Equation of pair of straight lines Questions in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ $ax^2 - bxy - y^2 = 0$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $-(\frac{y}{x})^2 - b(\frac{y}{x}) + a = 0$ મળે,જે $(\frac{y}{x})^2 + b(\frac{y}{x}) - a = 0$ છે.
ધારો કે $m_1 = \tan \alpha$ અને $m_2 = \tan \beta$ એ રેખાઓના ઢાળ છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $m^2 + bm - a = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\tan \alpha + \tan \beta = -b$ અને $\tan \alpha \tan \beta = -a$ મળે.
સૂત્ર $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ નો ઉપયોગ કરતા,કિંમતો મૂકતા:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{-b}{1 - (-a)} = \frac{-b}{1+a}$.

(B) ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_{1}$ અને $m_{2}$ છે.
સમીકરણ $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ માટે,$m_{1} + m_{2} = \frac{-2h}{b}$ અને $m_{1}m_{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
ઢાળનો ગુણોત્તર $m_{1}:m_{2} = 5:3$ આપેલ છે,તેથી $m_{1} = 5k$ અને $m_{2} = 3k$ લો.
તેથી $m_{1} + m_{2} = 8k = \frac{-2h}{b} \Rightarrow k = \frac{-h}{4b}$.
વળી $m_{1}m_{2} = 15k^{2} = \frac{a}{b}$.
બીજા સમીકરણમાં $k$ ની કિંમત મૂકતા: $15 \left( \frac{-h}{4b} \right)^{2} = \frac{a}{b}$.
$15 \left( \frac{h^{2}}{16b^{2}} \right) = \frac{a}{b}$.
$\frac{15h^{2}}{16b} = a$.
તેથી,$\frac{h^{2}}{ab} = \frac{16}{15}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $K x^2 + 5 x y + y^2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $a x^2 + 2 h x y + b y^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = K$,$2h = 5$,અને $b = 1$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
તેથી,$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -5$ અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = K$ થાય.
આપેલ છે કે ઢાળનો તફાવત $1$ છે,એટલે કે $|m_1 - m_2| = 1$.
નિત્યસમ $(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4 m_1 m_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1^2 = (-5)^2 - 4(K)$.
$1 = 25 - 4K$.
$4K = 24$.
$K = 6$.

(B) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $k x^2 + x y - y^2 = 0$ છે.
રેખાઓ યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તેથી તેમનો ઢાળ $m = \pm 1$ હોવો જોઈએ.
સમીકરણમાં $y = mx$ મૂકતા,આપણને $k x^2 + x(mx) - (mx)^2 = 0$ મળે છે.
$x^2$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને),આપણને $k + m - m^2 = 0$ મળે છે.
$m = 1$ માટે,$k + 1 - 1^2 = 0 \Rightarrow k = 0$.
$m = -1$ માટે,$k - 1 - (-1)^2 = 0$ $\Rightarrow k - 1 - 1 = 0$ $\Rightarrow k = 2$.
આમ,$k$ ની કિંમતો $0$ અને $2$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
તે રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટેની શરત $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $kxy + 10x + 8y + 16 = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a = 0, b = 0, c = 16, h = k/2, g = 5, f = 4$.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$(0)(0)(16) + 2(4)(5)(k/2) - (0)(4^2) - (0)(5^2) - (16)(k/2)^2 = 0$.
$0 + 20k - 0 - 0 - 16(k^2/4) = 0$.
$20k - 4k^2 = 0$.
$4k(5 - k) = 0$.
આમ,$k = 0$ અથવા $k = 5$.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2 + (2a + 1)xy + 2y^2 = 0$ છે.
$Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$A = a$,$2H = 2a + 1$,અને $B = 2$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
આપેલ છે કે $m_1 = \frac{1}{m_2}$,જેનો અર્થ છે કે $m_1 m_2 = 1$.
રેખાઓની જોડી $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે,ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{A}{B} = \frac{a}{2}$ થાય છે.
બંનેને સરખાવતા,$\frac{a}{2} = 1$,તેથી $a = 2$ મળે છે.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2H}{B} = -\frac{2a + 1}{2}$ થાય છે.
$a = 2$ મૂકતા,$m_1 + m_2 = -\frac{2(2) + 1}{2} = -\frac{5}{2}$ મળે છે.
આપણે $m_1^2 + m_2^2$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $m_1^2 + m_2^2 = (m_1 + m_2)^2 - 2m_1 m_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$m_1^2 + m_2^2 = (-\frac{5}{2})^2 - 2(1) = \frac{25}{4} - 2 = \frac{25 - 8}{4} = \frac{17}{4}$.

(B) રેખા $QR$નો ઢાળ $m = -2$છે. ધારો કે રેખાઓ $PQ$ અને $PR$ના ઢાળ અનુક્રમે $m_1$ અને $m_2$છે.
કારણ કે $\triangle PQR$એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે,તેથી ખૂણા $\angle PQR = \angle PRQ = 45^{\circ}$થાય.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\tan 45^{\circ} = \left| \frac{-2 - m_1}{1 + (-2)m_1} \right| = 1$.
આનાથી $\left| \frac{2 + m_1}{1 - 2m_1} \right| = 1$મળે,તેથી $2 + m_1 = 1 - 2m_1$અથવા $2 + m_1 = -(1 - 2m_1)$થાય.
$3m_1 = -1$ઉકેલતા $m_1 = -1/3$મળે છે. $-m_1 = -3$ઉકેલતા $m_2 = 3$મળે છે.
રેખાઓ $PQ$ અને $PR$ એ $P(2, 1)$બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને તેમના ઢાળ $-1/3$અને $3$છે.
સમીકરણો $y - 1 = -1/3(x - 2) \Rightarrow x + 3y - 5 = 0$અને $y - 1 = 3(x - 2) \Rightarrow 3x - y - 5 = 0$છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x + 3y - 5)(3x - y - 5) = 0$છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $3x^2 - xy - 5x + 9xy - 3y^2 - 15y - 15x + 5y + 25 = 0$.
સાદુરૂપ આપતા $3x^2 - 3y^2 + 8xy - 20x - 10y + 25 = 0$મળે છે.

