Set Based probability Questions in Gujarati

(C) જ્યારે $4$ પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^4 = 1296$ છે.
ઓછામાં ઓછો એક પાસો $2$ દર્શાવે તેવા પરિણામોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે કુલ પરિણામોમાંથી એવા પરિણામો બાદ કરીએ છીએ જેમાં કોઈ પણ પાસા પર $2$ આવતો નથી.
જે પરિણામોમાં કોઈ પણ પાસા પર $2$ આવતો નથી તેની સંખ્યા $5^4 = 625$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછો એક $2$ હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા $1296 - 625 = 671$ છે.

(A) કુલ પત્તાની સંખ્યા $n(S) = 52$ છે.
ચોકટના પત્તાની સંખ્યા $n(A) = 13$ છે,તેથી $P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
એક્કાની સંખ્યા $n(B) = 4$ છે,તેથી $P(B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
ચોકટના એક્કાની સંખ્યા $n(A \cap B) = 1$ છે,તેથી $P(A \cap B) = \frac{1}{52}$.
હવે,નિરપેક્ષતા માટે તપાસો: $P(A) \times P(B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{52}$.
કારણ કે $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$,તેથી ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ (Independent) છે.

(C) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણને $7$ થી વધુ સરવાળો મળે તેની સંભાવના જોઈએ છે,જેનો અર્થ છે કે સરવાળો $8, 9, 10, 11,$ અથવા $12$ હોઈ શકે.
સાનુકૂળ પરિણામો:
સરવાળો $= 8$: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ ($5$ પરિણામો)
સરવાળો $= 9$: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ ($4$ પરિણામો)
સરવાળો $= 10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ ($3$ પરિણામો)
સરવાળો $= 11$: $(5,6), (6,5)$ ($2$ પરિણામો)
સરવાળો $= 12$: $(6,6)$ ($1$ પરિણામ)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

(A) થેલીમાં કુલ દડાઓની સંખ્યા $= 3 \text{ (કાળા)} + 4 \text{ (સફેદ)} = 7 \text{ દડા}$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (સફેદ દડા) $= 4$.
સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$\text{સંભાવના} = \frac{\text{સફેદ દડાની સંખ્યા}}{\text{કુલ દડાની સંખ્યા}} = \frac{4}{7}$.

(D) છાપ મેળવવાની સંભાવના $P(H) = \frac{1}{2}$ છે અને છાપ ન મેળવવાની સંભાવના $P(T) = \frac{1}{2}$ છે.
$A$ જીતે છે જો તે તેના પ્રથમ પ્રયત્ને છાપ મેળવે,અથવા જો $A$ અને $B$ બંને નિષ્ફળ જાય અને $A$ તેના બીજા પ્રયત્ને છાપ મેળવે,વગેરે.
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે: $P(A \text{ wins}) = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^4 \cdot \frac{1}{2} + \dots$
$P(A \text{ wins}) = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^5 + \dots$
આ એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{2}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ છે.
સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1/2}{1 - 1/4} = \frac{2}{3}$ થાય.

(C) જ્યારે બે સંતુલિત પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ઉપરની સપાટી પરના પૂર્ણાંકોનો સરવાળો $9$ થાય.
સરવાળો $9$ થાય તેવા શક્ય પરિણામો $(3, 6), (4, 5), (5, 4), \text{ અને } (6, 3)$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
ઘટના $E$ ની સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ છે.

(A) પત્તાના કેટમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા = $52$.
એક્કાની સંખ્યા = $4$.
એક્કો ખેંચવાની સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) $PROBABILITY$ શબ્દમાં કુલ $11$ અક્ષરો છે: $P, R, O, B, A, B, I, L, I, T, Y$.
શબ્દમાં રહેલા સ્વરો $O, A, I, I$ છે.
કુલ $4$ સ્વરો છે.
સ્વર પસંદ કરવાની સંભાવના એ સ્વરોની સંખ્યા અને કુલ અક્ષરોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$\text{સંભાવના} = \frac{\text{સ્વરોની સંખ્યા}}{\text{કુલ અક્ષરોની સંખ્યા}} = \frac{4}{11}$.

