Venn Diagram and Operation on Sets Questions in Gujarati

(B) પગલું $1$: ગણ $B$ અને $C$ નો છેદગણ શોધો.
$B \cap C = \{3, 4\} \cap \{4, 5, 6\} = \{4\}$.
પગલું $2$: ગણ $A$ અને ઉપરના પરિણામનો યોગગણ શોધો.
$A \cup (B \cap C) = \{1, 2, 3\} \cup \{4\} = \{1, 2, 3, 4\}$.

(C) છેદગણ $A \cap B$ શોધવા માટે,આપણે એવા બિંદુઓ $(x, y)$ શોધવા પડશે જે બંને સમીકરણોનું પાલન કરે:
$y = \frac{1}{x}$ અને $y = -x$.
બીજા સમીકરણને પહેલામાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$-x = \frac{1}{x}$
$-x^2 = 1$
$x^2 = -1$
કારણ કે $x$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા $(x \in R)$ હોવી જોઈએ,તેથી $x^2 = -1$ નું પાલન કરે તેવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત $x$ માટે શક્ય નથી.
તેથી,ગણ $A$ અને $B$ વચ્ચે કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ નથી.
આમ,$A \cap B = \phi$.

(C) પદાવલિ $(A - B) \cup (B - A)$ એ ગણ $A$ અને $B$ નો સંમિત તફાવત દર્શાવે છે,જેને $A \Delta B$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$A - B = A \cap B^c$ અને $B - A = B \cap A^c$ થાય.
તેથી,$(A - B) \cup (B - A) = (A \cap B^c) \cup (B \cap A^c)$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આ પદ $(A \cup B) - (A \cap B)$ માં સરળ બને છે,જેમાં એવા તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે જે $A$ અથવા $B$ માં હોય પરંતુ બંનેમાં ન હોય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $R \times (P^c \cup Q^c)^c$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $(P^c \cup Q^c)^c = (P^c)^c \cap (Q^c)^c = P \cap Q$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $R \times (P \cap Q)$ મળે છે.
કાર્તેઝીય ગુણાકારના છેદ પર વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$R \times (P \cap Q) = (R \times P) \cap (R \times Q)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,છેદગણ $A \cap B$ શોધો:
$A \cap B = \{2, 3, 4, 8, 10\} \cap \{3, 4, 5, 10, 12\} = \{3, 4, 10\}$.
ત્યારબાદ,છેદગણ $A \cap C$ શોધો:
$A \cap C = \{2, 3, 4, 8, 10\} \cap \{4, 5, 6, 12, 14\} = \{4\}$.
અંતે,આ બંને ગણનો યોગગણ શોધો:
$(A \cap B) \cup (A \cap C) = \{3, 4, 10\} \cup \{4\} = \{3, 4, 10\}$.

(A) ગણના વિભાજનના નિયમ મુજબ,$A \cap (A \cup B) = (A \cap A) \cup (A \cap B)$.
કારણ કે $A \cap A = A$,તેથી પદ $A \cup (A \cap B)$ બને છે.
કારણ કે $(A \cap B) \subseteq A$,તેથી $A$ અને $A$ ના ઉપગણનો યોગગણ $A$ જ થાય.
તેથી,$A \cap (A \cup B) = A$.

(A) સૌ પ્રથમ,ગણ $B$ અને $C$ નો યોગગણ શોધો:
$B \cup C = \{b, c, d\} \cup \{a, b, d, e\} = \{a, b, c, d, e\}$.
હવે,ગણ $A$ નો પરિણામી ગણ સાથેનો છેદગણ શોધો:
$A \cap (B \cup C) = \{a, b, c\} \cap \{a, b, c, d, e\} = \{a, b, c\}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ગણના તફાવતની વ્યાખ્યા મુજબ,$B - A$ એવા ઘટકોનો ગણ છે જે $B$ માં છે પણ $A$ માં નથી.
તેથી,કોઈપણ ઘટક $x \in (B - A)$ માટે $x \notin A$ થાય.
કારણ કે $A \cap (B - A)$ માં એવા ઘટકો હોય છે જે $A$ અને $(B - A)$ બંનેમાં હોય,અને કોઈ પણ ઘટક એકસાથે $A$ અને $(B - A)$ માં હોઈ શકે નહીં,તેથી તેમનો છેદગણ ખાલી ગણ થાય.
આમ,$A \cap (B - A) = \phi$.

