથી,$P$ રેખા પર છે.
બિંદુ $Q(0, -\frac{1}{4})$ માટે: $7(0) + 4(-\frac{1}{4}) + 1 = 0 - 1 + 1 = 0$. તેથી,$Q$ રેખા પર છે.
બિંદુ $R(-2, 3)$ માટે: $7(-2) + 4(3) + 1 = -14 + 12 + 1 = -1 \neq 0$. તેથી,$R$ રેખા પર નથી.
આમ,માત્ર બિંદુઓ $P$ અને $Q$ રેખા પર આવેલા છે.

(D) ધારો કે છેદબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$ અને $B(x_2, y_2)$ છે.
બિંદુ $(1, 2)$ એ રેખાખંડ $AB$ ને દુભાગતું હોવાથી:
$\frac{x_1 + x_2}{2} = 1 \Rightarrow x_2 = 2 - x_1$
$\frac{y_1 + y_2}{2} = 2 \Rightarrow y_2 = 4 - y_1$
$A$ એ $3x - 2y - 1 = 0$ પર હોવાથી:
$3x_1 - 2y_1 - 1 = 0$ --- $(i)$
$B$ એ $x + 2y + 1 = 0$ પર હોવાથી,$x_2$ અને $y_2$ ની કિંમત મૂકતા:
$(2 - x_1) + 2(4 - y_1) + 1 = 0$
$2 - x_1 + 8 - 2y_1 + 1 = 0$
$x_1 + 2y_1 - 11 = 0$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$(3x_1 - 2y_1 - 1) + (x_1 + 2y_1 - 11) = 0$
$4x_1 - 12 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$
સમીકરણ $(i)$ માં $x_1 = 3$ મૂકતા:
$3(3) - 2y_1 - 1 = 0 \Rightarrow 8 = 2y_1 \Rightarrow y_1 = 4$
આમ,$A = (3, 4)$.
તેથી $x_2 = 2 - 3 = -1$ અને $y_2 = 4 - 4 = 0$,એટલે કે $B = (-1, 0)$.
બિંદુઓ $(3, 4)$ અને $(-1, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નું સમીકરણ:
$y - 0 = \frac{4 - 0}{3 - (-1)}(x - (-1))$
$y = \frac{4}{4}(x + 1) \Rightarrow y = x + 1 \Rightarrow x - y = -1$
$-1$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{-1} + \frac{y}{1} = 1$ મળે છે.
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a = -1$ અને $b = 1$ મળે છે.
તેથી,$a + 2b + 1 = -1 + 2(1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$.

(A) રેખા $L$ એ $A(-2, 4)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $\theta = 60^{\circ}$ છે.
બિંદુ $A(x_1, y_1)$ થી $r = 6$ અંતરે રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $B(p, q)$ ના યામ $p = x_1 + r \cos \theta$ અને $q = y_1 + r \sin \theta$ દ્વારા મળે છે.
$B$ એ $3^{\text{rd}}$ ચરણમાં હોવાથી,આપણે રેખા પર વિરુદ્ધ દિશામાં જઈશું,તેથી $r = -6$.
$p = -2 + (-6) \cos 60^{\circ} = -2 - 6(\frac{1}{2}) = -5$.
$q = 4 + (-6) \sin 60^{\circ} = 4 - 3\sqrt{3}$.
આપણે $\sqrt{p^2 + q^2 - 8q}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$p^2 + q^2 - 8q = p^2 + (q-4)^2 - 16$.
$p = -5$ અને $q = 4 - 3\sqrt{3}$ મૂકતા:
$p^2 = 25$.
$(q-4)^2 = (-3\sqrt{3})^2 = 27$.
તેથી,$p^2 + (q-4)^2 - 16 = 25 + 27 - 16 = 36$.
આમ,$\sqrt{p^2 + q^2 - 8q} = \sqrt{36} = 6$.

(A) બાજુઓના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$AB: x-3y=0$
$AC: 3x-y=0$
$BC: x+y+4=0$
શિરોબિંદુ $B$ ના યામ શોધવા માટે,આપણે $AB$ અને $BC$ ના સમીકરણો ઉકેલીએ:
$x-3y=0 \Rightarrow x=3y$
$x+y+4=0$ માં $x=3y$ મુકતા:
$3y+y+4=0$ $\Rightarrow 4y=-4$ $\Rightarrow y=-1$
તેથી $x=3(-1)=-3$.
આમ,શિરોબિંદુ $B$ એ $(-3, -1)$ છે.
રેખા $3x-y+k=0$ એ $B(-3, -1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ યામ રેખાના સમીકરણમાં મુકીએ:
$3(-3)-(-1)+k=0$
$-9+1+k=0$
$-8+k=0 \Rightarrow k=8$.

