Word Problem - Set Theory Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે $A = \{x : x \in R, -1 < x < 1\} = (-1, 1).$
આપેલ છે $B = \{x : x \in R, x - 1 \le -1 \text{ અથવા } x - 1 \ge 1\} = \{x : x \le 0 \text{ અથવા } x \ge 2\} = (-\infty, 0] \cup [2, \infty).$
હવે,$A \cup B = (-1, 1) \cup (-\infty, 0] \cup [2, \infty).$
આ અંતરાલોને જોડતા,આપણને $A \cup B = (-\infty, 1) \cup [2, \infty)$ મળે છે.
આપણને $A \cup B = R - D$ આપેલ છે.
તેથી,$D = R - (A \cup B) = R - ((-\infty, 1) \cup [2, \infty)) = [1, 2).$
આમ,$D = \{x : x \in R, 1 \le x < 2\}.$

(C) ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$n(A^c \cap B^c) = n((A \cup B)^c)$.
પૂરક ગણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$n((A \cup B)^c) = n(U) - n(A \cup B)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $n(A \cup B) = 200 + 300 - 100 = 400$.
તેથી,$n(A^c \cap B^c) = 700 - 400 = 300$.

(B) કુલ પરિવારો $N = 10,000$ છે.
$n(A) = 40\% \text{ of } 10,000 = 4,000$
$n(B) = 20\% \text{ of } 10,000 = 2,000$
$n(C) = 10\% \text{ of } 10,000 = 1,000$
$n(A \cap B) = 5\% \text{ of } 10,000 = 500$
$n(B \cap C) = 3\% \text{ of } 10,000 = 300$
$n(A \cap C) = 4\% \text{ of } 10,000 = 400$
$n(A \cap B \cap C) = 2\% \text{ of } 10,000 = 200$
માત્ર સમાચારપત્ર $A$ ખરીદતા પરિવારોની સંખ્યા શોધવા માટેનું સૂત્ર:
$n(A \text{ only}) = n(A) - n(A \cap B) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C)$
$n(A \text{ only}) = 4,000 - 500 - 400 + 200$
$n(A \text{ only}) = 4,000 - 700 = 3,300$

(C) ધારો કે $C$ એ કાર દ્વારા મુસાફરી કરતા લોકોનો ગણ છે અને $B$ એ બસ દ્વારા મુસાફરી કરતા લોકોનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(C) = 20$,$n(B) = 50$,અને $n(C \cap B) = 10$.
આપણે કાર અથવા બસ દ્વારા મુસાફરી કરતા લોકોની ટકાવારી શોધવાની છે,જે $n(C \cup B)$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $n(C \cup B) = n(C) + n(B) - n(C \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $n(C \cup B) = 20 + 50 - 10 = 60$.
તેથી,જરૂરી ટકાવારી $60\%$ છે.

(D) ધારો કે $M$,$P$,અને $C$ અનુક્રમે ગણિત,ભૌતિકવિજ્ઞાન અને રસાયણવિજ્ઞાનનો અભ્યાસ કરતા વિદ્યાર્થીઓના ગણ છે.
આપેલ છે: $n(M) = 23, n(P) = 24, n(C) = 19$.
$n(M \cap P) = 12, n(M \cap C) = 9, n(P \cap C) = 7$.
$n(M \cap P \cap C) = 4$.
માત્ર એક જ વિષયનો અભ્યાસ કરતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા:
$n({\text{માત્ર }} M) = n(M) - n(M \cap P) - n(M \cap C) n(M \cap P \cap C) = 23 - 12 - 9 4 = 6$.
$n({\text{માત્ર }} P) = n(P) - n(P \cap M) - n(P \cap C) n(P \cap M \cap C) = 24 - 12 - 7 4 = 9$.
$n({\text{માત્ર }} C) = n(C) - n(C \cap M) - n(C \cap P) n(C \cap M \cap P) = 19 - 9 - 7 4 = 7$.
માત્ર એક જ વિષય લેનારા વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $= 6 9 7 = 22$.

(B) આપેલ સમીકરણ $A \cup \{1, 2\} = \{1, 2, 3, 5, 9\}$ છે.
સૌથી નાનો ગણ $A$ શોધવા માટે,આપણે પરિણામી ગણમાં રહેલા એવા તમામ ઘટકોનો સમાવેશ કરવો જોઈએ જે $\{1, 2\}$ ગણમાં નથી.
પરિણામી ગણના ઘટકો $\{1, 2, 3, 5, 9\}$ છે.
યુનિયનમાં પહેલેથી જ $\{1, 2\}$ ઘટકો હાજર છે.
તેથી,ગણ $A$ માં ઓછામાં ઓછા $\{3, 5, 9\}$ ઘટકો હોવા જોઈએ.
આમ,સૌથી નાનો ગણ $A = \{3, 5, 9\}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A \subseteq B$,જેનો અર્થ છે કે ગણ $A$ નો દરેક ઘટક ગણ $B$ નો પણ ઘટક છે.
તેથી,$A$ અને $B$ નો યોગગણ એ ગણ $B$ જ થાય,એટલે કે $A \cup B = B$.
આમ,$n(A \cup B) = n(B)$.
કારણ કે $n(B) = 6$,તેથી $n(A \cup B) = 6$.

