Mix Examples of Set Theory Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $A \cup B = A \cup C$ અને $A \cap B = A \cap C$.
ગણ $B$ ને ધ્યાનમાં લો. આપણે લખી શકીએ $B = B \cap (A \cup B)$.
$A \cup B = A \cup C$ હોવાથી,$B = B \cap (A \cup C)$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$B = (B \cap A) \cup (B \cap C)$.
$A \cap B = A \cap C$ હોવાથી,$B = (A \cap C) \cup (B \cap C)$.
વિભાજનના નિયમ મુજબ,$B = (A \cup B) \cap C$.
$A \cup B = A \cup C$ હોવાથી,$B = (A \cup C) \cap C$.
$(A \cup C) \cap C = C$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $B = C$.

(B) ધારો કે $S = \sum_{k=0}^{99} \left[ \frac{1}{2} + \frac{k}{100} \right]$.
$0 \le k \le 49$ માટે,આપણી પાસે $0 \le \frac{k}{100} \le 0.49$ છે,તેથી $\frac{1}{2} + \frac{k}{100} = 0.5 + \frac{k}{100} < 1$ થાય. આમ,$k = 0, 1, \dots, 49$ માટે $\left[ \frac{1}{2} + \frac{k}{100} \right] = 0$ થશે.
$50 \le k \le 99$ માટે,આપણી પાસે $0.50 \le \frac{k}{100} \le 0.99$ છે,તેથી $1 \le \frac{1}{2} + \frac{k}{100} < 1.49$ થાય. આમ,$k = 50, 51, \dots, 99$ માટે $\left[ \frac{1}{2} + \frac{k}{100} \right] = 1$ થશે.
$k = 50$ થી $k = 99$ સુધીના પદોની સંખ્યા $99 - 50 + 1 = 50$ છે.
તેથી,સરવાળો $0 \times 50 + 1 \times 50 = 50$ થશે.

(B) આપેલ છે કે $A \cap B = A \cap C$ અને $A \cup B = A \cup C$.
$B = B \cap (A \cup B)$ ધ્યાનમાં લો.
$A \cup B = A \cup C$ હોવાથી,$B = B \cap (A \cup C)$ મળે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$B = (B \cap A) \cup (B \cap C)$.
$A \cap B = A \cap C$ હોવાથી,$B = (A \cap C) \cup (B \cap C)$ મળે.
$B = (A \cup B) \cap C$.
$A \cup B = A \cup C$ હોવાથી,$B = (A \cup C) \cap C$.
$(A \cup C) \cap C = C$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $B = C$.

(B) ધારો કે $t = \sqrt{x}$,જ્યાં $t \ge 0$. સમીકરણ $2|t - 3| + t(t - 6) + 6 = 0$ બને છે.
કિસ્સો $I$: $0 \le t < 3$ (એટલે કે $0 \le x < 9$)
$2(3 - t) + t^2 - 6t + 6 = 0$
$t^2 - 8t + 12 = 0$
$(t - 6)(t - 2) = 0$
$t = 6$ અથવા $t = 2$.
$0 \le t < 3$ હોવાથી,$t = 2$,જેનો અર્થ છે $x = 4$.
કિસ્સો $II$: $t \ge 3$ (એટલે કે $x \ge 9$)
$2(t - 3) + t^2 - 6t + 6 = 0$
$t^2 - 4t = 0$
$t(t - 4) = 0$
$t = 0$ અથવા $t = 4$.
$t \ge 3$ હોવાથી,$t = 4$,જેનો અર્થ છે $x = 16$.
આમ,$S = \{4, 16\}$,જે બરાબર બે ઘટકો ધરાવે છે.

