Word Problem - Set Theory Questions in Hindi

(B) दिया गया है $A = \{x : x \in R, -1 < x < 1\} = (-1, 1).$
दिया गया है $B = \{x : x \in R, x - 1 \le -1 \text{ या } x - 1 \ge 1\} = \{x : x \le 0 \text{ या } x \ge 2\} = (-\infty, 0] \cup [2, \infty).$
अब,$A \cup B = (-1, 1) \cup (-\infty, 0] \cup [2, \infty).$
इन अंतरालों को मिलाने पर,हमें $A \cup B = (-\infty, 1) \cup [2, \infty)$ प्राप्त होता है.
हमें $A \cup B = R - D$ दिया गया है.
अतः,$D = R - (A \cup B) = R - ((-\infty, 1) \cup [2, \infty)) = [1, 2).$
इस प्रकार,$D = \{x : x \in R, 1 \le x < 2\}.$

(C) डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$n(A^c \cap B^c) = n((A \cup B)^c)$.
पूरक समुच्चय के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$n((A \cup B)^c) = n(U) - n(A \cup B)$.
हम जानते हैं कि $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $n(A \cup B) = 200 + 300 - 100 = 400$.
अतः,$n(A^c \cap B^c) = 700 - 400 = 300$.

(B) कुल परिवार $N = 10,000$ हैं।
$n(A) = 40\% \text{ of } 10,000 = 4,000$
$n(B) = 20\% \text{ of } 10,000 = 2,000$
$n(C) = 10\% \text{ of } 10,000 = 1,000$
$n(A \cap B) = 5\% \text{ of } 10,000 = 500$
$n(B \cap C) = 3\% \text{ of } 10,000 = 300$
$n(A \cap C) = 4\% \text{ of } 10,000 = 400$
$n(A \cap B \cap C) = 2\% \text{ of } 10,000 = 200$
केवल समाचार पत्र $A$ खरीदने वाले परिवारों की संख्या ज्ञात करने के लिए सूत्र:
$n(A \text{ only}) = n(A) - n(A \cap B) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C)$
$n(A \text{ only}) = 4,000 - 500 - 400 + 200$
$n(A \text{ only}) = 4,000 - 700 = 3,300$

(C) माना $C$ कार से यात्रा करने वाले लोगों का समुच्चय है और $B$ बस से यात्रा करने वाले लोगों का समुच्चय है।
दिया गया है: $n(C) = 20$,$n(B) = 50$,और $n(C \cap B) = 10$.
हमें कार या बस से यात्रा करने वाले लोगों का प्रतिशत ज्ञात करना है,जो $n(C \cup B)$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर: $n(C \cup B) = n(C) + n(B) - n(C \cap B)$.
मान रखने पर: $n(C \cup B) = 20 + 50 - 10 = 60$.
अतः,अभीष्ट प्रतिशत $60\%$ है।

(D) मान लीजिए $M$,$P$,और $C$ क्रमशः गणित,भौतिकी और रसायन विज्ञान का अध्ययन करने वाले छात्रों के समुच्चय हैं।
दिया गया है: $n(M) = 23, n(P) = 24, n(C) = 19$.
$n(M \cap P) = 12, n(M \cap C) = 9, n(P \cap C) = 7$.
$n(M \cap P \cap C) = 4$.
केवल एक विषय का अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या:
$n({\text{केवल }} M) = n(M) - n(M \cap P) - n(M \cap C) n(M \cap P \cap C) = 23 - 12 - 9 4 = 6$.
$n({\text{केवल }} P) = n(P) - n(P \cap M) - n(P \cap C) n(P \cap M \cap C) = 24 - 12 - 7 4 = 9$.
$n({\text{केवल }} C) = n(C) - n(C \cap M) - n(C \cap P) n(C \cap M \cap P) = 19 - 9 - 7 4 = 7$.
केवल एक विषय लेने वाले छात्रों की कुल संख्या $= 6 9 7 = 22$.

(B) दिया गया समीकरण $A \cup \{1, 2\} = \{1, 2, 3, 5, 9\}$ है।
सबसे छोटा समुच्चय $A$ ज्ञात करने के लिए,हमें परिणामी समुच्चय के उन सभी अवयवों को शामिल करना होगा जो $\{1, 2\}$ में नहीं हैं।
परिणामी समुच्चय के अवयव $\{1, 2, 3, 5, 9\}$ हैं।
यूनियन में पहले से ही $\{1, 2\}$ अवयव मौजूद हैं।
इसलिए,समुच्चय $A$ में कम से कम $\{3, 5, 9\}$ अवयव होने चाहिए।
अतः,सबसे छोटा समुच्चय $A = \{3, 5, 9\}$ है।

(C) दिया गया है कि $A \subseteq B$,जिसका अर्थ है कि समुच्चय $A$ का प्रत्येक अवयव समुच्चय $B$ का भी अवयव है।
इसलिए,$A$ और $B$ का संघ (union) समुच्चय $B$ ही होगा,अर्थात $A \cup B = B$।
अतः,$n(A \cup B) = n(B)$।
चूंकि $n(B) = 6$,इसलिए $n(A \cup B) = 6$।