(A) ધારો કે કુલ લડવૈયાઓની સંખ્યા $100$ છે.
ધારો કે $A, B, C, D$ એ અનુક્રમે આંખ,કાન,હાથ અને પગ ગુમાવનાર લડવૈયાઓના ગણ છે.
આપેલ છે: $n(A) = 70, n(B) = 80, n(C) = 75, n(D) = 85$.
જેમણે આ અંગો ગુમાવ્યા નથી તેમની સંખ્યા:
$n(A^c) = 100 - 70 = 30$
$n(B^c) = 100 - 80 = 20$
$n(C^c) = 100 - 75 = 25$
$n(D^c) = 100 - 85 = 15$
જેમણે ચારેય અંગો ગુમાવ્યા હોય તેમની ન્યૂનતમ સંખ્યા $100 - (n(A^c) + n(B^c) + n(C^c) + n(D^c))$ છે.
ન્યૂનતમ $x = 100 - (30 + 20 + 25 + 15) = 100 - 90 = 10$.

(D) ધારો કે $C, H, B$ એ ક્રિકેટ,હોકી અને બાસ્કેટબોલ રમતા છોકરાઓના ગણ છે.
આપેલ છે: $n(C) = 224, n(H) = 240, n(B) = 336$.
છેદગણ: $n(H \cap B) = 64, n(C \cap B) = 80, n(C \cap H) = 40, n(C \cap H \cap B) = 24$.
ગણના સિદ્ધાંત મુજબ,ઓછામાં ઓછી એક રમત રમતા છોકરાઓની સંખ્યા:
$n(C \cup H \cup B) = n(C) + n(H) + n(B) - [n(C \cap H) + n(H \cap B) + n(C \cap B)] + n(C \cap H \cap B)$
$n(C \cup H \cup B) = 224 + 240 + 336 - (40 + 64 + 80) + 24$
$n(C \cup H \cup B) = 800 - 184 + 24 = 640$.
એક પણ રમત ન રમતા છોકરાઓની સંખ્યા:
$n(U) - n(C \cup H \cup B) = 800 - 640 = 160$.

(C) ધારો કે $A$ એ ચીઝ પસંદ કરતા અમેરિકનોનો ગણ છે અને $B$ એ સફરજન પસંદ કરતા અમેરિકનોનો ગણ છે.
ધારો કે કુલ વસ્તી $100$ છે.
તો $n(A) = 63$ અને $n(B) = 76$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
કારણ કે $n(A \cup B) \le 100$,તેથી $n(A) + n(B) - n(A \cap B) \le 100$.
$63 + 76 - n(A \cap B) \le 100 \implies 139 - n(A \cap B) \le 100 \implies n(A \cap B) \ge 39$.
વળી,$A \cap B \subseteq A$ અને $A \cap B \subseteq B$,તેથી $n(A \cap B) \le n(A)$ અને $n(A \cap B) \le n(B)$.
આમ,$n(A \cap B) \le 63$ અને $n(A \cap B) \le 76$,જેનો અર્થ છે કે $n(A \cap B) \le 63$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $39 \le n(A \cap B) \le 63$ મળે છે.
તેથી,$39 \le x \le 63$.

(A) ધારો કે $M$ એ ગણિત ભણાવતા શિક્ષકોનો ગણ છે અને $P$ એ ભૌતિકશાસ્ત્ર ભણાવતા શિક્ષકોનો ગણ છે.
આપેલ છે કે $n(M \cup P) = 20$,$n(M) = 12$,અને $n(M \cap P) = 4$.
સૂત્ર $n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P)$ નો ઉપયોગ કરતા,
$20 = 12 + n(P) - 4$
$20 = 8 + n(P)$
$n(P) = 20 - 8 = 12$.
આમ,ભૌતિકશાસ્ત્ર ભણાવતા શિક્ષકોની સંખ્યા $12$ છે.

(A) ધારો કે $C, H, F$ એ અનુક્રમે ક્રિકેટ ટીમ,હોકી ટીમ અને ફૂટબોલ ટીમના સભ્યોના ગણ છે.
આપણને આપેલ છે કે $n(C) = 21, n(H) = 26, n(F) = 29$.
વધુમાં,$n(H \cap C) = 14, n(H \cap F) = 15, n(F \cap C) = 12$ અને $n(C \cap H \cap F) = 8$.
આપણે સભ્યોની કુલ સંખ્યા શોધવાની છે,જે $n(C \cup H \cup F)$ છે.
ગણના સિદ્ધાંત મુજબ:
$n(C \cup H \cup F) = n(C) + n(H) + n(F) - n(C \cap H) - n(H \cap F) - n(F \cap C) + n(C \cap H \cap F)$
$n(C \cup H \cup F) = (21 + 26 + 29) - (14 + 15 + 12) + 8$
$n(C \cup H \cup F) = 76 - 41 + 8 = 43$.
આમ,કુલ $43$ સભ્યો છે.

(D) ધારો કે $M$ એ ગણિતમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે અને $P$ એ ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(M) = 55$,$n(P) = 67$,અને $n(M \cup P) = 100$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P)$.
$100 = 55 + 67 - n(M \cap P)$.
$100 = 122 - n(M \cap P)$.
$n(M \cap P) = 122 - 100 = 22$.
માત્ર ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(P \setminus M) = n(P) - n(M \cap P)$ દ્વારા મળે છે.
$n(P \setminus M) = 67 - 22 = 45$.

