Word Problem - Set Theory Questions in Gujarati

(C) અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$X = 10^{60} = 2^{60} \times 5^{60} \implies n(X) = 61^2 = 3721$
$Y = 20^{50} = 2^{100} \times 5^{50} \implies n(Y) = 101 \times 51 = 5151$
$Z = 30^{40} = 2^{40} \times 3^{40} \times 5^{40} \implies n(Z) = 41^3 = 68921$
છેદગણ:
$n(X \cap Y) = 61 \times 51 = 3111$
$n(Y \cap Z) = 41^2 = 1681$
$n(Z \cap X) = 41^2 = 1681$
$n(X \cap Y \cap Z) = 41^2 = 1681$
ગણતરી:
$n(X \cup Y \cup Z) = 3721 + 5151 + 68921 - (3111 + 1681 + 1681) + 1681 = 73001$

(A) $\bigcup_{r=1}^{24} X_r$ માં ઘટકોની કુલ સંખ્યા (પુનરાવર્તન સાથે) $5 \times 24 = 120$ છે.
કારણ કે $S$ નો દરેક ઘટક બરાબર $10$ $X_r$ માં આવે છે,તેથી $S$ માં અલગ ઘટકોની સંખ્યા $\frac{120}{10} = 12$ છે.
તે જ રીતે,$\bigcup_{r=1}^{n} Y_r$ માટે,ઘટકોની કુલ સંખ્યા (પુનરાવર્તન સાથે) $4n$ છે.
કારણ કે $S$ નો દરેક ઘટક બરાબર $6$ $Y_r$ માં આવે છે,તેથી $S$ માં અલગ ઘટકોની સંખ્યા $\frac{4n}{6}$ છે.
$S$ માં અલગ ઘટકોની સંખ્યા માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$12 = \frac{4n}{6}$
$72 = 4n$
$n = 18$.

(B) ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$n(\bar{A} \cap \bar{B}) = n(\overline{A \cup B})$.
ગણના પૂરક ગણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $n(A \cup B) = 100 + 200 - 50 = 250$.
તેથી,$n(\bar{A} \cap \bar{B}) = 600 - 250 = 350$.

(C) આપણે $A$ અથવા $B$ માંથી બરાબર એક ઘટના બને અને $C$ ન બને તેની સંભાવના શોધવી છે. આ વેન આકૃતિમાં છાયાંકિત ભાગ દ્વારા દર્શાવેલ છે,જે $(A \cup B) \setminus (A \cap B) \setminus C$ છે.
આપેલ છે કે $P(A \cup B \cup C) = P(A \cup B) + P(C) - P((A \cup B) \cap C)$.
$P(A \cap B \cap C) = 0$ હોવાથી,$P((A \cup B) \cap C) = P(A \cap C) + P(B \cap C)$ થાય.
જરૂરી સંભાવના $P(A \cup B) - P(A \cap B) - P((A \cup B) \cap C)$ છે.
$P(A \cup B) - P((A \cup B) \cap C) = P(A \cup B \cup C) - P(C) = \frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{7}{12}$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના = $\frac{7}{12} - P(A \cap B) = \frac{7}{12} - \frac{1}{3} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

(D) ધારો કે $n_x, n_y, n_z$ એ હોટલ $x, y, z$ માં વ્યક્તિઓની સંખ્યા છે. $n_x + n_y + n_z = 20$. આપણે એવી રીતો શોધવી છે કે જેથી $n_x \geq 2, n_y \geq 1, n_z \geq 1$ થાય.
કુલ રીતો = $3^{20}$.
પૂરક ગણનો ઉપયોગ કરીને,સાનુકૂળ કિસ્સાઓની સંખ્યા $3^{20} - 13 \cdot 2^{20} + 43$ મળે છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{3^{20} - 13 \cdot 2^{20} + 43}{3^{20}}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ:
$x + y = \frac{2\pi}{3}$
$\cos x + \cos y = \frac{3}{2}$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = \frac{3}{2}$
$x+y = \frac{2\pi}{3}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 \cos \left(\frac{2\pi/3}{2}\right) \cos \frac{x-y}{2} = \frac{3}{2}$
$2 \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{x-y}{2} = \frac{3}{2}$
કારણ કે $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$2 \left(\frac{1}{2}\right) \cos \frac{x-y}{2} = \frac{3}{2}$
$\cos \frac{x-y}{2} = \frac{3}{2}$
કોસાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે અને $\frac{3}{2} > 1$ હોવાથી,$x$ અને $y$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત આ સમીકરણનું સમાધાન કરતી નથી.
તેથી,ઉકેલ ગણ એ ખાલી ગણ છે.

(B) દરેક ઘટક $x \in A$ માટે,$P$ અને $Q$ માં તેની હાજરી અંગે $4$ શક્યતાઓ છે: $x \in P \cap Q$,$x \in P \setminus Q$,$x \in Q \setminus P$,અથવા $x \notin P \cup Q$.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $(P - Q)$ માં બરાબર $2$ ઘટકો હોય.
પ્રથમ,આપણે $n$ માંથી $2$ ઘટકો પસંદ કરીએ છીએ જે $(P - Q)$ માં હોય,જે $^nC_2$ રીતે કરી શકાય છે.
આ $2$ પસંદ કરેલા ઘટકો માટે,તેઓ $P$ માં હોવા જોઈએ પણ $Q$ માં નહીં,તેથી દરેક માટે માત્ર $1$ રીત છે.
બાકીના $(n - 2)$ ઘટકો માટે,દરેક ઘટક કાં તો $Q \setminus P$ માં,$P \cap Q$ માં,અથવા $P \cup Q$ માં ન હોય તેવું હોઈ શકે છે. આમ,બાકીના $(n - 2)$ ઘટકોમાંથી દરેક માટે $3$ વિકલ્પો છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $^nC_2 \times 3^{n-2}$ છે.

