Advanced Use of permutations and combinations in probability Questions in Gujarati

(D) $52$ પત્તામાંથી $2$ પત્તા ખેંચવાની કુલ રીતો $^52C_2 = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 1326$ છે.
$4$ રાણીમાંથી $1$ રાણી પસંદ કરવાની રીતો $^4C_1 = 4$ છે.
$4$ એક્કામાંથી $1$ એક્કો પસંદ કરવાની રીતો $^4C_1 = 4$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $4 \times 4 = 16$.
સંભાવના = $\frac{16}{1326} = \frac{8}{663}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે $X_1, X_2, X_3$ એ પુરવણી સહિત પસંદ કરેલી ત્રણ ચિઠ્ઠીઓના નંબર છે. દરેક $X_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.
આપણે $\min(X_1, X_2, X_3) = 5$ હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
આ શરત ત્યારે જ સંતોષાય જ્યારે બધા $X_i \ge 5$ હોય અને ઓછામાં ઓછો એક $X_i = 5$ હોય.
$P(\min \ge 5) = P(X_i \ge 5 \text{ બધા } i \text{ માટે}) = (\frac{3}{7})^3$.
$P(\min \ge 6) = P(X_i \ge 6 \text{ બધા } i \text{ માટે}) = (\frac{2}{7})^3$.
$P(\min = 5) = P(\min \ge 5) - P(\min \ge 6) = (\frac{3}{7})^3 - (\frac{2}{7})^3$.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા = $2 + 4 + 3 = 9$.
$2$ કાળા દડા ક્રમમાં પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{2}{9} \times \frac{1}{8}$ છે.
બાકીના $7$ દડામાંથી $4$ સફેદ દડા ક્રમમાં પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4}$ છે.
બાકીના $3$ દડામાંથી $3$ લાલ દડા ક્રમમાં પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{3}{3} \times \frac{2}{2} \times \frac{1}{1} = 1$ છે.
કુલ સંભાવના આ સંભાવનાઓનો ગુણાકાર છે:
$P = \frac{2}{9} \times \frac{1}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{1260}$.

(B) જ્યારે પાસાને ત્રણ વાર ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^3 = 216$ છે.
ધારો કે મળેલી ત્રણ સંખ્યાઓ $x_1, x_2, x_3$ છે. આપણે $x_1 < x_2 < x_3$ ની શરત પૂરી કરવાની છે.
આ શરત $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ગણમાંથી $3$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવા સમાન છે.
એકવાર $3$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ થઈ જાય,પછી તેને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવવાની માત્ર એક જ રીત છે $(x_1 < x_2 < x_3)$.
$6$ માંથી $3$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{6}{3}$ દ્વારા મળે છે.
$\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $20$ છે.
માટે,જરૂરી સંભાવના $\frac{20}{216} = \frac{5}{54}$ થાય.

(A) જ્યારે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^n$ છે.
છાપ એકી સંખ્યામાં આવે તેવા પરિણામોની સંખ્યા $\binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \binom{n}{5} + \dots$ નો સરવાળો છે,જે $2^{n-1}$ બરાબર થાય છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{2^{n-1}}{2^n} = \frac{1}{2}$ છે.

(A) ત્રણ પાસાઓને ફેંકતી વખતે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
સરવાળો $16$ મળે તેવા સાનુકૂળ પરિણામો:
$(6, 6, 4), (6, 4, 6), (4, 6, 6), (5, 5, 6), (5, 6, 5), (6, 5, 5)$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 6$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$ છે.

(C) $52$ કાર્ડમાંથી $6$ કાર્ડ ખેંચવાની કુલ રીતો $^{52}C_6$ છે.
પેકમાં લાલ કાર્ડની સંખ્યા $26$ છે અને કાળા કાર્ડની સંખ્યા $26$ છે.
આપણે $26$ માંથી $3$ લાલ કાર્ડ અને $26$ માંથી $3$ કાળા કાર્ડ પસંદ કરવાના છે.
$3$ લાલ કાર્ડ પસંદ કરવાની રીતો $^{26}C_3$ છે.
$3$ કાળા કાર્ડ પસંદ કરવાની રીતો $^{26}C_3$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{^{26}C_3 \times ^{26}C_3}{^{52}C_6}$ છે.

(C) કુલ દડાની સંખ્યા $= 3 + 7 + 4 = 14$.
$14$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= ^{14}C_3 = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 364$.
એક જ રંગના $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો:
- ત્રણેય લાલ: $^3C_3 = 1$
- ત્રણેય સફેદ: $^7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$
- ત્રણેય કાળા: $^4C_3 = 4$
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 35 + 4 = 40$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{40}{364} = \frac{10}{91}$.