(D) છાયાંકિત પ્રદેશ એવા ઘટકો દર્શાવે છે જે ગણ $A$ માં છે પરંતુ ગણ $B$ અને ગણ $C$ માં નથી.
આનો અર્થ એ છે કે આ પ્રદેશ $A$ માં છે અને $B$ તથા $C$ ના યોગગણને બાકાત રાખે છે.
તેથી,છાયાંકિત પ્રદેશ $A - (B \cup C)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) વેન આકૃતિ પરથી,ગણ $A$ એ $(A - B)$ અને $(A \cap B)$ માં રહેલા ઘટકોનો બનેલો છે.
તે જ રીતે,ગણ $B$ એ $(B - A)$ અને $(A \cap B)$ માં રહેલા ઘટકોનો બનેલો છે.
આ અલગ-અલગ પ્રદેશોનો યોગગણ $(A - B) \cup (B - A) \cup (A \cap B) = A \cup B$ થાય છે.

(A) ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(A \cup B)' = A' \cap B'$.
તેથી,પદાવલિ $(A' \cap B') \cup (A' \cap B)$ બને છે.
વિભાજનના નિયમ દ્વારા,આ $A' \cap (B' \cup B)$ ને સમાન છે.
કારણ કે $B' \cup B = U$ (સાર્વત્રિક ગણ),તેથી આપણને $A' \cap U = A'$ મળે છે.
આમ,$(A \cup B)' \cup (A' \cap B) = A'$.

(C) આપણે બે ગણના યોગગણ માટેનું સૂત્ર વાપરીએ છીએ:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$0.25 = 0.16 + 0.14 - n(A \cap B)$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$0.25 = 0.30 - n(A \cap B)$
$n(A \cap B)$ માટે ઉકેલતા:
$n(A \cap B) = 0.30 - 0.25 = 0.05$

(C) કારણ કે $A$ અને $B$ પરસ્પર અલગ છે,તેથી $A \cap B = \phi$.
તેથી,$n(A \cap B) = 0$.
બે ગણના યોગગણ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$n(A \cap B)$ ની કિંમત મૂકતા:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - 0 = n(A) + n(B)$.

(B) કોઈપણ બે ગણ $A$ અને $B$ માટે,તેમના યોગગણમાં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંત દ્વારા મળે છે:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
કારણ કે $A$ અને $B$ પરસ્પર અલગ ગણ નથી,તેથી $n(A \cap B) \neq 0$,જે આ સૂત્રની પુષ્ટિ કરે છે.

(A) બે ગણ $A$ અને $B$ નો તફાવત,જેને $A - B$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે એવા ઘટકોનો ગણ છે જે $A$ માં હોય પરંતુ $B$ માં ન હોય.
ગાણિતિક રીતે,$A - B = \{x : x \in A \text{ અને } x \notin B\}$.
કારણ કે $x \notin B$ એ $x \in B^c$ ને સમાન છે,તેથી $A - B = \{x : x \in A \text{ અને } x \in B^c\}$.
તેથી,$A - B = A \cap B^c$.

(A) ગણના તફાવતનો ગુણધર્મ વાપરતા,$A - (B \cap C) = A \cap (B \cap C)^c$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$(B \cap C)^c = B^c \cup C^c$.
તેથી,$A \cap (B^c \cup C^c) = (A \cap B^c) \cup (A \cap C^c)$.
કારણ કે $A \cap B^c = A - B$ અને $A \cap C^c = A - C$,તેથી આપણને $(A - B) \cup (A - C)$ મળે છે.