(C) ધારો કે $P$ એ ફોન ધરાવતા પરિવારોનો સમૂહ છે અને $C$ એ કાર ધરાવતા પરિવારોનો સમૂહ છે.
આપેલ છે: $n(P) = 25\%$,$n(C) = 15\%$,અને $n(P' \cap C') = 65\%$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$n(P \cup C) = 100\% - 65\% = 35\%$.
આમ,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
હવે,$n(P \cap C) = 25\% + 15\% - 35\% = 5\%$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
આપેલ છે કે કુલ પરિવારો $x$ ના $5\%$ એ $2,000$ છે,તેથી $0.05x = 2,000$.
$x = 40,000$.
આમ,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
તેથી,બધા વિધાનો $(A), (B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(x,0)$,અને $B(0,y)$ છે,જ્યાં $x, y \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x| |y| = 50$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $|xy| = 100$.
$x$ અને $y$ શૂન્યતર પૂર્ણાંકો હોવાથી,આપણે $|x| |y| = 100$ થાય તેવી $(x, y)$ જોડીઓની સંખ્યા શોધવાની જરૂર છે.
$100 = 2^2 \times 5^2$ ના ભાજકોની સંખ્યા $(2+1)(2+1) = 3 \times 3 = 9$ છે.
$100$ ના દરેક ભાજક $d$ માટે,આપણી પાસે $|x| = d$ અને $|y| = 100/d$ છે. $x$ અને $y$ ધન અથવા ઋણ હોઈ શકે છે,તેથી દરેક જોડી $(|x|, |y|)$ માટે $4$ શક્ય ચિહ્ન સંયોજનો છે (જેમ કે $(+,+), (+,-), (-,+), (-,-)$).
આમ,ત્રિકોણોની કુલ સંખ્યા $4 \times 9 = 36$ છે.

(D) જ્યારે ઉપગણનો ઓછામાં ઓછો એક ઘટક યુગ્મ હોય ત્યારે ગુણાકાર યુગ્મ મળે છે.
$S$ ના કુલ અરિક્ત ઉપગણોની સંખ્યા $2^{100} - 1$ છે.
માત્ર એકી ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા એ $S$ માં રહેલી એકી સંખ્યાઓના ઉપગણોની સંખ્યા જેટલી છે.
$S = \{1, 2, \dots, 100\}$ માં $50$ એકી સંખ્યાઓ છે.
માત્ર એકી ઘટકો ધરાવતા અરિક્ત ઉપગણોની સંખ્યા $2^{50} - 1$ છે.
તેથી,યુગ્મ ગુણાકાર ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા = (કુલ અરિક્ત ઉપગણો) - (માત્ર એકી ઘટકો ધરાવતા અરિક્ત ઉપગણો).
$= (2^{100} - 1) - (2^{50} - 1) = 2^{100} - 2^{50}$.

(A) ધારો કે $A$ એ $NCC$ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે અને $B$ એ $NSS$ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(U) = 60$,$n(A) = 40$,$n(B) = 30$,$n(A \cap B) = 20$.
ઓછામાં ઓછું એક પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
$n(A \cup B) = 40 + 30 - 20 = 50$.
$NCC$ કે $NSS$ બંનેમાંથી કંઈપણ પસંદ ન કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(A^c \cap B^c) = n(U) - n(A \cup B) = 60 - 50 = 10$ છે.
પસંદ કરેલા વિદ્યાર્થીએ કંઈપણ પસંદ ન કર્યું હોય તેની સંભાવના $\frac{n(A^c \cap B^c)}{n(U)} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ છે.

(A) આપેલ છે $A = \{ x \in Z : 2^{(x + 2)(x^2 - 5x + 6)} = 1 \}$.
$2^0 = 1$ હોવાથી,$(x + 2)(x^2 - 5x + 6) = 0$.
$(x + 2)(x - 2)(x - 3) = 0$,તેથી $x = -2, 2, 3$.
આમ,$A = \{-2, 2, 3\}$,તેથી $n(A) = 3$.
આપેલ છે $B = \{ x \in Z : -3 < 2x - 1 < 9 \}$.
બધી બાજુ $1$ ઉમેરતા: $-2 < 2x < 10$.
$2$ વડે ભાગતા: $-1 < x < 5$.
$x \in Z$ હોવાથી,$B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$,તેથી $n(B) = 5$.
$A \times B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) \times n(B) = 3 \times 5 = 15$ છે.
$A \times B$ ના ઉપગણોની સંખ્યા $2^{n(A \times B)} = 2^{15}$ થાય.

(C) ધારો કે કુલ વસ્તી $100$ છે.
$n(A) = 25$,$n(B) = 20$,અને $n(A \cap B) = 8$.
$A$ વાંચતા પણ $B$ ન વાંચતા લોકોની સંખ્યા $n(A \setminus B) = n(A) - n(A \cap B) = 25 - 8 = 17$.
$B$ વાંચતા પણ $A$ ન વાંચતા લોકોની સંખ્યા $n(B \setminus A) = n(B) - n(A \cap B) = 20 - 8 = 12$.
$A$ અને $B$ બંને વાંચતા લોકોની સંખ્યા $n(A \cap B) = 8$.
જાહેરાતો જોતી વસ્તીની ટકાવારી:
$= (17 \text{ ના } 30\%) + (12 \text{ ના } 40\%) + (8 \text{ ના } 50\%)$
$= (0.30 \times 17) + (0.40 \times 12) + (0.50 \times 8)$
$= 5.1 + 4.8 + 4.0 = 13.9$.