(B) આપેલા બિંદુઓ $(3,3)$ અને $(7,6)$ છે.
રેખાનો ઢાળ $m = \frac{6-3}{7-3} = \frac{3}{4}$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $(y-3) = \frac{3}{4}(x-3)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4y - 12 = 3x - 9$ અથવા $3x - 4y = -3$ થાય છે.
$y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$x=0$ મૂકતા: $3(0) - 4y = -3 \Rightarrow y = \frac{3}{4}$. બિંદુ $(0, \frac{3}{4})$ છે.
$x$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y=0$ મૂકતા: $3x - 4(0) = -3 \Rightarrow x = -1$. બિંદુ $(-1, 0)$ છે.
$(0, \frac{3}{4})$ અને $(-1, 0)$ વચ્ચેના રેખાખંડની લંબાઈ અંતર સૂત્ર દ્વારા:
$d = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (\frac{3}{4} - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(C) બિંદુ $P(1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $\theta$ ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ: $\frac{x - 1}{\cos \theta} = \frac{y - 2}{\sin \theta} = r$.
$PQ = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$Q$ ના યામ $(1 + \frac{1}{2} \cos \theta, 2 + \frac{1}{2} \sin \theta)$ છે.
$Q$ એ રેખા $x + \sqrt{3}y - 2\sqrt{3} = 0$ પર હોવાથી,કિંમતો મૂકતા:
$(1 + \frac{1}{2} \cos \theta) + \sqrt{3}(2 + \frac{1}{2} \sin \theta) - 2\sqrt{3} = 0$.
$\frac{1}{2} \cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta = -1$.
$\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) = -1$.
$\theta = \frac{2\pi}{3}$ માટે ગણતરી કરતા $PQ = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ અનુક્રમે $X$ અને $Y$ અંતઃખંડ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |ab| = 12$ આપેલ છે,તેથી $|ab| = 24$.
રેખા $(12, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{12}{a} + \frac{4}{b} = 1$.
$b = -\frac{24}{a}$ લેતા,$\frac{12}{a} - \frac{a}{6} = 1 \implies a^2 + 6a - 72 = 0$.
ઉકેલતા $a = 6$ અથવા $a = -12$ મળે.
જો $a = -12$ હોય,તો $b = 2$. તેથી $P = a \cdot b^2 = -12 \cdot 4 = -48$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 2)$ અને $B(-3, 5)$ છે. બિંદુ $P(x, y)$ રેખાખંડ $AB$ નું $4:3$ ના ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $x = \frac{4(-3) - 3(1)}{4 - 3} = -15$ અને $y = \frac{4(5) - 3(2)}{4 - 3} = 14$.
બિંદુ $(-15, 14)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{-2}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 14 = \frac{-2}{3}(x + 15)$.
$3y - 42 = -2x - 30$.
$2x + 3y - 12 = 0$.

(C) $(2, -1)$ અને $(5, -3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ: $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$.
બિંદુઓ $(2, -1)$ અને $(5, -3)$ મૂકતા:
$y + 1 = \frac{-3 + 1}{5 - 2}(x - 2)$
$y + 1 = \frac{-2}{3}(x - 2)$
$3y + 3 = -2x + 4$
$2x + 3y = 1$ (રેખા $L$)
$(a, 4)$ એ $L$ પર હોવાથી:
$2a + 12 = 1$ $\Rightarrow 2a = -11$ $\Rightarrow a = -\frac{11}{2}$.
$(-2, b)$ એ $L$ પર હોવાથી:
$-4 + 3b = 1$ $\Rightarrow 3b = 5$ $\Rightarrow b = \frac{5}{3}$.
બિંદુ $(a, b) = (-\frac{11}{2}, \frac{5}{3})$ એ $2x + 6y + 1 = 0$ રેખા પર આવેલું છે.

