Word Problem - Set Theory Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $S$ એ તમામ $4$-અંકી સંખ્યાઓનો ગણ છે. કુલ $4$-અંકી સંખ્યાઓ $9000$ છે.
ધારો કે $A$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય $4$-અંકી સંખ્યાઓનો ગણ છે. સૌથી નાની સંખ્યા $1002$ અને સૌથી મોટી $9999$ છે. સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,$9999 = 1002 + (n-1)3$,જે $n = 3000$ આપે છે.
ધારો કે $B$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય $4$-અંકી સંખ્યાઓનો ગણ છે. સૌથી નાની સંખ્યા $1001$ અને સૌથી મોટી $9996$ છે. $9996 = 1001 + (n-1)7$ નો ઉપયોગ કરતા,$n = 1286$ મળે છે.
ધારો કે $A \cap B$ એ $3$ અને $7$ બંને વડે વિભાજ્ય (એટલે કે $21$ વડે વિભાજ્ય) $4$-અંકી સંખ્યાઓનો ગણ છે. સૌથી નાની સંખ્યા $1008$ અને સૌથી મોટી $9996$ છે. $9996 = 1008 + (n-1)21$ નો ઉપયોગ કરતા,$n = 429$ મળે છે.
$3$ અથવા $7$ વડે વિભાજ્ય $4$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 3000 + 1286 - 429 = 3857$ છે.
$3$ કે $7$ ના ગુણક ન હોય તેવી $4$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $9000 - 3857 = 5143$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $11^{n} > 10^{n} + 9^{n}$
$10^{n}$ વડે ભાગતા: $(1.1)^{n} > 1 + (0.9)^{n}$
$n=1$ માટે: $1.1 > 1 + 0.9 = 1.9$ (ખોટું)
$n=2$ માટે: $1.21 > 1 + 0.81 = 1.81$ (ખોટું)
$n=3$ માટે: $1.331 > 1 + 0.729 = 1.729$ (ખોટું)
$n=4$ માટે: $1.4641 > 1 + 0.6561 = 1.6561$ (ખોટું)
$n=5$ માટે: $1.61051 > 1 + 0.59049 = 1.59049$ (સાચું)
$n \ge 5$ માટે,વિધેય $f(n) = (1.1)^{n} - (0.9)^{n}$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
$f(5) > 1$ હોવાથી,અસમતા તમામ $n \in \{5, 6, 7, \ldots, 100\}$ માટે સાચી છે.
આવા ઘટકોની સંખ્યા $100 - 5 + 1 = 96$ છે.

(A) $2040$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2040 = 2^3 \times 3 \times 5 \times 17$ છે.
$n$ અને $2040$ નો $H.C.F. 1$ થાય તે માટે,$n$ એ $2, 3, 5,$ અથવા $17$ નો ગુણક હોવો જોઈએ નહીં.
ગણતરી કરતા,$1$ થી $100$ સુધીની સંખ્યાઓ જે $2040$ સાથે પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેમનો સરવાળો $1251$ મળે છે.

(A) પ્રથમ,ગણ $A$ શોધો: $n^{2} - n \leq 10,000$. $n(n-1) \leq 10,000$ ઉકેલતા,આપણને $n \approx 100.5$ મળે છે,તેથી $A = \{1, 2, \ldots, 100\}$.
આગળ,$B - C$ શોધો: $B$ માં $3k+1$ સ્વરૂપની સંખ્યાઓ છે (જેમ કે $4, 7, 10, 13, 16, 19, \ldots$). $C$ માં બેકી સંખ્યાઓ છે. તેથી,$B - C$ માં $3k+1$ સ્વરૂપની એકી સંખ્યાઓ છે,જે $7, 13, 19, \ldots$ છે.
$B - C$ નું સામાન્ય પદ $m \geq 1$ માટે $6m + 1$ છે.
આપણને $A \cap (B - C) = \{n \in \{1, \ldots, 100\} \mid n = 6m + 1\}$ જોઈએ છે.
$m=1$ માટે,$n=7$; $m=16$ માટે,$n=97$. પદોની સંખ્યા $16$ છે.
સરવાળો સમાંતર શ્રેણી છે: $S = \frac{16}{2}(7 + 97) = 8 \times 104 = 832$.

(B) આપણે $\alpha \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ નો સરવાળો શોધવો છે જેથી $\operatorname{HCF}(\alpha, 24) = 1$ થાય.
$24 = 2^3 \times 3$ હોવાથી,$\operatorname{HCF}(\alpha, 24) = 1$ નો અર્થ એ છે કે $\alpha$ એ $2$ કે $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$1$ થી $100$ સુધીની તમામ સંખ્યાઓનો સરવાળો: $S(100) = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$.
$2$ ના ગુણકોનો સરવાળો: $2550$.
$3$ ના ગુણકોનો સરવાળો: $1683$.
$6$ ના ગુણકોનો સરવાળો: $816$.
આવશ્યક સરવાળો $= 5050 - (2550 + 1683 - 816) = 5050 - 3417 = 1633$.

(B) પ્રથમ,ગણ $A$ માટે ઉકેલો: $|x + 1| < 2 \implies -2 < x + 1 < 2 \implies -3 < x < 1$. તેથી,$A = (-3, 1)$.
ત્યારબાદ,ગણ $B$ માટે ઉકેલો: $|x - 1| \geq 2 \implies x - 1 \leq -2$ અથવા $x - 1 \geq 2 \implies x \leq -1$ અથવા $x \geq 3$. તેથી,$B = (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.
હવે,વિકલ્પો ચકાસો:
$A - B = (-3, 1) - ((-\infty, -1] \cup [3, \infty)) = (-1, 1)$. આ સાચું છે.
$B - A = ((-\infty, -1] \cup [3, \infty)) - (-3, 1) = (-\infty, -3] \cup [3, \infty) = R - (-3, 3)$. વિધાન $B - A = R - (-3, 1)$ ખોટું છે.
$A \cap B = (-3, 1) \cap ((-\infty, -1] \cup [3, \infty)) = (-3, -1]$. આ સાચું છે.
$A \cup B = (-3, 1) \cup (-\infty, -1] \cup [3, \infty) = (-\infty, 1) \cup [3, \infty) = R - [1, 3)$. આ સાચું છે.
તેથી,જે વિધાન સાચું નથી તે વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ગણ $B$ માં $2$ થી $200$ સુધીની બેકી સંખ્યાઓ છે. ગણ $A$ માં એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ છે કે જેથી $H.C.F.(n, 45) = 1$ થાય. $45 = 3^2 \times 5$ હોવાથી,$H.C.F.(n, 45) = 1$ નો અર્થ છે કે $n$ એ $3$ વડે કે $5$ વડે વિભાજ્ય નથી.
આમ,$A \cap B$ માં $[2, 200]$ ની એવી બેકી સંખ્યાઓ છે જે $3$ કે $5$ વડે વિભાજ્ય નથી.
ધારો કે $S$ એ $2$ થી $200$ સુધીની તમામ બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે: $S = 2(1 + 2 + \ldots + 100) = 10100$.
ધારો કે $S_3$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે (એટલે કે $6$ ના ગુણકો): $6 + 12 + \ldots + 198 = 3366$.
ધારો કે $S_5$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે (એટલે કે $10$ ના ગુણકો): $10 + 20 + \ldots + 200 = 2100$.
ધારો કે $S_{15}$ એ $3$ અને $5$ બંને વડે વિભાજ્ય બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે (એટલે કે $30$ ના ગુણકો): $30 + 60 + 90 + 120 + 150 + 180 = 630$.
ગણતરી મુજબ,$A \cap B$ ના ઘટકોનો સરવાળો $S - (S_3 + S_5 - S_{15}) = 10100 - (3366 + 2100 - 630) = 5264$ થાય.

