Variance and Standard Deviation Questions in Gujarati

(D) $n$ અવલોકનોનું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 - (\bar{x})^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\bar{x}$ એ અવલોકનોનો મધ્યક છે.
આપેલ છે કે મધ્યક $\bar{x} = 5$,વિચરણ $\sigma^2 = 0$,અને $\sum_{i=1}^n x_i^2 = 400$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$0 = \frac{1}{n}(400) - (5)^2$
$0 = \frac{400}{n} - 25$
$\frac{400}{n} = 25$
$n = \frac{400}{25} = 16$
આમ,$n$ ની કિંમત $16$ છે.

(D) વિચલનાંક $(CV)$ એ મધ્યકની આસપાસ ડેટા શ્રેણીના ડેટા પોઈન્ટ્સના વિખેરણનું આંકડાકીય માપ છે.
તે પ્રમાણિત વિચલન $\sigma$ અને મધ્યક $\bar{x}$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જેને ટકાવારી તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$
જ્યાં $\bar{x} \neq 0$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ છે. મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{5} x_i}{5} = 15$,તેથી $\sum x_i = 75$.
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{5} - (\bar{x})^2 = 9$.
$\Rightarrow \frac{\sum x_i^2}{5} - 225 = 9$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 5(234) = 1170$.
હવે,બે નવા અવલોકનો $-5$ અને $13$ ઉમેરવામાં આવે છે. અવલોકનોનો નવો સરવાળો $75 - 5 + 13 = 83$ છે.
વર્ગોનો નવો સરવાળો $1170 + (-5)^2 + (13)^2 = 1170 + 25 + 169 = 1364$ છે.
નવો મધ્યક $\bar{x}' = \frac{83}{7}$ છે.
નવું વિચરણ $\sigma'^2 = \frac{\sum x_i^2 + 25 + 169}{7} - (\bar{x}')^2 = \frac{1364}{7} - (\frac{83}{7})^2$.
$\sigma'^2 = \frac{1364 \times 7 - 6889}{49} = \frac{9548 - 6889}{49} = \frac{2659}{49}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે પાંચ અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યક $9$ છે,તેથી $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5} = 9$,જેનો અર્થ છે કે $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 = 45$.
પ્રમાણિત વિચલન $0$ હોવાથી,બધા અવલોકનો મધ્યક જેટલા જ હોવા જોઈએ. તેથી,$x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5 = 9$.
હવે,એક અવલોકન $x_5$ ને $y$ માં બદલવામાં આવે છે જેથી નવો મધ્યક $10$ થાય.
તેથી,$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+y}{5} = 10$,જેનો અર્થ છે કે $x_1+x_2+x_3+x_4+y = 50$.
$x_1+x_2+x_3+x_4 = 36$ મૂકતા (કારણ કે $x_1=x_2=x_3=x_4=9$),આપણને $36+y = 50$ મળે છે,તેથી $y = 14$.
અવલોકનોનો નવો સમૂહ ${9, 9, 9, 9, 14}$ છે.
નવો મધ્યક $10$ છે.
નવું પ્રમાણિત વિચલન $\sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}} = \sqrt{\frac{(9-10)^2 + (9-10)^2 + (9-10)^2 + (9-10)^2 + (14-10)^2}{5}}$.
$= \sqrt{\frac{(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + (4)^2}{5}} = \sqrt{\frac{1+1+1+1+16}{5}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2$.

(A) આપેલ છે કે અવલોકનોની સંખ્યા $n = 60$,$\Sigma x_i = 960$,અને $\Sigma x_i^2 = 18000$ છે.
વિચરણ $\sigma^2$ માટેનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - \left(\frac{\Sigma x_i}{n}\right)^2$ છે.
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{18000}{60} - \left(\frac{960}{60}\right)^2$.
$\sigma^2 = 300 - (16)^2$.
$\sigma^2 = 300 - 256$.
$\sigma^2 = 44$.

