Problems related to triangle and quadrilateral Questions in Hindi

(B) दी गई रेखा $2x - 3y + 7 = 0$ है।
दी गई रेखा के लंबवत रेखा का समीकरण $3x + 2y + k = 0$ के रूप में होता है।
अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें: $3x + k = 0 \Rightarrow x = -\frac{k}{3}$।
$x = 0$ रखें: $2y + k = 0 \Rightarrow y = -\frac{k}{2}$।
निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_{intercept} \cdot y_{intercept}| = 3$ है।
$\frac{1}{2} |(-\frac{k}{3}) \cdot (-\frac{k}{2})| = 3$।
$\frac{1}{2} |\frac{k^2}{6}| = 3$।
$|k^2| = 36 \Rightarrow k = \pm 6$।
$k$ का मान $3x + 2y + k = 0$ में रखने पर,हमें $3x + 2y = \pm 6$ प्राप्त होता है।

(A) माना वर्ग के शीर्ष $A(-4, 5)$ और $B(3, 4)$ हैं। विकर्ण $L$ का समीकरण $7x - y + 8 = 0$ है।
$AB$ का मध्यबिंदु $M = (-0.5, 4.5)$ है,जो $L$ पर स्थित है।
$AB$ की ढाल $m_1 = -1/7$ है और $L$ की ढाल $m_2 = 7$ है।
विकर्ण की लंबाई $AB = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
$M$ से $L$ पर स्थित बिंदुओं की दूरी $5/\sqrt{2}$ है।
गणना करने पर,शीर्ष $(0, 8)$ और $(-1, 1)$ प्राप्त होते हैं।

(B) दी गई रेखाएं $L_1: x+2y+3=0$,$L_2: 2x+4y+9=0$,$L_3: x-2y+3=0$,और $L_4: 3x-6y+11=0$ हैं।
यहाँ $L_1$ और $L_2$ समांतर हैं,तथा $L_3$ और $L_4$ समांतर हैं।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी का उपयोग करके,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{|c_1-c_2||d_1-d_2|}{|a_1b_2-a_2b_1|}$ सूत्र से प्राप्त होता है।
गणना करने पर क्षेत्रफल $\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) माना वर्ग के शीर्ष $A(4,3)$ और $C(1,-2)$ विकर्ण के अंतिम बिंदु हैं। वर्ग के विकर्ण और किसी भी भुजा के बीच का कोण $45^{\circ}$ होता है।
विकर्ण $AC$ की ढाल $= \frac{3 - (-2)}{4 - 1} = \frac{5}{3}$.
माना भुजा की ढाल $m$ है। तब,$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - 5/3}{1 + m(5/3)} \right|$.
$1 = \left| \frac{3m - 5}{3 + 5m} \right|$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\frac{3m - 5}{3 + 5m} = 1$ $\Rightarrow 3m - 5 = 3 + 5m$ $\Rightarrow 2m = -8$ $\Rightarrow m = -4$.
$(1,-2)$ से गुजरने वाली और $-4$ ढाल वाली भुजा का समीकरण $y - (-2) = -4(x - 1)$ $\Rightarrow y + 2 = -4x + 4$ $\Rightarrow 4x + y - 2 = 0$ है।
स्थिति $2$: $\frac{3m - 5}{3 + 5m} = -1$ $\Rightarrow 3m - 5 = -3 - 5m$ $\Rightarrow 8m = 2$ $\Rightarrow m = \frac{1}{4}$.
$(1,-2)$ से गुजरने वाली और $\frac{1}{4}$ ढाल वाली भुजा का समीकरण $y - (-2) = \frac{1}{4}(x - 1)$ $\Rightarrow 4y + 8 = x - 1$ $\Rightarrow x - 4y - 9 = 0$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$x - 4y - 9 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) यह जाँचने के लिए कि क्या रेखाएँ संगामी हैं,हम पहले दो समीकरणों को हल करते हैं:
$x+y = -4$ $(1)$
$x-2y = 4$ $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर: $3y = -8 \implies y = -8/3$.
$y = -8/3$ को $(1)$ में रखने पर: $x = -4/3$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-4/3, -8/3)$ है।
इस बिंदु को तीसरे समीकरण $3x+4y-2=0$ में रखने पर: $3(-4/3) + 4(-8/3) - 2 = -50/3 \neq 0$.
अतः रेखाएँ संगामी नहीं हैं।
रेखाओं की ढाल: $m_1 = -1, m_2 = 1/2, m_3 = -3/4$.
कोई भी दो ढाल समान नहीं हैं और न ही उनका गुणनफल $-1$ है।
भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने पर,तीनों भुजाएँ अलग-अलग हैं,इसलिए यह एक विषमबाहु त्रिभुज बनाती हैं।