(C) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે. ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ એ રેખાઓના ઢાળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1m_2 = \frac{a}{b}$.
ઢાળનો તફાવત $(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1m_2$ દ્વારા મળે છે.
$(m_1 - m_2)^2 = \left(-\frac{2h}{b}\right)^2 - 4\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{4h^2}{b^2} - \frac{4a}{b} = \frac{4h^2 - 4ab}{b^2}$.
આપેલ છે કે $4ab = 3h^2$,તેથી:
$(m_1 - m_2)^2 = \frac{4h^2 - 3h^2}{b^2} = \frac{h^2}{b^2}$.
તેથી,$m_1 - m_2 = \pm \frac{h}{b}$.
$m_1 - m_2 = \frac{h}{b}$ અને $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ લેતા,$m_1$ અને $m_2$ માટે ઉકેલતા:
$2m_1 = -\frac{2h}{b} + \frac{h}{b} = -\frac{h}{b} \Rightarrow m_1 = -\frac{h}{2b}$.
$2m_2 = -\frac{2h}{b} - \frac{h}{b} = -\frac{3h}{b} \Rightarrow m_2 = -\frac{3h}{2b}$.
ગુણોત્તર $m_1 : m_2 = \left(-\frac{h}{2b}\right) : \left(-\frac{3h}{2b}\right) = 1 : 3$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}-y^{2}=0$ છે,જેને $(x-y)(x+y)=0$ તરીકે લખી શકાય.
આમ,આપેલ રેખાઓના ઢાળ $m_{1}=1$ અને $m_{2}=-1$ છે.
$(2,3)$ માંથી પસાર થતી અને આ રેખાઓને સમાંતર રેખાઓના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$(y-3)=1(x-2) \Rightarrow x-y+1=0$
$(y-3)=-1(x-2) \Rightarrow x+y-5=0$
સંયુક્ત સમીકરણ આ બે રેખાઓનો ગુણાકાર છે:
$(x-y+1)(x+y-5)=0$
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^{2}-y^{2}-4x+6y-5=0$

(C) દ્વિઘાત સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ $Ax^{2} + 2Hxy + By^{2} + 2Gx + 2Fy + C = 0$ છે.
રેખાઓની જોડી માટેની શરત $\Delta = ABC + 2FGH - AF^{2} - BG^{2} - CH^{2} = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $kxy + 5x + 3y + 2 = 0$ ને સરખાવતા:
$A = 0, B = 0, C = 2, H = \frac{k}{2}, G = \frac{5}{2}, F = \frac{3}{2}$.
શરતમાં કિંમતો મૂકતા:
$0 + 2(\frac{3}{2})(\frac{5}{2})(\frac{k}{2}) - 0 - 0 - 2(\frac{k}{2})^{2} = 0$.
$\frac{15k}{4} - \frac{2k^{2}}{4} = 0$.
$15k - 2k^{2} = 0$.
$k(15 - 2k) = 0$.
તેથી,$k = 0$ અથવા $k = \frac{15}{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $4x^{2}-y^{2}+2x+y=0$
આપણે પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ: $(2x)^{2} - y^{2} + (2x+y) = 0$
નિત્યસમ $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $(2x-y)(2x+y) + (2x+y) = 0$
$(2x+y)$ સામાન્ય લેતા: $(2x+y)(2x-y+1) = 0$
આમ,અલગ સમીકરણો $2x+y=0$ અને $2x-y+1=0$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2-4pxy+8y^2=0$ છે.
આ સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a=1$,$2h=-4p$,અને $b=8$.
ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ એ રેખાઓના ઢાળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1m_2 = \frac{a}{b}$.
કિંમતો મૂકતા,$m_1+m_2 = -\frac{-4p}{8} = \frac{4p}{8} = \frac{p}{2}$ અને $m_1m_2 = \frac{1}{8}$.
પ્રશ્ન મુજબ,ઢાળનો સરવાળો તેમના ગુણાકાર કરતાં ત્રણ ગણો છે:
$m_1+m_2 = 3(m_1m_2)$
$\frac{p}{2} = 3 \times \frac{1}{8}$
$\frac{p}{2} = \frac{3}{8}$
$p = \frac{3}{8} \times 2 = \frac{3}{4}$.

(D) ધારો કે $O(0,0), A(1,2), B(3,4)$.
$1$. $O$ માંથી $AB$ પરની મધ્યગા:
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $D = (\frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2}) = (2,3)$.
$O(0,0)$ અને $D(2,3)$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા $OD$ નું સમીકરણ $y = \frac{3}{2}x$ છે,એટલે કે $3x - 2y = 0$.
$2$. $O$ માંથી $AB$ પરનો વેધ:
$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{4-2}{3-1} = 1$ છે.
વેધ $OP$ નો ઢાળ $m_{OP} = -\frac{1}{m_{AB}} = -1$ છે.
$O(0,0)$ માંથી પસાર થતી અને $-1$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $OP$ નું સમીકરણ $y = -x$ છે,એટલે કે $x + y = 0$.
$3$. સંયુક્ત સમીકરણ:
વેધ અને મધ્યગાનું સંયુક્ત સમીકરણ $(3x - 2y)(x + y) = 0$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$3x^2 + 3xy - 2xy - 2y^2 = 0$,એટલે કે $3x^2 + xy - 2y^2 = 0$ મળે છે.

