Advanced Use of permutations and combinations in probability Questions in Gujarati

(D) $9$ નિષ્ણાતોમાંથી $3$ નિષ્ણાતો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
દરેક નિષ્ણાત અલગ-અલગ સંસ્થાના હોય (એક $A$ માંથી,એક $B$ માંથી અને એક $C$ માંથી) તેવી પસંદગીની રીતો $^2C_1 \times ^3C_1 \times ^4C_1 = 2 \times 3 \times 4 = 24$ છે.
માટે,માંગેલ સંભાવના $P = \frac{24}{84} = \frac{2}{7}$ છે.

(C) કુલ દડાની સંખ્યા = $8 + 7 = 15$.
$15$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $n(S) = \binom{15}{2} = \frac{15 \times 14}{2} = 105$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે બંને દડા એક જ રંગના હોય.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો બંને લાલ છે અથવા બંને કાળા છે.
$2$ લાલ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા = $\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$.
$2$ કાળા દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા = $\binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 28 + 21 = 49$.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{49}{105} = \frac{7}{15}$.

(D) કોઈ સંખ્યા $2$ અને $3$ બંને વડે ભાગી શકાય તે માટે તે $6$ વડે ભાગી શકાય તેવી હોવી જોઈએ.
પ્રથમ $100$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં $6$ વડે ભાગી શકાય તેવી સંખ્યાઓ $6, 12, 18, \dots, 96$ છે.
આવી કુલ સંખ્યાઓ $\lfloor 100/6 \rfloor = 16$ છે.
$100$ માંથી $3$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{100}C_3$ છે.
$16$ સંખ્યાઓમાંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{16}C_3$ છે.
માટે,માંગેલ સંભાવના $P = \frac{^{16}C_3}{^{100}C_3}$ થાય.
$P = \frac{16 \times 15 \times 14}{100 \times 99 \times 98} = \frac{4}{1155}$.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા $= 3 + 4 + 5 = 12$.
$12$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= ^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
દડા ભિન્ન રંગના હોય તે માટે,આપણે $1$ લાલ,$1$ સફેદ અને $1$ કાળો દડો પસંદ કરવો પડે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= ^3C_1 \times ^4C_1 \times ^5C_1 = 3 \times 4 \times 5 = 60$.
સંભાવના $= \frac{60}{220} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$.

(D) $5$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $= 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 90000$ છે.
અયુગ્મ સ્થાનો $(1, 3, 5)$ માટે $5$ અયુગ્મ અંકો ${1, 3, 5, 7, 9}$ છે અને યુગ્મ સ્થાનો $(2, 4)$ માટે $5$ યુગ્મ અંકો ${0, 2, 4, 6, 8}$ છે.
સાધ્ય પરિણામો $= 5 \times 5 \times 4 \times 4 \times 3 = 1200$.
સંભાવના $= \frac{1200}{90000} = \frac{1}{75}$.

(C) $52$ પત્તામાંથી $2$ પત્તા પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો $= ^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 1326$.
$4$ રાજાઓમાંથી $2$ રાજા પસંદ કરવાના પ્રકારો $= ^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
બંને રાજા હોવાની સંભાવના $P = \frac{\text{સાધ્ય પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{6}{1326}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,$P = \frac{1}{221}$ મળે.

(D) એક ખેલાડીને $52$ પત્તાના પેકમાંથી $13$ પત્તા આપવામાં આવે છે.
કુલ શક્યતાઓ $= ^{52}C_{13}$ છે.
જો ખેલાડી પાસે ચારેય રાજા હોય,તો બાકીના $13 - 4 = 9$ પત્તા બાકીના $48$ પત્તામાંથી પસંદ કરવાના રહે.
સાનુકૂળ શક્યતાઓ $= ^{48}C_{9}$ છે.
માગેલ સંભાવના $= \frac{^{48}C_{9}}{^{52}C_{13}}$
$= \frac{48!}{9!39!} \times \frac{13!39!}{52!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{52 \times 51 \times 50 \times 49} = \frac{11}{4165}$.

(A) $90$ ટિકિટોમાંથી $5$ ટિકિટો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= ^{90}C_5$.
$2$ ચોક્કસ ટિકિટો ($15$ અને $89$) પસંદ થયેલ હોય તેવી રીતે બાકીની $3$ ટિકિટો $88$ ટિકિટોમાંથી પસંદ કરવાની રીતો $= ^{88}C_3$.
સંભાવના $P = \frac{^{88}C_3}{^{90}C_5}$
$P = \frac{\frac{88 \times 87 \times 86}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{90 \times 89 \times 88 \times 87 \times 86}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}}$
$P = \frac{20}{90 \times 89} = \frac{2}{801}$

(B) $3$ પાસા ફેંકતા મળતા કુલ પરિણામો $6^3 = 216$ છે.
સરવાળો $15$ થાય તેવા શક્ય સંયોજનો:
$(6, 6, 3)$ ને $3!/2! = 3$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$(6, 5, 4)$ ને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$(5, 5, 5)$ ને $1$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $3 + 6 + 1 = 10$.
સંભાવના = $\frac{10}{216} = \frac{5}{108}$.

