Equation of pair of straight lines Questions in Gujarati

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $4x^2 + kxy + y^2 = 0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$,$2h = k$ (તેથી $h = k/2$),અને $b = 1$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -k$ અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = 4$.
આપેલ શરત મુજબ,$m_1 = 4m_2$.
ઢાળના સરવાળામાં આ કિંમત મૂકતા: $4m_2 + m_2 = -k \implies 5m_2 = -k \implies m_2 = -k/5$.
ઢાળના ગુણાકારમાં આ કિંમત મૂકતા: $(4m_2)(m_2) = 4 \implies 4m_2^2 = 4 \implies m_2^2 = 1 \implies m_2 = \pm 1$.
તેથી,$-k/5 = \pm 1$,જેનો અર્થ છે કે $k = \mp 5$.
આમ,$k$ ની કિંમત $5$ છે.

(B) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,$b(y/x)^2 + 2h(y/x) + a = 0$ મળે.
ધારો કે $m = y/x$,તેથી $bm^2 + 2hm + a = 0$.
બીજ $m_1$ અને $m_2$ છે,તેથી $m_1 + m_2 = -2h/b$ અને $m_1m_2 = a/b$.
$m_1 = 4m_2$ લેતા,$m_1 + m_2 = 5m_2 = -2h/b$ અને $m_1m_2 = 4m_2^2 = a/b$.
આ કિંમતો $16h^2 = 25ab$ શરતને સંતોષે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) બીજું સમીકરણ $6x^2 - xy - 5y^2 = 0$ છે. તેના અવયવો પાડતા,આપણને $(6x + 5y)(x - y) = 0$ મળે છે. તેથી રેખાઓ $y = -\frac{6}{5}x$ અને $y = x$ છે.
જો $y = x$ સામાન્ય રેખા હોય,તો તે $3x^2 - 5x(x) + p(x)^2 = 0$ નું સમાધાન કરે,જે $3x^2 - 5x^2 + px^2 = 0$ આપે છે,તેથી $p = 2$.
જો $y = -\frac{6}{5}x$ સામાન્ય રેખા હોય,તો તે $3x^2 - 5x(-\frac{6}{5}x) + p(-\frac{6}{5}x)^2 = 0$ નું સમાધાન કરે.
આનું સાદું રૂપ $3x^2 + 6x^2 + p(\frac{36}{25})x^2 = 0$ થાય છે,જે $9x^2 + \frac{36p}{25}x^2 = 0$ આપે છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $9 + \frac{36p}{25} = 0$ મળે,તેથી $\frac{36p}{25} = -9$,જેનો અર્થ છે કે $p = -9 \times \frac{25}{36} = -\frac{25}{4}$.
આમ,$p = 2$ અથવા $p = -\frac{25}{4}$.

(D) રેખાઓની જોડીનું આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2x^2 - 4xy - xy + 2y^2 = 0$.
$2x(x - 2y) - y(x - 2y) = 0$.
$(2x - y)(x - 2y) = 0$.
આમ,રેખાઓના અલગ સમીકરણો $L_1: 2x - y = 0$ અને $L_2: x - 2y = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $(2, -1)$ માટે:
$P_1 = \frac{|2(2) - (-1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|4 + 1|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.
$P_2 = \frac{|(2) - 2(-1)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|2 + 2|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
તેથી,$P_1 P_2 = \sqrt{5} \times \frac{4}{\sqrt{5}} = 4$.

(C) રેખાના સમીકરણનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે,જ્યાં $p$ એ ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર છે અને $\alpha$ એ લંબ દ્વારા $X$-અક્ષની ધન દિશા સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
રેખા $L_1$ માટે,$\alpha = \frac{\pi}{4}$ અને $p = 1$:
$x \cos \frac{\pi}{4} + y \sin \frac{\pi}{4} = 1$
$\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}} = 1$
$\Rightarrow x + y - \sqrt{2} = 0$
રેખા $L_2$ માટે,$\alpha = \frac{3 \pi}{4}$ અને $p = 1$:
$x \cos \frac{3 \pi}{4} + y \sin \frac{3 \pi}{4} = 1$
$\Rightarrow -\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}} = 1$
$\Rightarrow -x + y - \sqrt{2} = 0$
$\Rightarrow x - y + \sqrt{2} = 0$
સંયુક્ત સમીકરણ એ બંને વ્યક્તિગત સમીકરણોનો ગુણાકાર છે:
$(x + y - \sqrt{2})(x - y + \sqrt{2}) = 0$
$x^2 - y^2 + 2\sqrt{2}y - 2 = 0$

(B) રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ અને $m_2 = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
રેખાઓના સમીકરણો $y = \sqrt{3}x$ અને $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ છે,જેને $(\sqrt{3}x - y) = 0$ અને $(x - \sqrt{3}y) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
તેમનું સંયુક્ત સમીકરણ $(\sqrt{3}x - y)(x - \sqrt{3}y) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા,$\sqrt{3}x^2 - 3xy - xy + \sqrt{3}y^2 = 0$.
$\sqrt{3}x^2 - 4xy + \sqrt{3}y^2 = 0$.
$\sqrt{3}(x^2 + y^2) = 4xy$.