(A) दिए गए शीर्ष $A(1,7)$,$B(-5,-1)$ और $C(7,4)$ हैं।
माना $\angle ABC$ का आंतरिक कोण समद्विभाजक भुजा $AC$ को बिंदु $D$ पर मिलता है।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$D$ भुजा $AC$ को $\frac{AD}{DC} = \frac{BA}{BC}$ के अनुपात में विभाजित करता है।
भुजाओं $BA$ और $BC$ की लंबाई की गणना करने पर:
$BA = \sqrt{(1 - (-5))^2 + (7 - (-1))^2} = 10$.
$BC = \sqrt{(7 - (-5))^2 + (4 - (-1))^2} = 13$.
अतः,$\frac{AD}{DC} = \frac{10}{13}$.
विभाजन सूत्र का उपयोग करके,$D$ के निर्देशांक:
$D = \left( \frac{83}{23}, \frac{131}{23} \right)$.
बिंदु $B(-5, -1)$ और $D\left(\frac{83}{23}, \frac{131}{23}\right)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$y + 1 = \frac{7}{9} (x + 5)$
$7x - 9y + 26 = 0$.

(C) मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ हैं। दिया गया है $a = 17 \text{ cm}$ और परिमाप $P = a + b + c = 40 \text{ cm}$।
दो भुजाओं का योग $a + b = 35 \text{ cm}$ है।
$a = 17$ रखने पर, $17 + b = 35$, जिससे $b = 18 \text{ cm}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a + b + c = 40$, इसलिए $17 + 18 + c = 40$, जिससे $c = 5 \text{ cm}$ प्राप्त होता है।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{40}{2} = 20 \text{ cm}$ है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए, क्षेत्रफल $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$।
$A = \sqrt{20(20-17)(20-18)(20-5)} = \sqrt{20 \times 3 \times 2 \times 15}$।
$A = \sqrt{1800} = 30 \sqrt{2} \text{ cm}^2$।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(D) माना $G$,$\triangle ABC$ का केंद्रक है। चूँकि $AD$ और $BE$ माध्यिकाएं हैं,$G$,$AD$ और $BE$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,$AG = \frac{2}{3} AD = \frac{8}{3}$ और $BG = \frac{2}{3} BE$.
$\triangle ABG$ में,ज्या नियम (Sine Rule) से: $\frac{AG}{\sin(\angle ABG)} = \frac{BG}{\sin(\angle BAG)}$.
दिया है $\angle BAG = \frac{\pi}{6}$ और $\angle ABG = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $\frac{8/3}{\sin(\pi/3)} = \frac{BG}{\sin(\pi/6)}$.
$BG = \frac{8}{3 \sqrt{3}}$.
$\triangle ABG$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AG \times BG \times \sin(\angle AGB)$.
चूँकि $\angle AGB = \pi/2$,इसलिए $\sin(\angle AGB) = 1$.
$\triangle ABG$ का क्षेत्रफल $= \frac{32}{9 \sqrt{3}}$.
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= 3 \times \triangle ABG$ का क्षेत्रफल $= \frac{32}{3 \sqrt{3}}$.