(B) ગણના વિભાજનના નિયમ (Distributive Law) મુજબ,એક ગણનો અન્ય બે ગણના યોગગણ સાથેનો છેદગણ નીચે મુજબ મળે છે:
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,ગણ $A$ અને $B$ નો યોગગણ શોધો:
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \cup \{2, 4, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
ત્યારબાદ,$(A \cup B)$ અને ગણ $C$ નો છેદગણ શોધો:
$(A \cup B) \cap C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \cap \{3, 4, 6\} = \{3, 4, 6\}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ ગણ $A = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, \dots\}$ અને $B = \{6, 12, 18, 24, 30, \dots\}$ છે.
છેદગણ $A \cap B$ માં એવા ઘટકો હોય છે જે ગણ $A$ અને $B$ બંનેમાં સામાન્ય હોય.
ગણ $A$ એ $4$ ના ગુણકો ધરાવે છે અને ગણ $B$ એ $6$ ના ગુણકો ધરાવે છે,તેથી સામાન્ય ઘટકો એ $4$ અને $6$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ ના ગુણકો હશે.
$LCM(4, 6) = 12$.
આમ,$A \cap B = \{12, 24, 36, \dots\}$,જે $12$ ના તમામ ગુણકો દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે $M$,$P$,અને $C$ એ ગણિત,ભૌતિકવિજ્ઞાન અને રસાયણવિજ્ઞાન પસંદ કરતા વિદ્યાર્થીઓના ગણ છે.
આપણને આપેલ છે:
$n(M) = 100$,$n(P) = 70$,$n(C) = 40$
$n(M \cap P) = 30$,$n(M \cap C) = 28$,$n(P \cap C) = 23$
$n(M \cap P \cap C) = 18$
માત્ર ગણિત પસંદ કરતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર:
$n(M \text{ only}) = n(M) - n(M \cap P) - n(M \cap C) + n(M \cap P \cap C)$
કિંમતો મૂકતા:
$n(M \text{ only}) = 100 - 30 - 28 + 18$
$n(M \text{ only}) = 100 - 58 + 18$
$n(M \text{ only}) = 42 + 18 = 60$
આમ,$60$ વિદ્યાર્થીઓએ ફક્ત ગણિત પસંદ કર્યું છે.

(D) $(1)$ માટે: $A - B$ એ $A$ ના એવા ઘટકોનો ગણ છે જે $B$ માં નથી. $A \cap B$ એ $A$ અને $B$ માં સામાન્ય ઘટકોનો ગણ છે. આમ,$A - (A \cap B)$ પણ $A$ ના એવા ઘટકો દર્શાવે છે જે $B$ માં નથી. તેથી,$(1)$ સાચું છે.
$(2)$ માટે: ગણ $A$ ને બે અલગ ગણોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: $A$ ના ઘટકો જે $B$ માં પણ છે $(A \cap B)$ અને $A$ ના ઘટકો જે $B$ માં નથી $(A - B)$. તેમનો યોગગણ $A$ છે. તેથી,$(2)$ સાચું છે.
$(3)$ માટે: ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$A - (B \cup C) = A \cap (B \cup C)^c = A \cap (B^c \cap C^c) = (A \cap B^c) \cap (A \cap C^c) = (A - B) \cap (A - C)$. આપેલ સંબંધમાં $\cap$ ને બદલે $\cup$ નો ઉપયોગ થયો છે. તેથી,$(3)$ ખોટું છે.
તેથી,$(1)$ અને $(2)$ સાચા છે.

(A) ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2 = \overline{E_1 \cup E_2}$.
ધારો કે $A = E_1 \cup E_2$. તો પદાવલિ $P(A \cap \bar{A})$ બને છે.
કારણ કે $A \cap \bar{A} = \phi$ (ખાલી ગણ),તેથી $P(A \cap \bar{A}) = P(\phi) = 0$.
કારણ કે $0 < \frac{1}{4}$,તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) "બધા વિદ્યાર્થીઓ મહેનતુ છે" વિધાનનો અર્થ એ છે કે ગણ $S$ નો દરેક ઘટક ગણ $H$ નો પણ ઘટક છે.
આને ગાણિતિક રીતે $S \subseteq H$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
વેન આકૃતિની દ્રષ્ટિએ,આનો અર્થ એ છે કે ગણ $S$ ને દર્શાવતું વર્તુળ સાર્વત્રિક ગણ $U$ ની અંદર ગણ $H$ ને દર્શાવતા વર્તુળની સંપૂર્ણ અંદર હોવું જોઈએ.
આ વિકલ્પ $A$ માં આપેલી આકૃતિને અનુરૂપ છે.