(B) ધન $x$-અક્ષ અને ધન $y$-અક્ષ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગતી રેખા $y=x$ છે.
આ રેખા $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ જોડનો ભાગ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $y=x$ મૂકતા:
$ax^{2}+2hx(x)+b(x)^{2}=0$
$ax^{2}+2hx^{2}+bx^{2}=0$
$(a+2h+b)x^{2}=0$
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,$a+b+2h=0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $a+b=-2h$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણનું વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $hxy + 10x + 6y + 4 = 0$ ને સરખાવતા,$a = 0, b = 0, h' = h/2, g = 5, f = 3, c = 4$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી માટે નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 0 & h/2 & 5 \\ h/2 & 0 & 3 \\ 5 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 0$
ગણતરી કરતા: $0(0 - 9) - \frac{h}{2}(2h/2 - 15) + 5(3h/2 - 0) = 0$
$-\frac{h}{2}(h - 15) + \frac{15h}{2} = 0$
$-\frac{h^2}{2} + 15h = 0$
$-h^2 + 30h = 0 \Rightarrow h(30 - h) = 0$
આમ,$h = 0$ અથવા $h = 30$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{2} - 4xy + 3y^{2} = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(x - y)(x - 3y) = 0$.
રેખાઓ $x - y = 0$ અને $x - 3y = 0$ છે.
$(3, -2)$ માંથી પસાર થતી સમાંતર રેખાઓ $(x - y + k_{1}) = 0$ અને $(x - 3y + k_{2}) = 0$ સ્વરૂપમાં છે.
$(3, -2)$ બિંદુ મૂકતા $k_{1} = -5$ અને $k_{2} = -9$ મળે છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x - y - 5)(x - 3y - 9) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $x^{2} + 3y^{2} - 4xy - 14x + 24y + 45 = 0$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $7x^2 - 14xy + py^2 - 12x + qy - 4 = 0$ છે.
સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 7$,$h = -7$,$b = p$,$g = -6$,$f = \frac{q}{2}$,અને $c = -4$ મળે છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,$h^2 = ab$.
કિંમતો મૂકતા,$(-7)^2 = 7p$ $\Rightarrow 49 = 7p$ $\Rightarrow p = 7$.
રેખાઓની જોડી માટેની શરત $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
$p = 7$,$a = 7$,$h = -7$,$g = -6$,$f = \frac{q}{2}$,અને $c = -4$ મૂકતા:
$7(7)(-4) + 2(\frac{q}{2})(-6)(-7) - 7(\frac{q}{2})^2 - 7(-6)^2 - (-4)(-7)^2 = 0$.
$-196 + 42q - \frac{7q^2}{4} - 252 + 196 = 0$.
$42q - \frac{7q^2}{4} - 252 = 0$.
$-4/7$ વડે ગુણતા,$q^2 - 24q + 144 = 0$ મળે છે.
$(q - 12)^2 = 0 \Rightarrow q = 12$.
છેલ્લે,$\sqrt{p^2 + q^2 - pq} = \sqrt{7^2 + 12^2 - (7)(12)} = \sqrt{49 + 144 - 84} = \sqrt{109}$.

(A) દ્વિઘાત વક્રનું સામાન્ય સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $hxy + gx + fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
$A = 0, B = 0, C = c, H = \frac{h}{2}, G = \frac{g}{2}, F = \frac{f}{2}$.
રેખાઓની જોડી માટેની શરત $\Delta = \begin{vmatrix} A & H & G \\ H & B & F \\ G & F & C \end{vmatrix} = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} 0 & \frac{h}{2} & \frac{g}{2} \\ \frac{h}{2} & 0 & \frac{f}{2} \\ \frac{g}{2} & \frac{f}{2} & c \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$0 - \frac{h}{2} \left( \frac{ch}{2} - \frac{gf}{4} \right) + \frac{g}{2} \left( \frac{hf}{4} - 0 \right) = 0$.
$-\frac{ch^2}{4} + \frac{hgf}{8} + \frac{ghf}{8} = 0$.
$-\frac{ch^2}{4} + \frac{hgf}{4} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા,$-ch^2 + hgf = 0$,એટલે કે $hgf = ch^2$.
$h$ વડે ભાગતા ($h \neq 0$ ધારતા),$gf = ch$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $ax^2+8xy+5y^2=0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=a$,$2H=8$ (તેથી $H=4$),અને $B=5$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
ઢાળનો સરવાળો $m_1+m_2 = -\frac{2H}{B} = -\frac{8}{5}$ છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1m_2 = \frac{A}{B} = \frac{a}{5}$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,ઢાળનો સરવાળો તેમના ગુણાકાર કરતા બમણો છે:
$m_1+m_2 = 2(m_1m_2)$
$-\frac{8}{5} = 2\left(\frac{a}{5}\right)$
$-\frac{8}{5} = \frac{2a}{5}$
$2a = -8$
$a = -4$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + 2hxy + by^{2} + 2gx + 2fy + k = 0$ એ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & k \end{vmatrix} = 0$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $ax^{2} + 0xy + by^{2} + cx + cy + 0 = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$h = 0$,$g = c/2$,$f = c/2$,અને $k = 0$ મળે છે.
નિશ્ચાયકની શરતમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} a & 0 & c/2 \\ 0 & b & c/2 \\ c/2 & c/2 & 0 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$a(0 - c^{2}/4) - 0 + (c/2)(0 - bc/2) = 0$.
$-ac^{2}/4 - bc^{2}/4 = 0$.
$-4$ વડે ગુણતા:
$ac^{2} + bc^{2} = 0$.
$c^{2}(a + b) = 0$.
$c \neq 0$ હોવાથી,$a + b = 0$ મળે.