(A) કુલ પાનાની સંખ્યા $100$ છે,તેથી નિદર્શાવકાશ $\{1, 2, 3, \dots, 100\}$ છે.
આપણે એવા પાના નંબર શોધવાના છે જેના અંકોનો સરવાળો $11$ થાય.
બે અંકની સંખ્યા $xy$ માટે,સરવાળો $x + y = 11$ થાય. શક્ય જોડીઓ $(x, y)$ એ $(2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4), (8, 3), (9, 2)$ છે.
આ પાના નંબર $29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92$ છે.
આવા કુલ $8$ પાના છે.
નોંધો કે પાના નંબર $100$ માટે,અંકોનો સરવાળો $1 + 0 + 0 = 1 \neq 11$ થાય છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $8$ છે.
સંભાવના $\frac{8}{100} = \frac{2}{25}$ છે.

(C) એક પરિવારમાં બે બાળકો માટે નિદર્શાવકાશ $S = \{BB, BG, GB, GG\}$ છે,જ્યાં $B$ એટલે છોકરો અને $G$ એટલે છોકરી.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 4$ છે.
બંને છોકરા હોય તે ઘટના $E = \{BB\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 1$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4}$ થાય.

(C) જ્યારે પાસાને બે વાર ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E_1$ એ પ્રથમ ફેંકમાં $1$ મેળવવાની ઘટના છે. પરિણામો $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)$ છે.
ધારો કે $E_2$ એ બીજી ફેંકમાં $1$ ન મેળવવાની ઘટના છે. બીજી ફેંક માટેના પરિણામો $2, 3, 4, 5, 6$ હોઈ શકે છે.
આપણે પ્રથમ ફેંકમાં $1$ અને બીજી ફેંકમાં $1$ ન મળે તેની સંભાવના શોધવી છે.
સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)$ છે,જે કુલ $5$ પરિણામો છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{5}{36}$ છે.

(B) સિક્કો ઉછાળવા માટેનો નિદર્શાવકાશ $S_1 = \{H, T\}$ છે,તેથી $P(\text{Head}) = \frac{1}{2}$.
પાસો ફેંકવા માટેનો નિદર્શાવકાશ $S_2 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે,તેથી $P(6) = \frac{1}{6}$.
આ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,બંને ઘટનાઓ સાથે બનવાની સંભાવના $P(\text{Head} \cap 6) = P(\text{Head}) \times P(6) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$ થાય.

(B) સિક્કાને બે વાર ઉછાળવા માટેનો નિદર્શાવકાશ $S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$ છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 4$ છે.
ધારો કે $E$ એ બંને વખતે છાપ મળવાની ઘટના છે,તેથી $E = \{(H, H)\}$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 1$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4}$.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $2$ મેળવવાની રીત $1$ છે: $(1, 1)$.
સરવાળો $8$ મેળવવાની રીતો $5$ છે: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$.
સરવાળો $12$ મેળવવાની રીત $1$ છે: $(6, 6)$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $1 + 5 + 1 = 7$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{7}{36}$ છે.

(B) ધારો કે $A$ એ પ્રથમ ફેંકમાં $4, 5$ અથવા $6$ મેળવવાની ઘટના છે. સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે. કુલ પરિણામો = $6$.
$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $B$ એ બીજી ફેંકમાં $1, 2, 3$ અથવા $4$ મેળવવાની ઘટના છે. સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે. કુલ પરિણામો = $6$.
$P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
બે ફેંક સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,બંને ઘટનાઓ બનવાની સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ થશે.
$P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

(A) ધારો કે $A$ એ પ્રથમ પેકમાંથી લાલનો એક્કો ખેંચવાની ઘટના છે,અને $B$ એ બીજા પેકમાંથી લાલનો એક્કો ખેંચવાની ઘટના છે.
એક પેકમાંથી લાલનો એક્કો ખેંચવાની સંભાવના $P(A) = \frac{1}{52}$ છે.
એક પેકમાંથી લાલનો એક્કો ન ખેંચવાની સંભાવના $P(A') = 1 - \frac{1}{52} = \frac{51}{52}$ છે.
બંનેમાંથી એક પણ કાર્ડ લાલનો એક્કો ન હોય તેની સંભાવના $P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = \frac{51}{52} \times \frac{51}{52} = \frac{2601}{2704}$ છે.
ઓછામાં ઓછું એક કાર્ડ લાલનો એક્કો હોય તેની સંભાવના $1 - P(A' \cap B') = 1 - \frac{2601}{2704} = \frac{2704 - 2601}{2704} = \frac{103}{2704}$ છે.