(B) રમત જીતે તેની સંભાવના $P(A) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ છે.
$B$ રમત જીતે તેની સંભાવના $P(B) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ છે.
$3$ રમતોની શ્રેણીમાં તેઓ વારાફરતી જીતે તેની સંભાવના એ $(A, B, A)$ અને $(B, A, B)$ ક્રમની સંભાવનાઓનો સરવાળો છે.
$P(\text{alternating}) = P(A) \times P(B) \times P(A) + P(B) \times P(A) \times P(B)$
$P(\text{alternating}) = \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}\right)$
$P(\text{alternating}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{3 + 2}{36} = \frac{5}{36}$.

(B) $10$ વ્યક્તિઓ ($6$ પુરૂષો + $4$ સ્ત્રીઓ) માંથી $5$ સભ્યો પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{10}C_5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ છે.
એક પણ સ્ત્રી ન હોય તેવી સમિતિ પસંદ કરવાની રીતો (એટલે કે બધા $5$ સભ્યો પુરૂષ હોય) ${}^6C_5 = 6$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી હોય તેવી પસંદગીની રીતો = (કુલ રીતો) - (એક પણ સ્ત્રી ન હોય તેવી રીતો) = $252 - 6 = 246$.
માટે,માંગેલ સંભાવના $P = \frac{246}{252} = \frac{41}{42}$ છે.

(D) $SUCCESS$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $3S, 2C, 1U, 1E$.
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $N = \frac{7!}{3!2!} = \frac{5040}{6 \times 2} = 420$.
તમામ સમાન અક્ષરો સાથે આવે તે માટે,$3S$ ના સમૂહને એક એકમ અને $2C$ ના સમૂહને એક એકમ તરીકે ગણીએ.
હવે આપણી પાસે $4$ એકમો છે: $(SSS), (CC), U, E$.
આ $4$ એકમોને ગોઠવવાની રીતો $4! = 24$ છે.
તેથી,માંગેલ સંભાવના $P = \frac{24}{420} = \frac{2}{35}$ છે.

(A) $10$ માંથી $4$ વ્યક્તિ પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો $n(S) = {}^{10}C_4 = 210$ છે.
દરેક વ્યવસાયમાંથી ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિ હોય તેવા કિસ્સાઓ:
કિસ્સો $1$: $(2, 1, 1) \implies {}^{5}C_2 \times {}^{3}C_1 \times {}^{2}C_1 = 60$.
કિસ્સો $2$: $(1, 2, 1) \implies {}^{5}C_1 \times {}^{3}C_2 \times {}^{2}C_1 = 30$.
કિસ્સો $3$: $(1, 1, 2) \implies {}^{5}C_1 \times {}^{3}C_1 \times {}^{2}C_2 = 15$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(E) = 60 + 30 + 15 = 105$.
સંભાવના $P(E) = \frac{105}{210} = \frac{1}{2}$.

(B) $7$ સફેદ અને $3$ કાળા દડાને ગોઠવવાની કુલ રીતો $\frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ છે.
કોઈ પણ બે કાળા દડા સાથે ન હોય તે માટે,આપણે ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પહેલા $7$ સફેદ દડાને ગોઠવો: $\_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_$.
$3$ કાળા દડા માટે $8$ શક્ય જગ્યાઓ (ગેપ) છે.
$8$ માંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ છે.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{56}{120} = \frac{7}{15}$.

(D) $52$ પત્તામાંથી $4$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{52}C_4$ છે.
$^{52}C_4 = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 270725$.
પત્તાના ઢગમાં લાલના (hearts) $13$ પત્તા હોય છે.
આ $13$ પત્તામાંથી $4$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $^{13}C_4$ છે.
$^{13}C_4 = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 715$.
સંભાવના $P = \frac{^{13}C_4}{^{52}C_4} = \frac{715}{270725}$.
અંશ અને છેદને $65$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{11}{4165}$ મળે છે.

(C) પ્રથમ $20$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાંથી $3$ પૂર્ણાંક પસંદ કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $^{20}C_3$ છે.
જો પસંદ કરેલા ત્રણ પૂર્ણાંકોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક પૂર્ણાંક યુગ્મ હોય,તો તેમનો ગુણાકાર યુગ્મ થાય.
માંગેલ સંભાવના $= 1 - P(\text{એક પણ પૂર્ણાંક યુગ્મ ન હોય})$
$= 1 - \frac{^{10}C_3}{^{20}C_3}$
$= 1 - \frac{120}{1140}$
$= 1 - \frac{2}{19}$
$= \frac{17}{19}$

(C) $9$ વ્યક્તિઓમાંથી $5$ વ્યક્તિઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= ^9C_5 = 126$.
કિસ્સો $1$: બંનેનો સમાવેશ થાય. બાકીના $7$ વ્યક્તિઓમાંથી $3$ વ્યક્તિઓ પસંદ કરવાની રીતો $= ^7C_3 = 35$.
કિસ્સો $2$: બંનેનો સમાવેશ ન થાય. બાકીના $7$ વ્યક્તિઓમાંથી $5$ વ્યક્તિઓ પસંદ કરવાની રીતો $= ^7C_5 = 21$.
કુલ સાનુકૂળ રીતો $= 35 + 21 = 56$.
સંભાવના $= \frac{56}{126} = \frac{4}{9}$.