(A) આપેલ અવલોકનો $x_i = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 22\}$ છે.
પ્રથમ,મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરો:
$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2+3+5+7+11+13+17+22}{8} = \frac{80}{8} = 10$.
ત્યારબાદ,વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો $\sum (x_i - \bar{x})^2$ શોધો:
$(2-10)^2 + (3-10)^2 + (5-10)^2 + (7-10)^2 + (11-10)^2 + (13-10)^2 + (17-10)^2 + (22-10)^2$
$= (-8)^2 + (-7)^2 + (-5)^2 + (-3)^2 + (1)^2 + (3)^2 + (7)^2 + (12)^2$
$= 64 + 49 + 25 + 9 + 1 + 9 + 49 + 144 = 350$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{350}{8} = 43.75$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે વિતરણનો મધ્યક $(\bar{X})$ શોધીએ:

$C$.$I$.	$f_i$	મધ્ય કિંમત $(x_i)$	$f_i x_i$
$75$-$175$	$3$	$125$	$375$
$175$-$275$	$2$	$225$	$450$
$275$-$375$	$1$	$325$	$325$
$375$-$475$	$0$	$425$	$0$
$475$-$575$	$1$	$525$	$525$
$575$-$675$	$2$	$625$	$1250$
$675$-$775$	$3$	$725$	$2175$
કુલ	$\sum f_i = 12$	-	$\sum f_i x_i = 5100$

મધ્યક $\bar{X} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{5100}{12} = 425$ છે.
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = 60000$ હોવાથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{60000} = 100 \sqrt{6}$ થાય.
વિચલનાંક $(CV)$ નું સૂત્ર: $CV = \frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100$.
$CV = \frac{100 \sqrt{6}}{425} \times 100 = \frac{400 \sqrt{6}}{17}$.

(C) આપેલ છે,અવલોકનોની સંખ્યા,$n = 10$.
મધ્યક,$\bar{x} = 50$.
વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો,$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = 250$.
વિચરણ,$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{250}{10} = 25$.
પ્રમાણિત વિચલન,$\sigma = \sqrt{25} = 5$.
વિચલનાંક ($C$.$V$.) નું સૂત્ર: $\text{C.V.} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$.
$\text{C.V.} = \frac{5}{50} \times 100 = 0.1 \times 100 = 10$.

(C) આપેલ શ્રેણી $9, 15, 21, \ldots, (6n+3)$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 9$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 6$ છે.
$n$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણીનું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{(n^2-1)d^2}{12}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = 6$ મૂકતા,$P = \frac{(n^2-1) \times 6^2}{12} = \frac{(n^2-1) \times 36}{12} = 3(n^2-1)$.
પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓ $2, 4, 6, \ldots, 2n$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 2$ અને $d = 2$ છે.
આ $n$ બેકી સંખ્યાઓનું વિચરણ $\sigma_{even}^2 = \frac{(n^2-1) \times 2^2}{12} = \frac{(n^2-1) \times 4}{12} = \frac{n^2-1}{3}$ થાય.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$n^2-1 = \frac{P}{3}$.
આ કિંમત બીજા વિચરણમાં મૂકતા,$\sigma_{even}^2 = \frac{1}{3} \times \frac{P}{3} = \frac{P}{9}$ મળે.

(D) $1$. વર્ગ અંતરાલના મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ શોધો: $1, 3, 5, 7, 9$.
$2$. આવૃત્તિઓ $(f_i)$ $2, 3, 5, 3, 2$ છે. કુલ આવૃત્તિ $N = 15$.
$3$. મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો: $\bar{x} = \frac{75}{15} = 5$.
$4$. વિચરણ $(\sigma^2)$ શોધો: $\sigma^2 = \frac{88}{15}$.
$5$. પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma)$ = $\sqrt{\frac{88}{15}}$.
$6$. વિકલ્પોને આધારે,સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) મધ્યક $\bar{x} = \frac{\Sigma x_i}{n} = \frac{1+2+3+5+8+13+17}{7} = \frac{49}{7} = 7$.
વર્ગોનો સરવાળો $\Sigma x_i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 5^2 + 8^2 + 13^2 + 17^2 = 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 + 289 = 561$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{561}{7} - (7)^2 = \frac{561}{7} - 49 = \frac{561 - 343}{7} = \frac{218}{7} \approx 31.14$.

