अ Hindi
Advanced Use of permutations and combinations in probability Questions in Hindi
Class 11 Mathematics · Probability · Advanced Use of permutations and combinations in probability
191+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 191 questions in Hindi
1
EasyMCQ
$52$ ताश के पत्तों की एक गड्डी से दो पत्ते निकाले जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि उनमें से एक रानी और दूसरा इक्का हो?
A
$\frac{2}{663}$
B
$\frac{2}{13}$
C
$\frac{4}{663}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(D) $52$ पत्तों में से $2$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $^52C_2 = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 1326$ हैं।
$4$ रानियों में से $1$ रानी चुनने के तरीके $^4C_1 = 4$ हैं।
$4$ इक्कों में से $1$ इक्का चुनने के तरीके $^4C_1 = 4$ हैं।
कुल अनुकूल परिणाम = $4 \times 4 = 16$।
प्रायिकता = $\frac{16}{1326} = \frac{8}{663}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।
$4$ रानियों में से $1$ रानी चुनने के तरीके $^4C_1 = 4$ हैं।
$4$ इक्कों में से $1$ इक्का चुनने के तरीके $^4C_1 = 4$ हैं।
कुल अनुकूल परिणाम = $4 \times 4 = 16$।
प्रायिकता = $\frac{16}{1326} = \frac{8}{663}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।
0 likes
View Solution2
EasyMCQ
सात पर्चियों पर $1$ से $7$ तक संख्याएँ अंकित हैं। तीन पर्चियाँ प्रतिस्थापन के साथ एक-एक करके निकाली जाती हैं। किसी भी चयनित पर्ची पर सबसे छोटी संख्या $5$ होने की प्रायिकता क्या है?
A
$1 - (\frac{2}{7})^3$
B
$4 \times (\frac{2}{7})^3$
C
$(\frac{3}{7})^3 - (\frac{2}{7})^3$
D
$(\frac{3}{7})^3$
Solution
(C) मान लीजिए $X_1, X_2, X_3$ प्रतिस्थापन के साथ निकाली गई तीन पर्चियों पर संख्याएँ हैं। प्रत्येक $X_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि $\min(X_1, X_2, X_3) = 5$ हो।
यह शर्त तब पूरी होती है जब सभी $X_i \ge 5$ हों और कम से कम एक $X_i = 5$ हो।
$P(\min \ge 5) = P(X_i \ge 5 \text{ सभी } i \text{ के लिए}) = (\frac{3}{7})^3$.
$P(\min \ge 6) = P(X_i \ge 6 \text{ सभी } i \text{ के लिए}) = (\frac{2}{7})^3$.
$P(\min = 5) = P(\min \ge 5) - P(\min \ge 6) = (\frac{3}{7})^3 - (\frac{2}{7})^3$.
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि $\min(X_1, X_2, X_3) = 5$ हो।
यह शर्त तब पूरी होती है जब सभी $X_i \ge 5$ हों और कम से कम एक $X_i = 5$ हो।
$P(\min \ge 5) = P(X_i \ge 5 \text{ सभी } i \text{ के लिए}) = (\frac{3}{7})^3$.
$P(\min \ge 6) = P(X_i \ge 6 \text{ सभी } i \text{ के लिए}) = (\frac{2}{7})^3$.
$P(\min = 5) = P(\min \ge 5) - P(\min \ge 6) = (\frac{3}{7})^3 - (\frac{2}{7})^3$.
0 likes
View Solution3
MediumMCQ
एक बॉक्स में $2$ काली,$4$ सफेद और $3$ लाल गेंदें हैं। बॉक्स से एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है और एक तरफ रख दी जाती है। बॉक्स में बची हुई गेंदों में से,एक और गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है और पहली गेंद के साथ रख दी जाती है। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि बॉक्स से सभी गेंदें बाहर न निकल जाएं। निकाली गई गेंदों के $2$ काली,$4$ सफेद और $3$ लाल के क्रम में होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{1}{1260}$
B
$\frac{1}{7560}$
C
$\frac{1}{126}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) कुल गेंदों की संख्या = $2 + 4 + 3 = 9$.
$2$ काली गेंदें क्रमिक रूप से निकालने की प्रायिकता $\frac{2}{9} \times \frac{1}{8}$ है।
शेष $7$ गेंदों में से $4$ सफेद गेंदें क्रमिक रूप से निकालने की प्रायिकता $\frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4}$ है।
शेष $3$ गेंदों में से $3$ लाल गेंदें क्रमिक रूप से निकालने की प्रायिकता $\frac{3}{3} \times \frac{2}{2} \times \frac{1}{1} = 1$ है।
कुल प्रायिकता इन प्रायिकताओं का गुणनफल है:
$P = \frac{2}{9} \times \frac{1}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{1260}$.
$2$ काली गेंदें क्रमिक रूप से निकालने की प्रायिकता $\frac{2}{9} \times \frac{1}{8}$ है।
शेष $7$ गेंदों में से $4$ सफेद गेंदें क्रमिक रूप से निकालने की प्रायिकता $\frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4}$ है।
शेष $3$ गेंदों में से $3$ लाल गेंदें क्रमिक रूप से निकालने की प्रायिकता $\frac{3}{3} \times \frac{2}{2} \times \frac{1}{1} = 1$ है।
कुल प्रायिकता इन प्रायिकताओं का गुणनफल है:
$P = \frac{2}{9} \times \frac{1}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{1260}$.
0 likes
View Solution4
DifficultMCQ
एक पासे को तीन बार उछाला जाता है। हर बार पिछली संख्या से बड़ी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{15}{216}$
B
$\frac{5}{54}$
C
$\frac{13}{216}$
D
$\frac{1}{18}$
Solution
(B) जब एक पासे को तीन बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $6^3 = 216$ होती है।
मान लीजिए कि प्राप्त तीन संख्याएँ $x_1, x_2, x_3$ हैं। हमें $x_1 < x_2 < x_3$ की शर्त पूरी करनी है।
यह $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ समुच्चय से $3$ अलग-अलग संख्याएँ चुनने के बराबर है।
एक बार जब $3$ अलग-अलग संख्याएँ चुन ली जाती हैं,तो उन्हें बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करने का केवल एक ही तरीका होता है $(x_1 < x_2 < x_3)$।
$6$ में से $3$ अलग-अलग संख्याएँ चुनने के तरीकों की संख्या $\binom{6}{3}$ द्वारा दी जाती है।
$\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
इसलिए,अनुकूल परिणामों की संख्या $20$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{20}{216} = \frac{5}{54}$ है।
मान लीजिए कि प्राप्त तीन संख्याएँ $x_1, x_2, x_3$ हैं। हमें $x_1 < x_2 < x_3$ की शर्त पूरी करनी है।
यह $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ समुच्चय से $3$ अलग-अलग संख्याएँ चुनने के बराबर है।
एक बार जब $3$ अलग-अलग संख्याएँ चुन ली जाती हैं,तो उन्हें बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करने का केवल एक ही तरीका होता है $(x_1 < x_2 < x_3)$।
$6$ में से $3$ अलग-अलग संख्याएँ चुनने के तरीकों की संख्या $\binom{6}{3}$ द्वारा दी जाती है।
$\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
इसलिए,अनुकूल परिणामों की संख्या $20$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{20}{216} = \frac{5}{54}$ है।
0 likes
View Solution5
EasyMCQ
यदि एक सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है,तो चित (head) के विषम बार आने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{1}{2}$
B
$\frac{1}{2^n}$
C
$\frac{1}{2^{n-1}}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) जब एक सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^n$ होती है।
चित के विषम बार आने के अनुकूल परिणामों की संख्या $\binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \binom{n}{5} + \dots$ का योग है,जो $2^{n-1}$ के बराबर होता है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{2^{n-1}}{2^n} = \frac{1}{2}$ है।
चित के विषम बार आने के अनुकूल परिणामों की संख्या $\binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \binom{n}{5} + \dots$ का योग है,जो $2^{n-1}$ के बराबर होता है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{2^{n-1}}{2^n} = \frac{1}{2}$ है।
0 likes
View Solution6
EasyMCQ
तीन पासों को एक बार फेंकने पर योग $16$ प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{1}{36}$
B
$\frac{1}{18}$
C
$\frac{1}{72}$
D
$\frac{1}{9}$
Solution
(A) तीन पासों को फेंकने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 \times 6 = 216$ है।
योग $16$ प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम हैं:
$(6, 6, 4), (6, 4, 6), (4, 6, 6), (5, 5, 6), (5, 6, 5), (6, 5, 5)$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 6$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$ है।
योग $16$ प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम हैं:
$(6, 6, 4), (6, 4, 6), (4, 6, 6), (5, 5, 6), (5, 6, 5), (6, 5, 5)$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 6$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$ है।
0 likes
View Solution7
EasyMCQ
ताश की गड्डी से एक साथ छह कार्ड निकाले जाते हैं। क्या प्रायिकता है कि $3$ लाल और $3$ काले कार्ड होंगे?
A
$^{26}C_6$
B
$\frac{^{26}C_3}{^{52}C_6}$
C
$\frac{^{26}C_3 \times ^{26}C_3}{^{52}C_6}$
D
$\frac{1}{2}$
Solution
(C) $52$ कार्डों में से $6$ कार्ड निकालने के कुल तरीके $^{52}C_6$ हैं।
ताश की गड्डी में लाल कार्डों की संख्या $26$ है और काले कार्डों की संख्या $26$ है।
हमें $26$ में से $3$ लाल कार्ड और $26$ में से $3$ काले कार्ड चुनने हैं।
$3$ लाल कार्ड चुनने के तरीके $^{26}C_3$ हैं।
$3$ काले कार्ड चुनने के तरीके $^{26}C_3$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{^{26}C_3 \times ^{26}C_3}{^{52}C_6}$ है।
ताश की गड्डी में लाल कार्डों की संख्या $26$ है और काले कार्डों की संख्या $26$ है।
हमें $26$ में से $3$ लाल कार्ड और $26$ में से $3$ काले कार्ड चुनने हैं।
$3$ लाल कार्ड चुनने के तरीके $^{26}C_3$ हैं।
$3$ काले कार्ड चुनने के तरीके $^{26}C_3$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{^{26}C_3 \times ^{26}C_3}{^{52}C_6}$ है।
0 likes
View Solution8
MediumMCQ
एक थैले में $3$ लाल,$7$ सफेद और $4$ काली गेंदें हैं। यदि थैले से तीन गेंदें निकाली जाती हैं,तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि वे सभी एक ही रंग की हों?
A
$\frac{6}{71}$
B
$\frac{7}{81}$
C
$\frac{10}{91}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) कुल गेंदों की संख्या $= 3 + 7 + 4 = 14$.