(A) ગણ $X$ માં $50$ ઘટકો છે.
$A = \{2, 4, 6, \dots, 50\}$,તેથી $n(A) = \lfloor 50/2 \rfloor = 25$.
$B = \{7, 14, 21, 28, 35, 42, 49\}$,તેથી $n(B) = \lfloor 50/7 \rfloor = 7$.
$A \cap B$ એ $\text{lcm}(2, 7) = 14$ ના ગુણકો ધરાવે છે,જે $\{14, 28, 42\}$ છે. તેથી,$n(A \cap B) = 3$.
$A$ અને $B$ બંનેને સમાવતો $X$ નો સૌથી નાનો ઉપગણ $A \cup B$ છે.
સૂત્ર $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા,
$n(A \cup B) = 25 + 7 - 3 = 29$.

(A) ધારો કે $H$ એ હિન્દી સમાચારપત્ર વાંચતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે અને $E$ એ અંગ્રેજી સમાચારપત્ર વાંચતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે.
આપેલ છે કે:
$P(H) = 60 \% = 0.60$
$P(E) = 40 \% = 0.40$
$P(H \cap E) = 20 \% = 0.20$
વિદ્યાર્થી ઓછામાં ઓછું એક સમાચારપત્ર વાંચે તેની સંભાવના:
$P(H \cup E) = P(H) + P(E) - P(H \cap E)$
$P(H \cup E) = 0.60 + 0.40 - 0.20 = 0.80$
વિદ્યાર્થી ન તો હિન્દી કે ન તો અંગ્રેજી સમાચારપત્ર વાંચે તેની સંભાવના:
$P((H \cup E)') = 1 - P(H \cup E)$
$P((H \cup E)') = 1 - 0.80 = 0.20$
અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા:
$0.20 = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ માં $36$ પરિણામો હોય છે.
$A = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
$C = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)\}$
ઘટના '$A$ પરંતુ $C$ નહીં' ને ગણ તફાવત $A - C$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$C$ ના જે ઘટકો $A$ માં પણ છે (જેમ કે $(2,1), (2,2), (2,3), (4,1)$) તેને $A$ માંથી બાદ કરતા:
$A - C = \{(2,4), (2,5), (2,6), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$

(A) ધારો કે $E_A$ એ ઘટના છે કે $A$ નિષ્ફળ જાય છે અને $E_B$ એ ઘટના છે કે $B$ નિષ્ફળ જાય છે.
આપેલ છે:
$P(E_A) = 0.2$
$P(E_A \cap E_B) = 0.15$
$A$ એકલું નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવના એ $A$ નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવનામાંથી $A$ અને $B$ બંને નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવના બાદ કરવાથી મળે છે.
$P(A \text{ એકલું નિષ્ફળ જાય}) = P(E_A) - P(E_A \cap E_B)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P(A \text{ એકલું નિષ્ફળ જાય}) = 0.2 - 0.15$
$P(A \text{ એકલું નિષ્ફળ જાય}) = 0.05$

(A) આપેલ છે કે
$n(X \cup Y) = 50, n(X) = 28, n(Y) = 32$
આપણે $n(X \cap Y)$ શોધવાનું છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n(X \cup Y) = n(X) + n(Y) - n(X \cap Y)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$50 = 28 + 32 - n(X \cap Y)$
$50 = 60 - n(X \cap Y)$
$n(X \cap Y) = 60 - 50 = 10$
આમ,$X \cap Y$ માં ઘટકોની સંખ્યા $10$ છે.

(C) ધારો કે $M$ એ ગણિત ભણાવતા શિક્ષકોનો ગણ છે અને $P$ એ ભૌતિકશાસ્ત્ર ભણાવતા શિક્ષકોનો ગણ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આપણી પાસે છે:
$n(M \cup P) = 20$
$n(M) = 12$
$n(M \cap P) = 4$
આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P)$
કિંમતો મૂકતા:
$20 = 12 + n(P) - 4$
$20 = 8 + n(P)$
$n(P) = 20 - 8$
$n(P) = 12$
આમ,$12$ શિક્ષકો ભૌતિકશાસ્ત્ર ભણાવે છે.

(A) ધારો કે $X$ એ ક્રિકેટ રમવાનું પસંદ કરતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે અને $Y$ એ ફૂટબોલ રમવાનું પસંદ કરતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે.
દરેક વિદ્યાર્થી ઓછામાં ઓછી એક રમત પસંદ કરે છે,તેથી $n(X \cup Y) = 35$.
આપણને આપેલ છે કે $n(X) = 24$ અને $n(Y) = 16$.
સૂત્ર $n(X \cup Y) = n(X) + n(Y) - n(X \cap Y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$35 = 24 + 16 - n(X \cap Y)$
$35 = 40 - n(X \cap Y)$
$n(X \cap Y) = 40 - 35 = 5$.
આમ,$5$ વિદ્યાર્થીઓ ક્રિકેટ અને ફૂટબોલ બંને રમવાનું પસંદ કરે છે.