(A) પ્રથમ $n$ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{n} (2i-1) = n^2$ છે.
પ્રથમ $n$ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{n} (2i-1)^2 = \sum_{i=1}^{n} (4i^2 - 4i + 1) = 4 \sum i^2 - 4 \sum i + \sum 1$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\sum i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum i = \frac{n(n+1)}{2}$.
સરવાળો $= 4 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - 4 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] + n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3} = \frac{n(4n^2-1)}{3}$.
આમ,કારણ $(R)$ સાચું છે.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left( \frac{\sum x_i}{n} \right)^2$ છે.
$\sigma^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3n} - \left( \frac{n^2}{n} \right)^2 = \frac{4n^2-1}{3} - n^2 = \frac{4n^2-1-3n^2}{3} = \frac{n^2-1}{3}$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) ધારો કે મૂળ અવલોકનો $x_i$ છે અને તેનો વિચરણ $\sigma^2 = 7$ છે.
જ્યારે દરેક અવલોકન $y_i = ax + b$ માં રૂપાંતરિત થાય છે,ત્યારે નવો વિચરણ $\sigma^2(y) = a^2 \sigma^2(x)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 6$ અને $b = -5$ છે.
અચળાંક $b$ ની વિચરણ પર કોઈ અસર થતી નથી.
તેથી,નવો વિચરણ $\sigma^2_{new} = 6^2 \times 7 = 36 \times 7 = 252$ થશે.

(B) આપણી પાસે છે,$\text{મધ્યક} = 6$.
$\frac{8+9+6+5+x+4+6+5}{8} = 6$
$\Rightarrow 43+x = 48$ $\Rightarrow x = 5$.
તેથી,ડેટા સેટ $8, 9, 6, 5, 5, 4, 6, 5$ છે.
અવલોકનોનો સરવાળો $\Sigma x_i = 48$ અને વર્ગોનો સરવાળો $\Sigma x_i^2 = 64 + 81 + 36 + 25 + 25 + 16 + 36 + 25 = 308$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{N} \Sigma x_i^2 - (\bar{x})^2 = \frac{308}{8} - (6)^2 = 38.5 - 36 = 2.5$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{2.5} \approx 1.58$.

(C) વિચરણ શોધવા માટે,આપણે પહેલા દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે મધ્યબિંદુ $x_i$ શોધીએ છીએ અને પછી જરૂરી સરવાળા ગણીએ છીએ:

વર્ગ અંતરાલ	$f_i$	$x_i$	$f_i x_i$	$f_i x_i^2$
$0$-$5$	$4$	$2.5$	$10$	$25$
$5$-$10$	$1$	$7.5$	$7.5$	$56.25$
$10$-$15$	$10$	$12.5$	$125$	$1562.5$
$15$-$20$	$3$	$17.5$	$52.5$	$918.75$
$20$-$25$	$2$	$22.5$	$45$	$1012.5$
કુલ	$N=20$		$\Sigma f_i x_i = 240$	$\Sigma f_i x_i^2 = 3575$

વિચરણ $\sigma^2$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\sigma^2 = \frac{1}{N} \Sigma f_i x_i^2 - \left(\frac{1}{N} \Sigma f_i x_i\right)^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{3575}{20} - \left(\frac{240}{20}\right)^2$
$\sigma^2 = 178.75 - (12)^2$
$\sigma^2 = 178.75 - 144 = 34.75$

(C) ધારો કે $x_1, x_2, \ldots, x_n$ નું વિચરણ $\sigma^2$ છે.
વિચરણના ગુણધર્મ મુજબ,$\text{Var}(ax + b) = a^2 \text{Var}(x)$ થાય.
વિધાન $(A)$ માટે,$a = 4$ અને $b = 0$ લેતા,$\text{Var}(4x) = 4^2 \text{Var}(x) = 16 \sigma^2$ મળે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ માટે,સાચો ગુણધર્મ $\text{Var}(ax + b) = a^2 \text{Var}(x)$ છે. આપેલ વિધાન $\text{Var}(y) = a \text{Var}(x) + b$ ખોટું છે. તેથી,$(R)$ ખોટું છે.

(A) પ્રથમ $5$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{2+3+5+7+11}{5} = \frac{28}{5} = 5.6$.
વર્ગોનો સરવાળો $\Sigma x_i^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 11^2 = 4 + 9 + 25 + 49 + 121 = 208$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2} = \sqrt{\frac{208}{5} - (\frac{28}{5})^2} = \sqrt{\frac{1040 - 784}{25}} = \sqrt{\frac{256}{25}} = \frac{16}{5} = 3.2$.
વિચલન ગુણાંક $C.V. = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \frac{16/5}{28/5} \times 100 = \frac{16}{28} \times 100 = \frac{4}{7} \times 100 = \frac{400}{7}$.