(D) આપેલ સમીકરણને $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=3, h=5, b=3, g=0, f=8, c=k$ મળે છે.
આપેલ સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે,તેથી શરત $abc+2fgh-af^{2}-bg^{2}-ch^{2}=0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(3)(3)(k)+2(8)(0)(5)-3(8)^{2}-3(0)^{2}-k(5)^{2}=0$.
$9k+0-192-0-25k=0$.
$-16k=192$.
$k = -12$.

(C) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$ હોય.
વિકલ્પ $A$ માટે: $x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$,જે $x=0$ અને $x=1$ રેખાઓ દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $xy - x = 0 \implies x(y-1) = 0$,જે $x=0$ અને $y=1$ રેખાઓ દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $y^2 - x + 1 = 0$. આ એક પરવલય છે,રેખાઓની જોડી નથી,કારણ કે તેના બે રેખીય અવયવો પાડી શકાતા નથી.
વિકલ્પ $D$ માટે: $xy + x + y + 1 = 0 \implies x(y+1) + 1(y+1) = 0 \implies (x+1)(y+1) = 0$,જે $x=-1$ અને $y=-1$ રેખાઓ દર્શાવે છે.
આમ,જે સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવતું નથી તે $y^2 - x + 1 = 0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $Ax^{2} + 2Hxy + By^{2} = 0$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $A = \sec^{2} \theta - \sin^{2} \theta$,$2H = -2 \tan \theta$,અને $B = \sin^{2} \theta$.
રેખાઓની જોડી $Ax^{2} + 2Hxy + By^{2} = 0$ માટે,ઢાળનો સરવાળો $m_{1} + m_{2} = -\frac{2H}{B}$ અને ઢાળનો ગુણાકાર $m_{1}m_{2} = \frac{A}{B}$ છે.
અહીં,$m_{1} + m_{2} = \frac{2 \tan \theta}{\sin^{2} \theta}$ અને $m_{1}m_{2} = \frac{\sec^{2} \theta - \sin^{2} \theta}{\sin^{2} \theta}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|m_{1} - m_{2}| = \sqrt{(m_{1} + m_{2})^{2} - 4m_{1}m_{2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$|m_{1} - m_{2}| = \sqrt{\left(\frac{2 \tan \theta}{\sin^{2} \theta}\right)^{2} - 4\left(\frac{\sec^{2} \theta - \sin^{2} \theta}{\sin^{2} \theta}\right)}$
ગણતરી કરતા,$|m_{1} - m_{2}| = 2$ મળે છે.

(D) ધારો કે $D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $D$ ના યામ $\left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (2,3)$ છે.
મધ્યગા $OD$ એ $(0,0)$ અને $(2,3)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $y = \frac{3}{2}x$ છે,જે $3x-2y=0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{4-2}{3-1} = \frac{2}{2} = 1$ છે.
વેધ $OE$ એ $AB$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_{OE} = -\frac{1}{m_{AB}} = -1$ છે.
વેધ $OE$ નું સમીકરણ $y = -x$ છે,જે $x+y=0$ તરીકે લખી શકાય.
મધ્યગા અને વેધનું સંયુક્ત સમીકરણ $(3x-2y)(x+y) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $3x^2 + 3xy - 2xy - 2y^2 = 0$ મળે છે,જે $3x^2 + xy - 2y^2 = 0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2+2hxy+2y^2=0$ છે.
$ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=h, b=2$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{2h}{2} = -h$ અને $m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{1}{2}$.
ઢાળનો ગુણોત્તર $m_1:m_2 = 1:2$ આપેલ છે,તેથી $m_2 = 2m_1$.
ગુણાકારના સમીકરણમાં $m_2$ ની કિંમત મૂકતા: $m_1(2m_1) = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2m_1^2 = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow m_1^2 = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow m_1 = \pm \frac{1}{2}$.
જો $m_1 = \frac{1}{2}$ હોય,તો $m_2 = 1$.
તેથી $m_1+m_2 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
કારણ કે $m_1+m_2 = -h$,તેથી $-h = \frac{3}{2} \Rightarrow h = -\frac{3}{2}$.
જો $m_1 = -\frac{1}{2}$ હોય,તો $m_2 = -1$.
તેથી $m_1+m_2 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}$.
કારણ કે $m_1+m_2 = -h$,તેથી $-h = -\frac{3}{2} \Rightarrow h = \frac{3}{2}$.
આમ,$h = \pm \frac{3}{2}$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચી કિંમત $\frac{3}{2}$ છે.