(B) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $b(\frac{y}{x})^2+2h(\frac{y}{x})+a=0$ મળે છે.
ધારો કે $m_1 = \tan \alpha$ અને $m_2 = \tan \beta$ એ રેખાઓના ઢાળ છે.
તેથી $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{m_1+m_2}{1-m_1 m_2}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\tan(\alpha+\beta) = \frac{-\frac{2h}{b}}{1-\frac{a}{b}} = \frac{-\frac{2h}{b}}{\frac{b-a}{b}} = \frac{-2h}{b-a} = \frac{2h}{a-b}$ મળે છે.

(B) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^{2} + hxy + by^{2} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ રેખાઓ સંપાતી હોય તે માટે,દ્વિઘાત સ્વરૂપનો વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
રેખાઓ સંપાતી હોવાની શરત $h^{2} - 4ab = 0$ છે.
તેથી,$h^{2} = 4ab$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $3x^{2}-2\sqrt{3}xy-3y^{2}=0$
મધ્યમ પદને વિભાજિત કરતા: $3x^{2}-3\sqrt{3}xy+\sqrt{3}xy-3y^{2}=0$
સામાન્ય અવયવ લેતા: $3x(x-\sqrt{3}y)+\sqrt{3}y(x-\sqrt{3}y)=0$
$(3x+\sqrt{3}y)(x-\sqrt{3}y)=0$
તેથી,અલગ સમીકરણો $3x+\sqrt{3}y=0$ અને $x-\sqrt{3}y=0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $4x^{2} + 2hxy - 7y^{2} = 0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 4$,$2h = 2h$ અને $b = -7$ મળે છે.
ધારો કે $m_{1}$ અને $m_{2}$ રેખાઓના ઢાળ છે.
ઢાળનો સરવાળો $m_{1} + m_{2} = -\frac{2h}{b} = -\frac{2h}{-7} = \frac{2h}{7}$ છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_{1}m_{2} = \frac{a}{b} = \frac{4}{-7} = -\frac{4}{7}$ છે.
આપેલ છે કે ઢાળનો સરવાળો અને ગુણાકાર સમાન છે,તેથી $\frac{2h}{7} = -\frac{4}{7}$.
બંને બાજુ $7$ વડે ગુણતા,$2h = -4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $h = -2$.

(A) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy=0$ છે.
એક રેખા યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાનો દ્વિભાજક હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y=x$ અથવા $y=-x$ એટલે કે $x-y=0$ અથવા $x+y=0$ થાય.
ધારો કે બીજી રેખા $lx+my+n=0$ છે.
કિસ્સો $1$: જો રેખા $x-y=0$ હોય,તો $(x-y)(lx+my+n) = lx^{2} + (m-l)xy - my^{2} + nx - ny = 0$.
આને આપેલ સમીકરણ $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g = -f$ મળે છે.
આ શરતોને આધારે,સાચો સંબંધ $(a+b)^{2}=4(h^{2}+g^{2})$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $9x^{2}-12xy+4y^{2}=0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=9$,$2h=-12$ (તેથી $h=-6$),અને $b=4$ મળે છે.
રેખાઓનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે $h^{2}-ab$ ની ગણતરી કરીએ:
$h^{2}-ab = (-6)^{2} - (9 \times 4) = 36 - 36 = 0$.
કારણ કે $h^{2}-ab=0$ છે,તેથી સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ સંપાતી છે.

