nth term of special series, Sum to n terms and Infinite number of terms Questions in Gujarati

(C) $n^{th}$ જૂથમાં ઘટકોની સંખ્યા $(2n - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n^{th}$ જૂથનું પ્રથમ પદ એ અગાઉના તમામ $(n-1)$ જૂથોમાં રહેલા ઘટકોની સંખ્યાનો સરવાળો વત્તા $1$ છે.
પ્રથમ $(n-1)$ જૂથોમાં ઘટકોની સંખ્યા $\sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1) = (n-1)^2$ છે.
તેથી,$n^{th}$ જૂથનું પ્રથમ પદ $(n-1)^2 + 1$ છે.
$11^{th}$ જૂથ માટે,$n = 11$.
પ્રથમ પદ $= (11 - 1)^2 + 1 = 10^2 + 1 = 100 + 1 = 101$.

(B) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$.
તેથી,પ્રથમ $N$ પદોનો સરવાળો $S_N = \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$ છે.
આને વિસ્તૃત કરતા,આપણને $S_N = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1})$ મળે છે.
બધા વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે,અને $S_N = 1 - \frac{1}{N+1}$ બાકી રહે છે.
જ્યારે $N \to \infty$ લઈએ,ત્યારે $S = \lim_{N \to \infty} (1 - \frac{1}{N+1}) = 1 - 0 = 1$ મળે છે.

(A) શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$T_n = \frac{n(n + 1)}{2n} = \frac{n + 1}{2}$.
હવે,$n$ પદોનો સરવાળો $S = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k + 1}{2}$ છે.
$S = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 \right)$.
$S = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n + 1)}{2} + n \right)$.
$S = \frac{1}{2} \left( \frac{n^2 + n + 2n}{2} \right) = \frac{n^2 + 3n}{4} = \frac{n(n + 3)}{4}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $\frac{2}{1!} + \frac{7}{2!} + \frac{15}{3!} + \frac{26}{4!} + \dots$ છે.
અંશ $2, 7, 15, 26, \dots$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $5, 8, 11, \dots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે.
તેથી,અંશનું $n$ મું પદ એ $n$ પદો માટે $a = 2$ અને $d = 3$ વાળી સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો છે:
$a_n = \frac{n}{2}[2(2) + (n - 1)3] = \frac{n}{2}[4 + 3n - 3] = \frac{n(3n + 1)}{2}$.
તેથી,શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = \frac{a_n}{n!} = \frac{n(3n + 1)}{2(n!)}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$.
આપણે એકી પદોનો સરવાળો શોધવો છે: $S_{odd} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^4} = \frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + \dots$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $S = S_{odd} + S_{even}$,જ્યાં $S_{even} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^4}$.
$S_{even} = \frac{1}{2^4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{1}{16} S$.
તેથી,$S_{odd} = S - S_{even} = S - \frac{1}{16} S = \frac{15}{16} S$.
$S = \frac{\pi^4}{90}$ ની કિંમત મૂકતા:
$S_{odd} = \frac{15}{16} \times \frac{\pi^4}{90} = \frac{1}{16} \times \frac{\pi^4}{6} = \frac{\pi^4}{96}$.

(C) ધારો કે $x = 2.\overline{357} = 2.357357357...$
આને $x = 2 + 0.357357357...$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $y = 0.357357357... = \frac{357}{1000} + \frac{357}{1000^2} + \frac{357}{1000^3} + ...$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{357}{1000}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{1000}$ છે.
સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{357}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} = \frac{\frac{357}{1000}}{\frac{999}{1000}} = \frac{357}{999}$.
તેથી,$x = 2 + \frac{357}{999} = \frac{2 \times 999 + 357}{999} = \frac{1998 + 357}{999} = \frac{2355}{999}$.