(A) ધારો કે $N, P, H$ એ અનુક્રમે નીડલ વર્ક,ભૌતિકવિજ્ઞાન અને ઇતિહાસ પસંદ કરતા વિદ્યાર્થીઓના ગણ છે.
આપેલ છે કે $n(N) = 12, n(P) = 16, n(H) = 18$ અને $n(N \cup P \cup H) = 30$.
કોઈ પણ વિદ્યાર્થી ત્રણેય વિષય પસંદ કરતું ન હોવાથી,$n(N \cap P \cap H) = 0$.
ત્રણ ગણના યોગગણનું સૂત્ર:
$n(N \cup P \cup H) = n(N) + n(P) + n(H) - [n(N \cap P) + n(P \cap H) + n(N \cap H)] + n(N \cap P \cap H)$
કિંમતો મૂકતા:
$30 = 12 + 16 + 18 - [n(N \cap P) + n(P \cap H) + n(N \cap H)] + 0$
$30 = 46 - [n(N \cap P) + n(P \cap H) + n(N \cap H)]$
$n(N \cap P) + n(P \cap H) + n(N \cap H) = 46 - 30 = 16$.
બરાબર બે વિષય પસંદ કરતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા:
$n(N \cap P) + n(P \cap H) + n(N \cap H) - 3n(N \cap P \cap H)$
$= 16 - 3(0) = 16$.

(B) આપણને આપેલ છે કે $n(A) = 3$ અને $n(B) = 6$.
બે ગણના યોગગણ માટેનું સૂત્ર $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ છે.
$n(A \cup B)$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $n(A \cap B)$ ને મહત્તમ બનાવવું પડે.
$n(A \cap B)$ ની મહત્તમ શક્ય કિંમત નાના ગણના ઘટકોની સંખ્યા જેટલી હોય,જે $3$ છે (કારણ કે $A \subset B$ શક્ય છે).
તેથી,$A \cup B$ માં ઘટકોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $3 + 6 - 3 = 6$ છે.

(D) ધારો કે $S$ એ $1$ થી $100$ સુધીની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સરવાળો છે: $S = \frac{100}{2}(1 + 100) = 5050$.
ધારો કે $S_1$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો છે: $S_1 = 3 + 6 + ... + 99 = 3(1 + 2 + ... + 33) = 3 \times \frac{33 \times 34}{2} = 1683$.
ધારો કે $S_2$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો છે: $S_2 = 5 + 10 + ... + 100 = 5(1 + 2 + ... + 20) = 5 \times \frac{20 \times 21}{2} = 1050$.
ધારો કે $S_3$ એ $3$ અને $5$ બંને વડે વિભાજ્ય (એટલે કે $15$ વડે વિભાજ્ય) સંખ્યાઓનો સરવાળો છે: $S_3 = 15 + 30 + ... + 90 = 15(1 + 2 + ... + 6) = 15 \times \frac{6 \times 7}{2} = 315$.
$3$ અથવા $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો $S_1 + S_2 - S_3 = 1683 + 1050 - 315 = 2418$ થાય.
માગેલ સરવાળો $S - (S_1 + S_2 - S_3) = 5050 - 2418 = 2632$ છે.

(D) ધારો કે $S$ એ પ્રથમ $100$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે,તેથી $n(S) = 100$.
ધારો કે $A$ એ સંખ્યા બેકી હોવાની ઘટના છે. બેકી સંખ્યાઓ $2, 4, 6, \dots, 100$ છે. તેથી,$n(A) = 50$.
ધારો કે $B$ એ સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય હોવાની ઘટના છે. $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $5, 10, 15, \dots, 100$ છે. તેથી,$n(B) = 20$.
છેદગણ $A \cap B$ એ સંખ્યાઓ દર્શાવે છે જે બેકી અને $5$ વડે વિભાજ્ય બંને છે,એટલે કે $10$ વડે વિભાજ્ય છે. આ સંખ્યાઓ $10, 20, 30, \dots, 100$ છે. તેથી,$n(A \cap B) = 10$.
બે ગણના યોગગણનું સૂત્ર વાપરતા: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 50 + 20 - 10 = 60$.
જરૂરી સંભાવના $P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \frac{60}{100} = \frac{3}{5}$ છે.

(B) કુલ દડાની સંખ્યા $= 30$.
ધારો કે $A$ એ $1$ થી $30$ વચ્ચેના $5$ ના ગુણકોનો ગણ છે:
$A = \{5, 10, 15, 20, 25, 30\}$,તેથી $n(A) = 6$.
ધારો કે $B$ એ $1$ થી $30$ વચ્ચેના $7$ ના ગુણકોનો ગણ છે:
$B = \{7, 14, 21, 28\}$,તેથી $n(B) = 4$.
છેદગણ $A \cap B$ માં $5$ અને $7$ બંનેના ગુણકો (એટલે કે $35$ ના ગુણકો) હોય છે:
$A \cap B = \emptyset$,તેથી $n(A \cap B) = 0$.
સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 6 + 4 - 0 = 10$.
સંભાવના $P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.