(B) આપેલ છે કે $A \cup B = A \cup C$ અને $A \cap B = A \cap C$.
ગણ $B$ ને ધ્યાનમાં લો. આપણે લખી શકીએ $B = B \cap (A \cup B)$.
$A \cup B = A \cup C$ હોવાથી,$B = B \cap (A \cup C)$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$B = (B \cap A) \cup (B \cap C)$.
$A \cap B = A \cap C$ હોવાથી,$B = (A \cap C) \cup (B \cap C)$.
હવે ગણ $C$ ને ધ્યાનમાં લો. આપણે લખી શકીએ $C = C \cap (A \cup C)$.
$A \cup C = A \cup B$ હોવાથી,$C = C \cap (A \cup B)$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$C = (C \cap A) \cup (C \cap B)$.
$A \cap C = A \cap B$ હોવાથી,$C = (A \cap B) \cup (C \cap B)$.
$B$ અને $C$ માટેના પદોની સરખામણી કરતા,$B = (A \cap C) \cup (B \cap C)$ અને $C = (A \cap B) \cup (C \cap B)$.
$A \cap C = A \cap B$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $B = C$.

(B) ધારો કે $S = (A - B) \cup (B - C) \cup (C - A)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A - B = A \cap B^c$,$B - C = B \cap C^c$,અને $C - A = C \cap A^c$.
તેથી,$S = (A \cap B^c) \cup (B \cap C^c) \cup (C \cap A^c)$.
ડી મોર્ગનના નિયમ અને ગણના ગુણધર્મો મુજબ,પૂરક ગણ $S'$ નીચે મુજબ મળે:
$S' = (A \cap B^c)' \cap (B \cap C^c)' \cap (C \cap A^c)'$
$S' = (A^c \cup B) \cap (B^c \cup C) \cap (C^c \cup A)$.
આ પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(A^c \cup B) \cap (B^c \cup C) = (A^c \cap B^c) \cup (A^c \cap C) \cup (B \cap B^c) \cup (B \cap C) = (A^c \cap B^c) \cup (A^c \cap C) \cup (B \cap C)$.
$(C^c \cup A)$ સાથે ગુણાકાર કરતા પરિણામ $A \cap B \cap C$ મળે છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - (m+1)x + m+4 = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (m+1)^{2} - 4(m+4) \geq 0$
$m^{2} + 2m + 1 - 4m - 16 \geq 0$
$m^{2} - 2m - 15 \geq 0$
$(m-5)(m+3) \geq 0$
તેથી,$m \in (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$,એટલે કે $A = (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$.
આપેલ છે કે $B = [-3, 5)$.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા,બધા જ વિકલ્પો સત્ય જણાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^3 - [x]^3 = (x - [x])^3$.
ધારો કે ${x} = x - [x]$. તેથી સમીકરણ $x^3 - [x]^3 = {x}^3$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x^3 - [x]^3 = (x - [x])(x^2 + x[x] + [x]^2)$.
તેથી,$(x - [x])(x^2 + x[x] + [x]^2) = (x - [x])^3$.
આનો અર્થ એ થાય કે $(x - [x])[(x^2 + x[x] + [x]^2) - (x - [x])^2] = 0$.
$(x - [x])[x^2 + x[x] + [x]^2 - (x^2 - 2x[x] + [x]^2)] = 0$.
$(x - [x])[3x[x]] = 0$.
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $x - [x] = 0 \implies x \in \mathbb{Z}$.
કિસ્સો $2$: $3x[x] = 0 \implies x = 0$ અથવા $[x] = 0$.
જો $[x] = 0$ હોય,તો $0 \le x < 1$.
આ બંનેને જોડતા,$A = \mathbb{Z} \cup [0, 1)$.
કારણ કે $A$ એ $[0, 1)$ અંતરાલ ધરાવે છે પરંતુ તેમાં $\dots, -2, -1, 2, 3, \dots$ જેવા અલગ બિંદુઓ પણ છે,તેથી તે અંતરાલ નથી.
આમ,$A$ એક અંતરાલ ધરાવે છે,પરંતુ તે પોતે અંતરાલ નથી.