$14$ गेंदों में से $3$ गेंदें निकालने के कुल तरीके $= ^{14}C_3 = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 364$.
एक ही रंग की $3$ गेंदें निकालने के तरीके:
- तीनों लाल: $^3C_3 = 1$
- तीनों सफेद: $^7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$
- तीनों काली: $^4C_3 = 4$
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 35 + 4 = 40$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{40}{364} = \frac{10}{91}$.
$14$ गेंदों में से $3$ गेंदें निकालने के कुल तरीके $= ^{14}C_3 = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 364$.
एक ही रंग की $3$ गेंदें निकालने के तरीके:
- तीनों लाल: $^3C_3 = 1$
- तीनों सफेद: $^7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$
- तीनों काली: $^4C_3 = 4$
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 35 + 4 = 40$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{40}{364} = \frac{10}{91}$.
0 likes
View Solution9
MediumMCQ
यदि $3$ पुरुषों,$2$ महिलाओं और $4$ बच्चों के समूह से यादृच्छिक रूप से चार व्यक्तियों को चुना जाता है,तो उनमें से ठीक दो बच्चों के होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{10}{21}$
B
$\frac{8}{63}$
C
$\frac{5}{21}$
D
$\frac{9}{21}$
Solution
(A) कुल व्यक्तियों की संख्या $= 3 + 2 + 4 = 9$.
$9$ में से $4$ व्यक्तियों को चुनने के कुल तरीके $= {}^9C_4 = 126$.
हमें $4$ बच्चों में से ठीक $2$ बच्चों और शेष $5$ व्यक्तियों ($3$ पुरुष और $2$ महिलाएं) में से $2$ अन्य व्यक्तियों को चुनना है।
$2$ बच्चों को चुनने के तरीके $= {}^4C_2 = 6$.
अन्य $2$ व्यक्तियों को चुनने के तरीके $= {}^5C_2 = 10$.
कुल अनुकूल तरीके $= 6 \times 10 = 60$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{60}{126} = \frac{10}{21}$.
$9$ में से $4$ व्यक्तियों को चुनने के कुल तरीके $= {}^9C_4 = 126$.
हमें $4$ बच्चों में से ठीक $2$ बच्चों और शेष $5$ व्यक्तियों ($3$ पुरुष और $2$ महिलाएं) में से $2$ अन्य व्यक्तियों को चुनना है।
$2$ बच्चों को चुनने के तरीके $= {}^4C_2 = 6$.
अन्य $2$ व्यक्तियों को चुनने के तरीके $= {}^5C_2 = 10$.
कुल अनुकूल तरीके $= 6 \times 10 = 60$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{60}{126} = \frac{10}{21}$.
0 likes
View Solution10
MediumMCQ
यदि मोहन के पास $3$ पुरस्कार और $9$ खाली टिकट वाली लॉटरी के $3$ टिकट हैं,तो उसके कम से कम एक पुरस्कार जीतने की संभावना क्या है?
A
$\frac{34}{55}$
B
$\frac{21}{55}$
C
$\frac{17}{55}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) कुल टिकटों की संख्या $= 3 + 9 = 12$ है।
मोहन $12$ में से $3$ टिकट चुनता है।
$3$ टिकट चुनने के कुल तरीके ${}^{12}C_3 = 220$ हैं।
मोहन कम से कम एक पुरस्कार जीतता है यदि उसे तीनों खाली टिकट न मिलें।
$9$ में से $3$ खाली टिकट चुनने के तरीके ${}^9C_3 = 84$ हैं।
कोई पुरस्कार न मिलने की प्रायिकता $P(\text{no prize}) = \frac{84}{220} = \frac{21}{55}$ है।
कम से कम एक पुरस्कार जीतने की प्रायिकता $1 - \frac{21}{55} = \frac{34}{55}$ है।
मोहन $12$ में से $3$ टिकट चुनता है।
$3$ टिकट चुनने के कुल तरीके ${}^{12}C_3 = 220$ हैं।
मोहन कम से कम एक पुरस्कार जीतता है यदि उसे तीनों खाली टिकट न मिलें।
$9$ में से $3$ खाली टिकट चुनने के तरीके ${}^9C_3 = 84$ हैं।
कोई पुरस्कार न मिलने की प्रायिकता $P(\text{no prize}) = \frac{84}{220} = \frac{21}{55}$ है।
कम से कम एक पुरस्कार जीतने की प्रायिकता $1 - \frac{21}{55} = \frac{34}{55}$ है।
0 likes
View Solution11
EasyMCQ
एक थैले में $6$ लाल,$4$ सफेद और $8$ नीली गेंदें हैं। यदि यादृच्छिक रूप से तीन गेंदें निकाली जाती हैं,तो $2$ सफेद और $1$ लाल गेंद होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{5}{204}$
B
$\frac{7}{102}$
C
$\frac{3}{68}$
D
$\frac{1}{13}$
Solution
(C) कुल गेंदों की संख्या $= 6 + 4 + 8 = 18$ है।
$18$ में से $3$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $= {}^{18}C_3 = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816$ है।
$4$ में से $2$ सफेद गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $= {}^4C_2 = 6$ है।
$6$ में से $1$ लाल गेंद चुनने के तरीकों की संख्या $= {}^6C_1 = 6$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{{}^4C_2 \times {}^6C_1}{{}^{18}C_3} = \frac{6 \times 6}{816} = \frac{36}{816} = \frac{3}{68}$ है।
$18$ में से $3$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $= {}^{18}C_3 = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816$ है।
$4$ में से $2$ सफेद गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $= {}^4C_2 = 6$ है।
$6$ में से $1$ लाल गेंद चुनने के तरीकों की संख्या $= {}^6C_1 = 6$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{{}^4C_2 \times {}^6C_1}{{}^{18}C_3} = \frac{6 \times 6}{816} = \frac{36}{816} = \frac{3}{68}$ है।
0 likes
View Solution12
EasyMCQ
$9$ लोगों के समूह में से $5$ लोगों की एक समिति चुनी जानी है। उस प्रायिकता को ज्ञात कीजिए कि एक विवाहित जोड़ा या तो साथ में सेवा करेगा या बिल्कुल नहीं करेगा।
A
$\frac{1}{2}$
B
$\frac{5}{9}$
C
$\frac{4}{9}$
D
$\frac{2}{9}$
Solution
(C) $9$ में से $5$ लोगों को चुनने के कुल तरीके ${}^9C_5 = 126$ हैं।
स्थिति $1$: जोड़ा साथ में सेवा करता है।
हमें शेष $7$ लोगों में से $3$ और लोगों को चुनना है। तरीकों की संख्या $= {}^7C_3 = 35$.
स्थिति $2$: जोड़ा बिल्कुल सेवा नहीं करता है।
हमें शेष $7$ लोगों में से $5$ लोगों को चुनना है। तरीकों की संख्या $= {}^7C_5 = 21$.
कुल अनुकूल तरीके $= 35 + 21 = 56$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{56}{126} = \frac{4}{9}$.
स्थिति $1$: जोड़ा साथ में सेवा करता है।
हमें शेष $7$ लोगों में से $3$ और लोगों को चुनना है। तरीकों की संख्या $= {}^7C_3 = 35$.
स्थिति $2$: जोड़ा बिल्कुल सेवा नहीं करता है।
हमें शेष $7$ लोगों में से $5$ लोगों को चुनना है। तरीकों की संख्या $= {}^7C_5 = 21$.
कुल अनुकूल तरीके $= 35 + 21 = 56$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{56}{126} = \frac{4}{9}$.
0 likes
View Solution13
MediumMCQ
एक थैले में $8$ काली और $7$ सफेद गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से दो गेंदें निकाली जाती हैं। तो किस परिणाम की प्रायिकता सबसे अधिक है?
A
दोनों गेंदें सफेद हैं
B
एक गेंद सफेद और एक काली है
C
दोनों गेंदें काली हैं
D
उपरोक्त सभी बराबर हैं
Solution
(B) कुल गेंदों की संख्या $= 8 + 7 = 15$.
$2$ गेंदें निकालने के कुल तरीके $= {}^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2} = 105$.
$1$. दोनों गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता $= \frac{{}^7C_2}{{}^{15}C_2} = \frac{21}{105} = \frac{1}{5} = \frac{3}{15}$.
$2$. दोनों गेंदों के काली होने की प्रायिकता $= \frac{{}^8C_2}{{}^{15}C_2} = \frac{28}{105} = \frac{4}{15}$.
$3$. एक गेंद सफेद और एक काली होने की प्रायिकता $= \frac{{}^7C_1 \times {}^8C_1}{{}^{15}C_2} = \frac{7 \times 8}{105} = \frac{56}{105} = \frac{8}{15}$.
प्रायिकताओं की तुलना करने पर: $\frac{3}{15} < \frac{4}{15} < \frac{8}{15}$.
अतः,एक सफेद और एक काली गेंद होने की प्रायिकता सबसे अधिक है।
$2$ गेंदें निकालने के कुल तरीके $= {}^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2} = 105$.
$1$. दोनों गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता $= \frac{{}^7C_2}{{}^{15}C_2} = \frac{21}{105} = \frac{1}{5} = \frac{3}{15}$.
$2$. दोनों गेंदों के काली होने की प्रायिकता $= \frac{{}^8C_2}{{}^{15}C_2} = \frac{28}{105} = \frac{4}{15}$.
$3$. एक गेंद सफेद और एक काली होने की प्रायिकता $= \frac{{}^7C_1 \times {}^8C_1}{{}^{15}C_2} = \frac{7 \times 8}{105} = \frac{56}{105} = \frac{8}{15}$.
प्रायिकताओं की तुलना करने पर: $\frac{3}{15} < \frac{4}{15} < \frac{8}{15}$.
अतः,एक सफेद और एक काली गेंद होने की प्रायिकता सबसे अधिक है।
0 likes
View Solution14
MediumMCQ
$6$ पुरुषों और $4$ महिलाओं में से $5$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है। समिति में कम से कम एक महिला के होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{1}{42}$
B
$\frac{41}{42}$
C
$\frac{2}{63}$
D
$\frac{1}{7}$
Solution
(B) $10$ व्यक्तियों ($6$ पुरुष + $4$ महिलाएँ) में से $5$ सदस्यों को चुनने के कुल तरीके ${}^{10}C_5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ हैं।
ऐसी समिति चुनने के तरीके जिसमें कोई महिला न हो (अर्थात सभी $5$ सदस्य पुरुष हों) ${}^6C_5 = 6$ हैं।
कम से कम एक महिला होने के तरीके = (कुल तरीके) - (कोई महिला न होने के तरीके) = $252 - 6 = 246$.
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{246}{252} = \frac{41}{42}$.