(D) ધારો કે $S = {n^3} - {(n - 1)^3} + {(n - 2)^3} - {(n - 3)^3} + \dots + {1^3}$.
$n$ એકી સંખ્યા હોવાથી,છેલ્લું પદ ${1^3}$ છે.
આપણે $S = \sum_{k=1}^{n} k^3 - 2 \sum_{k=1}^{(n-1)/2} (2k)^3$ લખી શકીએ.
સૂત્ર $\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left[ \frac{m(m+1)}{2} \right]^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 - 16 \left[ \frac{\frac{n-1}{2} (\frac{n-1}{2} + 1)}{2} \right]^2$
$S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{(n-1)^2(n+1)^2}{4}$
$S = \frac{(n+1)^2}{4} [n^2 - (n-1)^2]$
$S = \frac{(n+1)^2}{4} (2n - 1)$.

(C) ${n^{th}}$ પદ $T_n = \frac{\sum_{k=1}^{n} k^3}{\sum_{k=1}^{n} (2k - 1)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંશ એ પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘનનો સરવાળો છે: $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
છેદ એ પ્રથમ $n$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે,જે $n^2$ છે: $\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = n^2$.
તેથી,$T_n = \frac{n^2(n+1)^2 / 4}{n^2} = \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{n^2 + 2n + 1}{4}$.

(C) આપેલ શ્રેણી $\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3\sqrt{3}} + \dots$ છે.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \sqrt{3}$ છે.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{T_2}{T_1} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$ છે.
અહીં $|r| < 1$ હોવાથી,અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$S = \frac{\sqrt{3}}{1 - 1/3} = \frac{\sqrt{3}}{2/3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $S = 1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + 5^3 - 6^3 + 7^3 - 8^3 + 9^3$ છે.
આપણે પદોને નીચે મુજબ જૂથબદ્ધ કરી શકીએ:
$S = (1^3) + (3^3 - 2^3) + (5^3 - 4^3) + (7^3 - 6^3) + (9^3 - 8^3)$.
નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a - b = 1$:
$S = 1 + (3^2 + 3 \times 2 + 2^2) + (5^2 + 5 \times 4 + 4^2) + (7^2 + 7 \times 6 + 6^2) + (9^2 + 9 \times 8 + 8^2)$.
$S = 1 + (9 + 6 + 4) + (25 + 20 + 16) + (49 + 42 + 36) + (81 + 72 + 64)$.
$S = 1 + 19 + 61 + 127 + 217$.
$S = 425$.

(B) આપેલ શ્રેણી $2, 5, 14, 41, \dots$ છે.
ક્રમિક પદોનો તફાવત $3, 9, 27, \dots$ છે,જે સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે.
$n$-મું પદ $t_n$ આ મુજબ લખી શકાય:
$t_n = 2 + (3 + 9 + 27 + \dots + 3^{n-1})$
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$t_n = 2 + \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} = 2 + \frac{3^n - 3}{2} = \frac{4 + 3^n - 3}{2} = \frac{3^n + 1}{2}$
હવે,$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} t_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{3^k + 1}{2} = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} 3^k + \sum_{k=1}^{n} 1 \right)$
$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} + n \right)$
$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{3(3^n - 1)}{2} + n \right) = \frac{n}{2} + \frac{3}{4}(3^n - 1)$