(B) આપેલ છે,\\ વિચલન ગુણાંક $= 7.2$ \\ વિચરણ $\sigma^2 = 3.24$ \\ પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{3.24} = 1.8$ \\ વિચલન ગુણાંકનું સૂત્ર: \\ $\text{વિચલન ગુણાંક} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ \\ કિંમતો મૂકતા: \\ $7.2 = \frac{1.8}{\bar{x}} \times 100$ \\ $\bar{x} = \frac{1.8 \times 100}{7.2} = \frac{180}{7.2} = 25$ \\ આમ,મધ્યક $25$ છે.

(A) આપેલ છે,$\sum_{i=1}^{15} x_i^2 = 3600$ અને $\sum_{i=1}^{15} x_i = 175$,જ્યાં $n = 15$.
જ્યારે ખોટા અવલોકન $20$ ને સાચી કિંમત $40$ દ્વારા બદલવામાં આવે,ત્યારે નવા સરવાળા:
$\sum x_i = 175 - 20 + 40 = 195$
$\sum x_i^2 = 3600 - (20)^2 + (40)^2 = 3600 - 400 + 1600 = 4800$
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2$ છે.
સુધારેલી કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{4800}{15} - \left(\frac{195}{15}\right)^2$
$\sigma^2 = 320 - (13)^2$
$\sigma^2 = 320 - 169 = 151$.

(D) આપેલ માહિતી: $2, 3, 5, 11, 13, 17, 19$,જ્યાં $n = 7$.
પ્રથમ,મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો:
$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 5 + 11 + 13 + 17 + 19}{7} = \frac{70}{7} = 10$.
આપણે વિચરણ $(\sigma^2)$ નું સૂત્ર જાણીએ છીએ:
$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
માહિતીના વર્ગોનો સરવાળો શોધો:
$\sum x_i^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 11^2 + 13^2 + 17^2 + 19^2 = 4 + 9 + 25 + 121 + 169 + 289 + 361 = 978$.
હવે,કિંમતોને વિચરણના સૂત્રમાં મૂકો:
$\sigma^2 = \frac{978}{7} - (10)^2 = 139.714 - 100 = 39.714$.
આમ,વિચરણ આશરે $39.71$ છે.

(A) વિચરણ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ મધ્ય-કિંમતો $(x_i)$ ગણીએ છીએ અને પદ-વિચલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,ધારેલો મધ્યક $A = 10$ અને વર્ગ લંબાઈ $h = 4$ છે.
કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

વર્ગ અંતરાલ	$x_i$	$f_i$	$d_i = \frac{x_i - A}{h}$	$f_i d_i$	$f_i d_i^2$
$0$-$4$	$2$	$2$	-$2$	-$4$	$8$
$4$-$8$	$6$	$4$	-$1$	-$4$	$4$
$8$-$12$	$10$	$6$	$0$	$0$	$0$
$12$-$16$	$14$	$3$	$1$	$3$	$3$
$16$-$20$	$18$	$1$	$2$	$2$	$4$
કુલ		$\Sigma f_i = 16$		$\Sigma f_i d_i = -3$	$\Sigma f_i d_i^2 = 19$

વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = h^2 \left( \frac{\Sigma f_i d_i^2}{\Sigma f_i} - \left( \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i} \right)^2 \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = 4^2 \left( \frac{19}{16} - \left( \frac{-3}{16} \right)^2 \right)$
$\sigma^2 = 16 \left( \frac{19}{16} - \frac{9}{256} \right)$
$\sigma^2 = 16 \left( \frac{304 - 9}{256} \right)$
$\sigma^2 = 16 \left( \frac{295}{256} \right) = \frac{295}{16}$.