(D) ધારો કે $S$ એ $1$ થી $90$ સુધીની સંખ્યાઓનો ગણ છે. કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 90$ છે.
ધારો કે $A$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે. ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = \lfloor \frac{90}{6} \rfloor = 15$ છે.
ધારો કે $B$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે. ઘટકોની સંખ્યા $n(B) = \lfloor \frac{90}{8} \rfloor = 11$ છે.
$6$ અને $8$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\text{lcm}(6, 8) = 24$ વડે વિભાજ્ય હોય. ઘટકોની સંખ્યા $n(A \cap B) = \lfloor \frac{90}{24} \rfloor = 3$ છે.
ગણના સિદ્ધાંત મુજબ,$6$ અથવા $8$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 15 + 11 - 3 = 23$ છે.
સંભાવના $P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \frac{23}{90}$ છે.

(D) ધારો કે $E$ એ અંગ્રેજી સમાચારપત્ર વાંચતા લોકોનો ગણ છે અને $H$ એ હિન્દી સમાચારપત્ર વાંચતા લોકોનો ગણ છે.
આપેલ છે: $P(E) = 20\%$,$P(H) = 40\%$,અને $P(E \cap H) = 5\%$.
આપણે એવા લોકોની ટકાવારી શોધવાની છે જેઓ એક પણ સમાચારપત્ર વાંચતા નથી,જે $P(E^c \cap H^c) = 1 - P(E \cup H)$ છે.
સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(E \cup H) = P(E) + P(H) - P(E \cap H)$.
$P(E \cup H) = 20\% + 40\% - 5\% = 55\%$.
તેથી,એક પણ સમાચારપત્ર ન વાંચતા લોકોની ટકાવારી $100\% - 55\% = 45\%$ છે.

(A) ધારો કે $M$ એ ગણિતમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે અને $S$ એ આંકડાશાસ્ત્રમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(U) = 125$,$n(M) = 70$,$n(S) = 55$,અને $n(M \cap S) = 30$.
માત્ર ગણિતમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓ = $n(M) - n(M \cap S) = 70 - 30 = 40$.
માત્ર આંકડાશાસ્ત્રમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓ = $n(S) - n(M \cap S) = 55 - 30 = 25$.
માત્ર એક જ વિષયમાં પાસ થયેલા કુલ વિદ્યાર્થીઓ = $40 + 25 = 65$.
યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થી માત્ર એક જ વિષયમાં પાસ થયો હોય તેની સંભાવના $\frac{65}{125} = \frac{13}{25}$ છે.

(D) સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંત મુજબ $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P(A \cup B \cup C) = 0.3 + 0.4 + 0.8 - 0.08 - x - 0.28 + 0.09 = 1.23 - x$.
આપેલ છે કે $P(A \cup B \cup C) \ge 0.75$,તેથી $1.23 - x \ge 0.75$,જેનો અર્થ છે કે $x \le 0.48$.
કોઈપણ ઘટનાઓ $B$ અને $C$ માટે,$P(BC) \ge P(ABC) = 0.09$.
વધુમાં,$P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(BC) = 0.4 + 0.8 - x = 1.2 - x \le 1$,તેથી $x \ge 0.2$.
આમ,$0.2 \le x \le 0.48$. આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ આ વિસ્તાર સાથે મેળ ખાતું નથી.

(B) ધારો કે $M, P$ અને $C$ એ અનુક્રમે ગણિત,ભૌતિકવિજ્ઞાન અને રસાયણશાસ્ત્રમાં પાસ થવાની ઘટનાઓ છે.
આપેલ છે:
$P(M \cup P \cup C) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
$P(\text{ઓછામાં ઓછા બે}) = P(M \cap P) + P(P \cap C) + P(M \cap C) - 2P(M \cap P \cap C) = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$
$P(\text{બરાબર બે}) = P(M \cap P) + P(P \cap C) + P(M \cap C) - 3P(M \cap P \cap C) = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$P(M \cap P \cap C) = \frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{1}{10}$
ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝન સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$P(M \cup P \cup C) = (m + p + c) - (mp + pc + mc) + mpc = \frac{3}{4}$
'ઓછામાં ઓછા બે' ની શરત પરથી:
$(mp + pc + mc) - 2mpc = \frac{1}{2} \Rightarrow (mp + pc + mc) = \frac{1}{2} + 2(\frac{1}{10}) = \frac{7}{10}$
આ કિંમતોને ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝન સમીકરણમાં મૂકતા:
$(m + p + c) - \frac{7}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{4}$
$m + p + c = \frac{3}{4} + \frac{6}{10} = \frac{15 + 12}{20} = \frac{27}{20}$.