(A) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 3 + 2 + 4 = 9$.
$9$ માંથી $4$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની કુલ રીતો $= {}^9C_4 = 126$.
આપણે $4$ બાળકોમાંથી બરાબર $2$ બાળકો અને બાકીની $5$ વ્યક્તિઓ ($3$ પુરુષો અને $2$ સ્ત્રીઓ) માંથી $2$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની છે.
$2$ બાળકો પસંદ કરવાની રીતો $= {}^4C_2 = 6$.
અન્ય $2$ વ્યક્તિઓ પસંદ કરવાની રીતો $= {}^5C_2 = 10$.
કુલ સાનુકૂળ રીતો $= 6 \times 10 = 60$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{60}{126} = \frac{10}{21}$.

(A) કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $= 3 + 9 = 12$.
મોહન $12$ માંથી $3$ ટિકિટ પસંદ કરે છે.
$3$ ટિકિટ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{12}C_3 = 220$ છે.
મોહન ઓછામાં ઓછું એક ઇનામ જીતે છે જો તેને ત્રણેય ખાલી ટિકિટ ન મળે.
$9$ માંથી $3$ ખાલી ટિકિટ પસંદ કરવાની રીતો ${}^9C_3 = 84$ છે.
કોઈ ઇનામ ન મળવાની સંભાવના $P(\text{no prize}) = \frac{84}{220} = \frac{21}{55}$ છે.
ઓછામાં ઓછું એક ઇનામ જીતવાની સંભાવના $1 - \frac{21}{55} = \frac{34}{55}$ છે.

(C) કુલ દડાની સંખ્યા $= 6 + 4 + 8 = 18$.
$18$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{18}C_3 = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816$.
$4$ માંથી $2$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= {}^4C_2 = 6$.
$6$ માંથી $1$ લાલ દડો પસંદ કરવાની રીતો $= {}^6C_1 = 6$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{{}^4C_2 \times {}^6C_1}{{}^{18}C_3} = \frac{6 \times 6}{816} = \frac{36}{816} = \frac{3}{68}$.

(C) $9$ માંથી $5$ લોકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^9C_5 = 126$ છે.
કિસ્સો $1$: દંપતી સાથે હોય.
બાકીના $7$ લોકોમાંથી $3$ લોકો પસંદ કરવાના છે. રીતોની સંખ્યા $= {}^7C_3 = 35$.
કિસ્સો $2$: દંપતી બિલકુલ ન હોય.
બાકીના $7$ લોકોમાંથી $5$ લોકો પસંદ કરવાના છે. રીતોની સંખ્યા $= {}^7C_5 = 21$.
કુલ સાનુકૂળ રીતો $= 35 + 21 = 56$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{56}{126} = \frac{4}{9}$.

(B) કુલ દડાની સંખ્યા $= 8 + 7 = 15$.
$2$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= {}^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2} = 105$.
$1$. બંને દડા સફેદ હોય તેની સંભાવના $= \frac{{}^7C_2}{{}^{15}C_2} = \frac{21}{105} = \frac{1}{5} = \frac{3}{15}$.
$2$. બંને દડા કાળા હોય તેની સંભાવના $= \frac{{}^8C_2}{{}^{15}C_2} = \frac{28}{105} = \frac{4}{15}$.
$3$. એક દડો સફેદ અને એક કાળો હોય તેની સંભાવના $= \frac{{}^7C_1 \times {}^8C_1}{{}^{15}C_2} = \frac{7 \times 8}{105} = \frac{56}{105} = \frac{8}{15}$.
સંભાવનાઓની સરખામણી કરતા: $\frac{3}{15} < \frac{4}{15} < \frac{8}{15}$.
આમ,એક સફેદ અને એક કાળા દડાની સંભાવના સૌથી વધુ છે.

(B) $10$ વ્યક્તિઓ ($6$ પુરુષો + $4$ સ્ત્રીઓ) માંથી $5$ સભ્યો પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{10}C_5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ છે.
એક પણ સ્ત્રી ન હોય તેવી સમિતિ પસંદ કરવાની રીતો (એટલે કે બધા $5$ સભ્યો પુરુષો હોય) ${}^6C_5 = 6$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી હોય તેવી રીતો = (કુલ રીતો) - (એક પણ સ્ત્રી ન હોય તેવી રીતો) = $252 - 6 = 246$.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{246}{252} = \frac{41}{42}$.

(B) $52$ પત્તામાંથી $3$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{52}C_3 = \frac{52 \times 51 \times 50}{3 \times 2 \times 1} = 22100$ છે.
એક રાજા,એક રાણી અને એક ગલ્લો પસંદ કરવાની રીતો ${}^4C_1 \times {}^4C_1 \times {}^4C_1 = 4 \times 4 \times 4 = 64$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{64}{22100} = \frac{16}{5525}$ છે.