(C) કુલ વસ્તુઓની સંખ્યા $= 6 + 10 = 16$.
ધારો કે $N$ એ ઘટના છે કે વસ્તુ ખીલો છે અને $R$ એ ઘટના છે કે વસ્તુ કાટવાળી છે.
ખીલાની સંખ્યા $n(N) = 6$.
કાટવાળી વસ્તુઓની સંખ્યા $n(R) = \frac{6}{2} + \frac{10}{2} = 3 + 5 = 8$.
કાટવાળા ખીલાની સંખ્યા $n(N \cap R) = \frac{6}{2} = 3$.
આપણે $N \cup R$ ની સંભાવના શોધવાની છે.
સૂત્ર $P(N \cup R) = P(N) + P(R) - P(N \cap R)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(N \cup R) = \frac{6}{16} + \frac{8}{16} - \frac{3}{16} = \frac{11}{16}$.

(A) જ્યારે સિક્કાને $4$ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળવાની ઘટના છે.
પૂરક ઘટના $E'$ એ એક પણ છાપ ન મળવાની ઘટના છે,જેનો અર્થ છે કે બધી જ વાર કાંટો (head) મળે.
$E'$ માટેનું એકમાત્ર પરિણામ $(H, H, H, H)$ છે,તેથી $E'$ માટેના પરિણામોની સંખ્યા $1$ છે.
$E'$ ની સંભાવના $P(E') = \frac{1}{16}$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળવાની સંભાવના $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ છે.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે મળતી સંખ્યાઓનો સરવાળો $10$ થી વધુ છે.
સરવાળો $10$ થી વધુ હોય તેવા શક્ય પરિણામો $(5, 6), (6, 5), (6, 6)$ છે.
આવા $3$ પરિણામો છે.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ છે.

(B) $2$ પાસાઓને ફેંકતા મળતા કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $5$ મળે તેવા પરિણામો $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ છે,જે કુલ $4$ છે.
સરવાળો $6$ મળે તેવા પરિણામો $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ છે,જે કુલ $5$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $4 + 5 = 9$ છે.
તેથી,માંગેલ સંભાવના $\frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ થાય.

(B) ચોક્કસ ઘટના એટલે એવી ઘટના જે બનવાની જ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,નિદર્શાવકાશ $S$ ની સંભાવના $P(S) = 1$ છે.
તેથી,ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના $1$ છે.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
જો એક પાસા પર એકી સંખ્યા અને બીજા પર બેકી સંખ્યા હોય,તો સરવાળો એકી સંખ્યા મળે છે.
એકી સરવાળા માટેના શક્ય પરિણામો $(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (5,2), (5,4), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5)$ છે.
આ ગણતા,આપણને $18$ સાનુકૂળ પરિણામો મળે છે.
સંભાવના $\frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ છે.

(C) કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $= 10,000$.
$20$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી ટિકિટોની સંખ્યા $= \frac{10,000}{20} = 500$.
$20$ વડે વિભાજ્ય ટિકિટ પસંદ કરવાની સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{500}{10,000} = \frac{1}{20}$.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ પ્રથમ પાસા પર $2$ નો ગુણક મેળવવાની ઘટના છે: $A = \{2, 4, 6\}$,તેથી $n(A) = 3$.
ધારો કે $B$ એ બીજા પાસા પર $3$ નો ગુણક મેળવવાની ઘટના છે: $B = \{3, 6\}$,તેથી $n(B) = 2$.
પ્રથમ પાસા પર $2$ નો ગુણક અને બીજા પર $3$ નો ગુણક હોય તેવા પરિણામો: $(2,3), (2,6), (4,3), (4,6), (6,3), (6,6)$. આવા $3 \times 2 = 6$ પરિણામો છે.
પ્રથમ પાસા પર $3$ નો ગુણક અને બીજા પર $2$ નો ગુણક હોય તેવા પરિણામો: $(3,2), (3,4), (3,6), (6,2), (6,4), (6,6)$. આવા $2 \times 3 = 6$ પરિણામો છે.
પરિણામ $(6,6)$ બંને ગણમાં સામાન્ય છે.
સૂત્ર મુજબ,સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $6 + 6 - 1 = 11$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{11}{36}$ છે.