(A) ધારો કે $n = 2018$. આપણને $N = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ આપેલ છે.
અસમતા $I$ માટે,આપણે કોશી-શ્વાર્ટ્ઝ અસમતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(\sum a_k b_k)^2 \leq (\sum a_k^2)(\sum b_k^2)$.
ધારો કે $a_k = \sqrt{k}$ અને $b_k = \sqrt{k} x_k$. તો:
$\left(\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} \cdot \sqrt{k} x_k\right)^2 \leq \left(\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k})^2\right) \left(\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k} x_k)^2\right)$
$\left(\sum_{k=1}^{n} k x_k\right)^2 \leq \left(\sum_{k=1}^{n} k\right) \left(\sum_{k=1}^{n} k x_k^2\right) = N \sum_{k=1}^{n} k x_k^2$.
આમ,$I$ સાચું છે.
અસમતા $II$ માટે,આપણે નોંધ્યું કે $k \geq 1$ હોવાથી,બધા $k \in \{1, 2, \dots, n\}$ માટે $k^2 \geq k$ થાય.
તેથી,$\sum_{k=1}^{n} k^2 x_k^2 \geq \sum_{k=1}^{n} k x_k^2$.
$I$ સાચું હોવાથી,આપણી પાસે $\left(\sum_{k=1}^{n} k x_k\right)^2 \leq N \sum_{k=1}^{n} k x_k^2 \leq N \sum_{k=1}^{n} k^2 x_k^2$ છે.
આમ,$II$ પણ સાચું છે.
તેથી,$I$ અને $II$ બંને સાચા છે.

(A) ગણ $A$ માટે,$\cos^2(\sin \theta) + \sin^2(\cos \theta) = 1$ છે.
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આ સમીકરણ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\tan^2 \theta = 1$,તેથી $\tan \theta = \pm 1$.
આમ,$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.
ગણ $B$ માટે,$\cos(\sin \theta) \sin(\cos \theta) = 0$ છે.
આનો અર્થ છે કે $\cos(\sin \theta) = 0$ અથવા $\sin(\cos \theta) = 0$.
$-1 \le \sin \theta \le 1$ હોવાથી,$\cos(\sin \theta)$ ક્યારેય $0$ ન હોઈ શકે કારણ કે $\cos x = 0$ એ $x = \pm \frac{\pi}{2} \approx \pm 1.57$ પર થાય છે,જે $[-1, 1]$ ની બહાર છે.
તે જ રીતે,$\sin(\cos \theta) = 0$ નો અર્થ છે કે $\cos \theta = n\pi$. $-1 \le \cos \theta \le 1$ હોવાથી,માત્ર શક્ય કિંમત $\cos \theta = 0$ છે.
આમ,$\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2}$.
બંને ગણોની સરખામણી કરતા,$A = \{n\pi \pm \frac{\pi}{4}\}$ અને $B = \{(2n+1)\frac{\pi}{2}\}$,કોઈ સામાન્ય કિંમત મળતી નથી.
તેથી,$A \cap B = \emptyset$.

(D) બે અંકની સંખ્યા $\overline{ab}$ ઓલમોસ્ટ પ્રાઇમ છે જો તેને વધુમાં વધુ એક અંક બદલીને અવિભાજ્ય સંખ્યામાં ફેરવી શકાય.
કુલ $90$ બે અંકની સંખ્યાઓ છે ($10$ થી $99$ સુધી).
દરેક અવિભાજ્ય સંખ્યા પોતે ઓલમોસ્ટ પ્રાઇમ છે.
ચકાસણી કરતા જણાય છે કે તમામ $90$ બે અંકની સંખ્યાઓ આ શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,કુલ સંખ્યા $90$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ જ્યાં $a_i \in \mathbb{Z}$.
આપેલ છે કે $p(2) = 2$ અને $p(4) = 5$.
પૂર્ણાંક સહગુણકો ધરાવતી બહુપદીઓના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ બે ભિન્ન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,$(a-b)$ એ $(p(a) - p(b))$ ને ભાગી શકે છે.
અહીં,$a = 4$ અને $b = 2$.
તેથી,$(4-2)$ એ $(p(4) - p(2))$ ને ભાગવું જોઈએ.
$(4-2) = 2$ અને $(p(4) - p(2)) = 5 - 2 = 3$.
કારણ કે $2$ એ $3$ ને ભાગી શકતું નથી,તેથી આવી કોઈ પૂર્ણાંક સહગુણકો વાળી બહુપદી અસ્તિત્વમાં નથી.
તેથી,આવી બહુપદીઓની સંખ્યા $0$ છે.