(A) $n$ મું પદ $a_n = n(n + 1) = n^2 + n$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો શોધવા માટે,$S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ ગણીએ.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ અને $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2}$.
$\frac{n(n + 1)}{2}$ સામાન્ય લેતા:
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left( \frac{2n + 1}{3} + 1 \right) = \frac{n(n + 1)}{2} \left( \frac{2n + 4}{3} \right) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $1, 3, 6, 10, 15, 21, \dots, 5050$ છે.
આ ત્રિકોણીય સંખ્યાઓ છે,જ્યાં $n$-મું પદ $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં આપણને છેલ્લું પદ $T_n = 5050$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{n(n+1)}{2} = 5050$.
$n(n+1) = 10100$.
$n^2 + n - 10100 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને:
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 40400}}{2} = \frac{-1 \pm 201}{2}$.
ધન કિંમત લેતા,$n = \frac{200}{2} = 100$.
આમ,શ્રેણીમાં કુલ $100$ પદો છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{m=1}^k m^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} = \frac{2k^3 + 3k^2 + k}{6}$.
તેથી,$\sum_{k=1}^n \left( \sum_{m=1}^k m^2 \right) = \frac{1}{6} \sum_{k=1}^n (2k^3 + 3k^2 + k)$.
$= \frac{1}{6} \left[ 2 \sum k^3 + 3 \sum k^2 + \sum k \right]$.
$= \frac{1}{6} \left[ 2 \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 3 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right]$.
$= \frac{1}{12} n^2(n^2+2n+1) + \frac{1}{12} (2n^3+3n^2+n) + \frac{1}{12} (n^2+n)$.
$= \frac{1}{12} (n^4 + 2n^3 + n^2 + 2n^3 + 3n^2 + n + n^2 + n) = \frac{1}{12} n^4 + \frac{4}{12} n^3 + \frac{5}{12} n^2 + \frac{2}{12} n$.
$an^4 + bn^3 + cn^2 + dn + e$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \frac{1}{12}$,$b = \frac{1}{3}$,$c = \frac{5}{12}$,$d = \frac{1}{6}$,અને $e = 0$ મળે છે.
આમ,$a = \frac{1}{12}$ સાચું છે.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $t_n = \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}$,આપણને મળે છે:
$t_n = \frac{n(n + 1)}{2n} = \frac{1}{2}(n + 1)$.
હવે,$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} t_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}(k + 1)$.
$S_n = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 \right)$.
$S_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{n(n + 1)}{2} + n \right]$.
$S_n = \frac{n}{2} \left( \frac{n + 1}{2} + 1 \right) = \frac{n}{2} \left( \frac{n + 1 + 2}{2} \right) = \frac{n(n + 3)}{4}$.

(D) આપેલ શ્રેણી $S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + (2m)^2$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ થાય.
અહીં $n = 2m$ લેતા,
$S = \frac{2m(2m+1)(4m+1)}{6} = \frac{m(2m+1)(4m+1)}{3}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ $r$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\sum_{m=1}^r m = \frac{r(r+1)}{2}$ છે.
તેથી,આપેલ પદાવલિ $\sum_{r=1}^n \frac{r(r+1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{r=1}^n (r^2 + r)$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{2} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right]$
$= \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+1}{3} + 1 \right]$
$= \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+4}{3} \right]$
$= \frac{n(n+1) \cdot 2(n+2)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.

(A) આપેલ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = (\sqrt{2} + 1)^2$ છે.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
અનંત પદોનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,
$S = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{1 - (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)^2$.

(B) સરવાળો $S = \sum_{n=11}^{20} n^3 = \sum_{n=1}^{20} n^3 - \sum_{n=1}^{10} n^3$ દ્વારા મળે છે.
સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \left[ \frac{20(21)}{2} \right]^2 - \left[ \frac{10(11)}{2} \right]^2$
$S = (210)^2 - (55)^2$
$S = 44100 - 3025 = 41075$.
સંખ્યા $41075$ નો એકમનો અંક $5$ હોવાથી,તે $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
તે $2$ વડે વિભાજ્ય ન હોવાથી,તે અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે.
તેથી,આ સરવાળો $5$ વડે વિભાજ્ય અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે.

(B) ધારો કે શ્રેણી $S_n = 2 + 4 + 7 + 11 + 16 + \dots + T_n$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $2, 3, 4, 5, \dots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
ધારો કે $T_n = an^2 + bn + c$.
$n=1$ માટે,$T_1 = a + b + c = 2$.
$n=2$ માટે,$T_2 = 4a + 2b + c = 4$.
$n=3$ માટે,$T_3 = 9a + 3b + c = 7$.
સમીકરણો બાદ કરતાં,$3a + b = 2$ અને $5a + b = 3$ મળે છે.
આ ઉકેલતા,$2a = 1 \implies a = 1/2$,$b = 1/2$,અને $c = 1$ મળે છે.
આમ,$T_n = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n + 1 = \frac{n^2 + n + 2}{2}$.
સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \frac{1}{2} [\sum k^2 + \sum k + \sum 2]$.
$S_n = \frac{1}{2} [\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} + 2n]$.
$S_n = \frac{n}{12} [(n+1)(2n+1) + 3(n+1) + 12] = \frac{n}{12} [2n^2 + 3n + 1 + 3n + 3 + 12] = \frac{n}{12} [2n^2 + 6n + 16] = \frac{n}{6} (n^2 + 3n + 8)$.

