Advanced Use of permutations and combinations in probability Questions in Gujarati

(A) $52$ માંથી $7$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{52}C_{7} = 133784560$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછા $3$ રાજા મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે. આમાં બરાબર $3$ રાજા અથવા બરાબર $4$ રાજા મેળવવાના કિસ્સાઓનો સમાવેશ થાય છે.
કિસ્સો $1$: બરાબર $3$ રાજા.
રીતોની સંખ્યા = $^{4}C_{3} \times ^{48}C_{4} = 4 \times 194580 = 778320$.
કિસ્સો $2$: બરાબર $4$ રાજા.
રીતોની સંખ્યા = $^{4}C_{4} \times ^{48}C_{3} = 1 \times 17296 = 17296$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $778320 + 17296 = 795616$.
સંભાવના = $\frac{795616}{133784560} = \frac{46}{7735}$.

(A) કુલ લખોટીઓની સંખ્યા $= 10 + 20 + 30 = 60$.
$60$ માંથી $5$ લખોટીઓ પસંદ કરવાની રીતો $= ^{60}C_5$.
એક પણ લખોટી લીલી ન હોય (એટલે કે $10$ લાલ અને $20$ વાદળીમાંથી પસંદગી) તેવી રીતો $= ^{30}C_5$.
એક પણ લખોટી લીલી ન હોય તેની સંભાવના $= \frac{^{30}C_5}{^{60}C_5}$.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક લખોટી લીલી હોય તેની સંભાવના $= 1 - \frac{^{30}C_5}{^{60}C_5}$.

(A) $52$ પત્તામાંથી $4$ પત્તા ખેંચવાની કુલ રીતો $^{52}C_{4}$ છે.
$52$ પત્તાના ડેકમાં $13$ ડાયમંડ અને $13$ સ્પેડ હોય છે.
$13$ માંથી $3$ ડાયમંડ પસંદ કરવાની રીતો $^{13}C_{3}$ છે.
$13$ માંથી $1$ સ્પેડ પસંદ કરવાની રીતો $^{13}C_{1}$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $^{13}C_{3} \times ^{13}C_{1}$ છે.
સંભાવના = $\frac{^{13}C_{3} \times ^{13}C_{1}}{^{52}C_{4}}$.

(A) જ્યારે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,ત્યારે આપણે ${0, 1, 3, 5, 7}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $5,000$ થી મોટી $4$-અંકી સંખ્યાઓ બનાવીએ છીએ.
પ્રથમ અંક (હજારનું સ્થાન) $5$ અથવા $7$ હોવો જોઈએ જેથી સંખ્યા $5,000$ થી મોટી રહે. પ્રથમ અંક માટે $2$ વિકલ્પો છે.
બાકીના $3$ સ્થાનો માટે $5$ અંકોમાંથી કોઈપણ પસંદ કરી શકાય છે કારણ કે પુનરાવર્તન માન્ય છે.
કુલ $4$-અંકી સંખ્યાઓ જે $5$ અથવા $7$ થી શરૂ થાય છે તે $2 \times 5 \times 5 \times 5 = 250$ છે.
આપણે $5,000$ થી મોટી સંખ્યાઓ જોઈએ છીએ,તેથી $5,000$ ને બાદ કરતા કુલ સંખ્યાઓ $= 250 - 1 = 249$ થાય.
જો એકમનો અંક $0$ અથવા $5$ હોય તો સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
હજારના સ્થાન માટે $2$ વિકલ્પો છે ($5$ અથવા $7$).
સો અને દશકના સ્થાન માટે $5$ વિકલ્પો છે.
એકમના સ્થાન માટે $2$ વિકલ્પો છે ($0$ અથવા $5$).
$5$ વડે વિભાજ્ય કુલ સંખ્યાઓ $= 2 \times 5 \times 5 \times 2 = 100$ છે.
$5,000$ ને બાદ કરતા (જે $5$ વડે વિભાજ્ય છે),કુલ સંખ્યાઓ $= 100 - 1 = 99$ થાય.
સંભાવના $= \frac{99}{249} = \frac{33}{83}$ છે.

(C) કુલ $5-\text{અંકી}$ સંખ્યાઓ $9 \times 10^{4}$ છે.
કિસ્સો $1$: પસંદ કરેલા બે અંકો શૂન્યતર છે.
${1, 2, \dots, 9}$ માંથી $2$ અંકો પસંદ કરવાની રીતો $^{9}C_{2} = 36$ છે.
દરેક પસંદગી માટે,બંને અંકોનો ઉપયોગ કરતી $5-\text{અંકી}$ સંખ્યાઓની સંખ્યા $2^{5} - 2 = 30$ છે.
કિસ્સો $1$ માટે કુલ $= 36 \times 30 = 1080$.
કિસ્સો $2$: એક અંક શૂન્ય છે અને બીજો શૂન્યતર છે.
${1, 2, \dots, 9}$ માંથી $1$ શૂન્યતર અંક પસંદ કરવાની રીતો $^{9}C_{1} = 9$ છે.
પ્રથમ અંક શૂન્યતર હોવો જોઈએ ($1$ રીતે),અને બાકીના $4$ સ્થાનો $0$ અથવા પસંદ કરેલા શૂન્યતર અંક દ્વારા ભરી શકાય છે,જેમાં બધા $4$ અંકો શૂન્યતર હોય તે કિસ્સો બાદ કરતાં. આ $2^{4} - 1 = 15$ રીતો આપે છે.
કિસ્સો $2$ માટે કુલ $= 9 \times 15 = 135$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1080 + 135 = 1215$.
સંભાવના $= \frac{1215}{9 \times 10^{4}} = \frac{135}{10^{4}}$.