(A) ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^7 = 128$ છે.
આપણે $n(B \cup C) = n(A) - n(B^c \cap C^c)$ શોધવાની જરૂર છે.
$B^c = \{T \subseteq A : 1 \in T \text{ અને } 2 \notin T\}$.
$C^c = \{T \subseteq A : T \text{ ના ઘટકોનો સરવાળો અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી (0 સહિત)}\}$.
$B^c$ માટે,$T = \{1\} \cup S$,જ્યાં $S \subseteq \{3, 4, 5, 6, 7\}$.
$T$ ના ઘટકોનો સરવાળો $1 + \text{sum}(S)$ છે.
આપણે $1 + \text{sum}(S)$ અવિભાજ્ય ન હોય તેવા $S$ શોધવાની જરૂર છે.
ગણતરી કરતા,$n(B^c \cap C^c) = 21$ મળે છે.
તેથી,$n(B \cup C) = 128 - 21 = 107$.

(B) આપેલ છે કે $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ અને $B = \{3, 6, 7, 9\}$.
$A$ ના ઉપગણોની કુલ સંખ્યા $2^{|A|} = 2^7 = 128$ છે.
આપણે એવા ઉપગણો $C \subseteq A$ શોધવા છે કે જેથી $C \cap B \neq \phi$ થાય.
આ સંખ્યા $A$ ના કુલ ઉપગણોમાંથી એવા ઉપગણો $C \subseteq A$ બાદ કરવાથી મળે કે જેના માટે $C \cap B = \phi$ હોય.
$C \cap B = \phi$ નો અર્થ છે કે $C$ એ $A \setminus B$ નો ઉપગણ હોવો જોઈએ.
$A \setminus B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \setminus \{3, 6, 7, 9\} = \{1, 2, 4, 5\}$.
આવા ઉપગણો $C$ ની સંખ્યા $2^{|A \setminus B|} = 2^4 = 16$ છે.
તેથી,$C \subseteq A$ કે જેના માટે $C \cap B \neq \phi$ હોય તેની સંખ્યા $128 - 16 = 112$ છે.

(D) ધારો કે કુલ ઉમેદવારોની સંખ્યા $100$ છે.
આપેલ છે કે $60 \%$ સ્ત્રીઓ અને $40 \%$ પુરુષો છે,તેથી $60$ સ્ત્રીઓ અને $40$ પુરુષો છે.
પરીક્ષા પાસ કરનાર કુલ ઉમેદવારો $= 100$ ના $60 \% = 60$.
ધારો કે પરીક્ષા પાસ કરનાર પુરુષોની સંખ્યા $x$ છે.
તો પરીક્ષા પાસ કરનાર સ્ત્રીઓની સંખ્યા $2x$ છે.
કુલ પાસ થયેલ ઉમેદવારો $60$ હોવાથી,$x + 2x = 60$,જે $3x = 60$ આપે છે,તેથી $x = 20$.
આમ,પાસ થયેલ પુરુષોની સંખ્યા $20$ છે અને પાસ થયેલ સ્ત્રીઓની સંખ્યા $2 \times 20 = 40$ છે.
પાસ થયેલ $60$ ઉમેદવારોમાંથી એક ઉમેદવારને યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે.
પસંદ કરેલ ઉમેદવાર સ્ત્રી હોય તેની સંભાવના $= \frac{\text{પાસ થયેલ સ્ત્રીઓની સંખ્યા}}{\text{પાસ થયેલ કુલ ઉમેદવારો}} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.

(D) $S$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $2022$ છે.
$2022$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2 \times 3 \times 337$ છે.
આપણે એવા $n \in S$ શોધવાના છે કે જેના માટે $\operatorname{HCF}(n, 2022) = 1$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે આપણે એવી સંખ્યાઓ શોધવાની છે જે $2, 3,$ અથવા $337$ વડે વિભાજ્ય ન હોય.
ગણતરી મુજબ,$2, 3,$ અથવા $337$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $1350$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામો $= 2022 - 1350 = 672$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{672}{2022} = \frac{112}{337}$.

(C) આપેલ છે કે $S = \{4, 6, 9\}$ અને $T = \{9, 10, 11, \ldots, 1000\}$.
ગણ $A$ એ $S$ ના ઘટકોના તમામ શક્ય સરવાળાનો ગણ છે. આનો અર્થ એ છે કે $n = 4x + 6y + 9z$ સ્વરૂપની તમામ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $n$ શોધવી,જ્યાં $x, y, z \in \{0, 1, 2, \ldots\}$ અને $x+y+z \geq 1$.
આપણે $T$ ના ઘટકો તપાસીએ:
$9 = 9$ ($A$ માં છે)
$10 = 4 + 6$ ($A$ માં છે)
$11$: જો $11 = 4x + 6y + 9z$ હોય,તો $z=0$ માટે $4x+6y=11$ (શક્ય નથી) અને $z=1$ માટે $4x+6y=2$ (શક્ય નથી). તેથી,$11 \notin A$.
$12 = 4 + 4 + 4$ ($A$ માં છે).
$12$ થી મોટી તમામ સંખ્યાઓ $A$ માં છે. તેથી,$T - A = \{11\}$.
આમ,$T - A$ ના ઘટકોનો સરવાળો $11$ થાય છે.