(A) બે રેખાઓના ઢાળ $m_1 = 1+\sqrt{2}$ અને $m_2 = \frac{1}{1+\sqrt{2}}$ છે.
$m_2$ નું સંમેયીકરણ કરતા: $m_2 = \frac{1}{\sqrt{2}+1} \times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}-1$.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ $(y-m_1 x)(y-m_2 x) = 0$ છે,જે $y^2 - (m_1+m_2)xy + m_1 m_2 x^2 = 0$ માં પરિણમે છે.
ઢાળનો સરવાળો: $m_1+m_2 = (1+\sqrt{2}) + (\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2}$.
ઢાળનો ગુણાકાર: $m_1 m_2 = (1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2-1 = 1$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $y^2 - (2\sqrt{2})xy + 1x^2 = 0$,એટલે કે $x^2 - 2\sqrt{2}xy + y^2 = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ $5x^2 + xy - kx - 2y + 2 = 0$ છે. કારણ કે આ બે રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે અને એક રેખા $5x + y - 1 = 0$ છે,આપણે સમીકરણને $(5x + y - 1)(ax + c) = 0$ તરીકે લખી શકીએ.
ગુણાકાર કરતા: $5ax^2 + axy + (5c - a)x + cy - c = 0$.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા:
$xy$ પદ પરથી,$a = 1$.
અચળ પદ પરથી,$-c = 2$,તેથી $c = -2$.
$x$ ના સહગુણક પરથી,$-k = 5c - a$.
કિંમતો મૂકતા: $-k = 5(-2) - 1 = -11$.
તેથી,$k = 11$.

(A) આપેલ સમીકરણ $px^2 - qy^2 = 0$ છે.
તેને દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = p$,$h = 0$,અને $b = -q$ મળે છે.
રેખાઓ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોય જો $h^2 - ab > 0$ હોય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $0^2 - (p)(-q) > 0$ મળે છે.
આથી $pq > 0$ મળે છે.

(A) યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકો $y = x$ અને $y = -x$ છે,જેને $x - y = 0$ અને $x + y = 0$ તરીકે લખી શકાય.
જરૂરી રેખાઓ આ દ્વિભાજકોને સમાંતર છે અને $(-2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેમના સમીકરણો:
$1) (x - y) - (-2 - 3) = 0 \implies x - y + 5 = 0$
$2) (x + y) - (-2 + 3) = 0 \implies x + y - 1 = 0$
સંયુક્ત સમીકરણ $(x - y + 5)(x + y - 1) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - y^2 + 4x + 6y - 5 = 0$.

(C) આપેલ રેખા $3x + y = 0$ છે,જેને $y = -3x$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -3$ છે.
ધારો કે જરૂરી રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે. રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ હોવાથી,આપણે $\tan \theta = |\frac{m - m_1}{1 + m m_1}|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\tan 45^{\circ} = |\frac{m - (-3)}{1 + m(-3)}| = |\frac{m + 3}{1 - 3m}|$.
$1 = |\frac{m + 3}{1 - 3m}| \Rightarrow 1 - 3m = \pm(m + 3)$.
કિસ્સો $1$: $1 - 3m = m + 3$ $\Rightarrow 4m = -2$ $\Rightarrow m = -1/2$.
કિસ્સો $2$: $1 - 3m = -(m + 3)$ $\Rightarrow 1 - 3m = -m - 3$ $\Rightarrow 2m = 4$ $\Rightarrow m = 2$.
રેખાઓ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેમના સમીકરણો $y = -\frac{1}{2}x$ અને $y = 2x$ છે.
આને $x + 2y = 0$ અને $2x - y = 0$ તરીકે લખી શકાય.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x + 2y)(2x - y) = 0$ છે.
$2x^2 - xy + 4xy - 2y^2 = 0 \Rightarrow 2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0$.

(C) રેખા $3x+y-6=0$ નો ઢાળ $m_1 = -3$ છે. ધારો કે રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે જે આપેલી રેખા સાથે $\theta = \frac{\pi}{6}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{m - (-3)}{1 + m(-3)} \right| = \left| \frac{m+3}{1-3m} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{3} = \frac{(m+3)^2}{(1-3m)^2} \Rightarrow (1-3m)^2 = 3(m+3)^2$.
$1 - 6m + 9m^2 = 3(m^2 + 6m + 9) = 3m^2 + 18m + 27$.
$6m^2 - 24m - 26 = 0 \Rightarrow 3m^2 - 12m - 13 = 0$.
સંયુક્ત સમીકરણ મેળવવા માટે $m = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$3(\frac{y}{x})^2 - 12(\frac{y}{x}) - 13 = 0$.
$x^2$ વડે ગુણતા:
$3y^2 - 12xy - 13x^2 = 0 \Rightarrow 13x^2 + 12xy - 3y^2 = 0$.