(B) $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનતી $6$-અંકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $6 \times 6! = 4320$ છે.
સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે તેના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ. બધા અંકોનો સરવાળો $21$ છે. $6$ અંકો પસંદ કરવા માટે એક અંક બાકાત રાખવો પડે જે $0, 3,$ અથવા $6$ હોઈ શકે.
કિસ્સો $I$: $0$ ને બાકાત રાખતા,અંકો ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ મળે. કુલ રીતો $= 6! = 720$.
કિસ્સો $II$: $3$ ને બાકાત રાખતા,અંકો ${0, 1, 2, 4, 5, 6}$ મળે. પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે,તેથી $5 \times 5! = 600$ રીતો.
કિસ્સો $III$: $6$ ને બાકાત રાખતા,અંકો ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ મળે. પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે,તેથી $5 \times 5! = 600$ રીતો.
સાનુકૂળ પરિણામો $n(A) = 720 + 600 + 600 = 1920$.
સંભાવના $P(A) = \frac{1920}{4320} = \frac{4}{9}$.

(B) $6$-અંકની સંખ્યાઓ જે $1$ અને $8$ વડે બને છે તેની કુલ સંખ્યા $2^6 = 64$ છે.
$21$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે સંખ્યા $3$ અને $7$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
$3$ વડે વિભાજ્યતા માટે અંકોનો સરવાળો $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,જે $n_1$ ને $3$ નો ગુણક બનાવે છે.
કુલ $22$ સંખ્યાઓ $21$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,$p = \frac{22}{64}$.
$96p = 96 \times \frac{22}{64} = 33$.

(B) $18$ માંથી $5$ અલગ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = {}^{18}C_{5} = 8568$ છે.
$x_{2} = 7$ અને $x_{4} = 11$ ની શરત માટે:
$x_{1} < 7$ માટે $6$ વિકલ્પો છે $({}^{6}C_{1} = 6)$.
$x_{3}$ એ $7$ અને $11$ ની વચ્ચે હોવો જોઈએ,તેથી $3$ વિકલ્પો છે $({}^{3}C_{1} = 3)$.
$x_{5} > 11$ માટે $7$ વિકલ્પો છે $({}^{7}C_{1} = 7)$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 6 \times 3 \times 7 = 126$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{126}{8568} = \frac{1}{68}$ છે.

(D) $4$ ઘટકોના ગણમાંથી $5$ ઘટકોના ગણ પરના કુલ એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $P(5, 4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ છે.
આપણે $f(a) + 2f(b) = f(c) + f(d)$ નું સમાધાન કરતા વિધેયોની સંખ્યા શોધવાની છે,જ્યાં $f(a), f(b), f(c), f(d)$ એ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ માંથી ભિન્ન ઘટકો છે.
ધારો કે કિંમતો $x_1, x_2, x_3, x_4$ એ $f(a), f(b), f(c), f(d)$ ને અનુરૂપ છે. આપણે $x_1 + 2x_2 = x_3 + x_4$ જોઈએ છે.
સમીકરણનું સમાધાન કરતી કિંમતોના શક્ય સેટ:

$f(a)$	$f(b)$	$f(c)$	$f(d)$
$5$	$1$	$3$	$4$ ($5+2=3+4$,માન્ય)
$4$	$2$	$3$	$5$ ($4+4=3+5$,માન્ય)
$1$	$3$	$2$	$5$ ($1+6=2+5$,માન્ય)

દરેક માન્ય સેટ માટે,$f(c)$ અને $f(d)$ ને ગોઠવવાની $2$ રીતો છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(A) = 6$.
સંભાવના $P(A) = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}$.

(A) ગણ $\{0, 1, 2, \ldots, 99\}$ માંથી બે ભિન્ન પૂર્ણાંકો $m$ અને $n$ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{100}{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $4^m + 4^n + 3 \equiv 0 \pmod{5}$.
$4 \equiv -1 \pmod{5}$ હોવાથી,આપણને $4^m + 4^n + 3 \equiv (-1)^m + (-1)^n + 3 \pmod{5}$ મળે.
આ પદ $5$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,$(-1)^m + (-1)^n + 3 \equiv 0 \pmod{5}$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $(-1)^m + (-1)^n \equiv -3 \equiv 2 \pmod{5}$.
$(-1)^m$ અને $(-1)^n$ ની કિંમત માત્ર $1$ અથવા $-1$ હોઈ શકે છે,તેથી તેમનો સરવાળો $2$ થવા માટે $(-1)^m = 1$ અને $(-1)^n = 1$ હોવું જરૂરી છે.
આનો અર્થ એ છે કે $m$ અને $n$ બંને બેકી પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ.
ગણ $\{0, 1, 2, \ldots, 99\}$ માં $50$ બેકી પૂર્ણાંકો છે (એટલે કે $0, 2, 4, \ldots, 98$).
બે ભિન્ન બેકી પૂર્ણાંકો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{50}{2} = \frac{50 \times 49}{2} = 1225$ છે.
સંભાવના $P = \frac{1225}{4950} = \frac{49}{198} \approx 0.24747$ છે.
$0.24747 \in (0, 0.25]$ હોવાથી,સાચો અંતરાલ $(0, 0.25]$ છે.

(C) $100$ કૂપનમાંથી $5$ કૂપન પસંદ કરીને ગોઠવવાની કુલ રીતો $P(100, 5) = \frac{100!}{95!}$ છે.
ધારો કે $5$ પસંદ કરેલી સંખ્યાઓનો ગણ $S = \{a, b, c, d, e\}$ છે જ્યાં $a < b < c < d < e$ છે.
કોઈપણ $5$ ભિન્ન સંખ્યાઓના ગણ માટે,આપણે તેમને એવી રીતે ગોઠવવાની જરૂર છે કે જેથી $x_1 > x_2 > x_3$ અને $x_3 < x_4 < x_5$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $x_3$ એ $5$ સંખ્યાઓમાં સૌથી નાની હોવી જોઈએ. આમ,$x_3$ એ ગણનો ન્યૂનતમ ઘટક તરીકે નિશ્ચિત છે.
બાકીની $4$ સંખ્યાઓને બે ગણમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: એક ${x_1, x_2}$ માટે અને એક ${x_4, x_5}$ માટે.
બાકીની $4$ માંથી $x_1$ અને $x_2$ બનવા માટે $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{4}{2} = 6$ છે.
એકવાર પસંદ થઈ ગયા પછી,તેમનો ક્રમ નિશ્ચિત છે $(x_1 > x_2)$,અને બાકીની $2$ નો ક્રમ પણ નિશ્ચિત છે $(x_4 < x_5)$.
આમ,$5$ સંખ્યાઓના કોઈપણ ગણ માટે,$120$ કુલ ક્રમચયોમાંથી $6$ સાનુકૂળ ગોઠવણીઓ છે.
સંભાવના $\frac{6}{120} = \frac{1}{20}$ છે.