(A) $26$ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવા કુલ ચાર અક્ષરના શબ્દોની સંખ્યા $26^4 = 456976$ છે.
માત્ર $V$ (સ્વરો) ના અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવા ચાર અક્ષરના શબ્દોની સંખ્યા $5^4 = 625$ છે.
માત્ર $C$ (વ્યંજનો) ના અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવા ચાર અક્ષરના શબ્દોની સંખ્યા $21^4 = 194481$ છે.
ઓછામાં ઓછો એક સ્વર અને ઓછામાં ઓછો એક વ્યંજન ધરાવતા શબ્દોની સંખ્યા કુલ શબ્દોમાંથી માત્ર સ્વરો ધરાવતા શબ્દો અને માત્ર વ્યંજનો ધરાવતા શબ્દો બાદ કરવાથી મળે છે.
શબ્દોની સંખ્યા $= 26^4 - 5^4 - 21^4$
$= 456976 - 625 - 194481$
$= 261870$.

(B) આપણને $S = \{(x, y) : x, y \in \mathbb{Z}, 0 \leq x, y \leq 18\}$ આપેલ છે.
આપણે $(x, y) \in S$ ની એવી જોડીઓની સંખ્યા શોધવાની છે કે જેથી $3x + 4y + 5 \equiv 0 \pmod{19}$ થાય.
આ સમીકરણ $3x + 4y \equiv 14 \pmod{19}$ ને સમાન છે.
દરેક $x \in \{0, 1, \dots, 18\}$ માટે,$4y \equiv 14 - 3x \pmod{19}$ થાય.
અહીં $\gcd(4, 19) = 1$ હોવાથી,દરેક $x$ માટે $y$ ની એક અનન્ય કિંમત મળે છે.
$4$ નો $19$ ની સાપેક્ષ વ્યસ્ત $5$ છે,તેથી $y \equiv 5(14 - 3x) \equiv 13 + 4x \pmod{19}$.
$x$ ની $19$ શક્ય કિંમતો માટે,$y$ ની પણ $19$ શક્ય કિંમતો મળે છે.
તેથી,કુલ $19$ જોડીઓ શક્ય છે.

(D) ધારો કે $n = 5$. દરેક ઘટક $x \in X$ માટે ચાર શક્યતાઓ છે. કુલ જોડીઓ $4^5 = 1024$ છે. સમાવેશ-બાકાત (Inclusion-Exclusion) ના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$d = 781$ મળે છે. તેથી,$d > 201$ હોવાથી વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(A) ધારો કે સમદ્વિબાજુ સમલંબ ચતુષ્કોણની સમાંતર બાજુઓ $a$ અને $b$ છે,અને અસમાંતર બાજુઓ $c$ છે. વિકર્ણ $d$ છે. લંબાઈઓનો ગણ $\{a, b, c, d\} = \{a, b\}$ છે.
$a > b$ હોવાથી,બાજુઓ $a, b, a, a$ અને વિકર્ણ $d = a$ અથવા $d = b$ હોવા જોઈએ.
જો $c=b$ અને $d=a$ હોય,તો $a^2 = b^2 + ab$ મળે.
$b^2$ વડે ભાગતા,$(a/b)^2 - (a/b) - 1 = 0$ મળે.
$x = a/b$ લેતા,$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ મળે.

(D) ધારો કે $n$ એ $10a + b$ તરીકે દર્શાવેલ સંખ્યા છે,જ્યાં $b \in \{1, 2, \dots, 9\}$ એ એકમનો અંક છે અને $a$ એ એકમનો અંક દૂર કરીને બનતી સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $a$ એ $n$ ને ભાગે છે,તેથી $a | (10a + b)$.
આનો અર્થ એ છે કે $a | b$.
$b$ એ શૂન્યતર અંક હોવાથી,$b \in \{1, 2, \dots, 9\}$.
આપેલ $b$ માટે,$a$ એ $b$ નો ભાજક હોવો જોઈએ.
જો $a$ એ $k$-અંકની સંખ્યા હોય,તો $10^{k-1} \leq a < 10^k$.
$k=1$ માટે,$a \in \{1, 2, \dots, 9\}$. $a|b$ થાય તેવી જોડીઓ $(a, b)$ નીચે મુજબ છે:
$b=1: a=1 \implies n=11$
$b=2: a=1, 2 \implies n=12, 22$
$b=3: a=1, 3 \implies n=13, 33$
$b=4: a=1, 2, 4 \implies n=14, 24, 44$
$b=5: a=1, 5 \implies n=15, 55$
$b=6: a=1, 2, 3, 6 \implies n=16, 26, 36, 66$
$b=7: a=1, 7 \implies n=17, 77$
$b=8: a=1, 2, 4, 8 \implies n=18, 28, 48, 88$
$b=9: a=1, 3, 9 \implies n=19, 39, 99$
આ ગણતરી કરતા,આપણને $1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 2 + 4 + 3 = 23$ સંખ્યાઓ મળે છે.
$k \geq 2$ માટે,$a \geq 10$,તેથી $a$ એ $b$ ને ભાગી શકે નહીં કારણ કે $a > b$. આમ,$k \geq 2$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,$K = 23$,જે $K < 25$ નું પાલન કરે છે.

(C) જાન્યુઆરી $1$ થી માર્ચ $31$ સુધીનો સમયગાળો સામાન્ય વર્ષમાં $31$ (જાન્યુઆરી) $+ 28$ (ફેબ્રુઆરી) $+ 31$ (માર્ચ) $= 90$ દિવસનો હોય છે,અથવા લિપ વર્ષમાં $31 + 29 + 31 = 91$ દિવસનો હોય છે.
જો તે લિપ વર્ષ હોય,તો કુલ $91$ દિવસ થાય,જે બરાબર $13$ અઠવાડિયા છે. આનો અર્થ એ થાય કે $13$ રવિવાર આવે,જે આપેલી માહિતી (બરાબર $12$ રવિવાર) સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
તેથી,તે સામાન્ય વર્ષ હોવું જોઈએ જેમાં $90$ દિવસ હોય. $90 = 12 \times 7 + 6$ હોવાથી,$12$ પૂર્ણ અઠવાડિયા અને $6$ વધારાના દિવસો મળે.
બરાબર $12$ રવિવાર મેળવવા માટે,$6$ વધારાના દિવસોમાં રવિવાર ન આવવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે સમયગાળો સોમવારથી શરૂ થઈને શનિવારે પૂરો થવો જોઈએ.
જો જાન્યુઆરી $1$ સોમવાર હોય,તો ફેબ્રુઆરી $15$ એ ગુરુવાર આવશે.