(C) $p_1$ માટે: બે વ્યક્તિઓ પાસો ફેંકે છે. કુલ પરિણામો = $6^2 = 36$. સાનુકૂળ પરિણામો (બંને સમાન) = $6$. તેથી,$p_1 = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$.
$p_2$ માટે: ચાર વ્યક્તિઓ પાસો ફેંકે છે. કુલ પરિણામો = $6^4 = 1296$. આપણે બરાબર ત્રણ સમાન જોઈએ છે.
પ્રથમ,જે મૂલ્ય ત્રણ વાર આવે તે પસંદ કરો: $6$ રીતે.
ત્રણ વ્યક્તિઓ પસંદ કરો જેમને આ મૂલ્ય મળે: $\binom{4}{3} = 4$ રીતે.
ચોથી વ્યક્તિ માટે મૂલ્ય પસંદ કરો (પ્રથમ કરતા અલગ હોવું જોઈએ): $5$ રીતે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $6 \times 4 \times 5 = 120$.
તેથી,$p_2 = \frac{120}{1296} = \frac{5}{54} \approx 0.0926$.
સરખામણી કરતા,$p_1 = \frac{9}{54}$ અને $p_2 = \frac{5}{54}$,તેથી $p_1 > p_2$.

(B) કુલ ફળોની સંખ્યા $= 3 \text{ (કેરી)} + 3 \text{ (સફરજન)} = 6 \text{ ફળ}.$
$6$ માંથી $2$ ફળ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ છે.
$3$ માંથી $1$ કેરી પસંદ કરવાની રીતો ${}^3C_1 = 3$ છે.
$3$ માંથી $1$ સફરજન પસંદ કરવાની રીતો ${}^3C_1 = 3$ છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{{}^3C_1 \times {}^3C_1}{{}^6C_2} = \frac{3 \times 3}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}.$

(C) કુલ સભ્યો = $15$,બોલરો = $5$,બિન-બોલરો = $10$. આપણે $11$ સભ્યો પસંદ કરવાના છે જેમાં ઓછામાં ઓછા $3$ બોલરો હોય.
$15$ માંથી $11$ સભ્યો પસંદ કરવાની કુલ રીતો = $^{15}C_{11} = ^{15}C_{4} = 1365$.
ઓછામાં ઓછા $3$ બોલરો પસંદ કરવાની રીતો:
કિસ્સો $1$: $3$ બોલરો અને $8$ બિન-બોલરો: $^{5}C_{3} \times ^{10}C_{8} = 450$.
કિસ્સો $2$: $4$ બોલરો અને $7$ બિન-બોલરો: $^{5}C_{4} \times ^{10}C_{7} = 600$.
કિસ્સો $3$: $5$ બોલરો અને $6$ બિન-બોલરો: $^{5}C_{5} \times ^{10}C_{6} = 210$.
કુલ સાનુકૂળ રીતો = $450 + 600 + 210 = 1260$.
સંભાવના = $\frac{1260}{1365} = \frac{12}{13}$.

(B) $P_1$ માટે,કુલ દડાની સંખ્યા $13 + 14 + 15 = 42$ છે. $42$ માંથી $4$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $^{42}C_4$ છે. $15$ માંથી $2$ કાળા દડા અને $27$ માંથી $2$ બિન-કાળા દડા પસંદ કરવાની રીતો $^{15}C_2 \times ^{27}C_2$ છે.
$P_1 = \frac{^{15}C_2 \times ^{27}C_2}{^{42}C_4} = \frac{105 \times 351}{111930} = \frac{36855}{111930} \approx 0.329$.
$P_2$ માટે,દરેક રંગના દડાની સંખ્યા બમણી થાય છે,તેથી $26$ લાલ,$28$ લીલા અને $30$ કાળા દડા છે. કુલ દડા = $84$. આપણે $8$ દડા પસંદ કરીએ છીએ. બરાબર $4$ કાળા દડા મળવાની સંભાવના $P_2 = \frac{^{30}C_4 \times ^{54}C_4}{^{84}C_8}$ છે.
આ ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા,આપણને $P_2 \approx 0.274$ મળે છે.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$P_1 > P_2$.

