પ્રથમ $2n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ (Variance) શોધો.

$100$ અવલોકનોનો સરવાળો અને તેમના વર્ગોનો સરવાળો અનુક્રમે $400$ અને $2475$ છે. ત્યારબાદ,ત્રણ અવલોકનો $3, 4$ અને $5$ ખોટા હોવાનું જણાયું હતું. જો ખોટા અવલોકનોને દૂર કરવામાં આવે,તો બાકી રહેલા અવલોકનોનું વિચરણ કેટલું થાય?

વિધાન-$1$: પ્રથમ $n$ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ $\frac{n^2 - 1}{4}$ છે.
વિધાન-$2$: પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n(n + 1)}{2}$ છે અને પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો $\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ છે.

એક વર્ગના $50$ વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા ત્રણ વિષયો,ગણિત,ભૌતિકવિજ્ઞાન અને રસાયણવિજ્ઞાનમાં મેળવેલા ગુણના મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન નીચે મુજબ છે:

વિષય	ગણિત,ભૌતિકવિજ્ઞાન,રસાયણવિજ્ઞાન
મધ્યક	$42, 32, 40.9$
પ્રમાણિત વિચલન	$12, 15, 20$

ત્રણ વિષયોમાંથી કયા વિષયમાં ગુણમાં સૌથી વધુ વિચલન (variability) જોવા મળે છે અને કયા વિષયમાં સૌથી ઓછું?

જો દરેક અવલોકન $x_1, x_2, \ldots, x_n$ માં $k$ નો વધારો કે ઘટાડો કરવામાં આવે,જ્યાં $k$ એ ધન સંખ્યા છે,તો માહિતીનું વિચરણ:

વિદ્યાર્થીઓ $A$ અને $B$ દ્વારા $3$ પરીક્ષાઓમાં મેળવેલા ગુણ નીચે મુજબ છે:
| | પરીક્ષા $1$ | પરીક્ષા $2$ | પરીક્ષા $3$ |
|---|---|---|---|
| $A$ ના ગુણ | $30$ | $20$ | $40$ |
| $B$ ના ગુણ | $70$ | $0$ | $5$ |
$A$ ના ગુણના વિચલન ગુણાંક અને $B$ ના ગુણના વિચલન ગુણાંકનો ગુણોત્તર કેટલો છે?