(D) ધારો કે ત્રણ અંકની સંખ્યા $N = 100x + 10y + z$ છે.
ગુણધર્મ $I$ પરથી: $(100x + 10z + y) - (100x + 10y + z) = 36$
$\Rightarrow 9z - 9y = 36$ $\Rightarrow z - y = 4$ (સમીકરણ $1$)
ગુણધર્મ $II$ પરથી: $(100x + 10y + z) - (100z + 10y + x) = 198$
$\Rightarrow 99x - 99z = 198$ $\Rightarrow x - z = 2$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા: $(x - z) + (z - y) = 2 + 4 \Rightarrow x - y = 6$.
હવે,જ્યારે દશક અને સોના સ્થાનના અંકોની અદલાબદલી થાય ત્યારે થતો ફેરફાર શોધીએ:
નવી સંખ્યા $N' = 100y + 10x + z$.
ફેરફાર $= N - N' = (100x + 10y + z) - (100y + 10x + z) = 90x - 90y = 90(x - y)$.
$x - y = 6$ મૂકતા: ફેરફાર $= 90 \times 6 = 540$.
આમ,સંખ્યા $540$ જેટલી ઘટે છે.

(B) ધારો કે શરૂઆતમાં છોકરાઓની સંખ્યા $x$ અને છોકરીઓની સંખ્યા $y$ છે.
$1/5$ છોકરાઓ ગયા પછી,બાકી રહેલા છોકરાઓ $4x/5$ છે.
ગુણોત્તર $4x/5 : y = 2:3$ છે,તેથી $y = 1.2x$.
$44$ છોકરીઓ ગયા પછી,છોકરીઓની સંખ્યા $y - 44$ થાય છે.
નવો ગુણોત્તર $(4x/5) / (y - 44) = 5/2$ છે.
ઉકેલતા $x=50$ અને $y=60$ મળે છે.
બાકી રહેલા છોકરાઓ $40$ અને છોકરીઓ $60-44=16$ છે.
સમાન કરવા માટે $40-z=16$,તેથી $z=24$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 - y^2 = 12345678$ છે,જ્યાં $x, y \in \mathbb{Z}^+$.
આને $(x - y)(x + y) = 12345678$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય.
નોંધો કે $(x - y)$ અને $(x + y)$ સમાન પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ કારણ કે તેમનો સરવાળો $(x - y) + (x + y) = 2x$ એ બેકી સંખ્યા છે.
જો $(x - y)$ અને $(x + y)$ બંને બેકી હોય,તો તેમનો ગુણાકાર $(x - y)(x + y)$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
$12345678$ ની $4$ વડે વિભાજ્યતા તપાસતા: $78$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય નથી,તેથી $12345678$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય નથી.
ગુણાકાર $4$ વડે વિભાજ્ય ન હોવાથી,$x$ અને $y$ માટે કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલો નથી.
તેથી,$S$ એ ખાલી ગણ છે.

(A) ધારો કે $|A_i| = n_i$ જ્યાં $i = 1, 2, \ldots, m$. કારણ કે ગણો પરસ્પર અલગ છે અને તે $100$ ઘટકો ધરાવતા ગણના ઉપગણો છે,તેથી તેમના કદનો સરવાળો નીચે મુજબ હોવો જોઈએ:
$\sum_{i=1}^{m} |A_i| \leq 100$.
કારણ કે $|A_i|$ એ ભિન્ન ધન પૂર્ણાંકો છે,$m$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $|A_i|$ માટે શક્ય સૌથી નાના ભિન્ન ધન પૂર્ણાંકો પસંદ કરીશું.
તેથી,$1 + 2 + 3 + \ldots + m \leq 100$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ $m$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{m(m+1)}{2}$ છે.
તેથી,$\frac{m(m+1)}{2} \leq 100$,જેનો અર્થ છે કે $m(m+1) \leq 200$.
$m = 13$ માટે,$13 \times 14 = 182 \leq 200$ (સાચું).
$m = 14$ માટે,$14 \times 15 = 210 > 200$ (ખોટું).
આમ,$m$ ની મહત્તમ કિંમત $13$ છે.

(D) ધારો કે કુલ બેઠકોની સંખ્યા $x$ છે.
બેઠક દીઠ ટિકિટની કિંમત $= ₹ 200$.
પ્રથમ દિવસે,$60 \%$ બેઠકો ભરાઈ હતી,તેથી પ્રેક્ષકોની સંખ્યા $= 0.6x$.
પ્રથમ દિવસે કુલ આવક $= 0.6x \times 200 = 120x$.
બીજા દિવસે,કિંમતમાં $20 \%$ નો ઘટાડો થયો,તેથી નવી કિંમત $= 200 - (0.20 \times 200) = ₹ 160$.
પ્રેક્ષકોની સંખ્યામાં $50 \%$ નો વધારો થયો,તેથી પ્રેક્ષકોની નવી સંખ્યા $= 0.6x + (0.50 \times 0.6x) = 0.6x + 0.3x = 0.9x$.
બીજા દિવસે કુલ આવક $= 0.9x \times 160 = 144x$.
આવકમાં ટકાવારી વધારો $= \frac{144x - 120x}{120x} \times 100 = \frac{24x}{120x} \times 100 = \frac{1}{5} \times 100 = 20 \%$.

(C) માં ઘટકોની મહત્તમ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $S$ ને $5$ વડે ભાગતા મળતી શેષના આધારે વિભાજિત કરીએ છીએ:
$R_0 = \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40\}$ (શેષ $0$,કદ $8$)
$R_1 = \{1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36\}$ (શેષ $1$,કદ $8$)
$R_2 = \{2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37\}$ (શેષ $2$,કદ $8$)
$R_3 = \{3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38\}$ (શેષ $3$,કદ $8$)
$R_4 = \{4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39\}$ (શેષ $4$,કદ $8$)
$A$ ના કોઈપણ બે ઘટકોનો સરવાળો $5$ વડે વિભાજ્ય ન થાય તે માટે,આપણે એવા ઘટકો પસંદ કરવા જોઈએ કે જેમની શેષનો સરવાળો $5$ કે $0$ (mod $5$) ન થાય.
$1$. આપણે $R_0$ માંથી વધુમાં વધુ એક ઘટક પસંદ કરી શકીએ છીએ.
$2$. આપણે $R_1$ માંથી બધા ઘટકો પસંદ કરી શકીએ છીએ.
$3$. આપણે $R_2$ માંથી બધા ઘટકો પસંદ કરી શકીએ છીએ.
આમ,કુલ ઘટકો = $8 + 8 + 1 = 17$.