(A) ધારો કે $U$ એ સર્વેક્ષણ કરેલા તમામ વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે,$A$ એ સફરજનનો રસ લેતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે અને $B$ એ નારંગીનો રસ લેતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(U) = 400$,$n(A) = 100$,$n(B) = 150$,અને $n(A \cap B) = 75$.
આપણે એવા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા શોધવાની છે જેઓ સફરજન કે નારંગીનો રસ લેતા નથી,જે $n(A' \cap B') = n((A \cup B)') = n(U) - n(A \cup B)$ છે.
પ્રથમ,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 100 + 150 - 75 = 175$ ની ગણતરી કરો.
ત્યારબાદ,$n(A' \cap B') = 400 - 175 = 225$.
તેથી,$225$ વિદ્યાર્થીઓ સફરજન કે નારંગીનો રસ લેતા નહોતા.

(A) ધારો કે $U$ એ ચામડીના રોગથી પીડાતા વ્યક્તિઓનો સાર્વત્રિક ગણ છે,$A$ એ રસાયણ $C_{1}$ ના સંપર્કમાં આવેલી વ્યક્તિઓનો ગણ છે અને $B$ એ રસાયણ $C_{2}$ ના સંપર્કમાં આવેલી વ્યક્તિઓનો ગણ છે.
અહીં,$n(U) = 200$,$n(A) = 120$,$n(B) = 50$ અને $n(A \cap B) = 30$.
આપણે રસાયણ $C_{1}$ ના સંપર્કમાં હોય પરંતુ રસાયણ $C_{2}$ ના સંપર્કમાં ન હોય તેવી વ્યક્તિઓની સંખ્યા શોધવાની છે,જે $n(A - B)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ગણના ગુણધર્મો પરથી,$A = (A - B) \cup (A \cap B)$.
કારણ કે $(A - B)$ અને $(A \cap B)$ પરસ્પર અલગ ગણ છે,તેથી:
$n(A) = n(A - B) + n(A \cap B)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$120 = n(A - B) + 30$
$n(A - B) = 120 - 30 = 90$
આમ,રસાયણ $C_{1}$ ના સંપર્કમાં હોય પરંતુ રસાયણ $C_{2}$ ના સંપર્કમાં ન હોય તેવી વ્યક્તિઓની સંખ્યા $90$ છે.

(A) ધારો કે $U$ એ ત્વચાની બીમારીથી પીડાતી વ્યક્તિઓનો સાર્વત્રિક ગણ છે,$A$ એ રસાયણ $C_{1}$ ના સંપર્કમાં આવેલી વ્યક્તિઓનો ગણ છે અને $B$ એ રસાયણ $C_{2}$ ના સંપર્કમાં આવેલી વ્યક્તિઓનો ગણ છે.
અહીં,$n(U) = 200$,$n(A) = 120$,$n(B) = 50$ અને $n(A \cap B) = 30$ છે.
આપણે રસાયણ $C_{2}$ ના સંપર્કમાં હોય પરંતુ રસાયણ $C_{1}$ ના સંપર્કમાં ન હોય તેવી વ્યક્તિઓની સંખ્યા શોધવાની છે,જે $n(B - A)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ગણના સિદ્ધાંત મુજબ,$B = (B - A) \cup (A \cap B)$ થાય.
જેમ કે $(B - A)$ અને $(A \cap B)$ અલગ ગણ છે,તેથી:
$n(B) = n(B - A) + n(A \cap B)$
$n(B - A)$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$n(B - A) = n(B) - n(A \cap B)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$n(B - A) = 50 - 30 = 20$.
આમ,રસાયણ $C_{2}$ ના સંપર્કમાં હોય પરંતુ રસાયણ $C_{1}$ ના સંપર્કમાં ન હોય તેવી વ્યક્તિઓની સંખ્યા $20$ છે.

(A) ધારો કે $A$ એ રસાયણ $C_{1}$ ના સંપર્કમાં આવેલી વ્યક્તિઓનો ગણ છે અને $B$ એ રસાયણ $C_{2}$ ના સંપર્કમાં આવેલી વ્યક્તિઓનો ગણ છે.
આપેલ છે:
$n(A) = 120$
$n(B) = 50$
$n(A \cap B) = 30$
આપણે રસાયણ $C_{1}$ અથવા રસાયણ $C_{2}$ ના સંપર્કમાં આવેલી વ્યક્તિઓની સંખ્યા શોધવાની છે,જે $n(A \cup B)$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$n(A \cup B) = 120 + 50 - 30$
$n(A \cup B) = 140$
આમ,રસાયણ $C_{1}$ અથવા રસાયણ $C_{2}$ ના સંપર્કમાં આવેલી વ્યક્તિઓની સંખ્યા $140$ છે.

(A) આપેલ છે કે:
$n(X) = 17, n(Y) = 23, n(X \cup Y) = 38$
આપણે જાણીએ છીએ કે:
$n(X \cup Y) = n(X) + n(Y) - n(X \cap Y)$
આપેલ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$38 = 17 + 23 - n(X \cap Y)$
$38 = 40 - n(X \cap Y)$
$n(X \cap Y) = 40 - 38$
$n(X \cap Y) = 2$

(A) ધારો કે $H$ એ હિન્દી બોલતા લોકોનો ગણ છે અને $E$ એ અંગ્રેજી બોલતા લોકોનો ગણ છે.
આપેલ છે:
$n(H \cup E) = 400$
$n(H) = 250$
$n(E) = 200$
આપણે $n(H \cap E)$ શોધવાનું છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n(H \cup E) = n(H) + n(E) - n(H \cap E)$
કિંમતો મૂકતા:
$400 = 250 + 200 - n(H \cap E)$
$400 = 450 - n(H \cap E)$
$n(H \cap E) = 450 - 400$
$n(H \cap E) = 50$
આમ,$50$ લોકો હિન્દી અને અંગ્રેજી બંને બોલી શકે છે.