(C) ગણ $A$ થી તે જ ગણ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $n^n$ છે.
કારણ કે $A$ એક શાંત ગણ છે,તેથી $A$ થી તે જ ગણ પરનું દરેક એક-એક વિધેય વ્યાપ્ત પણ હોય છે,એટલે કે તે એક બાયજેક્શન (bijection) છે.
$A$ થી તે જ ગણ પરના કુલ બાયજેક્શનની સંખ્યા $n!$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{n!}{n^n} = \frac{n \times (n-1)!}{n \times n^{n-1}} = \frac{(n-1)!}{n^{n-1}}$ થાય.

(A) $13$ માંથી $2$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની કુલ રીતો $^{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક મહિલા પસંદ થાય તેની સંભાવના $1 - P(\text{એક પણ મહિલા પસંદ ન થાય})$ છે.
જો એક પણ મહિલા પસંદ ન થાય,તો બંને વ્યક્તિઓ પુરુષ હોવા જોઈએ.
$8$ પુરુષોમાંથી $2$ પુરુષો પસંદ કરવાની રીતો $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ છે.
તેથી,$P(\text{કોઈ મહિલા નહીં}) = \frac{28}{78} = \frac{14}{39}$.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક મહિલા પસંદ થાય તેની સંભાવના $1 - \frac{14}{39} = \frac{25}{39}$ છે.

(D) ગણ $\{1, 2, 3, \dots, 30\}$ માંથી બે ભિન્ન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{30}C_2 = 435$ છે.
$a^2 - b^2$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે $a^2 \equiv b^2 \pmod 3$ થવું જોઈએ.
$S_0 = \{3, 6, \dots, 30\}$ (સંખ્યાઓ જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે,કુલ $10$),$S_1 = \{1, 4, \dots, 28\}$ (સંખ્યાઓ જે $1 \pmod 3$ છે,કુલ $10$),અને $S_2 = \{2, 5, \dots, 29\}$ (સંખ્યાઓ જે $2 \pmod 3$ છે,કુલ $10$).
કિસ્સો $1$: $a, b \in S_0$. રીતોની સંખ્યા $= {}^{10}C_2 = 45$.
કિસ્સો $2$: $a, b \in S_1 \cup S_2$. રીતોની સંખ્યા $= {}^{20}C_2 = 190$.
કુલ સાનુકૂળ કિસ્સાઓ $= 45 + 190 = 235$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{235}{435} = \frac{47}{87}$.

(D) ધારો કે દરેક મિત્રને $x$ પુત્રીઓ છે.
કુલ પુત્રીઓની સંખ્યા $x + x = 2x$ છે.
$2x$ પુત્રીઓમાંથી $3$ ટિકિટ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{2x}C_3$ છે.
બધી ટિકિટો $A$ ની પુત્રીઓને મળે તેવી પસંદગીની રીતો $^xC_3$ છે.
સંભાવના $\frac{^xC_3}{^{2x}C_3} = \frac{1}{20}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{x(x-1)(x-2)}{2x(2x-1)(2x-2)} = \frac{1}{20}$.
$\frac{x-2}{4(2x-1)} = \frac{1}{20}$.
$5(x-2) = 2x-1$.
$3x = 9 \Rightarrow x = 3$.

(C) $9$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
દડા સમાન રંગના હોય તે માટે,તે કાં તો બધા કાળા અથવા બધા સફેદ હોવા જોઈએ (કારણ કે લાલ દડા માત્ર $2$ છે,તેથી $3$ લાલ દડા કાઢી શકાય નહીં).
$3$ કાળા દડા પસંદ કરવાની રીતો = ${}^3C_3 = 1$.
$3$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો = ${}^4C_3 = 4$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $1 + 4 = 5$.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{5}{84}$.

(B) $11$ માંથી $6$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{11}C_6 = 462$ છે.
$6$ વ્યક્તિઓની સમિતિમાં બરાબર $2$ સ્ત્રીઓ મેળવવા માટે,આપણે $4$ માંથી $2$ સ્ત્રીઓ અને $7$ માંથી $4$ પુરુષો પસંદ કરવા પડે.
$2$ સ્ત્રીઓને પસંદ કરવાની રીતો = ${}^4C_2 = 6$.
$4$ પુરુષોને પસંદ કરવાની રીતો = ${}^7C_4 = 35$.
કુલ સાનુકૂળ રીતો = ${}^4C_2 \times {}^7C_4 = 6 \times 35 = 210$.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ રીતો}}{\text{કુલ રીતો}} = \frac{210}{462} = \frac{5}{11}$.

(B) $40$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં,$20$ એકી સંખ્યાઓ અને $20$ બેકી સંખ્યાઓ હોય છે.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો એકી હોવા માટે,એક સંખ્યા એકી અને બીજી સંખ્યા બેકી હોવી જોઈએ.
$40$ માંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{40}C_2 = \frac{40 \times 39}{2} = 780$ છે.
એક એકી અને એક બેકી સંખ્યા પસંદ કરવાની રીતો $^{20}C_1 \times ^{20}C_1 = 20 \times 20 = 400$ છે.
આમ,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{400}{780} = \frac{40}{78} = \frac{20}{39}$ છે.

