Word Problem - Set Theory Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે: $P(A) = \frac{2}{5}$,$P(B) = \frac{1}{4}$,$P(A \cup B) = \frac{1}{2}$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(A' \cup B') = P((A \cap B)') = 1 - P(A \cap B)$.
સૌ પ્રથમ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $P(A \cap B)$ શોધો:
$\frac{1}{2} = \frac{2}{5} + \frac{1}{4} - P(A \cap B)$
$\frac{1}{2} = \frac{13}{20} - P(A \cap B)$
$P(A \cap B) = \frac{13}{20} - \frac{10}{20} = \frac{3}{20}$.
હવે,$P(A' \cup B') = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$.

(C) $5$ વિષયોમાંથી દરેક માટે,ઉમેદવાર પાસે $2$ શક્યતાઓ છે: કાં તો પાસ થવું અથવા નાપાસ થવું.
કુલ $5$ વિષયો હોવાથી,શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 = 32$ છે.
ઉમેદવાર ત્યારે જ પરીક્ષામાં પાસ થાય છે જો તે બધા $5$ વિષયોમાં પાસ થાય. આવી માત્ર $1$ જ રીત છે (પાસ,પાસ,પાસ,પાસ,પાસ).
તેથી,ઉમેદવાર નાપાસ થઈ શકે તેવી રીતોની સંખ્યા (એટલે કે,ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં નાપાસ થવું) એ કુલ પરિણામોમાંથી બધા વિષયોમાં પાસ થવાના કિસ્સાને બાદ કરવાથી મળે છે.
નાપાસ થવાની રીતોની સંખ્યા $= 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$.

(B) આપેલ છે કે $n(X)=200, n(A)=90, n(B)=80$ અને $n(A' \cap B')=40$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$n(A' \cap B') = n((A \cup B)') = n(X) - n(A \cup B)$.
તેથી,$40 = 200 - n(A \cup B)$,જેનો અર્થ છે કે $n(A \cup B) = 160$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
$160 = 90 + 80 - n(A \cap B) \implies 160 = 170 - n(A \cap B) \implies n(A \cap B) = 10$.
હવે,$n(A \cap B') = n(A) - n(A \cap B) = 90 - 10 = 80$.

(C) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
$A$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ છે,જ્યાં $n = 6$,તેથી $2^6 = 64$.
ઓછામાં ઓછા બે ઘટકો ધરાવતા ઉપગણો એટલે કુલ ઉપગણોમાંથી શૂન્ય ઘટક ધરાવતા (ખાલી ગણ) અને બરાબર એક ઘટક ધરાવતા ઉપગણો બાદ કરવા.
શૂન્ય ઘટક ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા = ${}^6C_0 = 1$.
એક ઘટક ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા = ${}^6C_1 = 6$.
તેથી,ઓછામાં ઓછા બે ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા = $64 - (1 + 6) = 64 - 7 = 57$.

(D) ધારો કે $n(U) = 60$ એ કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે.
ધારો કે $C$ એ ક્રિકેટ રમતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે,$n(C) = 25$.
ધારો કે $T$ એ ટેનિસ રમતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે,$n(T) = 20$.
આપેલ છે કે $n(C \cap T) = 10$.
ઓછામાં ઓછી એક રમત રમતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(C \cup T) = n(C) + n(T) - n(C \cap T)$ છે.
$n(C \cup T) = 25 + 20 - 10 = 35$.
એક પણ રમત ન રમતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(U) - n(C \cup T)$ છે.
$60 - 35 = 25$.

(C) આપેલ છે $|A| = 3$ અને $|B| = 6$.
$A \cup B$ માટે,સૂત્ર $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ છે.
$|A \cup B|$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $|A \cap B|$ ને મહત્તમ કરવું પડશે. $|A \cap B|$ ની મહત્તમ કિંમત $\min(|A|, |B|) = 3$ છે.
તેથી,$\min |A \cup B| = 3 + 6 - 3 = 6$. તેથી,વિધાન $(I)$ સાચું છે.
$A \cap B$ માટે,મહત્તમ કિંમત $\min(|A|, |B|) = 3$ છે.
તેથી,$\max |A \cap B| = 3$. તેથી,વિધાન $(II)$ સાચું છે.