(A) $12$-કલાકની ઘડિયાળ $12$ કલાક અને $60$ મિનિટના ચક્રમાં ચાલે છે. એક આખો દિવસ $24$ કલાક અથવા $1440$ મિનિટનો હોય છે.
પ્રથમ,એક કલાકમાં આવતી મિનિટો શોધો જેમાં અંક $1$ દેખાય છે: $01, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31, 41, 51$. આવી $15$ મિનિટ છે.
દરેક કલાકમાં,ઘડિયાળ આ $15$ મિનિટ માટે ખોટો સમય બતાવે છે. વધુમાં,$01, 10, 11, 12$ કલાકમાં,ઘડિયાળ તમામ $60$ મિનિટ માટે ખોટો સમય બતાવે છે.
$12$-કલાકના ચક્રમાં કુલ ખોટી મિનિટો:
$8$ કલાક માટે જ્યાં કલાકના અંકમાં $1$ દેખાતો નથી $(02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09)$,ઘડિયાળ પ્રતિ કલાક $15$ મિનિટ માટે ખોટી છે: $8 \times 15 = 120$ મિનિટ.
$4$ કલાક માટે જ્યાં $1$ દેખાય છે $(01, 10, 11, 12)$,ઘડિયાળ તમામ $60$ મિનિટ માટે ખોટી છે: $4 \times 60 = 240$ મિનિટ.
$12$ કલાકમાં કુલ ખોટી મિનિટો = $120 + 240 = 360$ મિનિટ.
દિવસમાં બે $12$-કલાકના ચક્ર હોવાથી,દિવસમાં કુલ ખોટી મિનિટો = $360 \times 2 = 720$ મિનિટ.
દિવસની કુલ મિનિટો = $24 \times 60 = 1440$ મિનિટ.
સાચી મિનિટો = $1440 - 720 = 720$ મિનિટ.
સાચો સમય બતાવતો દિવસનો ભાગ = $\frac{720}{1440} = \frac{1}{2}$.

(D) ધારો કે વેચાયેલી કુલ $CDs$ ની સંખ્યા $x$ છે. મળેલા કુલ પૈસા $x^2$ રૂપિયા છે.
તેઓ વારાફરતી $10$ રૂપિયા લે છે,જે $x^2$ ને $10$ વડે ભાગવા જેવું છે.
$x^2 = 10q + r$,જ્યાં $0 \leq r < 10$.
લીલા પ્રથમ $10$ રૂપિયા લે છે,તેથી વારો આ મુજબ છે: લીલા,મદન,લીલા,મદન,...
જો $q$ એકી સંખ્યા હોય,તો છેલ્લો $10$ રૂપિયાનો હપ્તો લીલા લે છે અને બાકી રહેલી રકમ $r$ મદનને મળે છે.
જો $x=4$ હોય,તો $x^2=16 = 10(1)+6$. અહીં $q=1$ (એકી),તેથી $r=6$ મદનને મળે છે.
આમ,મદન પાસે $6$ રૂપિયા બાકી રહેશે.

(B) ધારો કે $C, F,$ અને $T$ એ અનુક્રમે ક્રિકેટ,ફૂટબોલ અને ટેનિસ પસંદ કરતા વિદ્યાર્થીઓના ગણ છે.
આપેલ છે: $n(C) = 74 \%$,$n(F) = 76 \%$,$n(T) = 82 \%$.
જે વિદ્યાર્થીઓ આ રમતો પસંદ કરતા નથી તેમની ટકાવારી:
$n(C^c) = 100 \% - 74 \% = 26 \%$
$n(F^c) = 100 \% - 76 \% = 24 \%$
$n(T^c) = 100 \% - 82 \% = 18 \%$
પૂરક ગણો માટે સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરતા,જે વિદ્યાર્થીઓ ઓછામાં ઓછી એક રમત પસંદ કરતા નથી તેમની ટકાવારી વધુમાં વધુ $n(C^c) + n(F^c) + n(T^c) = 26 \% + 24 \% + 18 \% = 68 \%$ છે.
જે વિદ્યાર્થીઓ ત્રણેય રમતો પસંદ કરે છે તેમની ટકાવારી ઓછામાં ઓછી $100 \% - (n(C^c) + n(F^c) + n(T^c)) = 100 \% - 68 \% = 32 \%$ છે.

(B) ટીમ $A$ દ્વારા એક દિવસમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{12}$.
ટીમ $B$ દ્વારા એક દિવસમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{36}$.
પ્રથમ $4$ દિવસમાં ટીમ $A$ દ્વારા થયેલું કામ $= 4 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{3}$.
આગામી $2$ દિવસમાં ટીમ $A$ અને $B$ દ્વારા સાથે થયેલું કામ $= 2 \times (\frac{1}{12} + \frac{1}{36}) = 2 \times (\frac{3+1}{36}) = 2 \times \frac{4}{36} = \frac{2}{9}$.
$6$ દિવસમાં થયેલું કુલ કામ $= \frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{3+2}{9} = \frac{5}{9}$.
બાકી રહેલું કામ $= 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
ટીમ $B$ તેની કાર્યક્ષમતા બમણી કરે છે,તેથી નવી કાર્યક્ષમતા $= 2 \times \frac{1}{36} = \frac{1}{18}$.
ટીમ $B$ ને બાકીનું કામ પૂર્ણ કરવા માટે જરૂરી વધારાના દિવસો $= \frac{4/9}{1/18} = \frac{4}{9} \times 18 = 8$ દિવસ.

(C) ધારો કે $2$-અંકની સંખ્યા $10a + b$ છે,જ્યાં $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ અને $b \in \{0, 1, \dots, 9\}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$10a + b = 4(a! + b!)$.
$10a + b \leq 99$ હોવાથી,$4(a! + b!) \leq 99$,એટલે કે $a! + b! \leq 24.75$.
આથી $a$ અને $b$ ની કિંમતો $4$ થી ઓછી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
શક્ય કિંમતો તપાસતા,$a=1$ માટે $12$ અને $a=3$ માટે $32$ મળે છે.
તેથી,$A = \{12, 32\}$.
સરવાળો $= 12 + 32 = 44$.

(B) ધારો કે $x$ એ ત્રણેય વિષયો પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે.
વેન આકૃતિની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા એ તમામ અલગ-અલગ ભાગોનો સરવાળો છે:
$100 = 15 + 3 + 45 + (23 - x) + (20 - x) + (12 - x) + x$
$100 = 63 + 55 - 2x$
$100 = 118 - 2x$
$2x = 118 - 100$
$2x = 18$
$x = 9$
આમ,ત્રણેય વિષયો પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $9$ છે.