(D) આપેલ શ્રેણી અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots \infty$.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{4}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1/4}{1-1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$ થાય.
હવે,પદાવલિ $(0.2)^{\log_{\sqrt{5}}(1/2)}$ બને છે.
$0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ અને $\sqrt{5} = 5^{1/2}$ હોવાથી:
$(5^{-1})^{\log_{5^{1/2}}(2^{-1})} = (5^{-1})^{\frac{-1}{1/2} \log_{5} 2} = (5^{-1})^{-2 \log_{5} 2} = 5^{2 \log_{5} 2}$.
$n \log_{b} a = \log_{b} a^n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$5^{\log_{5} 2^2} = 2^2 = 4$ મળે.

(D) શ્રેણી $S = n^3 - (n-1)^3 + (n-2)^3 - (n-3)^3 + \dots + 1^3$ આપેલ છે.
$n$ એકી પૂર્ણાંક હોવાથી,આપણે પદોને જૂથમાં વહેંચી શકીએ.
$S = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{n-k} k^3$.
$n=1$ માટે,$S = 1^3 = 1$. વિકલ્પ $D$ માં કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{4}(1+1)^2(2(1)-1) = \frac{1}{4}(4)(1) = 1$.
$n=3$ માટે,$S = 3^3 - 2^3 + 1^3 = 27 - 8 + 1 = 20$. વિકલ્પ $D$ માં કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{4}(3+1)^2(2(3)-1) = \frac{1}{4}(16)(5) = 20$.
આમ,સામાન્ય સૂત્ર $\frac{1}{4}(n+1)^2(2n-1)$ છે.

(D) ધારો કે $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^2} + \frac{10}{3^3} + \frac{14}{3^4} + \dots \infty \dots (1)$
$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{6}{3^3} + \frac{10}{3^4} + \dots \infty \dots (2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતાં:
$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots$
$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{9} (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots)$
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતાં:
$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{9} (\frac{1}{1 - 1/3}) = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{9} (\frac{3}{2}) = 1 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 2$
$\frac{2}{3}S = 2 \implies S = 3$.

(C) આપણે $S = 11^2 + 12^2 + 13^2 + \dots + 20^2$ નો સરવાળો શોધવો છે.
આને બે વર્ગોના સરવાળાના તફાવત તરીકે દર્શાવી શકાય છે:
$S = \sum_{n=1}^{20} n^2 - \sum_{n=1}^{10} n^2$.
સૂત્ર $\sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k=20$ માટે: $\frac{20(21)(41)}{6} = 10 \times 7 \times 41 = 2870$.
$k=10$ માટે: $\frac{10(11)(21)}{6} = 5 \times 11 \times 7 = 385$.
તેથી,$S = 2870 - 385 = 2485$.

(B) ધારો કે સરવાળો $S = 0.7 + 0.77 + 0.777 + \dots$ $10$ પદો સુધી છે.
આપણે તેને $S = 7(0.1 + 0.11 + 0.111 + \dots)$ તરીકે લખી શકીએ.
$9$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $S = \frac{7}{9} (0.9 + 0.99 + 0.999 + \dots)$.
આને $S = \frac{7}{9} [(1 - 0.1) + (1 - 0.01) + (1 - 0.001) + \dots]$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય.
$10$ પદો માટે,$S = \frac{7}{9} [10 - (0.1 + 0.01 + \dots + 0.1^{10})]$.
કૌંસમાં રહેલો સરવાળો એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $a = 0.1$,$r = 0.1$,અને $n = 10$ છે.
સરવાળો $= \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{0.1(1 - 0.1^{10})}{1 - 0.1} = \frac{0.1(1 - 10^{-10})}{0.9} = \frac{1}{9} (1 - 10^{-10})$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા: $S = \frac{7}{9} [10 - \frac{1}{9} (1 - 10^{-10})] = \frac{7}{9} [\frac{90 - 1 + 10^{-10}}{9}] = \frac{7}{81} (89 + 10^{-10})$.
આમ,સરવાળો $\frac{7}{81} (89 + \frac{1}{10^{10}})$ થાય છે.