(D) ધારો કે $O$ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના પરિઘ પર બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ કેન્દ્ર પર જીવા $AB$ દ્વારા આંતરેલો કેન્દ્રીય ખૂણો $\angle AOB$ છે.
જીવા $AB$ ની લંબાઈ $2r \sin(\frac{\theta}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે અંતર $AB \ge r$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $2r \sin(\frac{\theta}{2}) \ge r$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sin(\frac{\theta}{2}) \ge \frac{1}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\theta}{2} \ge 30^{\circ}$ અથવા $\theta \ge 60^{\circ}$.
બિંદુઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,ખૂણો $\theta$ એ $0$ થી $180^{\circ}$ સુધીની રેન્જમાં હોઈ શકે છે (કારણ કે અંતર $\theta$ અને $360^{\circ}-\theta$ માટે સમાન છે).
ખૂણા $\theta$ ની કુલ રેન્જ $180^{\circ}$ છે.
$\theta$ માટે સાનુકૂળ રેન્જ $60^{\circ} \le \theta \le 180^{\circ}$ છે.
સંભાવના એ સાનુકૂળ રેન્જ અને કુલ રેન્જનો ગુણોત્તર છે: $P = \frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{180^{\circ}} = \frac{120^{\circ}}{180^{\circ}} = \frac{2}{3}$.

(B) અંકોનો ગણ $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
કુલ $7$-અંકી સંખ્યાઓ $7! - 6! = 6 \times 6! = 4320$ છે.
જો સંખ્યાના છેલ્લા બે અંકો $4$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $1$: છેલ્લા બે અંકોમાં $0$ ન હોય. શક્ય જોડીઓ $\{12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64\}$ છે. આવી $8$ જોડીઓ છે.
દરેક જોડી માટે,બાકીના $5$ અંકોને $5! - 4!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,$8 \times (5! - 4!) = 8 \times 96 = 768$.
કિસ્સો $2$: છેલ્લા બે અંકોમાં $0$ હોય. શક્ય જોડીઓ $\{04, 20, 40, 60\}$ છે. આવી $4$ જોડીઓ છે.
દરેક જોડી માટે,બાકીના $5$ અંકોને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,$4 \times 5! = 480$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 768 + 480 = 1248$.
સંભાવના $P = \frac{1248}{4320} = \frac{13}{45}$.

(C) $10$ માંથી $5$ ટિકિટ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_5 = 252$ છે.
$p_1$ એ બરાબર $1$ વિજેતા ટિકિટ મેળવવાની સંભાવના છે:
$p_1 = \frac{^2C_1 \cdot ^8C_4}{^{10}C_5} = \frac{140}{252} = \frac{5}{9}$.
$p_2$ એ બરાબર $2$ વિજેતા ટિકિટ મેળવવાની સંભાવના છે:
$p_2 = \frac{^2C_2 \cdot ^8C_3}{^{10}C_5} = \frac{56}{252} = \frac{2}{9}$.
તેથી,$p_1 + p_2 = \frac{5}{9} + \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.
$\frac{7}{9} \approx 0.777$ હોવાથી,તે $\left(\frac{3}{4}, 1\right]$ અંતરાલમાં આવે છે.

(A) ત્રણ પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^3 = 216$ છે.
ત્રણેય પાસા પર અલગ-અલગ સંખ્યાઓ મળે તેવા પરિણામોની સંખ્યા $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ છે.
અલગ-અલગ સંખ્યાઓ મળવાની સંભાવના $\frac{120}{216} = \frac{5}{9}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{p}{q} = \frac{5}{9}$ જ્યાં $p$ અને $q$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,તેથી $p = 5$ અને $q = 9$ મળે.
તેથી,$q - p = 9 - 5 = 4$.