(C) ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે:
$m_1 + m_2 = \frac{-2h}{b}$ $(i)$
$m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ $(ii)$
આપેલ છે કે $4ab = 3h^2$,તેથી $ab = \frac{3h^2}{4}$.
આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા,$m_1 m_2 = \frac{3h^2}{4b^2}$.
હવે,$(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2 = \frac{4h^2}{b^2} - 4(\frac{3h^2}{4b^2}) = \frac{h^2}{b^2}$.
તેથી,$m_1 - m_2 = \frac{h}{b}$ $(iii)$.
$(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા: $2m_1 = \frac{-h}{b} \implies m_1 = \frac{-h}{2b}$.
$(i)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $2m_2 = \frac{-3h}{b} \implies m_2 = \frac{-3h}{2b}$.
ગુણોત્તર $m_1 : m_2 = 1 : 3$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $K x^2 + 6 x y + y^2 = 0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $A x^2 + 2 H x y + B y^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$A = K$,$H = 3$,અને $B = 1$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_1 + m_2 = \frac{-2 H}{B} = -6$ અને $m_1 m_2 = \frac{A}{B} = K$.
આપેલ છે કે એક ઢાળ બીજા કરતાં ત્રણ ગણો છે,તેથી $m_2 = 3 m_1$.
ઢાળના સરવાળામાં આ કિંમત મૂકતા: $m_1 + 3 m_1 = -6$ $\Rightarrow 4 m_1 = -6$ $\Rightarrow m_1 = -\frac{3}{2}$.
હવે,ઢાળના ગુણાકારનો ઉપયોગ કરતા: $m_1 \times (3 m_1) = K \Rightarrow 3 m_1^2 = K$.
$m_1 = -\frac{3}{2}$ મૂકતા: $K = 3 \times (-\frac{3}{2})^2 = 3 \times \frac{9}{4} = \frac{27}{4}$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $a+2h(\frac{y}{x})+b(\frac{y}{x})^2=0$ મળે છે. ધારો કે $k = \frac{y}{x}$ એ એક રેખાનો ઢાળ છે. તેથી $bk^2+2hk+a=0$.
રેખા $mx+ny=18$ નો ઢાળ $-\frac{m}{n}$ છે.
કારણ કે આ રેખા $mx+ny=18$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $k$ એ $-\frac{m}{n}$ નો વ્યસ્ત વિરોધી હોવો જોઈએ,એટલે કે $k = \frac{n}{m}$.
$k = \frac{n}{m}$ ને સમીકરણ $bk^2+2hk+a=0$ માં મૂકતા,આપણને $b(\frac{n}{m})^2+2h(\frac{n}{m})+a=0$ મળે છે.
$m^2$ વડે ગુણતા,આપણને $bn^2+2hmn+am^2=0$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{a} + \frac{2xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ છે. તેને $abh$ વડે ગુણતા,$bhx^2 + 2abyx + ahy^2 = 0$ મળે છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$A = bh$,$H = ab$,અને $B = ah$ મળે.
ધારો કે ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. આપેલ છે કે $m_2 = 2m_1$.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2H}{B}$ અને ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{A}{B}$ થાય.
$3m_1 = -\frac{2ab}{ah} = -\frac{2b}{h} \Rightarrow m_1 = -\frac{2b}{3h}$.
$2m_1^2 = \frac{bh}{ah} = \frac{b}{a} \Rightarrow 2\left(-\frac{2b}{3h}\right)^2 = \frac{b}{a}$.
$2 \times \frac{4b^2}{9h^2} = \frac{b}{a}$ $\Rightarrow \frac{8b}{9h^2} = \frac{1}{a}$ $\Rightarrow \frac{ab}{h^2} = \frac{9}{8}$.

(A) રેખા $3x + 2y - 8 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{3}{2}$ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે જે આપેલી રેખા સાથે $\frac{\pi}{4}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + mm_1} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \frac{\pi}{4} = \left| \frac{m - (-3/2)}{1 + m(-3/2)} \right|$
$1 = \left| \frac{2m + 3}{2 - 3m} \right|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(2 - 3m)^2 = (2m + 3)^2$
$4 - 12m + 9m^2 = 4m^2 + 12m + 9$
$5m^2 - 24m - 5 = 0$
રેખાઓ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,તેમનું સમીકરણ $y = mx$ છે,તેથી $m = \frac{y}{x}$.
સહાયક સમીકરણમાં $m = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$5(\frac{y}{x})^2 - 24(\frac{y}{x}) - 5 = 0$
$x^2$ વડે ગુણતા:
$5y^2 - 24xy - 5x^2 = 0$
તેથી,સંયુક્ત સમીકરણ $5x^2 + 24xy - 5y^2 = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0 \quad \dots(i)$
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે. ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m$ અને $m_{1}$ છે.
તેથી,રેખાઓ $y=mx$ અને $y=m_{1}x$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $y^{2}-(m+m_{1})xy+mm_{1}x^{2}=0$ થાય.
સમીકરણને $b$ વડે ભાગતા,$y^{2}+\frac{2h}{b}xy+\frac{a}{b}x^{2}=0 \quad \dots(ii)$.
સરખામણી કરતા,$m+m_{1} = -\frac{2h}{b}$ અને $mm_{1} = \frac{a}{b}$.
$y=mx$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા,$bm^{2}+2hm+a=0$ મળે.
$b^{2}m^{2}+2hbm+ab=0 \implies b^{2}m^{2}+2hbm = -ab$.
બંને બાજુ $h^{2}$ ઉમેરતા,$h^{2}+2hbm+b^{2}m^{2} = h^{2}-ab$.
તેથી,$(h+bm)^{2} = h^{2}-ab$.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણનું વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^{2} + 2hxy + by^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $3x^{2} + xy - y^{2} - 3x + 6y + k = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a = 3, b = -1, h = \frac{1}{2}, g = -\frac{3}{2}, f = 3, c = k$.
રેખાઓની જોડી માટેની શરત $abc + 2fgh - af^{2} - bg^{2} - ch^{2} = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$3(-1)(k) + 2(3)(-\frac{3}{2})(\frac{1}{2}) - 3(3)^{2} - (-1)(-\frac{3}{2})^{2} - k(\frac{1}{2})^{2} = 0$.
$-3k - \frac{9}{2} - 27 + \frac{9}{4} - \frac{k}{4} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા:
$-12k - 18 - 108 + 9 - k = 0$.
$-13k - 117 = 0$.
$-13k = 117$.
$k = -9$.