(B) $1$ થી $100$ ની વચ્ચે $2$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો ગણ $A$ અને $5$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો ગણ $B$ છે.
આપણે $A \cup B$ ના ઘટકોનો સરવાળો શોધવો છે,જે $S(A \cup B) = S(A) + S(B) - S(A \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
$S(A)$ એ $2$ ના ગુણકોનો સરવાળો છે: $2, 4, 6, \dots, 100$. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $n=50$,$a=2$,$l=100$. $S(A) = \frac{50}{2}(2 + 100) = 2550$.
$S(B)$ એ $5$ ના ગુણકોનો સરવાળો છે: $5, 10, 15, \dots, 100$. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $n=20$,$a=5$,$l=100$. $S(B) = \frac{20}{2}(5 + 100) = 1050$.
$S(A \cap B)$ એ $10$ ના ગુણકોનો સરવાળો છે ($2$ અને $5$ નો લ.સા.અ.): $10, 20, 30, \dots, 100$. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $n=10$,$a=10$,$l=100$. $S(A \cap B) = \frac{10}{2}(10 + 100) = 550$.
તેથી,$S(A \cup B) = 2550 + 1050 - 550 = 3050$.

(C) ધારો કે ગણ $A$ માં $2n + 1$ સભ્યો છે. આપણે ઓછામાં ઓછા $n$ સભ્યો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા શોધવી છે,જે $\sum_{k=n}^{2n+1} \binom{2n+1}{k}$ દ્વારા મળે છે.
કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $\sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2^{2n+1}$ છે.
સંમિતિના ગુણધર્મ $\binom{m}{r} = \binom{m}{m-r}$ મુજબ,પ્રથમ $n+1$ પદોનો સરવાળો અને છેલ્લા $n+1$ પદોનો સરવાળો સમાન થાય છે.
તેથી,$\sum_{k=n+1}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2^{2n}$.
ઓછામાં ઓછા $n$ સભ્યો માટે,આપણે $\binom{2n+1}{n} + 2^{2n}$ મેળવીએ છીએ.

(D) આપેલ છે: $P(A^c) = 0.3 \implies P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$.
$P(B) = 0.4 \implies P(B^c) = 1 - 0.4 = 0.6$.
$P(A \cap B^c) = 0.5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$,તેથી $0.7 = P(A \cap B) + 0.5 \implies P(A \cap B) = 0.2$.
આપણે $P[B / (A \cup B)^c]$ શોધવાનું છે. ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$.
$P[B / (A^c \cap B^c)] = \frac{P(B \cap (A^c \cap B^c))}{P(A^c \cap B^c)}$.
કારણ કે $B \cap B^c = \emptyset$,અંશ $P(B \cap A^c \cap B^c) = P(\emptyset) = 0$ થાય.
તેથી,$P[B / (A \cup B)^c] = 0$.

(A) ધારો કે $P(A)$ એ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં નાપાસ થવાની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ ગણિતશાસ્ત્રમાં નાપાસ થવાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $P(A) = 20\% = 0.2$ અને $P(B) = 10\% = 0.1$.
ઘટનાઓ નિરપેક્ષ છે તેમ માનતા,ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં નાપાસ થવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
ઘટનાઓ નિરપેક્ષ હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.2 \times 0.1 = 0.02$.
તેથી,$P(A \cup B) = 0.2 + 0.1 - 0.02 = 0.3 - 0.02 = 0.28$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા,$0.28 \times 100 = 28\%$.

(D) બે ઘટનાઓના યોગ માટેનું સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P(A \cup B) = 0.5 + 0.7 - 0.6 = 0.6$.
જોકે,એ નોંધવું જરૂરી છે કે આપેલ કિંમતો $P(A) = 0.5$ અને $P(A \cap B) = 0.6$ ગાણિતિક રીતે અસંગત છે,કારણ કે $P(A \cap B)$ એ $P(A)$ કરતા મોટું ન હોઈ શકે,કારણ કે $(A \cap B) \subseteq A$ હોવાથી $P(A \cap B) \leq P(A)$ થાય.

(D) ધારો કે $S$ એ પ્રથમ $200$ ધન પૂર્ણાંકોનો ગણ છે,તેથી $n(S) = 200$.
ધારો કે $A$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો ગણ છે. તેથી $n(A) = \lfloor 200/6 \rfloor = 33$.
ધારો કે $B$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો ગણ છે. તેથી $n(B) = \lfloor 200/8 \rfloor = 25$.
છેદગણ $A \cap B$ માં $\text{lcm}(6, 8) = 24$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો સમાવેશ થાય છે. તેથી $n(A \cap B) = \lfloor 200/24 \rfloor = 8$.
ગણતરીના સિદ્ધાંત મુજબ,$6$ અથવા $8$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 33 + 25 - 8 = 50$ છે.
સંભાવના $P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \frac{50}{200} = \frac{1}{4}$ થાય.

(C) ધારો કે $S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $|S|$ છે.
આપેલ છે કે $30$ ગણ $A_i$ માં દરેકના $5$ ઘટકો છે,તેથી બધા $A_i$ ના ઘટકોનો સરવાળો $30 \times 5 = 150$ થાય.
કારણ કે $S$ નો દરેક ઘટક બરાબર $10$ $A_i$ માં આવેલો છે,તેથી $|S| \times 10 = 150$,જેનો અર્થ છે કે $|S| = 15$.
તે જ રીતે,$B_j$ ગણ માટે,દરેક $n$ ગણમાં $3$ ઘટકો છે,તેથી બધા $B_j$ ના ઘટકોનો સરવાળો $n \times 3 = 3n$ થાય.
કારણ કે $S$ નો દરેક ઘટક બરાબર $9$ $B_j$ માં આવેલો છે,તેથી $|S| \times 9 = 3n$.
$|S| = 15$ મૂકતા,આપણને $15 \times 9 = 3n$ મળે.
$135 = 3n \Rightarrow n = 45$.

