સાબિત કરો કે રેખાઓ $y=m_{1}x+c_{1}$,$y=m_{2}x+c_{2}$ અને $x=0$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{(c_{1}-c_{2})^{2}}{2|m_{1}-m_{2}|}$ છે.

(N/A) આપેલી રેખાઓ છે:
$y=m_{1}x+c_{1}$ ..... $(1)$
$y=m_{2}x+c_{2}$ ..... $(2)$
$x=0$ ..... $(3)$
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખા $y=mx+c$ એ રેખા $x=0$ ($y$-અક્ષ) ને બિંદુ $(0, c)$ પર મળે છે. તેથી,રેખાઓ $(1)$,$(2)$ અને $(3)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના બે શિરોબિંદુઓ $P(0, c_{1})$ અને $Q(0, c_{2})$ છે.
ત્રીજું શિરોબિંદુ $R$ સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ ને ઉકેલીને મેળવી શકાય છે:
$m_{1}x+c_{1} = m_{2}x+c_{2}$
$x(m_{1}-m_{2}) = c_{2}-c_{1}$
$x = \frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}$
$x$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$y = m_{1}\left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right) + c_{1} = \frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}}$
તેથી,$R = \left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right)$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_{1}(y_{2}-y_{3}) + x_{2}(y_{3}-y_{1}) + x_{3}(y_{1}-y_{2})|$.
અહીં શિરોબિંદુઓ $(0, c_{1}), (0, c_{2}), \left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(c_{2} - y_{R}) + 0(y_{R} - c_{1}) + \frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}(c_{1}-c_{2})|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\frac{-(c_{2}-c_{1})^{2}}{m_{1}-m_{2}}| = \frac{(c_{1}-c_{2})^{2}}{2|m_{1}-m_{2}|}$.