(A) माना कुल लड़ाकों की संख्या $100$ है।
माना $A, B, C, D$ क्रमशः आँख,कान,हाथ और पैर खोने वाले लड़ाकों के समुच्चय हैं।
दिया गया है: $n(A) = 70, n(B) = 80, n(C) = 75, n(D) = 85$.
जिन लोगों ने ये अंग नहीं खोए,उनकी संख्या है:
$n(A^c) = 100 - 70 = 30$
$n(B^c) = 100 - 80 = 20$
$n(C^c) = 100 - 75 = 25$
$n(D^c) = 100 - 85 = 15$
जिन लोगों ने चारों अंग खो दिए,उनकी न्यूनतम संख्या $100 - (n(A^c) + n(B^c) + n(C^c) + n(D^c))$ है।
न्यूनतम $x = 100 - (30 + 20 + 25 + 15) = 100 - 90 = 10$.

(D) माना $C, H, B$ क्रमशः क्रिकेट,हॉकी और बास्केटबॉल खेलने वाले लड़कों के समुच्चय हैं।
दिया है: $n(C) = 224, n(H) = 240, n(B) = 336$.
सर्वनिष्ठ: $n(H \cap B) = 64, n(C \cap B) = 80, n(C \cap H) = 40, n(C \cap H \cap B) = 24$.
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,कम से कम एक खेल खेलने वाले लड़कों की संख्या:
$n(C \cup H \cup B) = n(C) + n(H) + n(B) - [n(C \cap H) + n(H \cap B) + n(C \cap B)] + n(C \cap H \cap B)$
$n(C \cup H \cup B) = 224 + 240 + 336 - (40 + 64 + 80) + 24$
$n(C \cup H \cup B) = 800 - 184 + 24 = 640$.
कोई भी खेल न खेलने वाले लड़कों की संख्या:
$n(U) - n(C \cup H \cup B) = 800 - 640 = 160$.

(C) माना $A$ पनीर पसंद करने वाले अमेरिकियों का समुच्चय है और $B$ सेब पसंद करने वाले अमेरिकियों का समुच्चय है।
माना कुल जनसंख्या $100$ है।
तब $n(A) = 63$ और $n(B) = 76$ है।
हम जानते हैं कि $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ होता है।
चूंकि $n(A \cup B) \le 100$,इसलिए $n(A) + n(B) - n(A \cap B) \le 100$ है।
$63 + 76 - n(A \cap B) \le 100 \implies 139 - n(A \cap B) \le 100 \implies n(A \cap B) \ge 39$ है।
साथ ही,$A \cap B \subseteq A$ और $A \cap B \subseteq B$,इसलिए $n(A \cap B) \le n(A)$ और $n(A \cap B) \le n(B)$ है।
अतः,$n(A \cap B) \le 63$ और $n(A \cap B) \le 76$,जिसका अर्थ है कि $n(A \cap B) \le 63$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $39 \le n(A \cap B) \le 63$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$39 \le x \le 63$ है।

(A) माना $M$ गणित पढ़ाने वाले शिक्षकों का समुच्चय है और $P$ भौतिकी पढ़ाने वाले शिक्षकों का समुच्चय है।
दिया गया है कि $n(M \cup P) = 20$,$n(M) = 12$,और $n(M \cap P) = 4$ है।
सूत्र $n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P)$ का उपयोग करने पर,
$20 = 12 + n(P) - 4$
$20 = 8 + n(P)$
$n(P) = 20 - 8 = 12$.
अतः,भौतिकी पढ़ाने वाले शिक्षकों की संख्या $12$ है।

(A) मान लीजिए कि $C, H, F$ क्रमशः क्रिकेट टीम,हॉकी टीम और फुटबॉल टीम के सदस्यों के समुच्चय हैं।
हमें दिया गया है $n(C) = 21, n(H) = 26, n(F) = 29$.
साथ ही,$n(H \cap C) = 14, n(H \cap F) = 15, n(F \cap C) = 12$ और $n(C \cap H \cap F) = 8$.
हमें सदस्यों की कुल संख्या ज्ञात करनी है,जो $n(C \cup H \cup F)$ है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$n(C \cup H \cup F) = n(C) + n(H) + n(F) - n(C \cap H) - n(H \cap F) - n(F \cap C) + n(C \cap H \cap F)$
$n(C \cup H \cup F) = (21 + 26 + 29) - (14 + 15 + 12) + 8$
$n(C \cup H \cup F) = 76 - 41 + 8 = 43$.
अतः,कुल $43$ सदस्य हैं।

(D) माना $M$ गणित में उत्तीर्ण छात्रों का समुच्चय है और $P$ भौतिकी में उत्तीर्ण छात्रों का समुच्चय है।
दिया गया है: $n(M) = 55$,$n(P) = 67$,और $n(M \cup P) = 100$.
सूत्र का उपयोग करने पर: $n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P)$.
$100 = 55 + 67 - n(M \cap P)$.
$100 = 122 - n(M \cap P)$.
$n(M \cap P) = 122 - 100 = 22$.
केवल भौतिकी में उत्तीर्ण छात्रों की संख्या $n(P \setminus M) = n(P) - n(M \cap P)$ द्वारा दी जाती है।
$n(P \setminus M) = 67 - 22 = 45$.