(D) આપેલ છે કે,$n(A \times B) = 35$ અને $B \subset A$.
$n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 35$ હોવાથી,$35$ ના અવયવો $(35, 1)$ અથવા $(7, 5)$ મળે.
$B \subset A$ અને $A, B$ નોન-સિંગલટન ગણ હોવાથી,$n(A) > n(B) > 1$ થાય.
તેથી,$n(A) = 7$ અને $n(B) = 5$.
હવે,${}^{n(A)}C_{n(B)} = {}^{7}C_{5}$ ની ગણતરી કરીએ.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,${}^{7}C_{5} = {}^{7}C_{2}$ મળે.
${}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.

(B) આપેલ છે: $n(U)=100$,$n(A)=50$,$n(B)=60$,$n(A \cap B)=20$.
બે ગણના યોગગણ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$n(A \cup B) = 50 + 60 - 20 = 90$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$A^{\prime} \cap B^{\prime} = (A \cup B)^{\prime}$.
તેથી,$n(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = n(U) - n(A \cup B)$.
$n(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 100 - 90 = 10$.

(B) ધારો કે પરિવારોની કુલ સંખ્યા $x$ છે.
ધારો કે $A$ એ સેલ ફોન ધરાવતા પરિવારોનો ગણ છે,તેથી $n(A) = \frac{65}{100}x$.
ધારો કે $B$ એ સ્કૂટર ધરાવતા પરિવારોનો ગણ છે,તેથી $n(B) = 15000$.
બંને ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા $n(A \cap B) = \frac{15}{100}x$ છે.
દરેક પરિવાર પાસે ઓછામાં ઓછું એક હોવાથી,$n(A \cup B) = x$.
સૂત્ર $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{65x}{100} + 15000 - \frac{15x}{100}$
$x = \frac{50x}{100} + 15000$
$x = 0.5x + 15000$
$0.5x = 15000$
$x = \frac{15000}{0.5} = 30000$.
આમ,નગરમાં પરિવારોની કુલ સંખ્યા $30000$ છે.

(B) ધારો કે $A$ એ $1$ થી $1000$ સુધીની $2$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે,અને $B$ એ $1$ થી $1000$ સુધીની $3$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે.
આપણે $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ શોધવાનું છે.
$|A| = \lfloor \frac{1000}{2} \rfloor = 500$.
$|B| = \lfloor \frac{1000}{3} \rfloor = 333$.
$|A \cap B|$ એ $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,એટલે કે $\text{lcm}(2, 3) = 6$ વડે વિભાજ્ય છે.
$|A \cap B| = \lfloor \frac{1000}{6} \rfloor = 166$.
તેથી,$|A \cup B| = 500 + 333 - 166 = 667$.

(C) ધારો કે $S = \{-7, -5, -3, -2, 2, 4, 6, 13\}$. બધા ઘટકોનો સરવાળો $S_{total} = 8$ છે.
ધારો કે $x = a+b+c+d$ અને $y = e+f+g+h$.
$x+y = 8$ હોવાથી,$x^2+y^2$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે $|x-y|$ ને ન્યૂનતમ કરવું પડે.
$x$ ની કિંમત $4$ ની સૌથી નજીક લેતા,$x=5$ મળે છે,જેથી $y=3$ થાય.
તેથી,$x^2+y^2 = 5^2+3^2 = 25+9 = 34$.

(C) ધારો કે $n(M)$ એ ગણિતમાં નિપુણ સભ્યોની સંખ્યા છે અને $n(S)$ એ આંકડાશાસ્ત્રમાં નિપુણ સભ્યોની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $n(M \cup S) = 25$,$n(M) = 19$,અને $n(S) = 16$.
સૂત્ર $n(M \cup S) = n(M) + n(S) - n(M \cap S)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$25 = 19 + 16 - n(M \cap S)$
$25 = 35 - n(M \cap S)$
$n(M \cap S) = 35 - 25 = 10$.
યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ વ્યક્તિ બંનેમાં નિપુણ હોય તેની સંભાવના $P(M \cap S) = \frac{n(M \cap S)}{n(M \cup S)} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$ છે.

(A) ધારો કે $E$ એ અંગ્રેજીમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે અને $M$ એ ગણિતમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે.
આપેલ છે:
કુલ વિદ્યાર્થીઓ $= 205$
$n(E) = 105$
$n(M) = 70$
$n(E \cap M) = 30$
આપણે ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા શોધવાની છે,જે $n(E \cup M)$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $n(E \cup M) = n(E) + n(M) - n(E \cap M)$
$n(E \cup M) = 105 + 70 - 30 = 145$
હવે,બંને વિષયોમાં નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા કુલ વિદ્યાર્થીઓમાંથી ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓને બાદ કરતા મળે.
બંનેમાં નાપાસ વિદ્યાર્થીઓ $= 205 - 145 = 60$

(C) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, \ldots, 1000\}$. કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 1000$ છે.
$A$ એ $S$ માં પૂર્ણ ઘન સંખ્યાઓનો ગણ છે. $10^3 = 1000$ હોવાથી,$A = \{1^3, 2^3, \ldots, 10^3\}$,તેથી $n(A) = 10$.
$B$ એ એકી સંખ્યામાં ભાજકો ધરાવતી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. કોઈ સંખ્યાના ભાજકોની સંખ્યા એકી ત્યારે જ હોય જો તે પૂર્ણ વર્ગ હોય. $1000$ થી નાની સૌથી મોટી પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા $31^2 = 961$ છે. તેથી,$B = \{1^2, 2^2, \ldots, 31^2\}$,તેથી $n(B) = 31$.
છેદગણ $A \cap B$ માં એવી સંખ્યાઓ છે જે પૂર્ણ ઘન અને પૂર્ણ વર્ગ બંને છે,એટલે કે પૂર્ણ છઠ્ઠી ઘાત. આ સંખ્યાઓ $1^6 = 1$,$2^6 = 64$,અને $3^6 = 729$ છે. તેથી,$n(A \cap B) = 3$.
સૂત્ર $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા,$n(A \cup B) = 10 + 31 - 3 = 38$.
સંભાવના $P(A \cup B) = \frac{38}{1000} = \frac{19}{500}$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $P(\bar{A}) = \frac{2}{3}$,તેથી $P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
બે ઘટનાઓના યોગ માટેનું સૂત્ર: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$P(B)$ માટે ઉકેલતા: $P(B) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
આપણે $P(\bar{A} \cap B)$ શોધવાનું છે. ગણ સિદ્ધાંત મુજબ,$P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $P(\bar{A} \cap B) = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8 - 3}{12} = \frac{5}{12}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બે ઘટનાઓના યોગગણની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.3 = 0.6$.
$A$ કે $B$ પૈકી કોઈ પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B)$ છે.
તેથી,$P(A^c \cap B^c) = 1 - 0.6 = 0.4$.

(D) આપેલ માહિતી મુજબ:
$P(A \text{ fails}) = 0.2$
$P(A \cap B \text{ fail}) = 0.15$
$A$ એકલું નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવના શોધવા માટે, આપણે $A$ ની કુલ નિષ્ફળતામાંથી $A$ અને $B$ બંને નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવનાને બાદ કરવી પડશે.
$P(A \text{ fails alone}) = P(A \text{ fails}) - P(A \cap B \text{ fail})$
$P(A \text{ fails alone}) = 0.2 - 0.15 = 0.05$
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપણને પદાવલિ $[x - |x|] = 5$ આપેલ છે.
કિસ્સો $1$: જો $x \geq 0$ હોય,તો $|x| = x$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $[x - x] = [0] = 0$ મળે છે.
$0 \neq 5$ હોવાથી,$x \geq 0$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: જો $x < 0$ હોય,તો $|x| = -x$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $[x - (-x)] = [2x] = 5$ મળે છે.
$[2x] = 5$ માટે,$5 \leq 2x < 6$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $2.5 \leq x < 3$.
જોકે,આ આપણી ધારણા $x < 0$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
તેથી,આપેલ સમીકરણનું પાલન કરે તેવી કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ નથી.
આમ,આ ગણ ખાલી ગણ,$\phi$ છે.

(B) આપેલ છે $S = \{1, 2, 3, \ldots, 50\}$,તેથી $n(S) = 50$.
ગણ $A$ માટે,$n + \frac{50}{n} > 27$ ઉકેલતા:
$n^2 - 27n + 50 > 0$.
$(n - 25)(n - 2) > 0$.
આ શરત $n < 2$ અથવા $n > 25$ માટે સાચી છે.
$n \in S$ હોવાથી,$n=1$ અથવા $n \in \{26, 27, \ldots, 50\}$.
તેથી,$A = \{1, 26, 27, \ldots, 50\}$,જેથી $n(A) = 1 + 25 = 26$.
ગણ $B$ માટે,$S$ માં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\}$ છે,તેથી $n(B) = 15$.
ગણ $C$ માટે,$S$ માં પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ $\{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49\}$ છે,તેથી $n(C) = 7$.
સંભાવનાઓ $P(A) = \frac{26}{50}$,$P(B) = \frac{15}{50}$,$P(C) = \frac{7}{50}$ છે.
તેથી,$P(A) > P(B) > P(C)$.