(C) ધારો કે $X$ એ પાસા પર મળતી સંખ્યા છે. $X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$,દરેકની સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે.
જો $X=k$ હોય,તો $6$ સફેદ દડામાંથી $k$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો $\binom{6}{k}$ છે,અને $10$ દડામાંથી $k$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{10}{k}$ છે.
$X=k$ આપેલ હોય ત્યારે $k$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W|X=k) = \frac{\binom{6}{k}}{\binom{10}{k}}$ છે.
કુલ સંભાવના $P(W) = \sum_{k=1}^{6} P(X=k) \times P(W|X=k) = \frac{1}{6} \sum_{k=1}^{6} \frac{\binom{6}{k}}{\binom{10}{k}}$.
ગણતરી કરતા: $\frac{1}{6} \left( \frac{6}{10} + \frac{15}{45} + \frac{20}{120} + \frac{15}{210} + \frac{6}{252} + \frac{1}{210} \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{126+70+35+15+5+1}{210} \right) = \frac{1}{6} \times \frac{252}{210} = \frac{42}{210} = \frac{1}{5}$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ છે.
અહીં $a, b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ હોવાથી,કુલ શક્ય ત્રિપુટીઓ $(a, b, c)$ ની સંખ્યા $8 \times 8 \times 8 = 512$ છે.
સમીકરણના બીજ સમાન હોવા માટે વિવેચક $D = 0$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $b^2 - 4ac = 0$,જેનો અર્થ છે $b^2 = 4ac$.
$b^2 = 4ac$ નું પાલન કરતી શક્ય ત્રિપુટીઓ $(a, b, c)$ નીચે મુજબ છે:
જો $b=2$,તો $4 = 4ac \Rightarrow ac = 1 \Rightarrow (1, 2, 1)$.
જો $b=4$,તો $16 = 4ac \Rightarrow ac = 4 \Rightarrow (1, 4, 4), (4, 4, 1), (2, 4, 2)$.
જો $b=6$,તો $36 = 4ac \Rightarrow ac = 9 \Rightarrow (3, 6, 3)$.
જો $b=8$,તો $64 = 4ac \Rightarrow ac = 16 \Rightarrow (2, 8, 8), (8, 8, 2), (4, 8, 4)$.
આમ,કુલ $8$ સાનુકૂળ કિસ્સાઓ મળે છે.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ કિસ્સાઓ}}{\text{કુલ કિસ્સાઓ}} = \frac{8}{512} = \frac{1}{64}$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ હોય તે માટે વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac > 0$,જેનો અર્થ છે કે $b^2 > 4ac$.
$(a, b, c)$ માટે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
આપણે $b^2 > 4ac$ હોય તેવા સાનુકૂળ કિસ્સાઓ ગણીએ:
- જો $b=1$: $1 > 4ac$ (કોઈ ઉકેલ નથી)
- જો $b=2$: $4 > 4ac \implies ac < 1$ (કોઈ ઉકેલ નથી)
- જો $b=3$: $9 > 4ac \implies ac < 2.25$. શક્ય $(a, c)$ જોડીઓ: $(1, 1), (1, 2), (2, 1)$. ($3$ કિસ્સાઓ)
- જો $b=4$: $16 > 4ac \implies ac < 4$. શક્ય $(a, c)$ જોડીઓ: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1)$. ($5$ કિસ્સાઓ)
- જો $b=5$: $25 > 4ac \implies ac < 6.25$. શક્ય $(a, c)$ જોડીઓ: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (5, 1), (6, 1)$. ($14$ કિસ્સાઓ)
- જો $b=6$: $36 > 4ac \implies ac < 9$. શક્ય $(a, c)$ જોડીઓ: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (6, 1)$. ($16$ કિસ્સાઓ)
કુલ સાનુકૂળ કિસ્સાઓ $= 3 + 5 + 14 + 16 = 38$.
આમ,$p = \frac{38}{216}$.
તેથી,$216p = 38$.

(A) $3$ પત્રોને $5$ અલગ-અલગ સરનામાં પર પોસ્ટ કરવાની કુલ રીતો $5^3 = 125$ છે.
બરાબર $2$ સરનામાં પર પત્રો પોસ્ટ કરવા માટે,આપણે $5$ માંથી $2$ સરનામાં પસંદ કરીએ છીએ,જે $^5C_2 = 10$ રીતે કરી શકાય છે.
દરેક $2$ સરનામાંની પસંદગી માટે,દરેક $3$ પત્રને $2$ સરનામાંમાંથી કોઈપણ એક પર પોસ્ટ કરી શકાય છે,જે $2^3 = 8$ રીતો આપે છે. જોકે,આમાં એવા કિસ્સાઓનો સમાવેશ થાય છે જ્યાં ત્રણેય પત્રો માત્ર $1$ સરનામે પોસ્ટ થયા હોય,તેથી આપણે તે $2$ કિસ્સાઓ બાદ કરીએ છીએ.
આમ,સાનુકૂળ રીતોની સંખ્યા $^5C_2 \times (2^3 - 2) = 10 \times 6 = 60$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{60}{125} = \frac{12}{25}$ છે.

(B) આપેલ ગણ $X = \{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} : \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{20} < 1 \text{ અને } y^2 < 5x\}$.
સીમા સમીકરણો $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{20} = 1$ અને $y^2 = 5x$ ને ઉકેલતા,$y^2 = 5x$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{x^2}{8} + \frac{5x}{20} = 1 \implies \frac{x^2}{8} + \frac{x}{4} = 1 \implies x^2 + 2x - 8 = 0 \implies (x+4)(x-2) = 0$. $y^2 < 5x$ હોવાથી,$x > 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $x = 2$. $x = 2$ માટે,$y^2 < 10$,તેથી $y \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. $x = 1$ માટે,$y^2 < 5$,તેથી $y \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
ગણ $X$ માં $12$ બિંદુઓ છે: $X = \{(1, -2), (1, -1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, -3), (2, -2), (2, -1), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3)\}$.
$3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = {}^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ છે. બિંદુઓ $x=1$ અને $x=2$ રેખાઓ પર હોવાથી,પાયો બેકી સંખ્યામાં હોય તો ક્ષેત્રફળ પૂર્ણાંક મળે.
સાનુકૂળ કિસ્સાઓની ગણતરી કરતા: $46 + 22 + 5 = 73$.
આમ,સંભાવના $\frac{73}{220}$ છે.

(A) ધારો કે $B$ એ છોકરો અને $G$ એ છોકરી છે. કુલ $3$ છોકરાઓ અને $2$ છોકરીઓ છે. $5$ વ્યક્તિઓને ગોઠવવાની કુલ રીતો $5! = 120$ છે.
ધારો કે $i$-મી છોકરીની આગળ $b_i$ છોકરાઓ અને $g_i$ છોકરીઓ છે. શરત મુજબ $b_i \ge g_i + 1$ બંને છોકરીઓ માટે હોવું જોઈએ.
જો છોકરીઓના સ્થાન $x_1$ અને $x_2$ હોય જ્યાં $1 \le x_1 < x_2 \le 5$.
પ્રથમ છોકરી માટે $x_1 - 1 \ge 0 + 1 \implies x_1 \ge 2$.
બીજી છોકરી માટે $x_2 - 2 \ge 1 + 1 \implies x_2 \ge 4$.
શક્ય સ્થાનો $(x_1, x_2)$ એ $(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)$ છે.
આ તમામ $5$ કિસ્સાઓ શરતનું પાલન કરે છે.
કુલ સાનુકૂળ ગોઠવણીઓ = $5 \times (3! \times 2!) = 60$.
સંભાવના = $\frac{60}{120} = \frac{1}{2}$.

(A) $16$ $(4+2+10)$ વ્યક્તિઓમાંથી $12$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{16}C_{12} = ^{16}C_4 = 1820$ છે.
આપણને ઓછામાં ઓછા $3$ એન્જિનિયરો અને ઓછામાં ઓછા $1$ ડોક્ટરની જરૂર છે. શક્ય કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
$1)$ $3$ એન્જિનિયરો,$1$ ડોક્ટર,$8$ પ્રોફેસરો: $^4C_3 \times ^2C_1 \times ^{10}C_8 = 360$.
$2)$ $3$ એન્જિનિયરો,$2$ ડોક્ટરો,$7$ પ્રોફેસરો: $^4C_3 \times ^2C_2 \times ^{10}C_7 = 480$.
$3)$ $4$ એન્જિનિયરો,$1$ ડોક્ટર,$7$ પ્રોફેસરો: $^4C_4 \times ^2C_1 \times ^{10}C_7 = 240$.
$4)$ $4$ એન્જિનિયરો,$2$ ડોક્ટરો,$6$ પ્રોફેસરો: $^4C_4 \times ^2C_2 \times ^{10}C_6 = 210$.
કુલ સાનુકૂળ રીતો = $360 + 480 + 240 + 210 = 1290$.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{1290}{1820} = \frac{129}{182}$.

(B) $9$ બેઠકો પર $6$ છોકરાઓ અને $3$ છોકરીઓને ગોઠવવાની કુલ રીતો $9!$ છે.
છેડાની બેઠકો પર છોકરીઓ હોય તે શરત માટે,આપણે $3$ માંથી $2$ છોકરીઓને છેડા માટે $^3P_2 = 3 \times 2 = 6$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ.
બાકીની $7$ બેઠકો $6$ છોકરાઓ અને $1$ છોકરી દ્વારા ભરવાની છે.
કોઈ પણ બે છોકરીઓ બાજુ-બાજુમાં ન હોય તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે પહેલા $6$ છોકરાઓને $6!$ રીતે ગોઠવીએ છીએ.
આનાથી $7$ જગ્યાઓ (ગેપ) બને છે. કારણ કે $2$ છેડાની બેઠકો પહેલેથી જ છોકરીઓ દ્વારા રોકાયેલી છે,તેથી બાકીની $1$ છોકરી માટે $5$ આંતરિક જગ્યાઓ ઉપલબ્ધ છે.
છેલ્લી છોકરીને બેસાડવાની રીતોની સંખ્યા $5$ છે.
કુલ સાનુકૂળ રીતો = $6 \times 6! \times 5 = 30 \times 720 = 21600$.
કુલ શક્ય ગોઠવણીઓ = $9! = 362880$.
સંભાવના = $\frac{21600}{362880} = \frac{5}{84}$.

(C) $20$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $C(20, 3) = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ છે.
ક્રમિક ત્રિપુટીઓ $(1, 2, 3), (2, 3, 4), \dots, (18, 19, 20)$ છે.
આવી કુલ $18$ ત્રિપુટીઓ મળે.
તેથી સંભાવના $\frac{18}{1140} = \frac{3}{190}$ થાય.

(B) કુલ દડાની સંખ્યા $3 + 4 + 2 = 9$ છે.
$9$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $^{9}C_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
ત્રણ અલગ-અલગ રંગના દડા મેળવવા માટે,આપણે એક લાલ,એક વાદળી અને એક લીલો દડો પસંદ કરવો પડે.
દરેક રંગનો એક દડો પસંદ કરવાની રીતો $^{3}C_{1} \times ^{4}C_{1} \times ^{2}C_{1} = 3 \times 4 \times 2 = 24$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{24}{84} = \frac{2}{7}$ છે.

(A) કુલ સંખ્યાઓ $= 6 + 8 = 14$.
$14$ માંથી $4$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $= ^{14}C_4 = 1001$.
$4$ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર ઋણ ત્યારે જ થાય જો:
$i$. એક સંખ્યા ઋણ અને ત્રણ ધન હોય: $^{8}C_1 \times ^{6}C_3 = 8 \times 20 = 160$.
$ii$. ત્રણ સંખ્યાઓ ઋણ અને એક ધન હોય: $^{8}C_3 \times ^{6}C_1 = 56 \times 6 = 336$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 160 + 336 = 496$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{496}{1001}$.

(C) પ્રથમ $100$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $\{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ છે.
$2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\text{lcm}(2, 3) = 6$ ના ગુણકો છે.
આ સંખ્યાઓ $\{6, 12, 18, \ldots, 96\}$ છે.
આવી કુલ સંખ્યાઓ $\lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$ છે.
$100$ માંથી $3$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{100}C_3$ છે.
$16$ ઉપલબ્ધ સંખ્યાઓમાંથી $6$ વડે વિભાજ્ય $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{16}C_3$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{^{16}C_3}{^{100}C_3}$ છે.
$P = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{3 \times 2 \times 1}{100 \times 99 \times 98} = \frac{16 \times 15 \times 14}{100 \times 99 \times 98}$.
$P = \frac{3360}{970200} = \frac{4}{1155}$.

(D) કુલ ટિકિટો = $9$. એકી સંખ્યાઓ ${1, 3, 5, 7, 9}$ ($5$ ટિકિટો) છે અને બેકી સંખ્યાઓ ${2, 4, 6, 8}$ ($4$ ટિકિટો) છે.
કિસ્સો $1$: ક્રમ {એકી,બેકી,એકી} છે.
સંભાવના $P(O_1 \cap E_2 \cap O_3) = \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{80}{504} = \frac{10}{63}$.
કિસ્સો $2$: ક્રમ {બેકી,એકી,બેકી} છે.
સંભાવના $P(E_1 \cap O_2 \cap E_3) = \frac{4}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{60}{504} = \frac{5}{42}$.
કુલ સંભાવના = $\frac{10}{63} + \frac{5}{42} = \frac{20 + 15}{126} = \frac{35}{126} = \frac{5}{18}$.

(B) જ્યારે ત્રણ પાસા ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6^3 = 216$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ઉપરની સપાટી પરના અંકોનો સરવાળો $5$ કરતા ઓછો હોય.
સરવાળો $5$ કરતા ઓછો હોય તેવા શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$(1, 1, 1)$ (સરવાળો $= 3$)
$(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)$ (સરવાળો $= 4$)
તેથી,સરવાળો $5$ કરતા ઓછો હોય તેવા સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 1 + 3 = 4$ છે.
સરવાળો $5$ કરતા ઓછો હોય તેની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}$ છે.
તેથી,ઉપરની સપાટી પરના અંકોનો સરવાળો ઓછામાં ઓછો $5$ હોય તેની સંભાવના $P(\text{સરવાળો} \geq 5) = 1 - P(E) = 1 - \frac{1}{54} = \frac{53}{54}$ છે.

(C) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 6 + 4 = 10$.
$10$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ છે.
દડા સમાન રંગના હોય તે માટે,કાં તો બંને સફેદ હોવા જોઈએ અથવા બંને કાળા હોવા જોઈએ.
$6$ માંથી $2$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ છે.
$4$ માંથી $2$ કાળા દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{4}C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 15 + 6 = 21$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.

(D) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $3 + 4 + 2 = 9$.
$9$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
આપણે $3$ અલગ-અલગ રંગના દડા પસંદ કરવા માંગીએ છીએ,જેનો અર્થ છે કે $1$ લાલ,$1$ વાદળી અને $1$ લીલો દડો.
$1$ લાલ,$1$ વાદળી અને $1$ લીલો દડો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^3C_1 \times ^4C_1 \times ^2C_1 = 3 \times 4 \times 2 = 24$ છે.
માટે,જરૂરી સંભાવના $\frac{24}{84} = \frac{2}{7}$ છે.

(A) $12$ ઘરોમાં $5$ સમાન નમૂનાઓ વહેંચવાની કુલ રીતો $\binom{12}{5} = 792$ છે.
કોઈ પણ બે ક્રમિક ઘરોને નમૂના ન મળે તે માટે,આપણે ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
જે $7$ ઘરોમાં નમૂના નથી મળતા તેમને હરોળમાં ગોઠવો. આનાથી $8$ શક્ય જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે જ્યાં $5$ નમૂનાઓ મૂકી શકાય છે.
$8$ માંથી $5$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{8}{5} = 56$ છે.
સંભાવના $\frac{56}{792} = \frac{7}{99}$ છે.

(C) "$ASSASSINATION$" શબ્દમાં $13$ અક્ષરો છે: $A(3), S(4), I(2), N(2), T(1)$.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{13!}{3!4!2!2!}$.
કોઈ પણ બે $A$ સાથે ન આવે તે માટે,બાકીના $10$ અક્ષરો $(S, S, S, S, I, I, N, N, T)$ ને પહેલા ગોઠવો.
આ $10$ અક્ષરોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{10!}{4!2!2!}$ છે.
આ $10$ અક્ષરો વચ્ચે $11$ જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે જ્યાં $3$ $A$ ને મૂકી શકાય.
$11$ માંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{11}C_3 = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$ છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\frac{10!}{4!2!2!} \times ^{11}C_3}{\frac{13!}{3!4!2!2!}} = \frac{10! \times 165 \times 3!}{13!} = \frac{165 \times 6}{13 \times 12 \times 11} = \frac{15}{26}$.

(B) $12$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો $C(12, 3) = 220$ છે.
બરાબર $2$ દડા સમાન રંગના હોય તે માટે:
કિસ્સો $1$: $2$ લાલ અને $1$ અન્ય રંગનો દડો = $C(4, 2) \times C(8, 1) = 48$.
કિસ્સો $2$: $2$ લીલા અને $1$ અન્ય રંગનો દડો = $C(5, 2) \times C(7, 1) = 70$.
કિસ્સો $3$: $2$ સફેદ અને $1$ અન્ય રંગનો દડો = $C(3, 2) \times C(9, 1) = 27$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $48 + 70 + 27 = 145$.
સંભાવના = $\frac{145}{220} = \frac{29}{44}$.

(C) બાળકોની કુલ સંખ્યા = $8 + 7 = 15$.
$15$ માંથી $3$ ચિઠ્ઠીઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો = $^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$.
કિસ્સો $1$: એક છોકરો અને બે છોકરીઓ.
રીતો = $^8C_1 \times ^7C_2 = 8 \times 21 = 168$.
કિસ્સો $2$: એક છોકરી અને બે છોકરાઓ.
રીતો = $^7C_1 \times ^8C_2 = 7 \times 28 = 196$.
કુલ સાનુકૂળ રીતો = $168 + 196 = 364$.
સંભાવના = $\frac{364}{455} = \frac{4}{5}$.

(D) $30$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $C(30, 3) = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = 4060$ છે.
હવે,$3$ ક્રમિક સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો શોધીએ. આ $(1, 2, 3), (2, 3, 4), \dots, (28, 29, 30)$ છે.
આવી $28$ ક્રમિક સંખ્યાઓની જોડીઓ છે.
$3$ ક્રમિક સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E) = \frac{28}{4060} = \frac{1}{145}$ છે.
તેઓ ત્રણ ક્રમિક સંખ્યાઓ ન હોય તેની સંભાવના $1 - P(E) = 1 - \frac{1}{145} = \frac{144}{145}$ છે.