(C) ધારો કે રેખાઓ $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ ના ઢાળ $m_{1}$ અને $m_{2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$m_{1} = nm_{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_{1}+m_{2} = -\frac{2h}{b}$ અને $m_{1}m_{2} = \frac{a}{b}$.
$m_{1} = nm_{2}$ ને સરવાળા અને ગુણાકારના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$m_{2}(n+1) = -\frac{2h}{b} \implies m_{2} = -\frac{2h}{b(n+1)}$.
$nm_{2}^{2} = \frac{a}{b}$.
$m_{2}$ ની કિંમત ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$n \left( -\frac{2h}{b(n+1)} \right)^{2} = \frac{a}{b}$.
$n \left( \frac{4h^{2}}{b^{2}(n+1)^{2}} \right) = \frac{a}{b}$.
$4nh^{2} = ab(n+1)^{2}$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ છે.
$P_{1}$ એ $P$ થી $x$-અક્ષ $(y=0)$ પરના લંબની લંબાઈ છે,તેથી $P_{1} = |k|$.
$P_{2}$ એ $P$ થી $x-y=0$ રેખા પરના લંબની લંબાઈ છે,તેથી $P_{2} = \frac{|h-k|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}} = \frac{|h-k|}{\sqrt{2}}$.
આપેલ છે કે $P_{1} = 2P_{2}$,તેથી:
$|k| = 2 \cdot \frac{|h-k|}{\sqrt{2}}$
$|k| = \sqrt{2} |h-k|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$k^{2} = 2(h-k)^{2}$
$k^{2} = 2(h^{2} + k^{2} - 2hk)$
$k^{2} = 2h^{2} + 2k^{2} - 4hk$
$2h^{2} - 4hk + k^{2} = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ છે:
$2x^{2} - 4xy + y^{2} = 0$

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી $23x^2 - 48xy + 3y^2 = 0$ છે.
રેખાઓની જોડી $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ અને રેખા $lx + my + n = 0$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
$\text{Area} = \frac{n^2 \sqrt{h^2 - ab}}{|am^2 - 2hlm + bl^2|}$
અહીં,$a = 23$,$h = -24$,$b = 3$,$l = 2$,$m = 3$,અને $n = 5$ છે.
પ્રથમ,$\sqrt{h^2 - ab} = \sqrt{(-24)^2 - (23)(3)} = \sqrt{576 - 69} = \sqrt{507} = 13 \sqrt{3}$ ગણો.
ત્યારબાદ,છેદ $|am^2 - 2hlm + bl^2| = |23(3)^2 - 2(-24)(2)(3) + 3(2)^2| = |207 + 288 + 12| = 507$ ગણો.
હવે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{25 \times 13 \sqrt{3}}{507} = \frac{25}{13 \sqrt{3}} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓના ઢાળનો તફાવત $\frac{2 \sqrt{h^2 - ab}}{|b|}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y^2 - 2xy \sec^2 \alpha + (3 + \tan^2 \alpha)(\tan^2 \alpha - 1) x^2 = 0$ માટે,$a = (3 + \tan^2 \alpha)(\tan^2 \alpha - 1)$,$h = -\sec^2 \alpha$,અને $b = 1$ છે.
ઢાળનો તફાવત $\frac{2 \sqrt{(-\sec^2 \alpha)^2 - (3 + \tan^2 \alpha)(\tan^2 \alpha - 1)(1)}}{|1|}$ છે.
ગણતરી કરતા,આપણને $2 \sqrt{4} = 4$ મળે છે.
આમ,$A$ અને $R$ બંને સાચા છે અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ દ્વારા દર્શાવેલ રેખાઓની જોડી પરના લંબનો ગુણાકાર $p = \left| \frac{c}{\sqrt{(a-b)^2 + 4h^2}} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$xy+x+y+1=0$ માટે:
$a=0, b=0, h=1/2, c=1$.
$p_1 = \left| \frac{1}{\sqrt{(0-0)^2 + 4(1/2)^2}} \right| = 1$.
$x^2-y^2+2x+1=0$ માટે:
$a=1, b=-1, h=0, c=1$.
$p_2 = \left| \frac{1}{\sqrt{(1-(-1))^2 + 4(0)^2}} \right| = 1/2$.
$2x^2+3xy-2y^2+2x+1=0$ માટે:
$a=2, b=-2, h=3/2, c=1$.
$p_3 = \left| \frac{1}{\sqrt{(2-(-2))^2 + 4(3/2)^2}} \right| = 1/5$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $1/5 < 1/2 < 1$,એટલે કે $p_3 < p_2 < p_1$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $15 x^2 + 31 x y + 14 y^2 = 0$ છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવો પાડતા: $15 x^2 + 10 x y + 21 x y + 14 y^2 = 0$ $\Rightarrow 5 x(3 x + 2 y) + 7 y(3 x + 2 y) = 0$ $\Rightarrow (3 x + 2 y)(5 x + 7 y) = 0$.
આમ,બે રેખાઓ $L_1: 3 x + 2 y = 0$ અને $L_2: 5 x + 7 y = 0$ છે.
$(2,3)$ થી $3 x + 2 y = 0$ પરના લંબનું અંતર $d_1 = \frac{|3(2) + 2(3)|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$ છે.
$(2,3)$ થી $5 x + 7 y = 0$ પરના લંબનું અંતર $d_2 = \frac{|5(2) + 7(3)|}{\sqrt{5^2 + 7^2}} = \frac{31}{\sqrt{74}}$ છે.
$p_1 > p_2$ હોવાથી,$p_1 = \frac{31}{\sqrt{74}}$ અને $p_2 = \frac{12}{\sqrt{13}}$ મળે.
હવે,$p_1^2 + \frac{1}{74} - p_2^2 + \frac{1}{13} = \frac{31^2}{74} + \frac{1}{74} - \frac{12^2}{13} + \frac{1}{13} = \frac{962}{74} - \frac{143}{13} = 13 - 11 = 2$.