(C) ધારો કે $P$ એ ફોન ધરાવતા પરિવારોનો ગણ છે અને $C$ એ કાર ધરાવતા પરિવારોનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(P) = 25\%$,$n(C) = 15\%$ અને $n(P^c \cap C^c) = 65\%$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(P^c \cap C^c) = n((P \cup C)^c) = 100\% - n(P \cup C)$.
તેથી,$n(P \cup C) = 100\% - 65\% = 35\%$. આ સાબિત કરે છે કે વિધાન $2$ સાચું છે.
સૂત્ર $n(P \cup C) = n(P) + n(C) - n(P \cap C)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$35\% = 25\% + 15\% - n(P \cap C)$.
$n(P \cap C) = 40\% - 35\% = 5\%$.
કુલ પરિવારોના $5\% = 2000$ હોવાથી,કુલ પરિવારોની સંખ્યા $= \frac{2000 \times 100}{5} = 40,000$. આ સાબિત કરે છે કે વિધાન $3$ સાચું છે.
વિધાન $1$ દાવો કરે છે કે $10\%$ પાસે બંને છે,જે ખોટું છે કારણ કે આપણે $5\%$ ગણતરી કરી છે.
આમ,વિધાન $2$ અને $3$ સાચા છે.

(B) ધારો કે $N_i$ એ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે જેમણે બરાબર $i$ ખોટા જવાબ આપ્યા છે.
કોઈ પણ વિદ્યાર્થીએ $k$ કરતા વધુ ખોટા જવાબ આપ્યા નથી,તેથી ખોટા જવાબોની કુલ સંખ્યા $\sum_{i=1}^{k} i \cdot N_i$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $a_i$ એ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે જેમણે ઓછામાં ઓછા $i$ ખોટા જવાબ આપ્યા છે.
તેથી,$a_i = N_i + N_{i+1} + \dots + N_k$.
આનો અર્થ એ છે કે $N_i = a_i - a_{i+1}$ જ્યાં $i < k$ અને $N_k = a_k$.
ખોટા જવાબોની કુલ સંખ્યા $1 \cdot N_1 + 2 \cdot N_2 + \dots + k \cdot N_k$ છે.
$N_i$ ની કિંમતો મૂકતા:
$= 1(a_1 - a_2) + 2(a_2 - a_3) + \dots + (k-1)(a_{k-1} - a_k) + k(a_k)$
$= a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_k$.

(C) ધારો કે સમાચારપત્રોની સંખ્યા $n$ છે.
દરેક વિદ્યાર્થી $5$ સમાચારપત્રો વાંચે છે,તેથી વાંચનનો કુલ આંકડો $300 \times 5 = 1500$ થાય.
દરેક સમાચારપત્ર $60$ વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા વાંચવામાં આવે છે,તેથી વાંચનનો કુલ આંકડો $60 \times n$ પણ થાય.
બંનેને સરખાવતા,$60n = 1500$.
તેથી,$n = \frac{1500}{60} = 25$.

(B) બે ગણના યોગગણ માટેનું સૂત્ર $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ છે.
અહીં $n(A) = 3$ અને $n(B) = 6$ આપેલ છે,તેથી $n(A \cup B) = 3 + 6 - n(A \cap B) = 9 - n(A \cap B)$.
$n(A \cup B)$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $n(A \cap B)$ ને મહત્તમ કરવું પડે.
$A \cap B$ માં ઘટકોની મહત્તમ સંખ્યા $n(A) = 3$ છે (કારણ કે $A \subseteq B$ શક્ય છે).
તેથી,$A \cup B$ માં ઘટકોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $9 - 3 = 6$ છે.

(D) બે ગણના યોગગણ માટેનું સૂત્ર:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$110 = 70 + 60 - n(A \cap B)$
$110 = 130 - n(A \cap B)$
$n(A \cap B) = 130 - 110$
$n(A \cap B) = 20$

(B) કુલ પરિવારો $N = 10,000$.
$n(A) = 10,000$ ના $40\% = 4,000$
$n(B) = 10,000$ ના $20\% = 2,000$
$n(C) = 10,000$ ના $10\% = 1,000$
$n(A \cap B) = 10,000$ ના $5\% = 500$
$n(B \cap C) = 10,000$ ના $3\% = 300$
$n(A \cap C) = 10,000$ ના $4\% = 400$
$n(A \cap B \cap C) = 10,000$ ના $2\% = 200$
ફક્ત સમાચારપત્ર $A$ ખરીદતા પરિવારોની સંખ્યા: $n(A \cap B^c \cap C^c) = n(A) - n(A \cap B) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C)$
$= 4,000 - 500 - 400 + 200 = 3,300$.

(C) ધારો કે $C$ એ કાર દ્વારા મુસાફરી કરતા લોકોનો ગણ છે અને $B$ એ બસ દ્વારા મુસાફરી કરતા લોકોનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(C) = 20\%$,$n(B) = 50\%$,અને $n(C \cap B) = 10\%$.
આપણે કાર અથવા બસ દ્વારા મુસાફરી કરતા લોકોની ટકાવારી શોધવાની છે,જે $n(C \cup B)$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $n(C \cup B) = n(C) + n(B) - n(C \cap B)$.
$n(C \cup B) = 20 + 50 - 10 = 60$.
તેથી,કાર અથવા બસ દ્વારા મુસાફરી કરતા લોકોની ટકાવારી $60\%$ છે.