(B) મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{3(5) + 2(7) + 1(9) + 2(11)}{3+2+1+2} = \frac{15+14+9+22}{8} = \frac{60}{8} = 7.5$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{\sum f_i} - (\bar{x})^2 = \frac{3(25) + 2(49) + 1(81) + 2(121)}{8} - (7.5)^2 = \frac{75+98+81+242}{8} - 56.25 = \frac{496}{8} - 56.25 = 62 - 56.25 = 5.75$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{5.75} = \sqrt{\frac{575}{100}} = \frac{\sqrt{23 \times 25}}{10} = \frac{5\sqrt{23}}{10} = \frac{\sqrt{23}}{2}$.
વિચલન ગુણાંક ($C$.$V$.) $= \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \frac{\sqrt{23}/2}{7.5} \times 100 = \frac{\sqrt{23}}{15} \times 100 = \frac{20\sqrt{23}}{3}$.

(D) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{n+1}{2}$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{n^2-1}{12}$ છે.
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$ થાય.
વિચલન ગુણાંક $(CV)$ નું સૂત્ર $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$CV = \frac{\sqrt{\frac{n^2-1}{12}}}{\frac{n+1}{2}} \times 100 = \frac{100}{\sqrt{3}} \sqrt{\frac{n-1}{n+1}}$.

(C) આપેલ છે,$n=20$,$\bar{x}=40$,અને $\sigma=5$.
વજનનો સરવાળો $\Sigma x = n \bar{x} = 20 \times 40 = 800$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\Sigma x^2}{n} - (\bar{x})^2 = 25$.
$\frac{\Sigma x^2}{20} - 40^2 = 25$ $\Rightarrow \frac{\Sigma x^2}{20} = 1625$ $\Rightarrow \Sigma x^2 = 32500$.
$43 \ kg$ અને $37 \ kg$ વજન ધરાવતા બે છોકરાઓને બાકાત રાખ્યા પછી:
વજનનો નવો સરવાળો $\Sigma x_{new} = 800 - 43 - 37 = 720$.
છોકરાઓની નવી સંખ્યા $n_{new} = 18$.
નવો મધ્યક $\bar{x}_{new} = \frac{720}{18} = 40$.
વર્ગોનો નવો સરવાળો $\Sigma x_{new}^2 = 32500 - (43)^2 - (37)^2 = 32500 - 1849 - 1369 = 29282$.
નવું વિચરણ $\sigma_{new}^2 = \frac{\Sigma x_{new}^2}{n_{new}} - (\bar{x}_{new})^2 = \frac{29282}{18} - (40)^2 = 1626.777... - 1600 = 26.777... \approx 26.78$.

(D) કોઈ કિંમત $B$ નો કિંમત $A$ પરનો ટકાવારી વધારો આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{B-A}{A} \times 100$.
અહીં,આપણે $D_1$ $(\sigma_1)$ ના પ્રમાણિત વિચલન પર $D_2$ $(\sigma_2)$ ના પ્રમાણિત વિચલનમાં થતો ટકાવારી વધારો શોધવાનો છે.
તેથી,જરૂરી ટકાવારી વધારો $\frac{\sigma_2-\sigma_1}{\sigma_1} \times 100$ છે.

(A) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{n^2-1}{12}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓ $(2, 4, 6, \dots, 2n)$ માટે,દરેક પદ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા કરતા $2$ ગણું છે. તેથી,વિચરણ $A = 2^2 \times \frac{n^2-1}{12} = \frac{4(n^2-1)}{12} = \frac{n^2-1}{3}$ થાય.
પ્રથમ $n$ એકી સંખ્યાઓ $(1, 3, 5, \dots, 2n-1)$ માટે,આ સંખ્યાઓ પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓમાંથી $1$ બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે. વિચરણ એ ઉગમબિંદુના ફેરફાર હેઠળ બદલાતું નથી,તેથી પ્રથમ $n$ એકી સંખ્યાઓનું વિચરણ $B$ એ પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓના વિચરણ જેટલું જ હોય છે.
તેથી,$A = B$.