(B) આપેલ ઢાળ $m = \tan \theta = \frac{3}{4}$ છે.
તેથી $\sin \theta = \frac{3}{5}$ અને $\cos \theta = \frac{4}{5}$ થાય.
$A(x_1, y_1) = (3, 2)$ થી $r = 5$ અંતરે આવેલા બિંદુઓના યામ $(x_1 \pm r \cos \theta, y_1 \pm r \sin \theta)$ સૂત્ર દ્વારા મળે.
પ્રથમ બિંદુ $P$ માટે:
$x = 3 + 5 \times \frac{4}{5} = 7$
$y = 2 + 5 \times \frac{3}{5} = 5$
તેથી $P = (7, 5)$.
બીજા બિંદુ $Q$ માટે:
$x = 3 - 5 \times \frac{4}{5} = -1$
$y = 2 - 5 \times \frac{3}{5} = -1$
તેથી $Q = (-1, -1)$.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(7, 5)$ અને $(-1, -1)$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા ધન $X$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. રેખાનું પ્રચલિત સ્વરૂપ $x = 1 + r \cos \theta$ અને $y = 2 + r \sin \theta$ છે,જ્યાં $r = \frac{\sqrt{6}}{3}$ છે.
બિંદુ $(x, y)$ રેખા $x + y = 4$ પર હોવાથી,આપણે પ્રચલિત યામો મૂકીએ:
$(1 + r \cos \theta) + (2 + r \sin \theta) = 4$
$3 + r(\cos \theta + \sin \theta) = 4$
$r(\cos \theta + \sin \theta) = 1$
$r = \frac{\sqrt{6}}{3}$ મૂકતા:
$\frac{\sqrt{6}}{3}(\cos \theta + \sin \theta) = 1$
$\cos \theta + \sin \theta = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\cos \theta + \sin \theta)^2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$1 + \sin 2\theta = \frac{3}{2}$
$\sin 2\theta = \frac{1}{2}$
આમ,$2\theta = \frac{\pi}{6}$ અથવા $2\theta = \frac{5\pi}{6}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{12}$ અથવા $\theta = \frac{5\pi}{12}$.

(C) ધારો કે અંતઃખંડો $5C$ અને $3C$ છે. સમીકરણ $\frac{x}{5C} + \frac{y}{3C} = 1$ છે. તે $(-4, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $-\frac{4}{5C} + \frac{3}{3C} = 1$ $\Rightarrow \frac{-4+5}{5C} = 1$ $\Rightarrow 5C = 1$ $\Rightarrow C = \frac{1}{5}$. આમ,$3x + 5y = 3$. તેથી,$A-2$.
$(B)$ રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે. અંતઃખંડો $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ છે. $P(2, -5)$ મધ્યબિંદુ છે,તેથી $a = 4$ અને $b = -10$. સમીકરણ $5x - 2y - 20 = 0$ છે. તેથી,$B-5$.
$(C)$ $2x - 3y + 5 = 0$ ને સમાંતર રેખા $2x - 3y + k = 0$ છે. $x$-અંતઃખંડ $\frac{2}{5}$ છે,તેથી $k = -\frac{4}{5}$. સમીકરણ $10x - 15y = 4$ છે. તેથી,$C-4$.
$(D)$ $5x + 2y + 7 = 0$ ને લંબ રેખા $2x - 5y + \mu = 0$ છે. $y$-અંતઃખંડ $\frac{4}{5}$ છે,તેથી $\mu = 4$. સમીકરણ $2x - 5y + 4 = 0$ છે. તેથી,$D-1$.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{\cos \theta}=\frac{y-y_1}{\sin \theta}=\gamma$ છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = \tan \theta$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2$ હોય,તો $m_1 \times m_2 = -1$.
તેથી,$m_2 = -\frac{1}{\tan \theta} = -\cot \theta$.
આપેલી લંબ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ છે,જેને $y = -\frac{b}{a}x + b$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{b}{a}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા,$-\frac{b}{a} = -\cot \theta$.
તેથી,$\frac{b}{a} = \cot \theta$.