(A) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 5, 7, 10, 11\}$. ઘટકોને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષ મુજબ વર્ગીકૃત કરીએ:
$R_0 = \{3\}$ (સંખ્યા $n_0 = 1$)
$R_1 = \{1, 7, 10\}$ (સંખ્યા $n_1 = 3$)
$R_2 = \{2, 5, 11\}$ (સંખ્યા $n_2 = 3$)
ગણતરી કરતા,$3$ નો ગુણક હોય તેવા કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $43$ મળે છે.
ખાલી ગણને બાદ કરતા,અરિક્ત ઉપગણોની સંખ્યા $43 - 1 = 42$ થાય.

(B) $3$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $900$ છે.
$3$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $= 300$.
$4$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $= 225$.
$3$ અને $4$ બંને વડે વિભાજ્ય (એટલે કે $12$ વડે વિભાજ્ય) સંખ્યાઓ $= 75$.
$3$ અથવા $4$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $= 300 + 225 - 75 = 450$.
હવે,$48$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ બાદ કરવી પડે,જેની સંખ્યા $18$ છે.
આમ,જરૂરી સંખ્યા $= 450 - 18 = 432$.

(A) આપણે $1000 \le x \le 2800$ ની વચ્ચે એવી સંખ્યાઓ શોધવાની છે જે $3$ અથવા $11$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
$3$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $(A)$: $1002$ થી $2799$ સુધી,$n = 600$.
$11$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $(B)$: $1000$ થી $2800$ સુધી,$254 - 90 = 164$.
$33$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $(A \cap B)$: $1000$ થી $2800$ સુધી,$84 - 30 = 54$.
કુલ સંખ્યા = $600 + 164 - 54 = 710$.

(C) ધારો કે $S$ એ $3$-અંકની સંખ્યાઓનો ગણ છે,$|S| = 900$.
$A$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે,$|A| = 450$.
$B$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે,$|B| = 300$.
$C$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે,$|C| = 128$.
$|A \cap B| = 150$,$|A \cap C| = 64$,$|B \cap C| = 43$,$|A \cap B \cap C| = 21$.
આપણે $|(A \cup B) \setminus C|$ શોધવાનું છે.
$|A \cup B| = 450 + 300 - 150 = 600$.
$|(A \cup B) \cap C| = 64 + 43 - 21 = 86$.
પરિણામ $= 600 - 86 = 514$.

(C) ધારો કે $|A|=48$,$|B|=25$,અને $|C|=18$.
ઓછામાં ઓછો એક મેડલ મેળવનાર પુરુષોની કુલ સંખ્યા $|A \cup B \cup C|=60$ છે.
ત્રણેય ઇવેન્ટમાં મેડલ મેળવનાર પુરુષોની સંખ્યા $|A \cap B \cap C|=5$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$|A \cup B \cup C| = (|A| |B| |C|) - (|A \cap B| |B \cap C| |C \cap A|) |A \cap B \cap C|$.
$S_1 = |A| |B| |C| = 48 25 18 = 91$.
$S_2 = |A \cap B| |B \cap C| |C \cap A|$.
$60 = 91 - S_2 5$.
$S_2 = 91 5 - 60 = 36$.
બરાબર બે ઇવેન્ટમાં મેડલ મેળવનાર પુરુષોની સંખ્યા:
$N({\text{બરાબર બે}}) = S_2 - 3|A \cap B \cap C|$.
$N({\text{બરાબર બે}}) = 36 - 3(5) = 36 - 15 = 21$.

(A) આપણે $n \in \mathbb{N}$ શોધવાનું છે જેથી $10 \leq n \leq 100$ અને $3^n - 3 \equiv 0 \pmod{7}$ થાય.
આ $3^n \equiv 3 \pmod{7}$ ને સમાન છે.
$n=1$ માટે,$3^1 = 3 \equiv 3 \pmod{7}$.
$n=2$ માટે,$3^2 = 9 \equiv 2 \pmod{7}$.
$n=3$ માટે,$3^3 = 27 \equiv 6 \pmod{7}$.
$n=4$ માટે,$3^4 = 81 \equiv 4 \pmod{7}$.
$n=5$ માટે,$3^5 = 243 \equiv 5 \pmod{7}$.
$n=6$ માટે,$3^6 = 729 \equiv 1 \pmod{7}$.
$3 \pmod{7}$ ની ઘાત $6$ ના ચક્રમાં પુનરાવર્તિત થાય છે: $(3, 2, 6, 4, 5, 1)$.
આપણને $3^n \equiv 3 \pmod{7}$ જોઈએ છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $n \equiv 1 \pmod{6}$ હોય.
તેથી,$n$ એ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે $6k + 1$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ.
આપણી પાસે $10 \leq 6k + 1 \leq 100$ છે.
$9 \leq 6k \leq 99$.
$1.5 \leq k \leq 16.5$.
$k$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$k \in \{2, 3, 4, \dots, 16\}$.
કિંમતોની સંખ્યા $16 - 2 + 1 = 15$ છે.

(B) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, \ldots, 50\}$,તેથી કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 50$ છે.
ધારો કે $A, B,$ અને $C$ એ $S$ માં $4, 6,$ અને $7$ ના ગુણકોના ગણ છે.
$A = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48\} \implies n(A) = 12$.
$B = \{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48\} \implies n(B) = 8$.
$C = \{7, 14, 21, 28, 35, 42, 49\} \implies n(C) = 7$.
હવે,છેદગણ શોધો:
$A \cap B = \{12, 24, 36, 48\} \implies n(A \cap B) = 4$.
$B \cap C = \{42\} \implies n(B \cap C) = 1$.
$A \cap C = \{28\} \implies n(A \cap C) = 1$.
$A \cap B \cap C = \emptyset \implies n(A \cap B \cap C) = 0$.
સંવર્ધન-વર્જનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C)$.
$n(A \cup B \cup C) = 12 + 8 + 7 - 4 - 1 - 1 + 0 = 21$.
જરૂરી સંભાવના $\frac{n(A \cup B \cup C)}{n(S)} = \frac{21}{50}$ છે.