(B) આપેલ છે $\text{HCF}(x, y) = 16$ અને $\text{LCM}(x, y) = 48000$.
ધારો કે $x = 16a$ અને $y = 16b$,જ્યાં $\text{HCF}(a, b) = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{LCM}(x, y) = \text{HCF}(x, y) \times a \times b$.
$48000 = 16 \times a \times b
\implies ab = \frac{48000}{16} = 3000$.
$3000$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $3^1 \times 2^3 \times 5^3$ છે.
$\text{HCF}(a, b) = 1$ હોવાથી,અવિભાજ્ય અવયવો $2^3, 3^1, 5^3$ ને $a$ અને $b$ વચ્ચે એવી રીતે વહેંચવા જોઈએ કે કોઈ પણ અવિભાજ્ય અવયવ બંનેમાં સામાન્ય ન હોય.
દરેક અવિભાજ્ય અવયવ $p^k$ માટે,આપણી પાસે બે વિકલ્પો છે: કાં તો તે $a$ નો અવયવ છે અથવા તે $b$ નો અવયવ છે.
અહીં $3$ અલગ-અલગ અવિભાજ્ય અવયવો $(2, 3, 5)$ છે.
દરેક અવિભાજ્ય અવયવ માટે $2$ વિકલ્પો છે.
કુલ જોડીઓની સંખ્યા $(a, b) = 2^3 = 8$.
દરેક જોડી $(a, b)$ એ એક અનન્ય જોડી $(x, y)$ ને અનુરૂપ હોવાથી,$S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $8$ છે.

(B) ગણ $A$ માટે: $[x + 3] + [x + 4] \leq 3 \implies [x] + 3 + [x] + 4 \leq 3$.
$2[x] + 7 \leq 3 \implies 2[x] \leq -4 \implies [x] \leq -2$.
કારણ કે $[x] \leq -2$,તેથી $x < -1$,એટલે કે $A = (-\infty, -1)$.
ગણ $B$ માટે: સરવાળો એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{10^n} = 3 \left( \frac{1/10}{1 - 1/10} \right) = 3 \left( \frac{1/10}{9/10} \right) = 3 \left( \frac{1}{9} \right) = \frac{1}{3} = 3^{-1}$.
અસમતા $3^x (3^{-1})^{x-3} < 3^{-3x}$ બને છે.
$3^x \cdot 3^{-x+3} < 3^{-3x} \implies 3^3 < 3^{-3x}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા: $3 < -3x \implies x < -1$.
આમ,$B = (-\infty, -1)$.
તેથી,$A = B$.

(D) ગણ $S$ ના દરેક ઘટક માટે,બે પરસ્પર અલગ ઉપગણો $A$ અને $B$ માં તેની હાજરી માટે $3$ શક્યતાઓ છે:
$1$. ઘટક $A$ માં છે પણ $B$ માં નથી.
$2$. ઘટક $B$ માં છે પણ $A$ માં નથી.
$3$. ઘટક $A$ કે $B$ બંનેમાંથી એકમાં પણ નથી.
અહીં $n = 4$ ઘટકો હોવાથી,પરસ્પર અલગ ઉપગણોની ક્રમિત જોડીઓ $(A, B)$ ની કુલ સંખ્યા $3^n = 3^4 = 81$ છે.
ક્રમરહિત જોડીઓ ${A, B}$ શોધવા માટે,આપણે $A = B$ વાળા કિસ્સાને ધ્યાનમાં લેવો પડે. $A$ અને $B$ પરસ્પર અલગ હોવાથી,$A = B$ નો અર્થ છે $A = B = \emptyset$. આ માત્ર $1$ કિસ્સામાં થાય છે.
બાકીના તમામ કિસ્સાઓ જ્યાં $A \neq B$ હોય,ત્યાં જોડી ${A, B}$ ને ક્રમિત યાદીમાં બે વાર ગણવામાં આવે છે (જેમ કે $(A, B)$ અને $(B, A)$).
તેથી,ક્રમરહિત જોડીઓની સંખ્યા $\frac{3^n + 1}{2} = \frac{3^4 + 1}{2} = \frac{81 + 1}{2} = 41$ થાય.