(A) "કોઈ બાળક તોફાની નથી" વિધાનનો અર્થ એ છે કે બાળકોના ગણ $(C)$ અને તોફાની વ્યક્તિઓના ગણ $(N)$ વચ્ચે કોઈ સામાન્ય ઘટક નથી.
ગાણિતિક રીતે,આને $C \cap N = \phi$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે ગણ $C$ અને $N$ પરસ્પર અલગ છે,જે વેન આકૃતિમાં બે વર્તુળો એકબીજાને છેદતા નથી તે રીતે દર્શાવેલ છે,જે વિકલ્પ $A$ માં જોવા મળે છે.

(A) "કોઈ પોલીસમેન ચોર નથી" વિધાનનો અર્થ એ છે કે પોલીસમેનનો ગણ $(P)$ અને ચોરોનો ગણ $(T)$ માં કોઈ સામાન્ય ઘટકો નથી.
આ વેન આકૃતિમાં અલગ ગણો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $P \cap T = \phi$.
તેથી,સાચી રજૂઆત એ વેન આકૃતિ છે જ્યાં $P$ અને $T$ ના વર્તુળો એકબીજાને છેદતા નથી.

(C) "કેટલાક કિશોરો સ્વપ્નદ્રષ્ટા નથી" વિધાન સૂચવે છે કે કિશોરોનો $(T)$ એવો સમૂહ અસ્તિત્વમાં છે જે સ્વપ્નદ્રષ્ટાઓના $(D)$ સમૂહનો ભાગ નથી.
ગણ સિદ્ધાંતમાં,આ પ્રદેશ $T - D$ (અથવા $T \cap D^c$) ને અનુરૂપ છે,જે એવા ઘટકો દર્શાવે છે જે $T$ માં છે પરંતુ $D$ માં નથી.
વિકલ્પો જોતા:
- વિકલ્પ $A$ અલગ ગણો દર્શાવે છે.
- વિકલ્પ $B$ છેદગણ $T \cap D$ દર્શાવે છે.
- વિકલ્પ $C$ એ $T$ માંથી છેદગણ $T \cap D$ બાદ કરતા મળતો પ્રદેશ દર્શાવે છે,જે બરાબર $T - D$ છે.
તેથી,સાચી વેન આકૃતિ વિકલ્પ $C$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે.

(C) "બધી માતાઓ સ્ત્રીઓ છે" વિધાનનો અર્થ એ છે કે $M$ (માતાઓ) સમૂહનો દરેક ઘટક $W$ (સ્ત્રીઓ) સમૂહનો પણ ઘટક છે.
આને ઉપગણ સંબંધ $M \subseteq W$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
વેન આકૃતિમાં,આનો અર્થ એ છે કે $M$ સમૂહને દર્શાવતું વર્તુળ સંપૂર્ણપણે $W$ સમૂહને દર્શાવતા વર્તુળની અંદર હોવું જોઈએ.
આ વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આકૃતિને અનુરૂપ છે.

(B) આપેલ છે $X = \{ 4^n - 3n - 1 : n \in N \}$.
$n=1$ માટે,$4^1 - 3(1) - 1 = 0$.
$n=2$ માટે,$4^2 - 3(2) - 1 = 16 - 6 - 1 = 9$.
$n=3$ માટે,$4^3 - 3(3) - 1 = 64 - 9 - 1 = 54$.
તેથી,$X = \{ 0, 9, 54, \dots \}$.
આપેલ છે $Y = \{ 9(n - 1) : n \in N \}$.
$n=1$ માટે,$9(1-1) = 0$.
$n=2$ માટે,$9(2-1) = 9$.
$n=3$ માટે,$9(3-1) = 18$.
તેથી,$Y = \{ 0, 9, 18, 27, \dots \}$.
$X$ નો દરેક ઘટક $9$ નો ગુણક હોવાથી અને $X \subset Y$ હોવાથી,$X \cup Y = Y$ થાય.

(A) ગણ $A$ માં એવા તમામ $x$ છે જેના માટે $f(x) = 0$ થાય છે.
ગણ $B$ માં એવા તમામ $x$ છે જેના માટે $g(x) = 0$ થાય છે.
છેદગણ $A \cap B$ માં એવા તમામ $x$ છે જેના માટે $f(x) = 0$ અને $g(x) = 0$ બંને થાય છે.
જો $f(x) = 0$ અને $g(x) = 0$ હોય,તો તેમના વર્ગોનો સરવાળો પણ શૂન્ય થાય,એટલે કે ${[f(x)]^2} + {[g(x)]^2} = 0$.
આમ,$A \cap B = \{x : {[f(x)]^2} + {[g(x)]^2} = 0\}$.