(A) माना $N, P, H$ क्रमशः सुई का काम,भौतिकी और इतिहास लेने वाले छात्रों के समुच्चय हैं।
दिया गया है $n(N) = 12, n(P) = 16, n(H) = 18$ और $n(N \cup P \cup H) = 30$.
चूंकि कोई भी तीनों विषय नहीं लेता है,$n(N \cap P \cap H) = 0$.
तीन समुच्चयों के संघ का सूत्र:
$n(N \cup P \cup H) = n(N) + n(P) + n(H) - [n(N \cap P) + n(P \cap H) + n(N \cap H)] + n(N \cap P \cap H)$
मान रखने पर:
$30 = 12 + 16 + 18 - [n(N \cap P) + n(P \cap H) + n(N \cap H)] + 0$
$30 = 46 - [n(N \cap P) + n(P \cap H) + n(N \cap H)]$
$n(N \cap P) + n(P \cap H) + n(N \cap H) = 46 - 30 = 16$.
ठीक दो विषय लेने वाले छात्रों की संख्या:
$n(N \cap P) + n(P \cap H) + n(N \cap H) - 3n(N \cap P \cap H)$
$= 16 - 3(0) = 16$.

(B) हमें दिया गया है कि $n(A) = 3$ और $n(B) = 6$ है।
दो समुच्चयों के संघ (union) के लिए सूत्र $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ होता है।
$n(A \cup B)$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें $n(A \cap B)$ को अधिकतम करना होगा।
$n(A \cap B)$ का अधिकतम संभव मान छोटे समुच्चय के अवयवों की संख्या के बराबर होता है,जो कि $3$ है (क्योंकि $A \subset B$ संभव है)।
अतः,$A \cup B$ में अवयवों की न्यूनतम संख्या $3 + 6 - 3 = 6$ है।

(D) मान लीजिए $S$,$1$ से $100$ तक के पूर्णांकों का योग है: $S = \frac{100}{2}(1 + 100) = 5050$.
मान लीजिए $S_1$,$3$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग है: $S_1 = 3 + 6 + ... + 99 = 3(1 + 2 + ... + 33) = 3 \times \frac{33 \times 34}{2} = 1683$.
मान लीजिए $S_2$,$5$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग है: $S_2 = 5 + 10 + ... + 100 = 5(1 + 2 + ... + 20) = 5 \times \frac{20 \times 21}{2} = 1050$.
मान लीजिए $S_3$,$3$ और $5$ दोनों से विभाज्य (अर्थात $15$ से विभाज्य) पूर्णांकों का योग है: $S_3 = 15 + 30 + ... + 90 = 15(1 + 2 + ... + 6) = 15 \times \frac{6 \times 7}{2} = 315$.
$3$ या $5$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग $S_1 + S_2 - S_3 = 1683 + 1050 - 315 = 2418$ है।
अभीष्ट योग $S - (S_1 + S_2 - S_3) = 5050 - 2418 = 2632$ है।

(D) माना $S$ प्रथम $100$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है,अतः $n(S) = 100$.
माना $A$ वह घटना है कि संख्या सम है। सम संख्याएँ $2, 4, 6, \dots, 100$ हैं। अतः,$n(A) = 50$.
माना $B$ वह घटना है कि संख्या $5$ से विभाज्य है। $5$ से विभाज्य संख्याएँ $5, 10, 15, \dots, 100$ हैं। अतः,$n(B) = 20$.
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ उन संख्याओं को दर्शाता है जो सम और $5$ से विभाज्य दोनों हैं,अर्थात $10$ से विभाज्य हैं। ये संख्याएँ $10, 20, 30, \dots, 100$ हैं। अतः,$n(A \cap B) = 10$.
दो समुच्चयों के संघ के सूत्र का उपयोग करते हुए: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 50 + 20 - 10 = 60$.
अभीष्ट प्रायिकता $P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \frac{60}{100} = \frac{3}{5}$ है।

(B) कुल गेंदों की संख्या $= 30$.
माना $A$,$1$ से $30$ के बीच $5$ के गुणजों का समुच्चय है:
$A = \{5, 10, 15, 20, 25, 30\}$,इसलिए $n(A) = 6$.
माना $B$,$1$ से $30$ के बीच $7$ के गुणजों का समुच्चय है:
$B = \{7, 14, 21, 28\}$,इसलिए $n(B) = 4$.
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ में वे संख्याएँ हैं जो $5$ और $7$ दोनों की गुणज हैं (अर्थात $35$ के गुणज):
$A \cap B = \emptyset$,इसलिए $n(A \cap B) = 0$.
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 6 + 4 - 0 = 10$.
प्रायिकता $P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.