ऐसी समिति चुनने के तरीके जिसमें कोई महिला न हो (अर्थात सभी $5$ सदस्य पुरुष हों) ${}^6C_5 = 6$ हैं।
कम से कम एक महिला होने के तरीके = (कुल तरीके) - (कोई महिला न होने के तरीके) = $252 - 6 = 246$.
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{246}{252} = \frac{41}{42}$.
0 likes
View Solution15
EasyMCQ
$52$ ताश के पत्तों की एक गड्डी से तीन पत्ते एक साथ निकाले जाते हैं। इस बात की प्रायिकता क्या है कि ये एक राजा,एक रानी और एक गुलाम हैं?
A
$\frac{64}{5525}$
B
$\frac{16}{5525}$
C
$\frac{128}{5525}$
D
$\frac{64}{625}$
Solution
(B) $52$ पत्तों में से $3$ पत्ते निकालने के कुल तरीके ${}^{52}C_3 = \frac{52 \times 51 \times 50}{3 \times 2 \times 1} = 22100$ हैं।
एक राजा,एक रानी और एक गुलाम चुनने के तरीके ${}^4C_1 \times {}^4C_1 \times {}^4C_1 = 4 \times 4 \times 4 = 64$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{64}{22100} = \frac{16}{5525}$ है।
एक राजा,एक रानी और एक गुलाम चुनने के तरीके ${}^4C_1 \times {}^4C_1 \times {}^4C_1 = 4 \times 4 \times 4 = 64$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{64}{22100} = \frac{16}{5525}$ है।
0 likes
View Solution16
DifficultMCQ
दो व्यक्ति प्रत्येक एक पासा फेंकते हैं। उनके समान मान प्राप्त करने की प्रायिकता $p_1$ है। चार व्यक्ति प्रत्येक एक पासा फेंकते हैं और तीन के समान होने की प्रायिकता $p_2$ है,तो:
A
$p_1 = p_2$
B
$p_1 < p_2$
C
$p_1 > p_2$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) $p_1$ के लिए: दो व्यक्ति पासा फेंकते हैं। कुल परिणाम = $6^2 = 36$। अनुकूल परिणाम (दोनों समान) = $6$। अतः,$p_1 = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$।
$p_2$ के लिए: चार व्यक्ति पासा फेंकते हैं। कुल परिणाम = $6^4 = 1296$। हमें ठीक तीन समान चाहिए।
पहले,वह मान चुनें जो तीन बार आता है: $6$ तरीके।
उन तीन व्यक्तियों को चुनें जिन्हें यह मान मिलता है: $\binom{4}{3} = 4$ तरीके।
चौथे व्यक्ति के लिए मान चुनें (पहले से अलग होना चाहिए): $5$ तरीके।
कुल अनुकूल परिणाम = $6 \times 4 \times 5 = 120$।
अतः,$p_2 = \frac{120}{1296} = \frac{5}{54} \approx 0.0926$।
तुलना करने पर,$p_1 = \frac{9}{54}$ और $p_2 = \frac{5}{54}$,इसलिए $p_1 > p_2$।
$p_2$ के लिए: चार व्यक्ति पासा फेंकते हैं। कुल परिणाम = $6^4 = 1296$। हमें ठीक तीन समान चाहिए।
पहले,वह मान चुनें जो तीन बार आता है: $6$ तरीके।
उन तीन व्यक्तियों को चुनें जिन्हें यह मान मिलता है: $\binom{4}{3} = 4$ तरीके।
चौथे व्यक्ति के लिए मान चुनें (पहले से अलग होना चाहिए): $5$ तरीके।
कुल अनुकूल परिणाम = $6 \times 4 \times 5 = 120$।
अतः,$p_2 = \frac{120}{1296} = \frac{5}{54} \approx 0.0926$।
तुलना करने पर,$p_1 = \frac{9}{54}$ और $p_2 = \frac{5}{54}$,इसलिए $p_1 > p_2$।
0 likes
View Solution17
EasyMCQ
एक बॉक्स में तीन आम और तीन सेब हैं। यदि यादृच्छिक रूप से दो फल चुने जाते हैं,तो एक आम और दूसरा सेब होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{2}{3}$
B
$\frac{3}{5}$
C
$\frac{1}{3}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) कुल फलों की संख्या $= 3 \text{ (आम)} + 3 \text{ (सेब)} = 6 \text{ फल}.$
$6$ में से $2$ फल चुनने के कुल तरीके ${}^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ हैं।
$3$ में से $1$ आम चुनने के तरीके ${}^3C_1 = 3$ हैं।
$3$ में से $1$ सेब चुनने के तरीके ${}^3C_1 = 3$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{{}^3C_1 \times {}^3C_1}{{}^6C_2} = \frac{3 \times 3}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}.$
$6$ में से $2$ फल चुनने के कुल तरीके ${}^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ हैं।
$3$ में से $1$ आम चुनने के तरीके ${}^3C_1 = 3$ हैं।
$3$ में से $1$ सेब चुनने के तरीके ${}^3C_1 = 3$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{{}^3C_1 \times {}^3C_1}{{}^6C_2} = \frac{3 \times 3}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}.$
0 likes
View Solution18
MediumMCQ
एक क्रिकेट टीम में $15$ सदस्य हैं,जिनमें से केवल $5$ गेंदबाजी कर सकते हैं। यदि $15$ सदस्यों के नाम एक टोपी में डाले जाते हैं और यादृच्छिक रूप से $11$ चुने जाते हैं,तो कम से कम $3$ गेंदबाजों वाली $11$ सदस्यों की टीम प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{7}{13}$
B
$\frac{11}{15}$
C
$\frac{12}{13}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) कुल सदस्य = $15$,गेंदबाज = $5$,गैर-गेंदबाज = $10$। हमें $11$ सदस्य चुनने हैं जिनमें कम से कम $3$ गेंदबाज हों।
$15$ में से $11$ सदस्यों को चुनने के कुल तरीके = $^{15}C_{11} = ^{15}C_{4} = 1365$।
कम से कम $3$ गेंदबाजों को चुनने के तरीके:
स्थिति $1$: $3$ गेंदबाज और $8$ गैर-गेंदबाज: $^{5}C_{3} \times ^{10}C_{8} = 450$।
स्थिति $2$: $4$ गेंदबाज और $7$ गैर-गेंदबाज: $^{5}C_{4} \times ^{10}C_{7} = 600$।
स्थिति $3$: $5$ गेंदबाज और $6$ गैर-गेंदबाज: $^{5}C_{5} \times ^{10}C_{6} = 210$।
कुल अनुकूल तरीके = $450 + 600 + 210 = 1260$।
प्रायिकता = $\frac{1260}{1365} = \frac{12}{13}$।
$15$ में से $11$ सदस्यों को चुनने के कुल तरीके = $^{15}C_{11} = ^{15}C_{4} = 1365$।
कम से कम $3$ गेंदबाजों को चुनने के तरीके:
स्थिति $1$: $3$ गेंदबाज और $8$ गैर-गेंदबाज: $^{5}C_{3} \times ^{10}C_{8} = 450$।
स्थिति $2$: $4$ गेंदबाज और $7$ गैर-गेंदबाज: $^{5}C_{4} \times ^{10}C_{7} = 600$।
स्थिति $3$: $5$ गेंदबाज और $6$ गैर-गेंदबाज: $^{5}C_{5} \times ^{10}C_{6} = 210$।
कुल अनुकूल तरीके = $450 + 600 + 210 = 1260$।
प्रायिकता = $\frac{1260}{1365} = \frac{12}{13}$।
0 likes
View Solution19
DifficultMCQ
एक थैले में $13$ लाल,$14$ हरे और $15$ काली गेंदें हैं। $4$ गेंदें निकालने पर ठीक $2$ काली गेंदें प्राप्त करने की प्रायिकता $P_1$ है। अब प्रत्येक रंग की गेंदों की संख्या दोगुनी कर दी जाती है और $8$ गेंदें निकाली जाती हैं। ठीक $4$ काली गेंदें प्राप्त करने की प्रायिकता $P_2$ है। तो:
A
$P_1 = P_2$
B
$P_1 > P_2$
C
$P_1 < P_2$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) $P_1$ के लिए,गेंदों की कुल संख्या $13 + 14 + 15 = 42$ है। $42$ में से $4$ गेंदें चुनने के तरीके $^{42}C_4$ हैं। $15$ में से $2$ काली गेंदें और $27$ में से $2$ गैर-काली गेंदें चुनने के तरीके $^{15}C_2 \times ^{27}C_2$ हैं।
$P_1 = \frac{^{15}C_2 \times ^{27}C_2}{^{42}C_4} = \frac{105 \times 351}{111930} = \frac{36855}{111930} \approx 0.329$.
$P_2$ के लिए,प्रत्येक रंग की गेंदों की संख्या दोगुनी हो जाती है,इसलिए $26$ लाल,$28$ हरे और $30$ काली गेंदें हैं। कुल गेंदें = $84$ हैं। हम $8$ गेंदें चुनते हैं। ठीक $4$ काली गेंदें प्राप्त करने की प्रायिकता $P_2 = \frac{^{30}C_4 \times ^{54}C_4}{^{84}C_8}$ है।
इस अनुपात की गणना करने पर,हमें $P_2 \approx 0.274$ प्राप्त होता है।
मानों की तुलना करने पर,$P_1 > P_2$।
$P_1 = \frac{^{15}C_2 \times ^{27}C_2}{^{42}C_4} = \frac{105 \times 351}{111930} = \frac{36855}{111930} \approx 0.329$.