(D) $52$ પત્તામાંથી $3$ પત્તા ખેંચવાની કુલ રીતો $^{52}C_{3}$ છે.
પેકમાં લાલ પત્તાની સંખ્યા $26$ છે.
$26$ લાલ પત્તામાંથી $3$ લાલ પત્તા ખેંચવાની રીતો $^{26}C_{3}$ છે.
સંભાવના $P$ નીચે મુજબ છે:
$P = \frac{^{26}C_{3}}{^{52}C_{3}} = \frac{26 \times 25 \times 24}{52 \times 51 \times 50} = \frac{2}{17}$.

(D) કુલ નિષ્ણાતોની સંખ્યા $= 2 + 3 + 4 = 9$.
$9$ માંથી $3$ નિષ્ણાતો પસંદ કરવાની રીતો $= {}^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.
આપણે $3$ નિષ્ણાતો એવી રીતે પસંદ કરવા માંગીએ છીએ કે તેઓ અલગ-અલગ સંસ્થાઓના હોય,એટલે કે એક $A$ માંથી,એક $B$ માંથી અને એક $C$ માંથી.
દરેક સંસ્થામાંથી એક નિષ્ણાત પસંદ કરવાની રીતો $= {}^2C_1 \times {}^3C_1 \times {}^4C_1 = 2 \times 3 \times 4 = 24$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{24}{84} = \frac{2}{7}$.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા $= 3 + 4 + 5 = 12$.
$12$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= ^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
ત્રણ અલગ-અલગ રંગના દડા (એક લાલ,એક સફેદ અને એક કાળો) પસંદ કરવાની રીતો $= ^3C_1 \times ^4C_1 \times ^5C_1 = 3 \times 4 \times 5 = 60$.
સંભાવના $= \frac{60}{220} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$.

(D) નિયમિત અષ્ટકોણમાં $8$ શિરોબિંદુઓ હોય છે. $8$ માંથી $4$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^8C_4 = 70$ છે.
અહીં સાનુકૂળ કિસ્સાઓની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{2}{^8C_4} = \frac{2}{70} = \frac{1}{35}$.

(A) $90$ ટિકિટોમાંથી $5$ ટિકિટો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{90}C_5$ છે.
આપણે $2$ ચોક્કસ ટિકિટો ($15$ અને $89$) અને બાકીની $88$ ટિકિટોમાંથી $3$ અન્ય ટિકિટો પસંદ કરવાની છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $^{2}C_2 \times ^{88}C_3$ છે.
સંભાવના $P = \frac{^{2}C_2 \times ^{88}C_3}{^{90}C_5} = \frac{1 \times \frac{88 \times 87 \times 86}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{90 \times 89 \times 88 \times 87 \times 86}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}} = \frac{2}{801}$.

(A) $15$ માંથી $11$ ખેલાડીઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{15}C_{11}$ છે.
$8$ માંથી $6$ બેટ્સમેન પસંદ કરવાની રીતો ${}^8C_6$ છે.
$7$ માંથી $5$ બોલર પસંદ કરવાની રીતો ${}^7C_5$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા ${}^8C_6 \times {}^7C_5$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{{}^8C_6 \times {}^7C_5}{{}^{15}C_{11}}$ છે.

(C) પ્રથમ $20$ પૂર્ણાંકોમાંથી $3$ પૂર્ણાંકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{20}C_3 = 1140$ છે.
ત્રણ પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર બેકી હોય જો ઓછામાં ઓછો એક પૂર્ણાંક બેકી હોય.
ગુણાકાર એકી હોય તેની સંભાવના શોધવી સરળ છે. જો ત્રણેય પૂર્ણાંકો એકી હોય તો જ ગુણાકાર એકી મળે.
પ્રથમ $20$ પૂર્ણાંકોમાં $10$ એકી અને $10$ બેકી સંખ્યાઓ છે.
ત્રણ એકી પૂર્ણાંકો પસંદ કરવાની રીતો $^{10}C_3 = 120$ છે.
ગુણાકાર એકી હોય તેની સંભાવના $P(\text{odd}) = \frac{120}{1140} = \frac{2}{19}$ છે.
તેથી,ગુણાકાર બેકી હોય તેની સંભાવના $P(\text{even}) = 1 - \frac{2}{19} = \frac{17}{19}$ થાય.