(B) ધારો કે કુલ દડાની સંખ્યા $8$ ($4$ લાલ અને $4$ વાદળી) છે.
ક્રમિક રીતે ભિન્ન રંગ માટે બે શક્યતાઓ છે:
$1$. લાલ,વાદળી,લાલ,વાદળી $(RBRB)$
$2$. વાદળી,લાલ,વાદળી,લાલ $(BRBR)$
$RBRB$ ક્રમની સંભાવના:
$P(RBRB) = \frac{4}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{70}$
$BRBR$ ક્રમની સંભાવના:
$P(BRBR) = \frac{4}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{70}$
કુલ સંભાવના:
$P = \frac{3}{70} + \frac{3}{70} = \frac{6}{70} = \frac{6}{35}$

(A) $15$ ખેલાડીઓમાંથી $11$ ખેલાડીઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{15}C_{11}$ છે.
$8$ બેટ્સમેનમાંથી $6$ અને $7$ બોલરમાંથી $5$ પસંદ કરવાની સાનુકૂળ રીતો $^{8}C_{6} \times ^{7}C_{5}$ છે.
તેથી,માંગેલ સંભાવના $P = \frac{^{8}C_{6} \times ^{7}C_{5}}{^{15}C_{11}}$ છે.

(A) કુલ $50$ ટિકિટોમાંથી $5$ ટિકિટો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{50}C_5$ છે.
$x_3 = 30$ માટે,આપણે ${1, 2, \dots, 29}$ માંથી $x_1$ અને $x_2$ તરીકે બે સંખ્યાઓ પસંદ કરવી પડે અને ${31, 32, \dots, 50}$ માંથી $x_4$ અને $x_5$ તરીકે બે સંખ્યાઓ પસંદ કરવી પડે.
$x_1$ અને $x_2$ પસંદ કરવાની રીતો $^{29}C_2$ છે.
$x_4$ અને $x_5$ પસંદ કરવાની રીતો $^{20}C_2$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $^{29}C_2 \times ^{20}C_2$ છે.
સંભાવના $\frac{^{29}C_2 \times ^{20}C_2}{^{50}C_5}$ થાય.

(A) $52$ પત્તામાંથી $4$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{52}C_4$ છે.
કોઈ એક ચોક્કસ પ્રકારના (suit) ચાર પત્તા હોવાની સંભાવના:
$P = \frac{^{13}C_4}{^{52}C_4} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{52 \times 51 \times 50 \times 49} = \frac{11}{85 \times 49}$.
કુલ $4$ પ્રકારના પત્તા હોવાથી,કુલ સંભાવના:
$4 \times \frac{11}{85 \times 49} = \frac{44}{85 \times 49}$.

(B) કુલ દડાની સંખ્યા = $4 + 5 + 6 = 15$.
$15$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$ છે.
ભિન્ન રંગના $3$ દડા (એક લાલ,એક સફેદ અને એક કાળો) પસંદ કરવાની રીતો $^4C_1 \times ^5C_1 \times ^6C_1 = 4 \times 5 \times 6 = 120$ છે.
ભિન્ન રંગના ત્રણ દડા પસંદ કરવાની સંભાવના $P = \frac{120}{455}$ થાય.
અંશ અને છેદને $5$ વડે ભાગતા,$P = \frac{24}{91}$ મળે.

(B) $40$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો = $^{40}C_2$ છે.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો અયુગ્મ ત્યારે જ થાય જો એક સંખ્યા યુગ્મ અને બીજી સંખ્યા અયુગ્મ હોય.
$40$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં $20$ યુગ્મ અને $20$ અયુગ્મ સંખ્યાઓ હોય છે.
તેથી,એક યુગ્મ અને એક અયુગ્મ સંખ્યા પસંદ કરવાની રીતો = $^{20}C_1 \times ^{20}C_1$ છે.
માગેલ સંભાવના $P = \frac{^{20}C_1 \times ^{20}C_1}{^{40}C_2} = \frac{20 \times 20}{\frac{40 \times 39}{2}} = \frac{400}{780} = \frac{20}{39}$ છે.

