आठ प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमश : $9$ और $9.25$ हैं। यदि इनमें से छ: प्रेक्षण $6,7,10 , 12, 12$ और $13$ हैं, तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।
Let the remaining two observations be $x$ and $y$.
Therefore, the observations are $6,7,10,12,12,13, x, y$
Mean, $\bar{x}=\frac{6+7+10+12+12+13+x+y}{8}=9$
$\Rightarrow 60+x+y=72$
$\Rightarrow x+y=12$ ...........$(1)$
Variance $ = 9.25 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^8 {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} $
$9.25=\frac{1}{8}[(-3)^{2}+(-2)^{2}+(1)^{2}+(3)^{2}+(4)^{2}$
$+x^{2}+y^{2}-2 \times 9(x+y)+2 \times(9)^{2}]$
$9.25=\frac{1}{8}\left[9+4+1+9+9+16+x^{2}+y^{2}-18(12)+162\right]$ ........[ using $(1)$ ]
$9.25=\frac{1}{8}\left[48+x^{2}+y^{2}-216+162\right]$
$9.25=\frac{1}{8}\left[x^{2}+y^{2}-6\right]$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}=80$ .........$(2)$
From $(1),$ we obtain
$x^{2}+y^{2}+2 x y=144$ ........$(3)$
From $(2)$ and $(3),$ we obtain
$2 x y=64$ ..........$(4)$
Subtracting $(4)$ from $(2),$ we obtain
$x^{2}+y^{2}-2 x y=80-64=16$
$\Rightarrow x-y=\pm 4 $ ...........$(5)$
Therefore, from $(1)$ and $(5),$ we obtain
$x=8$ and $y=4,$ when $x-y=4$
$x=4$ and $y=8,$ when $x-y=-4$
Thus, the remaining observations are $4$ and $8$
माना $X _{1}, X _{2}, \ldots, X _{18}$ अठारह प्रेक्षण हैं, जिनके लिए $\sum_{ i =1}^{18}\left( X _{ i }-\alpha\right)=36$ तथा $\sum_{ i =1}^{18}\left( X _{ i }-\beta\right)^{2}=90$ हैं, जहाँ $\alpha$ तथा $\beta$ भिन्न वास्तविक संख्याऐं हैं। यदि इन प्रेक्षणों का मानक विचलन $1$ है, तो $|\alpha-\beta|$ का मान बराबर है
$10$ प्रेक्षणों के माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः $20$ तथा $8$ हैं। बाद में यह पाया गया कि एक प्रेक्षण को $40$ के स्थान पर $50$ लिया गया था। तो सही प्रसरण है :
यदि प्रसरण $v$ तथा मानक विचलन है, तब
पाँच गणनाओं $1, 2, 3, 4, 5$ का मानक विचलन है
दो आंकड़ा समुच्चय, जिनमें से प्रत्येक में $5$ अवयव हैं के प्रसरण $4$ तथा $5$ हैं तथा उनके तदनुरूपी माध्य क्रमशः $2$ तथा $4$ हैं। मिश्रित आँकड़ा-समुच्चय का प्रसरण है