$P_2$ के लिए,प्रत्येक रंग की गेंदों की संख्या दोगुनी हो जाती है,इसलिए $26$ लाल,$28$ हरे और $30$ काली गेंदें हैं। कुल गेंदें = $84$ हैं। हम $8$ गेंदें चुनते हैं। ठीक $4$ काली गेंदें प्राप्त करने की प्रायिकता $P_2 = \frac{^{30}C_4 \times ^{54}C_4}{^{84}C_8}$ है।
इस अनुपात की गणना करने पर,हमें $P_2 \approx 0.274$ प्राप्त होता है।
मानों की तुलना करने पर,$P_1 > P_2$।
0 likes
View Solution20
MediumMCQ
समुच्चय $A = \{1, 2, ..., n\}$ के स्वयं पर सभी प्रतिचित्रणों (mappings) के समुच्चय से एक प्रतिचित्रण यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। चुने गए प्रतिचित्रण के एकैकी (injection) होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{1}{n^n}$
B
$\frac{1}{n!}$
C
$\frac{(n-1)!}{n^{n-1}}$
D
$\frac{n!}{n^{n-1}}$
Solution
(C) समुच्चय $A$ से स्वयं पर कुल फलनों की संख्या $n^n$ है।
चूंकि $A$ एक परिमित समुच्चय है,इसलिए $A$ से स्वयं पर प्रत्येक एकैकी प्रतिचित्रण आच्छादक (surjective) भी होता है,अर्थात यह एकैकी-आच्छादक (bijection) है।
$A$ से स्वयं पर कुल एकैकी-आच्छादकों की संख्या $n!$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{n!}{n^n} = \frac{n \times (n-1)!}{n \times n^{n-1}} = \frac{(n-1)!}{n^{n-1}}$ है।
चूंकि $A$ एक परिमित समुच्चय है,इसलिए $A$ से स्वयं पर प्रत्येक एकैकी प्रतिचित्रण आच्छादक (surjective) भी होता है,अर्थात यह एकैकी-आच्छादक (bijection) है।
$A$ से स्वयं पर कुल एकैकी-आच्छादकों की संख्या $n!$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{n!}{n^n} = \frac{n \times (n-1)!}{n \times n^{n-1}} = \frac{(n-1)!}{n^{n-1}}$ है।
0 likes
View Solution21
EasyMCQ
नौकरी के लिए $13$ आवेदकों में से $5$ महिलाएं और $8$ पुरुष हैं। नौकरी के लिए $2$ व्यक्तियों का चयन किया जाना है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि चयनित व्यक्तियों में से कम से कम एक महिला हो?
A
$\frac{25}{39}$
B
$\frac{14}{39}$
C
$\frac{5}{13}$
D
$\frac{10}{13}$
Solution
(A) $13$ में से $2$ व्यक्तियों के चयन के कुल तरीके $^{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78$ हैं।
कम से कम एक महिला के चुने जाने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई भी महिला न चुनी जाए})$ है।
यदि कोई महिला नहीं चुनी जाती है,तो दोनों व्यक्ति पुरुष होने चाहिए।
$8$ पुरुषों में से $2$ पुरुषों के चयन के तरीके $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ हैं।
अतः,$P(\text{कोई महिला नहीं}) = \frac{28}{78} = \frac{14}{39}$।
इसलिए,कम से कम एक महिला के चुने जाने की प्रायिकता $1 - \frac{14}{39} = \frac{25}{39}$ है।
कम से कम एक महिला के चुने जाने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई भी महिला न चुनी जाए})$ है।
यदि कोई महिला नहीं चुनी जाती है,तो दोनों व्यक्ति पुरुष होने चाहिए।
$8$ पुरुषों में से $2$ पुरुषों के चयन के तरीके $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ हैं।
अतः,$P(\text{कोई महिला नहीं}) = \frac{28}{78} = \frac{14}{39}$।
इसलिए,कम से कम एक महिला के चुने जाने की प्रायिकता $1 - \frac{14}{39} = \frac{25}{39}$ है।
0 likes
View Solution22
DifficultMCQ
प्रथम $30$ प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से दो संख्याएँ $a$ और $b$ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं। $a^2 - b^2$ के $3$ से विभाज्य होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{9}{87}$
B
$\frac{12}{87}$
C
$\frac{15}{87}$
D
$\frac{47}{87}$
Solution
(D) समुच्चय $\{1, 2, 3, \dots, 30\}$ से दो भिन्न संख्याएँ $a$ और $b$ चुनने के कुल तरीके ${}^{30}C_2 = 435$ हैं।
$a^2 - b^2$ के $3$ से विभाज्य होने के लिए $a^2 \equiv b^2 \pmod 3$ होना चाहिए।
$S_0 = \{3, 6, \dots, 30\}$ ($3$ से विभाज्य संख्याएँ,कुल $10$),$S_1 = \{1, 4, \dots, 28\}$ ($1 \pmod 3$ वाली संख्याएँ,कुल $10$),और $S_2 = \{2, 5, \dots, 29\}$ ($2 \pmod 3$ वाली संख्याएँ,कुल $10$)।
स्थिति $1$: $a, b \in S_0$। तरीकों की संख्या $= {}^{10}C_2 = 45$।
स्थिति $2$: $a, b \in S_1 \cup S_2$। तरीकों की संख्या $= {}^{20}C_2 = 190$।
कुल अनुकूल स्थितियाँ $= 45 + 190 = 235$।
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{235}{435} = \frac{47}{87}$।
$a^2 - b^2$ के $3$ से विभाज्य होने के लिए $a^2 \equiv b^2 \pmod 3$ होना चाहिए।
$S_0 = \{3, 6, \dots, 30\}$ ($3$ से विभाज्य संख्याएँ,कुल $10$),$S_1 = \{1, 4, \dots, 28\}$ ($1 \pmod 3$ वाली संख्याएँ,कुल $10$),और $S_2 = \{2, 5, \dots, 29\}$ ($2 \pmod 3$ वाली संख्याएँ,कुल $10$)।
स्थिति $1$: $a, b \in S_0$। तरीकों की संख्या $= {}^{10}C_2 = 45$।
स्थिति $2$: $a, b \in S_1 \cup S_2$। तरीकों की संख्या $= {}^{20}C_2 = 190$।
कुल अनुकूल स्थितियाँ $= 45 + 190 = 235$।
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{235}{435} = \frac{47}{87}$।
0 likes
View Solution23
DifficultMCQ
दो मित्रों $A$ और $B$ की पुत्रियों की संख्या समान है। तीन सिनेमा टिकट हैं जिन्हें $A$ और $B$ की पुत्रियों के बीच वितरित किया जाना है। इस बात की प्रायिकता कि सभी टिकट $A$ की पुत्रियों को मिलें,$1/20$ है। उनमें से प्रत्येक की कितनी पुत्रियाँ हैं?
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$3$
Solution
(D) माना प्रत्येक मित्र की $x$ पुत्रियाँ हैं।
कुल पुत्रियों की संख्या $x + x = 2x$ है।
$2x$ पुत्रियों में से $3$ टिकट चुनने के कुल तरीके $^{2x}C_3$ हैं।
सभी टिकट $A$ की पुत्रियों को मिलें,इसके तरीके $^xC_3$ हैं।
प्रायिकता $\frac{^xC_3}{^{2x}C_3} = \frac{1}{20}$ है।
सरल करने पर: $\frac{x(x-1)(x-2)}{2x(2x-1)(2x-2)} = \frac{1}{20}$.
$\frac{x-2}{4(2x-1)} = \frac{1}{20}$.
$5(x-2) = 2x-1$.
$3x = 9 \Rightarrow x = 3$.
कुल पुत्रियों की संख्या $x + x = 2x$ है।
$2x$ पुत्रियों में से $3$ टिकट चुनने के कुल तरीके $^{2x}C_3$ हैं।
सभी टिकट $A$ की पुत्रियों को मिलें,इसके तरीके $^xC_3$ हैं।
प्रायिकता $\frac{^xC_3}{^{2x}C_3} = \frac{1}{20}$ है।
सरल करने पर: $\frac{x(x-1)(x-2)}{2x(2x-1)(2x-2)} = \frac{1}{20}$.
$\frac{x-2}{4(2x-1)} = \frac{1}{20}$.
$5(x-2) = 2x-1$.
$3x = 9 \Rightarrow x = 3$.
0 likes
View Solution24
MediumMCQ
एक बक्से में $2$ लाल,$3$ काली और $4$ सफेद गेंदें हैं। यदि $3$ गेंदें एक साथ निकाली जाती हैं,तो उनके एक ही रंग के होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{1}{84}$
B
$\frac{1}{21}$
C
$\frac{5}{84}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) $9$ गेंदों में से $3$ गेंदें निकालने के कुल तरीके ${}^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ हैं।
गेंदों के एक ही रंग के होने के लिए,उन्हें या तो सभी काली या सभी सफेद होना चाहिए (चूंकि लाल गेंदें केवल $2$ हैं,इसलिए $3$ लाल गेंदें नहीं निकाली जा सकतीं)।
$3$ काली गेंदें निकालने के तरीके = ${}^3C_3 = 1$।
$3$ सफेद गेंदें निकालने के तरीके = ${}^4C_3 = 4$।
कुल अनुकूल परिणाम = $1 + 4 = 5$।
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{5}{84}$।
गेंदों के एक ही रंग के होने के लिए,उन्हें या तो सभी काली या सभी सफेद होना चाहिए (चूंकि लाल गेंदें केवल $2$ हैं,इसलिए $3$ लाल गेंदें नहीं निकाली जा सकतीं)।
$3$ काली गेंदें निकालने के तरीके = ${}^3C_3 = 1$।
$3$ सफेद गेंदें निकालने के तरीके = ${}^4C_3 = 4$।
कुल अनुकूल परिणाम = $1 + 4 = 5$।
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{5}{84}$।
0 likes
View Solution25
EasyMCQ
$7$ पुरुषों और $4$ महिलाओं के समूह से $6$ व्यक्तियों की एक समिति बनाई जाती है। तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि समिति में ठीक $2$ महिलाएं हों?
A
$\frac{5}{13}$
B
$\frac{5}{11}$
C
$\frac{4}{11}$
D
$\frac{3}{11}$
Solution
(B) $11$ में से $6$ व्यक्तियों को चुनने के कुल तरीके ${}^{11}C_6 = 462$ हैं।
$6$ व्यक्तियों की समिति में ठीक $2$ महिलाएं होने के लिए,हमें $4$ में से $2$ महिलाएं और $7$ में से $4$ पुरुष चुनने होंगे।
$2$ महिलाओं को चुनने के तरीके = ${}^4C_2 = 6$.
$4$ पुरुषों को चुनने के तरीके = ${}^7C_4 = 35$.
कुल अनुकूल तरीके = ${}^4C_2 \times {}^7C_4 = 6 \times 35 = 210$.
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल तरीके}}{\text{कुल तरीके}} = \frac{210}{462} = \frac{5}{11}$.
$6$ व्यक्तियों की समिति में ठीक $2$ महिलाएं होने के लिए,हमें $4$ में से $2$ महिलाएं और $7$ में से $4$ पुरुष चुनने होंगे।
$2$ महिलाओं को चुनने के तरीके = ${}^4C_2 = 6$.
$4$ पुरुषों को चुनने के तरीके = ${}^7C_4 = 35$.
कुल अनुकूल तरीके = ${}^4C_2 \times {}^7C_4 = 6 \times 35 = 210$.
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल तरीके}}{\text{कुल तरीके}} = \frac{210}{462} = \frac{5}{11}$.