(C) રેખાઓ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને ધન $Y$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આ રેખાઓ ધન $X$-અક્ષ સાથે $90^{\circ} \pm 30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,જે $60^{\circ}$ અને $120^{\circ}$ છે.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ અને $m_2 = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ છે.
રેખાઓના સમીકરણો $y = \sqrt{3}x$ અને $y = -\sqrt{3}x$ છે,જેને $y - \sqrt{3}x = 0$ અને $y + \sqrt{3}x = 0$ તરીકે લખી શકાય.
સંયુક્ત સમીકરણ $(y - \sqrt{3}x)(y + \sqrt{3}x) = 0$ છે.
આનું સાદું રૂપ $y^2 - 3x^2 = 0$ અથવા $3x^2 - y^2 = 0$ થાય છે.

(A) ધારો કે બે રેખાઓ $OA$ અને $OB$ છે જે ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
દરેક રેખા $Y$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી તેઓ ધન $X$-અક્ષ સાથે $90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$ અને $90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ અને $m_2 = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ છે.
રેખાઓના સમીકરણો $y = \sqrt{3}x$ અને $y = -\sqrt{3}x$ છે,જેને $\sqrt{3}x - y = 0$ અને $\sqrt{3}x + y = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
રેખાઓની જોડીનું સંયુક્ત સમીકરણ $(\sqrt{3}x - y)(\sqrt{3}x + y) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(\sqrt{3}x)^2 - y^2 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $3x^2 - y^2 = 0$ થાય છે.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી અને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ ને લંબ રેખાઓની જોડનું સમીકરણ $b(x - x_1)^2 - 2h(x - x_1)(y - y_1) + a(y - y_1)^2 = 0$ છે.
અહીં $a = 5$,$h = 1$,$b = -3$ અને $(x_1, y_1) = (3, -2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$-3(x - 3)^2 - 2(x - 3)(y + 2) + 5(y + 2)^2 = 0$
વિસ્તરણ કરતા:
$-3(x^2 - 6x + 9) - 2(xy + 2x - 3y - 6) + 5(y^2 + 4y + 4) = 0$
$-3x^2 + 18x - 27 - 2xy - 4x + 6y + 12 + 5y^2 + 20y + 20 = 0$
સાદું રૂપ આપતા:
$3x^2 + 2xy - 5y^2 - 14x - 26y - 5 = 0$.

(A) રેખાઓ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને રેખા $y=5$ સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે. ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,દરેક રેખા $y$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,રેખાઓ ધન $x$-અક્ષ સાથે $90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$ અને $90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$ ના ખૂણા બનાવે છે.
રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ અને $m_2 = \tan 120^{\circ} = -\sqrt{3}$ છે.
રેખાઓના સમીકરણો $y = \sqrt{3}x$ અને $y = -\sqrt{3}x$ છે.
તેથી,$y - \sqrt{3}x = 0$ અને $y + \sqrt{3}x = 0$.
સંયુક્ત સમીકરણ $(y - \sqrt{3}x)(y + \sqrt{3}x) = 0$ થશે.
$y^2 - 3x^2 = 0$,જેને $3x^2 - y^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $2 x^2+5 x y+3 y^2=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2 x^2+2 x y+3 x y+3 y^2=0$ $\Rightarrow 2 x(x+y)+3 y(x+y)=0$ $\Rightarrow (2 x+3 y)(x+y)=0$.
વ્યક્તિગત રેખાઓ $2 x+3 y=0$ અને $x+y=0$ છે.
આ રેખાઓને લંબ અને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ $3 x-2 y=0$ અને $x-y=0$ છે.
તેમનું સંયુક્ત સમીકરણ $(3 x-2 y)(x-y)=0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $3 x^2-3 x y-2 x y+2 y^2=0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $3 x^2-5 x y+2 y^2=0$ થાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{a} + \frac{2xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{b}(\frac{y}{x})^2 + \frac{2}{h}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{a} = 0$ મળે છે.
ધારો કે ઢાળ $m$ અને $2m$ છે.
બીજના સરવાળા પરથી,$m + 2m = 3m = -\frac{2/h}{1/b} = -\frac{2b}{h}$,તેથી $m = -\frac{2b}{3h}$.
બીજના ગુણાકાર પરથી,$m \cdot 2m = 2m^2 = \frac{1/a}{1/b} = \frac{b}{a}$.
ગુણાકારના સમીકરણમાં $m$ ની કિંમત મૂકતા: $2(-\frac{2b}{3h})^2 = \frac{b}{a}$.
$2 \cdot \frac{4b^2}{9h^2} = \frac{b}{a}$.
$\frac{8b^2}{9h^2} = \frac{b}{a}$.
$\frac{ab}{h^2} = \frac{9}{8}$.
આમ,$ab : h^2 = 9:8$.