(A) ધારો કે $M, P, C$ એ અનુક્રમે ગણિત,ભૌતિકવિજ્ઞાન અને રસાયણવિજ્ઞાન ભણતા વિદ્યાર્થીઓના ગણ છે.
આપેલ છે: $n(M) = 23, n(P) = 24, n(C) = 19$
$n(M \cap P) = 12, n(M \cap C) = 9, n(P \cap C) = 7$
$n(M \cap P \cap C) = 4$
માત્ર ગણિત ભણતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા:
$n(M \text{ only}) = 23 - 12 - 9 + 4 = 6$
માત્ર ભૌતિકવિજ્ઞાન ભણતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા:
$n(P \text{ only}) = 24 - 12 - 7 + 4 = 9$
માત્ર રસાયણવિજ્ઞાન ભણતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા:
$n(C \text{ only}) = 19 - 9 - 7 + 4 = 7$
માત્ર એક જ વિષય ભણતા વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા:
$6 + 9 + 7 = 22$

(B) આપેલ છે કે $A \cup \{1, 2\} = \{1, 2, 3, 5, 9\}$.
આનો અર્થ એ છે કે ઘટકો $3, 5,$ અને $9$ ગણ $A$ માં હોવા જ જોઈએ કારણ કે તે યોગગણમાં છે પરંતુ ગણ $\{1, 2\}$ માં નથી.
ઘટકો $1$ અને $2$ ગણ $A$ માં હોઈ પણ શકે અને ન પણ હોય.
આમ,$A$ માં $\{3, 5, 9\}$ ઉપગણ તરીકે હોવા જોઈએ.
વિકલ્પો જોતા,વિકલ્પ $B$ એ $\{3, 5, 9\}$ છે,જે શરત $A \cup \{1, 2\} = \{1, 2, 3, 5, 9\}$ નું પાલન કરે છે.

(C) ધારો કે $T$ એ ટેલિફોન ધરાવતા પરિવારોનો ગણ છે અને $C$ એ કાર ધરાવતા પરિવારોનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(T) = 25\%$,$n(C) = 15\%$,અને $n(T^c \cap C^c) = 65\%$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$n(T \cup C)^c = 65\%$,તેથી $n(T \cup C) = 100\% - 65\% = 35\%$.
સૂત્ર $n(T \cup C) = n(T) + n(C) - n(T \cap C)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$35\% = 25\% + 15\% - n(T \cap C)$
$35\% = 40\% - n(T \cap C)$
$n(T \cap C) = 5\%$.
વિધાન $1$ કહે છે કે $10\%$ પાસે બંને છે,જે ખોટું છે $(5\% \neq 10\%)$.
વિધાન $2$ કહે છે કે $35\%$ પાસે કાં તો કાર છે અથવા ટેલિફોન છે,જે $n(T \cup C) = 35\%$ છે. આ સાચું છે.
વિધાન $3$: કુલ પરિવારોના $5\% = 2000$ હોવાથી,ધારો કે $N$ એ કુલ પરિવારોની સંખ્યા છે.
$0.05 \times N = 2000 \implies N = \frac{2000}{0.05} = 40,000$. આ સાચું છે.
આમ,વિધાન $2$ અને $3$ સાચા છે.

(D) ધારો કે $C$,$H$,અને $B$ એ ક્રિકેટ,હોકી અને બાસ્કેટબોલ રમતા છોકરાઓના ગણ છે.
આપેલ છે:
$n(U) = 800$
$n(C) = 224, n(H) = 240, n(B) = 336$
$n(B \cap H) = 64, n(C \cap B) = 80, n(C \cap H) = 40$
$n(C \cap H \cap B) = 24$
ગણના સિદ્ધાંત મુજબ:
$n(C \cup H \cup B) = n(C) + n(H) + n(B) - [n(C \cap H) + n(H \cap B) + n(C \cap B)] + n(C \cap H \cap B)$
$n(C \cup H \cup B) = 224 + 240 + 336 - [40 + 64 + 80] + 24$
$n(C \cup H \cup B) = 800 - 184 + 24 = 640$
કોઈ પણ રમત ન રમતા છોકરાઓની સંખ્યા $n(U) - n(C \cup H \cup B) = 800 - 640 = 160$ છે.

(C) ધારો કે $C$ એ ચીઝ પસંદ કરતા લોકોનો ગણ છે અને $A$ એ સફરજન પસંદ કરતા લોકોનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(C) = 63\%$ અને $n(A) = 76\%$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(C \cup A) = n(C) + n(A) - n(C \cap A)$.
કારણ કે $n(C \cup A) \le 100\%$,તેથી $63 + 76 - x \le 100$,જેનો અર્થ છે કે $139 - x \le 100$,એટલે કે $x \ge 39$.
વળી,બંને વસ્તુ પસંદ કરતા લોકોની સંખ્યા કોઈ એક વસ્તુ પસંદ કરતા લોકોની સંખ્યા કરતા વધી શકે નહીં,તેથી $x \le n(C)$ અને $x \le n(A)$.
આમ,$x \le 63$ અને $x \le 76$,જેનો અર્થ છે કે $x \le 63$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $39 \le x \le 63$ મળે છે.