(B) પ્રથમ,ગણ $B$ અને $C$ નો છેદગણ શોધો:
$B \cap C = \{3, 4\} \cap \{4, 5, 6\} = \{4\}$.
ત્યારબાદ,ગણ $A$ નો પરિણામ સાથે યોગગણ શોધો:
$A \cup (B \cap C) = \{1, 2, 3\} \cup \{4\} = \{1, 2, 3, 4\}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) કારણ કે $A \subseteq B$,$A$ ના તમામ ઘટકો $B$ માં સમાવિષ્ટ છે.
તેથી,$A$ અને $B$ નો યોગગણ એ $B$ જ થાય,એટલે કે $A \cup B = B$.

(C) છેદગણ $A \cap B$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલીએ છીએ:
$y = \frac{1}{x}$ અને $y = -x$
$y = -x$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$-x = \frac{1}{x}$
$-x^2 = 1$
$x^2 = -1$
કારણ કે $x$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે $(x \in R)$,$x^2$ ઋણ હોઈ શકે નહીં.
તેથી,$x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જે બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે.
આમ,$A \cap B = \phi$.

(C) ગણ $A$ એ વિધેય $f(x) = e^x$ નો આલેખ દર્શાવે છે.
ગણ $B$ એ વિધેય $g(x) = x$ નો આલેખ દર્શાવે છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$e^x > x$ એ તમામ $x \in R$ માટે સાચું છે.
આમ,$y = e^x$ અને $y = x$ ના વક્રો ક્યારેય એકબીજાને છેદતા નથી,તેથી ગણ $A$ અને ગણ $B$ વચ્ચે કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ $(x, y)$ નથી.
તેથી,$A \cap B = \phi$.

(C) પદાવલિ $(A - B) \cup (B - A)$ એ ગણ $A$ અને $B$ નો સંમિત તફાવત દર્શાવે છે,જેને $A \Delta B$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$A - B$ માં $A$ ના ઘટકો છે જે $B$ માં નથી,અને $B - A$ માં $B$ ના ઘટકો છે જે $A$ માં નથી.
આ બે અલગ ગણોનો યોગગણ એવા તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે કાં તો $A$ માં છે અથવા $B$ માં છે,જેમાં $A$ અને $B$ બંનેમાં સામાન્ય હોય તેવા ઘટકોનો સમાવેશ થતો નથી.
તેથી,$(A - B) \cup (B - A) = (A \cup B) - (A \cap B)$.

(A) બે ગણ $A$ અને $B$ નો છેદગણ,જેને $A \cap B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તે એવા તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે $A$ અને $B$ બંનેમાં સામાન્ય છે.
આપેલ છે કે $A = \{1, 2, 3, 4\}$ અને $B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$.
બંને ગણમાં સામાન્ય ઘટકો $2, 3,$ અને $4$ છે.
તેથી,$A \cap B = \{2, 3, 4\}$.

(A) આપેલ ગણ $A = \{a, b, c\}$,$B = \{b, c, d\}$,અને $C = \{a, b, d, e\}$ છે.
પ્રથમ,ગણ $B$ અને $C$ નો યોગગણ શોધો:
$B \cup C = \{b, c, d\} \cup \{a, b, d, e\} = \{a, b, c, d, e\}$.
હવે,ગણ $A$ અને પરિણામી ગણ $(B \cup C)$ નો છેદગણ શોધો:
$A \cap (B \cup C) = \{a, b, c\} \cap \{a, b, c, d, e\}$.
બંને ગણમાં સામાન્ય ઘટકો $a, b,$ અને $c$ છે.
તેથી,$A \cap (B \cup C) = \{a, b, c\}$.