(C) આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે: $a, a+d, a+2d, \ldots, a+2nd$.
પદોની સંખ્યા $m$ માટે,$a+(m-1)d = a+2nd$,તેથી $m-1 = 2n$,એટલે કે $m = 2n+1$.
$m$ પદો અને સામાન્ય તફાવત $d$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણીનું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{m^2-1}{12}} |d|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$m = 2n+1$ મૂકતા:
$\sigma = \sqrt{\frac{(2n+1)^2-1}{12}} |d|$
$\sigma = \sqrt{\frac{4n^2+4n+1-1}{12}} |d|$
$\sigma = \sqrt{\frac{4n(n+1)}{12}} |d|$
$\sigma = \sqrt{\frac{n(n+1)}{3}} |d|$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ છે કે મધ્યક સમાન છે,ધારો કે $\bar{X}_A = \bar{X}_B = \bar{X}$.
વિચલન ગુણાંક $(CV)$ નું સૂત્ર $CV = \frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100$ છે.
ટીમ $A$ માટે,$CV_A = \frac{\sigma_A}{\bar{X}} \times 100 = 4$.
ટીમ $B$ માટે,$CV_B = \frac{\sigma_B}{\bar{X}} \times 100 = 2$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{CV_A}{CV_B} = \frac{\sigma_A / \bar{X}}{\sigma_B / \bar{X}} = \frac{4}{2}$.
$\frac{\sigma_A}{\sigma_B} = 2$.
તેથી,$\sigma_A = 2 \sigma_B$.

(C) ધારો કે ચાર અવલોકનો $x_1, x_2, x_3$ અને $x_4$ છે.
આપેલ છે કે,મધ્યક $(\bar{x}) = 3$ અને વર્ગોનો સરવાળો $\Sigma x_i^2 = 48$.
અવલોકનોની સંખ્યા $n = 4$.
પ્રમાણિત વિચલન $(SD)$ નું સૂત્ર:
$SD = \sqrt{\frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$SD = \sqrt{\frac{48}{4} - (3)^2}$
$SD = \sqrt{12 - 9}$
$SD = \sqrt{3}$

(D) $3$ ના ગુણક હોય તેવી પ્રથમ $10$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ: $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30$ છે.
મધ્યક $\mu$ આ મુજબ ગણવામાં આવે છે: $\mu = \frac{3+6+9+12+15+18+21+24+27+30}{10} = \frac{165}{10} = 16.5$.
વિચરણ $\sigma^2$ માટેનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2$ છે.
વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો: $\sum (x_i - 16.5)^2 = (3-16.5)^2 + (6-16.5)^2 + \dots + (30-16.5)^2 = 182.25 + 110.25 + 56.25 + 20.25 + 2.25 + 2.25 + 20.25 + 56.25 + 110.25 + 182.25 = 742.5$.
તેથી,$\sigma^2 = \frac{742.5}{10} = 74.25$.

(B) વિચરણ શોધવા માટે,આપણે પહેલા દરેક વર્ગ માટે મધ્ય કિંમત $(x_i)$ શોધીશું અને પછી $\Sigma f_i x_i$ અને $\Sigma f_i x_i^2$ ની ગણતરી કરીશું.
અહીં,$N = \Sigma f_i = 70$ અને $\Sigma f_i x_i = 1470$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{N} = \frac{1470}{70} = 21$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{N} \Sigma f_i x_i^2 - (\bar{x})^2$.
$\sigma^2 = \frac{42150}{70} - (21)^2$.
$\sigma^2 = 602.14 - 441 = 161.14$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,વિચરણ $161.1$ મળે છે.

(B) સૌ પ્રથમ,દરેક અંતરાલ માટે વર્ગ ચિહ્નો $(x_i)$ શોધો:
$0-4: x_1 = 2$
$4-8: x_2 = 6$
$8-12: x_3 = 10$
$12-16: x_4 = 14$
ગણતરીનું કોષ્ટક:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{વર્ગ} & f_i & x_i & f_i x_i & f_i x_i^2 \\ \hline 0-4 & 2 & 2 & 4 & 8 \\ \hline 4-8 & 3 & 6 & 18 & 108 \\ \hline 8-12 & 2 & 10 & 20 & 200 \\ \hline 12-16 & 1 & 14 & 14 & 196 \\ \hline \text{કુલ} & 8 & & 56 & 512 \\ \hline\end{array}$
મધ્યક $(\bar{x})$ = $\frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{56}{8} = 7$
વિચરણ $(\sigma^2)$ = $\frac{\Sigma f_i x_i^2}{\Sigma f_i} - (\bar{x})^2$
$= \frac{512}{8} - (7)^2$
$= 64 - 49 = 15$

(A) વિચરણ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે મધ્યબિંદુ $(x_i)$ ગણીએ છીએ અને ત્યારબાદ જરૂરી સરવાળા મેળવીએ છીએ:

વર્ગ અંતરાલ	$f_i$	$x_i$	$f_i x_i$	$f_i x_i^2$
$0-6$	$10$	$3$	$30$	$90$
$6-12$	$8$	$9$	$72$	$648$
$12-18$	$6$	$15$	$90$	$1350$
$18-24$	$4$	$21$	$84$	$1764$
$24-30$	$2$	$27$	$54$	$1458$
કુલ	$N = 30$	-	$\Sigma f_i x_i = 330$	$\Sigma f_i x_i^2 = 5310$

વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{N} \Sigma f_i x_i^2 - \left(\frac{\Sigma f_i x_i}{N}\right)^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{5310}{30} - \left(\frac{330}{30}\right)^2$
$\sigma^2 = 177 - (11)^2$
$\sigma^2 = 177 - 121 = 56$.

(C) આપેલ પ્રમાણિત વિચલનો $\sigma_x = 5$ અને $\sigma_y = 6$ છે,જ્યાં $n = 100$ અવલોકનો છે.
$\sum_{i=1}^{100}(x_i-\bar{x})^2 = n \sigma_x^2 = 100 \times 25 = 2500$.
$\sum_{i=1}^{100}(y_i-\bar{y})^2 = n \sigma_y^2 = 100 \times 36 = 3600$.
આપેલ છે કે $\sum_{i=1}^{100}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = 600$.
ધારો કે $z_i = x_i - y_i$. તો $\bar{z} = \bar{x} - \bar{y}$.
$Z$ નું વિચરણ $\sigma_z^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{100}(z_i - \bar{z})^2$ છે.
$\sigma_z^2 = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100}((x_i - y_i) - (\bar{x} - \bar{y}))^2 = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100}((x_i - \bar{x}) - (y_i - \bar{y}))^2$.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $\sigma_z^2 = \frac{1}{100} [\sum(x_i - \bar{x})^2 + \sum(y_i - \bar{y})^2 - 2 \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})]$.
$\sigma_z^2 = \frac{1}{100} [2500 + 3600 - 2(600)] = \frac{1}{100} [6100 - 1200] = \frac{4900}{100} = 49$.
તેથી,$\sigma_z = \sqrt{49} = 7$.

(A) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $2k$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે,$S_1 = \frac{(2k)^2 - 1}{12} = \frac{4k^2 - 1}{12}$.
પ્રથમ $k$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે,$S_2 = \frac{k^2 - 1}{12}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4k^2 - 1}{k^2 - 1} = \frac{4(k^2 - 1) + 3}{k^2 - 1} = 4 + \frac{3}{k^2 - 1}$.
કારણ કે $k > 1$,$k^2 - 1 > 0$. જેમ $k \to 1^+$,$\frac{3}{k^2 - 1} \to \infty$,અને જેમ $k \to \infty$,$\frac{3}{k^2 - 1} \to 0$.
આમ,$4 + \frac{3}{k^2 - 1} \in (4, \infty)$.

(C) ધારો કે કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $n$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{n}{4}$ અવલોકનો $a$ છે,$\frac{n}{4}$ અવલોકનો $-a$ છે,$\frac{n}{4}$ અવલોકનો $b$ છે અને $\frac{n}{4}$ અવલોકનો $-b$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\frac{n}{4}(a - a + b - b)}{n} = 0$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $ab = \frac{\frac{n}{4}(a^2 + (-a)^2 + b^2 + (-b)^2)}{n} - 0$.
$ab = \frac{a^2 + a^2 + b^2 + b^2}{4} = \frac{2a^2 + 2b^2}{4} = \frac{a^2 + b^2}{2}$.
$2ab = a^2 + b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 - 2ab = 0$.
$(a - b)^2 = 0 \Rightarrow a = b$.