(D) ધારો કે $A, B,$ અને $C$ એ ત્રણ વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા પ્રશ્ન ઉકેલવાની ઘટનાઓ છે.
આપેલ સંભાવનાઓ $P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{4}$,અને $P(C) = \frac{1}{5}$ છે.
તેમના દ્વારા પ્રશ્ન ન ઉકેલાય તેની સંભાવનાઓ $P(A') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,$P(B') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$,અને $P(C') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
કોઈપણ વિદ્યાર્થી દ્વારા પ્રશ્ન ન ઉકેલાય તેની સંભાવના $P(A' \cap B' \cap C') = P(A') \times P(B') \times P(C') = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$ છે.
તેથી,પ્રશ્ન ઉકેલાય તેની સંભાવના $1 - P(A' \cap B' \cap C') = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ છે.

(C) એક સમતોલ પાસા પર $6$ અંક હોય છે: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
$5$ અંક મળવા માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 1$ છે (કારણ કે પાસા પર $5$ અંક માત્ર એક જ વાર હોય છે).
સંભાવના $P(E)$ નું સૂત્ર:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{6}$.

(B) પત્તાના ઢગમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે.
ફુલ્લીની રાણી ખેંચવાની સંભાવના $P(A) = \frac{1}{52}$ છે.
લાલનો રાજા ખેંચવાની સંભાવના $P(B) = \frac{1}{52}$ છે.
આ બંને પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,ફુલ્લીની રાણી અથવા લાલનો રાજા મળવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ થશે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{1}{52} + \frac{1}{52} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$ છે.

(C) જ્યારે ત્રણ સિક્કા એકસાથે ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે.
નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછી $2$ છાપ (tails) મેળવવાની સંભાવના જોઈએ છે.
સાનુકૂળ પરિણામો $\{HTT, THT, TTH, TTT\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
સંભાવના $P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(B) એક સમતોલ પાસાને ફેંકતા મળતા કુલ પરિણામોનો નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
ધારો કે $E$ એ $7$ કરતા નાની સંખ્યા મળવાની ઘટના છે.
નિદર્શાવકાશના તમામ પરિણામો $7$ કરતા નાના છે,તેથી $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 6$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{6} = 1$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E$ એ $11$ થી ઓછો સરવાળો મેળવવાની ઘટના છે.
પૂરક ઘટના $E'$ શોધવી સરળ છે,જે $11$ કે તેથી વધુ સરવાળો મેળવવાની ઘટના છે.
$11$ કે તેથી વધુ સરવાળા માટેના પરિણામો: $(5, 6), (6, 5), (6, 6)$ છે.
આવા $3$ પરિણામો છે.
તેથી,$E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $36 - 3 = 33$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{33}{36} = \frac{11}{12}$ છે.

(B) સામાન્ય અથવા બિન-લીપ વર્ષમાં $365$ દિવસ હોય છે.
$365$ દિવસ $= 52$ અઠવાડિયા અને $1$ દિવસ.
આ બાકી રહેલો $1$ દિવસ અઠવાડિયાના $7$ દિવસોમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે: {રવિવાર,સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર,શનિવાર}.
વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોય તે માટે,બાકી રહેલો $1$ દિવસ રવિવાર હોવો જોઈએ.
કુલ $7$ શક્ય પરિણામોમાંથી $1$ સાનુકૂળ પરિણામ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{1}{7}$.