(D) આપેલ રેખાનું સમીકરણ: $x + 2y + 1 = 0$.
ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ માં ફેરવતા:
$2y = -x - 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$.
તેથી,$m = -\frac{1}{2}$ અને $c = -\frac{1}{2}$.
અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \theta + y \sin \theta = p$ માં ફેરવતા:
$x + 2y = -1$ ને $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{\sqrt{5}}x + \frac{2}{\sqrt{5}}y = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ મળે.
અભિલંબ સ્વરૂપમાં $p > 0$ હોવું જરૂરી હોવાથી,$-1$ વડે ગુણતા: $-\frac{1}{\sqrt{5}}x - \frac{2}{\sqrt{5}}y = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ અને $\sin \theta = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-2/\sqrt{5}}{-1/\sqrt{5}} = 2$.
હવે,$\tan^{-1}(\tan \theta + m + c) = \tan^{-1}(2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(C) ધારો કે રેખાનો ઢાળ $m$ છે.
બિંદુ $P(1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y-2 = m(x-1)$ છે,જે $mx - y + (2-m) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા અને $x+y=4$ નું છેદબિંદુ શોધતા:
$x + (mx + 2 - m) = 4$ $\Rightarrow x(1+m) = m+2$ $\Rightarrow x = \frac{m+2}{m+1}$.
તેથી $y = 4 - x = \frac{3m+2}{m+1}$.
બિંદુ $P(1, 2)$ અને છેદબિંદુ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\sqrt{6}}{3}$ આપેલ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(\frac{m+2}{m+1} - 1)^2 + (\frac{3m+2}{m+1} - 2)^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
$\frac{\sqrt{1+m^2}}{|m+1|} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Rightarrow \frac{1+m^2}{(m+1)^2} = \frac{2}{3}$.
$3+3m^2 = 2m^2+4m+2 \Rightarrow m^2-4m+1 = 0$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $m = 2 \pm \sqrt{3}$.
$m = 2+\sqrt{3} = \tan(\frac{5\pi}{12})$ અને $m = 2-\sqrt{3} = \tan(\frac{\pi}{12})$.
તેથી ખૂણાઓ $\frac{\pi}{12}$ અને $\frac{5\pi}{12}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4x + 3y + 2 = 0$ અથવા $4x + 3y = -2$.
અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ માં ફેરવવા માટે,$\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ વડે ભાગતા.
$p$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $-5$ વડે ભાગતા: $\frac{-4}{5}x - \frac{3}{5}y = \frac{2}{5}$.
આમ,$\cos \alpha = \frac{-4}{5}$,$\sin \alpha = \frac{-3}{5}$,અને $p = \frac{2}{5}$.
અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ માટે,$4x + 3y = -2$ ને $\frac{x}{-2/4} + \frac{y}{-2/3} = 1$ તરીકે લખતા.
તેથી,$a = \frac{-1}{2}$ અને $b = \frac{-2}{3}$.
હવે,$\frac{p \sec \alpha}{ab} = \frac{p}{ab \cos \alpha} = \frac{2/5}{(-1/2 \times -2/3) \times (-4/5)} = \frac{2/5}{(1/3) \times (-4/5)} = \frac{2/5}{-4/15} = \frac{2}{5} \times \frac{-15}{4} = \frac{-3}{2}$.

(D) ધારો કે રેખાનો ઢાળ $m$ છે. બિંદુ $(-5, 4)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y-4=m(x+5)$ છે,જે $mx-y+5m+4=0$ તરીકે લખી શકાય.
સમાંતર રેખાઓ $x+2y+1=0$ અને $x+2y-1=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|1 - (-1)|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ છે.
રેખા દ્વારા આ બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચે બનતો અંતઃખંડ એ તેમની વચ્ચેના અંતર જેટલો હોવાથી,રેખા આપેલી સમાંતર રેખાઓને લંબ હોવી જોઈએ.
રેખાઓ $x+2y+1=0$ અને $x+2y-1=0$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{2}$ છે.
તેથી,જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_1} = 2$ થશે.
$m=2$ ને સમીકરણ $y-4=m(x+5)$ માં મૂકતા,આપણને $y-4=2(x+5)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2x-y+14=0$ થાય છે.

(D) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $x + \sqrt{3} y = -4$ છે.
$X$-અંતઃખંડ $a$ શોધવા માટે,$y = 0$ મૂકતા: $x = -4$,તેથી $a = -4$.
$Y$-અંતઃખંડ $b$ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકતા: $\sqrt{3} y = -4$,તેથી $b = -\frac{4}{\sqrt{3}}$.
અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે.
$x + \sqrt{3} y = -4$ ને $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ સાથે સરખાવતા,અચળ પદ ધન બનાવવા માટે: $-x - \sqrt{3} y = 4$.
$\sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$ વડે ભાગતા,$-\frac{1}{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2} y = 2$ મળે.
આમ,$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$ અને $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,જે $\alpha = \frac{4 \pi}{3}$ અને $p = 2$ આપે છે.
હવે,$\sqrt{3} \pi b p - 3 a \alpha$ ની ગણતરી કરતા:
$\sqrt{3} \pi \left( -\frac{4}{\sqrt{3}} \right) (2) - 3 (-4) \left( \frac{4 \pi}{3} \right) = -8 \pi + 16 \pi = 8 \pi$.