(D) કુલ દડાની સંખ્યા $= 4 + 5 + 6 = 15$.
$15$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= ^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$.
$1$ સફેદ,$1$ લાલ અને $1$ લીલો દડો પસંદ કરવાની રીતો $= ^4C_1 \times ^5C_1 \times ^6C_1 = 4 \times 5 \times 6 = 120$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{120}{455} = \frac{24}{91}$.

(C) $52$ પત્તામાંથી $3$ પત્તા ખેંચવાની કુલ રીતો $^{52}C_3 = \frac{52 \times 51 \times 50}{3 \times 2 \times 1} = 22100$ છે.
પત્તાના પેકમાં $4$ એક્કા હોય છે,તેથી $4$ માંથી $3$ એક્કા ખેંચવાની રીતો $^{4}C_3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$ છે.
ત્રણ એક્કા ખેંચવાની સંભાવના $\frac{4}{22100} = \frac{1}{5525}$ છે.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા = $3 + 4 + 5 = 12$.
$12$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો = $^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66$.
અલગ રંગના દડા હોય તેની સંભાવના શોધવા માટે,સમાન રંગના દડા હોય તેની સંભાવના શોધીને તેને $1$ માંથી બાદ કરવી સરળ છે.
સમાન રંગના $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો:
$(i)$ બંને લાલ: $^3C_2 = 3$
$(ii)$ બંને સફેદ: $^4C_2 = 6$
$(iii)$ બંને વાદળી: $^5C_2 = 10$
સમાન રંગના $2$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો = $3 + 6 + 10 = 19$.
સમાન રંગની સંભાવના = $\frac{19}{66}$.
અલગ રંગની સંભાવના = $1 - \frac{19}{66} = \frac{66 - 19}{66} = \frac{47}{66}$.

(A) કુલ મોજાંની સંખ્યા $= 5 + 4 = 9$.
$9$ માંથી $2$ મોજાં પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો ${}^9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ છે.
જો બંને મોજાં ભૂરા હોય અથવા બંને વાદળી હોય તો જ તે મેચ થશે.
$5$ માંથી $2$ ભૂરા મોજાં પસંદ કરવાના પ્રકારો ${}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ છે.
$4$ માંથી $2$ વાદળી મોજાં પસંદ કરવાના પ્રકારો ${}^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 10 + 6 = 16$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.

(C) કુલ દડાની સંખ્યા = $8 + 7 = 15$.
$15$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો = $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$.
બંને દડા સમાન રંગના હોય તે માટે,કાં તો બંને લાલ હોવા જોઈએ અથવા બંને કાળા હોવા જોઈએ.
$2$ લાલ દડા પસંદ કરવાની રીતો = $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
$2$ કાળા દડા પસંદ કરવાની રીતો = $^7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $28 + 21 = 49$.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{49}{105} = \frac{7}{15}$.

(B) કુલ કાર્ડની સંખ્યા = $80$.
$1$ થી $80$ વચ્ચે $4$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $4, 8, 12, \dots, 80$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 4$,$d = 4$,અને $l = 80$ છે.
$l = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,$80 = 4 + (n-1)4$,જેનો અર્થ છે કે $n = 20$.
$80$ માંથી $2$ કાર્ડ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{80}C_2 = \frac{80 \times 79}{2} = 3160$ છે.
$20$ માંથી $2$ કાર્ડ પસંદ કરવાની સાનુકૂળ રીતો $^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{190}{3160} = \frac{19}{316}$.

(B) $m$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $A$ થી $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $B$ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $n^m$ છે.
$A$ થી $B$ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $n$ ઘટકોમાંથી $m$ ઘટકોના ક્રમચય જેટલી હોય છે,જે $P(n, m) = \frac{n!}{(n - m)!}$ છે.
એક-એક વિધેય પસંદ કરવાની સંભાવના એ એક-એક વિધેયોની સંખ્યા અને કુલ વિધેયોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$P = \frac{\frac{n!}{(n - m)!}}{n^m} = \frac{n!}{(n - m)! n^m}$.

(D) ધારો કે $A$ ગોળાકાર ટેબલ પર કોઈપણ એક બેઠક પર બેસે છે. $B$ માટે $14$ બેઠકો બાકી રહે છે.
જો $A$ અને $B$ ની વચ્ચે $4$ વ્યક્તિઓ હોય,તો $B$ માત્ર $2$ ચોક્કસ સ્થાનો પર જ બેસી શકે છે (એક $A$ ની ડાબી બાજુ અને એક $A$ ની જમણી બાજુ,જેથી તેમની વચ્ચે $4$ વ્યક્તિઓ રહે).
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$ છે.