(B) ધારો કે $M$ એ ગણિત ભણાવતા શિક્ષકોનો ગણ છે અને $P$ એ ભૌતિકવિજ્ઞાન ભણાવતા શિક્ષકોનો ગણ છે.
આપેલ છે કે કુલ શિક્ષકોની સંખ્યા $n(M \cup P) = 20$ છે.
ગણિત ભણાવતા શિક્ષકોની સંખ્યા $n(M) = 12$ છે.
બંને વિષયો ભણાવતા શિક્ષકોની સંખ્યા $n(M \cap P) = 4$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P)$.
કિંમતો મૂકતા: $20 = 12 + n(P) - 4$.
$20 = 8 + n(P)$,જે આપણને $n(P) = 12$ આપે છે.
માત્ર ભૌતિકવિજ્ઞાન ભણાવતા શિક્ષકોની સંખ્યા $n(P) - n(M \cap P) = 12 - 4 = 8$ થાય.

(A) ધારો કે $C$,$H$,અને $F$ એ અનુક્રમે ક્રિકેટ,હોકી અને ફૂટબોલ ટીમના વિદ્યાર્થીઓના ગણ છે.
આપેલ છે:
$n(C) = 21$,$n(H) = 26$,$n(F) = 29$
$n(H \cap C) = 14$,$n(H \cap F) = 15$,$n(F \cap C) = 12$
$n(H \cap C \cap F) = 8$
આપણે કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(C \cup H \cup F)$ શોધવાની છે.
ગણના સિદ્ધાંત મુજબ:
$n(C \cup H \cup F) = n(C) + n(H) + n(F) - [n(H \cap C) + n(H \cap F) + n(F \cap C)] + n(H \cap C \cap F)$
$n(C \cup H \cup F) = 21 + 26 + 29 - [14 + 15 + 12] + 8$
$n(C \cup H \cup F) = 76 - 41 + 8$
$n(C \cup H \cup F) = 35 + 8 = 43$
આમ,વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $43$ છે.

(D) ધારો કે $M$ એ ગણિતમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે અને $P$ એ ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(M \cup P) = 100$,$n(M) = 55$,$n(P) = 67$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P)$.
$100 = 55 + 67 - n(M \cap P)$.
$100 = 122 - n(M \cap P)$.
$n(M \cap P) = 122 - 100 = 22$.
માત્ર ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓ = $n(P) - n(M \cap P)$.
$= 67 - 22 = 45$.

(C) ધારો કે સમાચારપત્રોની સંખ્યા $n$ છે.
વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા વાંચનનો કુલ આંકડો = $300 \times 5 = 1500$.
સમાચારપત્રો દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવતા વાંચનનો કુલ આંકડો = $n \times 60$.
બંને કુલ વાંચન દર્શાવતા હોવાથી:
$60n = 1500$
$n = \frac{1500}{60}$
$n = 25$.
આમ,સમાચારપત્રોની સંખ્યા $25$ છે.

(B) દરેક ઘટક $x \in S$ માટે,શરત $x \in A \cup B$ સૂચવે છે કે $x$ એ ગણ $A$ અથવા $B$ માંથી ઓછામાં ઓછા એકમાં હોવો જોઈએ.
દરેક ઘટક $x \in S$ માટે $3$ શક્યતાઓ છે:
$1. x \in A$ અને $x \notin B$
$2. x \notin A$ અને $x \in B$
$3. x \in A$ અને $x \in B$
ગણ $S$ માં $4$ ઘટકો હોવાથી,અને દરેક ઘટક પાસે $3$ સ્વતંત્ર પસંદગીઓ હોવાથી,$(A, B)$ ની કુલ ક્રમયુક્ત જોડોની સંખ્યા $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $2n(A \setminus B) = n(B \setminus A)$,તેથી $2(n(A) - n(A \cap B)) = n(B) - n(A \cap B)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2n(A) - 2n(A \cap B) = n(B) - n(A \cap B)$,જે $n(A \cap B) = 2n(A) - n(B)$ આપે છે.
વળી આપેલ છે કે $5n(A \cap B) = n(A) + 3n(B)$.
$n(A \cap B)$ ની કિંમત મૂકતા,$5(2n(A) - n(B)) = n(A) + 3n(B)$.
$10n(A) - 5n(B) = n(A) + 3n(B) \implies 9n(A) = 8n(B) \implies \frac{n(A)}{n(B)} = \frac{8}{9}$.
ધારો કે $n(A) = 8k$ અને $n(B) = 9k$. તો $n(A \cap B) = 2(8k) - 9k = 7k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 8k + 9k - 7k = 10k$.
આપેલ છે કે $n(A \cup B) \leq 10$,તેથી $10k \leq 10 \implies k = 1$.
આમ,$n(A) = 8, n(B) = 9, n(A \cap B) = 7$.
માગેલ કિંમત $\frac{8 \cdot 9 \cdot 7}{8} = 9 \cdot 7 = 63$ છે.