(D) माना $S$,$1$ से $90$ तक की संख्याओं का समुच्चय है। कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 90$ है।
माना $A$,$6$ से विभाज्य संख्याओं का समुच्चय है। अवयवों की संख्या $n(A) = \lfloor \frac{90}{6} \rfloor = 15$ है।
माना $B$,$8$ से विभाज्य संख्याओं का समुच्चय है। अवयवों की संख्या $n(B) = \lfloor \frac{90}{8} \rfloor = 11$ है।
$6$ और $8$ दोनों से विभाज्य संख्याएँ $\text{lcm}(6, 8) = 24$ से विभाज्य होती हैं। अवयवों की संख्या $n(A \cap B) = \lfloor \frac{90}{24} \rfloor = 3$ है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$6$ या $8$ से विभाज्य संख्याओं की संख्या $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 15 + 11 - 3 = 23$ है।
प्रायिकता $P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \frac{23}{90}$ है।

(D) माना $E$ अंग्रेजी समाचार पत्र पढ़ने वाले लोगों का समुच्चय है और $H$ हिंदी समाचार पत्र पढ़ने वाले लोगों का समुच्चय है।
दिया गया है: $P(E) = 20\%$,$P(H) = 40\%$,और $P(E \cap H) = 5\%$.
हमें उन लोगों का प्रतिशत ज्ञात करना है जो कोई भी समाचार पत्र नहीं पढ़ते हैं,जो $P(E^c \cap H^c) = 1 - P(E \cup H)$ है।
योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(E \cup H) = P(E) + P(H) - P(E \cap H)$.
$P(E \cup H) = 20\% + 40\% - 5\% = 55\%$.
अतः,कोई भी समाचार पत्र न पढ़ने वाले लोगों का प्रतिशत $100\% - 55\% = 45\%$ है।

(A) मान लीजिए $M$ गणित में उत्तीर्ण छात्रों का समुच्चय है और $S$ सांख्यिकी में उत्तीर्ण छात्रों का समुच्चय है।
दिया गया है: $n(U) = 125$,$n(M) = 70$,$n(S) = 55$,और $n(M \cap S) = 30$.
केवल गणित में उत्तीर्ण छात्र = $n(M) - n(M \cap S) = 70 - 30 = 40$.
केवल सांख्यिकी में उत्तीर्ण छात्र = $n(S) - n(M \cap S) = 55 - 30 = 25$.
केवल एक विषय में उत्तीर्ण कुल छात्र = $40 + 25 = 65$.
यादृच्छिक रूप से चुने गए छात्र के केवल एक विषय में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता $\frac{65}{125} = \frac{13}{25}$ है।

(D) समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC)$.
दिए गए मानों को रखने पर: $P(A \cup B \cup C) = 0.3 + 0.4 + 0.8 - 0.08 - x - 0.28 + 0.09 = 1.23 - x$.
दिया है कि $P(A \cup B \cup C) \ge 0.75$,इसलिए $1.23 - x \ge 0.75$,जिसका अर्थ है $x \le 0.48$.
किसी भी घटना $B$ और $C$ के लिए,$P(BC) \ge P(ABC) = 0.09$.
इसके अतिरिक्त,$P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(BC) = 0.4 + 0.8 - x = 1.2 - x \le 1$,इसलिए $x \ge 0.2$.
इस प्रकार,$0.2 \le x \le 0.48$. दिए गए विकल्पों में से कोई भी इस परिसर से मेल नहीं खाता है।

(B) माना $M, P$ और $C$ क्रमशः गणित,भौतिकी और रसायन विज्ञान में उत्तीर्ण होने की घटनाएं हैं।
दिया गया है:
$P(M \cup P \cup C) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
$P(\text{कम से कम दो}) = P(M \cap P) + P(P \cap C) + P(M \cap C) - 2P(M \cap P \cap C) = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$
$P(\text{ठीक दो}) = P(M \cap P) + P(P \cap C) + P(M \cap C) - 3P(M \cap P \cap C) = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$P(M \cap P \cap C) = \frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{1}{10}$
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करने पर:
$P(M \cup P \cup C) = (m + p + c) - (mp + pc + mc) + mpc = \frac{3}{4}$
'कम से कम दो' की शर्त से:
$(mp + pc + mc) - 2mpc = \frac{1}{2} \Rightarrow (mp + pc + mc) = \frac{1}{2} + 2(\frac{1}{10}) = \frac{7}{10}$
इन मानों को समावेशन-अपवर्जन समीकरण में रखने पर:
$(m + p + c) - \frac{7}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{4}$
$m + p + c = \frac{3}{4} + \frac{6}{10} = \frac{15 + 12}{20} = \frac{27}{20}$.

(B) माना $A$,$2$ से विभाज्य पूर्णांकों का समुच्चय है और $B$,$5$ से विभाज्य पूर्णांकों का समुच्चय है,जो $[1, 100]$ के बीच हैं।
हमें $A \cup B$ के तत्वों का योग ज्ञात करना है,जो $S(A \cup B) = S(A) + S(B) - S(A \cap B)$ द्वारा दिया जाता है।
$S(A)$,$2$ के गुणजों का योग है: $2, 4, 6, \dots, 100$। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $n=50$,$a=2$,$l=100$ है। $S(A) = \frac{50}{2}(2 + 100) = 2550$।
$S(B)$,$5$ के गुणजों का योग है: $5, 10, 15, \dots, 100$। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $n=20$,$a=5$,$l=100$ है। $S(B) = \frac{20}{2}(5 + 100) = 1050$।
$S(A \cap B)$,$10$ के गुणजों का योग है ($2$ और $5$ का ल.स.प.): $10, 20, 30, \dots, 100$। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $n=10$,$a=10$,$l=100$ है। $S(A \cap B) = \frac{10}{2}(10 + 100) = 550$।
अतः,$S(A \cup B) = 2550 + 1050 - 550 = 3050$।

