एक विद्यार्थी ने $100$ प्रेक्षणों का माध्य $40$ और मानक विचलन $5.1$ ज्ञात किया, जबकि उसने गलती से प्रेक्षण $40$ के स्थान पर $50$ ले लिया था। सही माध्य और मानक विचलन क्या है ?
Given that number of observations $(n)=100$
$\text { Incorrect mean }(\bar{x})=40$
Incorrect standard deviation $(\sigma)=5.1$
We know that $\bar x = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} $
i.e. $40 = \frac{1}{{100}}\sum\limits_{i = 1}^{100} {{x_i}} $ or $\sum\limits_{i = 1}^{100} {{x_i}} = 4000$
i.e., Incorrect sum of observations $=4000$
Thus the correct sum of observations $=$ Incorrect sum $-50+40$
$=4000-50+40=3990$
Hence Correct mean $=\frac{\text { correct sum }}{100}=\frac{3990}{100}=39.9$
Also Standard deviation $\sigma = \sqrt {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 - \frac{1}{{{n^2}}}{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right)}^2}} } $
$ = \sqrt {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 - {{\left( {\bar x} \right)}^2}} } $
i.e. $5.1 = \sqrt {\frac{1}{{100}} \times Incorrect\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 - {{\left( {40} \right)}^2}} } $
or $26.01 = \frac{1}{{100}} \times Incorrect\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 - 1600} $
Therefore $Incorrect\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 = 100\left( {26.01 + 1600} \right) = 162601} $
Now $Correct\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2} = Incorrect\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 - {{\left( {50} \right)}^2} + {{\left( {40} \right)}^2}} $
$=162601-2500+1600=161701$
Therefore Correct standard deviation
$=\sqrt{\frac{\text { Correct } \sum x_{i}^{2}}{n}-(\text { Correct mean })^{2}}$
$=\sqrt{\frac{161701}{100}-(39.9)^{2}}$
$=\sqrt{1617.01-1592.01}=\sqrt{25}=5$
$30$ आइटम (items) का परिणाम देखा गया, इनमें से $10$ आइटम में प्रत्येक के परिणाम $\frac{1}{2}- d$ दिया, $10$ आइटम में प्रत्येक ने परिणाम $\frac{1}{2}$ दिया तथा बाकि $10$ आइटम में प्रत्येक ने परिणाम $\frac{1}{2}+d$ दिया। यदि इन आँकड़ों का प्रसरण $\frac{4}{3}$ है, तो $| d |$ बराबर
माना $n$ प्रेक्षण $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ है तथा उनका समान्तर माध्य $\bar{x}$ तथा प्रसरण $\sigma^{2}$ है।
कथन $1:\, 2 x_{1} , 2 x_{2}, \ldots , 2 x_{n}$ का प्रसरण $4 \sigma^{2}$ है।
कथन $2:\, 2 x_{1} , 2 x_{2} \ldots . . , 2 x_{n}$ का समान्तर माध्य $4 \bar{x}$ है।
पाँच गणनाओं $1, 2, 3, 4, 5$ का मानक विचलन है
$100$ प्रेक्षणों का माध्य और मानक विचलन क्रमश: $20$ और $3$ हैं। बाद में यह पाया गया कि तीन प्रेक्षण $21,21$ तथा $18$ गलत थे। यदि गलत प्रेक्षणों को हटा दिया जाए तो माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
माना बारंबारता बंटन
$\mathrm{x}$ | $\mathrm{x}_{1}=2$ | $\mathrm{x}_{2}=6$ | $\mathrm{x}_{3}=8$ | $\mathrm{x}_{4}=9$ |
$\mathrm{f}$ | $4$ | $4$ | $\alpha$ | $\beta$ |
के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः $6$ तथा $6.8$ हैं। यदि $x _{3}$ को $8$ से $7$ कर दिया जाए, तो नये आँकड़ों का माध्य होगा