(B) ધારો કે $n$-મું પદ $t_n$ છે. શ્રેણી $1, 3, 7, 15, 31, \dots$ છે.
પદોને $(2^1 - 1), (2^2 - 1), (2^3 - 1), (2^4 - 1), (2^5 - 1), \dots$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$n$-મું પદ $t_n = 2^n - 1$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} t_k = \sum_{k=1}^{n} (2^k - 1)$.
$S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^k - \sum_{k=1}^{n} 1$.
પ્રથમ ભાગ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $= \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2$.
તેથી,$S_n = (2^{n+1} - 2) - n = 2^{n+1} - n - 2$.

(A) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{10} ((2n+1)^3 - (2n)^3)$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $S = (3^3 - 2^3) + (5^3 - 4^3) + \dots + (21^3 - 20^3)$.
આને $S = (3^3 + 5^3 + \dots + 21^3) - (2^3 + 4^3 + \dots + 20^3)$ તરીકે લખી શકાય.
$S = \sum_{n=1}^{10} (12n^2 + 6n + 1)$ મેળવતા:
$S = 12 \frac{10(11)(21)}{6} + 6 \frac{10(11)}{2} + 10 = 4620 + 330 + 10 = 4960$.

(C) આપેલ શ્રેણી $S_n = 2 + 4 + 7 + 11 + \dots + t_n$ છે.
અનુક્રમ $a_n = 2, 4, 7, 11, \dots$ લો.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $2, 3, 4, \dots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
તેથી,$t_n = t_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+1)$.
$t_n = 2 + [2 + 3 + 4 + \dots + n]$.
આ $t_n = 1 + [1 + 2 + 3 + \dots + n]$ થાય.
સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t_n = 1 + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{2 + n^2 + n}{2} = \frac{n^2 + n + 2}{2}$.

(C) આપેલ શ્રેણી $0.7, 0.77, 0.777, \dots$ છે,જેમાં $n=20$ પદો છે.
$n$-મું પદ $a_n = \frac{7}{9} (1 - 10^{-n})$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{7}{9} (1 - 10^{-k})$ છે.
$S_n = \frac{7}{9} [n - \frac{1}{9} (1 - 10^{-n})]$.
$n=20$ માટે,$S_{20} = \frac{7}{9} [20 - \frac{1}{9} (1 - 10^{-20})] = \frac{7}{81} [180 - 1 + 10^{-20}] = \frac{7}{81} (179 + 10^{-20})$.

(C) શ્રેણીનું $k$-મું પદ $T_k = 1 + x + x^2 + \dots + x^{k-1} = \frac{1 - x^k}{1 - x}$ છે.
$n$ પદનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1 - x^k}{1 - x}$ છે.
$S_n = \frac{1}{1 - x} \left[ \sum_{k=1}^{n} 1 - \sum_{k=1}^{n} x^k \right]$.
$S_n = \frac{1}{1 - x} \left[ n - \frac{x(1 - x^n)}{1 - x} \right]$.
$S_n = \frac{n(1 - x) - x(1 - x^n)}{(1 - x)^2}$.

(A) આપેલ શ્રેણી $27, 9, \frac{27}{5}, \frac{27}{7}, \dots$ છે.
આને $\frac{27}{1}, \frac{27}{3}, \frac{27}{5}, \frac{27}{7}, \dots$ તરીકે લખી શકાય.
અંશ $27$ અચળ છે.
છેદ એ સમાંતર શ્રેણી $1, 3, 5, 7, \dots$ બનાવે છે.
છેદનું $n$ મું પદ $a_n = 1 + (n-1)2 = 2n - 1$ છે.
તેથી,શ્રેણીનું $n$ મું પદ $t_n = \frac{27}{2n-1}$ છે.
નવમા પદ માટે,$n = 9$ મૂકતા:
$t_9 = \frac{27}{2(9) - 1} = \frac{27}{18 - 1} = \frac{27}{17} = 1\frac{10}{17}$.