(A) આપેલ છે કે:
$n(S) = 21, n(T) = 32, n(S \cap T) = 11$
આપણે જાણીએ છીએ કે:
$n(S \cup T) = n(S) + n(T) - n(S \cap T)$
કિંમતો મૂકતા:
$n(S \cup T) = 21 + 32 - 11$
$n(S \cup T) = 53 - 11$
$n(S \cup T) = 42$
આમ,ગણ $S \cup T$ માં $42$ ઘટકો છે.

(B) આપેલ છે કે:
$n(X) = 40$,$n(X \cup Y) = 60$,$n(X \cap Y) = 10$
આપણે જાણીએ છીએ કે:
$n(X \cup Y) = n(X) + n(Y) - n(X \cap Y)$
કિંમતો મૂકતા:
$60 = 40 + n(Y) - 10$
$60 = 30 + n(Y)$
$n(Y) = 60 - 30 = 30$
આમ,ગણ $Y$ માં $30$ ઘટકો છે.

(C) ધારો કે $C$ એ કોફી પસંદ કરતા લોકોનો સમૂહ છે અને $T$ એ ચા પસંદ કરતા લોકોનો સમૂહ છે.
આપેલ છે:
$n(C \cup T) = 70$
$n(C) = 37$
$n(T) = 52$
આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$n(C \cup T) = n(C) + n(T) - n(C \cap T)$
કિંમતો મૂકતા:
$70 = 37 + 52 - n(C \cap T)$
$70 = 89 - n(C \cap T)$
$n(C \cap T) = 89 - 70 = 19$
તેથી,$19$ લોકો કોફી અને ચા બંને પસંદ કરે છે.

(A) ધારો કે $C$ એ ક્રિકેટ પસંદ કરતા લોકોનો ગણ છે અને $T$ એ ટેનિસ પસંદ કરતા લોકોનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(C \cup T) = 65$,$n(C) = 40$,અને $n(C \cap T) = 10$.
સૂત્ર $n(C \cup T) = n(C) + n(T) - n(C \cap T)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$65 = 40 + n(T) - 10$
$65 = 30 + n(T)$
$n(T) = 65 - 30 = 35$.
તેથી,ટેનિસ પસંદ કરતા લોકોની કુલ સંખ્યા $35$ છે.
ફક્ત ટેનિસ (ક્રિકેટ નહીં) પસંદ કરતા લોકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $n(T - C)$ ગણીએ:
$n(T - C) = n(T) - n(C \cap T)$
$n(T - C) = 35 - 10 = 25$.
આમ,$25$ લોકો ફક્ત ટેનિસ પસંદ કરે છે અને $35$ લોકો કુલ ટેનિસ પસંદ કરે છે.

(A) ધારો કે $F$ એ ફ્રેન્ચ બોલતા લોકોનો સમૂહ છે અને $S$ એ સ્પેનિશ બોલતા લોકોનો સમૂહ છે.
આપેલ છે:
$n(F) = 50$
$n(S) = 20$
$n(S \cap F) = 10$
આપણે એવા લોકોની સંખ્યા શોધવાની છે જેઓ આ બેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ભાષા બોલે છે,જે $n(S \cup F)$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n(S \cup F) = n(S) + n(F) - n(S \cap F)$
કિંમતો મૂકતા:
$n(S \cup F) = 20 + 50 - 10$
$n(S \cup F) = 70 - 10 = 60$
આમ,$60$ લોકો આ બેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ભાષા બોલે છે.

(A) ધારો કે $U$ એ સર્વેક્ષણ કરાયેલ ગ્રાહકોનો સમૂહ છે,$S$ એ પ્રોડક્ટ $A$ પસંદ કરતા ગ્રાહકોનો સમૂહ છે અને $T$ એ પ્રોડક્ટ $B$ પસંદ કરતા ગ્રાહકોનો સમૂહ છે.
આપેલ છે કે $n(U) = 1000$,$n(S) = 720$,અને $n(T) = 450.$
આપણે જાણીએ છીએ કે બે ગણના યોગગણ માટેનું સૂત્ર $n(S \cup T) = n(S) + n(T) - n(S \cap T)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$n(S \cup T) = 720 + 450 - n(S \cap T) = 1170 - n(S \cap T).$
$S \cup T$ એ $U$ નો ઉપગણ હોવાથી,$n(S \cup T)$ ની મહત્તમ કિંમત $n(U) = 1000$ છે.
તેથી,$1000 \geq 1170 - n(S \cap T).$
અસમતાને ગોઠવતા,આપણને $n(S \cap T) \geq 1170 - 1000 = 170$ મળે છે.
આમ,બંને પ્રોડક્ટ પસંદ કરતા ગ્રાહકોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $170$ છે.

(B) ધારો કે $U$ એ તપાસાયેલા કાર માલિકોનો ગણ છે,$A$ એ કાર $A$ ધરાવતા વ્યક્તિઓનો ગણ છે અને $B$ એ કાર $B$ ધરાવતા વ્યક્તિઓનો ગણ છે.
આપેલ છે કે $n(U) = 500$,$n(A) = 400$,$n(B) = 200$ અને $n(A \cap B) = 50$.
બે ગણના યોગગણ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$n(A \cup B) = 400 + 200 - 50 = 550$.
કારણ કે $A \cup B$ એ $U$ નો ઉપગણ હોવો જોઈએ,તેથી $n(A \cup B) \leq n(U)$ થવું જોઈએ.
અહીં,$550 \leq 500$ એ ખોટું છે.
તેથી,આપેલી માહિતી ખોટી છે.