0 likes
View Solution26
EasyMCQ
$40$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं में से,दो संख्याएँ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं। संख्याओं का योग विषम होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{14}{29}$
B
$\frac{20}{39}$
C
$\frac{1}{2}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) $40$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के समूह में,$20$ विषम संख्याएँ और $20$ सम संख्याएँ होती हैं।
दो संख्याओं का योग विषम होने के लिए,एक संख्या विषम और दूसरी सम होनी चाहिए।
$40$ में से $2$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{40}C_2 = \frac{40 \times 39}{2} = 780$ हैं।
एक विषम और एक सम संख्या चुनने के तरीके $^{20}C_1 \times ^{20}C_1 = 20 \times 20 = 400$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{400}{780} = \frac{40}{78} = \frac{20}{39}$ है।
दो संख्याओं का योग विषम होने के लिए,एक संख्या विषम और दूसरी सम होनी चाहिए।
$40$ में से $2$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{40}C_2 = \frac{40 \times 39}{2} = 780$ हैं।
एक विषम और एक सम संख्या चुनने के तरीके $^{20}C_1 \times ^{20}C_1 = 20 \times 20 = 400$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{400}{780} = \frac{40}{78} = \frac{20}{39}$ है।
0 likes
View Solution27
EasyMCQ
$52$ ताश के पत्तों की एक गड्डी से निकाले गए तीन पत्तों के लाल होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{1}{17}$
B
$\frac{3}{19}$
C
$\frac{2}{19}$
D
$\frac{2}{17}$
Solution
(D) $52$ पत्तों में से $3$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $^{52}C_{3}$ हैं।
गड्डी में लाल पत्तों की संख्या $26$ है।
$26$ लाल पत्तों में से $3$ लाल पत्ते निकालने के तरीके $^{26}C_{3}$ हैं।
प्रायिकता $P$ इस प्रकार है:
$P = \frac{^{26}C_{3}}{^{52}C_{3}} = \frac{26 \times 25 \times 24}{52 \times 51 \times 50} = \frac{2}{17}$.
गड्डी में लाल पत्तों की संख्या $26$ है।
$26$ लाल पत्तों में से $3$ लाल पत्ते निकालने के तरीके $^{26}C_{3}$ हैं।
प्रायिकता $P$ इस प्रकार है:
$P = \frac{^{26}C_{3}}{^{52}C_{3}} = \frac{26 \times 25 \times 24}{52 \times 51 \times 50} = \frac{2}{17}$.
0 likes
View Solution28
MediumMCQ
एक समिति में तीन संस्थानों $A, B$ और $C$ से लिए गए $9$ विशेषज्ञ हैं,जिनमें से $2$ संस्थान $A$ से,$3$ संस्थान $B$ से और $4$ संस्थान $C$ से हैं। यदि तीन विशेषज्ञ इस्तीफा देते हैं,तो उनके अलग-अलग संस्थानों से होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{1}{729}$
B
$\frac{1}{24}$
C
$\frac{1}{21}$
D
$\frac{2}{7}$
Solution
(D) कुल विशेषज्ञों की संख्या $= 2 + 3 + 4 = 9$.
$9$ में से $3$ विशेषज्ञों को चुनने के तरीके $= {}^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.
हम $3$ विशेषज्ञों को इस प्रकार चुनना चाहते हैं कि वे अलग-अलग संस्थानों से हों,यानी एक $A$ से,एक $B$ से और एक $C$ से।
प्रत्येक संस्थान से एक विशेषज्ञ चुनने के तरीके $= {}^2C_1 \times {}^3C_1 \times {}^4C_1 = 2 \times 3 \times 4 = 24$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{24}{84} = \frac{2}{7}$.
$9$ में से $3$ विशेषज्ञों को चुनने के तरीके $= {}^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.
हम $3$ विशेषज्ञों को इस प्रकार चुनना चाहते हैं कि वे अलग-अलग संस्थानों से हों,यानी एक $A$ से,एक $B$ से और एक $C$ से।
प्रत्येक संस्थान से एक विशेषज्ञ चुनने के तरीके $= {}^2C_1 \times {}^3C_1 \times {}^4C_1 = 2 \times 3 \times 4 = 24$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{24}{84} = \frac{2}{7}$.
0 likes
View Solution29
EasyMCQ
एक थैले में $3$ लाल,$4$ सफेद और $5$ काली गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से तीन गेंदें निकाली जाती हैं। उनके अलग-अलग रंगों की होने की प्रायिकता है
A
$\frac{3}{11}$
B
$\frac{2}{11}$
C
$\frac{8}{11}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) कुल गेंदों की संख्या $= 3 + 4 + 5 = 12$.
$12$ में से $3$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $= ^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
विभिन्न रंगों की $3$ गेंदें (एक लाल,एक सफेद और एक काली) निकालने के तरीकों की संख्या $= ^3C_1 \times ^4C_1 \times ^5C_1 = 3 \times 4 \times 5 = 60$.
प्रायिकता $= \frac{60}{220} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$.
$12$ में से $3$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $= ^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
विभिन्न रंगों की $3$ गेंदें (एक लाल,एक सफेद और एक काली) निकालने के तरीकों की संख्या $= ^3C_1 \times ^4C_1 \times ^5C_1 = 3 \times 4 \times 5 = 60$.
प्रायिकता $= \frac{60}{220} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$.
0 likes
View Solution30
DifficultMCQ
यदि एक नियमित अष्टभुज के चार शीर्ष यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं,तो उनके द्वारा निर्मित चतुर्भुज के आयत होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{1}{8}$
B
$\frac{2}{21}$
C
$\frac{1}{32}$
D
$\frac{1}{35}$
Solution
(D) एक नियमित अष्टभुज में $8$ शीर्ष होते हैं। $8$ में से $4$ शीर्ष चुनने के कुल तरीके $^8C_4 = 70$ हैं।
यहाँ अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{2}{^8C_4} = \frac{2}{70} = \frac{1}{35}$.
यहाँ अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{2}{^8C_4} = \frac{2}{70} = \frac{1}{35}$.
0 likes
View Solution31
EasyMCQ
एक लॉटरी में $1$ से $90$ तक की संख्या वाली $90$ टिकटें थीं। यादृच्छिक रूप से पाँच टिकटें निकाली गईं। इस बात की क्या प्रायिकता है कि निकाली गई टिकटों में से दो टिकटें $15$ और $89$ संख्या वाली हैं?
A
$\frac{2}{801}$
B
$\frac{2}{623}$
C
$\frac{1}{267}$
D
$\frac{1}{623}$
Solution
(A) $90$ टिकटों में से $5$ टिकट निकालने के कुल तरीके $^{90}C_5$ हैं।
हमें $2$ विशिष्ट टिकट ($15$ और $89$) और शेष $88$ टिकटों में से $3$ अन्य टिकट चुनने हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $^{2}C_2 \times ^{88}C_3$ है।
प्रायिकता $P = \frac{^{2}C_2 \times ^{88}C_3}{^{90}C_5} = \frac{1 \times \frac{88 \times 87 \times 86}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{90 \times 89 \times 88 \times 87 \times 86}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}} = \frac{2}{801}$.
हमें $2$ विशिष्ट टिकट ($15$ और $89$) और शेष $88$ टिकटों में से $3$ अन्य टिकट चुनने हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $^{2}C_2 \times ^{88}C_3$ है।
प्रायिकता $P = \frac{^{2}C_2 \times ^{88}C_3}{^{90}C_5} = \frac{1 \times \frac{88 \times 87 \times 86}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{90 \times 89 \times 88 \times 87 \times 86}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}} = \frac{2}{801}$.
0 likes
View Solution32
EasyMCQ
$15$ खिलाड़ियों में से,$8$ बल्लेबाज हैं और $7$ गेंदबाज हैं। $6$ बल्लेबाजों और $5$ गेंदबाजों की $11$ खिलाड़ियों की एक टीम चुने जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{{}^8C_6 \times {}^7C_5}{{}^{15}C_{11}}$
B
$\frac{{}^8C_6 + {}^7C_5}{{}^{15}C_{11}}$
C
$\frac{15}{28}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) $15$ खिलाड़ियों में से $11$ खिलाड़ियों को चुनने के कुल तरीके ${}^{15}C_{11}$ हैं।
$8$ में से $6$ बल्लेबाजों को चुनने के तरीके ${}^8C_6$ हैं।
$7$ में से $5$ गेंदबाजों को चुनने के तरीके ${}^7C_5$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या ${}^8C_6 \times {}^7C_5$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{{}^8C_6 \times {}^7C_5}{{}^{15}C_{11}}$ है।
$8$ में से $6$ बल्लेबाजों को चुनने के तरीके ${}^8C_6$ हैं।
$7$ में से $5$ गेंदबाजों को चुनने के तरीके ${}^7C_5$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या ${}^8C_6 \times {}^7C_5$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{{}^8C_6 \times {}^7C_5}{{}^{15}C_{11}}$ है।
0 likes
View Solution33
EasyMCQ
प्रथम $20$ पूर्णांकों में से यादृच्छिक रूप से तीन पूर्णांक चुने जाते हैं। उनके गुणनफल के सम होने की प्रायिकता है
A
$\frac{2}{19}$
B
$\frac{3}{29}$
C
$\frac{17}{19}$
D
$\frac{4}{19}$
Solution
(C) प्रथम $20$ पूर्णांकों में से $3$ पूर्णांक चुनने के कुल तरीके $^{20}C_3 = 1140$ हैं।
तीन पूर्णांकों का गुणनफल सम होगा यदि उनमें से कम से कम एक सम हो।
गुणनफल के विषम होने की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है। गुणनफल विषम तभी होगा जब तीनों चुने गए पूर्णांक विषम हों।
प्रथम $20$ पूर्णांकों में $10$ विषम और $10$ सम संख्याएँ हैं।
तीन विषम पूर्णांक चुनने के तरीके $^{10}C_3 = 120$ हैं।
गुणनफल के विषम होने की प्रायिकता $P(\text{odd}) = \frac{120}{1140} = \frac{2}{19}$ है।
अतः,गुणनफल के सम होने की प्रायिकता $P(\text{even}) = 1 - \frac{2}{19} = \frac{17}{19}$ है।
तीन पूर्णांकों का गुणनफल सम होगा यदि उनमें से कम से कम एक सम हो।
गुणनफल के विषम होने की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है। गुणनफल विषम तभी होगा जब तीनों चुने गए पूर्णांक विषम हों।
प्रथम $20$ पूर्णांकों में $10$ विषम और $10$ सम संख्याएँ हैं।
तीन विषम पूर्णांक चुनने के तरीके $^{10}C_3 = 120$ हैं।
गुणनफल के विषम होने की प्रायिकता $P(\text{odd}) = \frac{120}{1140} = \frac{2}{19}$ है।
अतः,गुणनफल के सम होने की प्रायिकता $P(\text{even}) = 1 - \frac{2}{19} = \frac{17}{19}$ है।
0 likes
View Solution34
EasyMCQ
एक थैले में $4$ सफेद,$5$ लाल और $6$ हरी गेंदें हैं। तीन गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। एक सफेद,एक लाल और एक हरी गेंद निकलने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{15}{91}$
B
$\frac{30}{91}$
C
$\frac{20}{91}$
D
$\frac{24}{91}$
Solution
(D) कुल गेंदों की संख्या $= 4 + 5 + 6 = 15$.