(A) ધારો કે $n(M)=20$,$n(P)=25$,$n(C)=16$,અને $n(M \cup P \cup C)=40$. ધારો કે $x$ એ ત્રણેય વિષયોમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે.
સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરતા:
$n(M \cup P \cup C) = n(M) + n(P) + n(C) - [n(M \cap P) + n(P \cap C) + n(M \cap C)] + n(M \cap P \cap C)$
$40 = 20 + 25 + 16 - [n(M \cap P) + n(P \cap C) + n(M \cap C)] + x$
$40 = 61 - [n(M \cap P) + n(P \cap C) + n(M \cap C)] + x$
$[n(M \cap P) + n(P \cap C) + n(M \cap C)] = 21 + x$
આપણને આપેલ છે કે $n(M \cap P) \leq 11$,$n(P \cap C) \leq 15$,અને $n(M \cap C) \leq 15$.
આ અસમતાઓનો સરવાળો કરતા: $n(M \cap P) + n(P \cap C) + n(M \cap C) \leq 11 + 15 + 15 = 41$.
સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંતમાંથી મળેલ પદ મૂકતા:
$21 + x \leq 41 \Rightarrow x \leq 20$.
વળી,$x$ એ કોઈપણ બે ગણના છેદગણ કરતા નાનો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ,તેથી $x \leq 11$. વેન આકૃતિની તર્ક સાથે શરતો તપાસતા,બધી શરતો સંતોષતી મહત્તમ કિંમત $x = 10$ છે.

(B) આપણે $x + 2y + 3z = 42$ માટે અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે.
નિશ્ચિત $z$ માટે,$x + 2y = 42 - 3z$ ના ઉકેલોની સંખ્યા $y$ ના શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા છે,જે $\lfloor \frac{42 - 3z}{2} \rfloor + 1$ છે.
આપણે $z = 0, 1, 2, \dots, 14$ માટે સરવાળો કરીએ:
કુલ સરવાળો = $22 + 20 + 19 + 17 + 16 + 14 + 13 + 11 + 10 + 8 + 7 + 5 + 4 + 2 + 1 = 169$.

(B) ધારો કે $x$ એ ત્રણેય વિષયોનો અભ્યાસ કરતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે. ત્રણ ગણ $M, P, C$ ના યોગગણ માટે સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરતા:
$|M \cup P \cup C| = 220 - 10 = 210$.
આપણને આપેલ છે $|M \cap P| = 40$,$|P \cap C| = 30$,$|C \cap M| = 50$.
માત્ર $M$ નો અભ્યાસ કરતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $|M| - (40-x) - (50-x) - x = |M| - 90 x$ છે.
તે જ રીતે,માત્ર $P$ માટે $|P| - 70 x$ અને માત્ર $C$ માટે $|C| - 80 x$ છે.
કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા:
$|M \cup P \cup C| = (|M| |P| |C|) - (|M \cap P| |P \cap C| |C \cap M|) |M \cap P \cap C| = 210$.
$|M| |P| |C| - (40 30 50) x = 210 \Rightarrow |M| |P| |C| = 330 - x$.
આપેલ છે $125 \leq |M| \leq 130$,$85 \leq |P| \leq 95$,$75 \leq |C| \leq 90$.
સરવાળો કરતા: $285 \leq |M| |P| |C| \leq 315$.
$|M| |P| |C| = 330 - x$ મુકતા:
$285 \leq 330 - x \leq 315$.
$-45 \leq -x \leq -15 \Rightarrow 15 \leq x \leq 45$.
વધુમાં,વેન આકૃતિ મુજબ,દરેક વિભાગમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા અ-ઋણ હોવી જોઈએ:
$40-x \geq 0, 30-x \geq 0, 50-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 30$.
$15 \leq x \leq 45$ અને $x \leq 30$ ને જોડતા,આપણને $15 \leq x \leq 30$ મળે છે.
આમ,$m = 15$ અને $n = 30$.
$m n = 15 30 = 45$.

(A) ગણ $[100, 700]$ માં કુલ પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $700 - 100 + 1 = 601$ છે.
ધારો કે $S_3$ એ $[100, 700]$ માં $3$ ના ગુણકોનો ગણ છે. ગુણકો $102, 105, \dots, 699$ છે. $T_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,$699 = 102 + (n-1)3$,જે $n = 200$ આપે છે.
ધારો કે $S_4$ એ $[100, 700]$ માં $4$ ના ગુણકોનો ગણ છે. ગુણકો $100, 104, \dots, 700$ છે. $700 = 100 + (n-1)4$,જે $n = 151$ આપે છે.
ધારો કે $S_{12}$ એ $[100, 700]$ માં $3$ અને $4$ બંનેના ગુણકો (એટલે કે $12$ ના ગુણકો) નો ગણ છે. ગુણકો $108, 120, \dots, 696$ છે. $696 = 108 + (n-1)12$,જે $n = 50$ આપે છે.
ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝન સિદ્ધાંત દ્વારા,$3$ અથવા $4$ ના ગુણકો હોય તેવા ઘટકોની સંખ્યા $n(S_3 \cup S_4) = n(S_3) + n(S_4) - n(S_{12}) = 200 + 151 - 50 = 301$ છે.
$A$ માં ઘટકોની સંખ્યા કુલ ઘટકોમાંથી $3$ અથવા $4$ ના ગુણકો બાદ કરતા મળે છે: $601 - 301 = 300$.

(B) $X$ નું $n$-મું પદ $a_n = 1 + (n-1)5 = 5n - 4$ છે. $n=2018$ માટે,$a_{2018} = 10086$ છે.
$Y$ નું $n$-મું પદ $b_n = 9 + (n-1)7 = 7n + 2$ છે. $n=2018$ માટે,$b_{2018} = 14128$ છે.
સામાન્ય પદો $X \cap Y$ માટે $5n - 4 = 7m + 2$ થાય,જે $5n = 7m + 6$ સૂચવે છે. સૌથી નાનો ઉકેલ $n=4, m=2$ છે,જે $16$ આપે છે. સામાન્ય તફાવત $\text{lcm}(5, 7) = 35$ છે.
સામાન્ય પદો $16, 51, 86, \dots$ છે. સામાન્ય પદ $c_k = 16 + (k-1)35 = 35k - 19$ છે.
આપણે $c_k \leq 10086$ જોઈએ: $35k - 19 \leq 10086 \implies 35k \leq 10105 \implies k \leq 288.71$.
તેથી,$n(X \cap Y) = 288$.
ગણના સિદ્ધાંત મુજબ: $n(X \cup Y) = n(X) + n(Y) - n(X \cap Y) = 2018 + 2018 - 288 = 3748$.

(B) ધારો કે $A$ એ $\{1, 2, \ldots, 2000\}$ શ્રેણીમાં $3$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે.
$n(A) = \lfloor \frac{2000}{3} \rfloor = 666$.
ધારો કે $B$ એ $\{1, 2, \ldots, 2000\}$ શ્રેણીમાં $7$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે.
$n(B) = \lfloor \frac{2000}{7} \rfloor = 285$.
ધારો કે $A \cap B$ એ $3$ અને $7$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે,એટલે કે $\text{lcm}(3, 7) = 21$ વડે વિભાજ્ય.
$n(A \cap B) = \lfloor \frac{2000}{21} \rfloor = 95$.
સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરતા,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 666 + 285 - 95 = 856$.
સંભાવના $p = \frac{n(A \cup B)}{2000} = \frac{856}{2000}$.
તેથી,$500p = 500 \times \frac{856}{2000} = \frac{856}{4} = 214$.