(C) माना समुच्चय $A$ में $2n + 1$ अवयव हैं। हमें कम से कम $n$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है,जो $\sum_{k=n}^{2n+1} \binom{2n+1}{k}$ द्वारा दी जाती है।
कुल उपसमुच्चयों की संख्या $\sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2^{2n+1}$ है।
समरूपता के गुण $\binom{m}{r} = \binom{m}{m-r}$ का उपयोग करते हुए,पहले $n+1$ पदों का योग और अंतिम $n+1$ पदों का योग समान होता है।
अतः,$\sum_{k=n+1}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2^{2n}$।
कम से कम $n$ अवयवों के लिए,हमें $\binom{2n+1}{n} + 2^{2n}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: $P(A^c) = 0.3 \implies P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$.
$P(B) = 0.4 \implies P(B^c) = 1 - 0.4 = 0.6$.
$P(A \cap B^c) = 0.5$.
हम जानते हैं कि $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$,इसलिए $0.7 = P(A \cap B) + 0.5 \implies P(A \cap B) = 0.2$.
हमें $P[B / (A \cup B)^c]$ ज्ञात करना है। डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$.
$P[B / (A^c \cap B^c)] = \frac{P(B \cap (A^c \cap B^c))}{P(A^c \cap B^c)}$.
चूंकि $B \cap B^c = \emptyset$,अंश $P(B \cap A^c \cap B^c) = P(\emptyset) = 0$ है।
अतः,$P[B / (A \cup B)^c] = 0$.

(A) माना $P(A)$ भौतिकी में अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता है और $P(B)$ गणित में अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता है।
दिया गया है $P(A) = 20\% = 0.2$ और $P(B) = 10\% = 0.1$.
यह मानते हुए कि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.2 \times 0.1 = 0.02$.
अतः,$P(A \cup B) = 0.2 + 0.1 - 0.02 = 0.3 - 0.02 = 0.28$.
प्रतिशत में बदलने पर,$0.28 \times 100 = 28\%$.

(D) दो घटनाओं के संघ के लिए सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P(A \cup B) = 0.5 + 0.7 - 0.6 = 0.6$.
हालाँकि,यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि दिए गए मान $P(A) = 0.5$ और $P(A \cap B) = 0.6$ गणितीय रूप से असंगत हैं क्योंकि $P(A \cap B)$,$P(A)$ से बड़ा नहीं हो सकता है,क्योंकि $(A \cap B) \subseteq A$ का अर्थ है $P(A \cap B) \leq P(A)$।

(D) माना $S$ पहले $200$ धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय है,इसलिए $n(S) = 200$ है।
माना $A$,$6$ से विभाज्य पूर्णांकों का समुच्चय है। तब $n(A) = \lfloor 200/6 \rfloor = 33$ है।
माना $B$,$8$ से विभाज्य पूर्णांकों का समुच्चय है। तब $n(B) = \lfloor 200/8 \rfloor = 25$ है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ में $\text{lcm}(6, 8) = 24$ से विभाज्य पूर्णांक शामिल हैं। तब $n(A \cap B) = \lfloor 200/24 \rfloor = 8$ है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$6$ या $8$ से विभाज्य पूर्णांकों की संख्या $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 33 + 25 - 8 = 50$ है।
प्रायिकता $P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \frac{50}{200} = \frac{1}{4}$ है।

(C) मान लीजिए $|S|$ समुच्चय $S$ में अवयवों की संख्या है।
दिया गया है कि $30$ समुच्चय $A_i$ में से प्रत्येक में $5$ अवयव हैं,इसलिए सभी $A_i$ के अवयवों का योग $30 \times 5 = 150$ है।
चूंकि $S$ का प्रत्येक अवयव ठीक $10$ $A_i$ में आता है,इसलिए $|S| \times 10 = 150$,जिसका अर्थ है कि $|S| = 15$.
इसी प्रकार,$B_j$ समुच्चयों के लिए,प्रत्येक $n$ समुच्चय में $3$ अवयव हैं,इसलिए सभी $B_j$ के अवयवों का योग $n \times 3 = 3n$ है।
चूंकि $S$ का प्रत्येक अवयव ठीक $9$ $B_j$ में आता है,इसलिए $|S| \times 9 = 3n$.
$|S| = 15$ रखने पर,हमें $15 \times 9 = 3n$ प्राप्त होता है।
$135 = 3n \Rightarrow n = 45$.