$15$ में से $3$ गेंदें चुनने के तरीके $= ^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$.
$1$ सफेद,$1$ लाल और $1$ हरी गेंद चुनने के तरीके $= ^4C_1 \times ^5C_1 \times ^6C_1 = 4 \times 5 \times 6 = 120$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{120}{455} = \frac{24}{91}$.
$15$ में से $3$ गेंदें चुनने के तरीके $= ^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$.
$1$ सफेद,$1$ लाल और $1$ हरी गेंद चुनने के तरीके $= ^4C_1 \times ^5C_1 \times ^6C_1 = 4 \times 5 \times 6 = 120$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{120}{455} = \frac{24}{91}$.
0 likes
View Solution35
EasyMCQ
$52$ ताश के पत्तों की एक गड्डी से यादृच्छिक रूप से तीन पत्ते निकाले जाते हैं। तीन इक्के निकालने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{3}{5525}$
B
$\frac{2}{5525}$
C
$\frac{1}{5525}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) $52$ पत्तों में से $3$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $^{52}C_3 = \frac{52 \times 51 \times 50}{3 \times 2 \times 1} = 22100$ हैं।
ताश की गड्डी में $4$ इक्के होते हैं,इसलिए $4$ में से $3$ इक्के निकालने के तरीके $^{4}C_3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$ हैं।
तीन इक्के निकालने की प्रायिकता $\frac{4}{22100} = \frac{1}{5525}$ है।
ताश की गड्डी में $4$ इक्के होते हैं,इसलिए $4$ में से $3$ इक्के निकालने के तरीके $^{4}C_3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$ हैं।
तीन इक्के निकालने की प्रायिकता $\frac{4}{22100} = \frac{1}{5525}$ है।
0 likes
View Solution36
EasyMCQ
एक थैले में $3$ लाल,$4$ सफेद और $5$ नीली गेंदें हैं। सभी गेंदें अलग-अलग हैं। यादृच्छिक रूप से दो गेंदें निकाली जाती हैं। उनके अलग-अलग रंगों के होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{47}{66}$
B
$\frac{10}{33}$
C
$\frac{5}{22}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) कुल गेंदों की संख्या = $3 + 4 + 5 = 12$।
$12$ में से $2$ गेंदें निकालने के कुल तरीके = $^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66$।
अलग-अलग रंगों की गेंदें होने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए,समान रंग की गेंदें होने की प्रायिकता ज्ञात करना और उसे $1$ से घटाना आसान है।
समान रंग की $2$ गेंदें निकालने के तरीके:
$(i)$ दोनों लाल: $^3C_2 = 3$
$(ii)$ दोनों सफेद: $^4C_2 = 6$
$(iii)$ दोनों नीली: $^5C_2 = 10$
समान रंग की $2$ गेंदें निकालने के कुल तरीके = $3 + 6 + 10 = 19$।
समान रंग की प्रायिकता = $\frac{19}{66}$।
अलग-अलग रंगों की प्रायिकता = $1 - \frac{19}{66} = \frac{66 - 19}{66} = \frac{47}{66}$।
$12$ में से $2$ गेंदें निकालने के कुल तरीके = $^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66$।
अलग-अलग रंगों की गेंदें होने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए,समान रंग की गेंदें होने की प्रायिकता ज्ञात करना और उसे $1$ से घटाना आसान है।
समान रंग की $2$ गेंदें निकालने के तरीके:
$(i)$ दोनों लाल: $^3C_2 = 3$
$(ii)$ दोनों सफेद: $^4C_2 = 6$
$(iii)$ दोनों नीली: $^5C_2 = 10$
समान रंग की $2$ गेंदें निकालने के कुल तरीके = $3 + 6 + 10 = 19$।
समान रंग की प्रायिकता = $\frac{19}{66}$।
अलग-अलग रंगों की प्रायिकता = $1 - \frac{19}{66} = \frac{66 - 19}{66} = \frac{47}{66}$।
0 likes
View Solution37
MediumMCQ
एक दराज में $5$ भूरे मोज़े और $4$ नीले मोज़े अच्छी तरह से मिश्रित हैं। एक व्यक्ति दराज में हाथ डालकर यादृच्छिक रूप से $2$ मोज़े निकालता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि वे मेल खाते हैं?
A
$\frac{4}{9}$
B
$\frac{5}{8}$
C
$\frac{5}{9}$
D
$\frac{7}{12}$
Solution
(A) कुल मोज़ों की संख्या $= 5 + 4 = 9$.
$9$ में से $2$ मोज़े निकालने के कुल तरीके ${}^9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ हैं।
दोनों मोज़े तब मेल खाएंगे यदि दोनों भूरे हों या दोनों नीले हों।
$5$ में से $2$ भूरे मोज़े चुनने के तरीके ${}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ हैं।
$4$ में से $2$ नीले मोज़े चुनने के तरीके ${}^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ हैं।
कुल अनुकूल परिणाम $= 10 + 6 = 16$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.
$9$ में से $2$ मोज़े निकालने के कुल तरीके ${}^9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ हैं।
दोनों मोज़े तब मेल खाएंगे यदि दोनों भूरे हों या दोनों नीले हों।
$5$ में से $2$ भूरे मोज़े चुनने के तरीके ${}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ हैं।
$4$ में से $2$ नीले मोज़े चुनने के तरीके ${}^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ हैं।
कुल अनुकूल परिणाम $= 10 + 6 = 16$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.
0 likes
View Solution38
EasyMCQ
एक थैले में $8$ लाल और $7$ काली गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से दो गेंदें निकाली जाती हैं। दोनों गेंदों के एक ही रंग के होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{14}{15}$
B
$\frac{11}{15}$
C
$\frac{7}{15}$
D
$\frac{4}{15}$
Solution
(C) कुल गेंदों की संख्या = $8 + 7 = 15$।
$15$ में से $2$ गेंदें चुनने के तरीके = $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$।
दोनों गेंदों के एक ही रंग के होने के लिए,या तो दोनों लाल होनी चाहिए या दोनों काली।
$2$ लाल गेंदें चुनने के तरीके = $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$।
$2$ काली गेंदें चुनने के तरीके = $^7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$।
कुल अनुकूल परिणाम = $28 + 21 = 49$।
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{49}{105} = \frac{7}{15}$।
$15$ में से $2$ गेंदें चुनने के तरीके = $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$।
दोनों गेंदों के एक ही रंग के होने के लिए,या तो दोनों लाल होनी चाहिए या दोनों काली।
$2$ लाल गेंदें चुनने के तरीके = $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$।
$2$ काली गेंदें चुनने के तरीके = $^7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$।
कुल अनुकूल परिणाम = $28 + 21 = 49$।
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{49}{105} = \frac{7}{15}$।
0 likes
View Solution39
EasyMCQ
$1$ से $80$ तक अंकित $80$ कार्डों में से,दो कार्ड यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं। इस बात की प्रायिकता क्या है कि दोनों कार्डों पर अंकित संख्याएँ $4$ से विभाज्य हैं?
A
$\frac{21}{316}$
B
$\frac{19}{316}$
C
$\frac{1}{4}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) कुल कार्डों की संख्या = $80$ है।
$1$ से $80$ के बीच $4$ से विभाज्य संख्याएँ $4, 8, 12, \dots, 80$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a = 4$,$d = 4$,और $l = 80$ है।
$l = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर,$80 = 4 + (n-1)4$,जिससे $n = 20$ प्राप्त होता है।
$80$ में से $2$ कार्ड चुनने के कुल तरीके $^{80}C_2 = \frac{80 \times 79}{2} = 3160$ हैं।
$20$ में से $2$ कार्ड चुनने के अनुकूल तरीके $^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{190}{3160} = \frac{19}{316}$ है।
$1$ से $80$ के बीच $4$ से विभाज्य संख्याएँ $4, 8, 12, \dots, 80$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a = 4$,$d = 4$,और $l = 80$ है।
$l = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर,$80 = 4 + (n-1)4$,जिससे $n = 20$ प्राप्त होता है।
$80$ में से $2$ कार्ड चुनने के कुल तरीके $^{80}C_2 = \frac{80 \times 79}{2} = 3160$ हैं।
$20$ में से $2$ कार्ड चुनने के अनुकूल तरीके $^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{190}{3160} = \frac{19}{316}$ है।
0 likes
View Solution40
MediumMCQ
मान लीजिए $A$ और $B$ दो परिमित समुच्चय हैं जिनमें क्रमशः $m$ और $n$ अवयव हैं,जहाँ $m \le n.$ $A$ से $B$ तक के सभी प्रतिचित्रणों (mappings) के समुच्चय से एक प्रतिचित्रण यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। चुने गए प्रतिचित्रण के एकैकी (injection) होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{n!}{(n - m)! m^n}$
B
$\frac{n!}{(n - m)! n^m}$
C
$\frac{m!}{(n - m)! n^m}$
D
$\frac{m!}{(n - m)! m^n}$
Solution
(B) $m$ अवयवों वाले समुच्चय $A$ से $n$ अवयवों वाले समुच्चय $B$ तक के कुल प्रतिचित्रणों की संख्या $n^m$ है।
$A$ से $B$ तक के एकैकी प्रतिचित्रणों की संख्या $n$ अवयवों में से $m$ अवयवों के क्रमचय के बराबर होती है,जो $P(n, m) = \frac{n!}{(n - m)!}$ है।
एकैकी प्रतिचित्रण चुनने की प्रायिकता,एकैकी प्रतिचित्रणों की संख्या और कुल प्रतिचित्रणों की संख्या का अनुपात है:
$P = \frac{\frac{n!}{(n - m)!}}{n^m} = \frac{n!}{(n - m)! n^m}$.
$A$ से $B$ तक के एकैकी प्रतिचित्रणों की संख्या $n$ अवयवों में से $m$ अवयवों के क्रमचय के बराबर होती है,जो $P(n, m) = \frac{n!}{(n - m)!}$ है।
एकैकी प्रतिचित्रण चुनने की प्रायिकता,एकैकी प्रतिचित्रणों की संख्या और कुल प्रतिचित्रणों की संख्या का अनुपात है:
$P = \frac{\frac{n!}{(n - m)!}}{n^m} = \frac{n!}{(n - m)! n^m}$.