(C) પગલું $1$: ચલો નક્કી કરો.
કુલ વસ્તુઓ $= 15$.
ખામીયુક્ત વસ્તુઓ $= 3$.
બિન-ખામીયુક્ત વસ્તુઓ $= 15 - 3 = 12$.
નમૂનાનું કદ $= 5$.
આપણે આ નમૂનામાં બરાબર $2$ ખામીયુક્ત વસ્તુઓ પસંદ કરવાની સંભાવના શોધવાની છે.
પગલું $2$: સંયોજનોનો ઉપયોગ કરીને શક્ય પરિણામોની ગણતરી કરો.
સંભાવના હાઇપરજ્યોમેટ્રિક વિતરણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
$1$. $3$ માંથી $2$ ખામીયુક્ત વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતો:
$\binom{3}{2} = 3$.
$2$. $12$ માંથી $3$ બિન-ખામીયુક્ત વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતો:
$\binom{12}{3} = 220$.
$3$. $15$ માંથી $5$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો:
$\binom{15}{5} = 3003$.
પગલું $3$: સંભાવનાની ગણતરી કરો.
$P = \frac{3 \times 220}{3003} = \frac{660}{3003} = \frac{220}{1001}$.
આમ,સાચો જવાબ $\frac{220}{1001}$ છે.

(D) $20$ માંથી $3$ પૂર્ણાંક પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{20}C_3 = 1140$ છે.
$3$ વડે ભાગતા મળતી શેષ મુજબ સંખ્યાઓનું વર્ગીકરણ:
$R_0 = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$ (સંખ્યા $6$)
$R_1 = \{1, 4, 7, 10, 13, 16, 19\}$ (સંખ્યા $7$)
$R_2 = \{2, 5, 8, 11, 14, 17, 20\}$ (સંખ્યા $7$)
સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવા કિસ્સાઓ:
$(I)$ ત્રણેય સંખ્યાઓ $R_0$ માંથી: ${}^{6}C_3 = 20$.
$(II)$ ત્રણેય સંખ્યાઓ $R_1$ માંથી: ${}^{7}C_3 = 35$.
$(III)$ ત્રણેય સંખ્યાઓ $R_2$ માંથી: ${}^{7}C_3 = 35$.
$(IV)$ દરેક ગણ $R_0, R_1, R_2$ માંથી એક-એક સંખ્યા: ${}^{6}C_1 \times {}^{7}C_1 \times {}^{7}C_1 = 294$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 20 + 35 + 35 + 294 = 384$.
સંભાવના $= \frac{384}{1140} = \frac{32}{85}$.

(D) સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ છે.
સમાન બીજ માટે વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $D = b^2 - 4ac = 0$,જેનો અર્થ છે $b^2 = 4ac$.
પાસા પરના અંકો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે. કુલ શક્યતાઓ $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
આપણે એવી ત્રિપુટીઓ $(a, b, c)$ શોધવાની છે જેના માટે $b^2 = 4ac$ થાય.

$b$	$(a, c)$	ગણતરી
$b=1$	$1 = 4ac$ (શક્ય નથી)	$0$
$b=2$	$4 = 4ac \implies ac = 1 \implies (1, 1)$	$1$
$b=3$	$9 = 4ac$ (શક્ય નથી)	$0$
$b=4$	$16 = 4ac \implies ac = 4 \implies (1, 4), (4, 1), (2, 2)$	$3$
$b=5$	$25 = 4ac$ (શક્ય નથી)	$0$
$b=6$	$36 = 4ac \implies ac = 9 \implies (3, 3)$	$1$

કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 3 + 1 = 5$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{5}{216}$.

(C) $8$ કાર્ડમાંથી બદલી સાથે બે કાર્ડ પસંદ કરતી વખતે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $8 \times 8 = 64$ છે.
ધારો કે પસંદ કરેલી બે સંખ્યાઓ $(x, y)$ છે જ્યાં $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.
આપણે $xy$ નો ગુણાકાર પૂર્ણ વર્ગ હોય તે જરૂરી છે.
જે જોડીઓ $(x, y)$ નો ગુણાકાર પૂર્ણ વર્ગ છે તે છે:
$(1, 1), (1, 4), (2, 2), (2, 8), (3, 3), (4, 1), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 2), (8, 8)$.
આવા $12$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
તેથી,સંભાવના $P = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}$ છે.

(B) કુલ સિક્કા = $12 + 7 + 4 = 23$. $3$ સિક્કા પસંદ કરવાની કુલ રીતો = ${}^{23}C_3$. \\ સિક્કાના મૂલ્યનો સરવાળો એક રૂપિયાનો પૂર્ણાંક ગુણક ન હોય જો પસંદ કરેલા $50$ પૈસાના સિક્કાની સંખ્યા એકી હોય. \\ $50$ પૈસાના સિક્કાની સંખ્યા એકી હોય તેવી શક્યતાઓ: \\ $(i)$ $1$ પચાસ પૈસાનો સિક્કો અને $2$ અન્ય સિક્કા: ${}^{4}C_1 \times {}^{19}C_2$. \\ $(ii)$ $3$ પચાસ પૈસાના સિક્કા: ${}^{4}C_3$. \\ કુલ સાનુકૂળ રીતો = ${}^{4}C_1 \times {}^{19}C_2 + {}^{4}C_3$. \\ આમ,સંભાવના $\frac{4({}^{12}C_1 \times {}^{7}C_1 + {}^{12}C_2 + {}^{7}C_2) + {}^{4}C_3}{{}^{23}C_3}$ છે.