(B) दिया गया है कि परिमाप $2s = 16 \text{ cm}$,इसलिए अर्ध-परिमाप $s = 8 \text{ cm}$ है।
मान लीजिए भुजाएँ $a, b, c$ हैं। $a = 6 \text{ cm}$ और क्षेत्रफल $\Delta = 12 \text{ cm}^2$ दिया गया है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करने पर: $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$.
$144 = 8(8-6)(8-b)(8-c)$.
$144 = 16(8-b)(8-c) \Rightarrow 9 = (8-b)(8-c)$.
$a+b+c = 16$ और $a=6$ है,इसलिए $b+c = 10$ या $c = 10-b$.
मान रखने पर: $9 = (8-b)(8-(10-b)) = (8-b)(b-2)$.
$9 = 8b - 16 - b^2 + 2b \Rightarrow b^2 - 10b + 25 = 0$.
$(b-5)^2 = 0 \Rightarrow b = 5 \text{ cm}$.
अतः $c = 10 - 5 = 5 \text{ cm}$.
चूँकि दो भुजाएँ समान हैं $(b=c=5 \text{ cm})$,त्रिभुज समद्विबाहु है।

(D) माना शीर्ष $A(a, 1)$,$B(1, b)$,और $D(-1, d)$ हैं। चूँकि $AD$,$y=2x$ के समानांतर है,$AD$ की ढाल $2$ है। अतः,$\frac{d-1}{-1-a} = 2$ $\Rightarrow d-1 = -2-2a$ $\Rightarrow d = -1-2a$। चूँकि $AB$,$AD$ के लंबवत है,$AB$ की ढाल $-\frac{1}{2}$ है। अतः,$\frac{b-1}{1-a} = -\frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2b-2 = a-1$ $\Rightarrow b = \frac{a+1}{2}$। चूँकि $ABCD$ एक आयत है,विकर्ण $AC$ का मध्यबिंदु,विकर्ण $BD$ के मध्यबिंदु के समान है। $BD$ का मध्यबिंदु $= (\frac{1-1}{2}, \frac{b+d}{2}) = (0, \frac{b+d}{2})$। $AC$ का मध्यबिंदु $= (\frac{a+x_c}{2}, \frac{1+y_c}{2})$। इन्हें बराबर करने पर,हमें $x_c = -a$ और $y_c = b+d-1 = \frac{a+1}{2} - 1 - 2a - 1 = \frac{-3a-3}{2}$ प्राप्त होता है। अतः,$C$ का निर्देशांक $(-a, \frac{-3(a+1)}{2})$ है। विकल्पों की जाँच करने पर,किसी भी वास्तविक $a$ के लिए दिए गए निर्देशांक इस रूप से मेल नहीं खाते हैं।

(B) त्रिभुज की तीन भुजाएँ इस प्रकार हैं:
$x+8y-22=0$ $(i)$
$5x+2y-34=0$ $(ii)$
$2x-3y+13=0$ $(iii)$
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$x=6, y=2$. शीर्ष $A = (6, 2)$.
$(ii)$ और $(iii)$ को हल करने पर:
$x=4, y=7$. शीर्ष $B = (4, 7)$.
$(i)$ और $(iii)$ को हल करने पर:
$x=-2, y=3$. शीर्ष $C = (-2, 3)$.
त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |6(7-3) + 4(3-2) + (-2)(2-7)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |24 + 4 + 10|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |38| = 19$ वर्ग इकाई।

(A) दिए गए समीकरण $y = \sqrt{3}x$,$y = -\sqrt{3}x$ और $y = 1$ हैं।
इन्हें $y = \tan(60^{\circ})x$,$y = \tan(120^{\circ})x$ और $y = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखाएं $y = \sqrt{3}x$ और $y = -\sqrt{3}x$ मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरती हैं और $x$-अक्ष के साथ क्रमशः $60^{\circ}$ और $120^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
इन दो रेखाओं के बीच का कोण $120^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
रेखा $y = 1$,$y = \sqrt{3}x$ को $(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1)$ पर और $y = -\sqrt{3}x$ को $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, 1)$ पर काटती है।
रेखा $y = 1$ पर आधार की लंबाई $\frac{1}{\sqrt{3}} - (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
अन्य दो भुजाओं की लंबाई $\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{3} + 1} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
चूंकि तीनों भुजाएं समान हैं,इसलिए यह एक समबाहु त्रिभुज है।