(A) ધારો કે સરવાળો $S = 1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \dots$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ છે,જ્યાં $|x| < 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$ મળે.
$x$ વડે ગુણતા,$\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ મળે.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1-x)^2} \right) = \frac{1+x}{(1-x)^3}$ મળે.
આમ,શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{1+x}{(1-x)^3}$ થાય.

(A) આપેલ શ્રેણી $2, \frac{7}{4}, \frac{14}{9}, \dots$ છે.
જો આપણે શ્રેણીને $2/1, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, 7/6$ તરીકે લઈએ,તો છઠ્ઠું પદ $7/6$ થાય.
આથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) શ્રેણીનું $r$-મું પદ $T_r = (2r-1)(2r+1)(2r+3)$ છે.
$T_r = (4r^2 - 1)(2r+3) = 8r^3 + 12r^2 - 2r - 3$.
સરવાળો $S_n = \sum_{r=1}^{n} T_r$ શોધવા માટે,આપણે પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$S_n = 8 \sum r^3 + 12 \sum r^2 - 2 \sum r - \sum 3$.
$S_n = 8 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 12 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - 2 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - 3n$.
$S_n = 2n^2(n+1)^2 + 2n(n+1)(2n+1) - n(n+1) - 3n$.
$S_n = 2n^4 + 8n^3 + 7n^2 - 2n = n(2n^3 + 8n^2 + 7n - 2)$.

(B) આપેલ શ્રેણી $S_n = 2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2n)^2$ છે.
આને $S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k)^2$ તરીકે લખી શકાય.
$S_n = \sum_{k=1}^{n} 4k^2 = 4 \sum_{k=1}^{n} k^2$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર વાપરતા,$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$.
તેથી,$S_n = 4 \times \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{3}$.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = n(2n + 1)(3n + 2)$ છે.
$T_n = n(6n^2 + 4n + 3n + 2) = 6n^3 + 7n^2 + 2n$.
સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = 6\sum n^3 + 7\sum n^2 + 2\sum n$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = 6 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 7 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + 2 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]$.
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left[ 3n(n+1) + \frac{7(2n+1)}{3} + 2 \right]$.
$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [9n^2 + 9n + 14n + 7 + 6] = \frac{n(n+1)(9n^2 + 23n + 13)}{6}$.

(D) આપણે ત્રિ-પરિમાણીય સરવાળાની ગણતરી કરીએ:
$\sum_{k=1}^j 1 = j$
ત્યારબાદ,$\sum_{j=1}^i j = \frac{i(i+1)}{2}$
અંતે,$\sum_{i=1}^n \frac{i(i+1)}{2} = \frac{1}{2} \left[ \sum_{i=1}^n i^2 + \sum_{i=1}^n i \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right]$
$= \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+1}{3} + 1 \right]$
$= \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+4}{3} \right]$
$= \frac{n(n+1) \cdot 2(n+2)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

(A) ધારો કે આપેલી શ્રેણી $S = 2 + 7 + 14 + 23 + 34 + \dots + a_n$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $7-2=5$,$14-7=7$,$23-14=9$,$34-23=11$ છે,જે $2$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
ધારો કે $n$ મું પદ $a_n = An^2 + Bn + C$ છે.
$n=1$ માટે,$A+B+C = 2$.
$n=2$ માટે,$4A+2B+C = 7$.
$n=3$ માટે,$9A+3B+C = 14$.
પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી બાદ કરતા: $3A+B = 5$.
બીજા સમીકરણને ત્રીજામાંથી બાદ કરતા: $5A+B = 7$.
આ પરિણામોને બાદ કરતા: $2A = 2$,તેથી $A = 1$.
$A=1$ ને $3A+B=5$ માં મૂકતા,આપણને $B=2$ મળે છે.
$A=1, B=2$ ને $A+B+C=2$ માં મૂકતા,આપણને $1+2+C=2$ મળે છે,તેથી $C=-1$.
આમ,સામાન્ય પદ $a_n = n^2 + 2n - 1$ છે.
$99$ માં પદ માટે,$n=99$:
$a_{99} = (99)^2 + 2(99) - 1 = 9801 + 198 - 1 = 9998$.