(D) $52$ પત્તામાંથી $3$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{52}C_3 = \frac{52 \times 51 \times 50}{3 \times 2 \times 1} = 22100$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોમાં $4$ માંથી $1$ એક્કો,$4$ માંથી $1$ રાણી અને $4$ માંથી $1$ ગલ્લો પસંદ કરવાનો સમાવેશ થાય છે.
આ ${}^{4}C_1 \times {}^{4}C_1 \times {}^{4}C_1 = 4 \times 4 \times 4 = 64$ રીતે કરી શકાય છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{64}{22100} = \frac{16}{5525}$ છે.

(D) કુલ બોટલની સંખ્યા = $6 + 3 + 4 = 13$.
$13$ માંથી $3$ બોટલ પસંદ કરવાની રીતો = $^{13}C_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ત્રણેય બોટલ એક જ પ્રકારની છે.
$E$ ત્યારે થાય જો આપણે $V_1$ ની $3$ બોટલ,અથવા $V_2$ ની $3$ બોટલ,અથવા $V_3$ ની $3$ બોટલ પસંદ કરીએ.
એક જ પ્રકારની $3$ બોટલ પસંદ કરવાની રીતો = $^6C_3 + ^3C_3 + ^4C_3$.
$^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
$^3C_3 = 1$.
$^4C_3 = 4$.
$E$ માટે કુલ સાનુકૂળ રીતો = $20 + 1 + 4 = 25$.
$P(E) = \frac{25}{286}$.
ત્રણેય બોટલ એક જ પ્રકારની ન હોય તેની સંભાવના = $1 - P(E) = 1 - \frac{25}{286} = \frac{286 - 25}{286} = \frac{261}{286}$.

(D) $52$ પત્તાંમાંથી $4$ પત્તાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{52}C_{4}$ છે.
એક કેટમાં $4$ પ્રકારના સૂટ હોય છે,જેમાં દરેક સૂટમાં $13$ પત્તાં હોય છે.
એક જ સૂટના $4$ પત્તાં પસંદ કરવાની રીતો $4 \times ^{13}C_{4}$ છે.
સંભાવના $P$ નીચે મુજબ છે:
$P = \frac{4 \times ^{13}C_{4}}{^{52}C_{4}}$
$P = \frac{4 \times 715}{270725} = \frac{2860}{270725}$
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા:
$P = \frac{44}{4165}$

(A) કુલ શર્ટની સંખ્યા $= 6 + 4 + 2 + 3 = 15$.
$15$ માંથી $2$ શર્ટ પસંદ કરવાની રીતો $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ છે.
$2$ સફેદ શર્ટ પસંદ કરવાની રીતો $^{2}C_2 = 1$ છે.
$3$ વાદળી શર્ટ પસંદ કરવાની રીતો $^{3}C_2 = 3$ છે.
આ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,સંભાવના:
$P = \frac{^{2}C_2 + ^{3}C_2}{^{15}C_2} = \frac{1 + 3}{105} = \frac{4}{105}$.

(B) કુલ દડાની સંખ્યા = $5 + 7 = 12$.
આપણે $12$ દડામાંથી $9$ દડા પસંદ કરવાના છે.
કુલ પસંદગીના પ્રકારો $n(S) = {}^{12}C_9 = {}^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
આપણે $5$ સફેદ દડામાંથી $3$ સફેદ દડા અને $7$ કાળા દડામાંથી $6$ કાળા દડા પસંદ કરવાના છે.
$3$ સફેદ દડા પસંદ કરવાના પ્રકારો ${}^5C_3 = {}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
$6$ કાળા દડા પસંદ કરવાના પ્રકારો ${}^7C_6 = {}^7C_1 = 7$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(P) = 10 \times 7 = 70$.
સંભાવના $P = \frac{n(P)}{n(S)} = \frac{70}{220} = \frac{7}{22}$.

(D) $64$ માંથી $3$ ચોરસ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{64}C_3$ છે.
એક રંગના $2$ ચોરસ અને બીજા રંગનો $1$ ચોરસ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $(2 \text{ સફેદ, } 1 \text{ કાળો})$ અથવા $(1 \text{ સફેદ, } 2 \text{ કાળો})$ છે.
આ $^{32}C_2 \cdot ^{32}C_1 + ^{32}C_1 \cdot ^{32}C_2 = 2 \cdot ^{32}C_2 \cdot ^{32}C_1$ જેટલું છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{2 \cdot ^{32}C_2 \cdot ^{32}C_1}{^{64}C_3} = \frac{2 \cdot \frac{32 \times 31}{2} \times 32}{\frac{64 \times 63 \times 62}{6}} = \frac{16}{21}$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) ત્રણ નિષ્પક્ષ પાસા ફેંકતા અલગ-અલગ અંક મળે તેવા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120$ છે.
ત્રણ અલગ-અલગ અંકોનો સરવાળો $8$ થાય તેવી શક્યતાઓ $(1, 2, 5)$ અને $(1, 3, 4)$ છે.
આવી $2$ શક્યતાઓ છે.
દરેક શક્યતાને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય,તેથી સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2 \times 6 = 12$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{12}{120} = \frac{1}{10}$ છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) એક પાસા પર પીળા $(Y)$,લાલ $(R)$,અને વાદળી $(B)$ રંગ મળવાની સંભાવનાઓ છે: $P(Y) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$,$P(R) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$,અને $P(B) = \frac{1}{6}$.
આપણે $3$ પ્રયત્નોમાં એક પીળી,એક લાલ અને એક વાદળી બાજુ મળે તેની સંભાવના શોધીએ છીએ.
$(Y, R, B)$ ના ક્રમ ગોઠવવાની રીતો $3! = 6$ છે.
કોઈપણ એક ચોક્કસ ક્રમ (દા.ત.,$Y, R, B$) ની સંભાવના $P(Y) \times P(R) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ છે.
આવા $6$ ક્રમ હોવાથી,કુલ સંભાવના $6 \times \frac{1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ થાય.