(D) ના દરેક ઘટક $x$ માટે,$P \cap Q = \phi$ થાય તે રીતે $P$ અને $Q$ માં તેની સભ્યતા અંગે ત્રણ પરસ્પર નિવારક શક્યતાઓ છે:
$1$. $x \in P$ અને $x \notin Q$
$2$. $x \notin P$ અને $x \in Q$
$3$. $x \notin P$ અને $x \notin Q$
$A$ માં $n$ ઘટકો હોવાથી અને દરેક ઘટક માટે $3$ સ્વતંત્ર પસંદગીઓ હોવાથી,ઉપગણો $P$ અને $Q$ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $3 \times 3 \times \dots \times 3$ ($n$ વખત) = $3^n$ થાય.

(A) ધારો કે $S$,$D$ અને $P$ એ અનુક્રમે ગાવું,નાચવું અને ચિત્રકામ પસંદ કરતી વ્યક્તિઓના ગણ છે.
આપેલ છે: $n(S \cup D \cup P) = 265$,$n(S) = 200$,$n(D) = 110$,$n(P) = 55$,$n(S \cap D) = 60$,$n(S \cap P) = 30$ અને $n(S \cap D \cap P) = 10$.
inclusion-exclusion ના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$n(S \cup D \cup P) = n(S) + n(D) + n(P) - n(S \cap D) - n(S \cap P) - n(D \cap P) + n(S \cap D \cap P)$
$265 = 200 + 110 + 55 - 60 - 30 - n(D \cap P) + 10$
$265 = 285 - n(D \cap P)$
$n(D \cap P) = 285 - 265 = 20$
માત્ર નાચવું અને ચિત્રકામ પસંદ કરતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા $n(D \cap P) - n(S \cap D \cap P)$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$20 - 10 = 10$.

(C) ધારો કે $M, P, B$ એ અનુક્રમે ગણિત,ભૌતિકવિજ્ઞાન અને જીવવિજ્ઞાનમાં નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓના ગણ છે. વેન આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબના પ્રદેશો $a, b, c, d, e, f, g$ છે અને $h$ એ બધા વિષયોમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે.
કુલ વિદ્યાર્થીઓ = $100$,તેથી $a+b+c+d+e+f+g+h = 100$. આપેલ છે $h = 1$,તેથી $a+b+c+d+e+f+g = 99$.
આપેલ છે:
$1) \text{ ગણિતમાં નાપાસ: } a+b+d+e = 50$
$2) \text{ ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં નાપાસ: } b+c+d+f = 45$
$3) \text{ જીવવિજ્ઞાનમાં નાપાસ: } d+e+f+g = 40$
$4) \text{ બરાબર બે વિષયોમાં નાપાસ: } b+e+f = 32$
સમીકરણો $(1), (2), (3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(a+b+d+e) + (b+c+d+f) + (d+e+f+g) = 50 + 45 + 40 = 135$
$(a+b+c+d+e+f+g) + (b+e+f) + 2d = 135$
$99 + 32 + 2d = 135$
$131 + 2d = 135$
$2d = 4 \implies d = 2$.
આમ,ત્રણેય વિષયોમાં નાપાસ થતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $(A \cap C) \cup (B \cap C^{\prime}) = \phi$.
બે ગણોનો યોગગણ ખાલી ગણ $\phi$ હોવાથી,દરેક ગણ ખાલી હોવો જોઈએ.
તેથી,$A \cap C = \phi$ અને $B \cap C^{\prime} = \phi$.
$B \cap C^{\prime} = \phi$ પરથી,આપણને $B \subseteq C$ મળે છે.
$A \cap C = \phi$ અને $B \subseteq C$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $A \cap B = \phi$.

(C) આપણી પાસે $A = 5^{n} - 4n - 1 = (1 + 4)^{n} - 4n - 1$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + 4)^{n} = {}^{n}C_{0} + {}^{n}C_{1}(4) + {}^{n}C_{2}(4^{2}) + \dots + {}^{n}C_{n}(4^{n})$.
તેથી,$A = (1 + 4n + 16({}^{n}C_{2} + {}^{n}C_{3}(4) + \dots + {}^{n}C_{n}(4^{n-2}))) - 4n - 1$.
$A = 16({}^{n}C_{2} + {}^{n}C_{3}(4) + \dots + {}^{n}C_{n}(4^{n-2}))$.
આ દર્શાવે છે કે $A$ નો દરેક ઘટક $16$ નો ગુણક છે.
$n=1$ માટે,$5^{1}-4(1)-1 = 0$.
$n=2$ માટે,$5^{2}-4(2)-1 = 16$.
$n=3$ માટે,$5^{3}-4(3)-1 = 112 = 16 \times 7$.
આમ,$A = \{0, 16, 112, \dots\}$.
$B = \{16(n-1) : n \in N\} = \{0, 16, 32, 48, \dots\}$.
$A$ નો દરેક ઘટક $16$ નો ગુણક હોવાથી,$A \subseteq B$ થાય.