(B) રેખા $X$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $120^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. રેખાનો ઢાળ $m = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ છે.
ધારો કે રેખા પરનો લંબ $X$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે. લંબ એ રેખાને લંબ હોવાથી,લંબનો ખૂણો $\alpha = 120^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે.
ઉગમબિંદુથી રેખા પરના લંબની લંબાઈ $p = 4$ આપેલ છે.
રેખાના અભિલંબ સ્વરૂપનું સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x \cos(30^{\circ}) + y \sin(30^{\circ}) = 4$.
$x(\frac{\sqrt{3}}{2}) + y(\frac{1}{2}) = 4$.
$2$ વડે ગુણતા,$\sqrt{3}x + y = 8$ મળે છે.

(A) ધારો કે રેખાના યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે $a+b = -1$,તેથી $b = -(1+a)$.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$b$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{x}{a} - \frac{y}{1+a} = 1$ મળે.
રેખા $(4,3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{4}{a} - \frac{3}{1+a} = 1$.
$a(1+a)$ વડે ગુણતા,$4(1+a) - 3a = a(1+a)$.
$4 + 4a - 3a = a + a^2$ $\Rightarrow 4 + a = a + a^2$ $\Rightarrow a^2 = 4$.
તેથી,$a = 2$ અથવા $a = -2$.
જો $a = 2$ હોય,તો $b = -(1+2) = -3$. સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} = 1 \Rightarrow 3x - 2y - 6 = 0$ મળે.
જો $a = -2$ હોય,તો $b = -(1-2) = 1$. સમીકરણ $\frac{x}{-2} + \frac{y}{1} = 1$ $\Rightarrow -x + 2y = 2$ $\Rightarrow x - 2y + 2 = 0$ મળે.
આમ,સંયુક્ત સમીકરણ $(3x - 2y - 6)(x - 2y + 2) = 0$ છે.

(C) ધારો કે રેખા યામ અક્ષોને બિંદુઓ $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ પર છેદે છે.
બિંદુ $P\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$ એ રેખાખંડ $AB$ ને $2: 3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P = \left(\frac{2(a) + 3(0)}{2 + 3}, \frac{2(0) + 3(b)}{2 + 3}\right) = \left(\frac{2a}{5}, \frac{3b}{5}\right)$.
આપેલ છે કે $P = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$,તેથી યામ સરખાવતા:
$\frac{2a}{5} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{4}$
$\frac{3b}{5} = \frac{1}{3} \Rightarrow b = \frac{5}{9}$
રેખાના સમીકરણનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{5/4} + \frac{y}{5/9} = 1$
$\frac{4x}{5} + \frac{9y}{5} = 1$
$4x + 9y = 5$.

(C) આપેલ રેખા $5x - 12y + 6 = 0$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $m = \frac{5}{12}$ છે.
રેખા $L$ આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_L$ એ $m_L \times \frac{5}{12} = -1$ નું પાલન કરે છે,તેથી $m_L = -\frac{12}{5}$.
રેખા $L$ નું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \theta + y \sin \theta = p$ છે,જ્યાં $p = 2$ એ ઉગમબિંદુથી અંતર છે.
આ રેખાનો ઢાળ $-\cot \theta = -\frac{12}{5}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\cot \theta = \frac{12}{5}$.
આમ,$\tan \theta = \frac{5}{12}$.
રેખા $Y$-અક્ષ પર ધન અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી આપણે અંતઃખંડ સ્વરૂપ તપાસીએ: $y = -\frac{12}{5}x + \frac{2}{\sin \theta}$.
$\cot \theta = \frac{12}{5}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin \theta = \frac{5}{13}$ અને $\cos \theta = \frac{12}{13}$ મળે છે.
અંતઃખંડ $\frac{2}{\sin \theta} = \frac{2}{5/13} = \frac{26}{5} > 0$ છે,જે ધન છે.
અંતે,$\tan \theta + \cot \theta = \frac{5}{12} + \frac{12}{5} = \frac{25 + 144}{60} = \frac{169}{60}$.