(D) શ્રેણીનું $k$-મું પદ $T_k = 1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{k(k + 1)}{2}$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k + 1)}{2}$ છે.
$S_n = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \frac{1}{2} [\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k]$.
સૂત્રો $\sum k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ અને $\sum k = \frac{n(n + 1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{1}{2} [\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2}] = \frac{n(n + 1)}{4} [\frac{2n + 1}{3} + 1]$.
$S_n = \frac{n(n + 1)}{4} [\frac{2n + 4}{3}] = \frac{n(n + 1) \cdot 2(n + 2)}{12} = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$.

(C) શ્રેઢીનું $n$-મું પદ $t_n = \frac{1^3 + 2^3 + \dots + n^3}{1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)}$ છે.
ઘનનો સરવાળો અને પ્રથમ $n$ એકી સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$t_n = \frac{[\frac{n(n+1)}{2}]^2}{n^2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4n^2} = \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{n^2 + 2n + 1}{4} = \frac{n^2}{4} + \frac{n}{2} + \frac{1}{4}$.
હવે,પ્રથમ $16$ પદોનો સરવાળો $S_{16} = \sum_{n=1}^{16} t_n = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{16} n^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{16} n + \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{16} 1$.
$S_{16} = \frac{1}{4} \left[ \frac{16(17)(33)}{6} \right] + \frac{1}{2} \left[ \frac{16(17)}{2} \right] + \frac{1}{4} (16)$.
$S_{16} = \frac{1496}{4} + \frac{272}{4} + 4 = 374 + 68 + 4 = 446$.

(D) અંદરથી બહારની તરફ ત્રિપુટી સરવાળાનું મૂલ્યાંકન કરતા:
$\sum_{k=1}^j 1 = j$
ત્યારબાદ,$\sum_{j=1}^i j = \frac{i(i+1)}{2}$
અંતે,$\sum_{i=1}^n \frac{i(i+1)}{2} = \frac{1}{2} [\sum_{i=1}^n i^2 + \sum_{i=1}^n i]$
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum i = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{2} [\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}]$
$= \frac{n(n+1)}{4} [\frac{2n+1}{3} + 1]$
$= \frac{n(n+1)}{4} [\frac{2n+4}{3}]$
$= \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

(A) $n$ મું પદ $a_n = n(n + 1) = n^2 + n$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ છે.
પ્રમાણિત સૂત્રો $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ અને $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2}$
$\frac{n(n + 1)}{2}$ સામાન્ય લેતા:
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left( \frac{2n + 1}{3} + 1 \right)$
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left( \frac{2n + 4}{3} \right) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$

(A) અહીં,$n$ મું પદ $T_n = 2n - 1$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (2k - 1)$ છે.
સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ અને $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = 2 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1$
$S_n = 2 \left( \frac{n(n+1)}{2} \right) - n$
$S_n = n(n+1) - n$
$S_n = n^2 + n - n = n^2$.

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=0}^{\infty} (1 + a + a^2 + \dots + a^n)x^n$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(1 + a + a^2 + \dots + a^n) = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a}$.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા:
$S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a} x^n = \frac{1}{1 - a} \left[ \sum_{n=0}^{\infty} x^n - \sum_{n=0}^{\infty} a^{n+1} x^n \right]$.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1 - r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{1 - a} \left[ \frac{1}{1 - x} - \frac{a}{1 - ax} \right]$.
સાદુરૂપ આપતા:
$S = \frac{1}{1 - a} \left[ \frac{1 - ax - a + ax}{(1 - x)(1 - ax)} \right] = \frac{1}{(1 - x)(1 - ax)}$.