(B) પેકમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $= 52$ છે.
કોર્ટ કાર્ડ્સ (ફેસ કાર્ડ્સ) માં દરેક પ્રકારના ગલ્લો,રાણી અને રાજાનો સમાવેશ થાય છે.
કુલ $4$ પ્રકારના પત્તા હોય છે,તેથી કોર્ટ કાર્ડ્સની કુલ સંખ્યા $= 4 \times 3 = 12$ થાય.
કોર્ટ કાર્ડ ખેંચવાની સંભાવના $= \frac{\text{કોર્ટ કાર્ડની સંખ્યા}}{\text{કુલ પત્તાની સંખ્યા}} = \frac{12}{52}$ છે.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{12}{52} = \frac{3}{13}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે બંને પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $4$ નો ગુણક હોય.
$4$ ના ગુણક હોય તેવા શક્ય સરવાળા $4, 8, 12$ છે.
સરવાળો $= 4$ માટેના પરિણામો $(1, 3), (2, 2), (3, 1)$ છે.
સરવાળો $= 8$ માટેના પરિણામો $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ છે.
સરવાળો $= 12$ માટેનું પરિણામ $(6, 6)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $3 + 5 + 1 = 9$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ છે.

(A) કુલ પરિણામોની સંખ્યા = $5 \text{ (ઇનામ)} + 20 \text{ (ખાલી)} = 25$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (ઇનામ મેળવવું) = $5$.
ઇનામ મેળવવાની સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.

(B) જ્યારે એક સમતોલ પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
ધારો કે $E$ એ $2$ કરતા મોટી સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે.
સાનુકૂળ પરિણામો $E = \{3, 4, 5, 6\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 4$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ થાય.

(C) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
બંને પાસા પર સમાન સંખ્યા હોય તેવા પરિણામો $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ છે,જે કુલ $6$ પરિણામો છે.
સંખ્યાઓ અલગ-અલગ હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા $36 - 6 = 30$ છે.
સરવાળો $6$ થાય તેવા પરિણામો $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ છે.
આપણને આપેલ છે કે સંખ્યાઓ અલગ હોવી જોઈએ,તેથી આપણે $(3,3)$ ને બાકાત રાખીશું.
સાનુકૂળ પરિણામો $(1,5), (2,4), (4,2), (5,1)$ છે,જે કુલ $4$ પરિણામો છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{4}{30} = \frac{2}{15}$ છે.

(A) ધારો કે $E_1$ એ પુરુષની પસંદગી થવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ સ્ત્રીની પસંદગી થવાની ઘટના છે.
આપેલ છે કે $P(E_1) = 1/4$ અને $P(E_2) = 1/3$.
પુરુષની પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના $P(\bar{E_1}) = 1 - P(E_1) = 1 - 1/4 = 3/4$ છે.
સ્ત્રીની પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના $P(\bar{E_2}) = 1 - P(E_2) = 1 - 1/3 = 2/3$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,તેમાંથી કોઈની પણ પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના $P(\bar{E_1} \cap \bar{E_2}) = P(\bar{E_1}) \times P(\bar{E_2})$ છે.
તેથી,$P(\bar{E_1} \cap \bar{E_2}) = (3/4) \times (2/3) = 6/12 = 1/2$.

(D) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 4 + 5 + 6 = 15$.
સફેદ દડાઓની સંખ્યા $= 4$.
લાલ દડાઓની સંખ્યા $= 6$.
ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,સફેદ અથવા લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનો સરવાળો છે.
$P(\text{સફેદ અથવા લાલ}) = P(\text{સફેદ}) + P(\text{લાલ}) = \frac{4}{15} + \frac{6}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.

(B) કુલ પત્તાની સંખ્યા = $52$.
લાલ (heart) પત્તાની સંખ્યા = $13$.
રાજા (king) પત્તાની સંખ્યા = $4$.
જે પત્તું લાલ અને રાજા બંને હોય (લાલનો રાજા) તેની સંખ્યા = $1$.
ગણતરી મુજબ,લાલ અથવા રાજા હોય તેવા પત્તાની સંખ્યા = $13 + 4 - 1 = 16$.
લાલ પણ ન હોય અને રાજા પણ ન હોય તેવા પત્તાની સંખ્યા = $52 - 16 = 36$.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{36}{52} = \frac{9}{13}$.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે મહત્તમ સરવાળો $6 + 6 = 12$ મળે છે.
સરવાળો $13$ મેળવવો અશક્ય હોવાથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $0$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{0}{36} = 0$ છે.