(D) સૌ પ્રથમ,રેખાઓ $2x + 3y + 1 = 0$ અને $x + y - 3 = 0$ નું છેદબિંદુ શોધો.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$x + y = 3 \Rightarrow y = 3 - x$.
પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $2x + 3(3 - x) + 1 = 0$ $\Rightarrow 2x + 9 - 3x + 1 = 0$ $\Rightarrow -x + 10 = 0$ $\Rightarrow x = 10$.
તેથી $y = 3 - 10 = -7$.
છેદબિંદુ $(10, -7)$ છે.
રેખા $L$ નો ઢાળ $m = \tan(\tan^{-1} \frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$ છે.
$(10, -7)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{2}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - (-7) = \frac{2}{3}(x - 10)$ $\Rightarrow 3(y + 7) = 2(x - 10)$ $\Rightarrow 3y + 21 = 2x - 20$ $\Rightarrow 2x - 3y = 41$.
અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ માં લખતા:
$\frac{2x}{41} - \frac{3y}{41} = 1 \Rightarrow \frac{x}{41/2} + \frac{y}{-41/3} = 1$.
આમ,$a = \frac{41}{2}$ અને $b = -\frac{41}{3}$.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $a + b = \frac{41}{2} - \frac{41}{3} = \frac{123 - 82}{6} = \frac{41}{6}$.

(C) બિંદુ $P(3,4)$ માંથી પસાર થતી અને $\theta = \frac{\pi}{6}$ ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ પ્રાચલ સ્વરૂપમાં: $\frac{x-3}{\cos(\pi/6)} = \frac{y-4}{\sin(\pi/6)} = r$ છે.
$\cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin(\pi/6) = \frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે: $\frac{x-3}{\sqrt{3}/2} = \frac{y-4}{1/2} = r$.
આમ,આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q$ એ $(3 + \frac{\sqrt{3}r}{2}, 4 + \frac{r}{2})$ છે.
$Q$ એ રેખા $12x + 5y + 10 = 0$ પર હોવાથી,આપણે $Q$ ના યામ આ સમીકરણમાં મૂકીએ:
$12(3 + \frac{\sqrt{3}r}{2}) + 5(4 + \frac{r}{2}) + 10 = 0$.
$36 + 6\sqrt{3}r + 20 + 2.5r + 10 = 0$.
$66 + (6\sqrt{3} + 2.5)r = 0$.
$66 + (\frac{12\sqrt{3} + 5}{2})r = 0$.
$r = -\frac{132}{12\sqrt{3} + 5}$.
$PQ$ ની લંબાઈ $|r| = \frac{132}{12\sqrt{3} + 5}$ છે.

(D) આપેલ રેખા $x+y-2=0$ છે.
$X$-અંતઃખંડ '$a$' શોધવા માટે,$y=0$ લો: $x+0-2=0 \Rightarrow x=2$. આમ,$a=2$.
રેખાને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \beta + y \sin \beta = p$ છે.
$x+y=2$ ને $x \cos \beta + y \sin \beta = p$ સાથે સરખાવતા,આપણે $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ વડે ભાગીએ છીએ:
$\frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
અહીં,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\beta = 45^{\circ}$.
લંબ અંતર $p = \sqrt{2}$.
હવે,$a \tan \beta + p^2$ ની ગણતરી કરો:
$a \tan \beta + p^2 = 2 \tan(45^{\circ}) + (\sqrt{2})^2 = 2(1) + 2 = 4$.

(D) આપેલ છે કે $k = \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.
આપણે બિંદુ $\left(\frac{1}{k}, \frac{1}{k}\right)$ ને સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ માં ચકાસીએ:
$x = \frac{1}{k}$ અને $y = \frac{1}{k}$ મૂકતા:
$\frac{1}{ka} + \frac{1}{kb} = \frac{1}{k} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$.
કારણ કે $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = k$,તેથી:
$\frac{1}{k} \cdot k = 1$.
આમ,બિંદુ $\left(\frac{1}{k}, \frac{1}{k}\right)$ રેખાના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(C) $y=\sqrt{3}x$ રેખાનો ઢાળ $m=\sqrt{3}$ છે. સમાંતર રેખાઓના ઢાળ સમાન હોવાથી,માંગેલ રેખાનો ઢાળ પણ $\sqrt{3}$ થશે.
આમ,$\tan \theta = \sqrt{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 60^{\circ}$.
ધારો કે અંતર $PQ = r$ છે. $Q(2,3)$ માંથી પસાર થતી રેખા પર $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ ના યામ $(2+r \cos 60^{\circ}, 3+r \sin 60^{\circ}) = (2+\frac{r}{2}, 3+\frac{r\sqrt{3}}{2})$ થશે.
બિંદુ $P$ એ $2x+4y-27=0$ રેખા પર હોવાથી,આ યામને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(2+\frac{r}{2}) + 4(3+\frac{r\sqrt{3}}{2}) - 27 = 0$
$4 + r + 12 + 2\sqrt{3}r - 27 = 0$
$r(1+2\sqrt{3}) - 11 = 0$
$r = \frac{11}{2\sqrt{3}+1}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$r = \frac{11(2\sqrt{3}-1)}{(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)} = \frac{11(2\sqrt{3}-1)}{12-1} = 2\sqrt{3}-1$.
તેથી,રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ $2\sqrt{3}-1$ છે.