(D) આપણને ગણ $A = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : |x + y| \geq 3\}$ અને $B = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : |x| + |y| \leq 3\}$ આપેલા છે.
આપણે ગણ $C = \{(x, y) \in A \cap B : x = 0 \text{ અથવા } y = 0\}$ શોધવાનો છે.
કિસ્સો $1$: જો $x = 0$ હોય,તો $(0, y) \in A \cap B$.
$B$ પરથી,$|0| + |y| \leq 3 \implies |y| \leq 3 \implies -3 \leq y \leq 3$.
$A$ પરથી,$|0 + y| \geq 3 \implies |y| \geq 3$.
આ બંનેને જોડતા,$|y| = 3$ મળે,તેથી $y = 3$ અથવા $y = -3$. આમ,$(0, 3)$ અને $(0, -3)$ એ $C$ માં છે.
કિસ્સો $2$: જો $y = 0$ હોય,તો $(x, 0) \in A \cap B$.
$B$ પરથી,$|x| + |0| \leq 3 \implies |x| \leq 3 \implies -3 \leq x \leq 3$.
$A$ પરથી,$|x + 0| \geq 3 \implies |x| \geq 3$.
આ બંનેને જોડતા,$|x| = 3$ મળે,તેથી $x = 3$ અથવા $x = -3$. આમ,$(3, 0)$ અને $(-3, 0)$ એ $C$ માં છે.
તેથી,$C = \{(3, 0), (-3, 0), (0, 3), (0, -3)\}$.
હવે,આપણે $\sum_{(x, y) \in C} |x + y| = |3 + 0| + |-3 + 0| + |0 + 3| + |0 - 3| = 3 + 3 + 3 + 3 = 12$ ગણીએ છીએ.

(C) ગણ $A$ માટે: $\log_{(2/\pi)}|\sin x| + \log_{(2/\pi)}|\cos x| = 2$
$\Rightarrow \log_{(2/\pi)}|\sin x \cos x| = 2$
$\Rightarrow |\sin x \cos x| = (2/\pi)^2 = 4/\pi^2$
$\Rightarrow |\frac{1}{2} \sin 2x| = 4/\pi^2$
$\Rightarrow |\sin 2x| = 8/\pi^2$
અહીં $8/\pi^2 < 1$ હોવાથી,$(0, \pi) - \{\pi/2\}$ માં $4$ ઉકેલો મળે છે.
ગણ $B$ માટે: ધારો કે $t = \sqrt{x} \geq 0$. સમીકરણ $t(t - 4) - 3|t - 2| + 6 = 0$ છે.
કિસ્સો $1$: $0 \leq t < 2$. $|t - 2| = 2 - t$.
$t^2 - 4t - 3(2 - t) + 6 = 0$ $\Rightarrow t^2 - t = 0$ $\Rightarrow t = 0, 1$. તેથી $x = 0, 1$.
કિસ્સો $2$: $t \geq 2$. $|t - 2| = t - 2$.
$t^2 - 4t - 3(t - 2) + 6 = 0$ $\Rightarrow t^2 - 7t + 12 = 0$ $\Rightarrow t = 3, 4$. તેથી $x = 9, 16$.
ગણ $B = \{0, 1, 9, 16\}$,તેથી $n(B) = 4$.
$A$ અને $B$ અલગ હોવાથી,$n(A \cup B) = 4 + 4 = 8$.

(D) ધારો કે આપેલ સરવાળો $S = \sum_{k=0}^{99} \left[\frac{1}{2} + \frac{k}{100}\right]$ છે.
દરેક પદ $\left[\frac{1}{2} + \frac{k}{100}\right]$ ની કિંમત તપાસતા:
$0 \le k \le 49$ માટે,$\frac{1}{2} \le \frac{1}{2} + \frac{k}{100} \le 0.99$ થાય છે. તેથી,મહત્તમ પૂર્ણાંક ભાગ $0$ છે. આવા $50$ પદો છે.
$50 \le k \le 99$ માટે,$1 \le \frac{1}{2} + \frac{k}{100} \le 1.49$ થાય છે. તેથી,મહત્તમ પૂર્ણાંક ભાગ $1$ છે. આવા $50$ પદો છે.
આમ,$S = (50 \times 0) + (50 \times 1) = 50$.