(C) પગલું $1$: મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો.
$\bar{x} = \frac{3+4+5+6+7+8+10+13}{8} = \frac{56}{8} = 7$.
પગલું $2$: મધ્યકથી વિચલનોના વર્ગો $(x_i - \bar{x})^2$ શોધો.
$(3-7)^2 = 16, (4-7)^2 = 9, (5-7)^2 = 4, (6-7)^2 = 1, (7-7)^2 = 0, (8-7)^2 = 1, (10-7)^2 = 9, (13-7)^2 = 36$.
પગલું $3$: વિચરણ $(\sigma^2)$ શોધો.
$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{16+9+4+1+0+1+9+36}{8} = \frac{76}{8} = 9.5$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ અચળ $a$ અને $b$ માટે,પ્રમાણિત વિચલન (standard deviation) નો ગુણધર્મ $\sigma(a + bX) = |b| \sigma(X)$ છે.
આપેલ છે કે $\sigma(X) = 2.6$.
આપણે $\sigma(1 - 4X)$ શોધવાનું છે.
અહીં,$a = 1$ અને $b = -4$ છે.
ગુણધર્મ લાગુ પાડતા: $\sigma(1 - 4X) = |-4| \sigma(X)$.
$\sigma(1 - 4X) = 4 \times 2.6$.
$\sigma(1 - 4X) = 10.4$.

(C) ધારો કે અવલોકનો $x_{i} = a_{i}$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, \ldots, n$. પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^2}$ છે.
નવા અવલોકનો $y_{i} = \lambda a_{i} = \lambda x_{i}$ છે.
નવા અવલોકનોનો મધ્યક $\bar{y} = \lambda \bar{x}$ છે.
નવા અવલોકનોનું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_{y} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (\lambda x_{i} - \lambda \bar{x})^2} = \sqrt{\lambda^2 \cdot \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^2} = |\lambda| \sigma$.

(A) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ છે.
અહીં $n = 20$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{20^2 - 1}{12}$
$= \frac{400 - 1}{12}$
$= \frac{399}{12}$
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$= \frac{133}{4}$.

(D) $X$ નો મધ્યક $\bar{x} = \frac{1+19}{2} = 10$ છે.
$X$ નું વિચરણ $\sigma_x^2 = \frac{n^2-1}{12} = \frac{19^2-1}{12} = \frac{360}{12} = 30$ છે.
આપેલ છે કે $Y = aX + b$,તેથી $Y$ નો મધ્યક $\bar{y} = a\bar{x} + b = 10a + b = 30$ થાય.
$Y$ નું વિચરણ $\sigma_y^2 = a^2 \sigma_x^2 = a^2(30) = 750$ થાય.
આમ,$a^2 = 25$,જેનો અર્થ છે કે $a = 5$ અથવા $a = -5$.
જો $a = 5$ હોય,તો $10(5) + b = 30 \Rightarrow b = -20$.
જો $a = -5$ હોય,તો $10(-5) + b = 30 \Rightarrow b = 80$.
$b$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો $-20 + 80 = 60$ થાય.

(D) ધારો કે $\sum x_i^2 = S_2$ અને $\sum x_i = S_1$ છે.
આપેલા સમીકરણોનું વિસ્તરણ કરતા:
$S_2 + 4S_1 + 40 = 180 \implies S_2 + 4S_1 = 140$
$S_2 - 2S_1 + 10 = 90 \implies S_2 - 2S_1 = 80$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(S_2 + 4S_1) - (S_2 - 2S_1) = 140 - 80 \implies 6S_1 = 60 \implies S_1 = 10$.
$S_1 = 10$ ને $S_2 - 2S_1 = 80$ માં મૂકતા: $S_2 - 20 = 80 \implies S_2 = 100$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{S_2}{n} - (\frac{S_1}{n})^2 = \frac{100}{10} - (\frac{10}{10})^2 = 10 - 1 = 9$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{9} = 3$.

(B) ધારો કે $S_1 = \sum_{i=1}^{20} (x_i + 5)^2 = \sum x_i^2 + 10\sum x_i + 500 = 2500$.
ધારો કે $S_2 = \sum_{i=1}^{20} (x_i - 5)^2 = \sum x_i^2 - 10\sum x_i + 500 = 100$.
$S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરતા: $20\sum x_i = 2400 \Rightarrow \sum x_i = 120$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{120}{20} = 6$.
$S_1$ અને $S_2$ નો સરવાળો કરતા: $2\sum x_i^2 + 1000 = 2600 \Rightarrow 2\sum x_i^2 = 1600 \Rightarrow \sum x_i^2 = 800$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{800}{20} - 6^2 = 40 - 36 = 4$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{4} = 2$.
મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલનનો ગુણોત્તર $\frac{\bar{x}}{\sigma} = \frac{6}{2} = 3:1$ થાય.