(C) જ્યારે સિક્કો $2n$ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^{2n}$ છે.
ચોક્કસ $n$ છાપ અને $n$ કાંટા મેળવવાની રીતોની સંખ્યા દ્વિપદી સહગુણક $\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{n!n!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોક્કસ $n$ છાપ અને $n$ કાંટા મેળવવાની સંભાવના $P(\text{equal}) = \frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{2^{2n}} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{4^n}$ છે.
છાપની સંખ્યા અને કાંટાની સંખ્યા સમાન ન હોય તેની સંભાવના $1 - P(\text{equal})$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1 - \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{4^n}$ છે.

(B) કુલ વસ્તુઓની સંખ્યા $10$ છે,જેમાં $3$ ખામીયુક્ત અને $7$ સારી વસ્તુઓ છે. $4$ વસ્તુઓ પુરવણી વગર પસંદ કરવામાં આવે છે. યાદચ્છિક ચલ $X$ એ હાઇપરજ્યોમેટ્રિક વિતરણને અનુસરે છે.
સંભાવના વિધેય $P(X = x) = \frac{^3C_x \times ^7C_{4-x}}{^{10}C_4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$10$ માંથી $4$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_4 = 210$ છે.
આપણે $P(0 < X < 3)$ શોધવાનું છે,જે $P(X = 1) + P(X = 2)$ છે.
$x = 1$ માટે: $P(X = 1) = \frac{^3C_1 \times ^7C_3}{210} = \frac{3 \times 35}{210} = \frac{105}{210}$.
$x = 2$ માટે: $P(X = 2) = \frac{^3C_2 \times ^7C_2}{210} = \frac{3 \times 21}{210} = \frac{63}{210}$.
તેથી,$P(0 < X < 3) = \frac{105}{210} + \frac{63}{210} = \frac{168}{210} = \frac{4}{5}$.

(C) ધારો કે $W$ એ સફેદ દડો કાઢવાની ઘટના છે અને $B$ એ કાળો દડો કાઢવાની ઘટના છે.
સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(W) = \frac{a}{a+b}$ છે અને કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(B) = \frac{b}{a+b}$ છે.
ખેલાડી $A$ જીતે છે જો તે તેના વારા પર ($1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}, \dots$ વારા) સફેદ દડો કાઢે.
$P(A \text{ wins}) = P(W) + P(B)P(B)P(W) + P(B)P(B)P(B)P(B)P(W) + \dots$
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a_1 = P(W) = \frac{a}{a+b}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = P(B)^2 = \frac{b^2}{(a+b)^2}$ છે.
$P(A \text{ wins}) = \frac{P(W)}{1 - P(B)^2} = \frac{\frac{a}{a+b}}{1 - \frac{b^2}{(a+b)^2}} = \frac{a(a+b)}{(a+b)^2 - b^2} = \frac{a(a+b)}{a^2 + 2ab} = \frac{a+b}{a+2b}$.
કારણ કે $P(A \text{ wins}) + P(B \text{ wins}) = 1$,તેથી $P(B \text{ wins}) = 1 - \frac{a+b}{a+2b} = \frac{b}{a+2b}$.
આપેલ છે કે $P(A \text{ wins}) = 3 \times P(B \text{ wins})$:
$\frac{a+b}{a+2b} = 3 \times \frac{b}{a+2b}$.
$a+b = 3b \implies a = 2b \implies \frac{a}{b} = \frac{2}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $a:b$ એ $2:1$ છે.

(B) ધારો કે $p$ એ બે પાસા પર $9$ નો સરવાળો મેળવવાની સંભાવના છે. કુલ પરિણામો $36$ છે. $9$ ના સરવાળા માટે સાનુકૂળ પરિણામો $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ છે,તેથી $p = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
$9$ નો સરવાળો ન મેળવવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ છે.
$A$ પહેલા ફેંકે છે. $B$ ત્યારે જીતે જો $A$ નિષ્ફળ જાય,પછી $B$ સફળ થાય,અથવા $A$ નિષ્ફળ જાય,$B$ નિષ્ફળ જાય,$A$ નિષ્ફળ જાય,$B$ સફળ થાય,વગેરે.
$B$ જીતે તેની સંભાવના $P(B) = qp + q^3p + q^5p + \dots$ છે.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = qp = \frac{8}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{8}{81}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^2 = (\frac{8}{9})^2 = \frac{64}{81}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{8/81}{1 - 64/81} = \frac{8/81}{17/81} = \frac{8}{17}$ થાય.