(C) $x = 0, 1, 2, 4$ પરની કિંમતો જોતા,આપણે ધારીએ છીએ કે વિધેય $f(x)$ એ $3$ કે તેથી ઓછી ઘાતવાળી બહુપદી છે,જેનો અર્થ છે કે ચોથા ક્રમનો તફાવત શૂન્ય છે: $\Delta^{4} f(0) = 0$.
$E$ ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $Ef(x) = f(x+1)$,આપણને મળે છે $(E-1)^{4} f(0) = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે $(E^{4}-4E^{3}+6E^{2}-4E+1) f(0) = 0$.
આ સમીકરણ $f(4) - 4f(3) + 6f(2) - 4f(1) + f(0) = 0$ માં પરિણમે છે.
જાણીતી કિંમતો $f(0)=1, f(1)=3, f(2)=9, f(4)=81$ મૂકતા:
$81 - 4f(3) + 6(9) - 4(3) + 1 = 0$.
$81 - 4f(3) + 54 - 12 + 1 = 0$.
$124 - 4f(3) = 0$.
$4f(3) = 124$.
$f(3) = 31$.

(C) ધારો કે દરેક શિરોબિંદુનો અંશ (degree) $K$ છે.
આલેખ નિયમિત હોવાથી,દરેક શિરોબિંદુનો અંશ $K$ સમાન છે.
આલેખમાં તમામ શિરોબિંદુઓના અંશનો સરવાળો એ શિરોબિંદુઓની સંખ્યા અને દરેક શિરોબિંદુના અંશના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
અહીં $15$ શિરોબિંદુઓ છે અને તેમના અંશનો સરવાળો $60$ છે,તેથી:
$15 \times K = 60$
બંને બાજુ $15$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$K = \frac{60}{15} = 4$
તેથી,દરેક શિરોબિંદુનો અંશ $4$ છે.

(B) આપેલ છે કે $P(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$.
કિંમતોમાં ભાત જુઓ: $x = 0, 1, 2, 3, 4$ માટે $P(x) = x^2 + 1$ થાય છે.
ધારો કે $Q(x) = P(x) - (x^2 + 1)$.
$P(x)$ એ $5$ ઘાતની બહુપદી હોવાથી,$Q(x)$ એ $0, 1, 2, 3, 4$ શૂન્યો ધરાવતી $5$ ઘાતની બહુપદી છે.
તેથી,$Q(x) = k(x)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ જ્યાં $k = 1$.
આમ,$P(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x^2 + 1$.
$P(5)$ શોધવા માટે,$x = 5$ મૂકતા:
$P(5) = 5(4)(3)(2)(1) + 25 + 1 = 120 + 26 = 146$.

(C) ગણ $A$ ના દરેક ઘટક માટે $3$ શક્યતાઓ છે:
$1$. ઘટક ઉપગણ $P$ માં છે.
$2$. ઘટક ઉપગણ $Q$ માં છે.
$3$. ઘટક $P$ કે $Q$ બંનેમાં નથી.
કારણ કે ઉપગણ $P$ અને $Q$ પરસ્પર અલગ હોવા જોઈએ,તેથી કોઈ પણ ઘટક $P$ અને $Q$ બંનેમાં હોઈ શકે નહીં.
આપેલ છે કે ગણ $A$ માં $n = 5$ ઘટકો છે,તેથી દરેક $5$ ઘટકો માટે $3$ વિકલ્પો છે.
તેથી,ઉપગણ $P$ અને $Q$ પસંદ કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $3^n = 3^5 = 243$ છે.

(D) ધારો કે $n(A) = m$ અને $n(B) = n$.
આપેલ છે કે $P_B$ માં $P_A$ કરતા $112$ ઘટકો વધુ છે,તેથી $n(P_B) - n(P_A) = 112$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(P_A) = 2^m$ અને $n(P_B) = 2^n$,તેથી $2^n - 2^m = 112$.
$2^m$ સામાન્ય લેતા,$2^m(2^{n-m} - 1) = 112$.
$112$ ને $16 \times 7 = 2^4 \times (8 - 1) = 2^4(2^3 - 1)$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $m = 4$ અને $n - m = 3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n = 7$.
$A$ થી $B$ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $^n P_m$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$^7 P_4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$.