0 likes
View Solution41
DifficultMCQ
$A$ और $B$ सहित $15$ व्यक्ति एक गोल मेज पर यादृच्छिक रूप से बैठते हैं। $A$ और $B$ के बीच $4$ व्यक्ति होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{1}{3}$
B
$\frac{2}{3}$
C
$\frac{2}{7}$
D
$\frac{1}{7}$
Solution
(D) मान लीजिए कि $A$ गोल मेज पर किसी भी एक सीट पर बैठता है। $B$ के लिए $14$ सीटें उपलब्ध हैं।
यदि $A$ और $B$ के बीच $4$ व्यक्ति होने हैं,तो $B$ केवल $2$ विशिष्ट स्थानों पर बैठ सकता है (एक $A$ के बाईं ओर और एक $A$ के दाईं ओर,ताकि उनके बीच $4$ व्यक्ति हों)।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$ है।
यदि $A$ और $B$ के बीच $4$ व्यक्ति होने हैं,तो $B$ केवल $2$ विशिष्ट स्थानों पर बैठ सकता है (एक $A$ के बाईं ओर और एक $A$ के दाईं ओर,ताकि उनके बीच $4$ व्यक्ति हों)।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$ है।
0 likes
View Solution42
DifficultMCQ
एक सिक्के को $2n$ बार उछाला जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि चित (head) आने की संख्या पट (tail) आने की संख्या के बराबर न हो?
A
$\frac{(2n)!}{(n!)^2} \left( \frac{1}{2} \right)^{2n}$
B
$1 - \frac{(2n)!}{(n!)^2}$
C
$1 - \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{4^n}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) जब एक सिक्के को $2n$ बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $2^{2n}$ होती है।
ठीक $n$ चित और $n$ पट प्राप्त करने के तरीकों की संख्या द्विपद गुणांक $\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{n!n!}$ द्वारा दी जाती है।
ठीक $n$ चित और $n$ पट प्राप्त करने की प्रायिकता $P(\text{equal}) = \frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{2^{2n}} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{4^n}$ है।
चितों की संख्या और पटों की संख्या बराबर न होने की प्रायिकता $1 - P(\text{equal})$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{4^n}$ है।
ठीक $n$ चित और $n$ पट प्राप्त करने के तरीकों की संख्या द्विपद गुणांक $\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{n!n!}$ द्वारा दी जाती है।
ठीक $n$ चित और $n$ पट प्राप्त करने की प्रायिकता $P(\text{equal}) = \frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{2^{2n}} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{4^n}$ है।
चितों की संख्या और पटों की संख्या बराबर न होने की प्रायिकता $1 - P(\text{equal})$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{4^n}$ है।
0 likes
View Solution43
MediumMCQ
$10$ वस्तुओं के एक लॉट में से,जिसमें $3$ खराब वस्तुएं हैं,$4$ वस्तुओं का एक नमूना बिना प्रतिस्थापन के यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। यदि $X$ नमूने में खराब वस्तुओं की संख्या को दर्शाता है,तो $P(0 < X < 3)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{3}{10}$
B
$\frac{4}{5}$
C
$\frac{1}{2}$
D
$\frac{1}{6}$
Solution
(B) कुल वस्तुओं की संख्या $10$ है,जिसमें $3$ खराब और $7$ सही वस्तुएं हैं। $4$ वस्तुओं को बिना प्रतिस्थापन के चुना जाता है। यादृच्छिक चर $X$ हाइपरजियोमेट्रिक वितरण का पालन करता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = \frac{^3C_x \times ^7C_{4-x}}{^{10}C_4}$ द्वारा दिया जाता है।
$10$ में से $4$ वस्तुओं को चुनने के कुल तरीके $^{10}C_4 = 210$ हैं।
हमें $P(0 < X < 3)$ ज्ञात करना है,जो $P(X = 1) + P(X = 2)$ के बराबर है।
$x = 1$ के लिए: $P(X = 1) = \frac{^3C_1 \times ^7C_3}{210} = \frac{3 \times 35}{210} = \frac{105}{210}$.
$x = 2$ के लिए: $P(X = 2) = \frac{^3C_2 \times ^7C_2}{210} = \frac{3 \times 21}{210} = \frac{63}{210}$.
अतः,$P(0 < X < 3) = \frac{105}{210} + \frac{63}{210} = \frac{168}{210} = \frac{4}{5}$.
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = \frac{^3C_x \times ^7C_{4-x}}{^{10}C_4}$ द्वारा दिया जाता है।
$10$ में से $4$ वस्तुओं को चुनने के कुल तरीके $^{10}C_4 = 210$ हैं।
हमें $P(0 < X < 3)$ ज्ञात करना है,जो $P(X = 1) + P(X = 2)$ के बराबर है।
$x = 1$ के लिए: $P(X = 1) = \frac{^3C_1 \times ^7C_3}{210} = \frac{3 \times 35}{210} = \frac{105}{210}$.
$x = 2$ के लिए: $P(X = 2) = \frac{^3C_2 \times ^7C_2}{210} = \frac{3 \times 21}{210} = \frac{63}{210}$.
अतः,$P(0 < X < 3) = \frac{105}{210} + \frac{63}{210} = \frac{168}{210} = \frac{4}{5}$.
0 likes
View Solution44
DifficultMCQ
एक थैले में $a$ सफेद और $b$ काली गेंदें हैं। दो खिलाड़ी $A$ और $B$ बारी-बारी से थैले से एक गेंद निकालते हैं,हर बार गेंद को वापस रख देते हैं,जब तक कि उनमें से कोई एक सफेद गेंद नहीं निकाल लेता और खेल जीत नहीं जाता। $A$ खेल शुरू करता है। यदि $A$ के खेल जीतने की प्रायिकता $B$ की तुलना में तीन गुना है,तो अनुपात $a : b$ क्या है?
A
$1:1$
B
$1:2$
C
$2:1$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) मान लीजिए $W$ सफेद गेंद निकालने की घटना है और $B$ काली गेंद निकालने की घटना है।
सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W) = \frac{a}{a+b}$ है और काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B) = \frac{b}{a+b}$ है।
खिलाड़ी $A$ जीतता है यदि वह अपनी बारी ($1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}, \dots$ बारी) पर सफेद गेंद निकालता है।
$P(A \text{ wins}) = P(W) + P(B)P(B)P(W) + P(B)P(B)P(B)P(B)P(W) + \dots$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_1 = P(W) = \frac{a}{a+b}$ और सार्व अनुपात $r = P(B)^2 = \frac{b^2}{(a+b)^2}$ है।
$P(A \text{ wins}) = \frac{P(W)}{1 - P(B)^2} = \frac{\frac{a}{a+b}}{1 - \frac{b^2}{(a+b)^2}} = \frac{a(a+b)}{(a+b)^2 - b^2} = \frac{a(a+b)}{a^2 + 2ab} = \frac{a+b}{a+2b}$.
चूंकि $P(A \text{ wins}) + P(B \text{ wins}) = 1$,इसलिए $P(B \text{ wins}) = 1 - \frac{a+b}{a+2b} = \frac{b}{a+2b}$.
दिया गया है कि $P(A \text{ wins}) = 3 \times P(B \text{ wins})$:
$\frac{a+b}{a+2b} = 3 \times \frac{b}{a+2b}$.
$a+b = 3b \implies a = 2b \implies \frac{a}{b} = \frac{2}{1}$.
अतः,अनुपात $a:b$ का मान $2:1$ है।
सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W) = \frac{a}{a+b}$ है और काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B) = \frac{b}{a+b}$ है।
खिलाड़ी $A$ जीतता है यदि वह अपनी बारी ($1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}, \dots$ बारी) पर सफेद गेंद निकालता है।
$P(A \text{ wins}) = P(W) + P(B)P(B)P(W) + P(B)P(B)P(B)P(B)P(W) + \dots$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_1 = P(W) = \frac{a}{a+b}$ और सार्व अनुपात $r = P(B)^2 = \frac{b^2}{(a+b)^2}$ है।
$P(A \text{ wins}) = \frac{P(W)}{1 - P(B)^2} = \frac{\frac{a}{a+b}}{1 - \frac{b^2}{(a+b)^2}} = \frac{a(a+b)}{(a+b)^2 - b^2} = \frac{a(a+b)}{a^2 + 2ab} = \frac{a+b}{a+2b}$.
चूंकि $P(A \text{ wins}) + P(B \text{ wins}) = 1$,इसलिए $P(B \text{ wins}) = 1 - \frac{a+b}{a+2b} = \frac{b}{a+2b}$.
दिया गया है कि $P(A \text{ wins}) = 3 \times P(B \text{ wins})$:
$\frac{a+b}{a+2b} = 3 \times \frac{b}{a+2b}$.
$a+b = 3b \implies a = 2b \implies \frac{a}{b} = \frac{2}{1}$.
अतः,अनुपात $a:b$ का मान $2:1$ है।
0 likes
View Solution45
DifficultMCQ
दो व्यक्ति $A$ और $B$ बारी-बारी से पासे की एक जोड़ी फेंकते हैं। जो व्यक्ति पहले $9$ का योग प्राप्त करेगा,उसे पुरस्कार दिया जाएगा। यदि $A$ पहले फेंकता है,तो $B$ के खेल जीतने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{9}{17}$
B
$\frac{8}{17}$
C
$\frac{8}{9}$
D
$\frac{1}{9}$
Solution
(B) माना $p$ दो पासों पर $9$ का योग प्राप्त करने की प्रायिकता है। कुल परिणाम $36$ हैं। $9$ के योग के लिए अनुकूल परिणाम $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ हैं,इसलिए $p = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ है।
$9$ का योग न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ है।
$A$ पहले फेंकता है। $B$ तब जीतता है यदि $A$ विफल हो,फिर $B$ सफल हो,या $A$ विफल हो,$B$ विफल हो,$A$ विफल हो,$B$ सफल हो,आदि।
$B$ के जीतने की प्रायिकता $P(B) = qp + q^3p + q^5p + \dots$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = qp = \frac{8}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{8}{81}$ और सार्व अनुपात $r = q^2 = (\frac{8}{9})^2 = \frac{64}{81}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{8/81}{1 - 64/81} = \frac{8/81}{17/81} = \frac{8}{17}$ है।
$9$ का योग न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ है।
$A$ पहले फेंकता है। $B$ तब जीतता है यदि $A$ विफल हो,फिर $B$ सफल हो,या $A$ विफल हो,$B$ विफल हो,$A$ विफल हो,$B$ सफल हो,आदि।
$B$ के जीतने की प्रायिकता $P(B) = qp + q^3p + q^5p + \dots$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = qp = \frac{8}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{8}{81}$ और सार्व अनुपात $r = q^2 = (\frac{8}{9})^2 = \frac{64}{81}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{8/81}{1 - 64/81} = \frac{8/81}{17/81} = \frac{8}{17}$ है।
0 likes
View Solution46
MediumMCQ
छह लड़के और छह लड़कियाँ एक पंक्ति में बैठते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि लड़के और लड़कियाँ एकांतर (alternatively) रूप से बैठें?