(A) આપેલ ગણ $A = \{2, 3, 4, 8, 10\}$,$B = \{3, 4, 5, 10, 12\}$,અને $C = \{4, 5, 6, 12, 14\}$ છે.
પ્રથમ,$(A \cup B) = \{2, 3, 4, 5, 8, 10, 12\}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$(A \cup C) = \{2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14\}$ શોધો.
હવે,છેદગણ $(A \cup B) \cap (A \cup C) = \{2, 3, 4, 5, 8, 10, 12\} \cap \{2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14\}$ શોધો.
સામાન્ય ઘટકો $\{2, 3, 4, 5, 8, 10, 12\}$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,વિભાજનના નિયમ મુજબ,$(A \cup B) \cap (A \cup C) = A \cup (B \cap C)$.
$B \cap C = \{4, 5, 12\}$.
$A \cup (B \cap C) = \{2, 3, 4, 8, 10\} \cup \{4, 5, 12\} = \{2, 3, 4, 5, 8, 10, 12\}$.

(C) આપેલ છે કે ${N_a} = \{an : n \in N\}$.
આ $a$ ના તમામ ગુણકોનો ગણ દર્શાવે છે.
તેથી,${N_6} = \{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, \dots\}$ અને ${N_8} = \{8, 16, 24, 32, 40, 48, \dots\}$.
છેદગણ ${N_6} \cap {N_8}$ માં એવી તમામ સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે જે $6$ અને $8$ બંનેના ગુણક હોય.
$6$ અને $8$ ના સામાન્ય ગુણકો એ તેમના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી,$LCM(6, 8)$ ના ગુણકો છે.
$LCM(6, 8) = 24$.
આમ,${N_6} \cap {N_8} = \{24, 48, 72, \dots\} = {N_{24}}$.

(D) છાયાંકિત ભાગ ગણ $A$ નો એવો ભાગ દર્શાવે છે જે ગણ $B$ અથવા ગણ $C$ સાથે ઓવરલેપ થતો નથી.
આ પ્રદેશ એવા ઘટકોનો બનેલો છે જે $A$ માં છે પરંતુ $B$ માં નથી અને $C$ માં પણ નથી.
ગાણિતિક રીતે,આને $A - (B \cup C)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) ગણ $A$ માં $x$ ની એવી તમામ કિંમતો છે જેના માટે $f(x) = 0$ થાય.
ગણ $B$ માં $x$ ની એવી તમામ કિંમતો છે જેના માટે $g(x) = 0$ થાય.
છેદગણ $A \cap B$ માં $x$ ની એવી તમામ કિંમતો છે જેના માટે $f(x) = 0$ અને $g(x) = 0$ બંને એકસાથે સંતોષાય છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,$a^2 + b^2 = 0$ ત્યારે અને તો જ થાય જો $a = 0$ અને $b = 0$ હોય.
તેથી,$[f(x)]^2 + [g(x)]^2 = 0$ એ $f(x) = 0$ અને $g(x) = 0$ ને સમતુલ્ય છે.
આમ,$A \cap B = \{x : [f(x)]^2 + [g(x)]^2 = 0\}$.

(C) બે ગણના યોગગણ માટેનું સૂત્ર વાપરતા:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
આપેલ છે:
$n(A) = 0.16$
$n(B) = 0.14$
$n(A \cup B) = 0.25$
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$0.25 = 0.16 + 0.14 - n(A \cap B)$
$0.25 = 0.30 - n(A \cap B)$
$n(A \cap B) = 0.30 - 0.25$
$n(A \cap B) = 0.05$

(C) જો બે ગણ $A$ અને $B$ માં કોઈ પણ સામાન્ય ઘટક ન હોય,તો તેમને પરસ્પર અલગ (disjoint) ગણ કહેવાય છે,એટલે કે $A \cap B = \emptyset$.
કોઈપણ બે શાંત ગણ $A$ અને $B$ માટે,તેમના યોગગણના ઘટકોની સંખ્યાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
અહીં $A$ અને $B$ પરસ્પર અલગ હોવાથી,$n(A \cap B) = 0$.
તેથી,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - 0 = n(A) + n(B)$.

(D) ગણ તફાવત $A - B$ એ એવા તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે $A$ માં હોય પરંતુ $B$ માં ન હોય.
ગાણિતિક રીતે,આને $A - B = \{x : x \in A \text{ અને } x \notin B\}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
કારણ કે $x \notin B$ એ $x \in B^c$ ને સમાન છે,જ્યાં $B^c$ એ $X$ ના સંદર્ભમાં $B$ નો પૂરક ગણ છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$A - B = \{x : x \in A \text{ અને } x \in B^c\}$.
આ $A$ અને $B^c$ ના છેદગણ $A \cap B^c$ ને સમાન છે.