(B) ધારો કે રેખા $y=x$ નો ઢાળ $m_1 = 1 = \tan 45^\circ$ છે. ધારો કે જરૂરી રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે. રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે.
સૂત્ર $\tan \alpha = |\frac{m-1}{1+m}|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{m-1}{1+m} = \tan \alpha$ અથવા $\frac{m-1}{1+m} = -\tan \alpha$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $m = \tan(45^\circ + \alpha)$ અને $m = \tan(45^\circ - \alpha)$.
રેખાઓના સમીકરણો $y = \tan(45^\circ + \alpha)x$ અને $y = \tan(45^\circ - \alpha)x$ છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(y - x\tan(45^\circ + \alpha))(y - x\tan(45^\circ - \alpha)) = 0$ છે.
સરળ બનાવતા,$y^2 - xy(\frac{2}{\cos 2\alpha}) + x^2 = 0$.
આમ,$x^2 - 2xy \sec 2\alpha + y^2 = 0$ મળે છે.

(A) પ્રથમ ચરણ એ ધન $x$-અક્ષ $(0^\circ)$ અને ધન $y$-અક્ષ $(90^\circ)$ વચ્ચેનો વિસ્તાર છે.
પ્રથમ ચરણના ત્રણ સમાન ભાગ કરતી રેખાઓ ધન $x$-અક્ષ સાથે $30^\circ$ અને $60^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આ રેખાઓના સમીકરણો $y = \tan(30^\circ)x$ અને $y = \tan(60^\circ)x$ છે.
$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x \implies x - \sqrt{3}y = 0$
$y = \sqrt{3}x \implies \sqrt{3}x - y = 0$
સંયુક્ત સમીકરણ $(x - \sqrt{3}y)(\sqrt{3}x - y) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $\sqrt{3}x^2 - xy - 3xy + \sqrt{3}y^2 = 0$.
$\sqrt{3}x^2 - 4xy + \sqrt{3}y^2 = 0$.

(C) રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $m_2 = \tan(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
રેખાઓ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,તેમના સમીકરણો $y = m_1 x$ અને $y = m_2 x$ છે.
ઢાળની કિંમતો મૂકતા,આપણને $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ અને $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ મળે છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $x - \sqrt{3}y = 0$ અને $x + \sqrt{3}y = 0$ મળે છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x - \sqrt{3}y)(x + \sqrt{3}y) = 0$ છે.
નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x^2 - (\sqrt{3}y)^2 = 0$ મળે છે.
તેથી,સંયુક્ત સમીકરણ $x^2 - 3y^2 = 0$ છે.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ છે. કારણ કે તેઓ રેખા $y=3$ સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી આ રેખાઓ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલ ખૂણો $60^{\circ}$ અને $120^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ અને $m_2 = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ છે.
રેખાઓના સમીકરણો $y = \sqrt{3}x$ અને $y = -\sqrt{3}x$ છે.
તેમને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{3}x - y = 0$ અને $\sqrt{3}x + y = 0$ મળે છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(\sqrt{3}x - y)(\sqrt{3}x + y) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(\sqrt{3}x)^2 - y^2 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $3x^2 - y^2 = 0$ થાય છે.

(D) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan \alpha$ અને $m_2 = \tan \beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો પરથી:
$m_1+m_2 = \tan \alpha + \tan \beta = -\frac{2h}{b}$
$m_1m_2 = \tan \alpha \tan \beta = \frac{a}{b}$
$\tan(\alpha+\beta)$ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$
કિંમતો મૂકતા:
$\tan(\alpha+\beta) = \frac{-\frac{2h}{b}}{1 - \frac{a}{b}} = \frac{-\frac{2h}{b}}{\frac{b-a}{b}} = \frac{-2h}{b-a} = \frac{2h}{a-b}$

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $2x^2 - 4xy - xy + 2y^2 = 0 \Rightarrow 2x(x - 2y) - y(x - 2y) = 0$.
તેથી,રેખાઓ $2x - y = 0$ અને $x - 2y = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
બિંદુ $(2, -1)$ અને રેખા $2x - y = 0$ માટે,અંતર $d_1 = \frac{|2(2) - 1(-1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{5}}$.
બિંદુ $(2, -1)$ અને રેખા $x - 2y = 0$ માટે,અંતર $d_2 = \frac{|1(2) - 2(-1)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
અંતરનો ગુણાકાર $d_1 \times d_2 = \frac{5}{\sqrt{5}} \times \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{20}{5} = 4$ એકમ થાય.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2-4xy+y^2=0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $1-4(\frac{y}{x})+(\frac{y}{x})^2=0$ મળે છે.
ધારો કે $m = \tan \theta = \frac{y}{x}$,તો $m^2-4m+1=0$.
રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan \alpha$ અને $m_2 = \tan \beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,બીજનો સરવાળો $\tan \alpha + \tan \beta = 4$ અને બીજનો ગુણાકાર $\tan \alpha \cdot \tan \beta = 1$ છે.
આપણે $\cot^2 \alpha + \cot^2 \beta = \frac{1}{\tan^2 \alpha} + \frac{1}{\tan^2 \beta} = \frac{\tan^2 \alpha + \tan^2 \beta}{(\tan \alpha \cdot \tan \beta)^2}$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $\tan^2 \alpha + \tan^2 \beta = (\tan \alpha + \tan \beta)^2 - 2 \tan \alpha \tan \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^2 \alpha + \tan^2 \beta = (4)^2 - 2(1) = 16 - 2 = 14$.
તેથી,$\cot^2 \alpha + \cot^2 \beta = \frac{14}{1^2} = 14$.