(B) ધારો કે $F, B$ અને $C$ એ ફૂટબોલ,બાસ્કેટબોલ અને ક્રિકેટમાં મેડલ મેળવનાર પુરુષોના ગણ છે.
આપેલ છે:
$n(F) = 38, n(B) = 15, n(C) = 20$
$n(F \cup B \cup C) = 58$
$n(F \cap B \cap C) = 3$
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n(F \cup B \cup C) = n(F) + n(B) + n(C) - [n(F \cap B) + n(F \cap C) + n(B \cap C)] + n(F \cap B \cap C)$
કિંમતો મૂકતા:
$58 = 38 + 15 + 20 - [n(F \cap B) + n(F \cap C) + n(B \cap C)] + 3$
$58 = 76 - [n(F \cap B) + n(F \cap C) + n(B \cap C)]$
$n(F \cap B) + n(F \cap C) + n(B \cap C) = 18$
ધારો કે $a, b, c$ એ બરાબર બે રમતોમાં મેડલ મેળવનાર પુરુષોની સંખ્યા છે અને $d$ એ ત્રણેય રમતોમાં મેડલ મેળવનાર પુરુષોની સંખ્યા છે.
$a + b + c + 3d = 18$
$d = 3$ હોવાથી:
$a + b + c + 3(3) = 18$
$a + b + c = 9$
આમ,$9$ પુરુષોને બરાબર બે રમતોમાં મેડલ મળ્યા છે.

(A) ધારો કે $U$ એ સર્વેક્ષણમાં ભાગ લેનાર તમામ વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે.
ધારો કે $T$ એ ચા લેતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે.
ધારો કે $C$ એ કોફી લેતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(U) = 600, n(T) = 150, n(C) = 225, n(T \cap C) = 100$.
આપણે ચા કે કોફી બંનેમાંથી કંઈ પણ ન લેતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા શોધવાની છે,એટલે કે $n(T' \cap C')$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$n(T' \cap C') = n(T \cup C)' = n(U) - n(T \cup C)$.
પ્રથમ,$n(T \cup C) = n(T) + n(C) - n(T \cap C) = 150 + 225 - 100 = 275$.
હવે,$n(T' \cap C') = 600 - 275 = 325$.
આમ,$325$ વિદ્યાર્થીઓ ચા કે કોફી બંનેમાંથી કંઈ પણ લેતા નહોતા.

(A) ધારો કે $H$ એ હિન્દી જાણતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે અને $E$ એ અંગ્રેજી જાણતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે.
આપેલ છે:
$n(H) = 100$
$n(E) = 50$
$n(H \cap E) = 25$
દરેક વિદ્યાર્થી ઓછામાં ઓછી એક ભાષા જાણે છે,તેથી વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $n(H \cup E)$ છે.
સૂત્ર $n(H \cup E) = n(H) + n(E) - n(H \cap E)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n(H \cup E) = 100 + 50 - 25$
$n(H \cup E) = 125$
આમ,સમૂહમાં કુલ $125$ વિદ્યાર્થીઓ છે.

(A) ધારો કે $H, T,$ અને $I$ એ સમાચારપત્ર $H, T,$ અને $I$ વાંચતા લોકોના ગણ છે.
આપેલ છે:
$n(H) = 25, n(T) = 26, n(I) = 26$
$n(H \cap I) = 9, n(H \cap T) = 11, n(T \cap I) = 8$
$n(H \cap T \cap I) = 3$
આપણે ઓછામાં ઓછું એક સમાચારપત્ર વાંચતા લોકોની સંખ્યા શોધવાની છે,જે $n(H \cup T \cup I)$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n(H \cup T \cup I) = n(H) + n(T) + n(I) - n(H \cap T) - n(T \cap I) - n(H \cap I) + n(H \cap T \cap I)$
$n(H \cup T \cup I) = 25 + 26 + 26 - 11 - 8 - 9 + 3$
$n(H \cup T \cup I) = 77 - 28 + 3$
$n(H \cup T \cup I) = 52$
આમ,$52$ લોકો ઓછામાં ઓછું એક સમાચારપત્ર વાંચે છે.

(A) ધારો કે $n(H)=25, n(T)=26, n(I)=26$.
આપેલ છેદગણ: $n(H \cap I)=9, n(H \cap T)=11, n(T \cap I)=8, n(H \cap T \cap I)=3$.
ધારો કે $x, y, z$ એ ફક્ત $H, T, I$ વાંચતા લોકોની સંખ્યા છે.
ફક્ત બે સમાચારપત્ર વાંચતા લોકોની સંખ્યા:
ફક્ત $H$ અને $T = n(H \cap T) - n(H \cap T \cap I) = 11 - 3 = 8$.
ફક્ત $H$ અને $I = n(H \cap I) - n(H \cap T \cap I) = 9 - 3 = 6$.
ફક્ત $T$ અને $I = n(T \cap I) - n(H \cap T \cap I) = 8 - 3 = 5$.
ફક્ત એક સમાચારપત્ર વાંચતા લોકોની સંખ્યા:
ફક્ત $H = n(H) - (8 + 6 + 3) = 25 - 17 = 8$.
ફક્ત $T = n(T) - (8 + 5 + 3) = 26 - 16 = 10$.
ફક્ત $I = n(I) - (6 + 5 + 3) = 26 - 14 = 12$.
ફક્ત એક સમાચારપત્ર વાંચતા લોકોની કુલ સંખ્યા $= 8 + 10 + 12 = 30$.