(C) $52$ પત્તામાંથી $4$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $^{52}C_4$ છે.
પેકેટમાં $4$ જોડ (suits) હોય છે અને દરેક જોડમાં $13$ પત્તા હોય છે.
દરેક જોડમાંથી એક પત્તું પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $(^{13}C_1)^4$ છે.
તેથી,માંગેલ સંભાવના $P = \frac{(^{13}C_1)^4}{^{52}C_4} = \frac{2197}{20825}$ થાય છે.

(B) $40$ માંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{40}C_2 = \frac{40 \times 39}{2} = 780$ છે.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો એકી હોવા માટે,એક સંખ્યા બેકી અને બીજી સંખ્યા એકી હોવી જોઈએ.
પ્રથમ $40$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં $20$ બેકી અને $20$ એકી સંખ્યાઓ છે.
એક બેકી અને એક એકી સંખ્યા પસંદ કરવાની રીતો $^{20}C_1 \times ^{20}C_1 = 20 \times 20 = 400$ છે.
માટે માંગેલ સંભાવના $P = \frac{400}{780} = \frac{40}{78} = \frac{20}{39}$ થાય.

(D) કુલ પસંદગીના પ્રકારો = $^{30}C_2 = 435$.
$a^2 - b^2$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે $a^2 \equiv b^2 \pmod{3}$ થવું જોઈએ.
સાચો જવાબ વિકલ્પ $D$ છે.

(B) કુલ $52$ પત્તામાંથી $4$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $52 \times 51 \times 50 \times 49$ છે.
દરેક પત્તું અલગ પ્રકારનું (suit) હોય તે માટે,પ્રથમ પત્તું $52$ માંથી કોઈ પણ હોઈ શકે.
બીજું પત્તું અલગ પ્રકારનું હોવું જોઈએ,તેથી બાકીના $51$ પત્તામાંથી $39$ વિકલ્પો છે.
ત્રીજું પત્તું પ્રથમ બે કરતા અલગ પ્રકારનું હોવું જોઈએ,તેથી બાકીના $50$ પત્તામાંથી $26$ વિકલ્પો છે.
ચોથું પત્તું છેલ્લા બાકી રહેલા પ્રકારનું હોવું જોઈએ,તેથી બાકીના $49$ પત્તામાંથી $13$ વિકલ્પો છે.
આમ,સંભાવના $\frac{13}{52} \times \frac{13}{51} \times \frac{13}{50} \times \frac{13}{49} \times 24$ થાય.

(B) કુલ બલ્બની સંખ્યા = $10$. ખરાબ બલ્બ = $4$. સારા બલ્બ = $6$.
$10$ માંથી $3$ બલ્બ પસંદ કરવાના કુલ પ્રકાર = $^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
ઓરડો ત્યારે જ પ્રકાશિત થાય જો ઓછામાં ઓછો એક બલ્બ સારો હોય.
પૂરક ઘટના ગણવી સરળ છે: જો ત્રણેય બલ્બ ખરાબ હોય તો ઓરડો પ્રકાશિત થશે નહીં.
$3$ ખરાબ બલ્બ પસંદ કરવાના પ્રકાર = $^4C_3 = 4$.
ઓરડો પ્રકાશિત ન થાય તેની સંભાવના = $\frac{4}{120} = \frac{1}{30}$.
ઓરડો પ્રકાશિત થાય તેની સંભાવના = $1 - \frac{1}{30} = \frac{29}{30}$.

(C) $11$ વ્યક્તિઓને ( $6$ છોકરીઓ અને $5$ છોકરાઓ) એક હારમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $11!$ છે.
કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે તે માટે,પહેલા $6$ છોકરીઓને $6!$ રીતે ગોઠવો.
આનાથી $7$ જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે જ્યાં $5$ છોકરાઓને બેસાડી શકાય: $\_ G \_ G \_ G \_ G \_ G \_ G \_$.
$7$ માંથી $5$ જગ્યાઓ પસંદ કરીને $5$ છોકરાઓને ગોઠવવાની રીતો $^7P_5 = \frac{7!}{2!}$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ ગોઠવણીની સંખ્યા $6! \times \frac{7!}{2!}$ છે.
સંભાવના $\frac{6! \times 7!}{2! \times 11!}$ થાય.

(B) કુલ દડાની સંખ્યા $3 + 4 + 2 = 9$ છે.
આપણે $1$ લાલ,$1$ વાદળી અને $1$ લીલો દડો પસંદ કરવાનો છે.
દરેક રંગનો એક દડો પસંદ કરવાની રીતો $^3C_1 \times ^4C_1 \times ^2C_1 = 3 \times 4 \times 2 = 24$ છે.
$9$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
સંભાવના $\frac{24}{84} = \frac{2}{7}$ થાય.