(A, C) माना वर्ग के शीर्ष $O(0,0)$,$A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$,$C(-a \sin \alpha, a \cos \alpha)$ और $B(a(\cos \alpha - \sin \alpha), a(\sin \alpha + \cos \alpha))$ हैं।
पहला विकर्ण $O(0,0)$ और $B$ से गुजरता है।
इसकी ढाल $m_1 = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}$ है।
समीकरण: $y(\cos \alpha - \sin \alpha) = x(\sin \alpha + \cos \alpha)$.
दूसरा विकर्ण $A$ और $C$ से गुजरता है।
इसकी ढाल $m_2 = -\frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}$ है।
समीकरण: $y(\cos \alpha + \sin \alpha) + x(\cos \alpha - \sin \alpha) = a$.

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: x+y=0$,$L_2: 5x+y=4$,और $L_3: x+5y=4$ हैं।
$L_1$ और $L_2$ को हल करने पर: $A = (1, -1)$ प्राप्त होता है।
$L_1$ और $L_3$ को हल करने पर: $C = (-1, 1)$ प्राप्त होता है।
$L_2$ और $L_3$ को हल करने पर: $B = (2/3, 2/3)$ प्राप्त होता है।
भुजाओं की लंबाई:
$AB = \frac{\sqrt{26}}{3}$
$BC = \frac{\sqrt{26}}{3}$
$CA = 2\sqrt{2}$
यहाँ $AB = BC$ है,इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(C) माना कि दिया गया शीर्ष $V = (-4, 5)$ है और दिया गया विकर्ण $L_1: 7x - y + 8 = 0$ है।
वर्ग में,विकर्ण एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
दूसरा विकर्ण $L_2$ शीर्ष $V(-4, 5)$ से होकर गुजरता है और $L_1$ के लंबवत है।
$L_1$ की ढाल $m_1 = 7$ है।
इसलिए,$L_2$ की ढाल $m_2 = -1/7$ होगी।
$(-4, 5)$ से गुजरने वाली रेखा $L_2$ का समीकरण:
$y - 5 = -\frac{1}{7}(x + 4)$
$7y - 35 = -x - 4$
$x + 7y = 31$
अतः,दूसरे विकर्ण का समीकरण $7y + x = 31$ है।

(D) बिंदु $P(3,6)$ का रेखा $y=x$ पर प्रतिबिंब बिंदु $Q(6,3)$ है।
बिंदु $Q(6,3)$ का रेखा $y=-x$ पर प्रतिबिंब बिंदु $Q^{\prime}(-3,-6)$ है।
अब,$PQ$ की ढाल $= \frac{3-6}{6-3} = \frac{-3}{3} = -1$ है।
$QQ^{\prime}$ की ढाल $= \frac{-6-3}{-3-6} = \frac{-9}{-9} = 1$ है।
चूंकि ढालों का गुणनफल $(-1) \times (1) = -1$ है,इसलिए रेखाएं $PQ$ और $QQ^{\prime}$ लंबवत हैं।
अतः,$\Delta PQQ^{\prime}$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $Q$ पर है।
समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र उसके कर्ण का मध्य-बिंदु होता है।
कर्ण $PQ^{\prime}$ है,जिसके अंतिम बिंदु $P(3,6)$ और $Q^{\prime}(-3,-6)$ हैं।
$PQ^{\prime}$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{3+(-3)}{2}, \frac{6+(-6)}{2}\right) = (0,0)$।

(A) मान लीजिए कि चार बिंदु $A(-a,-b)$,$B(a, b)$,$C(0,0)$ और $D(a^{2}, ab)$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या $A, B$ और $C$ संरेख हैं,हम सारणिक की गणना करते हैं:
$\left|\begin{array}{ccc}-a & -b & 1 \\ a & b & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right| = -a(b-0) + b(a-0) + 1(0) = -ab + ab = 0$.
चूंकि सारणिक $0$ है,इसलिए बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं।
अब,जांचें कि क्या $B, C$ और $D$ संरेख हैं:
$\left|\begin{array}{ccc}a & b & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ a^{2} & ab & 1\end{array}\right| = a(0-ab) - b(0-a^{2}) + 1(0) = -a^{2}b + a^{2}b = 0$.
चूंकि सारणिक $0$ है,इसलिए बिंदु $B, C$ और $D$ संरेख हैं।
अतः,$A, B, C$ और $D$ चारों बिंदु एक ही रेखा पर स्थित हैं।