(B) આપેલ સમીકરણ $8x^2+8xy+2y^2+26x+13y+15=0$ છે ...$(i)$
આ સમીકરણને $2(4x^2+4xy+y^2)+13(2x+y)+15=0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $2x+y=t$. તો સમીકરણ $2t^2+13t+15=0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $2t^2+10t+3t+15=0 \Rightarrow 2t(t+5)+3(t+5)=0$.
તેથી,$(2t+3)(t+5)=0$.
$t=2x+y$ મૂકતા,આપણને $(2(2x+y)+3)(2x+y+5)=0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $(4x+2y+3)(2x+y+5)=0$ થાય છે.
આમ,બે રેખાઓ $4x+2y+3=0$ અને $2x+y+5=0$ છે.
પ્રથમ રેખાને $2$ વડે ભાગતા,$2x+y+1.5=0$ મળે છે.
સમાંતર રેખાઓ $Ax+By+C_1=0$ અને $Ax+By+C_2=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ છે.
અહીં,$A=2, B=1, C_1=5, C_2=1.5$.
$d = \frac{|5-1.5|}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{3.5}{\sqrt{5}} = \frac{7}{2\sqrt{5}}$.

(B) આપેલ સમીકરણો છે:
$(p^2-q^2) x^2+(q^2-r^2) xy+(r^2-p^2) y^2=0$ ...$(i)$
$(l-m) x^2+(m-n) xy+(n-l) y^2=0$ ...(ii)
$Ax^2+Bxy+Cy^2=0$ સ્વરૂપના કોઈપણ સમીકરણ માટે,જો $A+B+C=0$ હોય,તો $(x-y)$ એ સમીકરણનો અવયવ છે.
સમીકરણ $(i)$ માટે: $(p^2-q^2) + (q^2-r^2) + (r^2-p^2) = 0$. તેથી,$(x-y)$ એક અવયવ છે.
સમીકરણ (ii) માટે: $(l-m) + (m-n) + (n-l) = 0$. તેથી,$(x-y)$ એક અવયવ છે.
બંને સમીકરણો ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે અને $(x-y)$ અવયવ ધરાવે છે,તેથી સામાન્ય રેખા $x-y=0$ છે.

(D) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2h'xy + by^2 = 0$ છે.
રેખાઓ સંપાતી હોય તે માટેની શરત $h'^2 - ab = 0$ છે.
$4x^2 + hxy + y^2 = 0$ ને $ax^2 + 2h'xy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 4$,$2h' = h$,અને $b = 1$ મળે.
સંપાતી હોવાની શરત મુજબ,$(\frac{h}{2})^2 - (4)(1) = 0$.
$\frac{h^2}{4} = 4$.
$h^2 = 16$.
$h = \pm 4$.

(A) રેખા $x+y+1=0$ નો ઢાળ $m = -1$ છે. ધારો કે જરૂરી રેખાઓનો ઢાળ $m'$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ હોવાથી,આપણે સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\tan 45^{\circ} = |\frac{m' - (-1)}{1 + m'(-1)}| \Rightarrow 1 = |\frac{m'+1}{1-m'}|$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે: $\frac{m'+1}{1-m'} = 1$ અથવા $\frac{m'+1}{1-m'} = -1$.
કિસ્સો $1$: $m'+1 = 1-m'$ $\Rightarrow 2m' = 0$ $\Rightarrow m' = 0$.
રેખાનું સમીકરણ $y-4 = 0(x-3) \Rightarrow y-4 = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $m'+1 = -(1-m')$ $\Rightarrow m'+1 = -1+m'$ $\Rightarrow 1 = -1$,જેનો અર્થ છે કે રેખા શિરોલંબ છે $(m' = \infty)$.
રેખાનું સમીકરણ $x-3 = 0$ છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x-3)(y-4) = 0 \Rightarrow xy-4x-3y+12 = 0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + hxy + 6y^2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2h'xy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$,$2h' = h$,અને $b = 6$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
આપેલ છે કે $m_1 = 3m_2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ થાય.
$m_1 = 3m_2$ ને ગુણાકારમાં મૂકતા,$(3m_2)m_2 = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow 3m_2^2 = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow m_2^2 = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow m_2 = \pm \frac{1}{3}$.
તેથી,$m_1 = 3(\pm \frac{1}{3}) = \pm 1$.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2h'}{b} = -\frac{h}{6}$ છે.
$m_1$ અને $m_2$ ની કિંમતો મૂકતા: $\pm 1 \pm \frac{1}{3} = -\frac{h}{6}$.
ધન કિસ્સા માટે: $1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} = -\frac{h}{6} \Rightarrow h = -8$.
ઋણ કિસ્સા માટે: $-1 - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} = -\frac{h}{6} \Rightarrow h = 8$.
તેથી,$h = \pm 8$.