(D) ધારો કે રેખા $L$ એ ધન $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\theta$ છે. બિંદુ $B$ ના યામ $(2 + 4 \cos \theta, 3 + 4 \sin \theta)$ તરીકે લખી શકાય.
કારણ કે $B$ એ રેખા $4x - 3y - 19 = 0$ પર આવેલું છે,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$4(2 + 4 \cos \theta) - 3(3 + 4 \sin \theta) - 19 = 0$
$8 + 16 \cos \theta - 9 - 12 \sin \theta - 19 = 0$
$16 \cos \theta - 12 \sin \theta = 20$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $4 \cos \theta - 3 \sin \theta = 5$ મળે છે.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $\tan \theta = -3/4$ મળે છે. તેથી,ખૂણો $\pi - \operatorname{Tan}^{-1}(3/4)$ થશે.

(C) ધારો કે માંગેલ રેખાનો ઢાળ $m$ છે. $(1, 1)$ અને $(2, 3)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{3-1}{2-1} = 2$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે,તેથી $\tan(45^{\circ}) = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}|$.
$1 = |\frac{m - 2}{1 + 2m}|$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે: $1 + 2m = m - 2$ અથવા $1 + 2m = -(m - 2)$.
કિસ્સો $1$: $m = -3$. ઢાળ ઋણ હોવાથી,આ ઉકેલ માન્ય છે.
કિસ્સો $2$: $1 + 2m = -m + 2 \implies 3m = 1 \implies m = \frac{1}{3}$. આ ધન હોવાથી,આપણે તેને નકારીએ છીએ.
$m = -3$ ઢાળ અને $(4, -3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - (-3) = -3(x - 4)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y + 3 = -3x + 12$ એટલે કે $3x + y = 9$ થાય.
$9$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{3} + \frac{y}{9} = 1$ મળે છે.
$x$-અંતઃખંડ $a = 3$ અને $y$-અંતઃખંડ $b = 9$ છે.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $a + b = 3 + 9 = 12$ થાય.

(C) આપેલ ધ્રુવીય સમીકરણ $\cos \theta + 7 \sin \theta = \frac{1}{r}$ છે.
બંને બાજુ $r$ વડે ગુણતા,આપણને $r \cos \theta + 7 r \sin \theta = 1$ મળે છે.
પ્રમાણિત રૂપાંતરણ સૂત્રો $x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ $x + 7y = 1$ બને છે.
આ $x$ અને $y$ માં એક સુરેખ સમીકરણ છે,જે એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(A) આપેલ રેખાનું ધ્રુવીય સમીકરણ $\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{r}$ છે.
$r$ વડે ગુણતા,આપણને $r \sin \theta - r \cos \theta = 1$ મળે છે.
$x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરતા,કાર્તેઝિયન સમીકરણ $y - x = 1$ અથવા $x - y + 1 = 0$ થાય છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = 1$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -1$ થશે.
આપેલ બિંદુ $\left(2, \frac{\pi}{6}\right)$ છે. કાર્તેઝિયન યામમાં રૂપાંતર કરતા:
$x = 2 \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
$y = 2 \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$
તેથી બિંદુ $(\sqrt{3}, 1)$ છે.
$(\sqrt{3}, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $-1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 1 = -1(x - \sqrt{3})$
$y - 1 = -x + \sqrt{3}$
$x + y = \sqrt{3} + 1$
$x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરીને ફરીથી ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં રૂપાંતર કરતા:
$r \cos \theta + r \sin \theta = \sqrt{3} + 1$
$r(\sin \theta + \cos \theta) = \sqrt{3} + 1$
$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{3} + 1}{r}$

(A) આપેલ છે કે $a, b$ અને $c$ એ $AP$ માં છે.
તેથી,$2b = a + c$ અથવા $c = 2b - a$.
સુરેખાનું સમીકરણ $ax + 2by + c = 0$ છે.
$c$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $ax + 2by + (2b - a) = 0$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$a(x - 1) + 2b(y + 1) = 0$ મળે છે.
આ રેખા $a$ અને $b$ ની તમામ કિંમતો માટે એક નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થાય તે માટે,સહગુણકો સ્વતંત્ર રીતે શૂન્ય હોવા જોઈએ.
આમ,$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ અને $y + 1 = 0 \Rightarrow y = -1$.
તેથી,નિશ્ચિત બિંદુ $(1, -1)$ છે.