(A) ધારો કે $A$ એ કાર ધરાવતા પરિવારોનો ગણ છે અને $B$ એ ઘર ધરાવતા પરિવારોનો ગણ છે.
આપેલ છે: $P(A) = 0.60$,$P(B) = 0.30$,અને $P(A \cap B) = 0.20$.
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે પરિવાર પાસે કાર અથવા ઘર છે પણ બંને નથી,જે સંમિત તફાવત $P(A \Delta B)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સંમિત તફાવતનું સૂત્ર $P(A \Delta B) = P(A \cup B) - P(A \cap B)$ છે.
પ્રથમ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.60 + 0.30 - 0.20 = 0.70$ ગણો.
હવે,$P(A \Delta B) = P(A \cup B) - P(A \cap B) = 0.70 - 0.20 = 0.50$.
આમ,સંભાવના $0.5$ છે.

(C) આપેલ છે કે $P(A \cup B) = 0.6$ અને $P(A \cap B) = 0.3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
તેથી,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B) = 0.6 + 0.3 = 0.9$.
આપણે $P(A') + P(B')$ શોધવાનું છે.
$P(A') = 1 - P(A)$ અને $P(B') = 1 - P(B)$ હોવાથી,
$P(A') + P(B') = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$.
કિંમત મૂકતા,$P(A') + P(B') = 2 - 0.9 = 1.1$.

(C) $|x^{2} - 10| \le 6$ આપેલ છે,તેથી $-6 \le x^{2} - 10 \le 6$.
બધી બાજુ $10$ ઉમેરતા,$4 \le x^{2} \le 16$ મળે.
વર્ગમૂળ લેતા,$x \in [-4, -2] \cup [2, 4]$,તેથી $A = [-4, -2] \cup [2, 4]$.
$|x - 2| > 1$ આપેલ છે,તેથી $x - 2 > 1$ અથવા $x - 2 < -1$.
આનો અર્થ $x > 3$ અથવા $x < 1$ થાય,તેથી $B = (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.
હવે,$A \cap B = ([-4, -2] \cup [2, 4]) \cap ((-\infty, 1) \cup (3, \infty)) = [-4, -2] \cup (3, 4]$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) ગણ $S = \{1, 2, 3, . . . , 11\}$ માં $6$ એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$ અને $5$ બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ છે.
$S$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^{11} = 2048$ છે.
ઉપગણ $B$ નો ગુણાકાર એકી હોય જો અને માત્ર જો $B$ ના તમામ ઘટકો એકી હોય. આવા ઉપગણોની સંખ્યા $2^6 = 64$ છે.
ઉપગણ $B$ નો ગુણાકાર બેકી હોય જો તેમાં ઓછામાં ઓછી એક બેકી સંખ્યા હોય. આવા ઉપગણોની સંખ્યા $2^{11} - 2^6 = 2048 - 64 = 1984$ છે.
શરત $n(B) \ge 2$ એ $0$ અથવા $1$ ઘટક ધરાવતા ઉપગણોને બાકાત રાખે છે.
$0$ ઘટક ધરાવતા ઉપગણો: $\emptyset$ (ગુણાકાર વ્યાખ્યાયિત નથી અથવા એકી ગણાય છે,તેથી તે બાકાત છે).
$1$ ઘટક ધરાવતા ઉપગણો: $\{1\}, \{3\}, \{5\}, \{7\}, \{9\}, \{11\}$ (બધા એકી ગુણાકાર) અને $\{2\}, \{4\}, \{6\}, \{8\}, \{10\}$ (બધા બેકી ગુણાકાર).
આપણે તે $5$ ઉપગણોને બાકાત રાખવા જોઈએ જે બરાબર એક બેકી સંખ્યા ધરાવે છે (કારણ કે તેમનો ગુણાકાર બેકી છે પણ $n(B) < 2$ છે).
તેથી,જરૂરી ઉપગણોની સંખ્યા $1984 - 5 = 1979$ છે.