(B) ધારો કે $A, B$ અને $C$ એ પ્રોડક્ટ $A$,પ્રોડક્ટ $B$ અને પ્રોડક્ટ $C$ પસંદ કરતા લોકોના ગણ છે.
આપેલ છે:
$n(A) = 21, n(B) = 26, n(C) = 29$
$n(A \cap B) = 14, n(C \cap A) = 12, n(B \cap C) = 14$
$n(A \cap B \cap C) = 8$
ફક્ત પ્રોડક્ટ $C$ પસંદ કરતા લોકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$n(C \text{ only}) = n(C) - [n(A \cap C) + n(B \cap C) - n(A \cap B \cap C)]$
$n(C \text{ only}) = 29 - [12 + 14 - 8]$
$n(C \text{ only}) = 29 - [26 - 8]$
$n(C \text{ only}) = 29 - 18 = 11$
આમ,$11$ લોકો ફક્ત પ્રોડક્ટ $C$ પસંદ કરે છે.

(B) નિદર્શાવકાશ $S$ માં $36$ શક્યતાઓ છે.
$A = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
$C = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)\}$
બે ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોય જો તેમનો છેદગણ ખાલી ગણ હોય,એટલે કે $A \cap C = \phi$.
અહીં $A \cap C = \{(2,1), (2,2), (2,3), (4,1)\}$ મળે છે.
$A \cap C \neq \phi$ હોવાથી,ઘટનાઓ $A$ અને $C$ પરસ્પર નિવારક નથી.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(A) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થીએ $NCC$ પસંદ કર્યું છે અને $B$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થીએ $NSS$ પસંદ કર્યું છે.
કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(S) = 60$.
$NCC$ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(A) = 30$.
$NSS$ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(B) = 32$.
$NCC$ અને $NSS$ બંને પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(A \cap B) = 24$.
આપણે સંભાવના શોધવાની છે કે વિદ્યાર્થીએ $NCC$ અથવા $NSS$ પસંદ કર્યું હોય,જે $P(A \cup B)$ છે.
સૂત્ર $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n(A \cup B) = 30 + 32 - 24 = 38$.
તેથી,$P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \frac{38}{60} = \frac{19}{30}$.

(A) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થીએ $NCC$ પસંદ કર્યું છે અને $B$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થીએ $NSS$ પસંદ કર્યું છે.
કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(S) = 60$.
$NCC$ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(A) = 30$.
$NSS$ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(B) = 32$.
બંને પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(A \cap B) = 24$.
$NCC$ અથવા $NSS$ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 30 + 32 - 24 = 38$.
$NCC$ કે $NSS$ બંનેમાંથી કંઈપણ પસંદ ન કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(A' \cap B') = n(S) - n(A \cup B) = 60 - 38 = 22$.
વિદ્યાર્થીએ કંઈપણ પસંદ ન કર્યું હોય તેની સંભાવના $P(A' \cap B') = \frac{n(A' \cap B')}{n(S)} = \frac{22}{60} = \frac{11}{30}$ છે.

(D) ધારો કે $n(T)$ એ ગણ $T$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $\bigcup_{i=1}^{50} X_{i} = T$ અને દરેક $X_{i}$ માં $10$ ઘટકો છે,તેથી બધા $X_{i}$ ના ઘટકોનો સરવાળો $50 \times 10 = 500$ થાય.
કારણ કે $T$ નો દરેક ઘટક બરાબર $20$ ગણ $X_{i}$ માં છે,તેથી $20 \times n(T) = 500$,જે આપણને $n(T) = \frac{500}{20} = 25$ આપે છે.
તે જ રીતે,ગણ $Y_{i}$ માટે,$\bigcup_{i=1}^{n} Y_{i} = T$ અને દરેક $Y_{i}$ માં $5$ ઘટકો છે,તેથી બધા $Y_{i}$ ના ઘટકોનો સરવાળો $n \times 5 = 5n$ થાય.
કારણ કે $T$ નો દરેક ઘટક બરાબર $6$ ગણ $Y_{i}$ માં છે,તેથી $6 \times n(T) = 5n$.
$n(T) = 25$ મૂકતા,આપણને $6 \times 25 = 5n$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $150 = 5n$ થાય,તેથી $n = 30$.

(D) ધારો કે $n(A) = 63$ અને $n(B) = 76$ એ અનુક્રમે સમાચારપત્ર $A$ અને $B$ વાંચતા લોકોની ટકાવારી દર્શાવે છે.
ગણના સિદ્ધાંત મુજબ,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 63 + 76 - x = 139 - x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કુલ ટકાવારી $100$ થી વધી શકે નહીં,તેથી $n(A \cup B) \leq 100$.
વળી,$B \subseteq (A \cup B)$ હોવાથી,$n(A \cup B) \geq n(B)$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $n(A \cup B) \geq 76$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $76 \leq 139 - x \leq 100$ મળે છે.
બધા પદોમાંથી $139$ બાદ કરતા: $76 - 139 \leq -x \leq 100 - 139$,જે $-63 \leq -x \leq -39$ આપે છે.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા ઉલટાય છે: $39 \leq x \leq 63$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $39$ એ $[39, 63]$ ની શ્રેણીમાં આવે છે.