(C) $ax^2+2hxy+by^2=0$ રેખાઓની જોડી માટે,ધારો કે ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
આપણને મળે છે $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1m_2 = \frac{a}{b}$.
આપેલ છે કે એક ઢાળ બીજા કરતાં બમણો છે,તેથી $m_1 = 2m_2$ લો.
ઢાળના સરવાળામાં આ કિંમત મૂકતા: $2m_2 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ $\Rightarrow 3m_2 = -\frac{2h}{b}$ $\Rightarrow m_2 = -\frac{2h}{3b}$.
ઢાળના ગુણાકારમાં આ કિંમત મૂકતા: $m_1m_2 = (2m_2)m_2 = 2m_2^2 = \frac{a}{b}$.
તેથી,$2(-\frac{2h}{3b})^2 = \frac{a}{b} \Rightarrow 2(\frac{4h^2}{9b^2}) = \frac{a}{b}$.
$\frac{8h^2}{9b^2} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{h^2}{ab} = \frac{9}{8}$.
આમ,$h^2:ab = 9:8$.

(C) બે રેખાઓના ઢાળ $m_1 = 1+\sqrt{2}$ અને $m_2 = \frac{1}{1+\sqrt{2}}$ છે.
$m_2$ નું સંમેયીકરણ કરતા: $m_2 = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \sqrt{2}-1$.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓના સમીકરણો $y = (1+\sqrt{2})x$ અને $y = (\sqrt{2}-1)x$ છે.
તેથી,$(1+\sqrt{2})x - y = 0$ અને $(\sqrt{2}-1)x - y = 0$.
તેમનું સંયુક્ત સમીકરણ: $[(1+\sqrt{2})x - y][(\sqrt{2}-1)x - y] = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2\sqrt{2}xy + y^2 = 0$.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $m_1 = \sqrt{3}+1$ તથા $m_2 = \sqrt{3}-1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાઓના સમીકરણો $y = m_1 x$ અને $y = m_2 x$ છે.
રેખાઓની જોડી $y = m_1 x$ અને $y = m_2 x$ માટેનું સહાયક સમીકરણ $(m - m_1)(m - m_2) = 0$ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$(m - (\sqrt{3}+1))(m - (\sqrt{3}-1)) = 0$
$m^2 - m(\sqrt{3}-1) - m(\sqrt{3}+1) + (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = 0$
$m^2 - m(2\sqrt{3}) + (3 - 1) = 0$
$m^2 - 2\sqrt{3}m + 2 = 0$

(C) આપેલ રેખા $x+y=0$ છે,જેનો ઢાળ $m_{1} = -1$ છે.
ધારો કે જરૂરી રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ હોવાથી,આપણે સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_{1}}{1 + m m_{1}} \right|$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કિંમતો મૂકતા: $\tan 30^{\circ} = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \right| = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{3} = \frac{(m+1)^{2}}{(1-m)^{2}}$.
$(1-m)^{2} = 3(m+1)^{2} \Rightarrow 1 - 2m + m^{2} = 3(m^{2} + 2m + 1)$.
$1 - 2m + m^{2} = 3m^{2} + 6m + 3$.
$2m^{2} + 8m + 2 = 0 \Rightarrow m^{2} + 4m + 1 = 0$.
$m = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\left( \frac{y}{x} \right)^{2} + 4\left( \frac{y}{x} \right) + 1 = 0$.
$x^{2}$ વડે ગુણતા: $y^{2} + 4xy + x^{2} = 0$ અથવા $x^{2} + 4xy + y^{2} = 0$.