(B) ગણ $A$ માટે,આપણે $x^2-8x+15 \geq 0$ ની જરૂર છે.
$(x-3)(x-5) \geq 0$,જે $x \in (-\infty, 3] \cup [5, \infty)$ આપે છે.
ગણ $B$ માટે,આપણે $\frac{x-3}{2x-5} - \frac{x-6}{2x-11} < 0$ ઉકેલીએ.
$\frac{(x-3)(2x-11) - (x-6)(2x-5)}{(2x-5)(2x-11)} < 0$.
$\frac{(2x^2-17x+33) - (2x^2-17x+30)}{(2x-5)(2x-11)} < 0$.
$\frac{3}{(2x-5)(2x-11)} < 0$.
આ સૂચવે છે કે $(2x-5)(2x-11) < 0$,તેથી $x \in \left(\frac{5}{2}, \frac{11}{2}\right)$.
અંતે,$A \cap B = ((-\infty, 3] \cup [5, \infty)) \cap \left(\frac{5}{2}, \frac{11}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 3\right] \cup \left[5, \frac{11}{2}\right)$.

(A) $p$ માટે: $6^m + 9^n \equiv 1^m + (-1)^n \equiv 1 + (-1)^n \pmod{5}$.
આ $5$ નો ગુણક બને તે માટે $1 + (-1)^n \equiv 0 \pmod{5}$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $(-1)^n = -1$.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $n$ એકી સંખ્યા હોય. ગણ $\{1, 2, \ldots, 50\}$ માં $n$ માટે $25$ એકી કિંમતો અને $m$ માટે $50$ કિંમતો છે.
તેથી,$p = 50 \times 25 = 1250$.
$q$ માટે: $m + n$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યાનો વર્ગ હોવો જોઈએ. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના શક્ય વર્ગો $2^2 = 4$,$3^2 = 9$,$5^2 = 25$,અને $7^2 = 49$ છે.

$m + n = 4$	$3$ જોડ: $(1,3), (2,2), (3,1)$
$m + n = 9$	$8$ જોડ: $(1,8), \ldots, (8,1)$
$m + n = 25$	$24$ જોડ: $(1,24), \ldots, (24,1)$
$m + n = 49$	$48$ જોડ: $(1,48), \ldots, (48,1)$

$q = 3 + 8 + 24 + 48 = 83$.
$p + q = 1250 + 83 = 1333$.

(B) ગણ $A$ ના પદો $a_n = 1 + (n-1)5 = 5n - 4$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, \dots, 101$. મહત્તમ કિંમત $5(101) - 4 = 501$ છે.
ગણ $B$ ના પદો $b_m = 9 + (m-1)7 = 7m + 2$ છે,જ્યાં $m = 1, 2, \dots, 71$. મહત્તમ કિંમત $7(71) + 2 = 499$ છે.
કોઈ ઘટક $x$ એ $A \cap B$ માં હોય તે માટે,$x = 5n - 4 = 7m + 2$,જેનો અર્થ છે $5n = 7m + 6$.
$m$ ની કિંમતો ચકાસતા: જો $m=2$ હોય,તો $x=16$ ($16 = 5(4)-4$,તેથી $16 \in A$).
સામાન્ય પદો એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જેનો સામાન્ય તફાવત $\text{lcm}(5, 7) = 35$ છે. તેથી,$x = 35k + 16$.
આપણે $16 \le 35k + 16 \le 499$ ની શરત પૂરી કરવી પડે,જે $0 \le k \le 13.8$ આપે છે,તેથી $k \in \{0, 1, 2, \dots, 13\}$.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $x$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોય: $35k + 16 \equiv 2k + 1 \equiv 0 \pmod 3$.
આનો અર્થ છે $2k \equiv 2 \pmod 3$,તેથી $k \equiv 1 \pmod 3$.
$k$ માટે શક્ય કિંમતો $1, 4, 7, 10, 13$ છે.
આમ,કુલ $5$ કિંમતો મળે છે.