(D) ધારો કે $C$ એ કોફી પસંદ કરતા લોકોનો ગણ છે અને $T$ એ ચા પસંદ કરતા લોકોનો ગણ છે.
આપેલ છે કે $n(C) = 73$ અને $n(T) = 65$.
ધારો કે $x = n(C \cap T)$ એ બંને પસંદ કરતા લોકોની ટકાવારી છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(C \cup T) = n(C) + n(T) - n(C \cap T) = 73 + 65 - x = 138 - x$.
કારણ કે $n(C \cup T) \leq 100$,તેથી $138 - x \leq 100$,જેનો અર્થ છે કે $x \geq 38$.
વધુમાં,ફક્ત કોફી પસંદ કરતા લોકોની સંખ્યા $n(C) - x = 73 - x \geq 0$ છે,તેથી $x \leq 73$.
અને ફક્ત ચા પસંદ કરતા લોકોની સંખ્યા $n(T) - x = 65 - x \geq 0$ છે,તેથી $x \leq 65$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $38 \leq x \leq 65$ મળે છે.
આમ,$x$ એ $[38, 65]$ ની શ્રેણીમાં હોવું જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$36$ એ $[38, 65]$ ની શ્રેણીમાં નથી.
તેથી,$x$ એ $36$ હોઈ શકે નહીં.

(C) આપેલ છે કે $P(A)=0.6, P(B)=0.4, P(C)=0.5, P(A \cup B)=0.8, P(A \cap C)=0.3, P(A \cap B \cap C)=0.2$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$0.8 = 0.6 + 0.4 - P(A \cap B)$,તેથી $P(A \cap B) = 0.2$.
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(C \cap A) + P(A \cap B \cap C)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha = 0.6 + 0.4 + 0.5 - 0.2 - \beta - 0.3 + 0.2 = 1.2 - \beta$.
આપેલ છે કે $0.85 \leq \alpha \leq 0.95$,તેથી $0.85 \leq 1.2 - \beta \leq 0.95$.
બધા પદોમાંથી $1.2$ બાદ કરતા: $-0.35 \leq -\beta \leq -0.25$.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા બદલાશે: $0.25 \leq \beta \leq 0.35$.
આમ,$\beta \in [0.25, 0.35]$.

(D) ગણ $A$ માં તમામ $3$-અંકી સંખ્યાઓ છે,એટલે કે $A = \{100, 101, \dots, 999\}$.
$B = \{9k + 2 : k \in N\} \cap A = \{101, 110, \dots, 992\}$. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 101$,$d = 9$,અને $l_n = 992$ છે. પદોની સંખ્યા $n_B = 100$ છે.
સરવાળો $S(B) = \frac{100}{2}(101 + 992) = 50 \times 1093 = 54650$.
તે જ રીતે,$C = \{9k + l : k \in N\} \cap A$. $3$-અંકી સંખ્યાઓ માટે,$k$ ની કિંમત $11$ થી $110$ સુધીની છે.
સરવાળો $S(C) = \sum_{k=11}^{110} (9k + l) = 9 \times \frac{100}{2}(11 + 110) + 100l = 54450 + 100l$.
આપેલ છે કે $S(B \cup C) = S(B) + S(C) - S(B \cap C) = 109600$.
જો $l \neq 2$ હોય,તો $B \cap C = \phi$,તેથી $S(B \cup C) = 54650 + 54450 + 100l = 109100 + 100l = 109600$.
$100l = 500 \Rightarrow l = 5$.

(A) ધારો કે $A$ એ હૃદયની બીમારી ધરાવતા દર્દીઓનો ગણ છે અને $B$ એ ફેફસાના ચેપ ધરાવતા દર્દીઓનો ગણ છે.
આપેલ છે કે $n(A) = 89\%$ અને $n(B) = 98\%$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
$n(A \cup B) \leq 100\%$ હોવાથી,$89 + 98 - n(A \cap B) \leq 100$.
$187 - n(A \cap B) \leq 100 \implies n(A \cap B) \geq 87$.
વળી,$n(A \cap B)$ એ બંને ગણમાંથી નાના ગણ કરતા વધારે ન હોઈ શકે,તેથી $n(A \cap B) \leq 89$.
આમ,$87 \leq K \leq 89$.
તેથી,$K$ એ $[87, 89]$ અંતરાલમાં હોવો જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા,ગણ $\{79, 81, 83, 85\}$ માં એવી કિંમતો છે જે $[87, 89]$ અંતરાલમાં નથી.

(A) દરેક ગણ માટે ઉકેલ મેળવો:
$A = (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$
$B = (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$
$C = (-\infty, 2] \cup [6, \infty)$
છેદગણ $A \cap B \cap C = (-\infty, -2) \cup [6, \infty)$
પૂરક ગણ $(A \cap B \cap C)^c = [-2, 6)$
પૂર્ણાંકો સાથેનો છેદગણ $\mathbb{Z} \cap [-2, 6) = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$
ઘટકોની સંખ્યા $8$ છે.
તેથી,ઉપગણોની સંખ્યા $= 2^8 = 256$.

(C) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 9\}$. ઘટકોને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષ મુજબ વર્ગીકૃત કરીએ:
$P = \{3, 6, 9\}$ (શેષ $0$,સંખ્યા $3$)
$Q = \{2, 5\}$ (શેષ $2$,સંખ્યા $2$)
$R = \{1, 4\}$ (શેષ $1$,સંખ્યા $2$)
કુલ ઉપગણો $2^7 = 128$ છે.
ગણતરી કરતા,$3$ વડે ભાગી શકાય તેવા સરવાળા વાળા ઉપગણોની સંખ્યા $44$ છે (ખાલી ગણ સહિત).
ખાલી ગણ બાદ કરતા,$44 - 1 = 43$.
કુલ ઉપગણો $127$ છે.
$3$ વડે ન ભાગી શકાય તેવા સરવાળા વાળા ઉપગણો $= 127 - 43 = 84$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $80$ છે.