(C) રેખાઓની જોડીનું આપેલ સમીકરણ $x^{2}+kxy+2y^{2}=0$ છે.
કારણ કે $x+2y=0$ એ એક રેખા છે,આપણે $x = -2y$ લખી શકીએ.
$x = -2y$ ને $x^{2}+kxy+2y^{2}=0$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-2y)^{2} + k(-2y)y + 2y^{2} = 0$
$4y^{2} - 2ky^{2} + 2y^{2} = 0$
$6y^{2} - 2ky^{2} = 0$
$2y^{2}(3 - k) = 0$
આ રેખા પરના તમામ બિંદુઓ માટે સાચું હોવું જોઈએ,તેથી $3 - k = 0$,જેનો અર્થ છે કે $k = 3$.

(C) આપેલ રેખાઓનું સમીકરણ $k x^{2}+x y-y^{2}=0$ છે.
$x^{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $k + \frac{y}{x} - (\frac{y}{x})^{2} = 0$ મળે છે.
ધારો કે $m = \frac{y}{x}$ એ રેખાઓનો ઢાળ છે. તેથી સહાયક સમીકરણ $-m^{2} + m + k = 0$ થાય.
જેহেতু એક રેખા યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = \pm 1$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: જો $m = 1$ હોય,તો $-(1)^{2} + 1 + k = 0 \implies -1 + 1 + k = 0 \implies k = 0$.
કિસ્સો $2$: જો $m = -1$ હોય,તો $-(-1)^{2} + (-1) + k = 0 \implies -1 - 1 + k = 0 \implies k = 2$.
આમ,$k$ ની કિંમતો $0$ અને $2$ છે.

(B) રેખાઓ પ્રથમ ચરણમાં $90^{\circ}$ ના ખૂણાનું ત્રિભાજન કરે છે. તેથી,આ રેખાઓ દ્વારા ધન $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા $30^{\circ}$ અને $60^{\circ}$ છે.
રેખા $L_{1}$ એ $x$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે: $y = \tan(30^{\circ})x$ $\Rightarrow y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ $\Rightarrow x - \sqrt{3}y = 0$.
રેખા $L_{2}$ એ $x$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે: $y = \tan(60^{\circ})x$ $\Rightarrow y = \sqrt{3}x$ $\Rightarrow \sqrt{3}x - y = 0$.
આ બે રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ $(x - \sqrt{3}y)(\sqrt{3}x - y) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $\sqrt{3}x^{2} - xy - 3xy + \sqrt{3}y^{2} = 0$.
$\sqrt{3}(x^{2} + y^{2}) - 4xy = 0$.

(B) ધારો કે $L_{1}$ અને $L_{2}$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતી જરૂરી રેખાઓ છે.
રેખાઓ અને રેખા $y=4$ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,દરેક રેખા $x$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આમ,રેખાઓના ઢાળ $m_{1} = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ અને $m_{2} = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ થશે.
રેખાઓના સમીકરણો $y = \sqrt{3}x$ અને $y = -\sqrt{3}x$ છે.
તેથી,સંયુક્ત સમીકરણ $(y - \sqrt{3}x)(y + \sqrt{3}x) = 0$ થશે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $y^{2} - 3x^{2} = 0$ મળે,જે $3x^{2} - y^{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓના ઢાળ $m_1 = 1+\sqrt{2}$ અને $m_2 = \frac{-1}{1+\sqrt{2}}$ છે.
$m_2 = 1-\sqrt{2}$ હોવાથી,રેખાઓ $y = (1+\sqrt{2})x$ અને $y = (1-\sqrt{2})x$ છે.
તેથી સંયુક્ત સમીકરણ $(y - (1+\sqrt{2})x)(y - (1-\sqrt{2})x) = 0$ થાય.
વિસ્તરણ કરતા,$y^2 - 2xy - x^2 = 0$ મળે.
આમ,$x^2 + 2xy - y^2 = 0$ એ માંગેલ સમીકરણ છે.

(C) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $m_{1}=3$ તથા $m_{2}=-\frac{1}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાઓના સમીકરણો $y=3x$ અને $y=-\frac{1}{3}x$ છે.
આને $(y-3x)=0$ અને $(3y+x)=0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખાઓની જોડીનું સંયુક્ત સમીકરણ તેમના વ્યક્તિગત સમીકરણોના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$(y-3x)(3y+x)=0$
$3y^{2}+xy-9xy-3x^{2}=0$
$3y^{2}-8xy-3x^{2}=0$.