(C) मान लीजिए $P$ फोन रखने वाले परिवारों का समुच्चय है और $C$ कार रखने वाले परिवारों का समुच्चय है।
दिया गया है: $n(P) = 25\%$,$n(C) = 15\%$ और $n(P^c \cap C^c) = 65\%$.
हम जानते हैं कि $n(P^c \cap C^c) = n((P \cup C)^c) = 100\% - n(P \cup C)$.
इसलिए,$n(P \cup C) = 100\% - 65\% = 35\%$. यह पुष्टि करता है कि कथन $2$ सही है।
सूत्र $n(P \cup C) = n(P) + n(C) - n(P \cap C)$ का उपयोग करते हुए:
$35\% = 25\% + 15\% - n(P \cap C)$.
$n(P \cap C) = 40\% - 35\% = 5\%$.
चूंकि कुल परिवारों का $5\% = 2000$ है,इसलिए कुल परिवारों की संख्या $= \frac{2000 \times 100}{5} = 40,000$ है। यह पुष्टि करता है कि कथन $3$ सही है।
कथन $1$ दावा करता है कि $10\%$ के पास दोनों हैं,जो गलत है क्योंकि हमने $5\%$ की गणना की है।
अतः,कथन $2$ और $3$ सही हैं।

(B) मान लीजिए $N_i$ उन छात्रों की संख्या है जिन्होंने ठीक $i$ गलत उत्तर दिए हैं।
चूंकि किसी भी छात्र ने $k$ से अधिक गलत उत्तर नहीं दिए हैं,इसलिए गलत उत्तरों की कुल संख्या $\sum_{i=1}^{k} i \cdot N_i$ है।
हमें दिया गया है कि $a_i$ उन छात्रों की संख्या है जिन्होंने कम से कम $i$ गलत उत्तर दिए हैं।
अतः,$a_i = N_i + N_{i+1} + \dots + N_k$।
इसका अर्थ है कि $N_i = a_i - a_{i+1}$ जहाँ $i < k$ और $N_k = a_k$ है।
गलत उत्तरों की कुल संख्या $1 \cdot N_1 + 2 \cdot N_2 + \dots + k \cdot N_k$ है।
$N_i$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$= 1(a_1 - a_2) + 2(a_2 - a_3) + \dots + (k-1)(a_{k-1} - a_k) + k(a_k)$
$= a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_k$.

(C) माना समाचार पत्रों की संख्या $n$ है।
चूंकि प्रत्येक छात्र $5$ समाचार पत्र पढ़ता है,इसलिए कुल पठन संख्या $300 \times 5 = 1500$ है।
चूंकि प्रत्येक समाचार पत्र $60$ छात्रों द्वारा पढ़ा जाता है,इसलिए कुल पठन संख्या $60 \times n$ भी है।
दोनों को बराबर करने पर,$60n = 1500$।
अतः,$n = \frac{1500}{60} = 25$।

(B) दो समुच्चयों के संघ (union) के अवयवों की संख्या का सूत्र $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ है।
यहाँ $n(A) = 3$ और $n(B) = 6$ दिया गया है,इसलिए $n(A \cup B) = 3 + 6 - n(A \cap B) = 9 - n(A \cap B)$।
$n(A \cup B)$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें $n(A \cap B)$ को अधिकतम करना होगा।
$A \cap B$ में अवयवों की अधिकतम संख्या $n(A) = 3$ है (क्योंकि $A \subseteq B$ संभव है)।
अतः,$A \cup B$ में अवयवों की न्यूनतम संख्या $9 - 3 = 6$ है।

(D) दो समुच्चयों के संघ (union) के लिए सूत्र का उपयोग करने पर:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$110 = 70 + 60 - n(A \cap B)$
$110 = 130 - n(A \cap B)$
$n(A \cap B) = 130 - 110$
$n(A \cap B) = 20$

(B) कुल परिवार $N = 10,000$.
$n(A) = 10,000$ का $40\% = 4,000$
$n(B) = 10,000$ का $20\% = 2,000$
$n(C) = 10,000$ का $10\% = 1,000$
$n(A \cap B) = 10,000$ का $5\% = 500$
$n(B \cap C) = 10,000$ का $3\% = 300$
$n(A \cap C) = 10,000$ का $4\% = 400$
$n(A \cap B \cap C) = 10,000$ का $2\% = 200$
केवल समाचार पत्र $A$ खरीदने वाले परिवारों की संख्या: $n(A \cap B^c \cap C^c) = n(A) - n(A \cap B) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C)$
$= 4,000 - 500 - 400 + 200 = 3,300$.

(C) माना $C$ कार से यात्रा करने वाले लोगों का समुच्चय है और $B$ बस से यात्रा करने वाले लोगों का समुच्चय है।
दिया है: $n(C) = 20\%$,$n(B) = 50\%$,और $n(C \cap B) = 10\%$.
हमें कार अथवा बस से यात्रा करने वालों की संख्या ज्ञात करनी है,जो $n(C \cup B)$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर: $n(C \cup B) = n(C) + n(B) - n(C \cap B)$.
$n(C \cup B) = 20 + 50 - 10 = 60$.
अतः,कार अथवा बस से यात्रा करने वालों की संख्या $60\%$ है।

(C) माना $O(S)$ समुच्चय $S$ में अवयवों की संख्या है।
प्रत्येक अवयव $10$ $A_i$ में स्थित है,इसलिए $10 \times O(S) = \sum_{i=1}^{30} O(A_i) = 30 \times 5 = 150$।
अतः,$O(S) = \frac{150}{10} = 15$।
इसी प्रकार,प्रत्येक अवयव $9$ $B_j$ में स्थित है,इसलिए $9 \times O(S) = \sum_{j=1}^{n} O(B_j) = n \times 3 = 3n$।
$9 \times 15 = 3n$ का उपयोग करने पर,$135 = 3n$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 45$।