(A) $52$ પત્તાંમાંથી $13$ પત્તાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(U) = \binom{52}{13}$ છે.
ધારો કે ઘટના $A$ એ છે કે પસંદ થયેલા $13$ પત્તાંમાં બરાબર $4$ રાજા હોય.
પત્તાંની થોકડીમાં $4$ રાજા હોય છે,અને આપણે તે બધા $4$ પસંદ કરવાના છે. બાકીના $13 - 4 = 9$ પત્તાં બાકીના $52 - 4 = 48$ પત્તાંમાંથી પસંદ કરવાના રહેશે.
તેથી,$n(A) = \binom{4}{4} \times \binom{48}{9} = \binom{48}{9}$.
સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(U)} = \frac{\binom{48}{9}}{\binom{52}{13}}$.
$P(A) = \frac{48!}{9!39!} \times \frac{13!39!}{52!} = \frac{48! \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9!}{9! \times 52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{52 \times 51 \times 50 \times 49}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $P(A) = \frac{11}{4165}$ મળે છે.

(C) શરત $\omega^{r_1} + \omega^{r_2} + \omega^{r_3} = 0$ ત્યારે જ સંતોષાય જો $r_1, r_2, r_3$ ને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષ ${0, 1, 2}$ હોય.
પાસા માટે શક્ય અંકો ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ છે.
$3$ વડે ભાગતા મળતી શેષ:
$1 \equiv 1, 2 \equiv 2, 3 \equiv 0, 4 \equiv 1, 5 \equiv 2, 6 \equiv 0$.
દરેક શેષ માટે $2$ અંકો છે: $0$ (ગણ ${3, 6}$ માંથી),$1$ (ગણ ${1, 4}$ માંથી),અને $2$ (ગણ ${2, 5}$ માંથી).
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= (2 \times 2 \times 2) \times 3! = 8 \times 6 = 48$.
કુલ પરિણામો $= 6^3 = 216$.
સંભાવના $= \frac{48}{216} = \frac{2}{9}$.

(C) $20$ માંથી $4$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = {}^{20}C_4 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845$ છે.
ધારો કે $A.P.$ એ $a, a+d, a+2d, a+3d$ છે. $1 \le a$ અને $a+3d \le 20$ હોવાથી,$3d \le 20-a \le 19$,તેથી $d \le 6$ મળે.
ચોક્કસ $d$ માટે,$A.P.$ ની સંખ્યા $20-3d$ છે.
$d=1$ માટે: $20-3(1) = 17$.
$d=2$ માટે: $20-3(2) = 14$.
$d=3$ માટે: $20-3(3) = 11$.
$d=4$ માટે: $20-3(4) = 8$.
$d=5$ માટે: $20-3(5) = 5$.
$d=6$ માટે: $20-3(6) = 2$.
કુલ $A.P.s = 17+14+11+8+5+2 = 57$.
સંભાવના $= \frac{57}{4845} = \frac{1}{85}$.
વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ કહે છે કે સામાન્ય તફાવત $d$ ફક્ત $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5$ હોઈ શકે છે. જોકે,$d=6$ પણ શક્ય છે (દા.ત.,$1, 7, 13, 19$). તેથી,વિધાન-$2$ ખોટું છે.

(A) ધારો કે $\lambda$ અને $\mu$ એ અનુક્રમે $A$ અને $B$ દ્વારા મેળવેલ છાપની સંખ્યા છે,અને $\lambda'$ અને $\mu'$ એ અનુક્રમે $A$ અને $B$ દ્વારા મેળવેલ કાંટાની સંખ્યા છે.
તો $\lambda + \lambda' = n + 1$ અને $\mu + \mu' = n$ થાય.
આપણે $\lambda > \mu$ હોય તેની સંભાવના $P$ શોધવી છે.
પૂરક ઘટના $\lambda \le \mu$ ની સંભાવના $1 - P$ છે.
નોંધો કે $\lambda \le \mu \iff n + 1 - \lambda' \le n - \mu' \iff 1 - \lambda' \le - \mu' \iff \lambda' \ge \mu' + 1$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda' > \mu'$.
આમ,$1 - P$ એ સંભાવના છે કે $A$ ને $B$ કરતા વધારે કાંટા મળે.
સંમિતિના કારણે,$A$ ને $B$ કરતા વધારે છાપ મળે તેની સંભાવના એ $A$ ને $B$ કરતા વધારે કાંટા મળે તેની સંભાવના જેટલી જ છે.
તેથી,$P = 1 - P$,જે $2P = 1$ આપે છે,અથવા $P = 1/2$.

(D) કોઈ સંખ્યા $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય હોય તો તે તેમના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી એટલે કે $6$ વડે વિભાજ્ય હોય.
પ્રથમ $100$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં $6$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $6, 12, 18, \dots, 96$ છે.
સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,$96 = 6 + (n-1)6$,જે $n = 16$ આપે છે.
આવી કુલ $16$ સંખ્યાઓ છે.
$100$ માંથી $3$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{100}C_3$ છે.
$6$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{16}C_3$ છે.
આમ,જરૂરી સંભાવના $\frac{^{16}C_3}{^{100}C_3} = \frac{16 \times 15 \times 14}{100 \times 99 \times 98} = \frac{4}{1155}$ છે.

(A) $21$ માંથી $3$ ટિકિટ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{21}C_3 = \frac{21 \times 20 \times 19}{3 \times 2 \times 1} = 1330$ છે.
અંકો $A.P.$ માં હોય તે માટે,ધારો કે અંકો $a, a+d, a+2d$ છે.
અંકો $1$ અને $21$ ની વચ્ચે હોવાથી,$1 \le a < a+d < a+2d \le 21$ મળે.
આથી $a+2d \le 21$ થાય.
જો $d=1$ હોય,તો $a+2 \le 21 \implies a \le 19$. આવી $19$ જોડીઓ મળે.
જો $d=2$ હોય,તો $a+4 \le 21 \implies a \le 17$. આવી $17$ જોડીઓ મળે.
જો $d=k$ હોય,તો $a+2k \le 21 \implies a \le 21-2k$.
$d$ ની મહત્તમ કિંમત $10$ છે (કારણ કે $a+20 \le 21 \implies a=1$).
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $= 19 + 17 + 15 + \dots + 1$.
આ $10$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $19$ અને અંતિમ પદ $1$ છે.
સરવાળો $= \frac{10}{2}(19+1) = 5 \times 20 = 100$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{100}{1330} = \frac{10}{133}$.

(A) ચેસબોર્ડમાં $64$ ખાના હોય છે,જેમાં $32$ સફેદ અને $32$ કાળા ખાના હોય છે.
$64$ માંથી $3$ ખાના પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{64}C_3 = 41664$ છે.
બે ખાના એક રંગના અને એક બીજા રંગનું હોય તે માટેની બે શક્યતાઓ છે:
$(i)$ બે સફેદ અને એક કાળું: ${}^{32}C_2 \times {}^{32}C_1 = 15872$.
$(ii)$ બે કાળા અને એક સફેદ: ${}^{32}C_2 \times {}^{32}C_1 = 15872$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 15872 + 15872 = 31744$.
સંભાવના $= \frac{31744}{41664} = \frac{16}{21}$.

(B) $8$ અંકોમાંથી $2$ અંકોને પુનરાવર્તન વગર પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ છે.
ધારો કે $X$ એ પસંદ કરેલા બે અંકોમાં ન્યૂનતમ અંક છે. આપણે $P(X < 5)$ શોધવા માંગીએ છીએ.
પૂરક ઘટનાનો ઉપયોગ કરવો સરળ છે: $P(X < 5) = 1 - P(X \geq 5)$.
$X \geq 5$ નો અર્થ છે કે બંને પસંદ કરેલા અંકો $\{5, 6, 7, 8\}$ ગણમાંથી હોવા જોઈએ.
આ $4$ અંકોમાંથી $2$ અંકો પસંદ કરવાની રીતો $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ છે.
તેથી,$P(X \geq 5) = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}$.
આમ,$P(X < 5) = 1 - \frac{3}{14} = \frac{11}{14}$.

(C) કુલ પસંદગીના પ્રકારો = $\binom{1000}{2} = 500 \times 999$.
$|x^4 - y^4|$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે કાં તો બંને સંખ્યાઓ $5$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ અથવા બંને $5$ વડે વિભાજ્ય ન હોવી જોઈએ.
$5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $200$ છે અને $5$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યાઓ $800$ છે.
સાનુકૂળ પ્રકારો = $\binom{200}{2} + \binom{800}{2} = 19900 + 319600 = 339500$.
સંભાવના = $\frac{339500}{500 \times 999} = \frac{679}{999}$.

(B) એક પાસા માટે સંભાવનાઓ: $P(1) = \frac{1}{6}$,$P(2) = \frac{2}{6}$,અને $P(3) = \frac{3}{6}$ છે.
ત્રણ ફેંકમાં સરવાળો $6$ મેળવવા માટેના શક્ય સંયોજનો:
$1)$ $\{1, 2, 3\}$ કોઈપણ ક્રમમાં.
$2)$ $\{2, 2, 2\}$.
$\left\{1, 2, 3\right\}$ માટે,ક્રમચયોની સંખ્યા $3! = 6$ છે. સંભાવના $6 \times (\frac{1}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{3}{6}) = \frac{36}{216}$ છે.
$\left\{2, 2, 2\right\}$ માટે,સંભાવના $(\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{2}{6}) = \frac{8}{216}$ છે.
કુલ સંભાવના $\frac{36}{216} + \frac{8}{216} = \frac{44}{216}$ થાય.

(D) $15$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{15}C_3 = 455$ છે.
$3$ સંખ્યાઓ $(a, b, c)$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તે માટે $a+c = 2b$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $a+c$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ. આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $a$ અને $c$ બંને બેકી હોય અથવા બંને એકી હોય.
${1, 2, \dots, 15}$ માં $7$ બેકી અને $8$ એકી સંખ્યાઓ છે.
$2$ બેકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^7C_2 = 21$ છે.
$2$ એકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^8C_2 = 28$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $21 + 28 = 49$.
સંભાવના = $\frac{49}{455} = \frac{7}{65}$.

(A) $5$ વિદ્યાર્થીઓ માટે $10$ કોલેજોમાંથી પસંદગી કરવાની કુલ રીતો $10^5$ છે.
બધા $5$ વિદ્યાર્થીઓ અલગ-અલગ કોલેજ પસંદ કરે તેવી રીતોની સંખ્યા $10$ કોલેજોમાંથી $5$ ની ક્રમચય છે,જે $P(10, 5) = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$ છે.
સંભાવના $P = \frac{30240}{10^5} = \frac{30240}{100000} = \frac{189}{625}$ છે.
અહીં,$a = 189$ અને $b = 625$ છે,જે પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
તેથી,$a + b = 189 + 625 = 814$.

(B) $4$ પેપરને $7$ શિક્ષકોને સોંપવાની કુલ રીતો $7^4 = 2401$ છે.
બરાબર $2$ શિક્ષકો પેપર તપાસે તે માટે,આપણે $7$ માંથી $2$ શિક્ષકો પસંદ કરીએ છીએ,જે $^7C_2$ રીતે કરી શકાય.
દરેક $4$ પેપર આ $2$ શિક્ષકોમાંથી કોઈપણ એક દ્વારા તપાસી શકાય છે,જે $2^4$ કુલ સોંપણીઓ આપે છે. જો કે,આપણે એવા કિસ્સાઓ બાકાત રાખવા જોઈએ જ્યાં બધા પેપર માત્ર $1$ શિક્ષક દ્વારા તપાસવામાં આવે. તેથી,રીતોની સંખ્યા $2^4 - 2 = 14$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $^7C_2 \times (2^4 - 2) = 21 \times 14 = 294$ છે.
સંભાવના $P = \frac{294}{2401} = \frac{6}{49}$ છે.

(D) કુલ મોજાંની સંખ્યા = $12 \times 2 = 24$.
$24$ માંથી $4$ મોજાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો = $^{24}C_4 = 10626$.
ઓછામાં ઓછી એક જોડી મળે તેની સંભાવના શોધવા માટે,આપણે એક પણ જોડી ન મળે તેની સંભાવના શોધીશું.
એક પણ જોડી ન મળે તે માટે,આપણે $12$ અલગ-અલગ જોડીઓમાંથી $4$ મોજાં એવી રીતે પસંદ કરવા જોઈએ કે જેથી કોઈ પણ બે મોજાં એક જોડી ન બનાવે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે $12$ જોડીઓમાંથી $4$ જોડી પસંદ કરીએ અને પછી તે દરેક $4$ જોડીમાંથી $1$ મોજું પસંદ કરીએ.
એક પણ જોડી ન મળે તેની રીતો = $^{12}C_4 \times 2^4 = 495 \times 16 = 7920$.
એક પણ જોડી ન મળે તેની સંભાવના = $\frac{7920}{10626} = \frac{120}{161}$.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક જોડી મળે તેની સંભાવના = $1 - \frac{120}{161} = \frac{41}{161}$.

(D) ધારો કે દરેક પરિવારમાં બાળકોની સંખ્યા $x$ છે.
બંને પરિવારોમાં કુલ બાળકોની સંખ્યા $2x$ છે.
આપણે $2x$ બાળકો વચ્ચે $3$ ટિકિટો એવી રીતે વહેંચીએ છીએ કે કોઈ બાળકને એકથી વધુ ટિકિટ ન મળે.
$2x$ બાળકોમાંથી $3$ બાળકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{2x}C_{3}$ છે.
પરિવાર $B$ (જેમાં $x$ બાળકો છે) માંથી $3$ બાળકો પસંદ કરવાની રીતો $^{x}C_{3}$ છે.
બધી $3$ ટિકિટો પરિવાર $B$ ના બાળકોને મળે તેની સંભાવના:
$P = \frac{^{x}C_{3}}{^{2x}C_{3}} = \frac{1}{12}$
સાદુરૂપ આપતા:
$\frac{x(x-1)(x-2)}{2x(2x-1)(2x-2)} = \frac{1}{12}$
$\frac{x-2}{4(2x-1)} = \frac{1}{12}$
$\frac{x-2}{2x-1} = \frac{1}{3}$
$3x - 6 = 2x - 1$
$x = 5$
આમ,દરેક પરિવારમાં બાળકોની સંખ્યા $5$ છે.

(C) $15$ વ્યક્તિઓમાંથી $4$ સભ્યોની સમિતિ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{15}C_4 = 1365$ છે.
કોઈપણ સ્ત્રી ન હોય તેવી સમિતિની સંખ્યા $^{10}C_4 = 210$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી હોય તેવી સમિતિની સંખ્યા $1365 - 210 = 1155$ છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધીએ છીએ કે સમિતિમાં પુરુષો કરતા સ્ત્રીઓની સંખ્યા વધુ હોય. આ ત્યારે થાય છે જો સમિતિમાં $3$ સ્ત્રીઓ અને $1$ પુરુષ હોય,અથવા $4$ સ્ત્રીઓ અને $0$ પુરુષો હોય.
$3$ સ્ત્રીઓ અને $1$ પુરુષ માટેની રીતો: $^{5}C_3 \times ^{10}C_1 = 100$.
$4$ સ્ત્રીઓ અને $0$ પુરુષો માટેની રીતો: $^{5}C_4 \times ^{10}C_0 = 5$.
કુલ સાનુકૂળ રીતો = $100 + 5 = 105$.
આમ,જરૂરી સંભાવના $\frac{105}{1155} = \frac{1}{11}$ છે.

(D) ઘાતગણ $P(X)$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $2^{10}$ છે.
$A$ અને $B$ ને પુનરાવર્તન સાથે પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,$(A, B)$ ની જોડી પસંદ કરવાની કુલ રીતો $(2^{10}) \times (2^{10}) = 2^{20}$ છે.
ધારો કે $n(A) = k$ અને $n(B) = k$,જ્યાં $k$ ની કિંમત $0$ થી $10$ સુધી હોઈ શકે છે.
$10$ ઘટકોના ગણમાંથી $k$ ઘટકો ધરાવતો ઉપગણ પસંદ કરવાની રીતો $^{10}C_k$ છે.
તેથી,$n(A) = n(B) = k$ થાય તેવી રીતે $A$ અને $B$ પસંદ કરવાની રીતો $(^{10}C_k) \times (^{10}C_k) = (^{10}C_k)^2$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $\sum_{k=0}^{10} (^{10}C_k)^2$ છે.
નિત્યસમ $\sum_{k=0}^{n} (^{n}C_k)^2 = ^{2n}C_n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sum_{k=0}^{10} (^{10}C_k)^2 = ^{20}C_{10}$ મળે છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{^{20}C_{10}}{2^{20}}$ છે.

(B) $6$ વિદ્યાર્થીઓને હારમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $6! = 720$ છે.
$A$ અને $B$ ની વચ્ચે બરાબર એક વિદ્યાર્થી હોય તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,આપણે $(A, X, B)$ અથવા $(B, X, A)$ બ્લોકને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ,જ્યાં $X$ બાકીના $4$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી એક છે.
પગલું $1$: બાકીના $4$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી એક વિદ્યાર્થી $X$ ને $4$ રીતે પસંદ કરો.
પગલું $2$: $(A, X, B)$ અથવા $(B, X, A)$ બ્લોકને બાકીના $3$ વિદ્યાર્થીઓ સાથે ગોઠવો. આ રીતે આપણને ગોઠવવા માટે $4$ એકમો મળે છે,જે $4!$ રીતે કરી શકાય છે.
પગલું $3$: બ્લોક $(A, X, B)$ અથવા $(B, X, A)$ હોઈ શકે છે,તેથી બ્લોકની અંદર $A$ અને $B$ ને ગોઠવવાની $2$ રીતો છે.
કુલ સાનુકૂળ ગોઠવણી $= 4 \times 4! \times 2 = 4 \times 24 \times 2 = 192.$
સંભાવના $= \frac{192}{720} = \frac{4}{15}.$

(A) $52$ પત્તાંમાંથી $7$ પત્તાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{52}C_{7}$ છે.
હાથમાં તમામ $4$ રાજા મેળવવા માટે,આપણે $4$ ઉપલબ્ધ રાજાઓમાંથી $4$ રાજા પસંદ કરવા પડશે અને બાકીના $7 - 4 = 3$ પત્તાં બાકીના $52 - 4 = 48$ પત્તાંમાંથી પસંદ કરવા પડશે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= ^{4}C_{4} \times ^{48}C_{3}$.
સંભાવના $P = \frac{^{4}C_{4} \times ^{48}C_{3}}{^{52}C_{7}}$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$^{4}C_{4} = 1$.
$^{48}C_{3} = 17296$.
$^{52}C_{7} = 133784560$.
$P = \frac{17296}{133784560} = \frac{1}{7735}$.

(A) $52$ પત્તાંમાંથી $7$ પત્તાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{52}C_{7}$ છે.
ચોક્કસ $3$ રાજા મેળવવા માટે,આપણે $4$ ઉપલબ્ધ રાજાઓમાંથી $3$ રાજા અને બાકીના $48$ પત્તાંમાંથી $4$ બિન-રાજા પત્તાં પસંદ કરવા પડશે.
$3$ રાજા પસંદ કરવાની રીતો $^{4}C_{3} = 4$ છે.
$4$ બિન-રાજા પત્તાં પસંદ કરવાની રીતો $^{48}C_{4} = 194580$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $^{4}C_{3} \times ^{48}C_{4} = 4 \times 194580 = 778320$ છે.
શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $^{52}C_{7} = 133784560$ છે.
સંભાવના $P = \frac{778320}{133784560} = \frac{9}{1547}$ છે.