(B) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$x-y=7$ ...$(i)$
$x+4y=2$ ...(ii)
समीकरणों $(i)$ और (ii) को हल करने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $B(6,-1)$ प्राप्त होता है।
माना रेखा $AC$ की ढाल $m$ है। बिंदु $A(2,-7)$,$x-y=7$ पर स्थित है,इसलिए रेखा $AC$,$A(2,-7)$ से गुजरती है।
चूंकि $AB=AC$,इसलिए $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,जिससे $\angle ABC = \angle ACB$। दो रेखाओं के बीच के कोण के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\left| \frac{m-1}{1+m} \right| = \left| \frac{4m+1}{4-m} \right|$.
इसे हल करने पर $m=1$ या $m=-23/7$ प्राप्त होता है।
$m=1$ के लिए,रेखा का समीकरण $y-(-7)=1(x-2) \Rightarrow x-y-9=0$ है।
$m=-23/7$ के लिए,रेखा का समीकरण $y-(-7)=-\frac{23}{7}(x-2) \Rightarrow 23x+7y+3=0$ है।

(B) भुजाओं की लंबाई इस प्रकार है:
$AB = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (1 - (-7))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$
$BC = \sqrt{(1 - 5)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = 5$
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle ABC$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $AC$ को $AB:BC = 10:5 = 2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
मान लीजिए $P$,$AC$ पर स्थित बिंदु है जो इसे $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$P = \left( \frac{2(1) + 1(-1)}{2 + 1}, \frac{2(4) + 1(-7)}{2 + 1} \right) = \left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$
बिंदु $B(5, 1)$ और $P(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है:
$y - 1 = \frac{\frac{1}{3} - 1}{\frac{1}{3} - 5}(x - 5)$
$y - 1 = \frac{1}{7}(x - 5)$
$7y - 7 = x - 5$
$7y = x + 2$

(C) समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। मान लीजिए $O$ विकर्णों $AC$ और $BD$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $O$ के निर्देशांक $AC$ का मध्य-बिंदु हैं:
$O = \left(\frac{1-3}{2}, \frac{2-6}{2}\right) = (-1, -2)$।
चूंकि $O$,$BD$ का भी मध्य-बिंदु है,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{\alpha+\gamma}{2} = -1 \implies \alpha+\gamma = -2$
$\frac{\beta+\delta}{2} = -2 \implies \beta+\delta = -4$
हमें $|\alpha+\beta+\gamma+\delta|$ का मान ज्ञात करना है।
$|\alpha+\beta+\gamma+\delta| = |(\alpha+\gamma) + (\beta+\delta)| = |-2 + (-4)| = |-6| = 6$।

(C) मान लीजिए समबाहु त्रिभुज $ABC$ की भुजा की लंबाई $a$ है। समानांतर रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के बीच की दूरी $6 + 3 = 9$ इकाई है।
मान लीजिए $\theta$ वह कोण है जो भुजा $BC$,रेखा $L_2$ के साथ बनाती है। चूँकि $C$,$L_2$ पर स्थित है,$A$ से $L_2$ की लंबवत दूरी $9$ है। समकोण त्रिभुज के गुणधर्म से,$\sin \theta = \frac{3}{a}$ और $\sin(60^{\circ} + \theta) = \frac{9}{a}$ प्राप्त होता है।
$\sin(60^{\circ} + \theta) = \sin 60^{\circ} \cos \theta + \cos 60^{\circ} \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta = \frac{9}{a}$.
$\sin \theta = \frac{3}{a}$ और $\cos \theta = \sqrt{1 - \frac{9}{a^2}}$ रखने पर,$\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - \frac{9}{a^2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{a} = \frac{9}{a}$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$\sqrt{3} \sqrt{a^2 - 9} = 15 \implies a^2 = 84$.
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 84 = 21 \sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।

(C) मान लीजिए मध्य बिंदु $D(\frac{5}{2}, 7)$,$E(\frac{5}{2}, 3)$ और $F(4, 5)$ हैं।
त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष $A, B, C$ हैं। मूल त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए सूत्रों $A = E+F-D$,$B = D+F-E$,और $C = D+E-F$ का उपयोग करते हुए:
$A = (\frac{5}{2}+4-\frac{5}{2}, 3+5-7) = (4, 1)$
$B = (\frac{5}{2}+4-\frac{5}{2}, 7+5-3) = (4, 9)$
$C = (\frac{5}{2}+\frac{5}{2}-4, 7+3-5) = (1, 5)$
भुजाओं की लंबाई $a = BC = \sqrt{(4-1)^2 + (9-5)^2} = 5$,$b = AC = \sqrt{(4-1)^2 + (1-5)^2} = 5$,और $c = AB = \sqrt{(4-4)^2 + (9-1)^2} = 8$ है।
चूंकि $a=b=5$,यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है। अंतःकेंद्र $(h, k) = (\frac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c})$ है।
$h = \frac{5(4)+5(4)+8(1)}{18} = \frac{48}{18} = \frac{8}{3}$.
$k = \frac{5(1)+5(9)+8(5)}{18} = \frac{90}{18} = 5$.
अतः,$3h + k = 3(\frac{8}{3}) + 5 = 8 + 5 = 13$.

(D) एक समबाहु त्रिभुज में,लंबकेंद्र और केंद्रक एक ही बिंदु होते हैं।
माना $P = (3, 5)$ और रेखा $QR$ का समीकरण $x + y - 4 = 0$ है।
$P$ से $QR$ पर डाला गया शीर्षलंब $x + y = 4$ के लंबवत है। $QR$ की प्रवणता $-1$ है,इसलिए शीर्षलंब की प्रवणता $1$ होगी।
$(3, 5)$ से गुजरने वाले शीर्षलंब का समीकरण $y - 5 = 1(x - 3)$ है,जो सरल होकर $y = x + 2$ हो जाता है।
शीर्षलंब का पाद $F$,रेखाओं $x + y = 4$ और $y = x + 2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$x + (x + 2) = 4$,जिससे $2x = 2$,$x = 1$ प्राप्त होता है। तब $y = 3$। अतः $F = (1, 3)$।
केंद्रक $G(\alpha, \beta)$ शीर्षलंब $PF$ को शीर्ष $P$ से $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$G = \left( \frac{2(1) + 1(3)}{2 + 1}, \frac{2(3) + 1(5)}{2 + 1} \right) = \left( \frac{5}{3}, \frac{11}{3} \right)$।
अतः $\alpha = 5/3$ और $\beta = 11/3$।
इसलिए,$9(\alpha + \beta) = 9(5/3 + 11/3) = 9(16/3) = 48$।

(A) दी गई रेखाएं $x - \sqrt{3}y = \alpha$ ($y \ge 0$ के लिए) और $x + \sqrt{3}y = \alpha$ ($y < 0$ के लिए) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ $(\alpha, 0)$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $60^\circ$ है क्योंकि ढाल $m_1 = 1/\sqrt{3}$ और $m_2 = -1/\sqrt{3}$ हैं।
चूंकि $PA = PB = \alpha$ और कोण $\angle APB = 60^\circ$ है,इसलिए $\triangle PAB$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा की लंबाई $a = \alpha$ है।
समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई $PQ = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2}\alpha$ होती है।
$PQ = \frac{9}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\sqrt{3}}{2}\alpha = \frac{9}{2}$,जिसका अर्थ है $\alpha = 3\sqrt{3}$।
समबाहु त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ होती है।
अतः,$R = \frac{\alpha}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$।
अंत में,$\frac{\alpha^2}{R} = \frac{(3\sqrt{3})^2}{3} = \frac{27}{3} = 9$।