(A) माना $M, P, C$ क्रमशः गणित,भौतिकी और रसायन विज्ञान पढ़ने वाले छात्रों के समुच्चय हैं।
दिया है: $n(M) = 23, n(P) = 24, n(C) = 19$
$n(M \cap P) = 12, n(M \cap C) = 9, n(P \cap C) = 7$
$n(M \cap P \cap C) = 4$
केवल गणित पढ़ने वाले छात्रों की संख्या:
$n(M \text{ only}) = 23 - 12 - 9 + 4 = 6$
केवल भौतिकी पढ़ने वाले छात्रों की संख्या:
$n(P \text{ only}) = 24 - 12 - 7 + 4 = 9$
केवल रसायन विज्ञान पढ़ने वाले छात्रों की संख्या:
$n(C \text{ only}) = 19 - 9 - 7 + 4 = 7$
केवल एक विषय पढ़ने वाले छात्रों की कुल संख्या:
$6 + 9 + 7 = 22$

(B) दिया गया है कि $A \cup \{1, 2\} = \{1, 2, 3, 5, 9\}$।
इसका अर्थ है कि अवयव $3, 5,$ और $9$ समुच्चय $A$ में होने चाहिए क्योंकि वे संघ (union) में हैं लेकिन समुच्चय $\{1, 2\}$ में नहीं हैं।
अवयव $1$ और $2$ समुच्चय $A$ में हो भी सकते हैं और नहीं भी।
अतः,$A$ में $\{3, 5, 9\}$ उपसमुच्चय के रूप में होना चाहिए।
विकल्पों को देखने पर,विकल्प $B$ $\{3, 5, 9\}$ है,जो शर्त $A \cup \{1, 2\} = \{1, 2, 3, 5, 9\}$ को संतुष्ट करता है।

(C) माना $T$ टेलीफोन वाले परिवारों का समुच्चय है और $C$ कार वाले परिवारों का समुच्चय है।
दिया है: $n(T) = 25\%$,$n(C) = 15\%$,और $n(T^c \cap C^c) = 65\%$.
डी मॉर्गन के नियम से,$n(T \cup C)^c = 65\%$,अतः $n(T \cup C) = 100\% - 65\% = 35\%$.
सूत्र $n(T \cup C) = n(T) + n(C) - n(T \cap C)$ का उपयोग करने पर:
$35\% = 25\% + 15\% - n(T \cap C)$
$35\% = 40\% - n(T \cap C)$
$n(T \cap C) = 5\%$.
कथन $1$ कहता है कि $10\%$ के पास दोनों हैं,जो गलत है $(5\% \neq 10\%)$.
कथन $2$ कहता है कि $35\%$ के पास या तो कार है या टेलीफोन है,जो $n(T \cup C) = 35\%$ है। यह सत्य है।
कथन $3$: चूंकि कुल परिवारों का $5\% = 2000$ है,माना $N$ परिवारों की कुल संख्या है।
$0.05 \times N = 2000 \implies N = \frac{2000}{0.05} = 40,000$. यह सत्य है।
अतः,कथन $2$ और $3$ सत्य हैं।

(D) माना $C$,$H$,और $B$ क्रमशः क्रिकेट,हॉकी और बास्केटबॉल खेलने वाले लड़कों के समुच्चय हैं।
दिया है:
$n(U) = 800$
$n(C) = 224, n(H) = 240, n(B) = 336$
$n(B \cap H) = 64, n(C \cap B) = 80, n(C \cap H) = 40$
$n(C \cap H \cap B) = 24$
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करने पर:
$n(C \cup H \cup B) = n(C) + n(H) + n(B) - [n(C \cap H) + n(H \cap B) + n(C \cap B)] + n(C \cap H \cap B)$
$n(C \cup H \cup B) = 224 + 240 + 336 - [40 + 64 + 80] + 24$
$n(C \cup H \cup B) = 800 - 184 + 24 = 640$
कोई भी खेल न खेलने वाले लड़कों की संख्या $n(U) - n(C \cup H \cup B) = 800 - 640 = 160$ है।

(C) माना $C$ पनीर पसंद करने वाले लोगों का समुच्चय है और $A$ सेब पसंद करने वाले लोगों का समुच्चय है।
दिया है: $n(C) = 63\%$ और $n(A) = 76\%$.
हम जानते हैं कि $n(C \cup A) = n(C) + n(A) - n(C \cap A)$.
चूंकि $n(C \cup A) \le 100\%$,इसलिए $63 + 76 - x \le 100$,जिसका अर्थ है $139 - x \le 100$,यानी $x \ge 39$.
साथ ही,दोनों को पसंद करने वाले लोगों की संख्या किसी एक वस्तु को पसंद करने वाले लोगों की संख्या से अधिक नहीं हो सकती,इसलिए $x \le n(C)$ और $x \le n(A)$.
अतः,$x \le 63$ और $x \le 76$,जिसका अर्थ है $x \le 63$.
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $39 \le x \le 63$ प्राप्त होता है।