(A) $12$ વ્યક્તિઓને હારમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $n = 12!$ છે.
છોકરાઓ અને છોકરીઓ એકાંતરે બેસે તે માટે બે શક્યતાઓ છે: $(B, G, B, G, B, G, B, G, B, G, B, G)$ અથવા $(G, B, G, B, G, B, G, B, G, B, G, B)$.
દરેક ભાતમાં,$6$ છોકરાઓને $6!$ રીતે અને $6$ છોકરીઓને $6!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $m = 6! \times 6! + 6! \times 6! = 2 \times 6! \times 6!$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{m}{n} = \frac{2 \times 6! \times 6!}{12!} = \frac{1}{462}$ છે.

(A) $52$ પત્તાંમાંથી $n$ પત્તાં ખેંચવાની કુલ રીતો $52 \times 51 \times \dots \times (52 - n + 1)$ છે.
$n$ મા પત્તે બીજો એક્કો મળે તે માટે,પ્રથમ $(n-1)$ પત્તાંમાં બરાબર એક એક્કો હોવો જોઈએ અને $n$ મા પત્તે એક્કો હોવો જોઈએ.
પ્રથમ $(n-1)$ ખેંચાણમાં પ્રથમ એક્કાનું સ્થાન પસંદ કરવાની રીતો $(n-1)$ છે.
પ્રથમ એક્કો પસંદ કરવાની રીતો $4$ છે,અને બાકીના $(n-2)$ પત્તાં $48$ બિન-એક્કા પત્તાંમાંથી $P(48, n-2)$ રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે.
$n$ મા પત્તે બીજો એક્કો પસંદ કરવાની રીતો $3$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $(n-1) \times 4 \times P(48, n-2) \times 3$ છે.
$n$ ખેંચાણ માટેના કુલ પરિણામો $P(52, n)$ છે.
$P(N=n) = \frac{(n-1) \times 4 \times 3 \times \frac{48!}{(48-(n-2))!}}{\frac{52!}{(52-n)!}} = \frac{12(n-1) \times 48! \times (52-n)!}{52! \times (50-n)!} = \frac{12(n-1)(52-n)(51-n)}{52 \times 51 \times 50 \times 49} = \frac{(n-1)(52-n)(51-n)}{50 \times 49 \times 17 \times 13}$.

(C) જ્યારે ત્રણ પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
ધારો કે $x, y, z$ એ ત્રણ પાસા પરના પરિણામો છે,જ્યાં $1 \le x, y, z \le 6$. આપણે $x + y + z = 7$ માટે પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની જરૂર છે.
આ $(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^3$ ના વિસ્તરણમાં $x^7$ નો સહગુણક શોધવા સમાન છે.
$= x^3(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^3 = x^3 \left( \frac{1 - x^6}{1 - x} \right)^3$.
આપણે $x^3(1 - x^6)^3(1 - x)^{-3}$ માં $x^7$ નો સહગુણક શોધવો છે,જે $(1 - 3x^6 + 3x^{12} - x^{18})(1 - x)^{-3}$ માં $x^4$ નો સહગુણક છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 - x)^{-3} = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+2}{2} x^r$ નો ઉપયોગ કરતા,$x^4$ નો સહગુણક $\binom{4+2}{2} = \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ મળે છે.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}$ છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા $x$ છે અને બીજી સંખ્યા $y$ છે. $n$ સંખ્યાઓમાંથી બે અલગ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(n - 1)$ છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધીએ છીએ કે જ્યાં $|x - y| \ge m$ હોય. જો આપણે $x - y \ge m$ શરત લઈએ,તો $y \le x - m$ થાય.
ચોક્કસ $x$ માટે,$y$ ની કિંમતો ${1, 2, \dots, x - m}$ માંથી હોઈ શકે છે. આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $x \ge m + 1$ હોય. આવી જોડીઓની સંખ્યા $\sum_{x=m+1}^{n} (x - m) = 1 + 2 + \dots + (n - m) = \frac{(n - m)(n - m + 1)}{2}$ છે.
કુલ સંભાવના = $\frac{\frac{(n - m)(n - m + 1)}{2}}{n(n - 1)} = \frac{(n - m)(n - m + 1)}{2n(n - 1)}$.

(B) $40$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં $20$ એકી અને $20$ બેકી સંખ્યાઓ હોય છે.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો અયુગ્મ (એકી) થવા માટે,એક સંખ્યા બેકી અને બીજી સંખ્યા એકી હોવી જોઈએ.
$40$ માંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો $^{40}C_2 = \frac{40 \times 39}{2} = 780$ છે.
એક એકી અને એક બેકી સંખ્યા પસંદ કરવાના પ્રકારો $^{20}C_1 \times ^{20}C_1 = 20 \times 20 = 400$ છે.
માટે,માંગેલ સંભાવના $P = \frac{400}{780} = \frac{40}{78} = \frac{20}{39}$ થાય.