(C) જ્યારે ત્રણ પાસાઓ ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
$17$ નો સરવાળો નીચેની રીતે મેળવી શકાય છે: $(5, 6, 6), (6, 5, 6), (6, 6, 5)$. આવા $3$ પરિણામો છે.
$18$ નો સરવાળો નીચેની રીતે મેળવી શકાય છે: $(6, 6, 6)$. આવું $1$ પરિણામ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $3 + 1 = 4$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}$ છે.

(D) કુલ વસ્તુઓની સંખ્યા $= 10 + 6 = 16$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી વસ્તુ સારી અથવા ખામીયુક્ત છે.
પેટીમાંની દરેક વસ્તુ કાં તો સારી છે અથવા ખામીયુક્ત છે,તેથી આ એક ચોક્કસ ઘટના છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 10 + 6 = 16$.
સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{16}{16} = 1$.

(B) અશક્ય ઘટના એટલે એવી ઘટના જે ક્યારેય બની શકતી નથી.
વ્યાખ્યા મુજબ,અશક્ય ઘટનાની સંભાવના હંમેશા $0$ હોય છે.
તેનાથી વિપરીત,ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના હંમેશા $1$ હોય છે.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
શક્ય સરવાળા $2$ થી $12$ સુધીના છે. આ શ્રેણીમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5, 7, 11\}$ છે.
દરેક અવિભાજ્ય સરવાળા માટે પરિણામોની સંખ્યા ગણીએ:
- સરવાળો $= 2$: $(1, 1)$ $\rightarrow 1$ પરિણામ
- સરવાળો $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ $\rightarrow 2$ પરિણામો
- સરવાળો $= 5$: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ $\rightarrow 4$ પરિણામો
- સરવાળો $= 7$: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ $\rightarrow 6$ પરિણામો
- સરવાળો $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ $\rightarrow 2$ પરિણામો
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

(A) ધારો કે ત્રણ વ્યક્તિઓ દ્વારા સમસ્યા ઉકેલવાની સંભાવના $P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{4}$ અને $P(C) = \frac{1}{5}$ છે.
તેઓ સ્વતંત્ર રીતે કામ કરતા હોવાથી,સમસ્યા ઉકેલી ન શકે તેની સંભાવના $P(A') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,$P(B') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ અને $P(C') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
કોઈ પણ વ્યક્તિ સમસ્યા ઉકેલી ન શકે તેની સંભાવના $P(A' \cap B' \cap C') = P(A') \times P(B') \times P(C')$ છે.
$P(A' \cap B' \cap C') = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
જે પરિણામોમાં અંકોનો સરવાળો $7$ થાય છે તે છે: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{6}{36}$ છે.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછા $9$ નો સરવાળો મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,જેનો અર્થ છે કે સરવાળો $9, 10, 11,$ અથવા $12$ હોઈ શકે છે.
સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળા $9$ માટે: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ ($4$ પરિણામો)
સરવાળા $10$ માટે: $(4,6), (5,5), (6,4)$ ($3$ પરિણામો)
સરવાળા $11$ માટે: $(5,6), (6,5)$ ($2$ પરિણામો)
સરવાળા $12$ માટે: $(6,6)$ ($1$ પરિણામ)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 4 + 3 + 2 + 1 = 10$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.

(B) $POSSESSIVE$ શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે: $P, O, S, S, E, S, S, I, V, E$.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 10$ છે.
અક્ષર $S$ શબ્દમાં $4$ વખત આવે છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 4$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{10}$ થાય.

(B) જ્યારે ત્રણ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
દરેક પાસા પર સમાન સંખ્યા આવે તેવા સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), \text{ અને } (6, 6, 6)$ છે.
આવા $6$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{6}{216} = \frac{1}{36}$ છે.