(B) माना $M$ गणित पढ़ाने वाले अध्यापकों का समुच्चय है और $P$ भौतिकी पढ़ाने वाले अध्यापकों का समुच्चय है।
दिया गया है कि कुल अध्यापकों की संख्या $n(M \cup P) = 20$ है।
गणित पढ़ाने वाले अध्यापकों की संख्या $n(M) = 12$ है।
दोनों विषय पढ़ाने वाले अध्यापकों की संख्या $n(M \cap P) = 4$ है।
हम जानते हैं कि $n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P)$।
मान रखने पर: $20 = 12 + n(P) - 4$।
$20 = 8 + n(P)$,जिससे $n(P) = 12$ प्राप्त होता है।
केवल भौतिकी पढ़ाने वाले अध्यापकों की संख्या $n(P) - n(M \cap P) = 12 - 4 = 8$ है।

(A) माना $C$,$H$,और $F$ क्रमशः क्रिकेट,हॉकी और फुटबॉल टीमों के विद्यार्थियों के समुच्चय हैं।
दिया गया है:
$n(C) = 21$,$n(H) = 26$,$n(F) = 29$
$n(H \cap C) = 14$,$n(H \cap F) = 15$,$n(F \cap C) = 12$
$n(H \cap C \cap F) = 8$
हमें कुल विद्यार्थियों की संख्या $n(C \cup H \cup F)$ ज्ञात करनी है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करने पर:
$n(C \cup H \cup F) = n(C) + n(H) + n(F) - [n(H \cap C) + n(H \cap F) + n(F \cap C)] + n(H \cap C \cap F)$
$n(C \cup H \cup F) = 21 + 26 + 29 - [14 + 15 + 12] + 8$
$n(C \cup H \cup F) = 76 - 41 + 8$
$n(C \cup H \cup F) = 35 + 8 = 43$
अतः,विद्यार्थियों की कुल संख्या $43$ है।

(D) माना $M$ गणित में उत्तीर्ण छात्रों का समुच्चय है और $P$ भौतिकी में उत्तीर्ण छात्रों का समुच्चय है।
दिया है: $n(M \cup P) = 100$,$n(M) = 55$,$n(P) = 67$.
हम जानते हैं कि $n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P)$.
$100 = 55 + 67 - n(M \cap P)$.
$100 = 122 - n(M \cap P)$.
$n(M \cap P) = 122 - 100 = 22$.
केवल भौतिकी में उत्तीर्ण छात्र = $n(P) - n(M \cap P)$.
$= 67 - 22 = 45$.

(C) माना समाचार पत्रों की संख्या $n$ है।
छात्रों द्वारा कुल पठन की संख्या = $300 \times 5 = 1500$।
समाचार पत्रों द्वारा प्रदान की गई कुल पठन की संख्या = $n \times 60$।
चूंकि दोनों कुल पठन की संख्या को दर्शाते हैं,इसलिए:
$60n = 1500$
$n = \frac{1500}{60}$
$n = 25$।
अतः,समाचार पत्रों की संख्या $25$ है।

(B) प्रत्येक अवयव $x \in S$ के लिए,शर्त $x \in A \cup B$ का अर्थ है कि $x$ को कम से कम एक समुच्चय $A$ या $B$ में होना चाहिए।
प्रत्येक अवयव $x \in S$ के लिए $3$ संभावनाएं हैं:
$1. x \in A$ और $x \notin B$
$2. x \notin A$ और $x \in B$
$3. x \in A$ और $x \in B$
चूंकि समुच्चय $S$ में $4$ अवयव हैं,और प्रत्येक अवयव के पास $3$ स्वतंत्र विकल्प हैं,इसलिए $(A, B)$ के कुल क्रमित युग्मों की संख्या $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81$ है।

(A) दिया गया है $2n(A \setminus B) = n(B \setminus A)$,अतः $2(n(A) - n(A \cap B)) = n(B) - n(A \cap B)$.
इसे सरल करने पर $2n(A) - 2n(A \cap B) = n(B) - n(A \cap B)$,जिससे $n(A \cap B) = 2n(A) - n(B)$ प्राप्त होता है।
यह भी दिया गया है कि $5n(A \cap B) = n(A) + 3n(B)$.
$n(A \cap B)$ का मान रखने पर,$5(2n(A) - n(B)) = n(A) + 3n(B)$.
$10n(A) - 5n(B) = n(A) + 3n(B) \implies 9n(A) = 8n(B) \implies \frac{n(A)}{n(B)} = \frac{8}{9}$.
माना $n(A) = 8k$ और $n(B) = 9k$. तब $n(A \cap B) = 2(8k) - 9k = 7k$.
हम जानते हैं कि $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 8k + 9k - 7k = 10k$.
दिया गया है $n(A \cup B) \leq 10$,अतः $10k \leq 10 \implies k = 1$.
अतः,$n(A) = 8, n(B) = 9, n(A \cap B) = 7$.
अभीष्ट मान $\frac{8 \cdot 9 \cdot 7}{8} = 9 \cdot 7 = 63$ है।