(A) બે ગણ $A$ અને $B$ નો તફાવત,જેને $A - B$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે એવા તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે $A$ માં છે પરંતુ $B$ માં નથી.
ગાણિતિક રીતે,$A - B = \{x : x \in A \text{ અને } x \notin B\}$.
કારણ કે $x \notin B$ એ $x \in B^c$ ને સમાન છે (જ્યાં $B^c$ એ સાર્વત્રિક ગણ $U$ ના સંદર્ભમાં $B$ નો પૂરક ગણ છે),
આથી આપણે લખી શકીએ કે $A - B = \{x : x \in A \text{ અને } x \in B^c\}$.
તેથી,$A - B = A \cap B^c$.

(A) ગણ માટે ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે જાણીએ છીએ કે છેદનો પૂરક એ પૂરકોનો યોગ છે: $(B \cap C)^c = B^c \cup C^c$.
આપેલ પદાવલિ $A - (B \cap C)$ ને $A \cap (B \cap C)^c$ તરીકે લખી શકાય.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $A \cap (B^c \cup C^c)$ મળે છે.
ગણના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આ $(A \cap B^c) \cup (A \cap C^c)$ બને છે.
કારણ કે $A \cap B^c = A - B$ અને $A \cap C^c = A - C$,તેથી પદાવલિ $(A - B) \cup (A - C)$ માં સરળ બને છે.

(A) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 4\}, B = \{2, 4, 5\}, C = \{2, 5\}$ છે.
પ્રથમ,ગણનો તફાવત $(A - B)$ શોધો:
$A - B = \{x : x \in A \text{ અને } x \notin B\} = \{1\}$.
ત્યારબાદ,ગણનો તફાવત $(B - C)$ શોધો:
$B - C = \{x : x \in B \text{ અને } x \notin C\} = \{4\}$.
અંતે,કાર્તેઝીય ગુણાકાર $(A - B) \times (B - C)$ શોધો:
$(A - B) \times (B - C) = \{1\} \times \{4\} = \{(1, 4)\}$.

(A) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3\}$ અને $B = \{3, 8\}$ છે.
પ્રથમ,$A$ અને $B$ નો યોગગણ શોધો: $A \cup B = \{1, 2, 3, 8\}$.
ત્યારબાદ,$A$ અને $B$ નો છેદગણ શોધો: $A \cap B = \{3\}$.
હવે,કાર્તેઝીય ગુણાકાર $(A \cup B) \times (A \cap B) = \{1, 2, 3, 8\} \times \{3\}$ ગણો.
આનાથી મળતી ક્રમયુક્ત જોડોનો ગણ: $\{(1, 3), (2, 3), (3, 3), (8, 3)\}$ છે.

(D) છાયાંકિત પ્રદેશ એવા તમામ ઘટકોનો સમૂહ દર્શાવે છે જે ગણ $C$ માં છે પરંતુ ગણ $A$ અને ગણ $B$ માં નથી.
આ ગણ $C$ માંથી $C$ નો $A$ સાથેનો છેદ અને $C$ નો $B$ સાથેનો છેદ દૂર કરવા સમાન છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $C - (A \cup B)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) છાયાંકિત ભાગ એવા ઘટકોનો બનેલો છે જે $A$ માં છે પણ $B$ માં નથી,જે $C$ માં છે પણ $B$ માં નથી,અને છેદગણ $A \cap B \cap C$ છે.
આને $(A \setminus B) \cup (C \setminus B) \cup (A \cap B \cap C)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ગણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$(A \setminus B) = A \cap B^C$ અને $(C \setminus B) = C \cap B^C$ થાય.
આમ,આ પ્રદેશ $(A \cap B^C) \cup (C \cap B^C) \cup (A \cap B \cap C)$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $(A \cup C) \cap B^C \cup (A \cap B \cap C)$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,વિકલ્પ $C$ છાયાંકિત ભાગ માટે સાચી ગણ ક્રિયા દર્શાવે છે.