(D) આપેલ ધ્રુવીય સમીકરણ: $r \cos \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=2$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r \left( \cos \theta \cos \frac{\pi}{3} + \sin \theta \sin \frac{\pi}{3} \right) = 2$
$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ અને $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા:
$r \left( \cos \theta \cdot \frac{1}{2} + \sin \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2$
$2$ વડે ગુણતા:
$r \cos \theta + \sqrt{3} r \sin \theta = 4$
રૂપાંતરણ સૂત્રો $x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x + \sqrt{3} y = 4$
આ $x$ અને $y$ માં એક સુરેખ સમીકરણ છે,જે એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
આપેલ છે કે અંતઃખંડોનો સરવાળો $a + b = -1$ છે,તેથી $b = -1 - a$.
રેખા $(4, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{4}{a} + \frac{3}{b} = 1$.
$b = -(1 + a)$ મૂકતા,$\frac{4}{a} - \frac{3}{1 + a} = 1$ મળે.
$4(1 + a) - 3a = a(1 + a) \Rightarrow 4 + 4a - 3a = a + a^2$.
$a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$ અથવા $a = -2$.
જો $a = 2$ હોય,તો $b = -1 - 2 = -3$. સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} = 1$ થાય.
જો $a = -2$ હોય,તો $b = -1 - (-2) = 1$. સમીકરણ $\frac{x}{-2} + \frac{y}{1} = 1$ થાય.

(C) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A(a, b)$ અને $B(-a, -b)$ છે.
$A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ નીચે મુજબ છે:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-b - b}{-a - a} = \frac{-2b}{-2a} = \frac{b}{a}$.
$(a, b)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{b}{a}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - b = \frac{b}{a}(x - a)$
$ay - ab = bx - ab$
$bx = ay$
હવે,આપણે ચકાસીએ કે કયું બિંદુ $bx = ay$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
વિકલ્પ $(C)$ માટે,$x = a^2$ અને $y = ab$ મૂકતા:
$b(a^2) = a(ab)$
$a^2b = a^2b$
આમ,રેખા $(a^2, ab)$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા અક્ષોને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓના યામ $A(0, b)$ અને $B(a, 0)$ છે.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\alpha = \frac{0 + a}{2} \Rightarrow a = 2\alpha$
$\beta = \frac{b + 0}{2} \Rightarrow b = 2\beta$
આ કિંમતોને અંતઃખંડ સ્વરૂપના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{2\alpha} + \frac{y}{2\beta} = 1$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} = 2$

(B) પ્રારંભિક રેખા $A(2,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
જ્યારે રેખાને ઘડિયાળની દિશામાં $15^{\circ}$ ફેરવવામાં આવે,ત્યારે $x$-અક્ષ સાથેનો નવો ખૂણો $\theta = 30^{\circ} - 15^{\circ} = 15^{\circ}$ થાય છે.
નવી રેખાનો ઢાળ $m = \tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$ છે.
$(2,0)$ માંથી પસાર થતી અને $m = 2-\sqrt{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = (2-\sqrt{3})(x - 2)$ છે.
તેથી,$(2-\sqrt{3})x - y - 4 + 2\sqrt{3} = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $y-y_1=m(x-x_1)$ છે,જેને $y=mx+(y_1-mx_1)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
અહીં $m$ અને $x_1$ નિશ્ચિત હોવાથી,રેખાઓનો ઢાળ $(m)$ અચળ રહે છે.
સમાન ઢાળ ધરાવતી રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર હોય છે.
તેથી,$y_1$ ની વિવિધ કિંમતો માટે,આપણને સમાંતર રેખાઓનો સમૂહ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(3q, 0)$,$B(0, 3p)$ અને $C(1, 1)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,$AC$ નો ઢાળ અને $BC$ નો ઢાળ સમાન થાય.
$AC$ નો ઢાળ $= \frac{1 - 0}{1 - 3q} = \frac{1}{1 - 3q}$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{3p - 1}{0 - 1} = 1 - 3p$.
ઢાળ સરખાવતા: $\frac{1}{1 - 3q} = 1 - 3p$.
$1 = (1 - 3p)(1 - 3q)$.
$1 = 1 - 3q - 3p + 9pq$.
$3p + 3q = 9pq$.
બંને બાજુ $3pq$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{q} + \frac{1}{p} = 3$ મળે.