A
$\frac{1}{462}$
B
$\frac{1}{924}$
C
$\frac{1}{2}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) $12$ लोगों को एक पंक्ति में बैठाने के कुल तरीके $n = 12!$ हैं।
लड़कों और लड़कियों के एकांतर रूप से बैठने के लिए दो पैटर्न संभव हैं: $(B, G, B, G, B, G, B, G, B, G, B, G)$ या $(G, B, G, B, G, B, G, B, G, B, G, B)$।
प्रत्येक पैटर्न में,$6$ लड़कों को $6!$ तरीकों से और $6$ लड़कियों को $6!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $m = 6! \times 6! + 6! \times 6! = 2 \times 6! \times 6!$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{m}{n} = \frac{2 \times 6! \times 6!}{12!} = \frac{1}{462}$ है।
लड़कों और लड़कियों के एकांतर रूप से बैठने के लिए दो पैटर्न संभव हैं: $(B, G, B, G, B, G, B, G, B, G, B, G)$ या $(G, B, G, B, G, B, G, B, G, B, G, B)$।
प्रत्येक पैटर्न में,$6$ लड़कों को $6!$ तरीकों से और $6$ लड़कियों को $6!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $m = 6! \times 6! + 6! \times 6! = 2 \times 6! \times 6!$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{m}{n} = \frac{2 \times 6! \times 6!}{12!} = \frac{1}{462}$ है।
0 likes
View Solution47
DifficultMCQ
$52$ पत्तों के एक पूर्ण पैक से यादृच्छिक रूप से एक-एक करके पत्ते तब तक निकाले जाते हैं जब तक कि पहली बार दो इक्के (aces) प्राप्त न हो जाएं। यदि $N$ निकाले जाने वाले पत्तों की संख्या है,तो $P(N = n)$,जहाँ $2 \le n \le 50$,क्या है?
A
$\frac{(n - 1)(52 - n)(51 - n)}{50 \times 49 \times 17 \times 13}$
B
$\frac{2(n - 1)(52 - n)(51 - n)}{50 \times 49 \times 17 \times 13}$
C
$\frac{3(n - 1)(52 - n)(51 - n)}{50 \times 49 \times 17 \times 13}$
D
$\frac{4(n - 1)(52 - n)(51 - n)}{50 \times 49 \times 17 \times 13}$
Solution
(A) $52$ पत्तों में से $n$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $52 \times 51 \times \dots \times (52 - n + 1)$ हैं।
$n$ वें पत्ते पर दूसरा इक्का प्राप्त करने के लिए,पहले $(n-1)$ पत्तों में ठीक एक इक्का होना चाहिए और $n$ वें पत्ते पर एक इक्का होना चाहिए।
पहले $(n-1)$ ड्रा में पहले इक्के की स्थिति चुनने के तरीके $(n-1)$ हैं।
पहला इक्का चुनने के तरीके $4$ हैं,और शेष $(n-2)$ पत्ते $48$ गैर-इक्का पत्तों में से $P(48, n-2)$ तरीकों से चुने जाते हैं।
$n$ वें ड्रा पर दूसरा इक्का चुनने के तरीके $3$ हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $(n-1) \times 4 \times P(48, n-2) \times 3$ है।
$n$ ड्रा के लिए कुल परिणाम $P(52, n)$ हैं।
$P(N=n) = \frac{(n-1) \times 4 \times 3 \times \frac{48!}{(48-(n-2))!}}{\frac{52!}{(52-n)!}} = \frac{12(n-1) \times 48! \times (52-n)!}{52! \times (50-n)!} = \frac{12(n-1)(52-n)(51-n)}{52 \times 51 \times 50 \times 49} = \frac{(n-1)(52-n)(51-n)}{50 \times 49 \times 17 \times 13}$.
$n$ वें पत्ते पर दूसरा इक्का प्राप्त करने के लिए,पहले $(n-1)$ पत्तों में ठीक एक इक्का होना चाहिए और $n$ वें पत्ते पर एक इक्का होना चाहिए।
पहले $(n-1)$ ड्रा में पहले इक्के की स्थिति चुनने के तरीके $(n-1)$ हैं।
पहला इक्का चुनने के तरीके $4$ हैं,और शेष $(n-2)$ पत्ते $48$ गैर-इक्का पत्तों में से $P(48, n-2)$ तरीकों से चुने जाते हैं।
$n$ वें ड्रा पर दूसरा इक्का चुनने के तरीके $3$ हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $(n-1) \times 4 \times P(48, n-2) \times 3$ है।
$n$ ड्रा के लिए कुल परिणाम $P(52, n)$ हैं।
$P(N=n) = \frac{(n-1) \times 4 \times 3 \times \frac{48!}{(48-(n-2))!}}{\frac{52!}{(52-n)!}} = \frac{12(n-1) \times 48! \times (52-n)!}{52! \times (50-n)!} = \frac{12(n-1)(52-n)(51-n)}{52 \times 51 \times 50 \times 49} = \frac{(n-1)(52-n)(51-n)}{50 \times 49 \times 17 \times 13}$.
0 likes
View Solution48
DifficultMCQ
यदि तीन पासे एक साथ फेंके जाते हैं,तो $7$ का योग प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{5}{216}$
B
$\frac{1}{6}$
C
$\frac{5}{72}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) जब तीन पासे फेंके जाते हैं तो कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 \times 6 = 216$ होती है।
मान लीजिए $x, y, z$ तीन पासों पर प्राप्त परिणाम हैं,जहाँ $1 \le x, y, z \le 6$ है। हमें $x + y + z = 7$ के पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
यह $(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^3$ के विस्तार में $x^7$ के गुणांक को खोजने के बराबर है।
$= x^3(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^3 = x^3 \left( \frac{1 - x^6}{1 - x} \right)^3$.
हमें $x^3(1 - x^6)^3(1 - x)^{-3}$ में $x^7$ का गुणांक चाहिए,जो कि $(1 - 3x^6 + 3x^{12} - x^{18})(1 - x)^{-3}$ में $x^4$ का गुणांक है।
द्विपद विस्तार $(1 - x)^{-3} = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+2}{2} x^r$ का उपयोग करते हुए,$x^4$ का गुणांक $\binom{4+2}{2} = \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ है।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}$ है।
मान लीजिए $x, y, z$ तीन पासों पर प्राप्त परिणाम हैं,जहाँ $1 \le x, y, z \le 6$ है। हमें $x + y + z = 7$ के पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
यह $(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^3$ के विस्तार में $x^7$ के गुणांक को खोजने के बराबर है।
$= x^3(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^3 = x^3 \left( \frac{1 - x^6}{1 - x} \right)^3$.
हमें $x^3(1 - x^6)^3(1 - x)^{-3}$ में $x^7$ का गुणांक चाहिए,जो कि $(1 - 3x^6 + 3x^{12} - x^{18})(1 - x)^{-3}$ में $x^4$ का गुणांक है।
द्विपद विस्तार $(1 - x)^{-3} = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+2}{2} x^r$ का उपयोग करते हुए,$x^4$ का गुणांक $\binom{4+2}{2} = \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ है।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}$ है।
0 likes
View Solution49
DifficultMCQ
$1, 2, \dots, n$ संख्याओं में से दो संख्याएँ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं। पहली और दूसरी संख्या के बीच का अंतर $m$ (जहाँ $0 < m < n$) से कम न होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{(n - m)(n - m + 1)}{n - 1}$
B
$\frac{(n - m)(n - m + 1)}{2n}$
C
$\frac{(n - m)(n - m - 1)}{2n(n - 1)}$
D
$\frac{(n - m)(n - m + 1)}{2n(n - 1)}$
Solution
(D) माना पहली संख्या $x$ है और दूसरी संख्या $y$ है। $n$ संख्याओं में से दो अलग-अलग संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $n(n - 1)$ हैं।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है जहाँ $x - y \ge m$ हो,जिसका अर्थ है $y \le x - m$।
एक निश्चित $x$ के लिए,$y$ का मान ${1, 2, \dots, x - m}$ में से हो सकता है। यह केवल तभी संभव है जब $x \ge m + 1$ हो। ऐसी जोड़ियों की संख्या $\sum_{x=m+1}^{n} (x - m) = 1 + 2 + \dots + (n - m) = \frac{(n - m)(n - m + 1)}{2}$ है।
प्रायिकता = $\frac{\frac{(n - m)(n - m + 1)}{2}}{n(n - 1)} = \frac{(n - m)(n - m + 1)}{2n(n - 1)}$।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है जहाँ $x - y \ge m$ हो,जिसका अर्थ है $y \le x - m$।
एक निश्चित $x$ के लिए,$y$ का मान ${1, 2, \dots, x - m}$ में से हो सकता है। यह केवल तभी संभव है जब $x \ge m + 1$ हो। ऐसी जोड़ियों की संख्या $\sum_{x=m+1}^{n} (x - m) = 1 + 2 + \dots + (n - m) = \frac{(n - m)(n - m + 1)}{2}$ है।
प्रायिकता = $\frac{\frac{(n - m)(n - m + 1)}{2}}{n(n - 1)} = \frac{(n - m)(n - m + 1)}{2n(n - 1)}$।
0 likes
View Solution50
EasyMCQ
$40$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं में से दो संख्याएँ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं। तो उनका योग विषम होने की प्रायिकता क्या है?
A
$14/29$
B
$20/39$
C
$1/2$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) $40$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं में $20$ विषम और $20$ सम संख्याएँ होती हैं।
दो संख्याओं का योग विषम होने के लिए,एक संख्या सम और दूसरी विषम होनी चाहिए।
$40$ में से $2$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{40}C_2 = \frac{40 \times 39}{2} = 780$ हैं।
एक विषम और एक सम संख्या चुनने के तरीके $^{20}C_1 \times ^{20}C_1 = 20 \times 20 = 400$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{400}{780} = \frac{40}{78} = \frac{20}{39}$ है।
दो संख्याओं का योग विषम होने के लिए,एक संख्या सम और दूसरी विषम होनी चाहिए।
$40$ में से $2$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{40}C_2 = \frac{40 \times 39}{2} = 780$ हैं।
एक विषम और एक सम संख्या चुनने के तरीके $^{20}C_1 \times ^{20}C_1 = 20 \times 20 = 400$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{400}{780} = \frac{40}{78} = \frac{20}{39}$ है।
0 likes
View SolutionProbability — Advanced Use of permutations and combinations in probability · Frequently Asked Questions
1Are these Probability questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Probability Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.