(C) ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. આપેલ છે કે $m_1 : m_2 = 2 : 3$,તેથી $m_1 = 2k$ અને $m_2 = 3k$ લો.
સમીકરણ $y^2 + 2hxy + 6x^2 = 0$ માટે,ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{1} = -2h$ અને ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{6}{1} = 6$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $2k + 3k = -2h \implies 5k = -2h \implies k = -\frac{2h}{5}$.
વળી,$(2k)(3k) = 6 \implies 6k^2 = 6 \implies k^2 = 1 \implies k = \pm 1$.
$k = \pm 1$ ને $5k = -2h$ માં મૂકતા: $5(\pm 1) = -2h \implies h = \mp \frac{5}{2}$.
તેથી,$h = \pm \frac{5}{2}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $PQR$ એ $Q(2, 1)$ પર કાટકોણ ધરાવતો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. રેખા $PR$ નું સમીકરણ $2x + y = 3$ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = -2$ છે.
$PQR$ સમદ્વિબાજુ અને $Q$ પર કાટકોણ હોવાથી,રેખાઓ $PQ$ અને $QR$ એ રેખા $PR$ સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ધારો કે $PQ$ નો ઢાળ $m_1$ છે. તો,$\tan 45^\circ = |\frac{m_1 - (-2)}{1 + m_1(-2)}| = |\frac{m_1 + 2}{1 - 2m_1}|$.
$1 = |\frac{m_1 + 2}{1 - 2m_1}| \Rightarrow 1 - 2m_1 = m_1 + 2$ અથવા $1 - 2m_1 = -(m_1 + 2)$.
કિસ્સો $1$: $3m_1 = -1 \Rightarrow m_1 = -1/3$.
કિસ્સો $2$: $m_1 = 3$.
આમ,$PQ$ અને $QR$ ના ઢાળ $-1/3$ અને $3$ છે.
$Q(2, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓના સમીકરણો:
$y - 1 = -1/3(x - 2)$ $\Rightarrow 3y - 3 = -x + 2$ $\Rightarrow x + 3y - 5 = 0$.
$y - 1 = 3(x - 2)$ $\Rightarrow y - 1 = 3x - 6$ $\Rightarrow 3x - y - 5 = 0$.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x + 3y - 5)(3x - y - 5) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $3x^2 - xy - 5x + 9xy - 3y^2 - 15y - 15x + 5y + 25 = 0$.
$3x^2 + 8xy - 3y^2 - 20x - 10y + 25 = 0$.

(A) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $Kx^2 - 4xy + 5y^2 = 0$ છે. તેને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = K$,$2h = -4 \Rightarrow h = -2$,અને $b = 5$ મળે છે.
ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ રેખાઓના ઢાળ છે.
ઢાળનો તફાવત $|m_1 - m_2| = \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{|b|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $|m_1 - m_2| = 2$,તેથી:
$2 = \frac{2\sqrt{(-2)^2 - K(5)}}{5}$
$1 = \frac{\sqrt{4 - 5K}}{5}$
$5 = \sqrt{4 - 5K}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$25 = 4 - 5K$
$5K = 4 - 25$
$5K = -21$
$K = \frac{-21}{5}$

(C) ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m$ અને $2m$ છે.
સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ પરથી,આપણી પાસે છે:
ઢાળનો સરવાળો: $m_1+m_2 = m+2m = 3m = -\frac{2h}{b} \Rightarrow m = -\frac{2h}{3b}$.
ઢાળનો ગુણાકાર: $m_1 \times m_2 = m \times 2m = 2m^2 = \frac{a}{b}$.
$m$ ની કિંમત ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(-\frac{2h}{3b})^2 = \frac{a}{b}$
$2(\frac{4h^2}{9b^2}) = \frac{a}{b}$
$\frac{8h^2}{9b^2} = \frac{a}{b}$
$8h^2 = 9ab$.

(D) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2 - 2xy \tan \theta - y^2 = 0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$2h = -2 \tan \theta$,અને $b = -1$ મળે છે.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = \frac{-2h}{b}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$m_1 + m_2 = \frac{-(-2 \tan \theta)}{-1} = -2 \tan \theta$ મળે છે.
આપેલ છે કે ઢાળનો સરવાળો $4$ છે,તેથી $-2 \tan \theta = 4$.
આથી $\tan \theta = -2$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(-2)$.

(C) રેખાઓ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને રેખા $x=3$ સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,ઉગમબિંદુ $O$ આગળનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
$x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,રેખાઓ $x$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ અને $-30^{\circ}$ ના ખૂણા બનાવે છે.
રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $m_2 = \tan(-30^{\circ}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
રેખાઓના સમીકરણો $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ અને $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ છે,જેને $x - \sqrt{3}y = 0$ અને $x + \sqrt{3}y = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x - \sqrt{3}y)(x + \sqrt{3}y) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 3y^2 = 0$ થાય છે.