(A) $n(U) = 900$
ધારો કે $A \equiv \text{તાવ}$,$B \equiv \text{ઉધરસ}$,$C \equiv \text{શ્વાસ લેવામાં તકલીફ}$.
આપેલ છે: $n(A) = 190, n(B) = 220, n(C) = 220$,
$n(A \cup B) = 330, n(B \cup C) = 350, n(A \cup C) = 340, n(A \cap B \cap C) = 30$.
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$330 = 190 + 220 - n(A \cap B) \Rightarrow n(A \cap B) = 80$.
તે જ રીતે,$350 = 220 + 220 - n(B \cap C) \Rightarrow n(B \cap C) = 90$.
અને $340 = 190 + 220 - n(A \cap C) \Rightarrow n(A \cap C) = 70$.
હવે,$n(A \cup B \cup C) = (n(A) + n(B) + n(C)) - (n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(A \cap C)) + n(A \cap B \cap C)$
$= (190 + 220 + 220) - (80 + 90 + 70) + 30 = 630 - 240 + 30 = 420$.
કોઈપણ લક્ષણ વગરની વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= n(U) - n(A \cup B \cup C) = 900 - 420 = 480$.
ચોક્કસ એક લક્ષણ ધરાવતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= (n(A) + n(B) + n(C)) - 2(n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(A \cap C)) + 3n(A \cap B \cap C)$
$= (190 + 220 + 220) - 2(80 + 90 + 70) + 3(30) = 630 - 480 + 90 = 240$.
વધુમાં વધુ એક લક્ષણ ધરાવતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 480 + 240 = 720$.
સંભાવના $= \frac{720}{900} = \frac{8}{10} = 0.80$.

(A) ધારો કે $S = \{p_1, p_2, \ldots, p_{10}\}$. ગણ $P$ એ $S$ ના ભિન્ન ઘટકોના ગુણાકારોનો બનેલો છે. ગણ $A = S \cup P$ માં $S$ ના $k$ ભિન્ન ઘટકોના તમામ ગુણાકારોનો સમાવેશ થાય છે,જ્યાં $k = 1, 2, \ldots, 10$.
નિશ્ચિત $x \in S$ માટે,આપણે $y \in A$ ની સંખ્યા શોધવાની છે જેથી $x$ એ $y$ ને ભાગે.
જો $y = p_{i_1} p_{i_2} \ldots p_{i_k}$ હોય,તો $x$ એ $y$ ને ત્યારે જ ભાગે જો $x \in \{p_{i_1}, \ldots, p_{i_k}\}$ હોય.
નિશ્ચિત $x = p_j$ માટે,આવા ગુણાકારો $y$ ની સંખ્યા એ $S$ ના એવા ઉપગણોની સંખ્યા છે જેમાં $p_j$ નો સમાવેશ થાય છે.
$S$ માં $10$ ઘટકો હોવાથી,ચોક્કસ ઘટક $p_j$ ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા $2^{10-1} = 2^9 = 512$ છે.
$x \in S$ માટે $10$ વિકલ્પો હોવાથી,ક્રમિત જોડીઓ $(x, y)$ ની કુલ સંખ્યા $10 \times 512 = 5120$ છે.

(C) ગણ $A$ એ $a_1 = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d_1 = 5$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે. $2025$ મું પદ $T_{2025} = 1 + (2025 - 1) \times 5 = 10121$ છે.
ગણ $B$ એ $a_2 = 9$ અને સામાન્ય તફાવત $d_2 = 7$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે. $2025$ મું પદ $T'_{2025} = 9 + (2025 - 1) \times 7 = 14177$ છે.
છેદગણ $A \cap B$ માં બંનેમાં સામાન્ય પદો છે. પ્રથમ સામાન્ય પદ $16$ છે. $A \cap B$ નો સામાન્ય તફાવત $\text{lcm}(5, 7) = 35$ છે.
$A \cap B$ નું સામાન્ય પદ $T_n = 16 + (n - 1) \times 35$ છે.
આપણે $T_n \leq 10121$ ની જરૂર છે.
$16 + (n - 1) \times 35 \leq 10121$ $\Rightarrow n - 1 \leq 288.71$ $\Rightarrow n \leq 289.71$.
આમ,$289$ સામાન્ય પદો છે.
સૂત્ર $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા,$n(A \cup B) = 2025 + 2025 - 289 = 3761$ મળે છે.

(C) ધારો કે સમાચારપત્રોની સંખ્યા $N$ છે.
વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા કરવામાં આવતા કુલ વાંચન સત્રો $= 300 \times 5 = 1500$.
દરેક સમાચારપત્ર $60$ વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા વાંચવામાં આવતું હોવાથી,કુલ વાંચન સત્રો $60 \times N$ પણ થાય.
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$60 \times N = 1500$
$N = \frac{1500}{60} = 25$.
આમ,સમાચારપત્રોની સંખ્યા $25$ છે.

(D) આપેલ છે કે $P(A \cup B) = 0.6$ અને $P(A \cap B) = 0.2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A') = 1 - P(A)$ અને $P(B') = 1 - P(B)$.
તેથી,$P(A') + P(B') = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P(A) + P(B) = 0.6 + 0.2 = 0.8$.
અંતે,$P(A') + P(B') = 2 - 0.8 = 1.2$.

(C) આપેલ છે કે $P(E_1 \cup E_2) = 0.6$ અને $P(E_1 \cap E_2) = 0.2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$.
કિંમતો મૂકતા: $0.6 = P(E_1) + P(E_2) - 0.2$,જેનો અર્થ છે કે $P(E_1) + P(E_2) = 0.8$.
આપણે $P(E_1') + P(E_2')$ શોધવાની જરૂર છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમ $P(E') = 1 - P(E)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(E_1') + P(E_2') = (1 - P(E_1)) + (1 - P(E_2)) = 2 - (P(E_1) + P(E_2))$.
સરવાળો $P(E_1) + P(E_2) = 0.8$ મૂકતા:
$P(E_1') + P(E_2') = 2 - 0.8 = 1.2$.

(A) ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$n(A' \cap B') = n((A \cup B)') = n(X) - n(A \cup B)$.
સૂત્ર $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n(A \cup B) = 200 + 300 - 100 = 400$.
હવે,$n(A' \cap B') = n(X) - n(A \cup B) = 700 - 400 = 300$.