(D) ધારો કે $S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots \infty$.
$x$ વડે ગુણતા,$xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots \infty$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$S - xS = 1 + (2x - x) + (3x^2 - 2x^2) + (4x^3 - 3x^3) + \dots \infty$.
$S(1 - x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots \infty$.
જમણી બાજુ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = x$ છે.
$|x| < 1$ હોવાથી,સરવાળો $\frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - x}$ થાય.
તેથી,$S(1 - x) = \frac{1}{1 - x}$.
$S = \frac{1}{(1 - x)^2}$.

(D) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $X = 5^{1/2} \cdot 5^{1/4} \cdot 5^{1/8} \cdots \infty$ છે.
આધાર સમાન હોવાથી,ઘાતાંકોનો સરવાળો કરતા:
$X = 5^{(1/2 + 1/4 + 1/8 + \cdots \infty)}$.
ઘાતાંક એ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1/2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/2$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$S = \frac{1/2}{1 - 1/2} = \frac{1/2}{1/2} = 1$.
તેથી,$X = 5^1 = 5$.

(C) ધારો કે $S = \sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{r^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots$
આપણે તેને એકી અને બેકી પદોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$S = \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \dots \right) + \left( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} + \dots \right)$
આપેલ છે કે $\sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{(2r-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$,તેથી એકી પદોનો સરવાળો $\frac{\pi^2}{8}$ છે.
બેકી પદોનો સરવાળો $\sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{(2r)^2} = \frac{1}{4} \sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{r^2} = \frac{1}{4} S$ થાય.
તેથી,$S = \frac{\pi^2}{8} + \frac{1}{4} S$.
$S - \frac{1}{4} S = \frac{\pi^2}{8} \implies \frac{3}{4} S = \frac{\pi^2}{8}$.
$S = \frac{\pi^2}{8} \times \frac{4}{3} = \frac{\pi^2}{6}$.

(B) ધારો કે $S_n = 6 + 66 + 666 + \dots + n \text{ પદ}$.
$S_n = \frac{6}{9} (9 + 99 + 999 + \dots + n \text{ પદ})$.
$S_n = \frac{2}{3} [(10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \dots + (10^n - 1)]$.
$S_n = \frac{2}{3} [(10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) - (1 + 1 + 1 + \dots + n \text{ વખત})]$.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{2}{3} [\frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} - n]$.
$S_n = \frac{2}{3} [\frac{10(10^n - 1)}{9} - n]$.
$S_n = \frac{2}{3} [\frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{9}]$.
$S_n = \frac{2(10^{n+1} - 9n - 10)}{27}$.

(B) ધારો કે $n$ મું પદ $T_n$ છે અને $n$ પદોનો સરવાળો $S_n$ છે.
$S_n = 1 + 3 + 7 + 15 + \dots + T_n \quad (i)$
$S_n = 1 + 3 + 7 + \dots + T_{n-1} + T_n \quad (ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતાં:
$0 = 1 + [2 + 4 + 8 + 16 + \dots + (T_n - T_{n-1})] - T_n$
$T_n = 1 + (2 + 4 + 8 + \dots + 2^{n-1})$
$T_n = 1 + \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 1 + 2^n - 2 = 2^n - 1$
હવે,$S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (2^k - 1) = \sum_{k=1}^n 2^k - \sum_{k=1}^n 1$
$S_n = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} - n = 2^{n+1} - 2 - n$

(C) ધારો કે $x = 0.1232323......$
$x = 0.1 + 0.0232323......$
$x = \frac{1}{10} + \frac{23}{1000} + \frac{23}{100000} + ...$
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{23}{1000}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{100}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{23/1000}{1 - 1/100} = \frac{23/1000}{99/100} = \frac{23}{990}$ થાય.
તેથી,$x = \frac{1}{10} + \frac{23}{990} = \frac{99 + 23}{990} = \frac{122}{990} = \frac{61}{495}$.