નીચેની શ્રેણી $1 + (1 + x) + (1 + x + x^2) + \dots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો કેટલો થશે?

ચોરસ પાયા પર દડાઓનો એક અધૂરો પિરામિડ ધ્યાનમાં લો જેમાં $18$ સ્તરો છે,અને ઉપરના સ્તરની દરેક બાજુ પર $13$ દડાઓ છે. તો,તે પિરામિડમાં દડાઓની કુલ સંખ્યા $N$ નીચેનામાંથી કઈ શરત સંતોષે છે?

ગણ $\{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ માં ધન પૂર્ણાંકો $n$ ની સંખ્યા કેટલી છે જેના માટે $\frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{1+2+3+\ldots+n}$ એક પૂર્ણાંક થાય?

જો શ્રેણી $\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3^2}\right)+\left(\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3^2}-\frac{1}{3^3}\right)+\left(\frac{1}{2^4}-\frac{1}{2^3 \cdot 3}+\frac{1}{2^2 \cdot 3^2}-\frac{1}{2 \cdot 3^3}+\frac{1}{3^4}\right)+\ldots$ નો સરવાળો $\frac{\alpha}{\beta}$ હોય,જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,તો $\alpha+3\beta$ ની કિંમત શોધો.

જો $\frac{1^3+2^3+3^3+\ldots n \text{ પદો સુધી}}{1 \cdot 3+2 \cdot 5+3 \cdot 7+\ldots n \text{ પદો સુધી}} = \frac{9}{5}$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $S$ એ અનંત સરવાળો છે જે $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{10^{2n}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $(a_n)_{n \geq 0}$ એ $a_0 = 1, a_1 = 1$ અને $j \geq 2$ માટે $a_j = 20a_{j-1} - 108a_{j-2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શ્રેણી છે. જો $S$ ને $\frac{a}{b}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે,જ્યાં $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય ધન પૂર્ણાંકો છે,તો $a$ ની કિંમત શોધો: