Advanced Use of permutations and combinations in probability Questions in Gujarati

(A) $10$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = {}^{10}C_3 = 120$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી સંખ્યાઓમાં ન્યૂનતમ $3$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $3$ પસંદ થયેલ છે,અને બાકીની બે સંખ્યાઓ $\{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ માંથી પસંદ કરવી પડશે.
તેથી,$n(A) = {}^{7}C_2 = 21$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી સંખ્યાઓમાં મહત્તમ $7$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $7$ પસંદ થયેલ છે,અને બાકીની બે સંખ્યાઓ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માંથી પસંદ કરવી પડશે.
તેથી,$n(B) = {}^{6}C_2 = 15$.
ધારો કે $A \cap B$ એ ઘટના છે કે ન્યૂનતમ $3$ અને મહત્તમ $7$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $3$ અને $7$ પસંદ થયેલ છે,અને ત્રીજી સંખ્યા $\{4, 5, 6\}$ માંથી પસંદ કરવી પડશે.
તેથી,$n(A \cap B) = {}^{3}C_1 = 3$.
સૂત્ર $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 21 + 15 - 3 = 33$ મુજબ.
જરૂરી સંભાવના $P(A \cup B) = \frac{33}{120} = \frac{11}{40}$ છે.

(B) $8$ માંથી $4$ પગરખાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{8}{4} = 70$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઓછામાં ઓછી એક સાચી જોડી મેળવવાની ઘટના છે.
તેના પૂરક ઘટના $E^c$ ની સંભાવના ગણવી સરળ છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈ પણ સાચી જોડી ન મળે.
કોઈ પણ સાચી જોડી ન મળે તે માટે,આપણે $4$ પગરખાં એવી રીતે પસંદ કરવા જોઈએ કે કોઈ પણ બે પગરખાં જોડી ન બનાવે.
કુલ $4$ જોડી છે. આપણે $4$ જોડીમાંથી $4$ જોડી પસંદ કરવી પડે અને પછી દરેક જોડીમાંથી $1$ પગરખું પસંદ કરવું પડે.
$4$ જોડીમાંથી $4$ જોડી પસંદ કરવાની રીતો $\binom{4}{4} = 1$ છે.
દરેક $4$ જોડીમાંથી $1$ પગરખું પસંદ કરવાની રીતો $2^4 = 16$ છે.
તેથી,કોઈ પણ સાચી જોડી ન હોય તેવી રીતે $4$ પગરખાં પસંદ કરવાની રીતો $1 \times 16 = 16$ છે.
કોઈ પણ સાચી જોડી ન મળે તેની સંભાવના $P(E^c) = \frac{16}{70} = \frac{8}{35}$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક સાચી જોડી મળે તેની સંભાવના $P(E) = 1 - P(E^c) = 1 - \frac{8}{35} = \frac{27}{35}$ છે.

(D) ગણ $S = \{5, 6, \ldots, 35\}$ છે. ઘટકોની સંખ્યા $35 - 5 + 1 = 31$ છે.
$31$ માંથી $2$ પૂર્ણાંકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{31}C_2 = \frac{31 \times 30}{2} = 465$ છે.
બે પૂર્ણાંકોનો તફાવત એકી ત્યારે જ હોય જો એક પૂર્ણાંક બેકી અને બીજો એકી હોય.
ગણ $\{5, 6, \ldots, 35\}$ માં,એકી પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $16$ છે (જેમ કે $5, 7, \ldots, 35$) અને બેકી પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $15$ છે (જેમ કે $6, 8, \ldots, 34$).
એક એકી અને એક બેકી પૂર્ણાંક પસંદ કરવાની રીતો $^{16}C_1 \times ^{15}C_1 = 16 \times 15 = 240$ છે.
તફાવત એકી હોય તેની સંભાવના $P = \frac{240}{465}$ છે.
અંશ અને છેદને $15$ વડે ભાગતા,આપણને $P = \frac{16}{31}$ મળે છે.

(B) $75$ વિદ્યાર્થીઓને $30$ અને $45$ ના બે વિભાગમાં વહેંચવાની કુલ રીતો $^{75}C_{30}$ છે.
ધારો કે બે ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓ $S_1$ અને $S_2$ છે.
કિસ્સો $I$: બંને $S_1$ અને $S_2$ એ $30$ વિદ્યાર્થીઓના વિભાગમાં હોય. રીતોની સંખ્યા $^{73}C_{28}$ છે.
કિસ્સો $II$: બંને $S_1$ અને $S_2$ એ $45$ વિદ્યાર્થીઓના વિભાગમાં હોય. રીતોની સંખ્યા $^{73}C_{43}$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{^{73}C_{28} + ^{73}C_{43}}{^{75}C_{30}}$ છે.
$^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\frac{73!}{28!45!} + \frac{73!}{43!30!}}{\frac{75!}{30!45!}} = \frac{73!}{75!} \times \left( \frac{30!45!}{28!45!} + \frac{30!45!}{43!30!} \right)$
$= \frac{1}{75 \times 74} \times (30 \times 29 + 45 \times 44)$
$= \frac{870 + 1980}{5550} = \frac{2850}{5550} = \frac{285}{555} = \frac{19}{37}$.

(A) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 50$ છે. $50$ વિદ્યાર્થીઓને $20$ અને $30$ ના બે જૂથમાં વહેંચવાની કુલ રીતો ${}^{50}C_{20} \times {}^{30}C_{30} = {}^{50}C_{20}$ છે.
જો $Ram$ અને $Rahim$ બંને પ્રથમ જૂથમાં ($20$ ની સંખ્યા) હોય,તો બાકીના $48$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી $18$ વિદ્યાર્થીઓ પસંદ કરવા પડે. આ રીતોની સંખ્યા ${}^{48}C_{18}$ છે.
જો $Ram$ અને $Rahim$ બંને બીજા જૂથમાં ($30$ ની સંખ્યા) હોય,તો બાકીના $48$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી $28$ વિદ્યાર્થીઓ પસંદ કરવા પડે. આ રીતોની સંખ્યા ${}^{48}C_{28}$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{{}^{48}C_{18} + {}^{48}C_{28}}{{}^{50}C_{20}}$ છે.
સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{\frac{48!}{18!30!} + \frac{48!}{28!20!}}{\frac{50!}{20!30!}} = \frac{20 \times 19}{50 \times 49} + \frac{30 \times 29}{50 \times 49} = \frac{380 + 870}{2450} = \frac{1250}{2450} = \frac{25}{49}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) કુલ સફરજનની સંખ્યા $= 12$. સડેલા સફરજનની સંખ્યા $= 3$. સારા સફરજનની સંખ્યા $= 9$.
$12$ માંથી $3$ સફરજન પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ છે.
આપણે વધુમાં વધુ એક સડેલું સફરજન મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે,જેનો અર્થ છે $0$ અથવા $1$ સડેલું સફરજન.
કિસ્સો $1$: એક પણ સડેલું સફરજન પસંદ ન થાય (બધા $3$ સારા હોય).
રીતોની સંખ્યા $= {}^{9}C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.
કિસ્સો $2$: બરાબર $1$ સડેલું સફરજન પસંદ થાય (અને $2$ સારા હોય).
રીતોની સંખ્યા $= {}^{3}C_1 \times {}^{9}C_2 = 3 \times \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 3 \times 36 = 108$.
કુલ સાનુકૂળ રીતો $= 84 + 108 = 192$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{192}{220} = \frac{48}{55}$.

(A) બે પાસા ફેંકતી વખતે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $36$ છે. સરવાળો $4$ મળે તેવા પરિણામો $(1,3), (3,1), (2,2)$ છે.
તેથી,એક ફેંકમાં સરવાળો $4$ મળે તેની સંભાવના $p = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ છે.
સરવાળો $4$ ન મળે તેની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$ છે.
$A$ રમત શરૂ કરે છે,તેથી $B$ ત્યારે જીતે જો $A$ પ્રથમ પ્રયત્ને નિષ્ફળ જાય અને $B$ બીજા પ્રયત્ને સફળ થાય,અથવા $A$ પ્રથમ અને ત્રીજા પ્રયત્ને નિષ્ફળ જાય અને $B$ બીજા પ્રયત્ને નિષ્ફળ જાય અને ચોથા પ્રયત્ને સફળ થાય,વગેરે.
$B$ જીતે તેની સંભાવના અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી દ્વારા મળે છે:
$P(B \text{ wins}) = qp + q^3p + q^5p + \dots$
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = qp = \frac{11}{12} \times \frac{1}{12} = \frac{11}{144}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^2 = (\frac{11}{12})^2 = \frac{121}{144}$ છે.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે.
$P(B \text{ wins}) = \frac{\frac{11}{144}}{1 - \frac{121}{144}} = \frac{\frac{11}{144}}{\frac{144-121}{144}} = \frac{11}{23}$.

(A) $52$ પત્તામાંથી $4$ પત્તા પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો $^{52}C_4$ છે.
બે પત્તા એક જ પ્રકારના અને બાકીના બે પત્તા અલગ-અલગ પ્રકારના મળે તે માટે:
$1$. $4$ પ્રકારમાંથી $1$ પ્રકાર પસંદ કરો: $^4C_1$.
$2$. તે પ્રકારના $13$ પત્તામાંથી $2$ પત્તા પસંદ કરો: $^{13}C_2$.
$3$. બાકીના $3$ પ્રકારમાંથી $2$ પ્રકાર પસંદ કરો: $^3C_2$.
$4$. આ પસંદ કરેલા $2$ પ્રકારમાંથી દરેકમાંથી $1$ પત્તું પસંદ કરો: $^{13}C_1 \times ^{13}C_1$.
આવશ્યક સંભાવના = $\frac{^4C_1 \times ^{13}C_2 \times ^3C_2 \times ^{13}C_1 \times ^{13}C_1}{^{52}C_4}$
$= \frac{4 \times 78 \times 3 \times 13 \times 13}{270725} = \frac{72 \times 169}{425 \times 49}$.

(B) ચેસબોર્ડમાં $8 \times 8 = 64$ ચોરસ હોય છે. $64$ માંથી $3$ ચોરસ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{64}{3} = \frac{64 \times 63 \times 62}{3 \times 2 \times 1} = 41664$ છે.
એક હરોળમાં $3$ ચોરસ સાથે હોય તે માટે,$8$ ચોરસની દરેક હરોળમાં $3$ ક્રમિક ચોરસ પસંદ કરવાની $8 - 3 + 1 = 6$ રીતો છે. $8$ હરોળ હોવાથી,હરોળ માટે કુલ રીતો $8 \times 6 = 48$ છે.
તે જ રીતે,સ્તંભો માટે,$8$ સ્તંભો છે અને દરેક સ્તંભમાં $6$ રીતો છે,તેથી $8 \times 6 = 48$ રીતો છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $48 + 48 = 96$ છે.
સંભાવના $\frac{96}{41664} = \frac{1}{434}$ છે.

(D) $52$ પત્તામાંથી $3$ પત્તા પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો $^{52}C_3 = 22100$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની ગણતરી કરતા,કુલ સાનુકૂળ પ્રકારો $576$ મળે છે.
તેથી,સંભાવના = $\frac{576}{22100} = \frac{144}{5525}$.

(A) જ્યારે સિક્કાને $7$ વાર ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^7 = 128$ છે.
આપણે બરાબર $3$ છાપ મળે અને કોઈ પણ બે છાપ ક્રમિક ન હોય તેવી રીતે પસંદ કરવાની છે.
ધારો કે $4$ કાંટા (tails) $T, T, T, T$ છે. આ $5$ ખાલી જગ્યાઓ બનાવે છે જ્યાં છાપ મૂકી શકાય: $\_ T \_ T \_ T \_ T \_$.
કોઈ પણ બે છાપ ક્રમિક ન હોય તે માટે,આપણે આ $5$ ઉપલબ્ધ જગ્યાઓમાંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવી પડશે.
$5$ માંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $10$ છે.
સંભાવના $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{10}{128} = \frac{5}{64}$ છે.

(D) $3$ પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
સરવાળો $10$ થાય તેવા પરિણામો $(x, y, z)$ જ્યાં $1 \le x, y, z \le 6$ છે:
$(1,3,6), (1,4,5), (1,5,4), (1,6,3), (2,2,6), (2,3,5), (2,4,4), (2,5,3), (2,6,2), (3,1,6), (3,2,5), (3,3,4), (3,4,3), (3,5,2), (3,6,1), (4,1,5), (4,2,4), (4,3,3), (4,4,2), (4,5,1), (5,1,4), (5,2,3), (5,3,2), (5,4,1), (6,1,3), (6,2,2), (6,3,1)$.
આ ગણતરી કરતા,$n(E) = 27$ મળે છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{27}{216} = \frac{1}{8}$ છે.

(C) $52$ પત્તાંના પેકમાં,દરેક સૂટમાં $A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K$ હોય છે.
સંયુક્ત સંખ્યાઓ $\{4, 6, 8, 9, 10\}$ છે (દરેક સૂટમાં $5$,કુલ $20$).
$3$ ના ગુણકો $\{3, 6, 9\}$ છે (દરેક સૂટમાં $3$,કુલ $12$).
$C \cap M = \{6, 9\}$ (દરેક સૂટમાં $2$,કુલ $8$).
$C \setminus M = \{4, 8, 10\}$ (દરેક સૂટમાં $3$,કુલ $12$).
$M \setminus C = \{3\}$ (દરેક સૂટમાં $1$,કુલ $4$).
સાધ્ય પરિણામો $= (12 \times 4) + (12 \times 8) + (4 \times 8) + \binom{8}{2} = 48 + 96 + 32 + 28 = 204$.
કુલ પરિણામો $= \binom{52}{2} = 1326$.
સંભાવના $= \frac{204}{1326} = \frac{102}{663}$.

(C) ત્રણ પાસાઓ ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
ત્રણેય પાસાઓ પર અલગ-અલગ સંખ્યાઓ મળે તે માટે,પ્રથમ પાસા પર $6$ માંથી કોઈ પણ સંખ્યા,બીજા પાસા પર બાકી રહેલી $5$ સંખ્યાઓમાંથી કોઈ પણ,અને ત્રીજા પાસા પર બાકી રહેલી $4$ સંખ્યાઓમાંથી કોઈ પણ સંખ્યા આવી શકે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 6 \times 5 \times 4 = 120$.
તેથી,સંભાવના $= \frac{120}{216} = \frac{5}{9}$.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા = $3 + 5 + 7 = 15$.
$15$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો = $^{15}C_3 = 455$.
ઓછામાં ઓછા બે વાદળી દડા મેળવવા માટે બે કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: બરાબર $2$ વાદળી અને $1$ અન્ય દડો.
રીતો = $^7C_2 \times ^8C_1 = 21 \times 8 = 168$.
કિસ્સો $2$: બરાબર $3$ વાદળી દડા.
રીતો = $^7C_3 = 35$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $168 + 35 = 203$.
સંભાવના = $\frac{203}{455} = \frac{29}{65}$.

(B) દડાની કુલ સંખ્યા $= 4 + 5 + 6 = 15$ છે.
આપણે $3$ અલગ-અલગ રંગના દડા પસંદ કરવાના છે,એટલે કે એક લાલ,એક વાદળી અને એક પીળો દડો.
$1$ લાલ,$1$ વાદળી અને $1$ પીળો દડો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $\binom{4}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{6}{1} = 4 \times 5 \times 6 = 120$ છે.
$15$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{15}{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{120}{455} = \frac{24}{91}$ છે.

(C) કુલ દડા = $3 + 6 = 9$. આપણે $4$ દડા કાઢીએ છીએ. કુલ રીતો = $^9C_4 = 126$.
ઓછામાં ઓછા $2$ લાલ દડા મળવાની સંભાવના = $1 - [P(0 \text{ લાલ}) + P(1 \text{ લાલ})]$.
$P(0 \text{ લાલ}) = 0$.
$P(1 \text{ લાલ}) = \frac{^6C_1 \times ^3C_3}{126} = \frac{6}{126}$.
ઓછામાં ઓછા $2$ લાલ દડાની સંભાવના = $1 - \frac{6}{126} = \frac{120}{126} = \frac{20}{21}$.

(C) $3n$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષના આધારે ત્રણ ગણમાં વિભાજિત કરો:
$G_1 = \{x, x+3, \dots, x+3(n-1)\}$
$G_2 = \{x+1, x+4, \dots, x+3(n-1)+1\}$
$G_3 = \{x+2, x+5, \dots, x+3(n-1)+2\}$
દરેક ગણમાં $n$ પૂર્ણાંકો છે.
ત્રણ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે,કાં તો ત્રણેય એક જ ગણમાંથી હોવા જોઈએ અથવા ત્રણેય ગણમાંથી એક-એક પૂર્ણાંક લેવો જોઈએ.
એક જ ગણમાંથી $3$ પસંદ કરવાની રીતો: $3 \times \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{2}$.
દરેક ગણમાંથી એક પસંદ કરવાની રીતો: $\binom{n}{1} \times \binom{n}{1} \times \binom{n}{1} = n^3$.
કુલ સાનુકૂળ રીતો: $\frac{n(n-1)(n-2)}{2} + n^3 = \frac{3n^3-3n^2+2n}{2}$.
કુલ નિદર્શાવકાશ: $\binom{3n}{3} = \frac{n(3n-1)(3n-2)}{2}$.
સંભાવના: $\frac{3n^2-3n+2}{(3n-1)(3n-2)}$.

(B) બોનફેરોનીની અસમતા મુજબ,કોઈપણ ઘટનાઓ $A_1, A_2, \ldots, A_n$ માટે,આપણી પાસે છે:
$P\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_i\right) \geq \sum_{i=1}^{n} P(A_i) - (n-1)$.
$n = 15$ માટે,અસમતા આ મુજબ બને છે:
$P\left(\bigcap_{i=1}^{15} A_i\right) \geq \sum_{i=1}^{15} P(A_i) - (15-1) = \sum_{i=1}^{15} P(A_i) - 14$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+ax+b=0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોય જો વિવેચક $D = a^2 - 4b \geq 0$ હોય,જેનો અર્થ છે $a^2 \geq 4b$.
અહીં $a \in \{3, 4, 5\}$ અને $b \in \{1, 2, 3, 4\}$ હોવાથી,કુલ શક્ય જોડીઓ $(a, b)$ ની સંખ્યા $3 \times 4 = 12$ છે.
દરેક જોડી માટે $a^2 \geq 4b$ ની શરત તપાસતા:
જો $a=3$,$a^2=9$: $9 \geq 4b \implies b \leq 2.25$. $b$ ની શક્ય કિંમતો $1, 2$ છે ($2$ જોડી).
જો $a=4$,$a^2=16$: $16 \geq 4b \implies b \leq 4$. $b$ ની શક્ય કિંમતો $1, 2, 3, 4$ છે ($4$ જોડી).
જો $a=5$,$a^2=25$: $25 \geq 4b \implies b \leq 6.25$. $b$ ની શક્ય કિંમતો $1, 2, 3, 4$ છે ($4$ જોડી).
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $2 + 4 + 4 = 10$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ છે.

(C) $10$ વ્યક્તિઓમાંથી $3$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = {}^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ છે.
જો પસંદ કરેલી ત્રણ વ્યક્તિઓમાં સૌથી નાનો બેજ નંબર $5$ હોય,તો $5$ નંબરની વ્યક્તિ પસંદ થવી જ જોઈએ.
બાકીની બે વ્યક્તિઓ $5$ થી મોટી સંખ્યાઓ $\{6, 7, 8, 9, 10\}$ માંથી પસંદ કરવી પડે.
આવી $5$ સંખ્યાઓ છે.
તેથી,બાકીની બે વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની રીતો $n(A) = {}^{5}C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ છે.
માગેલ સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}$ છે.

(D) કુલ દડાની સંખ્યા $= 5 + 3 + 4 = 12$.
$12$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{12}C_3 = 220$ છે.
એક જ રંગના $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો:
- $3$ લાલ દડા: ${}^{5}C_3 = 10$
- $3$ કાળા દડા: ${}^{3}C_3 = 1$
- $3$ સફેદ દડા: ${}^{4}C_3 = 4$
એક જ રંગના દડા હોવાની કુલ રીતો $= 10 + 1 + 4 = 15$.
એક જ રંગના દડા હોવાની સંભાવના $= \frac{15}{220} = \frac{3}{44}$.
એક જ રંગના ન હોય તેની સંભાવના $= 1 - \frac{3}{44} = \frac{41}{44}$.

(D) $10$ દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_2 = 45$ છે.
$6$ સફેદ દડામાંથી $2$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો $^{6}C_2 = 15$ છે.
$4$ કાળા દડામાંથી $2$ કાળા દડા પસંદ કરવાની રીતો $^{4}C_2 = 6$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $15 + 6 = 21$ છે.
તેથી,માંગેલ સંભાવના $\frac{21}{45} = \frac{7}{15}$ છે.

(C) $40$ માંથી $4$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{40}C_4 = 91390$ છે.
$4$ ક્રમિક સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $\{k, k+1, k+2, k+3\}$ સ્વરૂપના ગણની સંખ્યા છે,જ્યાં $1 \le k \le 37$.
આ સંખ્યા $37$ છે.
$4$ સંખ્યાઓ ક્રમિક હોય તેની સંભાવના $= \frac{37}{91390} = \frac{1}{2470}$ છે.
તેઓ ક્રમિક ન હોય તેની સંભાવના $= 1 - \frac{1}{2470} = \frac{2469}{2470}$ છે.

(C) $11$ દડા ($5$ સફેદ + $6$ લીલા) માંથી $7$ દડા કાઢવાની કુલ રીતો ${ }^{11}C_7$ છે.
$5$ સફેદ દડામાંથી $3$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${ }^5C_3$ છે.
$6$ લીલા દડામાંથી $4$ લીલા દડા પસંદ કરવાની રીતો ${ }^6C_4$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા ${ }^5C_3 \times { }^6C_4$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{{ }^5C_3 \times { }^6C_4}{{ }^{11}C_7}$ છે.

(D) $52$ પત્તામાંથી $2$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = ^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$ છે.
આપણે રાજા અને ફુલ્લીનું પત્તું મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે.
ફક્ત એક જ પત્તું એવું છે જે રાજા અને ફુલ્લી બંને હોય (ફુલ્લીનો રાજા).
બીજું પત્તું બાકીના $51$ પત્તામાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે.
સાનુકૂળ પરિણામો: (ફુલ્લીનો રાજા,અન્ય કોઈ રાજા) અથવા (ફુલ્લીનો રાજા,અન્ય કોઈ ફુલ્લી).
અન્ય રાજાઓની સંખ્યા = $3$. અન્ય ફુલ્લીના પત્તાની સંખ્યા = $12$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $3 + 12 = 15$.
સંભાવના = $\frac{15}{1326} = \frac{5}{442}$.

(B) $40$ પૂર્ણાંકોમાંથી $2$ પૂર્ણાંકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો સંચયના સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
કુલ પરિણામો $= {}^{40}C_{2} = \frac{40 \times 39}{2 \times 1} = 20 \times 39 = 780$.
બે પૂર્ણાંકોનો સરવાળો અયુગ્મ (એકી) થાય તે માટે એક સંખ્યા યુગ્મ (બેકી) અને બીજી સંખ્યા અયુગ્મ (એકી) હોવી જોઈએ.
$40$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોમાં $20$ યુગ્મ અને $20$ અયુગ્મ પૂર્ણાંકો હોય છે.
$20$ માંથી એક યુગ્મ પૂર્ણાંક પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{20}C_{1} = 20$.
$20$ માંથી એક અયુગ્મ પૂર્ણાંક પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{20}C_{1} = 20$.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 20 \times 20 = 400$.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{400}{780}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{40}{78} = \frac{20}{39}$ મળે છે.

(A) આપેલ સંખ્યાઓ $S = \{2, 3, 5, 7, 11, 13\}$ છે.
$6$ માંથી $3$ ચિઠ્ઠીઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
આપણે સંખ્યાઓને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષના આધારે વર્ગીકૃત કરીએ છીએ:
- શેષ $0$: ${3}$ (સંખ્યા $n_0 = 1$)
- શેષ $1$: ${7, 13}$ (સંખ્યા $n_1 = 2$)
- શેષ $2$: ${2, 5, 11}$ (સંખ્યા $n_2 = 3$)
$3$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય થાય તે માટે શેષના શક્ય સંયોજનો $(r_1, r_2, r_3)$ નીચે મુજબ છે:
$1$. $(0, 1, 2)$: દરેક ગણમાંથી એક સંખ્યા પસંદ કરો. રીતોની સંખ્યા $= 1 \times 2 \times 3 = 6$.
$2$. $(0, 0, 0)$: શક્ય નથી કારણ કે આપણી પાસે શેષ $0$ વાળી માત્ર એક જ સંખ્યા છે.
$3$. $(1, 1, 1)$: શક્ય નથી કારણ કે આપણી પાસે શેષ $1$ વાળી માત્ર બે જ સંખ્યાઓ છે.
$4$. $(2, 2, 2)$: શેષ $2$ વાળા ગણમાંથી ત્રણેય સંખ્યાઓ પસંદ કરો. રીતોની સંખ્યા $= ^3C_3 = 1$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 6 + 1 = 7$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{7}{20}$ છે.

(B) $PROBABILITY$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $P(1), R(1), O(1), B(2), A(1), I(2), L(1), T(1), Y(1)$. કુલ $8$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $\{P, R, O, B, A, I, L, T, Y\}$.
$11$ અક્ષરોમાંથી $4$ અક્ષરો પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{11}C_4 = 330$ છે.
ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થાય તેની સંભાવના શોધવા માટે,આપણે પૂરક ઘટનાનો ઉપયોગ કરીશું: બધા $4$ અક્ષરો ભિન્ન હોય.
$8$ ભિન્ન અક્ષરોમાંથી $4$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો ${}^{8}C_4 = 70$ છે.
બધા અક્ષરો ભિન્ન હોય તેની સંભાવના $P(\text{distinct}) = \frac{70}{330} = \frac{7}{33}$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થાય તેની સંભાવના $1 - \frac{7}{33} = \frac{26}{33}$ થાય. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $52$ પત્તાંમાંથી $2$ પત્તાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$ છે.
દરેક રંગમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7$ છે (કુલ $16$ પત્તાં).
દરેક રંગમાં $5$ ના ગુણકો $5$ અને $10$ છે (કુલ $8$ પત્તાં).
અહીં $5$ એ અવિભાજ્ય અને $5$ નો ગુણક બંને છે.
સાધ્ય પરિણામો = $(16 \times 8) - 4 = 128 - 4 = 124$.
સંભાવના = $\frac{124}{1326} = \frac{62}{663}$.
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(D) જ્યારે પાસાને $3$ વાર ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
આપેલ શરત $\omega^{\beta_1} + \omega^{\beta_2} = -\omega^{\beta_3}$ ને $\omega^{\beta_1} + \omega^{\beta_2} + \omega^{\beta_3} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
$\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ હોવાથી,$\omega^n$ ની કિંમત $n \equiv 1, 2, 0 \pmod{3}$ મુજબ $\omega, \omega^2, 1$ હોઈ શકે.
સરવાળો શૂન્ય થાય તે માટે,${\omega^{\beta_1}, \omega^{\beta_2}, \omega^{\beta_3}}$ એ ${1, \omega, \omega^2}$ નો ક્રમચય હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ માંથી એક $3k$ સ્વરૂપની,એક $3k+1$ સ્વરૂપની અને એક $3k+2$ સ્વરૂપની હોવી જોઈએ.
ગણ ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ માં દરેક પ્રકારની બે સંખ્યાઓ છે:
પ્રકાર $0$ $(n \equiv 0 \pmod{3})$: ${3, 6}$
પ્રકાર $1$ $(n \equiv 1 \pmod{3})$: ${1, 4}$
પ્રકાર $2$ $(n \equiv 2 \pmod{3})$: ${2, 5}$
દરેક ગણમાંથી એક સંખ્યા પસંદ કરવાની રીતો $2 \times 2 \times 2 = 8$ છે.
$\beta_1, \beta_2, \beta_3$ નો ક્રમ મહત્વનો હોવાથી,આપણે $3! = 6$ વડે ગુણીશું.
સાનુકૂળ પરિણામો $= 8 \times 6 = 48$.
સંભાવના $= \frac{48}{216} = \frac{2}{9}$.

(C) કુલ પસંદગીના પ્રકારો $^{10}C_3 = 120$ છે.
ઘટના $A$: ન્યૂનતમ સંખ્યા $3$ હોય. આ માટે $3$ અને $\{4, 5, \ldots, 10\}$ માંથી બે સંખ્યાઓ પસંદ કરવી પડે,જે $^7C_2 = 21$ રીતે થાય.
ઘટના $B$: મહત્તમ સંખ્યા $7$ હોય. આ માટે $7$ અને $\{1, 2, \ldots, 6\}$ માંથી બે સંખ્યાઓ પસંદ કરવી પડે,જે $^6C_2 = 15$ રીતે થાય.
ઘટના $A \cap B$: ન્યૂનતમ $3$ અને મહત્તમ $7$ હોય. આ માટે $3, 7$ અને $\{4, 5, 6\}$ માંથી એક સંખ્યા પસંદ કરવી પડે,જે $^3C_1 = 3$ રીતે થાય.
સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા $21 + 15 - 3 = 33$ છે.
સંભાવના $\frac{33}{120} = \frac{11}{40}$ છે.

(A) $52$ પત્તામાંથી $5$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{52}C_5 = 2598960$ છે.
ફુલ હાઉસ (એક જોડી અને એક ત્રિપુટી) બનાવવા માટે:
$1$. ત્રિપુટી માટે ફેસ વેલ્યુ પસંદ કરો: $^{13}C_1 = 13$ રીતો.
$2$. તે ફેસ વેલ્યુના $3$ પત્તા પસંદ કરો: $^4C_3 = 4$ રીતો.
$3$. બાકીની $12$ વેલ્યુમાંથી જોડી માટે ફેસ વેલ્યુ પસંદ કરો: $^{12}C_1 = 12$ રીતો.
$4$. તે ફેસ વેલ્યુના $2$ પત્તા પસંદ કરો: $^4C_2 = 6$ રીતો.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $13 \times 4 \times 12 \times 6 = 3744$.
સંભાવના = $\frac{3744}{2598960} = \frac{6}{4165}$.

(D) $13$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{13}C_{3} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$ છે.
બંને રંગના દડા પસંદ થાય તે ઘટનાનો અર્થ એ છે કે આપણે કાં તો ($2$ લાલ અને $1$ સફેદ) અથવા ($1$ લાલ અને $2$ સફેદ) દડા પસંદ કરીએ છીએ.
$2$ લાલ અને $1$ સફેદ દડો પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{8}C_{2} \times {}^{5}C_{1} = 28 \times 5 = 140$.
$1$ લાલ અને $2$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{8}C_{1} \times {}^{5}C_{2} = 8 \times 10 = 80$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 140 + 80 = 220$.
આવશ્યક સંભાવના $= \frac{220}{286} = \frac{10}{13}$.

(B) $100$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાંથી બે ભિન્ન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $100 \times 99 = 9900$ છે.
આપણે એવી જોડી $(a, b)$ શોધવી છે કે જેથી $a-b \ge 10$ થાય,જેનો અર્થ છે $a \ge b+10$.
જો $b=1$ હોય,તો $a$ એ $11$ થી $100$ સુધીની કોઈપણ કિંમત હોઈ શકે ($90$ કિંમતો).
જો $b=2$ હોય,તો $a$ એ $12$ થી $100$ સુધીની કોઈપણ કિંમત હોઈ શકે ($89$ કિંમતો).
આ રીતે આગળ વધતા,જો $b=90$ હોય,તો $a$ માત્ર $100$ હોઈ શકે ($1$ કિંમત).
કુલ સાનુકૂળ કિસ્સાઓ $= 90 + 89 + \dots + 1 = \frac{90 \times 91}{2} = 4095$.
સંભાવના $\frac{4095}{9900}$ છે.
અંશ અને છેદને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $45$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{4095 \div 45}{9900 \div 45} = \frac{91}{220}$ મળે છે.
અહીં,$m=91$ અને $n=220$,તેથી $\gcd(91, 220) = 1$.
તેથી,$m+n = 91 + 220 = 311$.

(C) $12$ દડાઓને $6$ જોડીમાં વહેંચવાની કુલ રીતો $\frac{\binom{12}{2}\binom{10}{2}\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2}}{6!} = \frac{12!}{2^6 \times 6!}$ છે.
દરેક જોડીમાં એક વાદળી અને એક લીલો દડો હોય તેવી રીતે $6$ જોડી બનાવવાની રીતો $(6! \times 6!) = (6!)^2$ છે,કારણ કે આપણે $6$ વાદળી દડાને $6$ લીલા દડા સાથે $6!$ રીતે જોડી શકીએ છીએ.
સંભાવના $P = \frac{(6!)^2}{\frac{12!}{2^6}} = \frac{6! \times 6! \times 2^6}{12!}$ છે.
$P = \frac{720 \times 720 \times 64}{479001600} = \frac{518400 \times 64}{479001600} = \frac{33177600}{479001600} = \frac{16}{231}$.

(NONE) $31$ માંથી $3$ અલગ તારીખો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{31}{3} = \frac{31 \times 30 \times 29}{3 \times 2 \times 1} = 4495$ છે.
ધારો કે તારીખો $d_1, d_2, d_3$ છે જેથી $1 \le d_1 < d_2 < d_3 \le 31$. આ તારીખો વધતી જતી સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તે માટે,ધારો કે $d_1 = a-d, d_2 = a, d_3 = a+d$,જ્યાં $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે $(d \ge 1)$.
શરતો $d_1 \ge 1$ અને $d_3 \le 31$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$a-d \ge 1 \implies a \ge d+1$ અને $a+d \le 31 \implies a \le 31-d$.
ચોક્કસ $d$ માટે,$a$ ના શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા $(31-d) - (d+1) + 1 = 31-2d$ છે.
$a$ નું અસ્તિત્વ હોવા માટે,$31-2d \ge 1 \implies 2d \le 30 \implies d \le 15$.
આવી સમાંતર શ્રેણીઓની કુલ સંખ્યા $\sum_{d=1}^{15} (31-2d) = 29 + 27 + 25 + ... + 1$ છે.
આ $15$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે,જેનો સરવાળો $= \frac{15}{2}(29+1) = 15 \times 15 = 225$ થાય.
સંભાવના $= \frac{225}{4495} = \frac{45}{899}$.
અહીં $a = 45, b = 899$. કારણ કે $\text{gcd}(45, 899) = 1$,તેથી $a+b = 45 + 899 = 944$.