(A) આપેલ સમીકરણ $8x^2 + axy + y^2 = 0$ છે.
ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
સમપરિમાણીય સમીકરણ $Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 0$ માટે,ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -B/C$ અને ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = A/C$ થાય.
અહીં,$A = 8$,$B = a$,અને $C = 1$.
તેથી,$m_1 + m_2 = -a$ અને $m_1 m_2 = 8$.
આપેલ છે કે એક ઢાળ બીજા કરતા ત્રણ ગણો છે,તેથી $m_1 = 3m_2$ લો.
ગુણાકારના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(3m_2) \times m_2 = 8$ $\Rightarrow 3m_2^2 = 8$ $\Rightarrow m_2^2 = 8/3$.
સરવાળાના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $3m_2 + m_2 = -a$ $\Rightarrow 4m_2 = -a$ $\Rightarrow m_2 = -a/4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $m_2^2 = a^2/16$.
$m_2^2$ ની બંને કિંમતોને સરખાવતા: $a^2/16 = 8/3$ $\Rightarrow a^2 = 128/3$ $\Rightarrow a = \pm 8 \sqrt{2/3}$.
વિકલ્પોમાં ધન કિંમત આપેલી હોવાથી,$a = 8 \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $ax^3+3bx^2y+3cxy^2+dy^3=0$ છે.
$x^3$ વડે ભાગતા અને $m = \frac{y}{x}$ લેતા,આપણને $m$ માં ત્રિઘાત સમીકરણ મળે છે: $dm^3+3cm^2+3bm+a=0$.
ધારો કે બીજ $m_1, m_2, m_3$ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,બીજનો ગુણાકાર $m_1m_2m_3 = -\frac{a}{d}$ થાય.
બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1m_2 = -1$ લો.
આ કિંમત ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા: $(-1)m_3 = -\frac{a}{d} \Rightarrow m_3 = \frac{a}{d}$.
$m_3$ એ ત્રિઘાત સમીકરણનું બીજ હોવાથી,તે $d(\frac{a}{d})^3+3c(\frac{a}{d})^2+3b(\frac{a}{d})+a=0$ નું સમાધાન કરશે.
$d^2$ વડે ગુણતા,આપણને $a^3+3a^2c+3abd+ad^2=0$ મળે છે.
$a$ વડે ભાગતા ($a \neq 0$ હોવાથી),આપણને $a^2+3ac+3bd+d^2=0$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $5x^2 - 8xy + 3y^2 = 0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $3(\frac{y}{x})^2 - 8(\frac{y}{x}) + 5 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $m = \frac{y}{x}$ એ રેખાઓનો ઢાળ છે. તેથી $3m^2 - 8m + 5 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને $3m^2 - 8m + 5 = 0$ ઉકેલતા:
$m = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(3)(5)}}{2(3)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{8 \pm 2}{6}$.
બે ઢાળ $m_1 = \frac{8+2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ અને $m_2 = \frac{8-2}{6} = \frac{6}{6} = 1$ છે.
$m_1 > m_2$ હોવાથી,$m_1 = \frac{5}{3}$ અને $m_2 = 1$ મળે.
તેથી,ગુણોત્તર $m_1 : m_2 = \frac{5}{3} : 1 = 5 : 3$ થાય.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $4x^2-5xy+y^2=0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $m = \frac{y}{x}$ ના સ્વરૂપમાં દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે:
$m^2-5m+4=0$.
અહીં,$m_1$ અને $m_2$ એ આ સમીકરણના બીજ છે.
તેથી,ઢાળનો સરવાળો $m_1+m_2 = 5$ અને ઢાળનો ગુણાકાર $m_1m_2 = 4$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|m_1-m_2| = \sqrt{(m_1+m_2)^2-4m_1m_2}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$|m_1-m_2| = \sqrt{5^2-4(4)} = \sqrt{25-16} = \sqrt{9} = 3$.

(B) આપેલ રેખાઓનું સમીકરણ: $x^2+2 h x y+2 y^2=0 \dots (i)$
$a x^2+2 h x y+b y^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1$ અને $b=2$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
તેથી,$m_1+m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{2h}{2} = -h \dots (ii)$
અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \dots (iii)$
ઢાળનો ગુણોત્તર $m_1:m_2 = 1:2$ આપેલ છે,તેથી $m_2 = 2m_1$.
$(iii)$ માં $m_2 = 2m_1$ મૂકતા: $m_1(2m_1) = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2m_1^2 = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow m_1^2 = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow m_1 = \pm \frac{1}{2}$.
જો $m_1 = \frac{1}{2}$,તો $m_2 = 1$. $(ii)$ પરથી,$m_1+m_2 = -h$ $\Rightarrow \frac{1}{2} + 1 = -h$ $\Rightarrow h = -\frac{3}{2}$.
જો $m_1 = -\frac{1}{2}$,તો $m_2 = -1$. $(ii)$ પરથી,$m_1+m_2 = -h$ $\Rightarrow -\frac{1}{2} - 1 = -h$ $\Rightarrow h = \frac{3}{2}$.
આમ,$h = \pm \frac{3}{2}$.